函数极值最值练习题
数学分析6.4函数的极值与最大(小)值(练习)
第六章微分中值定理及其应用4 函数的极值与最大(小)值(讲义)练习题1、求下列函数的极值.(1)f(x)=2x3-x4; (2)f(x)=; (3)f(x)=; (4)f(x)=arctanx ln(1+x2).解：(1)f在R上连续，当f’(x)=6x2-4x3=0时，x=0或x=.又当x<0时，f’(x)=6x2-4x3>0；当0<x<时，f’(x)=6x2-x3>0；当x>时，f’(x)=6x2-4x3<0. ∴f有极大值f()=2×-=.(2)f在R上连续，当f’(x)===0时，x=0，又x<0时，f’(x)<0；当x>0时，f’(x)>0. ∴f有极小值f(0)=0.(3)f在R+上连续，当f’(x)==0时，x=1或x=e2.又当x<1时，f’(x)<0；当1<x<e2时，f’(x)>0; 当x>e2时，f’(x)<0.∴f有极小值f(1)=0; 极大值f(e2)=4e-2.(4)f在R上连续，当f’(x)===0时，x=1.又当x<1时，f’(x)>0; 当x>1时，f’(x)<0，∴f有极大值f(1)=.2、设f(x)=.(1)证明x=0是函数f的极小值点; (2)说明在f的极小值点x=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件.证：(1)∵对任意x≠0，有f(x)=≥0，∴x=0是f的极小值点. (2)f’(x)=,令x n=(2nπ+)-1, y n=(2nπ+)-1, (n=1,2,…)，则x n, y n>0且x n=y n=0，又f’(x n)=(2nπ+)-2·[2(2nπ+)-1-1]< 0，f’(y n)=(2nπ+)-2·[4(2nπ+)-1-0]=4(2nπ+)-3>0，即f’在任一U+⁰(0,δ)内变号，∴f不满足第一充分条件.又f”(0)=0，∴f不满足第二充分条件.3、证明：若函数f在x0处有f+’(x0)<0(或>0), f-’(x0)>0(或<0), 则x0为f 的极大(小)值点.证：∵f+’(x0)=<0，∴存在某U⁰+(x0,δ1)，使当x∈U⁰+(x0,δ1)时，有<0，∴f(x)<f(x0).又∵f-’(x0)=>0，∴存在某U⁰-(x0,δ2)，使当x∈U⁰-(x0,δ2)时，有>0，∴f(x)<f(x0).取δ=min(δ1,δ2)，则当x∈U⁰(x0,δ)时有f(x)<f(x0)，∴x0为f的极大值点.同理可证若f在x0处有f+’(x0)>0, f-’(x0)<0, 则x0为f的极小值点.4、求下列函数在给定区间上的最大最小值.(1)y=x5-5x4+5x3+1, [-1,2]; (2)y=2tanx-tan2x, 当[0,]; (3)y=lnx, (0,+∞). 解：(1)y在[-1,2]上连续, 当y’=5x4-20x3+15x2=0时, x=0,x=1或x=3(舍去)，y(-1)=-10, y(0)=1, y(1)=2, y(2)=-7,∴y在[-1,2]的最大值为y(1)=2，最小值为y(-1)=-10.(2)记u=tanx，则当x∈[0,]时，u∈[0,+∞], y=2u-u2在[0,+∞)连续.当=2-2u=0时，u=1, x=arctan1=, y(0)=0, y()=1,由二次函数的性质知y在[0,]无最小值，最大值为y()=1.(3)y在(0,+∞)连续，当y’=+=0时，x=e-2.y(e-2)=<0, lnx=0, lnx=+∞.∴y在(0,+∞)无最大值，最小值为y(e-2)=.5、设f(x)在区间I连续，并且在I有唯一的极值点x0.证明：若x0是f的极大(小)值点，则x0是f(x)在I上的最大(小)值点. 解：∵f在I连续，∴若x0是f在I唯一的极大值点，则对任意的x∈I有f(x)<f(x0), ∴x0是f在I上的最大值点. 同理可证：若x0是f在I唯一的极小值点，则x0是f在I上的最小值点.6、把长为1的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积为最大？解：设两段线长为x, 1-x，则所求矩形面积为S=x(1-x)=x-x2, x∈(0,1). 当S’=1-2x=0时，x=0.5，又S”=-2<0，∴x=0.5是S唯一的极大值点.∴当两段线长都为0.5时，矩形的面积最大为S(0.5)=0.25.7、一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为V时，要使容器的表面积最小，问底的半径与容器的高的比例应该怎样？解：设底的半径为r, 高为h，则V=πr2h, ∴h=.容器的表面积S=πr2+2πrh=πr2+. 当S’=2πr=0时，r==h，∴当底的半径与容器的高的比例为1:1时，容器的表面积最小.8、设用某仪器进行测量时，读得n次实验数据为a1,a2,…,a n. 问：以怎样的数值x表示所要测量的真值，才能使它与这n个数之差的平方和为最小？解：记S=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-a n)2，当S’=2(x-a1)+2(x-a2)+…2(x-a n)=0时，x=，又S”=2n>0，∴x=是S唯一的极小值点. 又S=+∞,∴以x=表示真值时，它与这n个数之差的平方和最小.9、求正数a，使它与其倒数之和为最小.解：记f(a)=a+, a∈(0,+∞)，当f’(a)=1=0时，a=1或a=-1(舍去).f(1)=2, f(a)=+∞, f(a)=+∞. ∴a=1为所求.10、求下列函数的极值.(1)f(x)=|x(x2-1)|; (2)f(x)=; (3)f(x)=(x-1)2(x+1)3.解：(1)f’(x)=(3x2-1)sgn(x3-x), f”(x)=6xsgn(x3-x), (x≠0,±1);当f’=0时，x=, ∵f”()=-6×=-2<0, f”()=6×()=-2<0, ∴f()=f()=是f的极大值.又f(x)≥0，∴f(0)=f(±1)=0是f的极小值.(2)当f’(x)===0时，x=±1. 当x<-1时，f’(x)<0；当1<x<1时，f’(x)>0；当x>1时，f’(x)<0.∴f(-1)=-1是f的极小值，f(1)=2是f的极大值.(3)当f’(x)=2(x-1)(x+1)3+3(x-1)2(x+1)2=(x2-1)(5x-1)(x+1)=0时，x=±1或x=0.2. 当x<-1时，f’(x)>0；当-1<x<0.2时，f’(x)>0；当0.2<x<1时，f’(x)<0；当x>1时，f’(x)>0.∴f(0.2)=1.10592是f的极大值；f(1)=0是f的极小值.11、设f(x)=alnx+bx2+x, 在x1=1,x2=2处都取得极值；试定出a与b的值；并问这时f在x1与x2是取得极大值还是极小值？解1：当f’(x)=+2bx+1==0时，x=,当=1, =2时，解得a=, b=;当=2, =1时，无解.又当0<x<1时，f’(x)>0；当1<x<2时，f’(x)<0；当x>2时，f’(x)>0.∴a=, b=，且f在x1=1取得极小值，在x2=2取得极大值.解2：f’(x)=+2bx+1，∵f在x1=1,x2=2处都取得极值，∴有, 解得：a=, b=; ∴f’(x)= 1.f”(x)=，∵f”(1)=>0，f”(2)=<0.∴f在x1=1取得极小值，在x2=2取得极大值.12、在抛物线y2=2px上哪一点的法线被抛物线所截之线段最短.解：2yy’=2p, y’=，设抛物线上一点(a,b)，则过这点的法线方程为：y-b=(x-a)，即y=. 代入x=得y=,即by2+2p2y-2pab=0，设另一交点为(a’,b’)，则b+b’=,解得b’=, a’==.法线被抛物线所截线段长度的平方为：D(b)=(a’-a)2+(b’-b)2=()2+(b)2=.当D’(b)===0时，b=±p，a==p，∴抛物线在(p,±p)的法线被抛物线所截之线段最短.13、要把货物从运河边上A城运往与运河相距为BC=a千米的B城(如图). AC=d千米. 轮船运费单价是m元/千米. 火车运费单价是n元/千米(n>m). 试求运河边上的一点M，修建铁路MB，使总运费最省.解：设CM=x，则AM=d-x，在Rt△BCM中，BM=. 总运费f(x)=m(d-x)+n当f’(x)=-m=0时，x=.又f(0)=md+na, f(d)= n,f()=md+a< md+na=f(0). 令m=nsinθ, 则md+aθ+nacosθ=n sin(θ+φ)≤n=f(d). (φ=arcsin). ∴f()是f(x)在[0,d]上的最小值，即离C点千米处修铁路运费最省。
人教版高二数学《函数的极值》练习含答案解析
′(－2)＝0，而且当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＜0，此时f′(x)＞0，此时若x∈(－2,0)，xf′(x)＜0，若x∈(0由f′(1)＝0，f(1)＝0，得Error!解得Error!∴f(x)＝x3－2x2＋x.由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝13或x＝1，易得当x＝13时f(x)取极大值427，当x＝1时f(x)取极小值0.5．设a∈R，若函数y＝e x＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则( ) A．a＜－1 B．a＞－1C．a＜－1eD．a＞－1e解析：选A ∵y＝e x＋ax，∴y′＝e x＋a.令y′＝e x＋a＝0，则e x＝－a，∴x＝ln(－a)．又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1.6．函数y＝ln xx的极大值为__________．解析：函数y＝ln xx的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－ln xx2.令y′＝0，即1－ln xx2＝0，得x＝e.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x(0，e)e(e，＋∞)y′＋0－y单调递增极大值1e单调递减由表可知，当x＝e时，函数有极大值1 e .答案：1 e7．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于______．解析：y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．由y′＝0，得x＝0或x＝4.且x∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，y′＜0；x ∈(0,4)时，y′＞0，∴x＝4时取到极大值．故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19.答案：－198．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________.解析：设f(x)＝x3－3x＋c，对f(x)求导可得，f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，可得x＝±1，易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．若f(1)＝1－3＋c＝0，可得c＝2；若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2.答案：－2或29．设a为实数，函数f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R，求f(x)的单调区间与极值．解：由f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝e x－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln 2)ln 2(ln 2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减极小值2(1－ln 2＋a)单调递增故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)；f(x)在x＝ln 2处取得极小值．极小值为f(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)，无极大值．10．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．解：(1)由已知，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，且f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0.又∵f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.∴a＝12，b＝0，c＝－32.f(1)的图象经过点(1,0)，(2,0)．如图，则下列说法中f(x)单调递增，当(2k－1)π<x<2kπ时，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴当x＝(2k＋1)π时，f(x)取到极大值，∵x ∈(0,2 021π)，∴0<(2k＋1)π<2021π，∴0≤k<1 010，k∈Z. ∴f(x)的极大值之和为S＝f(π)＋f(3π)＋f(5π)＋…＋f(2 019π)＝eπ＋e3π＋e5π＋…＋e2 019π＝eπ[1－(e2π)1 010]1－e2π＝eπ(1－e2 020π)1－e2π，故选B.13．若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为______．解析：由题意，f′(x)＝3x2＋2x－a，则f′(－1)f′(1)<0，即(1－a)(5－a)<0，解得1<a<5，另外，当a＝1时，函数f(x)＝x3＋x2－x－4在区间(－1，1)上恰有一个极值点，当a＝5时，函数f(x)＝x3＋x2－5x－4在区间(－1,1)没有极值点．故实数a的范围为[1,5)．答案：[1,5)14．已知函数f(x)＝e x(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．解：(1)f′(x)＝e x(ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4.(2)由(1)知，f(x)＝4e x(x＋1)－x2－4x，f′(x)＝4e x(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)(e x－12).令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2.从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．[C级 拓展探究]15．已知函数f(x)＝ax－ae x(a∈R，a≠0)．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的极值；(2)若函数F(x)＝f(x)＋1没有零点，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－x＋1e x，f′(x)＝x－2e x.由f′(x)＝0，得x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，2)2(2, ＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减极小值单调递增所以函数f(x)的极小值为f(2)＝－1e2，函数f(x)无极大值．(2)F′(x)＝f′(x)＝a e x－(ax－a)e xe2x＝－a(x－2)e x.①当a<0时，F(x)，F′(x)的变化情况如下表：x(－∞，2)2(2，＋∞)F′(x)－0＋F(x)单调递减极小值单调递增若使函数F(x)没有零点，当且仅当F(2)＝ae2＋1>0，解得a>－e2，所以此时－e2<a<0；②当a>0时，F(x)，F′(x)的变化情况如下表：x(－∞，2)2(2，＋∞)F′(x)＋0－F(x)单调递增极大值单调递减当x>2时，F(x)＝a(x－1)e x＋1>1，当x<2时，令F(x)＝a(x－1)e x＋1<0，即a(x－1)＋e x<0，由于a(x－1)＋e x<a(x－1)＋e2，令a(x－1)＋e2≤0，得x≤1－e2 a，即x≤1－e2a时，F(x)<0，所以F(x)总存在零点，综上所述，所求实数a的取值范围是(－e2,0)．。
导数与极值最大值与最小值问题练习题
导数与极值最大值与最小值问题练习题在微积分中，导数与极值问题是一类经典且重要的题型。
通过求取导数，我们可以确定函数的极值点，即最大值和最小值。
本文将给出一些导数与极值问题的练习题，帮助读者加深对该类型问题的理解与应用。
练习题一：求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的极值点。
解析：首先，我们需要求出函数的导数f'(x)。
对于f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，导数为f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
接下来，我们将导数f'(x)置为零，求得极值点。
即，3x^2 - 12x + 9= 0。
通过求解这个方程，我们得到x = 1和x = 3两个解。
然后，我们需要分别计算这两个x值对应的函数值f(x)。
当x = 1时，f(x) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 2 = 6；当x = 3时，f(x) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3)+ 2 = -2。
综上所述，在函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2中，极小值为-2，极大值为6，对应的x值分别为1和3。
练习题二：求函数g(x) = e^x - 4x的极值点。
解析：与前一题类似，我们首先求取函数g(x) = e^x - 4x的导数g'(x)。
根据指数函数的导数性质以及常数倍规则，我们有g'(x) = e^x - 4。
将导数g'(x)置为零，求得极值点。
即，e^x - 4 = 0。
通过求解这个方程，我们得到x = ln(4)。
接下来，计算x = ln(4)对应的函数值g(x)。
