对偶性质
运筹学对偶问题和性质
❖ 目旳函数 min
m个
变
≥0
量
≤0
无约束
n个
约
束
≥
条
≤
件
=
❖ 例2.2 写出下列线性规划问题旳对偶问题.
max Z 2 x1 3 x2 5 x3 x4
4 x1 x2 3 x3 2 x4 5
3 x1 2 x2
7x4 4
2 x1 3 x2 4 x3 x4 6
x1 0, x2 , x3 0, x4无约束
2y1y1 22y2y234
解此线性方程组得y1=1,y2=1,从而对偶问题旳最优解为： Y＊=(1,1)，最优值w=26。
作业:第88-89页: 3.3(1),(2) 3.8
思索题：3.2 3.4
❖ 当B为最优基时，应有
CN CB B1N 0 C CB B1 A 0 CB B1 0
❖ 令Y=CBB-1, 则 YA C
Y 0
且 w Yb CB B1b z
项目
基变量
非基变量
CB XB B-1b cj-zj
XB I 0 -Ys1
XN
Xs
B-1N
B-1
CN-CBB-1N -CBB-1
性质6 (互补松弛性)：在线性规划问题旳最优解中，假如相 应某一约束条件旳对偶变量值为非零，则该约束条件取严格 等式；反之假如约束条件取严格不等式，则其相应旳对偶变 量一定为零. 即Y*XS=0，YSX*=0
n
yˆi 0 aij xˆ j bi j 1 n
aij xˆ j bi yˆi 0
1/4
y3 j 1/2
15/2 15/2
0 0
1 0
1/2 7/2
-3/2 3/2
对偶性质——精选推荐
对偶性质对偶理论的性质及证明性质1(对称性) 对偶问题的对偶问题是原问题证明设原问题为max z ..0CXAX b s t X =≤??≥? (1)对偶问题为min ..0w YbYA C s t X =≥??≥? (2)对偶问题的对偶问题为max ..0CUAU b s t U ?=≤??≥? (3)⽐较式(1)和式(3), 显然⼆者是等价的, 命题得证.性质2(弱对偶性) 设原问题为式(1),对偶问题为式(2),X 是原问题的任意⼀个可⾏解,Y 是对偶问题的任意⼀个可⾏解,那么总有CX Yb ≤ (4)证明根据式(1), 由于AX b ≤, ⼜由于0Y ≥, 从⽽必有YAX Yb ≤ (5)根据式(2), 由于YA c ≥, ⼜由于0X ≥, 从⽽必有YAX CX ≥ (6)结合式(5)和式(6), ⽴即可得CX Yb ≤,命题得证.性质3(最优性) 设*X 原问题式(1)的可⾏解,*Y 是对偶问题式(2)的可⾏解,当是**CX Y b =时,*X 是原问题式(1)的最优解,*Y 是对偶问题式(2)的最优解. 证明设X 是式(1)的最优解, 那么有*CX CX ≥ (7)由于**CX Y b =,那么*CX Y b ≥ (8)根据弱对偶性质, ⼜有*CX Y b ≤ (9)从⽽*CX CX =, 也就是*X 是原问题式(1)的最优解。
同理，也可证明*Y 是对偶问题式(2)的最优解。
性质4(⽆界性) 设原问题为⽆界解，则对偶问题⽆解。
证明⽤反证法证明。
设原问题为式(1)，对偶问题为式(2)。
假定对偶问题有解，那么存在⼀个可⾏解为Y 。
这时对偶问题的⽬标函数值为Yb T =。
由于原问题为⽆界解，那么⼀定存在⼀个可⾏解X 满⾜CX T >，因此CX Yb >。
⽽根据弱对偶性，⼜有CX Yb ≤，发⽣⽭盾。
从⽽对偶问题没有可⾏解。
性质5(强对偶性、对偶性定理) 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且最优⽬标函数值相等。
第三章 对偶理论 第一讲 线性规划的对偶模型,对偶性质
根据对偶性质；可将原问题与对偶问题解的对应关系列表如下： 表3－6 一个问题max 有最优解 无 最 优 解 无最优解 无界解 (有可行解) 无可行解 另一个问题min 有最优解 无最优解 无可行解 无界解 (有可行解) 性质4 性质4 性质2
应用
已知最优解 已知检验数
通过解方程
检验数乘以
求最优解 求得基本解
max w 2 y1 2 y 2 y1 y 2 1 1 y1 y 2 2 2 y1 , y 2 0
【性质2】 弱对偶性: 设X*、Y*分别为LP(mix)与 DP(max)的可行解，则
CX Y b
* *
【性质3】最优准则定理: 设X*与Y*分别是(LP)与(DP) 的可行解，则X*、Y*是(LP)与(DP)的最优解当且仅当 C X*= Y*b . 【性质4】对偶性：若互为对偶的两个问题其中一个有 最优解，则另一个也有最优解，且最优值相同。 另一结论：若(LP)与(DP)都有可行解，则两者都有最优 解，若一个问题无最优解，则另一问题也无最优解。 【性质5】互补松弛定理: 设X*、Y*分别为 (LP) 与 (DP) 的可行解，XS和YS分别是它们的松弛变量的可行解，则 X*和Y*是最优解当且仅当
