材料力学：第10章：应力状态分析_强度理论

p
pD 2t pD 4t
pD 1 2t pD 2 4t
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3 0
圆球形薄壁容器，壁厚为 t，内径为D，承受内压p作用。

p

N 4 Dt A pD 4t
p
D
2
pD 1 2 4t 3 0
圆杆受扭转和拉伸共同作用
m
P
P m


N 4P 2 A d 16 m T Wt d 3
2
应力圆
莫尔(Mohr)圆
下面根据已知单元体上的应力 σx、 σy 、τx画应 力圆
y
y
x
y

( x , x )
x
y
x
x x
( y , y )

y
下面利用应力圆求任意斜截面上的应力
y
y

x
y
n
( , )

x
2
( x , x )
x
y
x x
平面，分别作用着最大和最小剪应力
max min
x y 2 x 2
2
2 x tan 2 0 x y
x y tan 2 1 2 x
1 tan 2 1 ctg 2 0 tan 2 0
2 1 2 0 90 即 1 0 45
2 x tan 2 0 x y
0 、 0 90 , 它们确定两个互相垂直
的平面，其中一个是最大正应力所在 平面，另一个是最小正应力所在平面
max min

x y
2
x y 2 x 2
2
d ( x y ) cos 2 2 x sin 2 d d 若 1 时，能使 0 d ( x y ) cos 2 1 2 x sin 2 1 0
( y , y )

y
§10-3 平面应力状态主应力及最大剪应力

( x , x )

( y , y )
例：分别用解析法和图解法求图示单元体的 (1)指定斜截面上的正应力和剪应力; (2)主应力值及主方向，并画在单元体上； (3)最大剪应力值。 单位：MPa
解：(一)使用解析法求解
2
x y x y 2 2 x 2 2

x y x y 2 2 x 2 2
2 2

x y 圆心坐标为 ， 0 2 x y 2 半径为 x 2
第十章 应力状态分析 强度理论
§10-1 应力状态的概念
P
P



m
m


P
A B C D E
A D
B E
C
• 主平面 ：剪应力为零的平面
• 主应力 ：主平面上的正应力 • 主方向 ：主平面的法线方向
• 可以证明：通过受力构件内的任一点，一定
存在三个互相垂直的主平面。 • 三个主应力用σ1、 σ2 、 σ3 表示，按代数值 大小顺序排列，即 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
用完全相似的方法可确定剪应力的极值 x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
x y tan 2 1 2 x
1 、 1 90 , 它们确定两个互相垂直的
应力状态的分类：
• 单向应力状态：三个主应力中只有一个不等
于零
• 二向应力状态（平面应力状态）：两个主应
力不等于零
• 三向应力状态（空间应力状态）：三个主应
力皆不等于零
• 单向应力状态也称为简单应力状态
• 二向和三向应力状态统称为复杂应力状态
圆筒形薄壁压力容器，内径为 D、壁厚为 t，承
受内力p作用
§10-2
y y
平面应力状态下的应力分析 y
yx xy
y y
x
x
x
x x
一、解析法
y
y
x
y
n

x
x
y
x x
y
x

x
y
y
n


A Acos
Asin
σ：拉应力为正
τ：顺时针转动为正
α ：逆时针转动为正
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
x 80MPa, x 60MPa, x y

y 40MPa = 30 x y
cos 2 x sin 2
2 2 102 MPa x y sin 2 x cos 2 2 22.0MPa
max x y 105 x y max x y x y 2 105 MPa 2 x 65 MPa 2 2 x min 2 2 min 65 1 105MPa, 2 0, 3 65MPa 1 105MPa, 2 0, 3 65MPa 2 x tan 2 0 2 x 1 tan 2 0 x y 1 max 105 x y 0 22.5 0 22.5 或112.5 0 22.5 或112.5
即：最大和最小剪应力所在平面与 主平面的夹角为45
二、图解法

xx yy
2 2 x y

x y
2
cos 2 x sin 2
(1)

2
2
2
sin 2 x cos 2
( 2)
(1) (2) , 得
2
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 R 2
x y d 2 sin 2 x cos 2 d 2 d 若 0 时，能使 0 d x y sin 2 0 x cos 2 0 0 2
x y x y cos 2 x sin 2 和 都是的函数。利用上式便可确 2 2 定正应力和剪应力的极值 x y sin 2 x cos 2 2