g(x) = e^x - 4x = e^(ln(4)) - 4(ln(4)) = 4 - 4ln(4)。
因此，在函数g(x) = e^x - 4x中，存在唯一的极值点x = ln(4)，对应的极值为4 - 4ln(4)。
练习题三：求函数h(x) = x^4 - 8x^2 + 16的极值点。
(完整版)导数--函数的极值练习题
导数--函数的极值练习题一、选择题1.下列说法正确的是( )A.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极大值B.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极小值C.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极值D.当f (x 0)为函数f (x )的极值且f ′(x 0)存在时，则有f ′(x 0)=0 2.下列四个函数，在x =0处取得极值的函数是 ( )①y =x 3 ②y =x 2+1 ③y =|x | ④y =2x A.①② B.②③ C.③④ D.①③ 3.函数y =216x x+的极大值为( ) A.3 B.4 C.2 D.54.函数y =x 3－3x 的极大值为m ,极小值为n ,则m +n 为( )A.0 B.1 C.2 D.45.y =ln 2x +2ln x +2的极小值为( ) A.e －1 B.0 C.－1 D.1 6.y =2x 3－3x 2+a 的极大值为6，那么a 等于( )A.6B.0C.5D.17．对可导函数,在一点两侧的导数异号是这点为极值点的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 8.下列函数中, 0=x 是极值点的函数是( )A.3x y -= B.x y 2cos = C.x x y -=tan D.x y 1=9.下列说法正确的是( )A. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大;B. 函数在闭区间上的最大值一定是极大值;C. 对于12)(23+++=x px x x f ,若6||<p ,则)(x f 无极值;D.函数)(x f 在区间),(b a 上一定存在最值.10.函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 为( ) A.)3,3(- B.)11,4(- C. )3,3(-或)11,4(- D.不存在 11.函数|6|)(2--=x x x f 的极值点的个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D.3个 12.函数xxx f ln )(=( ) A.没有极值 B.有极小值 C. 有极大值 D.有极大值和极小值二．填空题：13.函数x x x f ln )(2=的极小值是 14.定义在]2,0[π上的函数4cos 2)(2-+=x ex f x的极值情况是15.函数)0(3)(3>+-=a b ax x x f 的极大值为6,极小值为2,则)(x f 的减区间是16.下列函数①32x y =,②x y tan =,③|1|3++=x x y ,④xxe y =,其中在其定义区间上存在极值点的函数序号是17.函数f (x )=x 3－3x 2+7的极大值为___________. 18.曲线y =3x 5－5x 3共有___________个极值.19.函数y =－x 3+48x －3的极大值为___________；极小值为___________. 20.若函数y =x 3+ax 2+bx +27在x =－1时有极大值，在x =3时有极小值，则a =___________,b =___________.三．解答题21.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,当x =－1时，取得极大值7；当x =3时，取得极小值.求这个极小值及a 、b 、c 的值.22.函数f (x )=x +xa+b 有极小值2，求a 、b 应满足的条件.23.已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 在x =2处有极值，其图象在x ＝1处的切线垂直于直线y =31x -2 （1）设f(x)的极大值为p ，极小值为q ，求p-q 的值；（2）若c 为正常数，且不等式f(x)>mx 2在区间（0,2）内恒成立，求实数m 的取值范围。
(完整版)高二数学函数的极值与最值试题
高二数学函数的极值与最值试题一：选择题1． 函数x ax x x f ++=23)(在),0(+∞内有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．),0(+∞ B ．)3,3(- C ．)0,(-∞ D ．)3,(--∞【答案】D2．函数f （x ）=x 2+x ﹣lnx 的极值点的个数是（ ） A ． 0个 B ． 1个 C ． 2个 D ． 3个解：由于函数f （x ）=x 2+x ﹣lnx ，（x ＞0） 则==（x ＞0）令f ’（x ）=0，则故函数f （x ）=x 2+x ﹣lnx 的极值点的个数是1， 故答案为 B ．3．如图所示的是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图象，则2221x x +等于（ ）A ．32 B ．34C ．38 D ．316【答案】C4．函数12)(+⋅=x ex x f ,[]1,2-∈x 的最大值为（ ）A.14e -B.0C. 2eD. 23e 【答案】C5．函数)0(3)(3>+-=a b ax x x f 的极大值为6,极小值为2,则)(x f 的减区间是( ) A. （-1，1） B. （0，1） C. （-1，0） D. （-2，-1）【答案】A6．右图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，xyO 1-2-3-1给出下列命题：①3-是函数()y f x =的极值点； ②1-是函数()y f x =的极小值点； ③()y f x =在0x =处切线的斜率小于零；④()y f x =在区间(3,1)-上单调递增.则正确命题的序号是（ ）A.①②B.①④C.②③D.②④ 【答案】B7.（2008•广东）设a ∈R ，若函数y=e ax +3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ） A ． a ＞﹣3 B ． a ＜﹣3 C ． a ＞﹣ D ．a ＜﹣ 解：设f （x ）=e ax +3x ，则f ′（x ）=3+ae ax ．若函数在x ∈R 上有大于零的极值点． 即f ′（x ）=3+ae ax =0有正根．当有f ′（x ）=3+ae ax =0成立时，显然有a ＜0， 此时x=ln （﹣）．由x ＞0，得参数a 的范围为a ＜﹣3． 故选B ．8.【2012高考真题辽宁理12】若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是 (A)21xe x x ++„ 2111241x x x<-++(C)21cos 12x x -… (D)21ln(1)8x x x +-… 【答案】C【解析】设2211()cos (1)cos 122f x x x x x =--=-+，则()()sin ,g x f x x x '==-+ 所以()cos 10g x x '=-+≥，所以当[0,)x ∈+∞时，()()()(0)0,g x g x f x g '==为增函数，所以≥同理21()(0)0cos (1)02f x f x x =∴--≥，≥，即21cos 12x x -…，故选C9．已知函数3211()2(,,)32f x x ax bx c a b c R =+++∈，且函数()f x 在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则22(3)z a b =++的取值范围为( )A. 2(,2)2 B.1(,4)2C. (1,2)D.(1,4) 【答案】B10.【2012高考真题全国卷理10】已知函数y ＝x ²-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝（A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1 【答案】A【解析】若函数c x x y +-=33的图象与x 轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为0，函数的导数为33'2-=x y ，令033'2=-=x y ，解得1±=x ，可知当极大值为c f +=-2)1(，极小值为2)1(-=c f .由02)1(=+=-c f ，解得2-=c ，由02)1(=-=c f ，解得2=c ，所以2-=c 或2=c ，选A.11．（2012•昌图县模拟）下列关于函数f （x ）=（2x ﹣x 2）e x 的判断正确的是（ ） ①f （x ）＞0的解集是{x|0＜x ＜2}；②f （﹣）是极小值，f （）是极大值； ③f （x ）没有最小值，也没有最大值．A ． ①③B ． ①②③C ． ②D ． ①② 解：由f （x ）＞0⇒（2x ﹣x 2）e x ＞0⇒2x ﹣x 2＞0⇒0＜x ＜2，故①正确； f ′（x ）=e x （2﹣x 2），由f ′（x ）=0得x=±， 由f ′（x ）＜0得x ＞或x ＜﹣， 由f ′（x ）＞0得﹣＜x ＜，∴f （x ）的单调减区间为（﹣∞，﹣），（，+∞）．单调增区间为（﹣，）．∴f （x ）的极大值为f （），极小值为f （﹣），故②正确． ∵x ＜﹣时，f （x ）＜0恒成立．∴f （x ）无最小值，但有最大值f （） ∴③不正确． 故选D ．12．（2010•安庆模拟）如果函数满足：对于任意的x 1，x 2∈[0，1]，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤1恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．解：由题意f ′（x ）=x 2﹣a 2当a 2≥1时，在x ∈[0，1]，恒有导数为负，即函数在[0，1]上是减函数，故最大值为f （0）=0，最小值为f （1）=﹣a 2，故有，解得|a|≤，故可得1≤a ≤当a 2∈[0，1]，由导数知函数在[0，a ]上增，在[a ，1]上减，故最大值为f （a ）=又f（0）=0，矛盾，a ∈[0，1]不成立， 故选A ．二:填空题13．函数322()f x x ax bx a =+++在1x =时有极值10，那么,a b 的值分别为________. 【答案】4，-11 14．已知函数f (x) 的导数f ′(x)＝a(x ＋1)(x －a)，若f (x)在x ＝a 处取得极大值，则a 的取值范围是 。
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导数法解极值、最值问题类型一、正向思维已知解析式求极值或最值In X【例1】已知函数y=f(x) = —ox(I)求y = f(x)的最大值;(II)设实数a>0,求函数F(x) = af⑴在[a,2a]±的最小值解析：⑴令/© = 0得x = e" "|・・•当xe (O.e)时，/(>:)> 0, /(功在(04上为増函数当x e时，f (x) < 0,在(e：g)上为减旳数厶⑴= /(◎ = [e.(2) va>0,由(2〉知：F(x)在(0«)上单调递増，在@出功上里调递减。
■・-・F(力在肚却上的最小值/oul(x) = miD{ F® FS}・・・F(a)-F3 = 存片「.当0v"2 时，F(^>- F(2a)(x) = F(a) = fa A当2<«B寸F(o)—FS〉0, f^(x)=F(2a) = ^2ai--------------------------------------------------------------------------------------------------- -j --------------------------------------- 互--------------------------------------- ■<类型二、逆向思维已知极值或最值求解析式【例2】已f (x) = ax3 + bx2 + cx(a 0)在兀=±1时取得极值，且f (1) =—1.(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x二±1是函数的极小值还是极人值，并说明理由.解析：(1〉由已知得=3ax a+2bx+c*/x=± 1是函数f (x)的极值点，-■.x=±l 是方程f\x)=0,即3ax2+2bx+c=O 的两根.』=0 ①由根与系数的关系，得367又 f （1） =-1, /.a+b+c=~l, ③由①②③解得a二丄上=0工=3,学科网2 21 3 3 3 3（2）f （x）= —x3—— x, —^2—— =—（X— 1）（x+1）2 2 2 2 2当xV-l 或X>1 时，f\x）>0}当一1<xVl 时，/r（x）<0• ••函数f（X）在（—8〉— 1）和十8〉上是増函数，在（—1, 1）上是;咸函数.• ••当汩一1时，国数取得极犬值f ("I) =1,当汩1时，函数取得极小值f CD =-1.类型三、构造函数不等式恒成立问题转化为求最值问题点评：利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性, 求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函 数，直接把问题转化为函数的最值问题.【例4]已知函数f(x) = a\nx-^-bx(a,be R) , |11|线y = /(x)在点(1,/(1))处的切线方程 为x-2y-2=0.(I )求/(X )的解析式；(II)当兀>1吋，/(兀)+仝vO 恒成立，求实数R 的収值范围;解析：(I 〉•.•y'(x) = alux + &x ,・ \f r (x) = — +b ・•・•直线x —即一 2 = 0的斜率为；,且曲线y = 丁⑴过点(1,一亠TT lc H LI D x — — + — < 0 等价于——一xlnx •2 x 2令 g(x) = — —xlu x > 贝I 」g f(x) = x —(lu X +1) = x — 1 —I D X . 21y_[令应(x) = x-l —lnx,贝I J/J F (X ) = 1-- = -------- ・-XT当el 时」函数方匕)在(L-KO)上单调递増，故A(x)>A(l)=O.从而，当工>1时，g'(x )A0,即函数g(0在(L-H»)上单调递増，1X 21故g(x )Ag(l) =刁・ 因此，当兀>1时，k< — -x]nx 恒成立，则k<-.・•・上的取值范围杲(Tof]・1.若点P 是曲线尸 二x‘一In x 上任意一点，则点P 到直线y = x —2的最小值为()A. 1B. ^2C. -----D. y/32八1)詁’ b =——.2・ 即Ia+b = -.2丄~2所以 /(x)=lnx-^ Ir(II 〉由(I 〉得当"1时,/(%) + -<0恒成立即解析：设心如，点P 到直线一 2的距离“上需已亡”，设g^ = j(?-x-\nx+2 (x>0),所以g ，(x)二"％ 1 = (2兀 + lXx 1),当x<o 时，g ，(x )<o,当x X X >0时,g©)>0,则g(x)在(0,1)是减函数,在(b +8)上是増函数，则当E 时,g(x)取极小值也是最小值g(l)=2,此时好血,故选B ・2.若函数y = /一弓工2+Q 在［_i,i ］上有授大值3,则该函数在［一1,1］上的最小值是2解析：/=3X 2-3X = 3X (X -1)>0,/ <0,解得 0<x<l,所以当血［一1,1］时,a1［-1,0］函数増，［0,1］函数减，所以当x = 0时，函数取得最大值/(O )=a =3 > y =< 一牙x 2 +3 ,/(-l) = —, /(1) =舟'所以最小值是/(一1) = £・选C 。
函数的极值与最值练习题.docx
函数的极值与最值练习题一、选择题I.下列说法正确的是A.⅛⅞∕倘户0时.则危0）为Jlr）的极大值8.当/ （Xn）=O时,则从3）为/U）的微小便C当/ （W旬时，则J IU）为.心）的极值D.当凡喻为函数HX）的极值Ilf （.哂存在时，则有f （.r ll）=09.下列四个函数,在尸0处取得极值的函数是Φy=F ②y=F+1 ③y=W ④产2'A©g） B.②® C.③④ D.φg）10函数严上T的极大值为l+x^A.3B.4C.2D.511函数J=F—3K的极大伯为砥微小值为",则m+n为A.0 Bl C.2 D.412>=ln:.t+21n.r+2 的微小值为A.e-B.0C.-l Dl13）=2√-3r+«的极大值为6,那么“等于A.6B.0C.5 Dl二、填空题14函数KV）=√*-3f+7的极大（ft为.8,曲线j=3√-5x,共有个极值.9.若函数产F+αP+bx+27在广一1时有极大俏，在户3时有微小值，则a= _____ b= _____ .10.g½>=2√-3√-12.r+5 fl：［0, 3］上的最小值是.H.函数AD=Sin2x-x在［- 9 ］上的最大值为：最小f⅛为__________12.在半径为K的圈内，作内接等腰三角形，当底边上高为_______ 时，它的面枳呆人.三、解答也E已知函数/W=/+#+於+c,当X=-I时，取得极大值7：当x=3时,取得微小伯.求这个微小值及a、/，、C的值.14.设产"）为三次南数，FL图象关于原点对称,当尸;时，贸X）的微小值为- 1,求函数的解析式.15.己知x = 2是函数/(X)=(ΛJ+av-2a-3*的一个极侑点(^=2.718∙∙∙). (I)求实数〃的值：(ID求函数/(Λ)在K W弓.3］的描大值和W小值.16、已知三次函数Rx)=aχ3∙6aχ2+b.问是否存在实数a.b.使f(x)在［∙1,2∣上取得最大伯3, 般小值-29,若存在,求出&b的值:若不存在，请说明理由.。
函数的极值和最值(习题)
