2010数模试题与答案
广东工业大学数学建模试卷和答案—2010A
广东工业大学试卷用纸，共 页，第 页
广东工业大学试卷参考答案及评分标准 (A)
课程名称:
பைடு நூலகம்
数学建模
试卷满分 100 分
考试时间: 2010 年 6 月 28 日 (第 18 周 星期一)
一．（本小题 15 分） 1、1．数学建模的基本步骤主要是：
1）模型准备。了解问题的实际背景，明确建模的目的，搜集必要的信息如现象，数据等，尽量弄清楚 对象的特征，由此初步确定用那一类模型。（2 分）； 2）模型假设。根据对象的特征和建模目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，做出必要的合理的假设。 （3 分）； 3）模型构成。根据所做的假设，用数学语言，符号描述对象的内在规律，建立包含常量，变量等的数 学模型。（4 分）； 4）模型求解。可以采用解方程，画图形，优化方法，数值方法，统计分析等各种数学方法，特别是数 学软件和计算机技术。（6 分）。 5）模型分析。对求解结果进行数学上的分析。(8 分) 6）模型检验。把求解和分析结果翻译到实际问题，与实际的现象，数据比较，检验模型的合理性和适 用性。（9 分） 7）模型应用。 （10 分）
型，确定应该如何投资？（只需建模，不用求解）
债券名称
债券种类
信用等级
到期年限
到期税前收益
率(%)
A
国债
1
9
4.3
B
企业债
3
10
5.4
C
地方政府债
2
4
5.0
D
地方政府债
2
3
4.4
E
国债
1
5
4.5
2．某广告公司想在电视、广播上做广告，其目的是尽可能多的招揽顾客。下面是市
场调查结果：
数学建模试卷2010(答案)
华中科技大学《数学建模》考试卷（半开卷）2010～2011学年度第一学期成绩学号专业班级姓名一、怎样解决下面的实际问题，包括需要哪些数据资料，要作些什么观察、试验以及建立什么样的数学模型等。
（10分）（1）估计一批电饭煲的寿命；（2）一高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，试制订合理的运行计划。
解：（1）从一批电饭煲中取一定数量的样本，测得其平均寿命，可作为该批电饭煲寿命的估计值。
为衡量估计的精度，需要从样本寿命确定该批电饭煲寿命的概率分布，即可得到估计值的置信区间。
还可试验用提高电压的办法加速寿命测试，以缩短测量时间。
⑤（2）统计在各层上班的人数，通过数据或计算确定电梯运行时间，以等待的人数与时间乘积为目标，建立优化模型，确定每部电梯运行的楼层（有的从大厅直接运行到高层）。
⑤二、学校共有1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。
学生们要组织一个10人的委员会，试用以下方法分别分配各宿舍的委员数。
（10分） 1.Hamilton 方法 2.Q 值方法3.其它方法或你自己提出的方法解：1.Hamilton 方法:③2.Q 值法: 先按比例计算结果将整数部分的9席分配，123n 2,n 3,n 4=== ①再用Q 值法分配第十席：()()()()()()221111222222223333p 235Q 9204.17n n 1221p 333Q 9240.75n n 1331p 432Q 9331.20n n 1441===++===++===++ ③Q 3最大，第十席分配给C 宿舍，即：123n 2,n 3,n 5===。
①3.略 ②三、人体注射葡萄糖溶液时，血液中葡萄糖浓度g (t )的增长率与注射速率r 成正比，与人体血液容积V 成反比，而由于人体组织的吸收作用，g (t )的减少率与g (t )本身成正比。
分别在以下假设下建立模型，并讨论稳定情况。
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题
同上的解法求得方案一最佳。
问题一的解答：
2、当共用管线和非共用管线费用不相同时要考
虑方案二中的各部分管线的总费用并与方案一
中的费用对比，得出最优方案。经过查阅资料
得知某非共用管道5万元/千米；共用管道8万 元/千米；方案一的费用为
C1 5 l 2 (a b 方案二的费用为：) 2
；
2010高教社杯全国大学生数学建模 竞赛 C题 输油管线设计的数学模型
阐述的主要问题
某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同 时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。 由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院 希望建立管线建设费用最省的模型。
针对这个问题，通过三个小问题 进行解答：
1.针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形， 提出设计方案。若有共用管线，考虑其共用管线费用与非共用管 线费用相同或不同的情形。 B 2. 两炼油厂的具体位置其中A厂位于郊区（Ⅰ）， 厂位于城区 Ⅱ （Ⅱ），两个区域有明显的分界线。若所有管线的铺设费用均相 同， 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用， 根据三家工程咨询公司对此项附加费用的估计，为设计院给出管 线布置方案及相应的费用。 3. 为进一步节省费用，炼油厂根据生产能力，选用相适应的油管。 这时的管线铺设费用就各不相同，拆迁等附加费用同上。给出管 线最佳布置方案及相应的费用。
，
2 3 l ，解得 C1 C2 3
问题一的解答：
2）同理：当 a b
当 a b 时，解得C1 C 2。当 a
3 10 3 3a 3b l 时， 2 C l 3 3 3
3l
8
b时，解得
C1 C 2。即方案一最佳。
问题二的解答：
2010数模试题与答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2010学年第二学期 考试科目： 数学建模考试类型：（闭卷） 考试时间： 120分钟学号 姓名 年级专业1、（满分10分）对下面这个众所周知的智力游戏，请按下列的要求写出该问题的状态转栘模型：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
将人、猫、鸡、米分别记为i = 1，2，3，4，当i 在此岸时记x i = 1，否则为0；故此岸的状态下用s =（x 1，x 2，x 3，x 4）表示。
该问题中决策为乘船方案，记为d = (u 1, u 2, u 3, u 4)，当i 在船上时记u i = 1，否则记u i = 0。
（1） 写出该问题的所有允许状态集合；（3分）解：所有允许状态集合为：S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)}及他们的5个反状态。
（2） 写出该问题的所有允许决策集合；（3分）解：允许决策集合为：D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)}（3） 写出该问题的状态转移率。
（4分）解：该问题的状态转移率为： sk+1 = s k + (-1) k d k 2、 （满分16分）根据以下的不同假设，请写出相应人口问题的微分方程模型(不用求解)。
下设x （t ）表示t 时刻的人口数。
（1）假设人口的相对增长率（指dxx dt）是常数；（4分） 解：模型为：dxkx dt=, 其中k 为常数。
（2）假定人口的相对增长率是关于当时人口数的线性减函数；（4分） 解：模型为： dxdt= (r – s x)x ， 其中r 与s 为常数，且s>0。
（3）假设人口的增长率与x m – x （t ）成正比，其中x m 表示人口的最大数量；（4分） 解：模型为：)(x x k dtdxm -=，其中k 为常数。
2010年全国数学建模B题答案
2010年上海世博会对居民消费结构影响力的定量评估摘要本文从世博会的筹备期间（2003年---2009年）对上海居民消费结构的影响进行定量评估研究。
消费结构是一项反映居民消费水平的重要指标，包含居民的收入水平、消费支出、消费分类三部分[1]。
为了全面反映和研究居民的生活消费状况，我们采取了一系列相互联系的统计指标对上海居民的消费结构进行定量研究。
在对大量的数据分析基础上，研究了上海市居民的收入水平的变化；并且从上海市的几个主要消费群体来分析上海市居民的收入与支出的变化情况；对消费分类的研究，我们选取了食品、衣着、居住、家庭设备用品及服务、交通和通信、文教娱乐用品及服务、医疗保健、商品和服务作为消费分类的八项指标，利用主成分分析的方法对各个主成分进行了详细的定量分析，并运用matlab编程利用曲线拟合的方法做了假设不存在世博会时的预测，再将所搜集到的实际值与预测值作差，我们定义该差值为影响力指数，通过影响力指数的大小来说明上海世博会对上海市居民消费分类的影响，影响力指数越大，说明世博会对上海居民消费结构的影响越深，进而定量评估了上海世博会对上海市居民的消费结构的影响情况。
消费结构的升级产生的经济势力是持久强大的，了解了上海世博会的对上海居民消费结构的影响后，若能顺势调控，则能充分带动经济的发展，为支撑我国国民经济的稳定快速发展提供动力。
