初三数学 坐标系中动点问题教案

教学过程一、课堂导入动点所产生的函数及方程问题在初中数学中占有相当的比重，在全国各地的中考数学试卷中占到10%到20%的比重。

主要研究在几何图形运动中，伴随着一定的数量关系、图形位置关系的“变”和“不变性”，就运动对象而言，有点动、线动和面动，常常集代数与几何于一体，有较强的综合性，题目灵活多变，动中有静，静中有动，动静结合．二、复习预习1. 平移，是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。

平移不改变图形的形状和大小。

图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等。

2. 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴。

3. 在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。

这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。

三、知识讲解考点1 单点运动及双点运动问题关于点运动的问题，一般根据图形变化，探索动点运动的特点和规律，作出符合条件的草图。

解这类题的关键是抓住动点运动过程中不变的量，用含未知数的代数式去表示所需的线段，根据题意中隐含的条件借助相似等方式构造方程或函数表达式。

考点2 图形运动问题图形的运动包括图形的平移、旋转、翻折等，图形在运动过程中，对应线段、对应角不变，以三角形、四边形的运动是常见的一种题型。

这里需注意：平移、旋转、翻折都改变了图形的位置，不改变图形的形状和大小。

对于此类题目，关键在于抓住运动图形的特殊位置、临界位置及特殊性质，其基本方法是把握图形运动与变化的全过程，以不变应万变，解答过程中常需借用函数或方程来解答。

考点3 线运动问题解决此类题的关键是根据线运动的变化，研究图形的变化．由图形变化前后的关系及图形的性质综合解决问题，如本题利用平移性质及三角形面积建立方程解决问题.四、例题精析考点一单点运动问题例1如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形ABCD中，AD边的中点处有一动点P，动点P沿P→D→C→B→A→P 运动一周，则P点的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C．D．【规范解答】动点P运动过程中：①当0≤s≤时，动点P在线段PD上运动，此时y=2保持不变；②当＜s≤时，动点P在线段DC上运动，此时y由2到1逐渐减少；③当＜s≤时，动点P在线段CB上运动，此时y=1保持不变；④当＜s≤时，动点P在线段BA上运动，此时y由1到2逐渐增大；⑤当＜s≤4时，动点P在线段AP上运动，此时y=2保持不变．结合函数图象，只有D选项符合要求．故选D．【总结与反思】将动点P的运动过程划分为PD、DC、CB、BA、AP共5个阶段，分别进行分析，最后得出结论．考点二 双点运动问题例2如图，在平面直角坐标系中，抛物线)0(32≠-+=a bx ax y 与x 轴交于点A （2-，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度向C 点运动.其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最多面积是多少？（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使2:5S PBQ CBK =△△：S ，求K 点坐标.【规范解答】解：1）将A （2-，0）、B （4，0）两点坐标分别代入)0(32≠-+=a bx ax y ，即⎩⎨⎧=-+=--034160324b a b a ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧-==4383b a ∴抛物线的解析式为：343832--=x x y （2）设运动时间为t 秒，由题意可知：20<<t ，过点Q 作AB QD ⊥，垂直为D ，易证OCB ∆～△DQB, ∴OC BC DQ BQ= ΘOC=3，OB=4，BC=5，t PB t AP 36,3-==，t BQ =t DQ 53=∴ , t DQ 53=∴ ∴t t t t DQ PB S PBQ 5910953)36(21212+-=⋅-=⋅=∆ Θ对称轴1)(210959=-⨯-=t∴当运动1秒时，△PBQ 面积最大，10959109=+-=∆PBQ S ，最大为109.（3）如图，设)34383,(2--m m m K ,连接CK 、BK ，作轴y KL //交BC 与L ， 由（2）知：109=∆PBQ S ，2:5:=∆PBQ CBK S S Θ,∴49=∆CBK S 设直线BC 的解析式为n kx y +=,)3,0(),0,4(-C B Θ,⎩⎨⎧-==+∴304n n k ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧-==343n k , ∴直线BC 的解析式为343-=x y∴)343,(-m m L ,28323m m KL -=ΘKLB KLC CBK S S S ∆∆∆+=∴ S )4()8323(21)8323(2122m m m m m m -⋅-⋅+⋅-⋅=)8323(4212m m -⋅⋅= 即：49)8323(22=-m m ,解得：31==m m 或 ∴K 坐标为)827,1(-或)815,3(- 【总结与反思】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2考查动点与二次函数最值问题：先写出S 与t 的函数关系式，再确定函数最值；（3）存在所求的K 点，由（2）可求出CBK PBQ ∆∆和的面积，再把CBK ∆分成两个三角形进行面积运算.考点三图形运动问题例3如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，4），C（2，0），将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转1350，得到矩形EFGH（点E与O重合）.（1）若GH交y轴于点M，则∠FOM＝，OM= ；（2）矩形EFGH沿y轴向上平移t个单位。

