(完整版)利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题
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导数结合洛必达法则巧解高考压轴题
法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件:(1) lim f x
x a
0及 l im g x 0 ;
x a
⑵在点 a 的去 心邻域内,
f(x) 与g(x) 可导且
g'(x) K ;
(3) f x lim
l ,那么
x a
g x
f x f x
lim -=lim l 。
x a
g x
x a
g x
f x f x lim =lim l 。
x a
g x x a g x
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意: 1.将上面公
式中的X — a , x —x 换成 X — +x, X — -X, x a , x a 洛必达法则也成立。 2. 洛必达法则可处理°,—, 0
, 1 ,
,
Q °
,
型。
3. 在着手求极限以前,首先要检查是否满足 0 , — , 0 , 1 , ° , 0° , 型定
式,否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则,这时 称洛必达法则不适用,应从另外途径求极限。 4.若条件符合,洛必达法则可连续多次使 用,直到求出极限为止。
f(x) 和g(x)在
,A 与 A,
上可导,且
g'(x)工0 ;
⑶lim
x l ,那么
x
g
x
f x f x
lim =lim l 。
x g x x g x
法则3若函数f(x)和g(x)满足下列条件:(1)
lim f x
及 lim g x
(2)在点
x a
x a
a 的去心邻域内,f(x) 与g(x)可导且
g'(x) K ;
f (3) lim
x
l ,那么
x a
g x
0 及[im g x 0 ; (2) Af 0,
和g(x)满足下列条件:⑴lim f x
x
法则2若函数f(x)
二.高考题处理
1.(2010年全国新课标理)设函数f(x) e x 1 x ax 2。( 1)若a 0,求f(x)的单调区间;(2)
若当x 0时f(x) 0,求a 的取值范围 0,对任意实数a,均在f(x) 0 ;当x 0时,f(x) 0等价于
2 . ( 2011年全国新课标理)已知函数,曲线y f(x)在点(1,f (1))处的切线方程为 x 2y
3 0。(I)求a 、b 的值;(U )如果当x 0,且x 1时,f (x)—-,求k 的 x 1 x 取值范围。
(0,1)时,h
h x 在0,1上为减函数,在1,
上为增函数;故h x >h 1 =0
h x 在0, 上为增函数Q h 1 =0 当x (0,1)时,h x 0,当x (1,+ )时,
h x 0 当 x (0,1)时,g x 0,当 x (1, + )时,g x 0
g x 在0,1上为减函数,在1,
上为增函数
解:(II )当 x 0时,f(x)
x
e x 1
2
x
x
x 1
e
2
(x>0),
x
x x
则 g (x)
x
e
2
e 3
x 2
,令
x
2e x
0,则 h x
1, h x XgX 0,
0,
上为增函数,h x 0 ;知h x 在0, 上为增函数, g x 0, g(x)在 0,
上为增函数。由洛必达法则知,
lim
x 0
x e x 1 2
x
l
x^
e
x
x
lim e 3,故a —综上,知a 的取值范围为
解:(II ) 由题设可得,当x
0,x 1时,k<空邛1恒成立。
1 令 g (x)=
2xln x
1 x 2
1(x
0,x
1),则 g x
2 x x 2 1 ln x x 2 1
1 x
2 2
x 2ln x 1
x 2 1 ln x x 2 1 ( x
0,x
1 )
2xln x
易知h x 2ln x
1 —在 0,
x
上为增函数, 0 ;故当
时,h x
k 0,即k 的取值范围为(-,0]
3.已知函数f(x)=x — (1+a)lnx 在x=1时,存在极值。(1)求实数a 的值;(2)若x>1,
mlnx>f (x)-1成立,求正实数m 的取值范围
x-1
4.已知函数
f(x)= e x ,曲线y=f(x)在点(x °,y °)处的切线为y=g(x).
(1)证明:对于 x R , f(x) g(x);
⑵ 当x 0时,f(x) 1 +总,恒成立,求实数a 的取值范围。
1 x
x
x 2
洛必达法则知
小
x l n x 切 (2)
切?^ ‘ c 1 ln x *
1 2
呵卞1
解:mln x
x In x 1
x In x 1 m
(x 1)ln x
(x 1)
ln x
(x 1)ln x (x 1)ln x
1
ln x
x 1 =g
(X)
g(x) (l nx )-1+( x-1)1,则 g(x)
1 1 x lnx
2 (x 1)2
x(l nx)2 (x 1)2 x(x 1)(l nx)2
2 2
h(x)= x(ln x) (x 1) h (x)
(ln x)2
2l nx 2x 2,令 r(x) h (x ),贝U r (x)
2ln x _2_
2x
,令 x
M (x )= M (x)=
:r(x),
2-2x
<0,则,r(x)为减,且r(1)=0,则h (x )为减,且
x
不 存 在 , 对 g(x) 在 x=1 处
g(x) g(x) lim x 1 x 1 In x (x 1)l nx lim x 1 lim ln x x 1 xln x lim 1 1 1 ,则 m 》1/2. x ln x 1 1 ln 1 2 2 1 1/x x h(1)=0,则g(x)为减,这 样, 用 罗 比 达 法 则