关键词：消费结构主成分分析定量评估预测曲线拟合 matlab一 问题的提出2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会.从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台.请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力.二 符号说明np x 第n 个样品的第p 个指标 X标准化数据矩阵R 变量的关系矩阵p λ 关系矩阵的特征值p μ p λ所对应的单位特征向量i y 第i 个主成分y 1995年到2002年dy 影响力指数三 模型的假设1、本文所作的影响力评估是针对上海市居民的消费结构.2、本文所作的影响力评估仅限于世博会筹备期间及召开期间的居民消费结构.3、消费结构是一项反映居民消费水平的重要指标，要全面反映和研究居民的生活消费状况，包含居民的收入水平、消费支出、消费分类三部分.4、上海居民消费由食品、衣着、居住、家庭设备用品及服务、交通和通信、文教娱乐用品及服务、医疗保健、商品和服务八部分组成.5、居民的收入是决定居民的消费水平和消费结构的主要因素，收入水平的高低直接决定消费水平的高低.四 模型的建立及求解上海是我国最大的经济中心城市,随着2010年上海世博会的日益临近,将对上海经济发展发挥巨大的作用.投资、消费和出口被称为经济发展的三架马车，2010年的世博会为上海经济发展提供了会前的投资拉动和会后的需求拉动两个方面的刺激，消费是需求的基础，有效地投资必须准确的把握需求的变化.消费是人们为了满足生活需要而消耗产品和服务的行为和过程, 是满足人们生存、发展和生活享受所必需的行为.人们基本的消费状况, 既能反映需求规律, 又成为其他需求的基础,因此, 评估消费状况和需求趋向便成为政府和企业了解市场的起点.据中国社科院的研究, 2001年投资、消费和出口对国内GDP 增长的贡献分别是77%、34%和-11%. 从2002 年上海的统计数据来看, 同样是外需下降、出口下滑, 依靠增幅达31.7%的社会固定资产投资和9.8%的社会消费品零售总额的增长, 才保证了上海经济10.4%的高速增长.由此也可以看到投资和消费是推动上海经济发展的两个最基本因素。
2010数学建模竞赛C题解答
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）C题输油管的优化布置某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。
由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。
1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。
在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。
2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。
两炼油厂的具体位置由图1所示，其中A厂位于郊区（图中的Ⅰ区域），B厂位于城区（图中的Ⅱ区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。
图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。
图1 两炼油厂的具体位置图若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。
铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。
估算结果如下表所示：请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。
3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。
这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。
请给出管线最佳布置方案及相应的费用。
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题解答问题1：如图1，设P的坐标为(x, y)，(x≥ 0，y≥ 0)，共用管道的费用为非共用管道的k倍，模型可归结为2222)()()(),(min ybxlyaxkyyxf-+-+-++=只需考虑21<≤k的情形（不妨假设ba≤）。
对上述二元费用函数求偏导，令()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+----+--==-+----+=,,22222222ybxlybyaxyakyxfybxlxlyaxxyxfyx（＊）结合图1，将（＊）式改写为⎩⎨⎧=+=-kβαβαsinsincoscos，易知：24coscos,2sinsin2kk-====βαβα所以24tantankk-==βα，故经过AP和BP的直线方程分别为：xkkay24--=-①()lxkkby--=-24②联立①、②解方程组得交点()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---=22421,421kklbayabkklx因为x≥ 0，y≥ 0，所以l应满足：()a b k k l --≥24 且()a b kk l +-≤24 （a ）当 )(42a b kk l --≤时，此时交点在y 轴上，将0=x 代入①式，可得),0(a P =，即交点P 与A 点重合（如图2）。
2010年数学建模试题(全部)
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A 题 储油罐的变位识别与罐容表标定通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。
图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。
请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的一般关系。
请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学的罐地平线 图1 储油罐正面示意图 油位探针2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）B 题 2010年上海世博会影响力的定量评估 20101851年伦互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）C 题 输油管的布置某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。
2010年数学建模C、D题解析
4 − k2 l a+b k 1 P =( (b − a) + , − l ) ，此时 f min = [k (a + b) + l 4 − k 2 ] ； 2k 2 2 2 2 4 − k2
*
ab 4 − k2 （3）当 l ≥ (b + a ) 时， P* = ( , 0) ，此时 f min = (a + b) 2 + l 2 . a+b k 对共用管道与非共用管道相同的情况，只需令 k = 1 即可. 此问的优化模型实际上有两个约束条件 x ≥ 0, y ≥ 0 . 上面得到（1）（2）（3） 、 、 ，
关于学生论文中的几种情形
1．讨论不全面，很多队没有给出什么条件下不用公 用管道；有些虽有讨论，但不清晰，一定要用已知参数的 关系来讨论. 2．有些同学用镜面反射，Ferma定理，这些只适用于 各种管道费用相同的情形，即只适用第1问中的特殊情形 ，后面仍然要建立优化模型，对整个论文并没有增添什么 色彩. 之所以采用这两种方法，主要是参考了《两城镇取 水管线的最短铺设》和《泵站选址与水管铺设》两篇论文 . 不少学生根本就没有弄清Ferma定理，叙述Ferma定理就 不正确. 另外，用了文章就应引用为参考文献. 3．不少论文叙述混乱，符号混淆，图形不合理.
2012-4-28 费浦生 feipusheng@
关于C题《输油管的布置》的第3问
3．设输送 A 厂的管线为 k1 = 5.6 万元／km，输送 B 厂的管线为 k2 = 6.0 万 元／km，共用管线费用为 k3 = 7.2 万元／km，拆迁等附加费用同上. 请给出管 线最佳布置方案及相关费用. 总费用表达式为
2010年数学建模集训小题目解答.pdf1
12 10 6;
enddata min=@sum(link:c*x); @for(num(i):@sum(num(j):x(i,j))=1); @for(num(j):@sum(num(i):x(i,j))=1);
2．某厂生产三种产品 I，II，III。每种产品要经过 A, B 两道工序加工。设该厂有两种规格的 它们以 A1 , A2 表示； 有三种规格的设备能完成 B 工序， 它们以 B1 , B2 , B3 设备能完成 A 工序， 表示。产品 I 可在 A, B 任何一种规格设备上加工。产品 II 可在任何规格的 A 设备上加工， 但完成 B 工序时，只能在 B1 设备上加工；产品 III 只能在 A2 与 B2 设备上加工。已知在各种 机床设备的单件工时，原材料费，产品销售价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床 设备的费用如表 3，求安排最优的生产计划，使该厂利润最大。
@for(link:@bin(x)); end
4．某公司新购置了某种设备 6 台，欲分配给下属的 4 个企业，已知各企业获得这种设备后
年创利润如表 5 所示，单位为千万元。每个企业至少分配 1 台设备，问应如何分配这些设备 能使年创总利润最大，最大利润是多少？
表5 企业 设备 1 2 3 4 5 6 甲 4 6 7 7 7 7 各企业获得设备的年创利润数 乙 2 4 6 8 9 10 丙 3 5 7 8 8 8 丁 4 5 6 6 6 6
该厂根据订单至少需要生产 600 公斤高级奶糖，800 公斤水果糖，为求最大利润，试建 立线性规划模型并求解。 用 j = 1,2,3 分别表示原料 A， B， C。 设 xij （ i = 1,2 ， 解： 用 i = 1,2 分别表示高级奶糖和水果糖，
数学建模2010年B题
(11)
(12)
3问题3分析及建模
• 3.1模型误差分析 • 模型数据与实验数据比较, 进行误差计算
