等比数列及其前n项和 PPT课件

3. 等比中项 如果 a,G,b成等，比那数么列G叫做a与b的
等. 比中项
4. 等比数列的常用性质
(1)若{an}为等比数列，且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则 ak·al=. am·an
(2)若{an},{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}, (an≠0),{a2n},{an·bn}, (b an1 n≠ 0)仍是等比数列.
而S4=1,S8-S4=2,所以
a17+a18+a19+a20=S4×24=1×24=16,故选B.
变式3-1
在等比数列{an}中，a1=1,公比|q|≠1.若am=a1a2a3a4a5,则 m=( ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
解析：am=a1a2a3a4a5=a53=(a1q2)5=q10=a11,故选C.
(1)求{an}的通项公式.
若等比数列{bn}满足b1=-8,b2=a1+a2+a3,求{bn}的前n项和
公式.
知识准备：1. 会用等差数列通项公式； 2.会用等比数列前n项和公式；
解：（1）设等差数列{an}的公差为d.因为a3=-6,a6=0,
所以
a1 a
2d 1 5d
解6,得
0,
【例4】已知正数数列{an}的前n项和为Sn，且有Sn= (an+1)2.求证：数列{an}是等差数列.
1 4
分析:要证明{an}为等差数列，只需证明n≥2时an-an-1为定
证当当∴即值a明nn(.na≥==n：+21S时时n由a-nS， ，S-1nn)-aS=(1a=1n=n14-1-14 =(14aa(nan(14-a+12(-n1a1+-2n)a)-12=21,)n+20-,11.∴+)a22,1a=n1-2；an-1),
4a1,2a2,a3成等差数列，则S4=
.
解析：∵4a1,2a2,a3成等差数列，∴4a2=4a1+a3,即
4q=4+q2,解得q=2,∴S4a=1(11qq4
)
1=214 5.
12
经典例题
题型一 等比数列的基本运算
【例1】(2010·浙江)设Sn为等比数列{an}的前n项
和,8a2+a5=0,则
S S
4
1
)
2
1
2
解析:q3= a 5 4 ∴ q1 ,= .故1选D.
a3 2 8
2
3. (2011·济南山师附中模拟)在等比数列{an}中，
a8·a10=6,a4+a14=5,则aa 188 等于( )
A. 2 B. C.3 或 D2. - 或3 -
3
2
3
2
2
3
3
2
解析：由题知，a8·a10=a4·a14=6,且a4+a14=5, 解
∴
a1(1 q 3 ) 1 q
7,
a1(1 q 6 ) 1 q
63.
②÷①得
1 1
q3 q6
9,
即1+q3=9,解得q=2.
方法二：S3=a1+a2+a3=7, S6-S3=a4+a5+a6=(a1+a2+a3)q3=56, ∴q3=8,q=2.
5. (教材改编题)等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,若
基础达标
1. (教材改编题)在等比数列{an}中，a1=1,a5=9,则a3=( )
A. 3B. -3 C. 3或-3 D.
3
解析：a23=a1a5=9,且a1,a3,a5同号，∴a3=3.故选A.
2. 已知{an}是等比数列,a2=2,a5= A. - 1 B. -2 C. 2 D.
1 ,则公比q=(
第三节 等比数列及其前n
基础梳理
1. 等比数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比 等于同一那常么数这个数列叫做等比数列，这个常数叫
做等比数列的 ，通公常比用字母 表示. q
2. 等比数列的通项公式
设an=等a比1q数或n 列{ana}m的(·mq首n,n-项m∈为Na*1),.公比为q,则它的通项公式
解析：两式相减得,3a3=a4-a3,∴a4=4a3,∴q=
a 4 =4.
a3
题型二 等比数列的判定
【例2】(2010·上海改编)已知数列{an}的前n项和为Sn,且 Sn=n-5an-85,n∈N*.证明：{an-1}是等比数列.
