.隐函数微分法

第五节 隐函数微分法
教学目的：(1) 了解隐函数存在定理的条件与结论；
(2) 会求隐函数的导数和偏导数。

教学重点：方程、方程组确定的二元隐函数的偏导数或全微分计算。

教学难点：方程、方程组确定的二元隐函数的偏导数或全微分计算。

教学方法：讲练结合 教学时数：2课时
一、一个方程的情形
1.(,)0F x y =
定理5.1 （隐函数存在定理1） 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内满足： ①具有连续的偏导数(,),(,)x y F x y F x y ， ②00(,)0F x y =， ③00(,)0y F x y ≠，
则方程(,)0F x y =在点00(,)P x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值且具有连续导数的函数()y f x =，它满足条件00()y f x =，并有
y
x F F
dx dy -=. （1）
说明：
1）定理的条件是充分的，如方程330y x -=在原点(0,0)不满足条件③, 但它仍能确定唯一单值连续且可导函数y x =
2）若③换成00(,)0x F x y ≠，则确定隐函数(),x x y =在点00(,)x y 可导, 且
.y x
F dx
dy F =- 定理的证明从略，仅对公式（1）作如下推导：
设方程(,)0F x y =在点00(,)P x y 的某一邻域内确定一个具有连续导数的隐函数
()y f x =，则有恒等式 (,())0,F x f x ≡
两边对x 求导，得 0,x y
dy
F F dx +=由00(,)0y F x y ≠，得
y
x F F dx dy -=。