• 3.2有效触底位置分析与建模 • 现实中发生溃坝溃堤时，投入溃口的重物落水后受 到水流阻力的作用会向下游移动，为了使封堵用的 重物落水后能够落到预想的位置，必须掌握掌握落 水后的运动过程，在预定沉底位置的上游一定距离 投放一定质量的重物。 • 为了解决这个问题，首先要把重物的运动过程分析 清楚，由前两个问题的分析基本推导出了重物从被 抛出到落入水中直至触底的运动过程，即从被抛出 到入水前是做自由落体运动，到达水面时获得一定 的入水速度。入水后运动可分为水平方向和竖直方 向两个方向的运动。
• (2) 水的流速和温度。溃坝处的流速是封堵溃口问题必须 考虑的因素之一，水的流速大小会影响到重物在水中的运 动轨迹。水具有流动性，是介于气态和固态物质属性之间 的一种物质形态，具有分子的可流动性和体积不可压缩性 两大特点。水分子在不停的无序运动，并且以水的温度所 标示的气体分子的运动速度在运动。液体的粘滞系数和液 体的温度有一定的关系。随液体分子运动速度的增加而减 小。当水温升高的时候，随着水分子运动速度的增加，那 么会使水的粘滞系数减小。因此，水的温度会对实验产生 一定的影响。
• 方砖落水后受到重力、水对它的浮力及水流阻 力的作用，其运动轨迹可分解为水平和竖直两 个方向的运动。其中在水平方向上，方砖受到 水的推力（即水流阻力），这时方砖的控制运 动方程可列为： d 2x • (3) m F
dt 2
阻
• 而在竖直方向上，方砖在水中受到向上的浮力 和水流阻力及向下的重力，此时方砖的运动方 程可列为 d y • (4) m G F ' F
2010年全国数学建模竞赛D题的答案
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）D题对学生宿舍设计方案的评价学生宿舍事关学生在校期间的生活品质, 直接或间接地影响到学生的生活、学习和健康成长。
学生宿舍的使用面积、布局和设施配置等的设计既要让学生生活舒适，也要方便管理, 同时要考虑成本和收费的平衡, 这些还与所在城市的地域、区位、文化习俗和经济发展水平有关。
因此，学生宿舍的设计必须考虑经济性、舒适性和安全性等问题。
经济性：建设成本、运行成本和收费标准等。
舒适性：人均面积、使用方便、互不干扰、采光和通风等。
安全性：人员疏散和防盗等。
附件是四种比较典型的学生宿舍的设计方案。
请你们用数学建模的方法就它们的经济性、舒适性和安全性作出综合量化评价和比较。
对学生宿舍设计方案的评价摘要本文主要从经济性、舒适性、安全性三个方面对四种学生宿舍的设计方案做出综合量化和比较。
在评价过程中，主要运用了模糊决策和层次分析法，并利用MATLAB软件进行求解。
由于本问题的许多条件比较模糊，具有隐藏性，我们先对附件中的数据进行预处理，从中提取与评价相关的因素，然后利用层次分析法确定各准则对目标的权重，从而建立学生宿舍设计方案的评价模型。
具体结果为：（1）经济性方面：得出四种学生宿舍设计方案在此方面的的组合权向量为：.0,04405627.0(，根据指标越小，优先选择程度越大的准则得出：1668).0,2265.0,方案1是经济性最优的，其次为方案4、方案3，最后为方案2。
（2）舒适性方面：得到组合权向量为：).0,.0(，根530111241999.0,1576.0,据指标越大，优先选择程度越大的准则得出：方案2是舒适度最高的，其次为方案4、方案3，最后为方案1。
（3）安全性方面：得到组合权向量为：).0,41580935.0(，利2223.0,.0,2684用和（2）同样的准则，得出了方案2是安全性最强的，其次为方案3、方案4，最后为方案1。
数学建模2010A题
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则． 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题. 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的， 如果引用别人的成果或其 他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性.如有违反竞 赛规则的行为,我们将受到严肃处理。
许多储油罐在使用一段时间后,由于地基变形等原因,使罐体的位置会发生 纵向倾斜和横向偏转等变化(以下称为变位)，从而导致罐容表发生改变.按照有 关规定,需要定期对罐容表进行重新标定.图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示 意图,其主体为圆柱体，两端为球冠体.图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图 ３是罐体横向偏转变位的截面示意图。
我们参赛选择的题号是（从Ａ／Ｂ/C/D 中选择一项填写）：
A
ﻩ我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）:
所属学校（请填写完整的全名）：
南通大学
参赛队员 （打印并签名） ：1.
２.
3。
指导教师或指导教师组负责人 （打印并签名):
7月 7日
日期: 201６ 年
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）:
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两 端平头的椭圆柱体）,分别对罐体无变位和倾斜角为 =4.10的纵向变位两种情况 做了实验，实验数据如附件1所示.请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影 响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。 (2)对于图1所示的实际储油罐,试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型, 即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度 和横向偏转角度 ）之 间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件２）, 根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为 10cｍ的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型 的正确性与方法的可靠性。
数学建模10年竞赛题及参考答案
第七届数学建模竞赛与第一届数学竞赛赛题2010-5-16系部 班级 学号 姓名 成绩2010桂林理工大学第一届数学竞赛赛题1、请叙述高等数学的主要内容。
（10分）2、将累次积分rdr r r f d ⎰⎰2cos 0)sin ,cos (πθθθθ化成直角坐标下的累次积分。
（5分） 3、已知正项级数∑∞=1n n a 发散，判定级数∑∞=+11n nna a 的敛散性。
（5分） 4、设)(t x x =由方程0sin 12=-⎰--t x u du et 所确定，请计算022=t dtxd 。
（10分）5、求0)1(22222=--++dy x y y x ydx x ，10==x y 的特解。
（10分） 6、设)(x f 具有二阶导数，在0=x 的某去心邻域内0)(≠x f ，且0)(lim=→xx f x ， 4)0(''=f ，请计算xx x x f 10)(1lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→。
（10分） 7、设00,21,2,)21ln()(=≠->⎪⎩⎪⎨⎧+=x x x x x x f 且，请计算)0()100(f 。
（10分） 8、设)(lim 1x f x →存在，)(x f 在]1,0[上可积，且恒有)(lim 3)(243)(112x f dx x f x x x f x →--+=⎰，求)(x f 。
（10分）9、设)(x f 在),(+∞-∞内可导，且)(lim )(lim x f x f x x +∞→-∞→=，证明存在),(+∞-∞∈c 使0)('=c f 。
（10分） 10、计算dS zx ⎰⎰∑2，其中∑是柱面az z x 222=+被锥面22y x z +=所截下的部分。
（10分）11、设)(x ϕ二阶连续可导，L 为不过y 轴的任一闭曲线，且曲线积分0)('])()('[2=--+⎰dy x dx x yx x x x Lϕϕϕ，求函数)(x ϕ。
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛赛题C题
将 E 点代入模式二可以得到 f (6,3.7) = 178.56+5T
根据三家工程咨询公司对铺设在城区的管线还需要增加拆迁和工程的补偿 等附加费用的估计的结果，在三家工程咨询公司的资质级别不相同的情况下，对 他们所作出的估价进行评估有着重要的作用，根据参考文献[2],对这类问题,我 们不能只对公司一的结果做出较大的肯定，要对其余两家公司的结果也需要认 可，所以我们可以根据三家公司的实力来估算他们所的出估计价格比重 .因此可 以这样安排,公司一的估价所占的比重为百分之四十，其余的两家公司估价所占 的比重均占百分之三十.
7
二是比模型一更为节省资金的一种方案. 因为模型二是较优化的一种方案，所以只针对于模型二进行求解. 对模型求偏导
f 'XO (xo, yo ) = (
xo
−
( yo
−
a)2
+
x
2 o
c − xo
)•K,
(b − yo ) 2 + (c − xo ) 2
f 'yO (xo, yo ) = (
yo
−
( yo
由点 E 与点 B 的连线所形成的直线函数为：y= b − yo x + b − b − yo l ，可求点
l − xo
l − xo
F
的坐标为
F
⎛ ⎜⎜ ⎝
c,
(b
− yo l−
)(c
xo
−
l
)
+
b
⎞ ⎟⎟ ⎠
.