【巩固练习】1.设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是2.设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数A. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＞bB. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＜bC. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＞bD. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＜b 3.设函数f （x ）=2x+lnx 则 （ ） A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=12为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点 D ．x=2为 f(x)的极小值点 4.函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 A （-1,1] B （0,1] C[1，+∞） D （0，+∞）5.已知f （x ）=x ³-6x ²+9x-abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0.现给出如下结论： ①f （0）f （1）＞0；②f （0）f （1）＜0；③f （0）f （3）＞0；④f （0）f （3）＜0. 其中正确结论的序号是A.①③B.①④C.②③D.②④6．函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是___________。
7．函数y=1+3x-x 3的极大值是_______，极小值是________。
8．函数f(x)=12x-x 3在区间[-3,3]上的最小值是_____ 。
9．函数f(x)=ln(1+x)-x 的最大值为________。
10．函数y=x+2cosx 在区间1[0,]2上的最大值是________ 。
11．已知函数f(x)=x 3-3ax 2-9a 2x(a ≠0)，求f(x)的极大值与极小值。
12．已知函数f(x)=ax 3+3x 2-x+1在R 上是减函数，求a 的取值范围。
导数与函数的极值、最值 最新习题(含解析)
导数与函数的极值、最值课时作业一、选择题1．如图2是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，给出下列命题：图2①－2是函数y＝f(x)的极值点；②1是函数y＝f(x)的极值点；③y＝f(x)的图象在x＝0处切线的斜率小于零；④函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增．则正确命题的序号是()A．①③B．②④C．②③D．①④解析：根据导函数图象可知，－2是导函数的零点且－2的左右两侧导函数符号异号，故－2是极值点；1不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号一致；0处的导函数值即为此点的切线斜率，显然为正值，导函数在(－2，2)上恒大于或等于零，故为函数的增区间，所以选D.答案：D2．设f(x)＝12x2－x＋cos(1－x)，则函数f(x)()A．仅有一个极小值B．仅有一个极大值C．有无数个极值D．没有极值解析：由f(x)＝12x2－x＋cos(1－x)，得f′(x)＝x－1＋sin(1－x)．设g(x)＝x－1＋sin(1－x)，则g′(x)＝1－cos(1－x)≥0.所以g(x)为增函数，且g(1)＝0.所以当x∈(－∞，1)时，g(x)<0，f′(x)<0，则f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，f′(x)>0，则f(x)单调递增．又f′(1)＝0，所以函数f(x)仅有一个极小值f(1)．故选A.答案：A3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则a＝()A ．4或－3B ．4或－11C ．4D ．－3 解析：∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意得⎩⎨⎧f ′（1）＝3＋2a ＋b ＝0，f （1）＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， 即⎩⎨⎧2a ＋b ＝－3，a ＋b ＋a 2＝9，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－11.当⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，故函数f (x )单调递增，无极值．不符合题意．∴a ＝4.故选C. 答案：C 4．函数f (x )＝2＋ln x x ＋1在[1e ，e]上的最小值为 ( ) A ．1 B.e 1＋e C.21＋e D.31＋e解析：∵f ′(x )＝x ＋1x －（2＋ln x ）（x ＋1）2＝1x－1－ln x （x ＋1）2，∴当e ≥x >1时，f ′(x )<0；当1e ≤x ＜1时，f ′(x )＞0. 所以f (x )的最小值为min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （1e ），f （e ）＝min{e 1＋e ，31＋e }＝e 1＋e ，选B.答案：B5．若函数f (x )＝(a ＋1)e 2x －2e x ＋(a －1)x 有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(0，62)B ．(1，62)C ．(－62，62)D ．(63，1)∪(1，62) 解析：∵f (x )＝(a ＋1)e 2x －2e x ＋(a －1)x ， ∴f ′(x )＝2(a ＋1)e 2x －2e x ＋a －1，∵f (x )＝(a ＋1)e 2x －2e x ＋(a －1)x 有两个极值点， ∴f ′(x )＝0有两个不等实根，设t ＝e x >0，则关于t 的方程2(a ＋1)t 2－2t ＋a －1＝0有两个不等正根，可得⎩⎪⎨⎪⎧a －12（a ＋1）>0，22（a ＋1）>0，4－8（a －1）（a ＋1）>0⇒1<a <62，∴实数a 的取值范围是(1，62)，故选B. 答案：B 6.图1如图1，可导函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线为l ：y ＝g (x )，设h (x )＝f (x )－g (x )，则下列说法正确的是( )A ．h ′(x 0)＝0，x ＝x 0是h (x )的极大值点B ．h ′(x 0)＝0，x ＝x 0是h (x )的极小值点C ．h ′(x 0)≠0，x ＝x 0不是h (x )的极值点D ．h ′(x 0)≠0，x ＝x 0是h (x )的极值点解析：由题意可得函数f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)， ∴h (x )＝f (x )－g (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)－f (x 0)， ∴h ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)， ∴h ′(x 0)＝f ′(x 0)－f ′(x 0)＝0. 又当x <x 0时，f ′(x )<f ′(x 0)， 故h ′(x )<0，h (x )单调递减； 当x >x 0时，f ′(x )>f ′(x 0)， 故h ′(x )>0，h (x )单调递增．∴x ＝x 0是h (x )的极小值点．故选B. 答案：B7．若函数g (x )＝mx ＋sin xe x 在区间(0，2π)内有一个极大值和一个极小值，则实数m 的取值范围是 ( )A ．[－e －2π，e －π2)B ．(－e －π，e －2π)C ．(－e π，e －5π2) D ．(－e －3π，e π) 解析：函数g (x )＝mx ＋sin xe x ， 求导得g ′(x )＝m ＋cos x －sin xe x. 令f (x )＝m ＋cos x －sin x e x，则f ′(x )＝－2cos xe x .易知，当x ∈(0，π2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(π2，3π2)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈(3π2，2π)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 且f (0)＝m ＋1，f (π2)＝m －e －π2，f (3π2)＝m ＋e －3π2， f (2π)＝m ＋e －2π，有f (π2)<f (2π)，f (0)>f (3π2)．根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f （π2）＝m －e －π2<0，f （2π）＝m ＋e －2π≥0，解得－e－2π≤m <e －π2.故选A.答案：A8．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0，3]上的最大值和最小值分别是 ( )A ．－4，－15B ．5，－15C ．5，－4D ．5，－16 解析：由题意知y ′＝6x 2－6x －12， 令y ′>0，解得x >2或x <－1，故函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0，2]上递减，在[2，3]上递增，当x＝0时，y＝5；当x＝3时，y＝－4；当x＝2时，y＝－15.由此得函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的最大值和最小值分别是5，－15.故选B.答案：B9．若函数f(x)＝13x3－⎝⎛⎭⎪⎫1＋b2x2＋2bx在区间[－3，1]上不是单调函数，则f(x)在R上的极小值为()A．2b－43 B.32b－23C．0 D．b2－16b3解析：由题意得f′(x)＝(x－b)(x－2)．因为f(x)在区间[－3，1]上不是单调函数，所以－3<b<1.由f′(x)>0，解得x>2或x<b；由f′(x)<0，解得b<x<2.所以f(x)的极小值为f(2)＝2b－43.故选A.答案：A10．已知函数f(x)＝ln x＋a，g(x)＝ax＋b＋1，若∀x>0，f(x)≤g(x)，则ba的最小值是()A．1＋e B．1－e C．e－1D．2e－1解析：由题意，∀x>0，f(x)≤g(x)，即ln x＋a≤ax＋b＋1，即ln x－ax＋a≤b＋1，设h(x)＝ln x－ax＋a，则h′(x)＝1x－a，当a≤0时，h′(x)＝1x－a>0，函数h(x)单调递增，无最大值，不合题意；当a>0时，令h′(x)＝1x－a＝0，解得x＝1a，当x∈(0，1a)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；当x∈(1a，＋∞)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减，所以h(x)max＝h(1a)＝－ln a＋a－1，故－ln a＋a－1≤b＋1，即－ln a＋a－b－2≤0，令ba＝k，则b＝ak，所以－ln a＋(1－k)a－2≤0，设φ(a)＝－ln a＋(1－k)a－2，则φ′(a)＝－1a＋(1－k)，若1－k≤0，则φ′(a)<0，此时φ(a)单调递减，无最小值，所以k＜1，由φ′(a)＝0，得a＝11－k，此时φ(a)min＝ln(1－k)－1≤0，解得k≥1－e，所以k的小值为1－e，故选B.答案：B11．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1，1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是()A．－13 B．－15 C．10 D．15解析：∵f′(x)＝－3x2＋2ax，函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，∴－12＋4a＝0，解得a＝3，∴f′(x)＝－3x2＋6x，f(x)＝－3x3＋3x2－4，∴n∈[－1，1]时，f′(n)＝－3n2＋6n，当n＝－1时，f′(n)最小，最小为－9，当m∈[－1，1]时，f(m)＝－m3＋3m2－4，f′(m)＝－3m2＋6m，令f′(m)＝0，得m＝0或m＝2，所以当m＝0时，f(m)最小，最小为－4，故f(m)＋f′(n)的最小值为－9＋(－4)＝－13.故选A.答案：A12．设函数y＝f(x)在(a，b)上的导函数为f′(x)，f′(x)在(a，b)上的导函数为f″(x)，若在(a，b)上，f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凸函数”．已知当m≤2时，f(x)＝16x3－12mx2＋x在(－1，2)上是“凸函数”，则f(x)在(－1，2)上() A．既有极大值，也有极小值B．没有极大值，有极小值C．有极大值，没有极小值D．没有极大值，也没有极小值解析：由题设可知，f″(x)<0在(－1，2)上恒成立，由于f ′(x )＝12x 2－mx ＋1，从而f ″(x )＝x －m ，所以有x －m <0在(－1，2)上恒成立，故知m ≥2，又因为m ≤2，所以m ＝2，从而f (x )＝16x 3－x 2＋x ，f ′(x )＝12x 2－2x ＋1＝0，得x 1＝2－2∈(－1，2)，x 2＝2＋2∉(－1，2)，且当x ∈(－1，2－2)时，f ′(x )>0，当x ∈(2－2，2)时，f ′(x )<0，所以f (x )在x ＝2－2处取得极大值，没有极小值．答案：C 二、填空题13．已知函数f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f (x )在[12，2]上的最大值等于________．解析：∵函数f (x )＝1－xx ＋ln x ， ∴f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2.故f (x )在[12，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增， 又∵f (12)＝1－ln2，f (2)＝ln2－12，f (1)＝0， f (12)－f (2)＝32－2ln2>0，∴f (x )max ＝1－ln2，故答案为1－ln2. 答案：1－ln214．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )极大值与极小值之差为________．解析：求导得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，因为函数f (x )在x ＝2处取得极值，所以f ′(2)＝3·22＋6a ·2＋3b ＝0，即4a ＋b ＋4＝0 ①，又因为图象在x ＝1处的切线与直线6x ＋2y ＋5＝0平行， 所以f ′(1)＝3＋6a ＋3b ＝－3，即2a ＋b ＋2＝0 ②， 联立①②可得a ＝－1，b ＝0， 所以f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)， 当f ′(x )>0时，x <0或x >2； 当f ′(x )<0时，0<x <2，∴函数的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，函数的单调减区间是(0，2)， 因此求出函数的极大值为f (0)＝c ， 极小值为f (2)＝c －4，故函数的极大值与极小值的差为c －(c －4)＝4， 故答案为4. 答案：415．若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________．解析：由f ′(x )＝6x 2－2ax ＝0，得x ＝0或x ＝a3，因为函数f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个零点且f (0)＝1，所以a 3>0，f (a 3)＝0，因此2(a 3)3－a (a3)2＋1＝0，a ＝3.从而函数f (x )在[－1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，所以f (x )max ＝f (0)，f (x )min ＝min{f (－1)，f (1)}＝f (－1)，f (x )max ＋f (x )min ＝f (0)＋f (－1)＝1－4＝－3.答案：－316．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1，(1)若函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为6，则实数a ＝________；(2)若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， ∴f ′(1)＝3a ＋9＝6，∴a ＝－1.函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)＝0在(－1，3)内有不同的实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－12（a ＋6）>0，f ′（－1）＝－a ＋9>0，f ′（3）＝7a ＋33>0，－1<－2a 6<3，∴－337<a <－3.答案：－1 (－337，－3) 三、解答题17．已知函数f (x )＝x ＋ax ln x (a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )＝x ＋ax ln x 存在极大值，且极大值点为1，证明：f (x )≤e －x ＋x 2. 