隐函数的求导公式
例１验证方程012
2=-+y x 在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值可导且0=x 时1=y 的隐函数()y f x =，并求这函数的一阶和二阶导数在0=x 的值.
解：令1),(2
2-+=y x y x F ，则 ,2x F x =,2y F y =,0)1,0(=F ,02)1,0(≠=y F
依定理知方程012
2
=-+y x 在点)1,0(的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且0=x 时
1=y 的函数)(x f y =．函数的一阶和二阶导数为
y x F F dx dy -= ,y
x -= ,00
==x dx dy
2
22y y x y dx y d '--=2
y y x x y ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
---=,13y -=
.10
2
2-==x dx y d
例2 已知x y
y x arctan ln
22=+，求dx
dy .
解：令,arctan ln ),(2
2x
y y x y x F -+= 则
,),(22y x y x y x F x ++=
,),(2
2y
x x
y y x F y +-= 所以
y x F F dx dy -= .x
y y x -+-= 2.(,,)0F x y z =
定理5.2（隐函数存在定理2） 设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内满足： ①具有连续的偏导数， ②000(,,)0F x y z =， ③000(,,)0z F x y z ≠，
则方程(,,)0F x y z =在点000(,,)P x y z 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数(,)z f x y =，它满足条件000(,)z f x y =，并有
z x F F x z -=∂∂， z
y F F y z
-=∂∂. 定理的证明从略，偏导公式与一元隐函数类似，请自己推导.
例3 设042
2
2
=-++z z y x ，求22x
z
∂∂.
解：令,4),,(2
22z z y x z y x F -++=则,2x F x = ,42-=z F z
,2z x F F x z z x -=-=∂∂ 22
x
z ∂∂2)2()2(z x z x
z -∂∂+-=2
)2(2)2(z z x
x z --⋅+-= .)2()2(32
2z x z -+-=
例4 设),(xyz z y x f z ++=，求
x z ∂∂，y x ∂∂，z
y
∂∂. 思路：把z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得
x
z
∂∂，把z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得x z ∂∂，把y 看成z x ,的函数对z 求偏导数得z
y ∂∂. 解：令,z y x u ++= ,xyz v = 则),,(v u f z = 把z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得
x z ∂∂)1(x z f u ∂∂+⋅=),(x
z
xy yz f v ∂∂+⋅+ 整理得
x z
∂∂,1v
u v u xyf f yzf f --+=把x 看成y z ,的函数对y 求偏导数得 )1(
0+∂∂⋅=y x f u ),(y
x
yz xz f v ∂∂+⋅+ 整理得
y
x
∂∂ ,v u v u
yzf f xzf f ++-= 把y 看成z x ,的函数对z 求偏导数得 )1(
1+∂∂⋅=z y f u ),(z
y
xz xy f v ∂∂+⋅+ 整理得
z
y ∂∂.1v u v
u xzf f xyf f +--=
二、方程组的情形
(,,)0
1.(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩
为了叙述方便，引入雅可比（Jacobi ）行列式：
(,)(,)x
y x
y F F F G G G x y ∂=
∂，
(,,)
(,,)
x
y z x y z x y z
F F F F
G
H G G G x y z H H H ∂=∂
定理5.3（隐函数存在定理3） 设(,,)F x y z 、(,,)G x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内满足：
①具有对各个变量的一阶连续偏导数，
②000(,,)0F x y z =，000(,,)0G x y z = ③
000(,,)
(,)
0(,)x y z F G x y ∂≠∂，
则方程组 (,,)0
(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩在点000(,,)P x y z 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有
连续偏导数的函数()
()y y x z z x =⎧⎨=⎩
，它们满足条件00()y y x =,00()z z x =，并有
(,)
(,),(,)(,)x z x z
y z y
z
F F F
G G G dy x z F G F F dx
y z G G ∂∂=-=-
∂∂
(,)(,).(,)(,)y
x y x y z y
z
F F F
G G G y x dz F G F F dx
y z G G ∂∂=-=-∂∂
2. (,,,)0(,,,)0
F x y u v
G x y u v =⎧⎨=⎩ 定理5.4（隐函数存在定理4） 设(,,,)F x y u v 、(,,,)G x y u v 在点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内满足：
①具有对各个变量的一阶连续偏导数，
②0000(,,,)0F x y u v =，0000(,,,)0G x y u v = ③
0000(,,,)
(,)
0(,)x y u v F G u v ∂≠∂，
则方程组(,,,)0
(,,,)0F x y u v G x y u v =⎧⎨=⎩在点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且
具有连续偏导数的函数(,)
(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩
，它们满足条件000(,)u u x y =,v v =000(,)x y ，并有
(,)1,(,)F G u x J x v ∂∂=-∂∂ (,)
1(,)F G v x J u x ∂∂=-∂∂， (,)1,(,)F G u y J y v ∂∂=-∂∂ (,)1.(,)
F G v y J u y ∂∂=-∂∂
定理的证明从略，仅推导偏导数公式如下：（同时也提供了一种比较实用的方法）
设方程组(,,,)0(,,,)0F x y u v G x y u v =⎧⎨=⎩有隐函数组(,)
,(,)u u x y v v x y =⎧⎨
=⎩
则 (,,(,),(,))0
(,,(,),(,))0F x y u x y v x y G x y u x y v x y ≡⎧⎨
≡⎩
两边对x 求偏导得 00x
u v x u
v u v F F F x x u v G G G x x ∂∂⎧
+⋅+⋅=⎪∂∂⎪
⎨∂∂⎪+⋅+⋅=⎪∂∂⎩
（这是关于u x ∂∂，v x ∂∂的线性方程组）
在点P 的某邻域内，系数行列式0,u
v
u v
F F J
G G =
≠故得
(,)1(,)u F G x J x v ∂∂=-∂∂，(,)
1(,)
v F G x J u x ∂∂=-
∂∂ 同理可得
(,)1(,)u F G y J y v ∂∂=-∂∂，(,)
1(,)
v F G y J u y ∂∂=-
∂∂ 例5：设22250,23 4.
x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩，，求 , dy dz
dx dx .
解1：直接代入公式；
解2：方程两边对x 求导:
2220,1230.dy dz x y z dx dx
dy dz dx dx ⎧
++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩
即
,23 1.dy
dz y z x dx dx
dy dz dx
dx ⎧+=-⎪⎪⎨
⎪+=-⎪⎩ 23
y z
J =
32.y z =-在0≠J 的条件下， 1323x z u y z x
--∂=∂3,32z x y z -=- 2123
y x v y z x --∂=∂2,32x y y z -=- 例6：设0=-yv xu ，1=+xv yu ，求
x u ∂∂，y u ∂∂，x v ∂∂和y
v
∂∂. 解1：直接代入公式；
解2：运用公式推导的方法，将所给方程的两边对x 求导并移项得
,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂v
x v x x
u y u x v y x u
x x y y x J -= ,2
2y x +=在0≠J 的条件下，
x y y x x v y u x u ----=∂∂,22y x yv xu ++-= x
y y x v y u
x x v ---=∂∂,2
2y x xv yu +-= 将所给方程的两边对y 求导，用同样的方法可得
,22y x yu xv y u +-=∂∂ .2
2y x yv xu y v ++-=∂∂ 解3：（用全微分法） 方程组两边求全微分，得
00udx xdu vdy ydv udy ydu vdx xdv +--=⎧⎨+++=⎩ 即xdu ydv udx vdy
ydu xdv vdx udy -=-+⎧⎨
+=--⎩
解得：2222
1[()()]1[()()]du xu yv dx xv yu dy x y dv yu xv dx xu yv dy x y ⎧
=--+-⎪+⎪
⎨⎪=-+--⎪+⎩
所以，有
22,
xu yv u x x y +∂=-∂+ ,22y x yu xv y u +-=∂∂ v x ∂∂,22y x xv yu +-=.2
2y x yv xu y v
++-=∂∂ 内容小结:
隐函数的求导法则（分以下几种情况）：
1.(,)0F x y =；
2.(,,)0F x y z =； 3．(,,)0
(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨
=⎩ 4.⎩
⎨⎧==00)v ,u ,y ,x (G )v ,u ,y ,x (F ． 思考题：已知)z
y
(z x ϕ=，其中ϕ为可微函数，求?y z y
x z x =∂∂+∂∂ 解答：z
作业: 练习册P16---P19.。