EF 之间的距离为
[ (b − yo )(c − l) l − xo
+b−
yo ]2
+ (c −
2010数学建模试题(数学系各专业)
第一部分：基本操作（任选三题）（1）求当 x =1, y =2 时的z值。
其中：z =（2）用 while 循环求 1～200 之间的整数之和。
（3）输入如下两个矩阵 A 和 B ，对矩阵 A 和 B 作关系运算，标识出两矩阵中元素相等的位置，元素值不等的位置，并标识出矩阵 A 中所有小于 0 的元素。
143328523B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦123213321A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ （4）编写一个 M 文件，画出下列分段函数所表示的曲面。
2222220.75 3.75 1.560.75 3.75 1.50.54 1(,)0.7575 110.5457 1x y y x y x y y e x y p x y e x y e x y -------+⎧+>⎪⎪=-<+≤⎨⎪+≤-⎪⎩（5）用曲面图命令 surf 表现函数22z x y =+的图像。
（6）绘制颜色为蓝色，数据点用五角星标识的下述函数在(0,5)上的虚线图。
sin xy xe=（7）编写一个 M 文件，画出下列分段函数所表示的曲面。
2222220.75 3.75 1.560.75 3.75 1.50.54 1(,)0.7575 110.5457 1x y y x y x y y e x y p x y e x y e x y -------+⎧+>⎪⎪=-<+≤⎨⎪+≤-⎪⎩（8）用plot 、fplot 绘制函数y=cos(tan(πx))图形（9）用ezplot 绘制函数exy-sin(x+y)=0在[-3，3]上图形。
（10）在同一平面中的两个窗口分别画出心形线和马鞍面。
要求 （1）、在图形上加格栅、图例和标注 （2）、定制坐标 （3）、以不同角度观察马鞍面第二部分：基本建模题（任选两题）问题一：俗话说“大饺子能装馅”，是组建一个“包饺子”的数学模型并进行分析，判断这一说法是否正确。
问题二：层次分析法使用层次分析法解决一个实际问题，比如，为学校评选优秀学生过优秀班级构造层次分析模型；给自己毕业后选择工作做出决策；为高中毕业生建立一个填报志愿的层次结构模型。
2010年数学建模C题参考答案
输油管的布置摘要本文建立了关于布置输油管管线费用最省的优化模型，针对问题，我们做 出了合理的简化假设，利用lingo 软件，最终对问题进行了求解.对于问题一，我们从非共用管道和共用管道（费用相同与不同）考虑一炼油厂1A 、另一炼油厂2A 和车站k 看成平面上三点，构建动态三角形k A A 21.求出费马点P 的具体位置.使其在费用相同情况下得出总费用最小值S ：12311323213212322212/)()()()(3[S X X X X X X X X X X X X X X X S ⨯++⨯-+⨯-+⨯+++++= 费用在不同情况下，假设费用为1S 和2S ，与S 关系式为：271274328)2(S X S X X X X S ⨯+⨯⨯-++= 对于问题二，在城区铺设管道的建设附加费用以经验法得出为21.4（万元/千米）.我们还是通过对非共用管道和共用管道进行分析建立模型，铺设费用均相同，计算得出非共用管道费用最小=S 337.5362，共用管道费用最小8.281=S ，比较可得出当两炼油厂共用管道时，共用管道费用最小.通过检验可确定为最优解，得到最佳管线布置方案.对于问题三，我们可以应用前面模型解答，改变铺设费用的系数，代入前面模型可得费用取得最小值为210.84，即可得到最佳设计方案.该模型用图表与文字结合来说明求解，直观、通俗易懂.关键词 费马点 经验法 共用管道 lingo一、问题的重述某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂,同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油.由于这种模式具有一定的普遍性,油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法.1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形,提出你的设计方案.在方案设计时,若有共用管线,应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形.2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计.两炼油厂的具体位置由附图所示,其中A厂位于郊区（图中的I区域）,B厂位于城区（图中的II区域）,两个区域的分界线用图中的虚线表示.图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a= 5,b = 8,c = 15,l = 20.若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元. 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用,为对此项附加费用进行估计,聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质,公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算.估算结果如下表所示：工程咨询公司公司一公司二公司三附加费用（万元/千米）21 24 203. 在该实际问题中.为进一步节省费用,可以根据炼油厂的生产能力,选用相适应的油管.这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元,输送B厂成品油的每千米6.0万元,共用管线费用为每千米7.2万元,拆迁等附加费用同上.请给出管线最佳布置方案及相应的费用.二、问题的分析本文是一个关于输油管的布置以及建设费用最省的优化问题,建设总费用与输油管的长度和输油管的铺设费用有关，对于问题一，我们可以从非共用管道和共用管道（费用相同与不同）考虑，费用相同的情况：一炼油厂1A 、另一炼油厂2A 和车站k 可看成平面上三点，可构建动态三角形k A A 21，在不同三角形中费马点的位置不同.可把三角形形状分为三类，分别求出费马点的具体位置. 距离最短即建设总费用最小，费用不同情况：假设费用分别为1S ，2S .可得到总费用S 与1S ，2S 之间的关系式.对于问题二，已知两炼油厂的具体位置，我们还可从非共用管道和共用管道进行分析建立模型. 城区建设附加费可通过经验法求得. 最短路程不一定是最少费用非共用管道和共用管分别可以按X 的范围分别分为两类（c X ≤≤0和l X c ≤≤）.最终可求最小费用S ，得到最佳布置方案.对于问题三，我们可以应用前面模型，分别以不同的铺设费用，代入前面模型可得费用取得最小值.得到最佳设计方案.三、模型的假设1.假设所选的区域地势平坦， 没有障碍物；2.假设铺设工程顺利进行，不再因其他因素而增加铺设管道的费用；3.假设不考虑市场因素对输油管价格的影响；4.假设铁路和两炼油厂两两之间至少保持安全距离.四、符号的定义1. 铺设每公里非共用输油管线的费用为1S ；2. 铺设每公里共用输油管线的总费用为2S ；3. 总费用为S ；4. 在城区所增加的附加费用为1W ；5. 铺设输油管线的总长为X ；五、模型的建立与求解建设总费用与输油管的长度和输油管的铺设费用有关.模型一的建立与求解针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形去建立模型,根据铺设每公里共用管线与非共用管线的费用相同与否.对其进行分类.当铺设每公里共用管线与非公用管线的费用相同时,根据“费马点”（证明见附录）在车站和两炼油厂三点所构成的三角形中的不同位置,我们可以将其分成三类.设甲厂1A 到车站k 的距离为1X ,乙厂2A 到车站k 的距离为2X ,甲厂到乙厂之间的距离为3X ,铺设每公里非共用管线的费用为1S ,铺设每公里共用管线的费用为2S ,总费用为S 总路程为X .（1）当甲乙两厂和车站的相对位置如下图所示,角1A 大于或等于120时.根据费马点的证明（见附录）我们可以算出甲,乙两厂到车站的最短距离31X +X =X最少费用2113S S S ⨯X +⨯X =（2）当两个厂按角k 大于或等于120度分布时,如下图所示;甲厂1A 车站k 乙厂2A1X2X3X同样，根据费马点的原理可知,其最短路程21X +X =X .其费用()121S S ⨯X +X =.(3) 当两炼油厂和车站三点所构成的三角形中的三个角均小于120度分布时,如下图所示;根据“费马点的证明（见附录）”可以求出最短路程2/)()()()(3[23113232132123222121X X X X X X X X X X X X X X X Pk PA PA ++⨯-+⨯-+⨯+++++=++其费用12311323213212322212/)()()()(3[S X X X X X X X X X X X X X X X S ⨯++⨯-+⨯-+⨯+++++= 当铺设每公里的共用输油管与非共用管线的费用不同时,假设两炼油厂的位置任意如图)1(分布,车站设在铁路线上的任意一点k 上.设共用管线的距离为7X .A 和1A 点关于铁路线对称,11k A 交12k A 相交于点1B .1A 到铁路线的垂直距离为3X ,2A 到铁路线的垂直距离为4X ,两炼油厂投影在铁路线上的水平距离为8X ,设每公里非共用管线的费用为1S ,铺设每公里共用管线的费用为2S ,总费用为S .非共用管线的长度11k A +12k A =2AA =274328)2(X X X X ⨯-++ (370X X ≤≤)共用管线的长度：7X车站k甲厂1A乙厂2AP 甲厂1A车站k 乙厂2Ak1X 2X因此,当铺设每公里的共用输油管与非共用管线的费用不同时.