解：(1)由题意x >0，f ′(x )＝1＋a ＋a ln x ，①当a ＝0时，f (x )＝x ，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a >0时，函数f ′(x )＝1＋a ＋a ln x 单调递增，f ′(x )＝1＋a ＋a ln x ＝0⇒x ＝e －1－1a >0，故当x ∈(0，e －1－1a )时，f ′(x )<0，当x ∈(e －1－1a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0，e －1－1a )上单调递减，函数f (x )在(e －1－1a ，＋∞)上单调递增；③当a <0，函数f ′(x )＝1＋a ＋a ln x 单调递减，f ′(x )＝1＋a ＋a ln x ＝0⇒x ＝e －1－1a >0，故当x ∈(0，e －1－1a )时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1－1a ，＋∞时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e －1－1a 上单调递增，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1－1a ，＋∞上单调递减． (2)由f ′(1)＝0，得a ＝－1，令h (x )＝e －x ＋x 2－x ＋x ln x ，则h ′(x )＝－e －x ＋2x ＋ln x ，h ″(x )＝e －x ＋2＋1x >0，∴h ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，∵h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－e －1e ＋2e －1＜0，h ′(1)＝－e －1＋2＞0， ∴∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，使得h ′(x 0)＝0，即－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0. ∴当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )＜0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )＞0，∴h (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， ∴h (x )≥h (x 0)．由－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0，得e －x 0＝2x 0＋ln x 0， ∴h (x 0)＝e －x 0＋x 20－x 0＋x 0ln x 0 ＝(x 0＋1)(x 0＋ln x 0)．当x 0＋ln x 0<0时，ln x 0<－x 0⇒x 0<e －x 0 ⇒－e －x 0＋x 0<0，所以－e －x 0＋x 0＋x 0＋ln x 0<0与－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0矛盾； 当x 0＋ln x 0>0时，ln x 0>－x 0⇒x 0>e －x 0⇒－e －x 0＋x 0>0， 所以－e －x 0＋x 0＋x 0＋ln x 0>0与－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0矛盾； 当x 0＋ln x 0＝0时，ln x 0＝－x 0⇒x 0＝e －x 0⇒－e －x 0＋x 0＝0， 得－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0，故x 0＋ln x 0＝0成立， 得h (x 0)＝(x 0＋1)(x 0＋ln x 0)＝0，所以h (x )≥0， 即f (x )≤e －x ＋x 2.18．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求函数y ＝f (x )的单调区间和最小值；(2)若函数F (x )＝f （x ）－a x 在[1，e]上的最小值为32，求a 的值； (3)若k ∈Z ，且f (x )＋x －k (x －1)>0对任意x >1恒成立，求k 的最大值． 解：(1)f (x )的单调增区间为[1e ，＋∞)，单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e ， f (x )min ＝f (1e )＝－1e .(2)F (x )＝ln x －ax ，F ′(x )＝x ＋a x 2，(ⅰ)当a ≥0时，F ′(x )>0，F (x )在[1，e]上单调递增，F (x )min ＝F (1)＝－a ＝32，所以a ＝－32∉[0，＋∞)，舍去．(ⅱ)当a <0时，F (x )在(0，－a )在上单调递减， 在(－a ，＋∞)上单调递增，①若a ∈(－1，0)，F (x )在[1，e]上单调递增，F (x )min ＝F (1)＝－a ＝32，所以a ＝－32∉(－1，0)，舍去；②若a ∈[－e ，－1]，F (x )在[1，－a ]上单调递减，在[－a ，e]上单调递增，所以F (x )min ＝F (－a )＝ln(－a )＋1＝32，解得a ＝－e ∈[－e ，－1]；③若a ∈(－∞，－e), F (x )在[1，e]上单调递减， F (x )min ＝F (e)＝1－a e ＝32，所以a ＝－e 2∉(－∞，－e)，舍去．综上所述， a ＝－ e.(3)由题意得，k (x －1)<x ＋x ln x 对任意x >1恒成立，即k <x ln x ＋x x －1对任意x >1恒成立． 令h (x )＝x ln x ＋x x －1，则h ′(x )＝x －ln x －2（x －1）2， 令φ(x )＝x －ln x －2(x >1)，则φ′(x )＝1－1x ＝x －1x >0，所以函数φ(x )在(1，＋∞)上单调递增，因为方程φ(x )＝0在(1，＋∞)上存在唯一的实根x 0，且x 0∈(3，4)，当1<x <x 0时，φ(x )<0，即h ′(x )<0，当x >x 0时，φ(x )>0，即h ′(x )>0.所以函数h (x )在(1，x 0)上递减，在(x 0，＋∞)上单调递增．所以h (x )min ＝h (x 0)＝x 0（1＋ln x 0）x 0－1＝x 0（1＋x 0－2）x 0－1＝x 0∈(3，4)，所以k <g (x )min ＝x 0， 又因为x 0∈(3，4)，故整数k 的最大值为3.19．高三模拟考试)已知函数f (x )＝－4x 3＋ax ，x ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在[－1，1]上的最大值为1，求实数a 的取值集合．解：(1)f ′(x )＝－12x 2＋a .当a ＝0时，f (x )＝－4x 3在R 上单调递减；当a <0时，f ′(x )＝－12x 2＋a <0，即f (x )＝－4x 3＋ax 在R 上单调递减；当a >0时，f ′(x )＝－12x 2＋a ＝0，解得x 1＝36a ，x 2＝－3a 6，∴当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 6时，f ′(x )<0， f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 6上递减；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－3a 6，3a 6时，f ′(x )>0， f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－3a 6，3a 6上递增； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 6，＋∞时，f ′(x )<0， f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 6，＋∞上递减． 综上，当a ≤0时，f (x )在R 上单调递减；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 6上递减； 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 6，3a 6上递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 6，＋∞上递减． (2)∵函数f (x )在[－1，1]上的最大值为1，∴对任意x ∈[－1，1]，f (x )≤1恒成立，即－4x 3＋ax ≤1对任意x ∈[－1，1]恒成立，变形可得ax ≤1＋4x 3.当x ＝0时，a ·0≤1＋4·03，即0≤1，可得a ∈R ；当x ∈(0，1]时，a ≤1x ＋4x 2，则a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4x 2min， 令g (x )＝1x ＋4x 2，则g ′(x )＝－1x 2＋8x ＝8x 3－1x 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，g ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时， g ′(x )>0. 因此，g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3， ∴a ≤3.当x ∈[－1，0)时，a ≥1x ＋4x 2，则a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4x 2max， 令g (x )＝1x ＋4x 2，则g ′(x )＝－1x 2＋8x ＝8x 3－1x 2，当x ∈[－1，0)时，g ′(x )<0，因此，g (x )max ＝g (－1)＝3，∴a ≥3.综上，a＝3.∴a的取值集合为{3}。
高中试卷-5.3.2 极值与最值(精练)(含答案)
5.3.2 极值与最值【题组一 求极值及极值点】1．（2020·北京市第十三中学高三开学考试）设函数()4f x x x=+，则()f x 的极大值点和极小值点分别为（）A ．－2，2B ．2，－2C ．5，－3D ．－5，3【答案】A【解析】易知函数定义域是{|0}x x ¹，由题意224(2)(2)()1x x f x x x +-¢=-=，当2x <-或2x >时，()0f x ¢>，当20x -<<或02x <<时，()0f x ¢<，∴()f x 在(,2)-¥-和(2,)+¥上递增，在(2,0)-和(0,2)上递减，∴极大值点是－2，极小值点是2．故选：A ．2．（2020·黑山县黑山中学高二月考）函数()262xf x x x e =-+的极值点所在的区间为（）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,1--【答案】B【解析】()262xf x x e ¢=-+，且()f x ¢为单调函数，∴()12620f e ¢=-+>，()0620f ¢=-+<，由()()010f f ¢¢<，故()f x 的极值点所在的区间为()0,1，故选：B.3．（2020·河北新华·石家庄二中高二期末）“2a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,¥+上有极值”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】()()xf x x a e =-Q ，则()()1xf x x a e ¢=-+，令()0f x ¢=，可得1x a =-.当1x a <-时，()0f x ¢<；当1x a >-时，()0f x ¢>.所以，函数()y f x =在1x a =-处取得极小值.若函数()y f x =在()0,¥+上有极值，则10a ->，1a \>.因此，“2a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,¥+上有极值”的充分不必要条件.故选：A.4．（2020·扶风县法门高中高二月考（理））设函数()x f x xe =，则（ ）A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点【答案】D【解析】因为()x f x xe =，所以()()()=+=+1,=0,x=-1xxxf x e xe ex f x 令得¢¢．又()()()()()>0:>-1;<0<-1,--1-1+f x x f x x f x ]Z 由得由得：所以在，，在，¥¢¥¢，所以1x =-为()f x 的极小值点．5．（2020·黑龙江让胡路·铁人中学高二期末（理））已知2x =是函数3()32f x x ax =-+的极小值点，那么函数()f x 的极大值为（ ）A ．15B ．16C ．17D ．18【答案】D【解析】2()33f x x a =¢-,又因为2x =是函数3()32f x x ax =-+的极小值点，所以2(2)3230f a =´-=¢，4a =，所以2()312f x x =¢-，由2()3120f x x -¢==，2x =-或2x =，所以在区间(,2)-¥-上，()0,()f x f x >¢单调递增，在区间(2,2)-上，()0,()f x f x <¢单调递减，在区间(2,)+¥上，()0,()f x f x >¢单调递增，所以函数()f x 的极大值为3(2)(2)12(2)218f -=--´-+=，故选D.6．（2020·甘肃省会宁县第四中学高二期末（理））函数()x f x xe -=在[0,4]x Î上的极大值为（）A ．1eB ．0C ．44e D ．22e 【答案】A【解析】由()x f x xe -=可得1()xxf x e-¢=当(]0,1x Î时()0f x ¢>，()f x 单调递增当(]1,4x Î时()0f x ¢<，()f x 单调递减所以函数()x f x xe -=在[0,4]x Î上的极大值为()11f e=故选：A 7．（2020·天津一中高二期中）函数f(x)＝3x 2＋ln x －2x 的极值点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个【答案】A【解析】()2162162x x f x x x x-+=+=¢-，由()0f x ¢=得26210x x -+=，方程无解，因此函数无极值点8．（2020·北京高二期末）已知函数21()ln 2f x x x =-.（Ⅰ）求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（Ⅱ）求函数()y f x =的极值.【答案】（Ⅰ）3250x y -+=；（Ⅱ）极小值是11ln 242+，无极大值.【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域是()0,¥+，1()22f x x x¢=-，()()311,12f f =¢=，故所求切线斜率32k =，过()1,1的切线方程是：31(1)2y x -=-，即3250x y -+=；（Ⅱ）1(21)(21)()222x x f x x x x+-¢=-=，令()0f x >′，解得：12x >，令()0f x <′，解得：102x <<，故()f x 在10,2æöç÷èø递减，在1,2æö+¥ç÷èø递增，故()f x 的极小值是111111ln ln 2242242f æö=-=+ç÷èø，无极大值.9．（2019·湖南雨花·高二期末（文））已知函数3()1224f x x x =-+．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 的极值．【答案】（1）单调增区间为：(,2)-¥-和(2,)+¥，单调减区间为：(2,2)-；（2）极大值40，极小值8．【解析】（1）∵3()1224f x x x =-+，∴2()312f x x ¢=-．令()0f x ¢=，则2x =-或2，x (,2)-¥-2-(2,2)-2(2,)+¥()¢f x +0-0+()f x 单调递增40单调递减8单调递增故()f x 的单调增区间为：(,2)-¥-和(2,)+¥，单调减区间为：(2,2)-．（2）由（1）得：当2x =-时，()f x 有极大值40，当2x =时，()f x 有极小值8．10．（2020·林芝市第二高级中学高二期中（理））已知函数32()392f x x x x =-++-，求：（1）函数()y f x =的图象在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）()f x 的单调区间及极值．【答案】（1）920x y --=；（2）减区间为(,1]-¥-，[3,)+¥，增区间为(1,3)-；极小值为7-，极大值为25．【解析】（1）显然由题意有，(0)0f =，2()369f x x x ¢=-++，∴(0)9f ¢=∴由点斜式可知，切线方程为：920x y --=；（2）由（1）有2()3693(1)(3)f x x x x x ¢=-++=-+-∴()0f x ¢<时，(,1]x Î-¥-或[3,)x Î+¥()0f x ¢>时，(1,3)x Î-∴()f x 的单减区间为(,1]-¥-，[3,)+¥；单增区间为(1,3)-∴()f x 在1x =-处取得极小值(1)7f -=-，()f x 在3x =处取得极大值(3)25f =.【题组二 求最值点最值】1．（2020·四川内江·高二期末（文））函数2cos y x x =+0,2p éùêúëû上的最大值是（ ）A ．2p-B ．6pC ．2D ．1【答案】B【解析】函数()2cos 0,2f x y x x x p éù==+Îêúëû，()'12sin f x x =-，令()'0f x =，解得6x p=．∴函数()f x 在0,6p éö÷êëø内单调递增，在,62p p æùçúèû内单调递减．∴6x p=时函数()f x 取得极大值即最大值．2cos 6666f p pp p æö=+=ç÷èø．故选B ．2．（2020·甘肃武威·高三月考（理））已知函数()cos x f x e x x =-.（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间[0,]2p上的最大值和最小值.【答案】（1）1y =；（2）最大值为1，最小值为2p-.【解析】（1）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0x f x x x f ¢¢=--=.又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.（2）设()e (cos sin )1x h x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x ¢=---=-，当π(0,2x Î时，()0h x ¢<，所以()h x 在区间π[0,2上单调递减，所以对任意π[0,]2x Î有()(0)0h x h £=，即()0f x ¢£，所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减，因此()f x 在区间π[0,2上的最大值为(0)1f =，最小值为()22f p p=-.3．