YSX*=0 和 Y*XS=0
i 1
可写成下式
y x 0
i 1 n * i Si
m
y
j 1
n
Sj
x 0
* j
即
* S j* (2) yS j 0时x j j j 1
y
x 0, 反之当x* 0时y 0 0 j S
j
已知一个问题的最优解时求另一个问题的最优解的方法
max z 3 x1 4 x 2 x3 x1 2 x 2 x3 10 【例3.5】 已知线性规划 2 x 2 x x 16 1 2 3 x 0, j 1,2,3 j
集合的余集对偶性质
集合的余集对偶性质将∪ 和∩，或者Ø 和U 相互交换，一个恒等式就变成了相应的另一个。
这是集合代数的一个非常重要的性质，称作集合的对偶性原理。
它对集合的所有真命题都有效。
真命题通过相互交换∪ 和∩，Ø 和U，改变包含符号的方向得到的对偶命题也是真的。
若一个命题和其对偶命题相同，则称其为自对偶的。
第一章：集合与常用逻辑用语第一节：集合1、集合：集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体，这些对象称为该集合的元素。
表示方法：①集合A={a，b，c，d}其中a，b，c，d是集合A的元素，即用a∪A，b∪A ，c∪A ，d∪A表示，f不是集合A的元素，则f∪A。
集合A是集合B的子集，则A∪B。
②集合A={x｜x＞a}。
常见的集合：整数集Z：{……，-3，-2，-1，0，1，2，3，……}自然数集N（Nature）：即非负整数，包括0：{0，1，2，3，……}正整数集N*或N+：{1，2，3，……}有理数集Q（有理数是两个数相比的结果（商）英文quotient）：即整数和分数的集合将∪ 和∩，或者Ø 和U 相互交换，一个恒等式就变成了相应的另一个。
这是集合代数的一个非常重要的性质，称作集合的对偶性原理。
它对集合的所有真命题都有效。
真命题通过相互交换∪ 和∩，Ø 和U，改变包含符号的方向得到的对偶命题也是真的。
若一个命题和其对偶命题相同，则称其为自对偶的。
第一章：集合与常用逻辑用语第一节：集合1、集合：集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体，这些对象称为该集合的元素。
表示方法：①集合A={a，b，c，d}其中a，b，c，d是集合A的元素，即用a∪A，b∪A ，c∪A ，d∪A表示，f不是集合A的元素，则f∪A。
集合A是集合B的子集，则A∪B。
②集合A={x｜x＞a}。
常见的集合：整数集Z：{……，-3，-2，-1，0，1，2，3，……}自然数集N（Nature）：即非负整数，包括0：{0，1，2，3，……}正整数集N*或N+：{1，2，3，……}有理数集Q（有理数是两个数相比的结果（商）英文quotient）：即整数和分数的集合。
对偶问题的性质
（1）对称性：对偶问题的对偶是原问题MaxZ CX AX b X =⎧≤⎨≥⎩MinS Yb YA C Y =⎧≥⎨≥⎩--，--，0MinS Yb YA C Y =≤≥证明：变换对偶问题模型ax 0M S YbYA C Y =−⎧−≤−⎨≥⎩MinZ CX AX b X =−⎧−≥−⎨≥⎩MaxZ CX AX b X =⎧≤⎨≥⎩2.3 对偶问题的性质b Y X C ≤（2）弱对偶性：若是原问题的可行解，是对偶问题的可行解，则存在有XY 证明：MaxZ CXAX b X =⎧≤⎨≥⎩MinS Yb YA C Y =⎧≥⎨≥⎩因是原问题的可行解，是对偶问题的可行解，所以有：XY ;Y AX Yb Y AX C X≤≥b Y X C ≤•弱对偶性的图形解释MinS=b Y最优目标MaxZ=XC（3）可行解是最优解的性质：若是原、对的可行解，当Y Xˆ,ˆ b Y X C ˆˆ= 则：是最优解Y X ˆ,ˆ b Y MinS =最优XC MaxZ =b Y XC ˆˆ=（4）对偶定理若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且原问题与对偶问题最优目标函数值相等。