其最省费用为.271274328)2(S X S X X X X S ⨯+⨯⨯-++=模型二的建立与求解由题已知两炼油厂的具体位置为点A 和B 点，在非共用管线情况下：如下图所示 车站F 在如图特殊位置时，得到结果为：4.212.0202.0246.0211=⨯+⨯+⨯=W假设以点C 为原点，建立坐标，车站F 的坐标为（X ，0），经过交界线的点为H 坐标为（C ，H ）)80(≤≤H当150≤≤X ，如图（一）利用几何中勾股定理，可得：22x a AF +=，22)(x c h FH -+=，22)()(h b c l HB -+-=，1)(W EB C HB HF AF S ⨯+⨯++=，A1Ak1k 3X 4X5X 6X 7X2A8X图（1）（一） （二） （三）利用lingo 软件，解得：=S 337.5362 25.7=X 94.6=H当2015≤≤X ，如图(二)利用几何中勾股定理，可得： 22)(h a c AH -+=22)(x c h FH -+=22)(b x l FB +-=()()1W FB HF C FB HF AH S ⨯++⨯=+=利用lingo 软件，解得：=S 87942.4 99480.19=X 4739589.0=H模型二的结果分析和检验在非共线条件下，当25.7=X 94.6=H 时.模型能得到最小值=S 337.5362，此方案即为所求设计方案.我们为了检验模型结果的可靠性，故选择三个特殊点代入，得：当车站B 在C 点时，即（0=X ），=S 372.44当车站B 在分界线时，即（15=X ），=S 348.729当车站B 在D 点，即（20=X ），=S 502.94由上述三点可知模型结果为最小点.此设计方案可行.C AD C F B c lC A E DB模型三的建立于求解存在共用管道的情况下； 设共用管道EF 的距离为Y ，共用管道与非共用管道的交点F ，坐标为（Y X ,）（80≤≤Y ），经过交界线的点为H ，坐标为（C ，H ）)80(≤≤H .（1）当150≤≤X ，利用几何中勾股定理，可得：22)(X Y a AE +-=22)()(X c Y H FH -+-=，22)()(c l H b HB -+-=，1)(W HB C HB FH Y AF S ⨯+⨯+++=，利用lingo 软件，解得：8.281=S 30114.14=X 74.6=Y 14.7=H当2015≤<X ；利用几何中勾股定理，可得：22)(C H a AH +-=，22)()(C X Y H HF -+-=，22)()(X b Y b FB -+-=，1)()(W FB FH C FB HF AH S ⨯++⨯++=利用lingo 软件，解得：3088.302=S 15=X 309.1==Y HC A E BD C AE B D C A DE B (1)模型三的结果分析和检验存在共用管道的情况下，当30114.14=X 74.6=Y 14.7=H 时，模型能得到最小值8.281=S .为了检验模型结果的可靠性我们将特殊点带入检验：如图（1）（1）当共用管道为AC 时，S =342（2）当共用管道为HF 时，312=S（3）当共用管道为FD 时，290=S通过比较可知模型结果准确无误.在模型二和模型三的比较中，模型三中费用最小值8.281=S 为最佳设计方案.模型四的建立于求解模型四可在模型三的基础上求解.在其它情况不变的条件下，只改变铺设费用的大少.得:FE HB FH AF S ⨯++⨯+⨯=2.7)(0.66.5 （150≤≤X ） （1）Y X l Y b c X Y H H a c S ⨯+-+-⨯+-+-+-+⨯=2.7)()(0.6))()()((6.5222222（1520≤≤X ） （2）解（1）得：0617.221=S 867288.6=X 042522.0=Y 0678.7=H(2) 得：84.210=S 15=X 0=Y 23.0=H由此我们可以得知，在15=X , 0=Y , 23.0=H 时，费用取得最小值为210.84，即可得到最佳设计方案.(6) FC AE D C AF DB HH B E(5)六、模型的进一步讨论在模型一中，我们采用的是优化模型，也就是说我们假设了厂址的可选区域是地势平坦的，对正常的管线铺设施工的基本是没影响的。
2010年数学建模c题
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：天津机电职业技术学院参赛队员 (打印并签名) ：1. 黄海凯2. 张备军3. 吴观富指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：教师指导组日期： 2010 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：关于输油管布置问题的讨论一、摘要管道是石油生产过程中的重要环节，是石油工业的动脉。
在石油的生产过程中，自始至终都离不开管道。
本文综合考虑炼油厂的能力及建立管线所需费用等因素的影响，对某油田计划的输油管布置问题进行了研究讨论。
针对问题一我们运用三角形的两边之差小于第三边的几何定理，采取非线性规划的方法来分别讨论共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形，对部分油管采用共用管线,列出了两种类型。
在问题一的基础上，对问题二中的实际复杂情形进行考虑，特别对城区管线的附加费用，通过国家对甲级资质和乙级资质的规范性进行分析，选择了公司一完成城区管线的拆迁工程，对问题二中的三种不同的情况，分别设计了管线布置的方案，并根据最优化的方法得出最佳方案。
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题
储油罐的变位识别与罐容表标定摘要随着工业革命的来临，人们逐步机器生产代替手工业制造，燃油也成为了热门话题.储油罐作为加油站常用的贮存设施，对油品在不同液面高度时的贮油量进行精确的计量变得尤为重要，燃油灌的变位识别与罐容表的标定可以对油位计量管理系统需要进行定期校正，以提高其测量准确度.本文为了研究储油罐的变位识别与罐表标定，通过参照卧式储油罐罐容表的工作原理，以及纵向倾斜对罐容表的影响，再利用实际检测数据建立三个模型进行求解.首先，为解决罐体无变位和变位后罐内油位高度与储油量的关系.分别建立变位前后有为高度与储油量的关系模型（未变位模型与变位后模型，其中变位后分三种情况），通过MATLAB积分得到V和H的关系式，再结合Excel附件表格以高度间隔为1cm的前提分析变位前后的有关出油量，并求出了差值研究出油罐体变位后使得储油量增长了大概100L—200L；再者，借鉴变位后模型建立问题二的模型，同样通过积分求出罐内储油量V与油位高度H及纵向倾斜角度a和横向偏转角β关系式，然后用拟合和最小二乘法粗略估计参数a和β.从而用软件算出以高度间隔为10cm为前提的罐容表标定值.根据excel附件表格2的相关数据，虽然模型求解的结果与实际有误差，但误差在允许范围，说明我们的模型建立是正确的.关键词：卧式储油罐积分法差值最小二乘法标定油品体积一、问题重述1.1 背景资料与条件通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况.许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变.按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定.图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体.图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图.（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示.请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值.（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的一般关系.请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值.进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性. 如图油油浮子出油管油位探测装置注油口 检查口地平线 2m6m1m1m3 m油位高度图1 储油罐正面示意图油位探针油位探针α地平线 图2 储油罐纵向倾斜变位后示意图油油浮子出油管油位探测装置注油口 检查口水平线图3 储油罐截面示意图（b ）横向偏转倾斜后正截面图地平线β地平线垂直线油位探针（a ）无偏转倾斜的正截面图油位探针油位探测装置地平线油3m油 (b) 小椭圆油罐截面示意图α油油浮子 出油管油位探针注油口水平线2.05m0.4m1.2m1.2m1.78m(a) 小椭圆油罐正面示意图1.2需要解决的问题（1）我们需要掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位的实验数据，建立数学模型算出理论与实际之间的差值从而研究罐体变位后对罐容表的影响，并对高度进行赋值，给出罐体变位后油位高间隔为1cm的罐容表标定值.（2）利用图1，建立罐体变位后标定罐容表的数学模型.利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据确定变位参数给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值.二、问题分析针对问题一我们对椭圆柱体无变位时罐内油位高度与储油量的关系、椭圆柱体倾斜角为α=4.1 的纵向变位罐内高度与储油量的关系进行探讨.建立未变位模型求解出无变位时的油位高度和储油量的关系，建立变位后模型，分三种不同情况分别求解出变位后管内高度与储油量的关系.