（2020·江苏鼓楼·南京师大附中高三月考）已知函数2()f x alnx bx =-，a ，b R Î．若()f x 在1x =处与直线12y =-相切．（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在1[e，]e 上的最大值．【答案】（1）112a b =ìïí=ïî；（2）12- .【解析】（1）Q 函数2()(0)f x alnx bx x =->，()2af x bx x\¢=-，Q 函数()f x 在1x =处与直线12y =-相切，\(1)201(1)2f a b f b ¢=-=ìïí=-=-ïî，解得112a b =ìïí=ïî；（2）21()2f x lnx x =-，21()x f x x -¢=，当1x e e ……时，令()0f x ¢>得：11x e<…，令()0f x ¢<，得1x e <…，()f x \在1[e，1]，上单调递增，在[1，]e 上单调递减，所以函数的极大值就是最大值，()max f x f \=（1）12=-．4．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三月考（文））已知函数f （x ）＝ax 3+bx +c 在x ＝2处取得极值为c ﹣16.（1）求a 、b 的值；（2）若f （x ）有极大值28，求f （x ）在[﹣3，3]上的最大值和最小值.【答案】（1）1,12a b ==-；（2）最小值为4-，最大值为28.【解析】（1）因3()f x ax bx c =++ ，故2()3f x ax b ¢=+，由于()f x 在点2x =处取得极值，故有(2)0(2)16f f c ==-¢ìíî，即1208216a b a b c c +=ìí++=-î ，解得112a b =ìí=-î；（2）由（1）知 3()12f x x x c =-+，2()312f x x ¢=-令()0f x ¢= ，得122,2x x =-=，当(,2)x Î-¥-时，()0f x ¢>故()f x 在(,2)-¥-上为增函数；当(2,2)x Î- 时，()0f x ¢< 故()f x 在(2,2)- 上为减函数，当(2,)x Î+¥ 时()0f x ¢> ，故()f x 在(2,)+¥ 上为增函数．由此可知()f x 在12x =- 处取得极大值(2)16f c -=+，()f x 在22x = 处取得极小值(2)16f c =-，由题设条件知1628c += ，得12c =，此时(3)921f c -=+=，(3)93f c =-+=，(2)164f c =-=-，因此()f x 上[3,3]-的最小值为(2)4f =-，最大值为28.5．（2020·河南商丘·高三月考（文））已知()322126x mx f x x =--+的一个极值点为2.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]22-,上的最值.【答案】（1）函数()f x 的减区间为()1,2-，增区间为(),1-¥-，()2,+¥；（2）最小值是14-，最大值是13.【解析】（1）()322126x m x x f x =--+Q ，()26212x mx f x =--¢\，()322126x m x x f x =--+Q 的一个极值点为2，()262221220m f =´-´-\=¢，解得3m =.()3223126f x x x x =-\-+，()()()26612612f x x x x x ¢=--=+-，令()0f x ¢=，得1x =-或2x =；令()0f x ¢<，得12x -<<；令()0f x ¢>，得1x <-或2x >；故函数()f x 的减区间为()1,2-，增区间为(),1-¥-，()2,+¥.（2）由（1）知()3223126x x f x x =--+，()()()612f x x x ¢=+-，当21x -£<-时，()0f x ¢>；当12x -<£时，()0f x ¢<；()f x \在[]2,1--上为增函数，在(]1,2-上为减函数，1x \=-是()f x 的极大值点，又()22f -=，()113f -=，()214f =-，所以函数()f x 在[]22-,上的最小值是14-，最大值是13.6．（2020·重庆高二期末）已知()32133=+-f x x ax x （a R Î）在3x =-处取得极值.（1）求实数a 的值；（2）求()f x 的单调区间；（3）求()f x 在区间[]3,3-上的最大值和最小值.【答案】（1）1；（2）增区间为(),3-¥-，()1,+¥，减区间为()3,1-；（3）最大值为9，最小值为53-.【解析】（1）()223=+-¢f x x ax ，由于()f x 在3x =-处取得极值，故(3)0f ¢-=，解得1a =，经检验，当1a =时，()f x 在3x =-处取得极值，故1a =.（2）由（1）得()32133f x x x x =+-，()223f x x x ¢=+-，由()0f x ¢>得1x >或3x <-；由()0f x ¢<得31x -<<.故()f x 的单调增区间为(),3-¥-，()1,+¥，单减区间为()3,1-.（3）由（2）得函数()f x 的极大值为()39f -=，得函数()f x 的极小值为()513f =-，又()39f =，所以函数()f x 在区间[]3,3-上的最大值为9，最小值为53-.【题组三 已知极值及最值求参数】1．（2020·湖南其他（理））已知函数2(3))(x f x ae x a R =-Î，若[0,2]x Î时，()f x 在0x =处取得最大值，则a 的取值范围为（ ）A ．0a £B ．212a e ³C ．6a e<D ．2126a e e<<【答案】A【解析】∵6()6(xxx x f x ae x e a e ¢=-=-，令6()x xg x e=，∴6(1)()xx g x e-¢=，∴1x <时()0g x ¢>，()g x 在(,1)-¥单调递增；∴1x >时()0g x ¢<，()g x 在()1,+¥单调递减.如图，∴max (1)6)(g g x e==，∴当6a e ³时，60x xa e-³，∴()0f x ¢³，()f x 在R 上单调递增，不成立；当0a £时，()f x 在[0,2]上单调增减，成立；当60a e <<时，60x xa e-=有两个根1x ，()2120x x x <<，∵当1x x <时，60x xa e ->，()0f x ¢>；当12x x x <<时，60x xa e -<，()0f x ¢<；当2x x >时，60x xa e->，()0f x ¢>，∴()f x 在1[0,]x ，2[,)x +¥上单调递增，在12[,]x x 上单调递减，显然不成立.综上，0a £.故选：A2．（2020·河南郑州·高三月考（文））已知函数()323362f x x a x ax æö=-++ç÷èø，若()f x 在()1,-+¥上既有极大值，又有最小值，且最小值为132a -，则a 的取值范围为（ ）A ．11,62æö-ç÷èøB ．11,26--æöç÷èøC ．11,26æù--çúèûD ．11,22æö-ç÷èø【答案】C【解析】Q ()()()()23636361f x x a x a x a x ¢=-++=--的零点为2a 和1，因为()1132f a =-，所以1是函数的极小值即最小值点，则2a 是函数的极大值点，所以121a -<<，且()1132f a -³-，解得1126a -<£-.故选：C.3．（2020·广东高二期末（理））函数3()3f x x x =-在[0，]m 上最大值为2，最小值为0，则实数m 取值范围为（）A ．[1B ．[1，)+¥C ．(1D ．(1,)+¥【答案】A【解析】. 3()3f x x x =-Q ，2()333(1)(1)f x x x x \=-=+-¢，令()0f x ¢=，则1x =或1-(舍负)，当01x <…时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x ¢<，()f x 单调递减.Q 函数()f x 在[0，]m 上最大值为2，最小值为0，且(0)0f f ==，f （1）2=，1m \££.故选：A.4．（2020·贵州遵义·高三其他（文））若函数321()53f x x ax x =-+-无极值点则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,1)-B ．[1,1]-C ．(,1)(1,)-¥-+¥U D ．(,1][1,)-¥-+¥U 【答案】B 【解析】321()53f x x ax x =-+-Q ,2()21f x x ax ¢\=-+，由函数321()53f x x ax x =-+-无极值点知，()0f x ¢=至多1个实数根，2(2)40a \D =--£，解得11a -££，实数a 的取值范围是[1,1]-，故选：B5．（2020·四川省绵阳江油中学高二开学考试（理））函数()2x y x e =-+m 在[0，2]上的最小值是2-e ，则最大值是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】'(2)(1)x x x y e x e x e =+-=-，因为[0,2]x Î，所以当[0,1)x Î时，'0y <，当(1,2]x Î时，'0y >，所以函数在[0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增，所以函数在1x =处取得最小值，根据题意有2e m e -+=-，所以2m =，当0x =时，220y =-+=，当2x =时，y 022=+=，所以其最大值是2，故选：B.6．（2020·四川省绵阳江油中学高二月考（理））函数()33f x x ax a =--在()0,1内有最小值，则a 的取值范围为( )A ．01a £<B ．01a <<C ．11a -<<D ．102a <<【答案】B【解析】∵函数f （x ）=x 3﹣3ax ﹣a 在（0，1）内有最小值，∴f′（x ）=3x 2﹣3a=3（x 2﹣a ），①若a≤0，可得f′（x ）≥0，f （x ）在（0，1）上单调递增，f （x ）在x=0处取得最小值，显然不可能，②若a ＞0，f′（x ）=0解得，当x ，f （x ）为增函数，0＜xf （x ）在所以极小值点应该在（0，1）内，符合要求．综上所述，a 的取值范围为（0，1）故答案为B7．（2020·黑龙江高二期中（理））已知函数()()22ln f x ax a x x =-++（1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）当0a >时，若()f x 在区间[]1,e 上的最小值为-2，求a 的取值范围.【答案】(1) 函数()f x 的极大值为5ln 24--函数()f x 的极小值为2- (2) [)1,+¥【解析】（1）1a =，()23ln f x x x x =-+，定义域为()0,+¥，又()123f x x x =-+¢= ()()2211231x x x x x x---+=.当1x >或102x <<时()0f x ¢>；当112x <<时()0f x ¢<∴函数()f x 的极大值为15ln224f æö=--ç÷èø函数()f x 的极小值为()12f =-.（2）函数()()22ln f x ax a x x =-++的定义域为()0,+¥，且()()122f x ax a x =-++¢= ()()()2221211ax a x x ax x x-++--=，令()0f x ¢=，得12x =或1x a =，当101a<£，即1a ³时，()f x 在[]1,e 上单调递增，∴()f x 在[]1,e 上的最小值是()12f =-，符号题意；当11e a <<时，()f x 在[]1,e 上的最小值是()112f f a æö<=-ç÷èø，不合题意；当1e a³时，()f x 在[]1,e 上单调递减，∴()f x 在[]1,e 上的最小值是()()12f e f <=-，不合题意故a 的取值范围为[)1,+¥8．（2020·北京八中高二期末）已知函数22()(24)ln f x x ax x x =-+.（1）当1a =时，求函数()f x 在[1,)+¥上的最小值；（2）若函数()f x 在[1,)+¥上的最小值为1，求实数a 的取值范围；（3）若1a e>，讨论函数()f x 在[1,)+¥上的零点个数．【答案】（1）1；（2）(,1]-¥；（3）答案见解析.【解析】(1)当1a =时，22()(24)ln ,f x x x x x =-+()(44)ln 2424(1)(ln 1)f x x x x x x x ¢=-+-+=-+，因为[1,)x Î+¥，所以()0f x ¢³，所以()f x 为单调递增函数，所以min ()(1)1f x f ==．(2)()(44)ln 2424()(ln 1)f x x a x x a x x a x ¢=-+-+=-+，[1,)x Î+¥，当1a £时，()0f x ¢³，所以()f x 为单调递增函数，min ()(1)1f x f ==，符合题意；当1a >时，在[1,)a 上，()0,()f x f x ¢<单调递减，在(,)a +¥上，()0,()f x f x ¢>单调递增，所以min ()()f x f a =，因为()11f =，故()()11f a f <=，与()f x 的最小值为1矛盾.故实数a 的取值范围为(,1].-¥(3)由(2)可知，当11a e<£时，在[1,)+¥上，()f x 为单调递增函数，min ()1f x =，此时函数()f x 的零点个数为0；当1a >时，22min ()()2ln f x f a a a a ==-+，令22()2ln ,(1,)g x x x x x =-+Î+¥，则()4ln 224ln 0g x x x x x ax x ¢=--+=-<，函数()g x 单调递减，令22()2ln 0g x x x x =-+=，解得12x e =， 所以当12(1,)x e Î，()0>g x ，x e =，()0g x =，12(,)x e Î+¥，()0<g x ，所以当12(1,)a e Î时，min ()0f x >，此时函数()f x 在[1,)+¥上的零点个数为0； 当12a e =时，()0min f x =，此时函数()f x 在[1,)+¥上的零点个数为1；12min (,),()0a e f x Î+¥<，又()110f =>，故()f x 在()1,a 存在一个零点，()2240f a a =>，故()f x 在(),2a a 存在一个零点，此时函数()f x 在[1,)+¥上的零点个数为2． 综上，可得121(,)a e eÎ时，函数()f x 在[1,)+¥上的零点个数为0；12a e =时，函数()f x 在[1,+¥）上的零点个数为1；12(,)a e Î+¥，函数()f x 在()0f x ¢>上的零点个数为2.9．（2020·广东禅城·佛山一中高二月考）已知函数()ln x f x a x e =-；()1讨论()f x 的极值点的个数；()2若2a =，求证：()0f x <．【答案】（1）当a≤0时，f （x ）无极值点；当a ＞0时，函数y=f （x ）有一个极大值点，无极小值点；(2)见解析【解析】（1）根据题意可得，()(0)xx a a xe f x e x x x-=¢-=>，当0a £时，()0f x ¢<，函数()y f x =是减函数，无极值点；当0a >时，令()0f x =，得0x a xe -=，即x xe a =，又x y xe a =-在()0,+¥上存在一解，不妨设为0x ，所以函数()y f x =在()00,x 上是单调递增的，在()0,x +¥上是单调递减的.所以函数()y f x =有一个极大值点，无极小值点；总之：当0a £时，无极值点；当0a >时，函数()y f x =有一个极大值点，无极小值点.（2）()2ln xf x x e =-，()2(0)xxe f x x x ¢-=>，由（1）可知()f x 有极大值()0f x ，且0x 满足002x x e =①，又x y xe =在()0,+¥上是增函数，且02e <<，所以()00,1x Î，又知：()()000max 2ln xf x f x x e ==-，②由①可得002x e x =，代入②得()()00max 022ln f x f x x x ==-，令()22ln g x x x =-，则()()2221220x g x x x x +=+=>¢恒成立，所以()g x 在()0,1上是增函数，所以()()0120g x g <=-<，即()00g x <，所以()0f x <.10．（2020·四川达州·高二期末（理））已知a R Î，函数()ln f x x a x =-，()212g x x ax =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）记函数()()()h x g x f x =-，求()h x 在1,12éùêúëû上的最小值.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】（1）()()ln 0f x x a x x =->Q ，则()1a x a f x x x¢-=-=.当0a £时，当()0,x Î+¥时，()0f x ¢>，函数()y f x =单调递增；当0a >时，当(),x a Î+¥时，()0f x ¢>，函数()y f x =单调递增，当()0,x a Î时，()0f x ¢<，函数()y f x =单调递减.综上所述，当0a £时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,¥+；当0a >时，函数()y f x =的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +¥；（2）()()()21ln 2h x g x f x x ax x a x =-=--+，1,12x éùÎêúëû，()()()()2111x a x a x a x a h x x a x x x-++--¢=--+==.①当1a ³时，对任意的1,12x æöÎç÷èø，()0h x ¢>，函数()y h x =单调递增，所以，函数()y h x =在1,12éùêúëû上的最小值为()min 13ln 2282a h x h a æö==---ç÷èø；②若12a £，对任意的1,12x æöÎç÷èø，()0h x ¢<，函数()y h x =单调递减，所以，函数()y h x =在1,12éùêúëû上的最小值为()()min 112h x h a ==--；③若112a <<时，当1,2x a æöÎç÷èø时，()0h x ¢>，函数()y h x =单调递增，当(),1x a Î时，()0h x ¢<，函数()y h x =单调递减，又因为13ln 2282a h a æö=---ç÷èø，()112h a =--，()13111ln 2ln 2282282a a h h a a a æöæöæö-=------=+-ç÷ç÷ç÷èøèøèø.