Ch4 固体中弹性波-06 声波在两种固体界面上的反射和折射

= 2µ k z klx cos ( klx x )(φi − φr ) + j sin ( klx x )(φi + φr )
2 + µ ( k z2 − ktx ) cos ( ktx x )(ψ i +ψ r ) + j sin ( ktx x )(ψ i −ψ r )
2
1
中国石油大学(北京) 乔文孝
2008-11-11
任意一层中的势函数
¡ 一般 而言，在每一层介质
r kx
r k
r kz k 2 = k x2 + k z2
任意一层中的x方向位移
ux = ∂φ ∂ψ − ∂x ∂z
中，既有上行的P、S波又有 下行的P、S波, ¡ 因此势函数的一般表达式为
φ = φ i exp( jk lx x ) + φ r exp(− jk lx x )
+ jk z [ψ i exp ( jk tx x ) + ψ r exp(− jk tx x )] = jklx cos ( klx x )(φi − φr ) + j sin ( klx x )(φi + φr ) + jk z cos k x ψ + ψ + j sin k x ψ − ψ ( )( ) ( )( tx i r tx i r )
任意一层中的z方向位移
∂φ ∂ψ uz = + ∂z ∂x
任意一层中的Txx的表达式
∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2ψ Txx =(λ + 2µ ) 2 + 2 − 2µ 2 + ∂ ∂ x z ∂ z ∂ z∂ x
= (λ + 2 µ ) − kl2 (φi exp ( jklx x ) + φr exp (− jklx x )) − 2 µ − kz2 (φi exp ( jklx x ) + φr exp (− jklx x )) − 2 µ [k z ktx (ψ i exp ( jk tx x ) − ψ r exp (− jk tx x ))]
xz问题中的应力表达式
cL = λ + 2µ µ , cT = ρ ρ
常用公式
尤拉公式
法向应力表达式
∂u ∂u ∂w Txx = λ + + 2µ ∂x ∂ x ∂ z
e jα = cosα + j sin α e− jα = cosα − j sin α
∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2ψ =(λ + 2 µ ) 2 + 2 − 2 µ 2 + ∂ x ∂ z ∂ z ∂ z∂ x
下行波 上行波
P波
ψ = ψ i exp( jk tx x ) + ψ r exp(− jk tx x ) S波
势函数具有的公共因子 exp j (ω t − k z z ) (界面波矢分量相等，在以下均略去不写，求导时仍考虑)
= jk lx [φ i exp ( jk lx x ) − φ r exp (− jk lx x )]
+ 2µk z2 − (λ + 2 µ )k l2 φ r exp(− jk lx x )
= − jk z cos ( klx x )(φi + φr ) + j sin ( klx x )(φi − φr )
− 2 µk z k txψ i exp( jk tx x ) + 2µk z k txψ r exp(− jk tx x )
若只有P波入射,ψ i=0,并设φ i=1, RP、 Rs分别为纵波和横波的反射系 数，于是入射侧界面(x=0)有， 0 jklx jk z ux 1 + RP u − jk 0 − jk z tx 1 − R z = P 2µ k z2 − ( λ + 2µ ) kl2 0 2 µ k z ktx Txx Rs 2 2 T 0 2 µ k k µ k − k ( ) xz x =0 z lx z tx
θrT
S
z
θ tT θ tL P
z
θ tT S
R & T (Energe)
0.6
2332,5216,3146 1888,3406,1978
0.4
x
TS
S
x
0.2
Rp
0.0 0 10 20 30 40 50 60
RS
70 80 90
Incident Angle
SH波入射 正应力及法向位移为零 切向位移和切向应力连续 H-Horizontal 入射角接近于90度时的声波入射称之为声波掠入射; 掠入射时，SV波的偏振方向接近垂直于界面。 SV波入射 应力和位移连续 V-Vertical
中国石油大学(北京) 乔文孝
2008-11-11
任意层介质中位移和应力的矩阵表达式 ux φi + φ r u z = a ( x ) φi − φ r 4×4 ψ + ψ Txx i r Txz ψ i − ψ r
ux φi u z = a ( x ) φi 4×4 Txx ψi Txz ψ i + φr − φr +ψ r −ψ r
= 2µk z klx [φi exp( jk lx x ) − φr exp(− jk lx x )] − µk [ψ i exp( jk tx x ) + ψ r exp(− jktx x )] + µk z2 [ψ i exp( jktx x ) + ψ r exp(− jk tx x )]
+
1 + RP = [a ]4×3 1 − RP Rs
反射系数和透射系数的求解
根据边界条件, u x
RP 1 + RP Tp 1 − R = b a [ ]4×2 T 或 [u ]4× 4 Rs = [V ]4×1 可得 [ ]4×3 P Tp s Rs Ts
2 2 = cos ( klx x )(φi + φr ) + j sin ( klx x )(φi − φr ) 2 µ k z − ( λ + 2 µ ) kl
[ [
] ]
+ jktx cos ( ktx x )(ψ i −ψ r ) + j sin ( ktx x )(ψ i +ψ r )
2 tx
= 2 µk z klxφi exp ( jklx x ) − 2µ k z klxφ r exp (− jklx x )
2 2 + µ (k z2 − ktx )ψ i exp ( jktx x ) + µ (k z2 − ktx )ψ r exp (− jk tx x )
此式与层码无关，适合于任意一层介质.