结合两个模型与excel附件表格1求解出差值从而确定罐体变位对罐容表的影响，并确定变位后油位高度间隔1cm的罐容表标定值.针对问题二我们对主体为圆柱体两端为球冠体的储油罐纵向倾斜角度为α和横向偏转角度为β时罐内油位高度与储油量的关系进行分析，建立了问题二的模型，得出v和H关系，并运用积分法和MATLAB软件，以及最小二乘法处理问题二模型的数据，从而得出参数，问题二模型中中的α较小，因而可以把球冠体内的液面看成平行储油罐底面，最后给出说明，从而完成储油罐的变位和识别.三、基本假设（1）、假设储油罐加油后始终不变形（2）、假设纵向倾斜角α为小角度（3）、假设横向偏转角β为小角度（4）、假设油浮子能够随着页面的升高正常滑动所给假设数据不存在误差（5）、假设所给假设数据不存在误差（6）、假设温度不影响测量结果（7）、假设油品密度不影响测量结果四、符号说明s——侧面面积a——椭圆长半轴b——椭圆的短半轴L——椭圆柱的长度v——储油量H——油浮子到油位探针底端距离α——纵向倾斜角度β——横向偏转角度五、模型的建立与求解5.1问题一的模型 5.1.1未变位时模型5.1.1.1未变位时模型的建立不变位时椭圆柱体的标定罐容表如下图所示：将椭圆柱体（如上图所示）竖切得出一个椭圆截面，并以椭圆中心为原点建立坐标轴得出下面这个图形.则椭圆方程为：22221x y ab+=由上式可得：22a xb y b=-则上图椭圆截面的面积为：122H b s ab xdyπ-=+⎰=21arcsin(1)()22H a ab ab H b bH Hbbπ+-+--从而得到储油量为2.45s v Ls ==5.1.1.2模型求解运用matlab （代码见附录）求出：267267558989s=+arcsin(1)()10005003560100H H H π-+-130831308354958989arcsin(1)()2000010000310060100H H H v π=+-+-(代码见附录)5.1.2变位后模型5.1.2.1变位后模型的建立将上图如下图所示建立坐标轴，其中z 轴为油位探针，原点定位于油位指标（z ）在油罐体内部的中心点上.从而得到直线AB 的方程为()tan tan z H b xz H b x αα--=-=--推出上面椭圆形图阴影部分面积为：tan 2222()1tan (tan )()arcsin()(tan )2H b x ba s xb z dzbx a H b x s x ab ab H b b H b x bbαααπα---=---=+--+---⎰下面分三种情况来求储油量 第一种情况：当0tan H L α<<时下图阴影部分体积为tan 0.4()Hv s x dx α-=⎰第二种情况：当02tan H b L α<<-时 下图阴影部分体积2.050.4()v s x dx-=⎰第三种情况：当2H b >时 下图两个阴影部分的面积分别为2'10.42.05'22tan ()()H b H b v s x dx v s x dx α---==⎰⎰于是储油量为12v v v =+5.1.2.2变位后模型的运用与求解（1） 用MATLAB 分别出变形前后高度相隔1cm 的体积与差值如下表所示 （2） 用excel 绘图得出油罐体变形前后差值上的波动曲线 油位高度H(m) 变位前的体积（L ） 变位后的体积V （L ） 差值V （L ）0 0 1.7 -1.7 0.01 5.3 3.5 1.8 0.02 1.49 6.3 -4.81 0.03 27.4 10 17.4 0.04 42 14.8 27.2 0.05 58.6 20.7 37.9 0.06 76.8 27.9 48.9 0.07 96.6 36.3 60.3 0.08 117.7 46.1 71.6 0.09 140 57.4 82.6 0.1 163.6 70.1 93.5 0.11 188.2 84.4 103.8 0.12 213.9 100.3 113.6 0.13 240.5 117.7 122.8 0.14 268.1 136.9 131.2 0.15 296.5 157.8 138.7 0.16 325.8 180.3 145.5 0.17 355.8 204 151.8 0.18 386.6 228.9 157.7 0.19 418.1 254.9 163.2 0.2 450.3 281.9 168.4 0.21 483.1 309.8 173.30.22 516.5 338.5 178 0.23 550.6 368.1 182.5 0.24 585.2 398.5 186.7 0.25 620.4 429.7 190.7 0.26 656 461.5 194.5 0.27 692.2 494 198.2 0.28 728.9 527.1 201.8 0.29 766 560.9 205.1 0.3 803.5 595.2 208.3 0.31 841.5 630.1 211.4 0.32 879.9 665.6 214.3 0.33 918.6 701.5 217.1 0.34 957.8 738 219.8 0.35 997.2 774.9 222.3 0.36 1037.1 812.2 224.9 0.37 1077.2 850 227.2 0.38 1117.6 888.2 229.4 0.39 1158.3 926.7 231.6 0.4 1199.3 965.7 233.6 0.41 1240.5 1005 235.5 0.42 1282 1044.6 237.4 0.43 1323.7 1084.5 239.2 0.44 1365.7 1124.8 240.9 0.45 1407.8 1165.3 242.5 0.46 1450.1 1206.2 243.9 0.47 1492.6 1247.2 245.4 0.48 1535.3 1288.6 246.7 0.49 1578.1 1330.1 248 0.5 1621 1371.9 249.1 0.51 1664.1 1413.9 250.2 0.52 1707.2 1456 251.2 0.53 1750.5 1498.4 252.1 0.54 1793.8 1540.9 252.9 0.55 1837.3 1583.5 253.8 0.56 1880.8 1626.3 254.5 0.57 1924.3 1669.2 255.1 0.58 1967.9 1712.2 255.7 0.59 2011.5 1755.3 256.2 0.6 2055.1 1798.5 256.6 0.61 2098.7 1841.8 256.9 0.62 2142.3 1885.1 257.2 0.63 2185.8 1928.5 257.3 0.64 2229.4 1971.9 257.5 0.65 2272.9 2015.4 257.50.66 2316.3 2508.8 -192.5 0.67 2359.6 2102.3 257.3 0.68 2402.9 2145.7 257.2 0.69 2446.1 2189.1 257 0.7 2489.1 2232.5 256.6 0.71 2532.1 2275.8 256.3 0.72 2574.9 2319.1 255.8 0.73 2617.5 2362.3 255.2 0.74 2660 2405.4 254.6 0.75 2702.3 2448.4 253.9 0.76 2744.5 2491.3 253.2 0.77 2786.4 2534 252.4 0.78 2828.1 2576.6 251.5 0.79 2869.6 2619.1 250.5 0.8 2910.8 2661.4 249.4 0.81 2951.8 2703.6 248.2 0.82 2992.5 2745.5 247 0.83 3033 2787.2 245.8 0.84 3073.1 2828.7 244.4 0.85 3112.9 2870 242.9 0.86 3152.4 2911.1 241.3 0.87 3191.5 2951.8 239.7 0.88 3230.3 2992.3 238 0.89 3268.6 3032.5 236.1 0.9 3306.6 3072.4 234.2 0.91 3344.2 3112 232.2 0.92 3381.3 3151.2 230.1 0.93 3417.9 3190.1 227.8 0.94 3454.1 3228.6 225.5 0.95 3489.8 3266.7 223.1 0.96 3524.9 3304.4 220.5 0.97 3559.6 3341.7 217.9 0.98 3593.6 3378.5 215.10.99 3627 3414.9 212.11 3659.9 3450.7 209.2 1.01 3692 3486.1 205.9 1.02 3723.5 3520.9 202.6 1.03 3754.3 3555.1 199.2 1.04 3784.4 3588.8 195.6 1.05 3813.6 3621.8 191.8 1.06 3842 3775.2 66.8 1.07 3869.6 3785.9 83.7 1.08 3896.2 3798.2 98 1.09 3921.9 3811.9 1101.1 3946.6 3826.9 119.7 1.11 3970.1 3843 127.1 1.12 3992.5 3860.3 132.2 1.13 4013.6 3878.4 135.2 1.14 4033.3 3897.2 136.1 1.15 4051.5 3916.6 134.9 1.16 4068.1 3936.4 131.7 1.17 4082.8 3956.3 126.5 1.18 4095.2 3975.9 119.3 1.19 4104.9 3995 109.9 1.24110.1 4012.7 97.4标注：其中差值=变位前体积—变位后体积差值（L）-250-200-150-100-50050100150200250300020406080100120140差值（L）由上图表得出结论：（1）根据图、表分布情况可以看出罐体变位后体积将比未变位的体积大出100-200L 左右.