1ˆ−=B C Y B01≤−−A B C C B()()XA B C C b B C X B C C X N B C C X B B C C b B C X B C C X N B C C b B C X C X C X B C NX B C b B C X C X C X C X X X C C C CX Z X B NX B b B X b X X X I N B AX B B S B S N B N B B B B SB S N B N B SS N N S B N B B S S N N B B S N B S N B SN B S N B )()()()()()(111111111111111−−−−−−−−−−−−−−−−+=−+−+−+=−+−+=++−−=++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==−−==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=01≤−−A B C C B•检验数的推导：（5）互补松弛性：若分别是原问题和对偶问题的可行解，那么当且仅当为最优解Y Xˆ,ˆ 0ˆ0ˆ==X Y X Y S S和Y X ˆ,ˆ 11ˆˆˆ0,0ˆˆˆ,0,0若则有即若即则有==>==<>=∑∑ni ijj i si j nijj i si i j yaxb x ax b xy⚫对偶变量的经济含义----影子价格资源的单位改变量引起目标函数值（Z ）的改变量，通常称为影子价格（shadow price ）或边际价格（marginalprice ）。
对偶理论知识点总结
对偶理论知识点总结一、一般理解对偶理论是运筹学和数学中的一个重要理论，主要研究优化问题的对偶性质和利用对偶问题来解决原始问题的方法。
优化问题是现实世界中的一种普遍问题，它的目标是在一定的约束条件下找到最优解。
而对偶理论则是研究优化问题的一个重要角度，它告诉我们，对于每一个原始问题都存在一个对偶问题，通过对偶问题我们可以获得原始问题的一些重要信息，比如最优解的下界。
二、对偶问题的定义在深入了解对偶理论之前，我们首先需要了解什么是对偶问题。
对于一个原始优化问题：\[ \begin{cases} inf \ c^T x \\ Ax=b \\ x\geq0 \end{cases}\]它的对偶问题可以定义为：\[ \begin{cases} sup \ b^T y \\ A^Ty+c=y \\ y\geq0 \end{cases}\]其中，\(c,x\)是原始问题的目标函数和解向量，\(A,b\)是原始问题的约束条件，对偶问题的目标函数和解向量分别为\(b,y\)。
原始问题和对偶问题之间存在着一种对偶关系，通过对偶问题我们可以获得原始问题的一些重要信息。
三、对偶性质对偶理论的一个重要性质就是对偶性质，它告诉我们原始问题和对偶问题之间存在着一种非常紧密的联系。
具体来讲，对偶性质包括弱对偶性和强对偶性两个方面。
1. 弱对偶性：对于任意一个优化问题，其对偶问题的目标函数值不会超过原始问题的目标函数值，即对于原始问题的任意可行解x和对偶问题的任意可行解y，有\[c^Tx\geqb^Ty\]2. 强对偶性：若原始问题和对偶问题均存在最优解，则它们的目标函数值相等，即\[inf \c^Tx=sup \ b^Ty\]这两个对偶性质告诉我们，对偶问题的解可以为原始问题的最优解提供一个下界，并且在某些情况下，对偶问题的解可以等于原始问题的最优解。
四、对偶问题的应用对偶理论不仅仅是一种理论概念，更是一种实际问题求解的工具。
在实际问题中，我们经常可以通过对偶问题来求解原始问题，或者通过对偶问题的解来获得原始问题的解。
椭圆双曲线对偶性质大全
24.设P点是椭圆 （ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记 ，则 (1) . (2) .
设P点是双曲线 （a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记 ，则(1) .(2) .
10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
11.AB是椭圆 的不平行于对称轴的弦，M 为AB的中点，
14.椭圆 （a＞b＞o）的两个顶点为 , ，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是 .
双曲线 （a＞0,b＞0）的两个顶点为 , ，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是 .
15.过椭圆 (a＞0,b＞0)上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且 （常数）.
（1） ;
（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为 ;
（3） 的最小值是 .
22.过椭圆 （a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则 .
过双曲线 （a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则 .