（i ）当1ln 2082a a +-³时，即当1128ln 24a <£-时，()112h h æö³ç÷èø，此时，函数()y h x =在区间1,12éùêúëû上的最小值为()()min 112h x h a ==--；（ii ）当1ln 2082a a +-<时，即当118ln 24a <<-时，()112h h æö<ç÷èø.此时，函数()y h x =在区间1,12éùêúëû上的最小值为()min 13ln 2282a h x h a æö==---ç÷èø.综上所述，()min 31ln 2,828ln 2411,28ln 24a a a h x a a ì--->ïï-=íï--£ï-î.11．（2020·四川省绵阳江油中学高二期中（文））已知函数232()(1)f x a x a x x b =-+++在1x =处取得极小值1．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[0,2]上的最值．【答案】（1）32()21f x x x x =-++（2）最小值为1，最大值为3．【解析】（1）22()32(1)1f x a x a x ¢=-++，由2(1)321(1)(31)0f a a a a ¢=--=-+=，得1a =或13a =-．当1a =时，2()341(1)(31)f x x x x x ¢=-+=--，则()f x 在1(,),(1,)3-¥+¥上单调递增，在1(,1)3上单调递减，符合题意，由(1)1211f b =-++=，得1b =；当13a =-时，214(1)(3)()1333x x f x x x ¢--=-+=，则()f x 在(,1),(3,)-¥+¥上单调递增，在(1,3)上单调递减，()f x 在1x =处取得极大值，不符合题意．所以32()21f x x x x =-++．（2）由（1）知()f x 在1[0,),(1,2]3上单调递增，在1(,1)3上单调递减，因为131(0)(1)1,(),(2)3327f f f f ====，所以()f x 的最小值为1，最大值为3．12．（2020·扶风县法门高中高二月考（理））已知函数2()()4x f x e ax b x x =+--，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+．（1）求,a b 的值；（2）讨论()f x 的单调性，并求()f x 的极大值．【答案】（1）4a b ==；（2）见解析.【解析】（1）()()24x x e ax b f a x =++--¢．由已知得()04f =，()04f ¢=．故4b =，8a b +=．从而4a =，4b =．（2）由（1）知，()()2414x f x e x x x =+--，()()()14224422x x f x e x x x e æö=+--=+-çè¢÷ø．令()0f x ¢=得，ln 2x =-或2x =-．从而当()(),2ln 2,x Î-¥--+¥U 时，()0f x ¢>；当()2,ln 2x Î--时，()0f x ¢<．故()f x 在(),2-¥-，()ln 2,-+¥上单调递增，在()2,ln 2--上单调递减．当2x =-时，函数()f x 取得极大值，极大值为()()2241f e --=-．。
近五年高考函数的极值和最值真题版(理科复习)
题型全归纳18——函数的极值和最值一 极值问题1求函数的极值1（2017新课标Ⅱ）若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，则21()(1)x f x x ax e -=+-的极小值为A ．1-B ．32e --C ．35e - D ．1 ．A 【解析】∵21()[(2)1]x f x x a x a e-'=+++-，∵(2)0f '-=，∴1a =-，所以21()(1)x f x x x e-=--，21()(2)x f x x x e -'=+-，令()0f x '=，解得2x =-或1x =，所以当(,2)x ∈-∞-，()0f x '>，()f x 单调递增；当(2,1)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 的极小值为11(1)(111)1f e -=--=-，选A ．2 极值点的个数问题。
1 (2015山东理21（1）) 设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，其中a ∈R . 讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由.解析 由题意知，函数()f x 的定义域为()1,-+∞，()()21212111ax ax a f x a x x x +-+'=+-=++．令()221g x ax ax a =+-+，()1,x ∈-+∞．当0a =时，()1g x =，此时()0f x '>，函数()f x 在()1,-+∞上单调递增，无极值点； 当0a >时，()()28198a a a a a ∆=--=-．① 当809a <„时，0∆„，()0g x …，()0f x '…， ② 函数()f x 在()1,-+∞上单调递增，无极值点； ③ 当89a >时，0∆>，设方程2210ax ax a +-+=的两根为1x ，2x ()12x x <．因为1212x x +=-，所以114x <-，214x >-．由()110g -=>，可得1114x -<<-．所以当()11,x x ∈-时，()0g x >，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当()12,x x x ∈时，()0g x <，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()2,x x ∈+∞时()0g x >，()0f x '>，函数()f x 单调递增．因此函数有两个极值点．当0a <时，0∆>．由()110g -=>，可得11x <-．当()21,x x ∈-时，()0g x >，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当()2,x x ∈+∞时，()0g x <，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以函数有一个极值点． 综上所述，当0a <时，函数有()f x 一个极值点； 当809a剟时，函数()f x 无极值点；当89a >时，函数()f x 有两个极值点． 3 极值点的存在问题1（2014新课标Ⅱ）设函数()x f x mπ=．若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是A ．()(),66,-∞-⋃+∞B ．()(),44,-∞-⋃+∞C ．()(),22,-∞-⋃+∞D ．()(),11,-∞-⋃+∞C 【解析】由正弦型函数的图象可知：()f x 的极值点0x 满足0()f x =，则22x k m πππ=+()k Z ∈，从而得01()()2x k m k Z =+∈．所以不等式()22200[]x f x m +<，即为2221()32k m m ++<，变形得21[1()]32m k -+>，其中k Z ∈．由题意，存在整数k 使得不等式21[1()]32m k -+>成立．当1k ≠-且0k ≠时，必有21()12k +>，此时不等式显然不能成立，故1k =-或0k =，此时，不等式即为2334m >，解得2m <-或2m >．2 设函数，其中为常数．若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；思路：()()2'2221b x x bf x x x x -+=-+=，定义域为()0,+∞，若函数的有极值点，则()'0f x =有正根且无重根，进而转化为二次方程根分布问题，通过韦达定理刻画根的符号，进而确定b 的范围解：（1）()()2'2221b x x bf x x x x -+=-+=，令()'0f x =即2220x x b -+=()f x Q 有极值点∴2220x x b -+=有正的实数根，设方程的根为12,x x ① 有两个极值点，即12,0x x >,1212480110202b x x b bx x ⎧⎪∆=->⎪∴+=⇒<<⎨⎪⎪=>⎩② 有一个极值点，即12=002bx x b ≤⇒≤∴综上所述：1,2b ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭ （2）思路：利用第（1）问的结论根据极值点的个数进行分类讨论方程2220x x b -+=的两根为：1x ==±① 当102b <<时，1211x x ==()f x ∴的单调区间为：∴()f x 的极大值点为1x =-1x =+x b x x f ln )1()(2+-=b ()f x b ()f x ()f x② 当0b ≤时，1210,1x x =<=+()f x ∴的单调区间为：∴()f x 的极小值点为1x =+综上所述：当102b <<时，()f x 的极大值点为1x =-1x =+当0b ≤时，()f x 的极小值点为1x =+3 (2019.2.21)已知函数()(1)ln 1f x x x x =---.证明：（1）()f x 存在唯一的极值点； （1）()f x 的定义域为（0，+∞）.11()ln 1ln x f x x x x x-'=+-=-. 因为ln y x =单调递增，1y x=单调递减，所以()f x '单调递增，又(1)10f '=-<，1ln 41(2)ln 2022f -'=-=>，故存在唯一0(1,2)x ∈，使得()00f x '=.又当0x x <时，()0f x'<，()f x 单调递减；当0x x >时，()0f x '>，()f x 单调递增. 因此，()f x 存在唯一的极值点.4 已知函数f （x ）=x （lnx ﹣ax ），（a ∈R ）．（2）若函数f （x ）既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围． ②当a ＞0时，令h'（x ）=0，可得，列表：xh'（x ）+0 ﹣h（x）↗极大值↘若，即，，即f'（x）≤0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，函数f（x）在（0，+∞）上不存在极值，与题意不符，若，即时，由于，且=，故存在，使得h（x）=0，即f'（x）=0，且当x∈（0，x1）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，x1）上单调递减；当时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，x1）上单调递增，函数f （x）在x=x1处取极小值．由于，且=（事实上，令，=，故μ（a）在（0，1）上单调递增，所以μ（a）＜μ（1）=﹣1＜0）．故存在，使得h（x）=0，即f'（x）=0，且当时，f'（x）＞0，函数f（x）在上单调递增；当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（x2，+∞）上单调递减，函数f（x）在x=x2处取极大值．综上所述，当时，函数f（x）在（0，+∞）上既有极大值又有极小值．5 已知函数f（x）=e x﹣m﹣xlnx﹣（m﹣1）x，m∈R，f′（x）为函数f（x）的导函数．（1）若m=1，求证：对任意x∈（0，+∞），f′（x）≥0；（2）若f（x）有两个极值点，求实数m的取值范围．【解答】（2）f（x）有两个极值点，即f′（x）=e x﹣m﹣lnx﹣m有两个变号零点．①当m≤1时，f′（x）=e x﹣m﹣lnx﹣m≥e x﹣1﹣lnx﹣1，由（1）知f′（x）≥0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数，无极值点；（6分）②当m ＞1时，令g （x ）=f′（x ），则，∵g′（1）=e 1﹣m ﹣1＜0＞0，且g′（x ）在（0，+∞）上单增，∴∃x 0∈（1，m ），使g′（x 0）=0．当x ∈（0，x 0）时，g′（x ）＜0；当x ∈（x 0，+∞）时，g′（x ）＞0． 所以，g （x ）在（0，x 0）上单调递减，在（x 0，+∞）上单调递增． 则g （x ）在x=x 0处取得极小值，也即最小值g （x 0）=．（8分）由g′（x 0）=0得m=x 0+lnx 0，则g （x 0）=（9分）令h （x ）=（1＜x ＜m ）则，h （x ）在（1，m ）上单调递减，所以h （x ）＜h （1）=0．即g （x 0）＜0，（10分）又x→0时，g （x ）→+∞，x→+∞时，g （x ）→+∞，故g （x ）在（0，+∞）上有两个变号零点，从而f （x ）有两个极值点．所以，m ＞1满足题意．（11分） 综上所述，f （x ）有两个极值点时，m 的取值范围是（1，+∞）．（12分）（其他解法酌情给分）【点评】题主要考查导数的综合应用，利用函数单调性极值和导数之间的关系是解决本题的关键．，对于参数要进行分类讨论，综合性较强，难度较大．4 极值和零点。
完整版)导数与极值、最值练习题
完整版)导数与极值、最值练习题三、知识新授一）函数极值的概念函数极值指的是函数在某个点上的最大值或最小值，包括极大值和极小值。
二）函数极值的求法：1）确定函数的定义域，并求出函数的导数f'(x)；2）解方程f'(x)=0，得到方程的根x（可能不止一个）；3）如果在x附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则f(x)是极大值；反之，则f(x)是极小值。
题型一图像问题1、函数f(x)的导函数图像如下图所示，则函数f(x)在图示区间上（）第二题图）A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点2、函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f'(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个3、若函数f(x)=x+bx+c的图像的顶点在第四象限，则函数f'(x)的图像可能为（）图略）4、设f'(x)是函数f(x)的导函数，y=f'(x)的图像如下图所示，则y=f(x)的图像可能是（）图略）A。
B。
C。
D。
5、已知函数f(x)的导函数f'(x)的图像如右图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是（）图略）6、f'(x)是f(x)的导函数，f'(x)的图像如图所示，则f(x)的图像只可能是（）图略）A。
B。
C。
D。
7、如果函数y=f(x)的图像如图，那么导函数y=f'(x)的图像可能是（）图略）ABCD8、如图所示是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)图像，则下列哪一个判断可能是正确的（）图略）A．在区间(-2,0)内y=f(x)为增函数B．在区间(0,3)内y=f(x)为减函数C．在区间(4,+∞)内y=f(x)为增函数D．当x=2时y=f(x)有极小值9、如果函数y=f(x)的导函数的图像如图所示，给出下列判断：①函数y=f(x)在区间(-3,-1/2)内单调递增；②函数y=f(x)在区间(-1/2,2)内单调递减。
函数的极值、最值作业