（2）罐体变位后标定值如上表.5.2问题二模型 5.2.1模型的建立下图为横向偏转 角竖切得到的圆由上图得出R 、H 、β三者关系为()cos 1.5h R H R R mβ=+-=因此求出上图阴影部分面积为tan 22()h R x Rs x R z dzα---=-⎰下面分三种情况求圆柱体中的储油量第一种情况：当0tan h L α<<时根据上图求得圆柱的阴影部分体积为'tan 0.4()hv s x dxα-=⎰第二种情况：当tan 2tan L h R L αα<<-时上图圆柱阴影部分体积为2.05'0.40.4()v s x dx --=⎰第三种情况：当2h R >时上图左边1v 中的垂直截面面积为'22()h R Rs x R z dz --=-⎰上图圆柱左边阴影部分体积为2'tan 10.4()R hv s x dx α--=⎰上图圆柱右边阴影部分体积为2.0522tan ()h b v s x dxα-=⎰'12v v v =+5.2.2 模型的运用与求解由于α为小角度，求球冠体体积时，在忽略其液面倾斜对储油量的影响情况下，把右边球冠体往左移，移到储油罐正中央，把正中央的液面高度1h 作为移动后冠体（如下图）液面高度，且正中央的液面高度1=0.825tan h h α-[图1]则由上图得222=R -1+R r （）（）圆柱体半径 1.5r=计算得1.625R =下面分三个步骤对问题二进行求解第一步、计算左边球罐体总体积的一半，建立坐标系，[图2]上图阴影部分截面面积 221[(1)]2s R R x π=--+311(1)22x R x R ππππ=-+-+-上图整个缺球体积v 半=13210011(1)|62sdx x R x R x πππ=-+-+⎰11116222R R πππππ=-+-+-1162R ππ=-+如下图所示球的水平截面是一个圆，1221()h R R h r =--S 水平（h1）是阴影部分的面积（如下图）显然1)s h 水平（222121()222211122()h R R h r s ds h R R r s ds R h r s ds -----=-=---⎰⎰计算得1)s h 水平（=22111(1)2()1[()]2h r R h r R h r π-+---+--221211[()]arctan()2()1R h r R r h r -+-----用11()v h 表示图一阴影部分的体积与图二整个缺球体积的差值 从而111110()s ()h r v h h dh -=⎰水平122211101(1)2()1[()]2h rh r r h r R h r π-=-+---+--⎰221111[()]arctan()2()R h r R dh r h r -+----22231111112()2()12()2()1()()2633h r R h r h r R R h r h r Rh r ππ----------=-+-3121132a r c t a n (32()1h rR Rr h r --+----321121()3()1arctan()2()1h r h r RR xR h r -----∆---3121()(1)2arctan(32()1h r R R R R h r --+---因此，两边球冠体体积之和可以表示成112(v (h )v v =+半从而得到整个油罐体总体积'v v v =+总第二步、用MATLAB 计算出三种情况下椭圆柱体的体积以及罐容体的体积（如附录代码）.第三步、利用excel 附件二表格中的编号为301到400的数据中的油量容积和油高，再结合上面求出的罐容体的体积，运用最小二乘法进行拟合，从而求出变位参数α和β.六、模型的评价与优化6.1、模型合理性本文通过设计未变位模型、变位后模型、问题二模型有效的模拟出储油量与油位高度以及与变位参数之间的关系，具有较强的现实意义，可以在现实生活中得到广泛推广与应用.未变位模型能很好的反映出椭圆柱无变位是罐内储油量与油位高度的关系，拟合效果良好.变位后模型很好的反映三种情况下椭圆柱变位后罐内储油量与油位高度的关系，实用性较强.问题二模型可以反映主体为圆柱，两端为冠体的储油罐三种情况下罐内抽油量与油位高度以及与变位参数之间的一般关系. 6.2、模型的缺陷由于数据可得性以及准确性得不到保证，在选取的数据上存在一定的误差，虽尽量控制在合理的范围内，但还是对研究结果造成了一定的负面影响.由于对容量的测量误差、液位测量误差温度以及油品密度的因素等次要因素加以忽略从而使得结果与实际情况存在一定偏差.另外，模型拟合实验不可能与实际情况完全一致.总言之，由于以上多方面影响因素的干扰使得模型不能完全准确的分析数据、求解结果，模型仍需要修正和完善.另外在模型三中进行球冠体的体积计算时，由于液面与储油罐地面夹角较小，因而模型假设将其忽略令液面是平行于储油罐底面切面的，但实际上液面是不平行于储油罐底面切面的，所以模型与实际存在一定的误差，仍需要改进.6.3、模型的优化在建立模型时可对左右两冠体在液面不平行于冠体地面切面时分别用积分法求体积，然后相加，这样结果更加精确，更接近实际。
2010高教社杯大学生数学建模竞赛C题
输油管的布置优化问题摘要：本文研究的是管线建设费用最省问题。
针对问题一：我们首先对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂之间距离的不同情形给出了四个线路的铺设方案。
然后，对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂之间距离的不同情况，以及共用管线费用与非共用管线费用相同和不同进行了讨论，给出了方案的选择以及最优化方案时铺设管线的费用。
如表1，表2所示表1 费用相同时确定了城市建设管线附加费用的权重及费用的数值，我们从一般情况出发，考虑了是否有共用管线，建立了非线性规划的数学模型，利用Lingo程序编程，从而求出最优解为：282.6973万元，布置方案如图6所示。
针对问题三：在问题二的基础上，我们建立了一个非线性规划的数学模型，利用Lingo程序编程，从而求出最优解为：251.9685万元，布置方案如图9所示。
关键词：非线性规划层次分析法（AHP）权重Lingo程序1问题的重述1.1问题的背景某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增加一个车站，用来运送成品油。
由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。
1.2 问题的提出1.2.1 相关信息问题二中两个炼油厂的具体位置由附录1所示，图中各字母表示的是距离,三家工程咨询公司对此项附加费用的估算结果如下图,管线铺设费用均为每千米7.2万元。
问题三中的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油每千米5.6万元，输送B厂成品油每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用和问题二相同。
1.2.2 需要解决的问题①针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。
在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。
②针对给出的炼油厂的具体位置为设计院给出管线布置方案及相应的费用。
③针对给出的管线铺设费用为设计院给出管线最佳布置方案及相应的费用。
2 符号说明A 表示炼油厂AB 表示炼油厂BC 表示新建车站M 表示非共用管道的单位建设费用（单位：万元）N 表示共用管道的单位建设费用（单位：万元）Z 表示铺设管线的总费用（单位：万元）a 表示炼油厂A到铁路的距离（单位：千米）b 表示炼油厂B到铁路的距离（单位：千米）c 表示两个炼油厂的垂直距离（单位：千米）f(x) 表示所铺设的总管道长（单位：千米）3 模型假设1、炼油厂B离铁路线的距离大于等于炼油厂A的距离2、车站的位置是由最优铺设管线方案确定3、炼油厂A ，炼油厂B ，车站都看作一个点4、炼油厂A ，炼油厂B ，车站等都在一个平面内5、管道的市场价格稳定4 模型的建立与求解4.1 问题一建模与求解： 4.1.1 问题分析若管线建设费用最省，那么管线的长度应该是最短的，因此我们要设计的管线首先考虑线路最短，然后根据费用的不同考虑每段线路的长度。
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华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2010学年第二学期 考试科目： 数学建模考试类型：（闭卷） 考试时间： 120分钟学号 姓名 年级专业1、（满分10分）对下面这个众所周知的智力游戏，请按下列的要求写出该问题的状态转栘模型：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
将人、猫、鸡、米分别记为i = 1，2，3，4，当i 在此岸时记x i = 1，否则为0；故此岸的状态下用s =（x 1，x 2，x 3，x 4）表示。
该问题中决策为乘船方案，记为d = (u 1, u 2, u 3, u 4)，当i 在船上时记u i = 1，否则记u i = 0。
（1） 写出该问题的所有允许状态集合；（3分）解：所有允许状态集合为：S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)}及他们的5个反状态。
（2） 写出该问题的所有允许决策集合；（3分）解：允许决策集合为：D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)}（3） 写出该问题的状态转移率。
