第四章 水文统计的基本知识及方法

p
(x a0)
dx
上式直接积分是非常繁杂的。为便于在工作中运用，因此水
文上制作专用的离均系数Φ值表，以供查算。
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若令
x x = ，则 xCV
x = x (1 或Cv)

dx = xCvd
式中，Φ是均值为零、方差1的标准化变量，称为离均系数。
于是，对于频率p，则有：
p( >
其概率分布曲线如p.80 所示，也称作水文频率曲线或累 积频率曲线。
图4-4
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4.3.3 随机变量的分布(统计) 参数
一方面，虽然随机变量的概率分布能完整地描述其统计变 化规律，实际上，有时仅需要知道它的统计参数（数字特 征）就足够了。 另一方面，随机变量的统计参数分为总体统计参数和样本 统计参数，而水文随机变量的总体始终是未知的，所以只
4.3.1 随机变量 概念：指随机试验结果发生变化的变量，分为离散型的和连 续型的随机变量两类。水文统计研究的对象是水文随机变量。 连续型随机变量
自记水位过程—— Z(t)～t
自记雨量过程—— P(t)～t
C
A
B
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离散型随机变量
年降雨量
X={x1}，X={x2}，…，X={xn-1}， X={xn}
xp = x(变为 Cv P＝
KP，式中 x KP与p
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
和Cs有关，可查p.295 附表3。假如有了p和xp的一组对应 值，即可绘制理论频率分布曲线。
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4.4 统计参数估算
上述各种频率曲线都含有未知的分布参数。要推求某一指定
频率P的随机变量取值XP，就必须确定这些未知分布参数。
同时，前面给出了随机变量X的总体统计参数估计方法。事实
p
)=
f (,C )d
s
p

上式包含Cs、p与Φp的关系。根据不同的Cs值，通过积分 求出p与Φp之间的关系，可制成专用的Φ值表，供查值计算 之用，见p.293 附表2 所示。 如：给定P和Cs值，从Ф值表查得ФP，再将已知的均值和Cv p即 ) 可求出相应的xP值。类似地，取不同 代入 xp = x(1中， Cv 的p值，得到一系列的xp，便可绘制出理论频率曲线。
能用样本统计参数来估计总体的统计参数。
水文水利计算中常用的统计参数包括位置特征参数(平均
数、众数、中位数)和离散特征参数(均值、均方差、变差系
数、偏态系数等)。
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位置特征参数
描述随机变量在数轴上位置的特征数。
平均数—— 随机分布的中心 离散型平均数： 连续型平均数： E(X)＝∑ni=1xipi E(X)＝∫abx f(x)dx
式中，
称为模比系数或变率。
表明模比系数的均值等于1。利用Ki，能使随机变量数字
特征的表达式中减少一个参数。
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离散特征参数
刻划随机变量分布离散程度的指标。 标准差(均方差) —— 离散型随机变量
= D(X) =
2 (xi E(X)) pi n
i=1
连续型随机变量
=
D(X) =
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(x U)2 1 2 2 e 2
图5-10
2）皮尔逊(Pearson)分布型：包括P－III型分布、对数P－III 型分布、…… P－III型分布—— 英国生物学家皮尔逊研究各种非正态分布 函数曲线时，提出了13种分布曲线类型，其中第III型被引入 水文学中，其概率分布函数为
数并比较它们的离散程度。 答案2：EX1＝10，σ1＝4.08，Cv1=0.408和EX2＝1000， σ2＝4.08，Cv2＝0.00408
问1：甲地区年降雨量的均值为1200mm，均方差为1＝360mm；乙地区年降雨 量的均值为800mm，均方差为1＝320mm。试比较甲、乙两地区降水量的分散 程度。
上，水文变量的总体是未知的，只知道一个观测样本系列x1， x2，…，xn（n为样本容量），又如何用有限的样本（时间序 列）估计总体的分布参数呢？ 参数估计方法有很多，如矩法、三点法、权函数法、极大似
然法、概率权重矩法等。
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4.4.1 样本估计总体
样本—— 随机水文系列 样本容量—— 样本的项数，即水文系列长度 总体—— 随机变量全体 这里仅介绍用矩法进行P－III型分布的参数估计方法。
f(x) = (x a0) ()
1
e (x a0)
式中， ()为的伽玛函数(gamma)；、、a0分别为形状参
数、尺度参数和位置参数。
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P－III型曲线的形状及其特点：一端有限，另一端无限的曲
线；单峰而倒置的铃形；不对称的正偏分布；其位置取决于
参数a0，形状取决于，与Cs有关。、和a0三个参数一经 确定，P－III型密度函数随之确定。P.84 图5-11
众数—— 概率密度分布的峰点值 p.81 Fig.5-5 中位数—— 位置居中的数字 p.81 Fig.5-6
f(x) f(x)
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X1x2x3
X
X1x2x3
X
均值或数学期望值—— x 或 E(x)
离散型随机变量
连续型随机变量
x = E (X ) = p i x
i=1