( )1．下列命题中正确的是A ．导数为0的点一定是极值点B ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0且f ′(x 0)＝0，那么f (x 0)是极大值 C ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0且f ′(x 0)＝0，那么f (x 0)是极小值D ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0且f ′(x 0)＝0，那么f (x 0)是最小值( )2．函数y ＝x ＋1x的极值情况是A ．既无极小值，也无极大值B ．当x ＝1时，极小值为2，但无极大值C ．当x ＝－1时，极大值为－2，但无极小值D ．当x ＝1时，极小值为2，当x ＝－1时，极大值为－2( )3．若f (x )＝－12x 2＋b ln (x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是 A ．[－1，＋∞) B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1] D ．(－∞，－1)( )4．已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则A ．函数f (x )有1个极大值点，1个极小值点B ．函数f (x )有2个极大值点，2个极小值点C ．函数f (x )有3个极大值点，1个极小值点D ．函数f (x )有1个极大值点，3个极小值点( )4. 设2:()ln 21p f x x x mx =+++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 ( )6．设函数f (x )＝2x ＋1x－1(x <0)，则f (x )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数( )7．[2011·福建卷] 若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于A ．2B ．3C ．6D ．9( )8．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()()sin f x tx x t R =-∈的值恒小于零，则t 的取值范围是A 、2t π≤B 、2t π≤C 、2t π≥D 、2t π<( )9．[2011·浙江卷] 设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图象不．可能．．为y ＝f (x )的图象是10．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为________．11．[2012·长春模拟] 已知函数f (x )＝x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x ＝－1时有极值0，则m ＋n ＝________.12．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________13．设函数1()1axx f x e x -+=- (1)写出定义域及f ’(x)的解析式，(2)设a>O ，讨论函数y=f(x)的单调性．14．(12分)已知函数f (x )＝x ln x .(1)求f (x )的最小值； (2)若对所有x ≥1都有f (x )≥ax －1成立，求实数a 的取值范围．15．已知xxx g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=，其中e 是自然常数，.a R ∈ （Ⅰ）讨论1=a 时, ()f x 的单调性、极值；（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，1()()2f xg x >+;（Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )＝x －1x <0，x >0，得0<x <1，f (x )在x ＝1时，取得最小值f (1)＝12－ln1＝12.．11 [解析] f ′(x )＝3x 2＋6mx ＋n ，依题意有 ＝0，1)＝0，即⎩⎨⎧m 2＋3m －n －1＝0，－6m ＋n ＋3＝0，⎩⎨⎧ m ＝2，n ＝9或⎩⎨⎧ m ＝1，n ＝3，检验知当⎩⎨⎧m ＝1，n ＝3时，函数没m ＋n ＝11. ．4 [解析] ∵y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，⎩⎨⎧ 3×22＋6a ×2＋3b ＝0，3×12＋6a ×1＋3b ＝－3⇒⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝0.y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0， x ＝0或x ＝2，∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. ] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (x )的导数f ′(x )＝1f ′(x )>0，解得x >1e ；令f ′(x )<0，解得0<x <1e .f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞单调递增． x ＝1e 时，f (x )取得最小值－1e . 法一：令g (x )＝f (x )－(ax －1)，则g ′(x )＝f ′(x )－a ＝1x ，a ≤1，当x >1时，g ′(x )＝1－a ＋ln x >1－a ≥0，g (x )在(1，＋∞)上为增函数，所以，x ≥1时，g (x )≥g (1)≥0，即f (x )≥ax －1.a >1，方程g ′(x )＝0的根为x 0＝e a －1， x ∈(1，x 0)，则g ′(x )<0，故g (x )在该区间为减函x ∈(1，x 0)时，g (x )<g (1)＝1－a <0，f (x )<ax －1，与题设f (x )≥ax －1相矛盾． a 的取值范围是(－∞，1]．f (x )≥ax －1在[1，＋∞)上恒成立，a ≤ln x ＋1x 对于x ∈[1，＋∞)恒成立．g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝1x －1x 2＝1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x . x >1时，因为g ′(x )＝1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x >0， g (x )是(1，＋∞)上的增函数，所以g (x )的最小值是g (1)a 的取值范围是(－∞，1]．（Ⅰ） x x x f ln )(-=，xx x x f 111)(-=-=' ……1分1<x 时，/()0f x <，此时()f x 单调递减 e <时，/()0f x >，此时()f x 单调递增 ……3分的极小值为1)1(=f ……4分 ()f x 的极小值为1，即()f x 在],0(e 上的最小值为1， 0)>，min ()1f x = ……5分 21ln 21)(+=+=x x x g ，xxx h ln 1)(-='， ……6分 e <时，0)(>'x h ，()h x 在],0(e 上单调递增 ……7分∴min max |)(|12121211)()(x f e e h x h ==+<+==∴在（1）的条件下，1()()2f xg x >+……9分 （Ⅲ）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3，/1()f x a x =-xax 1-= ……9分 ①当0≤a 时，)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=（舍去），所以，此时)(x f 无最小值. ……10分 ②当e a <<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a上单调递增 3ln 1)1()(min =+==a af x f ，2e a =，满足条件. ……11分③当e a≥1时，)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=（舍去），所以，此时)(x f 无最小值.综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3.。
高中数学中的函数极值与最值测试题
高中数学中的函数极值与最值测试题在高中数学的学习中，函数极值与最值问题一直是重点和难点。
为了帮助同学们更好地掌握这部分知识，下面我们来一起做一套相关的测试题。
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）1、函数＼（f(x) ＝ x^3 3x\）的极小值是（）A －2B 0C 2D 42、函数＼（f(x) ＝＼frac{1}｛2}x^2 ＼ln x\）的最小值为（）A ＼（＼frac{1}｛2}＼）B 1C ＼（＼frac{3}｛2}＼）D 23、已知函数＼（f(x) ＝ x^3 ＋ ax^2 ＋ bx ＋ c\），当＼（x ＝－1\）时取得极大值 7，当＼（x ＝ 3\）时取得极小值，那么＼（a ＋b\）的值为（）A －5B －7C －9D －114、函数＼（f(x) ＝ x ＋＼frac{1}｛x}＼）在区间＼（＼frac{1}｛2}， 3\）上的最大值为（）A ＼（＼frac{10}｛3}＼）B ＼（＼frac{5}｛2}＼）C 4D 55、函数＼（f(x) ＝ 2x^3 3x^2 12x ＋ 5\）在区间＼（0, 3\）上的最大值和最小值分别是（）A 5，－15B 5，－4C －4，－15D 5，－166、设函数＼（f(x) ＝ x^3 ＼frac{9}｛2}x^2 ＋ 6x a\），对于任意实数＼（x\），＼（f'（x) ＼geq m\）恒成立，则＼（m\）的最大值为（）A －3B 0C 3D 1二、填空题（每题 5 分，共 20 分）7、函数＼（f(x) ＝ x ＋＼sqrt{1 x}＼）的最大值为________。
8、函数＼（f(x) ＝＼sin^2x ＼cos x\）的最小值为________。
9、若函数＼（f(x) ＝ x^3 3x ＋ a\）有 3 个不同的零点，则实数＼（a\）的取值范围是________。
10、已知＼（f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 2\），＼（x ＼in －1, 1\），则函数＼（f(x)＼）的最大值为________。
专题15 导数与函数的极值、最值(原卷版)
1．已知极值求参数。若函数f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则f′(x0)＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反。
2、对于求解析式中含有参数的函数极值问题，一般要对方程f′(x)＝0的根的情况进行讨论，分两个层次讨论．第一层次，讨论在定义域内是否有根；第二层次，在有根的条件下，再讨论根的大小．
2023高考一轮复习讲与练
专题15导数与函数的极值、最值
练高考 明方向
1.（2022·全国甲（文T8）(理T6)）.当 时，函数 取得最大值 ，则 （）
A. B. C. D. 1
2.（2022·新高考Ⅰ卷T10）已知函数 ，则（）
A. 有两个极值点B. 有三个零点
C.点 是曲线 的对称中心D.直线 是曲线 的切线
8.(2019·北京高考理科·T19同2019·北京高考文科·T20)已知函数f(x)= x3-x2+x.
(1)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程.
(2)当x∈[-2,4]时,求证:x-6≤f(x)≤x.
(3)设F(x)=|f(x)-(x+a)|(a∈R),记F(x)在区间[-2,4]上的最大值为M(a),当M(a)最小时,求a的值.
(2)对于求解析式中含有参数的函数极值问题，一般要对方程f′(x)＝0的根的情况进行讨论，分两个层次讨论．第一层次，讨论在定义域内是否有根；第二层次，在有根的条件下，再讨论根的大小．
类型三、含参的极值问题
基本题型：
1．（求参数的值）设函数f(x)＝lnx＋ax2－ x，若x＝1是函数f(x)的极大值点，则函数f(x)的极小值为()
基本方法：
求函数f(x)在[a，b]上的最值的方法
(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；
极值和最值答案
1．函数()31f x ax x =++有极值的充要条件是（ ）A ．0a >B ．0a <C ．0a ≥D ．0a ≤ 【答案】B 【解析】 试题分析：()'231fx ax =+,当0a <时，()'f x 图象与x 轴有两个交点,存在极值.考点：1.利用导数求极值；2.充要条件.2．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小值为（ ）A ．1B ．2D 【答案】B 【解析】试题分析：设P 2(,ln )x x x -，点P到直线y ＝x －2的距离d =22()g x =2ln 2x x x --+（0x >），所以()g x '=221x x x--=(21)(1)x x x +-，当x ＜0时，()g x '＜0，当x ＞0时，()g x '＞0，则()g x 在（0,1）是减函数，在（1，+∞）上是增函数，则当x =1时，()g x 取极小值也是最小值(1)g =2，此时min d B ．考点：点到直线的距离公式，导数的综合运用．3．函数错误！未找到引用源。
在错误！未找到引用源。
内有极小值,则实数错误！未找到引用源。
的取值范围是（ ）A ．错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
【答案】D 【解析】试题分析：函数232y x a '=-=0，则,33x x ==-,所以要想满足条件必须01<<,所以302a <<.故选D.考点：导数在研究函数性质中的应用.4．函数32231,(0)(),(0)axx x x f x e x ⎧++≤=⎨>⎩在[2,2]-上的最大值为2，则a 的取值范围是（ ）（A ）1[ln 2,)2+∞ （B ）1[0,ln 2]2 （C ）(,0)-∞ （D ）1(,ln 2]2-∞ 【答案】D【解析】试题分析：先画出分段函数f （x ）的图象，如图．当x ∈[-2，0]上的最大值为2；欲使得函数32231(0)()(0)axx x x f x e x ⎧++≤=⎨>⎩在[2,2]-上的最大值为2，则当2x =时，2a e 的值必须小于等于2，即22a e ≤，解得：1(,ln 2]2a ∈-∞， 故选D.考点：函数最值的应用.5．函数f （x ）的定义域为开区间（a ，b ），导函数f ′（x ）在（a ，b ）内的图象如下图所示，则函数f （x ）在开区间（a ，b ）内有极大值点A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B 【解析】试题分析：函数()x f y =在点0x 处连续且()00='x f ，若在点0x 附近左侧()00>'x f ，右侧()00<'x f ，则点0x 为函数的极大值点，满足定义的点有2个. 考点：函数极值的定义.6．若函数323()12f x x x =-+，则（ ） A ．最大值为1，最小值为12B ．最大值为1，无最小值C ．最小值为12，无最大值 D ．既无最大值也无最小值【答案】D 【解析】试题分析：2()333(1)f x x x x x '=-=-，令2()333(1)0f x x x x x '=-=->，得0x <或1x >，令2()333(1)0f x x x x x '=-=-<，得01x <<，因此函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以在0x =时，函数()f x 取得极大值1，在1x =时，函数()f x 取得极小值12，但是函数()f x 在(,)-∞+∞上，既无最大值也无最小值，弄清楚极值与最值是两个不同的概念，就不会选错答案，此处选择D.考点：导数的应用、函数的极值与最值.7．函数32()23f x x x a =-+的极大值为6，那么a 的值是（ ）A ．5B ．0C ．6D ．1 【答案】C 【解析】试题分析：∵函数f （x ）=2x 3-3x 2+a ，导数f ′（x ）=6x 2-6x ，令f ′（x ）=0，可得 x=0 或 x=1，导数在 x=0 的左侧大于0，右侧小于0，故f （0）为极大值．f （0）=a=6．导数在 x=1 的左侧小于0，右侧大于0，故f （1）为极小值．故选：C ．考点：函数在某点取得极值的条件．8．函数b bx x x f 33)(3+-=在)1,0(内有极小值，则 A ．10<<b B ．1<b C ．0>b D ．21<b 【答案】A 【解析】试题分析：因为函数在（0，1）内有极小值，所以极值点在（0，1）上．令'()f x =32x -3b=0，得2x =b ，显然b ＞0，考点：利用导数研究函数的极值与参数的范围问题． 9．函数错误！未找到引用源。
《导数与极值、最值关系》能力练习题
《导数与极值、最值关系》能力练习题一、单选题1．若1x =是函数()xf x e ax =-的极值点，则方程()f x a =在()2,+∞的不同实根个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．02．函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处有极大值3-，则+a b 的值等于（ ）A ．9B ．6C ．3D ．23．已知函数()ln f x x ax =-的图象在1x =处的切线方程为0x y b ++=，则()f x 的极大值为（ ）A ．ln21--B ．ln21-+C ．1-D ．14．已知1x =是函数32()3f x ax x =-的极小值点，则函数()f x 的极小值为（ ）A ．0B ．1-C ．2D ．45．已知函数()2()xf x x a e =-，则“1a ≥-”是“()f x 有极值”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]既有极大值又有极小值，则a 的取值范围是（ ）A ．(－1,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)7．已知32()f x x px qx =++的图像与x 轴相切于非原点的一点，且f (x )极小值=-4，那么p ，q 值分别为（ ）A ．8，6B ．9，6C ．4，2D ．6，98．若函数321()13f x x x =+-在区间(,3)m m +上存在最小值，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[5,0)-B ．(5,0)-C ．[3,0)-D ．(3,0)-9．已知函数2(1)1ax y x x =>-有最大值4-，则a 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．4D ．4-10．若函数322312y x x x m =--+在[0，3]上的最大值为5，则m =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．811．若函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在[-2，1]上的最大值为92，则m 等于（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．5212．已知函数2()(0)x f x a x a =>+在[1,)+∞上的最大值为3，则a 的值为（ ）A ．31-B ．34C ．43D ．31+13．已知函数()2()xf x x a e =+有最小值，则函数()y f x '=的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不确定14．已知定义在[,]m n 上的函数()f x ，其导函数()'f x 的大致图象如图所示，则下列叙述正确的个数为（ ）①函数()f x 的值域为[(),()]f d f n ；②函数()f x 在[,]a b 上递增，在[,]b d 上递减； ③()f x 的极大值点为x c =，极小值点为x e =；④()f x 有两个零点. A ．0B ．1C ．2D ．315．已知函数()()211x f x x ax e-=+-在(),2x ∈-∞-单调递增，在()2,1x ∈-单调递减，则函数()f x 在[]2,2x ∈-的值域是（ ） A ．[]1,e - B ．31,5e -⎡⎤-⎣⎦C ．11,e ---⎡⎤⎣⎦D ．35,e e -⎡⎤⎣⎦二、填空题 16．若函数321()53f x x ax x =-+-无极值点，则实数a 的取值范围是_________． 