23.已知椭圆 （ a＞b＞0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点 ,则 .
双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
4.2_对偶性质
例： max Z x1 2x2 3x3 4x4
试估计它们目
（P）2xx11
2x2 2x3 3x4 20 x2 3x3 2x4 20
标函数的界。
x14 0 解：minW 20 y1 20 y2
__
可知：__X =（1，1，1，
1），Y =（1，1），
分别是（P）和（D）
y1 2 y2 1
st
x1 2x2 x1 x2
10 0
x1 5, x2 0
（1）用图解法求解上述问题； （2）写出它的对偶问题； （3）指出对偶最优解中的基变量。
对偶最优解 中的基变量是
y2和y4!
21
6、解的对应性定理
LP （ max ） 的 初 始 基 变 量 的 检 验 数 的 相 反 数 对 应 于 DP （min）的一组基本解。
24
可行解（0，1）， 目标函数值：24
9
4、对偶性定理
若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，而且两者的 目标函数值必相等。
例：
原始问题
对偶问题
MinZ 6x1 3x2
2 s.t.4
x1 x1
4 x2 3x2
16 24
x1, x2 0
MaxW 16 y1 24 y2
2 y1 4 y2 6 s.t.4 y1 3 y2 3
y1, y2 0
原始问题的最 优解（0，8）
目标函数 值都为24
对偶问题的最优 解（0，1）
10
5、互补松弛性
原问题和对偶问题达到最优时的充分必要条件是YsX*=0， Y*Xs=0。
即在LP的最优解中，若某一约束的对偶变量值为非零，则该 约束条件取严格的等式；反之，如果约束条件取严格不等式， 则其对应的对偶变量一定为零。
对偶原理的性质分析
对偶原理的性质分析
偶对原理，也称为对偶原理或德摩根定理，是数理逻辑中的一个重要理论。
它指出，在命题逻辑中，任何一个式子和其否定的真值具有相反关系。
具体来讲，对偶原理有以下性质：
1. 对偶原理是指一个命题和其否定的真值是相反的。
也就是说，如果一个命题为真，则其否定为假，反之亦然。
例如，命题P为真时，其否定非P为假，命题P为假时，其否定非P为真。
2. 对偶原理适用于逻辑运算符。
对于包含逻辑运算符的复合命题，对偶原理适用于运算符之间的关系。
例如，对于逻辑与运算符（表示为∧），其对偶运算符是逻辑或（表示为∨）；对于逻辑或运算符，其对偶运算符是逻辑与；对于逻辑非运算符（表示为¬），其对偶运算符是非逻辑非（表示为~）。
3. 对偶原理可以推广到更复杂的命题。
对偶原理的概念可以推广到复合命题的情况下。
例如，对于一个包含多个逻辑运算符的复合命题，其对偶命题可以通过将每个逻辑运算符替换为其对偶运算符来得到。
4. 对偶原理可以推广到谓词逻辑。
对偶原理不仅适用于命题逻辑，还适用于谓词逻辑。
在谓词逻辑中，谓词表达式的对偶命题可以通过改变量的全称量化子为存在量化子，或改变逻辑连接词的关系来得到。
通过对偶原理，我们可以利用已知的真值关系来推导其他的真值关系，从而简化逻辑运算的过程。
对偶原理在数理逻辑、电路设计、计算机科学等领域都有重要应用。
对偶理论几个性质的证明
对偶理论几个性质的证明
图论的对偶理论指在图论的内容中针对一个特殊的图G建立的另一个
图G*，它们之间的关系满足交换律，即G与G*互为对偶，可以发现的特
性包括：
一、Konig定理：
它是有关其中一种有向图的带宽是否可容的定理，即一个可容的有向
图其最大匹配数等于最大独立集的最小覆盖数。
它的对偶理论表明，一个
图G的最大匹配是邻接矩阵A的最小非零向量的数量加上图G的最小独立
集的数量。
其中，A是G的一个邻接矩阵，反映了图G的一种表示。
证明：
假设G是可容的有向图，则G具有非负的顶点覆盖数V和边覆盖数E，满足V≤E。
而G*是G的对偶图，具有最大匹配数m和最小独立集数f。
我们假设，图G的边覆盖数E等于G*的最小独立集数f，可以说明图
G的顶点覆盖数V等于G*的最大匹配数m。
因此，可以将等式node(V) = edge(E)和node(V) = match(m)结合起
来得到：
edge(E) = match(m)
与Konig定理的含义相同，即：G的最大匹配数等于G*的最小独立集数。
另外，根据等式，我们可以得出：
G具有V顶点和E边的最大匹配数=G*具有f点和m边的最小独立集
数
结论：一个可容的有向图其最大匹配数等于最小独立集的最小覆盖数。
二、Hall定理：