（4分）解：该问题的状态转移率为： sk+1 = s k + (-1) k d k 2、 （满分16分）根据以下的不同假设，请写出相应人口问题的微分方程模型(不用求解)。
下设x （t ）表示t 时刻的人口数。
（1）假设人口的相对增长率（指dxx dt）是常数；（4分） 解：模型为：dxkx dt=, 其中k 为常数。
（2）假定人口的相对增长率是关于当时人口数的线性减函数；（4分） 解：模型为： dxdt= (r – s x)x ， 其中r 与s 为常数，且s>0。
（3）假设人口的增长率与x m – x （t ）成正比，其中x m 表示人口的最大数量；（4分） 解：模型为：)(x x k dtdxm -=，其中k 为常数。
（4）对问题（3）所建立的微分方程模型计算其平衡点，并判断其稳定性。
（4分） 解：设)()(x x k x f m -=，并令0)(=x f ，得到平衡点m x x =。
（2分）又：0<-=k dxdf， （1分） 因此：平衡点m x x =为稳定平衡点。
（1分）3、（满分12分）请利用一些简单的几何关系或你所设计的观察实验等，请对下列问题进行数学建模, 包括必要的假设，符号说明，模型：（1） 如何估计鱼的重量？（4分）解：首先，测量鱼的身长（l ）和腰围（g）， （1分） 设鱼的体重为G 及体积为V ，并假设V G ∝ （1分） 则：2g l V G ∝∝ （2分）（2） 如何估计一个人体内血液的总量？（4分） 解：首先设计一个简单的实验：注射一定量的葡萄糖m ，并测定注射前人体葡萄糖浓度（设为λ1），及注射后人体葡萄糖浓度（设为λ2）。
（2分）假设注射前人体葡萄糖总量为M ，下用x 表示人体血液总量（用体积表示），则： （1分）即： （1分）（3） 请对一个动物的体重和心率之间的关系建立一个简单的数学模型。
研究已知：对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失。
（4分）解：由于动物消耗的能量P 主要用于维持体温，而体内热量通过表面积S 散失。
记动物体重为w ，则：32w S P ∝∝ （1分）又能量（P ）与从心脏到全身的血流量（记为Q ）成正比，则：Q P ∝ （1分） 设动物的心率为r ，因此qr Q =，其中q 是动物每次心跳泵出的血流量，并假设q 与w 成正比 （1分）因此，31w r ∝ （1分） 4、（满分5分）将自然数n 分解为两个因子乘积，其因子个数用d （n ）表示，如d （3）=2，因为3有二个因子1、3；d （4）=3，因为4有三个因子l 、2、解：规律是：当自然数是完全平方数时，d （n ）为奇数。
（5分）5、 （满分12分）药的剂量和用药间隔时间应该如何调节，才能保证在血液中维持安全有效的药物浓度？设H 为药物的最高安全量级，L 为最低有效量级，x 0为每次所开药物的剂量，T 为用药间隔时间。
现给定H ＝3.5mg/ml ，L ＝1.5mg/ml 。
并假定血液中药物浓度的减少速率与浓度成正比（设比例系数k ＝0.02）， （1） 写出第n 次用药期内的药物浓度变化的动力学模型；（6分） 解：第n 次用药的初始浓度为： （1分） 其中： （3分） 因此（2分）（2）请在安全有效范围内对用剂量的浓度和用药间隔制定一个用药计划，即写出每次用药的药物剂量和最佳的时间间隔。
（6分）解：每次用药剂量为：x0 = H – L = 2 mg/ml （2分）时间间隔为：6、 （满分10分）设在一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物，又长肉爬行动物和哺乳动物独自生存时服从Logistic 变化规律，植物独自生存时其生物量的增长服从指数增长规律。
现有研究发现，当哺乳动物吃食植物后，植物能释放某些化学物质对这些吃食的哺乳动物产生一定的毒害作用。
请通过适当的假设，建立这三者间的关系模型. 解：设植物、哺乳动物和食肉爬行动物的数量分别为x 1(t), x 2(t), x 3(t)假设单位数量的植物所释放的化学物质对吃食植物后的哺乳动物的毒害作用率为k ， （3分）则 11121222213223333233()[()]()x r x x x r k x x K xx r x K x x x λλμλ⎧⎪=-⎪⎪=--+--⎨⎪⎪=--+⎪⎩（7分）7、（满分13分）经过一番打探及亲身体验，你准备从三种车型（记为a,b,c)中选出一种购买，选择的标准主要有价格，耗油量大小，舒适程度和外表美观。
经反复思考比较，构造了它们之间的成对比较矩阵13781/31551/71/5131/81/51/31A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦01()()(0)n n n n dC t kC t dt C C R -⎧=-⎪⎨⎪=+⎩1kT R C e -=12()kT n n andR C R e ---=+01(0)nn C C R -=+3649.425.15.3ln 02.01ln 1===L H k T另外，下列矩阵分别是三种车型关于价格、耗油量、舒适度、及你对它们外表的喜欢程度的成对比较阵：其中矩阵1234,,,C C C C 的元素是分别是a,b,c 三种车型对于四种标准的优越性的比较尺度. 假定这些成对比较阵（包括A ）都通过了一致性检验，且已知1234,,,C C C C 的最大特征值与对应(1) 根据上述矩阵将四项标准在你心目中的比重由重到轻的顺序排出(4分)；解： 记4个准则价格，耗油量大小，舒适程度和外表美观分别为C1，C2，C3，C4，则12:3C C =即12C C 比的影响稍强23:5C C =即23C C 比的影响强 34:3C C =即34C C 比的影响稍强所以四项标准在心目中的比重由重到轻的顺序为： 价格、耗油量大小、适合程序、外观美观(2) 分别确定哪种车最便宜、最省油、最舒适、最漂亮(4分)； 解：考虑比较阵C1122a =表明车型a 的价格优越性高于车型b ，即车型a 比车型b 便宜232a =表明车型b 的价格优越性高于车型c ，即车型b 比车型c 便宜所以最便宜的车型为a. (1分)同理可得最省油的车型为b ；(1分) 最舒适的车型为a ；(1分) 最漂亮的车型为b 。
(1分)(3) 确定你对这三种车型的喜欢程度（用百分比表示）(5分)；解：用和法近似计算成对比较阵A 的最大特征值为4.1983，对应的归一化特征向量为（0.5820，0.2786，0.0899，0.0495） (1分)车型a 的组合权重（0.5820，0.2786，0.0899，0.0495）·(0.5396，0.1056，0.6267，0.1884)T =0.41 车型b 的组合权重（0.5820，0.2786，0.0899，0.0495）·(0.2970，0.7445，0.2797，0.7306)T =0.44 车型c 的组合权重（0.5820，0.2786，0.0899，0.0495）·(0.1634，0.1499，0.0936，0.0810)T =0.15(3分)车型a ，b ，c 的喜欢程度分别为41%，44%，15% （1分）1351/3141/51/41C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦3舒适度411/535171/31/71C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦外表11/51/251721/71C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2耗油量11231/2121/31/21C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦价格8、（满分10分）设某商店要订购一批商品零售，设购进价c 1，售出价c 2，订购费c 0（与数量无关），随机需求量r 的概率密度为()p r ，每件商品的贮存费为c 3（与时间无关）。
问如何确定订购量才能使商品的平均利润最大，这个平均利润是多少。
为使这个平均利润为正值，需要对订购费c 0加什么限制？ 解：9、（满分12分）A,B,C 三个厂家都生产某产品， 2009年它们在某地区的市场占有率2009年分别为： A 厂家:40%, B 厂家:40%, C 厂家: 20%。
已知在每年各个厂家之间的市场占有率转移的基本情况是：A 厂家的客户有60%继续用该厂家的产品，20%转为B 厂家，20%转为C 厂家；B 厂家的客户有80%继续用该厂家的产品，10%转为A 厂家，10%转为C 厂家；C 厂家的客户有50%继续用该厂家的产品，10%转为A 厂家，40%转为B 厂家。
（1）预测2010年哪个厂家的市场占有率最大。
（6分） 解：状态转移概率矩阵为： 0.60.20.20.10.80.10.10.40.5P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2分） (0)(0.4,0.4,0.2)a = （1分）0.60.20.2(1)(0)(0.4,0.4,0.2)0.10.80.1(0.30.480.22)0.10.40.5a a P ⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2分）2010年B 厂家市场占有率最大 。
（1分） （2）经过很长时间以后，哪个厂家的市场占有率最小？（6分） 设稳态概率123(,,)w w w w =，则,wp w = 1231230.60.20.2(,,)0.10.80.1(,,)0.10.40.5w w w w w w ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2分） 又因为1231w w w ++= 1分）联立解得(0.2,0.6,0.2)w = （2分）A ，C 厂家市场占有率最小。