n
i
x = E (X ) =
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4.2 概率的基本概念
事件：在一定的条件组合下，随机试验的结果。其结果分为
三类：必然事件、不可能事件和随机事件。 概率：随机事件A出现的可能性大小，称为事件A发生的概 率，计算式为
P(A)＝m/n
式中，P(A)为事件A的概率；m为事件A出现的次数；n为所 有试验次数。 上式为古典随机试验，满足“随机等可能，独立同分布”。
《工程水文学》
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第4章 水文统计的基本知识及方法
4.1 概述
4.2 概率的基本概念 4.3 随机变量及其概率分布
4.4 统计参数估算
4.5 现行水文频率计算方法——适线法
4.6 相关分析
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4.1 概述
水文现象 水文现象受多种因素影响，具有随机性，故为随机现象。 譬如： • 同一距离用同一皮尺测多次，所得的结果彼此有差异； • 给定相同的降雨强度和降雨时间，在同一块场地上进行多次 人工降雨实验，每次所得结果彼此不同； • 某水文站年平均流量每年都不相同。
上述例子说明，在基本条件保持不变的情况下，多次试验 会获得不一致的结果。其原因是除主要条件外，还有许多次要 因素作用。 随机性规律需要用大量资料加以统计，以得到统计规律及 相应的数字特征，常采用概率论和数理统计进行研究。
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水文统计 将概率论和数理统计理论引入水文学，研究水文现象的统计 变化规律和数字特征的学科被称为水文统计。 基本任务——利用所获得的水文、气象资料，研究和分析随 机水文现象（如河川径流）的统计变化规律，并以此为基础， 对其未来的长期变化作出概率意义下的定量预估，为水利工程 的规划、设计、施工和运行管理提供水文依据。 譬如： • 某流域修建一个水库，其规模取决于水库运行期间(未来 100年)的径流和洪水的大小。但是，未来100年的径流 和洪水有多大？必须做出估计。 • 南水北调工程西线方案中，调多少水量为最优？ • 某水电站装机容量和多年平均发电量是多少？等等
其概率分布满足两个条件：0≤pi≤1，且 pi＝1
连续型的——用随机变量X大于某值xp的概率p表示， 即 F(X)＝P(X≤x)＝∫x-≦f(x)dx 或 F(X)＝P(X≥xp)＝p
密度函数：分布函数导数的负值，记为f(x)，即
f(x)＝-F’(x)＝-dF(x)/dx
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如p.80 所示，则有 F(X)＝P(X≥x)＝∫xp≦f(x)dx
率曲线)，大致可分为正态分布和P-III型分布两种类型。
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1）正态分布型：包括正态分布、对数正态分布、三参数对数 正态分布、……
正态分布—— 概率密度函数，X～N(u,2)，其均值u和均方
差完全确定了分布函数的形状。一般地，水文测量误差、抽样
误差服从正态分布。
f(x) =
密度曲线的特点：单峰； 关于均值u对称，即Cs＝0； 曲线两端无限，且与x轴渐进； 处出现拐点，曲线与x轴围成 的面积为68.3%；3之间的曲 线与x轴围成的面积为99.7%。


(x E(X)) 2f (x)dx
设有水文随机变量观测序列x1，x2，x3，…，xn， 则均方差为：

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=
i= 1
(x
n
i
x )
2
n
均方差表示分布函数的绝对离散程度；均方差越大，分布 函数越分散，其值变化幅度也越大，反之亦然。
图4-7
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离势系数(离差系数或变差系数)—— Cv
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图5-9
4.3.4 几种常用的概率分布曲线 理论频率曲线：由实测的水文要素样本系列，通过理论频
率分布方程式估算出相应的频率值，再用频率曲线拟合频率
点据所得到的频率曲线。
常用的理论频率分布
从定义 P(X > xp) = x

p
x)dx = p
f
可知：若p
键在于确定随机变量X的概率密度函数f(x)。由于水文随机变 量复杂多变，其概率分布的确定十分困难。 目前，国内外水文计算中经常使用的概率分布曲线(或水文频
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例如：某站年平均径流深系列符合p－Ⅲ型分布，已知该 系列的R＝1000mm，σ＝162.5mm，Cs＝2Cv，计算设计保证 率p＝1%的设计年径流量。 解：由Cv＝σ/R＝162.5/650＝0.25，则 Cs＝2Cv＝0.5，p＝1%，查表得Ф＝2.68代入 pCv) xp = x(1进行计算，有 R1%＝100×(1＋2.68×0.25)＝1670mm 另外，当Cs/Cv等于一定倍数时，可令模比系数 KP＝1＋ΦPCv，则