Hall定理指出：若图G有顶点集V和边集E，则G具有最大匹配 M 且，V，<=，M，时，必有一个完全匹配。
3.2 对偶问题的基本性质
MinW
与 与
s.t 变量
一致 相反
s.t 变量无约束 s.t为等号
MinZ 2
s.t 为等号 变量无约束
例2：试求下述LP问题的对偶问题
x
1
1
x
2
2
3
x
3
1
3
4
x
3
x
4
5 .......... .......... ...( 1)
x
2
5
x
3
x
4
2x
2
x
x
4 .......... .......... ..( 2 )
B b
1
时
y
0,
s1
y
s2
c
N
c B
B
1
N
MaxZ 例1：
2
x
1
x
2
s .t
6
5
1
x
2
1
x
2
15
2
x
1
x
24
化成标准形式
x
2
2
5
0
x ,x
MaxZ
5
6
2
x
1
x
2
0
x
3
0
x
4
0
x
5
x x
1
2 x2 x2 1
x
2
x
3
i
c x ˆ
j j 1
n
j
ˆ b y,
高中数学对偶式
高中数学对偶式摘要：1.高中数学对偶式的基本概念2.对偶式的性质与应用3.求解对偶式的方法与技巧4.高中数学中对偶式的实际应用案例5.总结与展望正文：一、高中数学对偶式的基本概念高中数学中的对偶式，是指两个表达式，在变量、次数、项数相同的情况下，各项的系数互为相反数。
简单来说，对偶式就是两个多项式，一个各项系数为正，另一个各项系数为负。
它们在图形上表示的是同一条直线，只是方向相反。
二、对偶式的性质与应用1.对偶式的性质对偶式具有以下性质：（1）若两个多项式是对偶式，则它们的和、差、积、商仍是对偶式。
（2）若两个多项式是对偶式，则它们的公共因子也是对偶式。
2.对偶式的应用在高中数学中，对偶式主要应用于以下几个方面：（1）求解方程：利用对偶式的性质，将原方程转化为易于求解的形式。
（2）化简表达式：通过对偶式，将复杂的表达式化简为简单的形式。
（3）证明题目：利用对偶式证明一些数学命题。
三、求解对偶式的方法与技巧1.观察法：通过观察多项式的系数，判断是否为对偶式。
2.替换法：将多项式中的某一项替换为它的相反数，判断是否满足对偶式的条件。
3.因式分解法：对多项式进行因式分解，判断各项系数是否互为相反数。
四、高中数学中对偶式的实际应用案例案例1：求解方程组已知方程组：x + y = 5x - y = 1将两个方程相加，得到：2x = 6解得x = 3，将x 带入其中一个方程，求得y = 2。
案例2：化简表达式原式= (x + 1) / (x - 1) - (x - 1) / (x + 1)将原式化简为：=[(x+1)(x+1)-(x-1)(x-1)] / [(x-1)(x+1)]=[(x^2+2x+1)-(x^2-2x+1)] / [(x-1)(x+1)]=4x / [(x-1)(x+1)]五、总结与展望高中数学中的对偶式是一种重要的数学概念，掌握对偶式的性质和应用，能够帮助我们更好地解决实际问题。
在学习过程中，要熟练掌握对偶式的判断和求解方法，提高解题效率。
对偶问题的基本性质
x1
-1 -1
x2
-1 -2
x3
1 0
x4
0 1
-2
-1/2 1/2 -1/2 1 0 0
-3
0 1 0 0 1 0
0
1 0 0 -2 1 -1
0
-1/2 -1/2 -3/2 1 -1 -1
对偶单纯形法步骤：
1.列初始单纯形表，使得所有检验数j 0 ；
2.出基变量：取min {bi<0 }= bl → x(l) cj-zj 3.入基变量：min{—— |alk<0}= → xk
*
x1 2 x 2 2 3 x1 x 2 3
x1 0.8 x 2 0.6
z* 5
例：LP问题 min w 2 x1 3x 2 5 x3 2 x 4 3 y5 s.t x1 x2 2 x3 x4 3x5 4 2 x1 x 2 3x3 x4 x5 3 x1, x 2, x3, x 4, x5 0 4 3 对偶问题最优解为y ( , ), 试用对偶理论找出原问题的最优解 5 5
max z'=-2x1-3x2+0x3 +0x4
s.t - x1-x2+x3=-3 - x1-2x2+x4=-4 xj 0, (j=1,2,3,4)
列单纯表计算：
Cj → CB XB b 0 x3 -3 0 x4 -4 cj - zj 0 -3 x3 x2 cj - zj -2 x1 -3 x2 cj - zj 2 1 -1 2 -2 -3 0 0
Y0AX0 ，
Y0 A C ， ∴ CX0
∴
CX0 Y0 AX0 Y0 b
运筹学及其应用4.2 对偶问题的基本性质和基本定理
1、对称性定理 对偶问题的对偶为原问题.
