《固体物理基础教学课件》第3章.ppt

ω和q满足以下的色散关系
2 4 sin2 ( aq)
m
2
连续介质中的波（如声波）可表示为
i
Ae
(t
2
x
)，则可看出
格波和连续介质波具有完全类似的形式
一个格波表示的是所有原子同时做频率为ω的振动
aq取值任意加减2π的整数倍对所有原子的振动没有影响，所
以可将波数q取值限制为
a
q
a
3-1 简约布里渊区
长声学波的频率太低，无法 与电磁波作用
c c0q
长光学波可与远红外光作用
离子晶体中光学波的共振能引 起对远红外光的强烈吸收，可 应用于红外光谱学
频率
q 0,
2 sin(aq) a
mM
2 q
mM
两种原子振幅比值
B A
1
两种原子的振幅和位
相趋于一致，运动方
式没有差别
长声学波代表原胞质 心（原胞整体）振动
3-2 光学波的长波极限
频率
q 0,
2
mM mM
两种原子振幅比值
B A
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m M
同种原子振动位相一致，
3-1 边界条件
一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个原 子的振动形式都一样
实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的原子 不能用中间原子的运动方程来描述
但如果用与其它原子不同的运动方程描述两端的少数原子， 则会导致相互联立的方程求解更加复杂
采用玻恩－卡曼周期性边界条件避免这种情况 含义：原子链首尾的振动情况必须复原 玻恩－卡曼周期性
边界条件限制波数 在简约布里渊区内 取均匀分布的N个 分立值
3-1 格波的色散关系
2 4 sin2 ( aq)
(q)
m
2
ω取正值，则有
2 sin(aq)
m2 频率是波数的偶函数
色散关系曲线具有周期性，
q
- - 2 0 2
aa
aa
仅取简约布里渊区的结果即可
由正弦函数的性质可知，只有满足 0 2 / m 的格波
aq取值任意加减2π的整数倍对 所有原子的振动没有影响
红线：q=π/2a
绿线：q=5π/2a
将波数q取值限制为 q
a
a
即波数q取值在简约布里渊区
（第一布里渊区）中
第一章内容： 简约布里渊区内的全部波矢代 表了晶体中所有的状态，区外 的波矢都可通过平移倒格矢在 该区内找到等价状态点；讨论 固体性质时，可以只考虑第一 布里渊区。
能量(eV) 0.01
声子
0.1
1 100 10000
3-2 一维双原子链模型
一维双原子链模型 声学波与光学波 声学波与光学波的长波极限 长光学波的特性
3-2 一维双原子链模型
两种原子m和M (M > m) 构成一维复式格子
M原子位于2n-1, 2n+1, 2n+3 … m原子位于2n, 2n+2, 2n+4…
晶格振动 可通过引入简正坐标进行量子化处理，其结论可 用“声子”描述
振动能量的本征值为
nq
(nq
1) 2
q
，其中为nq声子数
声子含义：晶格振动（格波）的能量量子
声子是一种元激发，可与电子或光子发生作用 声子具有能量、动量，看作是“准粒子”
晶格振动的问题转化为声子系统问题的研究
20赫兹---20000赫兹，高于20000赫兹的叫超声波
2
(m M mM
)
1
1
4mM (m M
)2
sin2
1 aq
2
2
(m M mM
)
1
1
4mM (m M
)2
sin2
1
aq
2
即一维复式晶格中存在两种 独立的格波：
声学波（频率较低）
光学波（频率较高）
命名主要根据两种格波在长 波极限 ( q→0 ) 的性质
3-2 声学波的长波极限
相邻原子振动相反
长光学波代表原胞质心 保持不变的振动，原胞 中不同原子做相对运动
3-2 长光学波的特性
长声学波的频率正比于波数，相当于把一维原子链看做连 续介质时的弹性波，类似于声波
长光学波代表晶格的高频振动，实际晶体中在1013~1014Hz， 对应于远红外光波
电磁波只与波数相同的格波 发生相互作用
3-1 一维单原子链模型
一维单原子链：最简单的晶格模型
晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波
格波的研究方法：
计算原子之间的相互作用力
根据牛顿定律写出原子运动方程，并求解方程
一维单原子链模型：
平衡时相邻原子间距为a （即原胞体积为a）
平衡位置
原子质量为m
原子限制在沿链方向运动
子受到的作用力
(n1 n ) (n n1) (n1 n1 2n )
平衡位置
第n个原子的运动方程
m
d 2n
dt 2
(n1 n1 2n )
非平衡位置
3-1 格波的物理意义
上式的解（原子振动位移）具有平面波的形式
n Aei(tnaq)
naq是第n个原子的振动位相因子 A是原子振动振幅，为常数 ω是格波的角频率，为常数；q是格波的波数
原子n离开平衡位置位移μn 原子n和原子n+1间相对位移
n1 n
非平衡位置
3-1 原子作用力的处理：简谐近似
忽略高阶项，简谐近似考虑原子 V
振动，相邻原子间相互作用势能
v(a
)
1 2
(
d2 dr
v
2
)a
2
相邻原子间作用力
O
a
r
f
dv
d
,
d 2v ( dr2 )a
只考虑相邻原子的作用，第n个原
第3章 晶格振动与晶体的热学性质
3-1 一维单原子链模型 3-2 一维双原子链模型 3-3 确定晶格振动谱的实验方法 3-4 晶体热容的量子理论 3-5 非谐作用产生的晶体热学性质
掌握 了解
3-1 一维单原子链模型
一维单原子链模型 格波及其色散关系 简约布里渊区 长波极限下的格波 声子
晶格常数、同种原子间的距离：2a
第2n+1个M原子的方程
M
d 22n1
dt 2
(22n1 2n2
2n )
第2n个m原子的方程
m
d 22n
dt 2
(22n 2n1 2n1)
解也具有平面波
的形式
两种原子振动的 振幅（m取A， M取B）一般来说 是不同的
3-2 声学波与光学波
色散关系有不同的两种
才能在一维单原子链晶体中传播，其它频率的格波将被强 烈衰减
3-1 格波取值的长波极限
长波极限情况 (q 0, a)
sin( aq ) aq , a q
22
m
一维单原子格波相当于波速为 a / m 的连续介质波
相邻两个原子之间的位相差 趋于0，晶体内所有原子振动 情况相同
3-1 声子