证明：当n=1时，a1=-14; 当又n因≥为2时a1，-1a=n-=1S5n≠-0S,n所-1=以-数5a列n+{5ana-n1-1}+是1等,所比以数a列n-1. 56= 变式2-1
项求解.
解：(1)由等比数列的性质知a1a2a3=(a1a3)·a2=a32=5,
a7a8a9=(a7a9)·a8=a38=10,
所以a2a8=
5
0
1 3
,
所以a4a5a6=(a4a6)·a5=a35=a(2 a 8
)3=( 5 0 )16 3=5
,2 故选A.
（2）因为S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等比数列，
∵an>0,∴an-an-1-2=0,即an-an-1=2.
∴数列{an}是a1=1,d=2的等差数列.
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1.(2010·广东)已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，
若a2·a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为 A. 35 B. 33 C. 31 D. 29
,则54 S5=(
)
5. 等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn，当 q=1时，Sn=na1;当q≠1时，Sn= a1+a1q+,…即+a1qn
Sn=
a
1
(1 1
q q
n)
或Sn=
a1 anq
.1 q
6. 等比数列前n项和的性质 等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n（均不 为0时）仍成等比数列.
(an-1-1),
数列{an}满足a1=1,an=3an-1-4n+6(n≥2,n∈N*).设bn=an2n,求证：数列{bn}是等比数列.
证明：bn=an-2n,即an=bn+2n, ∵an=3an-1-4n+6, ∴bn+2n=3[bn-1+2(n-1)]-4n+6, 即bn=3bn-1. 又b1=a1-2=-1≠0, ∴数列{bn}是以-1为首项，3为公比的等比数列
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题型三 等比数列的性质 【例3】(1)(2010·全国)已知各项均为正数的等比数列{an}， a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=( ) A. 5 B. 7 C. 6 D. 4 (2)在等2 比数列{an}中，S4=1,S8=3,则 2 a17+a18+a19+a20=( ) A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 分析:(1)利用等比数列的性质求解；（2）运用等比中
变式3-2
(2011·潍坊模拟)已知等比数列{an}的公比为正数，且
a3a9=2a25,a2=2,则a1等于( )
A. 1 B. 2C. -
D. 22
解析:∵a3a9=2a25,∴a26=2a25,∴q2=2,∵q＞0,∴q= 2 ,
∴a1=
a2 q
2 ,故2选B.
2
题型四 等差、等比数列的综合问题
知识准备：1. 知道等比数列通项公式、前n项和公式；
2. 会用等差中项.
解a故4+析S52=:aa1246·q(1a133==12125a54)×1q3·2a=(1132q2+3212-=4)1q2=a5233=11.故a4q选=12 =2C,. ,a1=qa 43
2 1 23
16.
2
2.(2010·北京)已知数列{an}为等比数列，且a3=-6，a6=0.
a18
得a4=2,a14=3,或a4=3,a14=2,∴a 8
a14 a4
2 3
,
或
a18 a8
aa14，4 故32 选C.
4. 在等比数列{an}中，前n项和为Sn,若S3=7, S6=63,则公比q的值是( ) A. 2 B. -2 C. 3 D. -3
解析：方法一：由题意知q≠1，且S3=7,S6=63,
a1 d
10, 2.
所以an=-10+(n-1)·2=2n-12.
(2)设等比数列{bn}的公比为q,
因为b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,
所以-8q=-24,即q=3.
所以{bn}的前n项和公式为
Sn
b1(1qn) 1q
4(13n)
A. -11 B. -8
5 2
=( C. 5
)
D. 11
解：设公比为q,
∵8a2+a5=0,∴8a2+a2q3=0,∴q=-2,
a1(1 q 5 )
∴
S5 S2
a

1
1 (1
-1qq12 ),故 选A.
1 q
变式1-1
设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3=a4-2, 3S2=a3-2,则公比q=( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6