原问题：maxz = CX AX ≤ b X ≥ 0
(1)
对偶问题：minw = Yb YA ≥ C Y ≥ 0 (2)
1
2.弱 对 偶 性
原 max z = CX AX ≤ b X ≥0
min w = Yb YA ≥ C Y ≥0
是对偶问题的一个最优解。
例：书P25
CB = (8, 3)
B −1
=
1 −2
0 1
Y = CB B−1 = ( 2, 3) 为对偶问题的最优解。
6
• 对偶问题中，解的情况有： • 1.都有有限最优解 • 2.都无可行解 • 3.一个有无界解，另一个无可行解
7
6、对偶问题的经济含义——影子价格
设X 为原问题的可行解,Y 为对偶问题的可行解,
则存在
CX ≤ Yb
推论： (1)max问题任一可行解的目标值为min问题目标值的一个下界； (2)min问题任一可行解的目标值为max问题目标值的一个上界。
2
原 max z = CX AX ≤ b X ≥0
min w = Yb YA ≥ C Y ≥0
最优情况：z*=
∂z* ∂ bi
=
yi*
w*= b1y1*+··· +biyi*+··· +bmym* 称y*i 为bi的影子价格.即对偶问题最优解 为其相应资源的影子价格。
x2
[例7]maxz=2x1+3x2
x1&#Q2’
Q2
Q2（4，2） z =14
Q2”
x1,x2≥ 0
x1
b1： 8 9 Q2’(4，2.5)
运筹学_9 对偶问题的性质
Байду номын сангаас
两边乘负号
max w Yb s.t YA C Y 0
两边再乘负号
A取转置，(YA)'= A'Y'
max w Yb s.t YA C Y 0
min w CX s.t AX b X 0
8
强对偶性定理
强对偶定理：原问题有最优解，对偶问题也有，且目标函数相等。
Operational Research
9
⑤ 无界性定理
无界性：若原问题为无界解，则其对偶问题无可行解。 书上没有，请补充！
CX Y b
原问题 对偶问题
CX Y b
Operational Research
10
注意：（1）是“检验数的相反数”，而不是检验数；
（2）第零步原问题检验数（34000），对偶问题基本解为（000－3－4） 补充：基的概念在P13，只强调了线性无关的子矩阵，负数也可以构成基 原因：原问题的检验数是价值系数，是对偶问题的约束条件即基本解的相反数 对应性：原问题第一个检验数，是对偶问题第一个剩余变量的解； 表 1-25 三个松弛变量的检验数，是对偶问题三个变量的基本解。
•
建立对偶问题与原问题之间的桥梁。
（2）怎么讲这些基本性质？
• 少证明，多说明其本质与应用的价值。
（3）常用表达形式
X ( 0 ) 代表可行解 X 代表最优解
Operational Research
3
对偶问题的性质
原问题和对偶问题的关系； 原问题和对偶问题解的关系； 如何从对偶问题求原问题的最优解。
min w 20 y1 20 y2 s.t. y1 2 y2 1 2 y1 y2 2 2 y1 3 y2 3 3 y1 2 y2 4 y , y 0 1 2
第三章 对偶理论 第一讲 线性规划的对偶模型,对偶性质
由这个性质可得到下面几个结论：
1) (DP) 的任一可行解的目标值是 (LP)的最优值下界； (LP)的任一可行解的 目标是 (DP)的最优值的上界；
2)在互为对偶的两个问题中，若一个问题可行且具有无界解，则另一个问 题无可行解；
3) 若原问题可行且另一个问题不可行，则原问题具 有无界解。
注意: 上述结论(2)及(3)的条件不能少。一个问题无可行解时，另一个问题可能有可 行解(此时具有无界解)也可能无可行解。
目标函数求极大值时，所有约束条件为≤号，变量非负； 目标函数求极小值时，所有约束条件为≥号，变量非负。
max Z CX
AX b
(2.1)
X
0
min Z CX
AX b
(2.2)
X
0
注： (1)线性规划规范形式与标准型是两种不同形式，但可以 相互转换。
(2)规范形式的线性规划问题的对偶仍然是规范形式．
3.1 对偶线性规划问题
对偶问题的提出
原问题
min CX
AX b
X
0
对偶问题
max ub uA C u 0
原问题
min CX
AX b
X
0
对偶问题
max ub uA C u 0
原问题与对偶问题关系
(1)原问题的约束个数(不含非负约束)等于对 偶变量的个数
对偶问题
【例】写出下列线性规划的对偶问题
min CX
max ub
max Z 5x1 2x2 3x3
AX b
X
0
uA C u 0
2.3 对偶问题的基本性质
x1 , x2 0
min w 12 y1 16 y2 15 y3
s.t .
