可逆矩阵在通信中的应用

可逆矩阵及其在保密通信中的应用

摘 要 本文在可逆矩阵的定义、性质及求法的基础上，讨论了判断可逆矩阵的方法、分块可逆矩阵的求法以及可逆矩阵的一类求法，并通过实例给出了具体应用.介绍了保密通信及可逆矩阵在其中的应用.

关键词 矩阵理论；可逆矩阵；保密通信；伴随矩阵；性质

0 引言

随着科学技术的不断进步，矩阵理论已成为众多高科技邻域不可或缺的组成部分.而逆矩阵是其非常重要并且是较难理解的一部分内容，但在许多线性代数教科书中逆矩阵相关知识点却零零散散，而且忽略了其重要实际应用，以至于让很多人错误地认为逆矩阵没有多大用处.为了能具体地、形象地认识逆矩阵，将抽象的知识具体的表现出来，掌握其本质，更能简单的运用到实际当中.在我们学过的高等代数教材中对可逆矩阵给出了明确的定义，但未对可逆矩阵的求解方法详细的介绍，本文主要讨论可逆矩阵的求解方法及其在保密通信中的应用.

1 可逆矩阵

定义1 在线性代数中，对于任意一个n 阶方阵A ，如果有n 阶方阵B ，使得=AB BA E =，其中E 为n 阶单位矩阵，则称A 是可逆的，且B 是A 的逆矩阵，记作1

A -.

若方阵A 的逆矩阵存在，则称A 为非奇异方阵或可逆矩阵. 可逆矩阵的性质

性质1 若A 是可逆的，则1

A -也可逆，且()1

1

A

A

A --=.

性质2 若A 、B 是两个同阶可逆矩阵，则AB 也可逆，且()1

11AB B A ---=. 性质3 若可逆矩阵A 的转置矩阵为T A ，则()

()1

1T

T

A A --=.

性质4 若A 是可逆矩阵，则有1

1A A --=. 可逆矩阵的判定

定理1 初等变换不改变矩阵的可逆性.

证明 设A 经过一次初等行变换得到B ，那么存在一个初等矩阵E ，使得

EA B =.由于初等矩阵可逆，当A 可逆时，EA 也可逆，即B 可逆。另一方面，1A E B -=，当B 可逆时，1E B -可逆，即A 可逆.对列变换的情形可类似的证明.

几个充要条件

定理2 A 可逆⇔n A I ≅. 定理3 A 可逆1

s A P P ⇔=，i P 是初等矩阵.

证明 设A 可逆，则A 的等价标准形为n I ，即 存在初等矩阵12s 1,2,,

,,,,,t P P P Q Q Q 使得s 211,2t n P P P AQ Q Q I =，

于是1111

1112

s 21n t A P P P I Q Q Q ------=

11

111112

s 21t

P P P Q Q Q ------=

故A 可表示成一些初等矩阵的乘积.

定理4 A 可逆⇔只经过行初等变化为n I . 证明 因为A 可逆⇔存在 初等矩阵12s ,,,P P P 使得12

s A PP P =⇔1

11

s

21P P P A E ---=⇔A 经过

s 次初等变换化成E .

定理5 设A ,B 是两个n 阶矩阵，则AB A B =. 推论1 设12,,

,s A A A 都是n 阶矩阵，则

1212

,,,s s A A A A A A =.

定理6 A 可逆⇔0A ≠.

证明 必要性 设A 可逆，则存在1A -使得1AA E -=由定理5得

111AA A A E --===所以0A ≠.

充分性 若0A ≠，由定理2，存在12s 1,2,,

,,,,,t P P P Q Q Q

使得s

211,2t n P P P AQ Q Q I =

于是11

11

1112

s 21n t A P P P I Q Q Q ------=

11

111112

s 21t

P P P Q Q Q ------=

故A 可逆.

逆矩阵的求法 初等变换法

原理 设 111,s

s p p A E p p E A -==

则()()()1111,,E,s s s p p A E p p A p p E A -==.

例1 设223110121A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭

，判定A 是否可逆，若可逆，求1

A -.

解 因为0A ≠所以A 可逆

()12

32

2223100110010121001r r r r A E --⎛⎫ ⎪=-−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭

2313

12234043120110010011011r r r r r r r r +-↔↔⎛⎫- ⎪-−−−

→ ⎪ ⎪⎝⎭ ()132331101021011011001164r r r r r ++⨯-⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪---⎝⎭

()1100143010153001164E A -⎛⎫-- ⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭

故

1143153164A ---⎛⎫

⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭

.

伴随矩阵法

定义2 设ij A 是矩阵

1111

n n nn a a A a a ⎛⎫ ⎪=

⎪ ⎪⎝⎭

中元素ij a 的代数余子式，矩阵

11

1*1

n m mn A A A A A ⎛⎫ ⎪=

⎪ ⎪⎝⎭

称为A 的伴随矩阵.

求逆矩阵的公式

1

*

1A A A

-=（牢记**AA A A A E ==）. 例2 设123221343A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

判定A 是否可逆，若可逆，求1

A -.

解 因为2A =，所以A 可逆。又1112132,3,2A A A ==-=, 2122233132336,6,2,4,5,2A A A A A A ==-==-==- 所以