0.4
解此线性方程组可得P波入射时的反射系数和透射系数. 类似可得横波入射时反射系数、透射系数的计算公式。
0.2
0.0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Incidห้องสมุดไป่ตู้nt Angle
能流的反射系数和透射系数的计算
1.0
横波入射情况
S
θ rL
S
S P
0.8
Tp
θi
θrT
θi 固体 I 固体
−2µ k z ktx cos ( ktx x )(ψ i −ψ r ) + j sin ( ktx x )(ψ i +ψ r )
任意一层中的Txz的表达式
∂ ψ ∂ ψ ∂ φ Txz = µ ∂x 2 − ∂z 2 + 2 ∂z∂x
2 2 2
介质中位移和应力的矩阵表达式
∂ ≡0 ∂y
S x1 x = 0 = S x 2 S z1 x =0 = S z 2
x =0
(u1 x =0 = u2
x =0
) )
切向位移连续:
x =0
( w1 x =0 = w2
x =0
法向应力连续：
Txx1 x =0 = Txx 2
切向应力连续：
x =0
r
r
r
Txz1 x =0 = Txz 2
对于简谐波： Txx = ρ −ω 2φ − 2 cT2


∂ 2φ ∂ 2ψ + 2 ∂ z∂ x ∂ z
2 ∂ 2ψ ∂ 2φ ∂u ∂ w 2 ∂ ψ + 切向应力表达式 Txz = µ = ρ cT 2 − 2 + 2 ∂ x ∂ z ∂ x∂ z ∂z ∂x
u z Txx Txz x = 0+
ux u = z Txx Txz x =0−
势函数的反射系数和透射系数的计算
1.4 1.2
Tp
1.0
0.8
R&T
2332,5216,3146 1888,3406,1978 TS Rp RS
0.6
设平面波斜入射于两种固体界面， 界面的法线方向沿 x轴方向，界面沿 z方向。
两种固体界面的边界条件
法向位移连续:
xz问题中的势函数和位移
界面的法线方向沿 x轴方向，界面沿 z方向。 r r r r r S = ui + vj + wk = ∇φ + ∇ ×ψ r r r i j k ∂φ r ∂φ r ∂φ r ∂ ∂ ∂ = i+ j+ k+ ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ψx ψy ψz 所有的量与 y轴无关 取 ψ x =ψ z = 0, 即取 ψ =ψ y j = ψ j
中国石油大学(北京) 乔文孝
2008-11-11
弹性波在两种固体界面上的 反射和折射
设平面波斜入射于两种固体 界面，界面的法线方向沿x 轴方向，界面沿 z方向。 固体1 固体2 θi X θ rl θrt Z θtl θ tt
步骤(思路)
弹性波在两种固体界面上的 反射和折射
¡声学边界条件 ¡写出波函数表达式 ¡将波函数代入边界条件 ¡定义和求解反射系数、透射系数 ¡结果讨论
[
[
]
]
+ jk tx [ψ i exp ( jk tx x ) − ψ r exp(− jk tx x )]
= − jk z [φ i exp( jk lx x ) + φ r exp (− jk lx x )]
= 2µk z2 − (λ + 2µ )k l2 φ i exp( jk lx x )
2 ∂ 2φ ∂ 2ψ 2∂ φ = ρ 2 − 2cT 2+ t z z∂ x ∂ ∂ ∂
Ae jα − Be− jα = cosα ( A − B ) + j sin α ( A + B)
Ae jα + Be− jα = cosα ( A + B ) + j sin α ( A − B)
r ∂φ ∂ψ r ∂φ ∂ψ r r r − + 所以 S = ui + wk = i + k ∂x ∂z ∂z ∂x
x =0
r r r ∂φ ∂ψ r ∂φ ∂ψ r 位移表达式 S = u x i + u z k = ∂x − ∂z i + ∂z + ∂x k
P波入射时入射侧的位移和应力的表达式
P波入射时透射侧的位移和应力的表达式
任意层 介质中位移和应力的矩阵表达式 ux φi + φr u z = a ( x ) φi − φr 4 × 4 Txx ψ i + ψ r Txz ψ i −ψ r 对于透射侧界面，令 φ r = 0,ψ r = 0, T p = φ i , Ts = ψ i 于是有 jklx ux u − jk z z = 2 µ k z2 − ( λ + 2 µ ) kl2 Txx 2 µ k z klx Txz x = 0 − T p Tp = b T [ ]4× 2 T s s 2 µ ( kz2 − ktx ) jk z jktx −2µ k z ktx