2 2
y1 y1
4 y2 5
y3
2 3
y1 , y2 , y3 0
性质3：无界性
运 筹 帷 幄 之中
决胜千里之外
互为对偶的两个问题，如果一个问题具有 无界解，则其对偶问题无可行解。
注意
命题的逆命题不成立
互为对偶的两个问题，如果一个问题无可 行解，则其对偶问题具有无界解或无可行解。
运 筹 帷 幄 之中
决胜千里之外
例1：（常山机械厂） 例1：（四海机械厂）
生产计划模型
租赁模型
max z 2 x1 3 x2
2 x1 2 x2 12
s.t .
4
x1
16 5 x2 15
x1 , x2 0
min w 12 y1 16 y2 15 y3
s.t .
2 2
y1 y1
4 y2 5
设备C 0 5 15
（h）
利润 2 3
(百元)
意出租设备资源？
项目 设备A 设备B 设备C 利润 （h） （h） （h） （百元）
Ⅰ2 4 0 2 Ⅱ2 0 5 3 生产 12 16 15
能力
对偶问题的提出
运 筹 帷 幄 之中
决胜千里之外
例1：（常山机械厂） 例1：（四海机械厂）
生产计划模型
租赁模型
max z 2 x1 3 x2
2 x1 2 x2 12
s.t .
4
x1
16 5 x2 15
x1 , x2 0
min w 12 y1 16 y2 15 y3
s.t .
2 2
2.2 对偶问题的性质
max Z CX
min w'' CX
L
AX b X 0
L
AX b X 0
性质2 弱对偶原理(弱对偶性)
若x′是原问题的可行解，y′是对偶问题的可行解。 则有 cx′≤y′b
证明： Ax b y 0 yAx yb 又 yA c x o cx yAx yb
显然有 Y0XS=－YS X0 Y°XS=0和YS X°=0 成立。 又因为Y°、Xs、Ys、X°≥0，所以有
反之， 当Y°XS=0和YS X°=0时，有
Y°A X°＝Y°b Y°A X°=C X° 显然有Y0b=C X°,因此Y°与X°是（LP）与（DP）的 最优解。 性质5 互补松弛性：设X0和Y0分别是(LP)问题 和( DP)问题 的可行解，则它们分别是最优解的充要条件是：
值相同时，单纯形乘子是对偶问题的一个可行解，并且是其
最优解。
性质4 强对偶性
若互为对偶的两个问题其中一个有最优解，则另一个也有 最优解，且最优值相同。
证：由弱对偶性的推论可知，原问题和对偶问题的目标函 数有界，故一定存在最优解。 下证原问题和对偶问题的最优值相同。 设（LP）有最优解X0,
则对于最优基B必有C-CBB-1A≤0 与－CBB-1≤0，
CX ' Y ' b
原问题
对偶问题
CX Y b
性质3 最优性定理
设x′是原问题的可行解，y′是对偶问题的可行解. 当 cx′= y′b 时 x′, y′ 是最优解，反之也成立。
证明： CX ' CX *
Y *b Y 'b
又CX ' Y 'b
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对偶理论的性质及证明
性质1(对称性) 对偶问题的对偶问题是原问题
证明 设原问题为
max z ..0CX
AX b s t X =≤⎧⎨≥⎩ (1)
对偶问题为
min ..0w Yb
YA C s t X =≥⎧⎨≥⎩ (2)
对偶问题的对偶问题为
max ..0CU
AU b s t U ϕ=≤⎧⎨≥⎩ (3)
比较式(1)和式(3), 显然二者是等价的, 命题得证.