①直线GH与x轴交于点D，若AD∥BO，求t的值；②若矩形EFHG与矩形OABC重叠部分的面积为S个平方单位，试求当0<t≤24 时，S与t之间的函数关系式。

2【规范解答】（1）45°；（2）①如图1，设直线HG与y轴交于点I。

∵四边形OABC是矩形，∴AB∥DO，AB=OC。

∵C（2，0），∴AB=OC=2。

又∵AD∥BO，∴四边形ABOD是平行四边形。

∴DO=A B=2。

由（1）易得，△DOI是等腰直角三角形，∴OI=OD=2。

∴t=IM=OM－OI=2。

②如图2，过点F ，G 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足为R ，T ，连接OC 。

则由旋转的性质，得，OF=OA=4，∠FOR ＝450，∴OR=RF=22，F （22，－22）。

由旋转的性质和勾股定理，得OG=25，设TG=MT=x ，则OT=OM ＋MT=22+x 。

在Rt△OTG 中，由勾股定理，得()()222x +22+x =25，解得x=2。

∴G（2，－32）。

∴用待定系数法求得直线FG 的解析式为y=x 42-。

当x=2时，y=242-。

∴当t=422-时，就是GF 平移到过点C 时的位置（如图5）。

∴当0<t≤422-时，几个关键点如图3，4，5所示：如图3 ，t=OE=OC=2，此时，矩形EFGH 沿y 轴向上平移过程中边EF 经过点C ；如图4，t=OE=OM=矩形EFGH 沿y 轴向上平移过程中边HG 经过点O ；如图5，t=OE=2，此时，矩形EFGH 沿y 轴向上平移过程中边FG 经过点C 。

∴（I ）当0<t≤2时，矩形EFHG 与矩形OABC 重叠部分的面积为△OCS 的面积（如图6）。

此时，OE=OS= t ， ∴21S t 2=。

（II ）当2<t≤EFHG 与矩形OABC 重叠部分的面积为直角梯形OEPC 的面积（如图7）。

此时OE= t ，，OC=2。

由E （0，t ），∠FFO=450，用用待定系数法求得直线EP 的解析式为y=x+t -。

当x=2时，y=2+t -。

∴CP=2+t -。

∴()1S t 2+t 2=2t 22=-⋅-。

（III ）当2时，矩形EFHG 与矩形OABC 重叠部分的面积为五边形EQCUV 的面积（如图8），它等于直角梯形EQCO 的面积减去直角三角形VOU 的的面积。

此时，OE= t ，，OC=2，CQ= 2+t -，OU=OV= t －∴()((22111S t 2+t 2t =t +t 6222=-⋅----。

综上所述，当0<t≤422-时，S 与t 之间的函数关系式为()()()()221t 0t 22S 2t 22t 221t +2+22t 622t 4222<<<⎧≤⎪⎪⎪=-≤⎨⎪⎪--≤-⎪⎩。

【总结与反思】（1）由旋转的性质，得∠AOF＝1350，∴∠FOM＝450。

由旋转的性质，得∠OHM＝450，OH=OC=2，∴OM=（2）①由矩形的性质和已知AD∥BO，可得四边形ABOD是平行四边形，从而DO=AB=2。

又由△DOI是等腰直角三角形可得OI=OD=2。

从而由平移的性质可求得t=IM=OM－OI=2。

②首先确定当0<t≤2时，矩形EFGH沿y轴向上平移过程中关键点的位置，分0<t≤2，2<t≤－2三种情况求出S与t之间的函数关系式。

考点四线运动问题例4如图1，在平面直角坐标系中，AB=OB=8，∠ABO=90°，∠yOC=45°，射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动，设平行移动x秒后，射线OC扫过Rt△ABO的面积为y．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x=3秒时，射线OC平行移动到O′C′，与OA相交于G，如图2，求经过G，O，B三点的抛物线的解析式；（3）现有一动点P在（2）中的抛物线上，试问点P在运动过程中，是否存在三角形POB的面积S=8的情况？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【规范解答】（1）∵AB=OB，∠ABO=90°，∴△ABO是等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∵∠yOC=45°，∴∠AOC=（90°﹣45°）+45°=90°，∴AO⊥CO，∵C′O′是CO平移得到，∴AO⊥C′O′，∴△OO′G是等腰直角三角形，∵射线OC的速度是每秒2个单位长度，∴OO′=2x，∴y=×（2x）2=2x2；（2）当x=3秒时，OO′=2×3=6，∵×6=3，∴点G的坐标为（3，3），设抛物线解析式为y=ax2+bx，则，解得，∴抛物线的解析式为y=1-5x2+85x；（3）设点P到x轴的距离为h，则S△POB=12×8h=8，解得h=2，当点P在x轴上方时，1-5x2+85x=2，整理得，x 2﹣8x+10=0，解得x1=4﹣，x2=4+，此时，点P的坐标为（4﹣，2）或（4+，2）；当点P在x轴下方时，1-5x2+85x =﹣2，整理得，x2﹣8x﹣10=0，解得x1=4﹣，x2=4+，此时，点P的坐标为（4﹣，﹣2）或（4+，﹣2），综上所述，点P的坐标为（4﹣，2）或（4+，2）或（4﹣，﹣2）或（4+，﹣2）时，△POB的面积S=8．【总结与反思】（1）判断出△ABO是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠AOB=45°，然后求出AO⊥CO，再根据平移的性质可得AO⊥C′O′，从而判断出△OO′G是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质列式整理即可得解；（2）求出OO′，再根据等腰直角三角形的性质求出点G的坐标，然后设抛物线解析式为y=ax2+bx，再把点B、G的坐标代入，利用待定系数法求二次函数解析式解答；（3）设点P到x轴的距离为h，利用三角形的面积公式求出h，再分点P在x轴上方和下方两种情况，利用抛物线解析式求解即可．课程小结本节课主要研究了坐标系中的动点问题，中考中，对运动变化问题的考查是常考的内容之一，考查的热点是点运动问题、图形运动问题（旋转、翻折、对称变换），解答动点问题时，点不同位置考虑的不全面是容易导致出错的原因之一。