17．若函数2()2(0)x f x m e x x m =⋅-+<在(0,1)上有极值点，则m 的取值范围为___________. 18．已知函数在()3223(,)f x x mx nx m m n R =+++∈，1x =-时取得极小值0，则m n +=__________． 19．已知函数()()321233f x x ax a x =++++在(),-∞+∞上存在极值点，则实数a 的取值范围是_____________.20．已知()3222f x x cx c x =-+在2x =处有极小值，则常数c 的值为___________.21．已知32()263f x x x =-+，对任意的2][2x ∈-，都有()f x a ≤，则a 的取值范围为_______.22．已知函数()1ln x f x x =+在区间1,2a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（其中0a >）上存在最大值，则实数a 的取值范围是_______.23．若函数()33f x x x =-在区间()25,a a -上有最大值，则实数a 的取值范围是______.24．若函数()3213f x x x =-在区间(),4a a +内存在最大值，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题 25．已知.函数.e 为自然对数的底．（1）当时取得最小值,求的值;（2）令，求函数在点P 处的切线方程．26．已知函数32()3()f x x ax x a =-+∈R 在1x =处有极值.（1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间.27．已知函数e 1()ln x f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其中k 为常数， 2.71828e =…为自然对数的底数. （1）若2e k =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在区间(1,2)上单调，求k 的取值范围.28．已知32()1f x x ax bx =+++在1x =与1=3x -时取得极值． （1）求,a b 的值；（2）求()f x 的极大值和极小值；（3）求()f x 在[]1,2-上的最大值与最小值.29．已知函数()2ln f x a x bx =-，a ､b R ∈，若()f x 在1x =处与直线12y相切. （1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极值.30．设函数3()65,f x x x x R =-+∈.（1）求(2)f '的值；（2）求()f x 的单调区间和极值；（3）若关于x 的方程()f x a =有3个不同实根，求实数a 的取值范围.《导数与极值、最值关系》能力练习题参考答案1．A 【解析】由()'x f x e a =-，得()10'=-=f e a ，则a e =，()xf x e ex =-，函数()f x 在()2,+∞，()()'0,f x f x >单调递增，()222f e e e =-<,函数()y f x =与y a =的交点个数为1个.故选A ．2．B 【解析】由题意得2()1222f x x ax b '=--，因为()f x 在1x =处有极大值3-，所以(1)12220(1)4223f a b f a b =--=⎧⎨=--+=-'⎩，解得3,3a b ==，所以6a b +=，故选：B 3．A 【解析】因为()ln f x x ax =-，所以1()f x a x'=-，又因为函数()f x 在图象在1x =处的切线方程为0x y b ++=，所以(1)1f a b =-=--，(1)11f a ='-=-，解得2a =，1b =.由112()2x f x x x-'=-=，102x <<，()0f x '>，12x >，()0f x '<，知()f x 在12x =处取得极大值，11ln 1ln 2122f ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭.故选：A. 4．B 【解析】由题意，函数32()3f x ax x =-，可得2()363(2)f x ax x x ax '=-=-，因为1x =是函数32()3f x ax x =-的极小值点，则()01f '=，即31(2)0a ⨯⨯-=，解得2a =，可得()6(1)f x x x '=-，当0x <或1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当1x =是函数32()3f x ax x =-的极小值点，所以函数的极小值为32(1)21311f =⨯-=-⨯.故选：B.5．B 【解析】()2()20xf x x x a e '=-=+，220x x a +-=，44a ．若440a ∆=+≤，1a ≤-则()2()20x f x x x a e '=+-≥恒成立，()f x 为增函数，无极值；若440a ∆=+>，即1a >-，则()f x 有两个极值．所以“1a ≥-”是“()f x 有极值”的必要不充分条件．故选:B6．D 【解析】因为32()33[(2)1]f x x ax a x =++++，所以2()363(2)f x x ax a '=+++，函数()f x 有极大值又有极小值，()0f x ∴'=有两个不相等是实数根，∴23636(2)0a a ∆=-+>，化为220a a -->，解得2a >或1a <-．则a 的取值范围是(-∞，1)(2-，)+∞．故选：D ．7．D 【解析】设切点为()(),00a a ≠，()2()f x x x px q =++，由题意得：20x px q ++=有两个相等实根，所以()2223()2f x x x a x ax a x =--+=，()()2233()4f x x ax a x a x a '-+-=-=，令()0f x '=，得3ax =或x a =，因为f (x )极小值=-4，而()04f a =≠-，所以()43a f =-，即2433a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得3a =-，所以32()69f x x x x =++，所以6,9p q ==.故选：D 8．D 【解析】函数321()13f x x x =+-的导函数为2()2f x x x =+'，令()0f x '=，得2x =-或0x =，故()f x 在(,2),(0,)-∞-+∞上单调递增，在(2,0)-上单调递减，则0x =为极小值点，2x =-为极大值点.由()f x 在区间(,3)m m +上存在最小值，可得03m m <<+，解得30m -<<，此时32211()1(3)11(0)33f m m m m m f =+-=+->-=，因此实数m 的取值范围是(3,0)-，故选：D.9．B 【解析】因为函数2(1)1ax y x x =>-，所以2222222(1)2111(1)(1)(1)ax ax x ax ax ax y a x x x x '⎛⎫⎡⎤---====- ⎪⎢⎥----⎣'⎦⎝⎭，令0y '=，解得2x =或0x =（舍去）.若函数在区间(1,)+∞上有最大值4-，则最大值必然在2x =处取得，所以441a=-，解得1a =-，此时2(2)(1)x x y x '--=-，当12x <<时，0y '>，当2x >时，0y '<，所以当2x =时y 取得最大值4-，故选：B.10．C 【解析】()()26612612y x x x x '=--=+-，当[]0,2x ∈时，0y '<，函数单调递减，当[]2,3x ∈时，0y '>，函数单调递增，当0x =时，y m =，当3x =时，9y m =-，则函数在[]0,3上的最大值为m ，则5m =.故选：C.11．C 【解析】'2333(1)y x x x x =+=+，易知，当10x -<<时，'0y <，当21x -<<-或01x <<时，'0y >，所以函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在(2,1)--，(0,1)上单调递增，在(1,0)-上单调递减，又当1x =-时，12y m =+，当1x =时，52y m =+，所以最大值为5922m +=，解得2m =.故选：C 12．A 【解析】由2()x f x x a =+，得()222()a x f x x a '-=+，当1a >时，若x >()0,()f x f x '<单调递减，若1x <<()0,()f x f x '>单调递增，故当x =()f x 有最大值=，解得314a =<，不符合题意.当1a =时，函数()f x 在[1,)+∞上单调递减，最大值为1(1)2f =，不符合题意.当01a <<时，函数()f x 在[1,)+∞上单调递减.此时最大值为1(1)1f a ==+，解得31a ，符合题意.故a 1.故选：A .13．C 【解析】由题意，()2()2xf x x a e x +'=+，因为函数()f x 有最小值，且0x e >，所以函数存在单调递减区间，即()0f x '<有解，所以220x x a ++=有两个不等实根，所以函数()y f x '=的零点个数为2.故选：C.14．B 【解析】根据导函数()'f x 的图象可知，当[,)x m c ∈时，()0f x '>，所以函数()f x 在[,]m c 上单调递增，当(,)x c e ∈时，()0f x '<，所以函数()f x 在[,]c e 上单调递减，当(,]x e n ∈时，()0f x '>，所以函数()f x 在(,]e n 上单调递增，故②错误，③正确，根据单调性可知，函数的最小值为()f m 或()f e ，最大值为()f c 或()f n ，故①错误，当()0>f m 且()0f e >时，函数无零点，故④错误.故选：B.15．A 【解析】由()()2121x x a x a ef x -⎡⎤=+++-⎣⎦'，由已知可得()201f a '-=⇒=-，则()()211x f x x x e -=--，()()212x f x x x e -'=+-，当[]2,1x ∈-，()()0f x f x '<⇒单调递减，当(]1,2x ∈，()()0f x f x '>⇒单调递增，则()()min 11f x f ==-，()325f e --=，()2f e =，()()max 2f x f e ==，综上：()[]1,f x e ∈-.故选：A16．[]1,1-【解析】因为321()53f x x ax x =-+-，所以2()21f x x ax '=-+，因为函数321()53f x x ax x =-+-无极值点，所以2240a，解得11a -≤≤，实数a 的取值范围是[]1,1-，17．(2,0)-【解析】因为2()2(0)x f x m e x x m =⋅-+<，所以()22(0)x f x m e x m '=⋅-+<，因为函数2()2(0)x f x m e x x m =⋅-+<在(0,1)上有极值点，所以()22(0)xf x m e x m '=⋅-+<在(0,1)上有零点，因为(0),22x y m e m x y =⋅-=<+在(0,1)上都递减，所以()'f x 在(0,1)上为减函数，所以(0)20(1)0f m f me =+>⎧⎨=<''⎩，解得20m -<<.18．11【解析】322()3f x x mx nx m =+++，2()36f x x mx n ∴'=++，依题意可得(1)0(1)0f f -=⎧⎨'-=⎩即2130360m n m m n ⎧-+-+=⎨-+=⎩，解得29m n =⎧⎨=⎩或13m n =⎧⎨=⎩，当1m =，3n =时函数32()331f x x x x =+++，22()3633(1)0f x x x x '=++=+，函数在R 上单调递增，函数无极值，故舍去；所以29m n =⎧⎨=⎩，所以11+=m n ．19．{|1a a <-或}2a >【解析】由题可知：()222f x x ax a '=+++，因为函数()f x 在(),-∞+∞上存在极值点，所以()0f x '=有解，所以()244120a a ∆=-⨯⨯+≥，则1a ≤-或2a ≥，当1a =-或2a =时，函数()y f x ='与x 轴只有一个交点，即()0f x '≥，所以函数()f x 在(),-∞+∞单调递增，没有极值点，故舍去，所以1a <-或2a >，即{|1a a <-或}2a >20．2【解析】由()3222f x x cx c x =-+知，()2234f x x cx c '=-+，因为()f x 在2x =处取极小值，所以()221280f c c '=-+=，解得2c =或6c =，当2c =时，2()384(32)(2)f x x x x x ==-'-+-，()f x 在2x =处取极小值，符合题意，当6c =时，2()324363(2)(6)f x x x x x '=-+=--，()f x 在2x =处取极大值，不符合题意，综上知，2c =.21．[3)+∞，【解析】由2()6120f x x x '=-=得0x =或2x =，在区间[-2,0)上()'0f x >,()f x 单调递增；在(0,2)内时()()'0,f x f x <单调递减.又(2)37f -=-，(0)3f =，(2)5f =-，∴max ()3f x =，又()f x a ≤对于任意的x ∈[-2,2]恒成立，∴3a ≥，即a 的取值范围是[)3,+∞ 22．112a <<【解析】因为()1ln x f x x +=，0x >，所以()2ln x f x x '=-.当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<.所以()f x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，所以函数()f x 在1x =处取得极大值.因为函数()f x 在区间1,2a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（其中0a >）上存在最大值，所以1112a a <⎧⎪⎨+>⎪⎩，解得112a <<. 23．()1,2-【解析】由题意得：233fxx ，令()0f x '<解得11x -<<；令()0f x '>解得1x <-或1x >，所以函数在(),1-∞-上是增函数，在()1,1-上是减函数，在()1,+∞上是增函数，故函数在1x =-处取到极大值2，所以极大值必是区间()25,a a -上的最大值，∴251a a -<-<，解得-1a 2<<.检验满足题意24．(]4,1--【解析】由题可知：()22f x x x '=-．令()00'>⇒<f x x 或2x >，令()002'<⇒<<f x x ，所以函数()f x 在()0,2单调递减，在()(),0,2,-∞+∞单调递增，故函数的极大值为()00f =，所以在开区间(),4a a +内的最大值一定是()00f =，又()()300f f ==，所以0443a a a <<+⎧⎨+≤⎩，得实数a 的取值范围是(]4,1--．25．【解析】（1），由得，由得，（2），26．【解析】（1）∵2()361f x x ax '=-+，函数32()3f x x ax x =-+在1x =处有极值，∴()10f '=，解得23a =(经检验，符合题意). （2）由（1）知32()2=-+f x x x x ，则2()341(1)(31)f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，得11x =，213x =. 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1(1,)+∞()'f x+-+()f x极大值极小值∴函数()f x 的单调增区间为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(1,)+∞，单调减区间为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭.27．【解析】（1）2222(1)e 11(1)e 1()x x x x x f x k k x x x x x ---⎛⎫'=--+=- ⎪⎝⎭，即()2(1)()x x e k f x x--'= 当2e k =时()22(1)()x x e e f x x--'=，0x >。
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练习题
1. 已知a 是实数，函数()()2f x x x a =-．
⑴若(1)3f '=，求a 的值及曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程； ⑵求()f x 的极值．
⑶求()f x 在区间[]02，
上的最大值．
2. 已知a 为实数，2()(4)()f x x x a =--．
⑴求导数()f x '；
⑵若(1)0f '-=，求()f x 在[22]-，上的最大值和最小值； ⑶若()f x 在(2)-∞-，和(2)+∞，
上都是递增的，求a 的取值范围
3. 已知函数()2()ln 12
ax f x x a x =+-+，a ∈R ，且0a ≥． ⑴若(2)1f '=，求a 的值；
⑵当0a =时，求函数()f x 的最大值；
⑶求函数()f x 的单调递增区间．
4. 已知函数3221()(1)(,)3
f x x ax a x b a b =-+-+∈R
⑴若1x =为()f x 的极值点，求a 的值；
⑵若()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=，求()f x 在区间
[2,4]-上的最大值；
⑶当0a ≠时，若()f x 在区间(1,1)-上不单调，求a 的取值范围．
5. 设0a >，函数2()|ln 1|f x x a x =+-．
⑴ 当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； ⑵ 当3a =时，求函数()f x 的单调性；
⑶ 当4a =，[1)x ∈+∞，时，求函数()f x 的最小值．
6. 已知()ln()[0)f x ax x x e =--∈-，，．
⑴ 当1a =-时，讨论()f x 的单调性、极值；
⑵ 是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，如果存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．。