性质2(弱对偶性) 设原问题为式(1),对偶问题为式(2),X 是原问题的任意一个可
行解,Y 是对偶问题的任意一个可行解,那么总有
CX Yb ≤ (4)
证明 根据式(1), 由于AX b ≤, 又由于0Y ≥, 从而必有
YAX Yb ≤ (5)
根据式(2), 由于YA c ≥, 又由于0X ≥, 从而必有
YAX CX ≥ (6)
结合式(5)和式(6), 立即可得CX Yb ≤,命题得证.
性质3(最优性) 设*X 原问题式(1)的可行解,*Y 是对偶问题式(2)的可行解,当是
**CX Y b =时,*X 是原问题式(1)的最优解,*Y 是对偶问题式(2)的最优解. 证明 设X 是式(1)的最优解, 那么有
*CX CX ≥ (7)
由于**CX Y b =,那么
*CX Y b ≥ (8)
根据弱对偶性质, 又有
*CX Y b ≤ (9)
从而*CX CX =, 也就是*X 是原问题式(1)的最优解。
同理，也可证明*Y 是对偶问题式(2)的最优解。
性质4(无界性) 设原问题为无界解，则对偶问题无解。
证明 用反证法证明。
设原问题为式(1)，对偶问题为式(2)。
假定对偶问题有解，那么存在一个可行解为Y 。
这时对偶问题的目标函数值为Yb T =。
由于原问题为无界解，那么一定存在一个可行解X 满足CX T >，因此CX Yb >。
而根据弱对偶性，又有CX Yb ≤，发生矛盾。
从而对偶问题没有可行解。
性质5(强对偶性、对偶性定理) 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且最优目标函数值相等。
（复习矩阵算法）
证明 设B 为原问题式(1)的最优基，那么当基（1）实地访谈。
选择不同地区、不同行业、不同发展规模、不同历史、不同风
格的企业高层管理人员或技术部门负责人，进行半结构化的访谈，进一步收集信息 并完善研究思路。
（2）协同学方法。
运用协同学方法对装备制造业突破性创新系统的演进进行仿
真研究，通过对系统演化的轨迹及过程进行分析，从产业生命周期的四阶段提出装 备制造业突破性创新机制系统根据生命周期发展过程的不同策略。
（3）结构方程模型。
通过规范的问卷调查程序和数据处理方法，建立起合乎研
究要求的数据库，再通过对获得的数据采用结构方程模型(SEM)等统计分析方法， 以验证提出的概念模型与假设是否成立。
为B 时的检验数为1B C C B A --，其中B C 为由基变量的价值系数组成的价值向量。
既然B 为原问题式(1)的最优基，那么有10B C C B A --≤。
令1B Y C B -=，那么有0C YA YA C -≤⇒≥，从而1B Y C B -=是对偶问题式(2)的可行解。
这样一来，1B Y C B -=是对偶问题的可行解，1B X B b -=是原问题的最优基可行解。
由于1B B N N B CX C X C X C B b -=+=，而1B Y b C B b -=，从而有CX Yb =。
根据性质3，命
题得证。
性质6(对偶松弛定理、松弛性) 若ˆˆ, X
Y 分别是原问题和对偶问题的可行解，那么ˆ0s YX =和ˆ0s
Y X =，当且仅当ˆˆ, X Y 为最优解。
证明 设原问题和对偶问题的标准型是
原问题 对偶问题
max z ..0CX
AX b s t X =≤⎧⎨≥⎩ min ..0w Yb YA C s t X =≥⎧⎨≥⎩
将原问题目标函数中的系数向量C 用s C YA Y =-代替后，得到
()s s Z CX YA Y X YAX Y X ==-=- (10)
将对偶问题的目标函数中系数列向量，用s b AX X =+代替后，得到
()s s Yb Y AX X YAX YX ω==+=+ (11)
若ˆ0s YX =，ˆ0s
Y X =，则ˆˆˆˆCX YAX Yb ==，由最优性可知ˆˆ, X Y 分别是原问题和对偶问题的最优解。
又若ˆˆ, X
Y 分别是原问题和对偶问题的可行解，再根据最优性，则有ˆˆCX Yb = 由式(10)和(11)，必有ˆ0s YX =，ˆ0s Y X =。