高中数学排列组合及二项式定理知识点

高中数学之排列组合二项式定理

一、分类计数原理和分步计数原理：

分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种

方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。

分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而—个步骤

中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各

步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。

区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类

与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有当n 个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。

二、排列与组合：

（1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出n 个元素的问题； 区别：前者有顺序，后者无顺序。

（2）排列数、组合数： 排列数的公式：)()!

(!)1()2)(1(n m m n n m n n n n A m n ≤-=

+---= 注意：①全排列：!n A n n =； ②记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；

排列数的性质：

①11--=m n m n nA A （将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两步完成：

第一步从n 个元素中选出1个排在指定的一个位置上；

第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置

上）

②m n m n m n A mA A 111---+=（将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两类完成：

第一类：m 个元素中含有a ，分两步完成：

第一步将a 排在某一位置上，有m 不同的方法。

第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置

上）

即有11--m n mA 种不同的方法。

第二类：m 个元素中不含有a ，从1-n 个元素中取出m 个元素排在m 个

位置上，有m n A 1-种方法。 组合数的公式：)()!(!!!)1()2)(1(n m m n m n m m n n n n A A C m m n m n

≤-=+---== 组合数的性质：

①m n n

m n C C -=（从n 个不同的元素中取出m 个元素后，剩下m n -个元素，也就是说，

从n 个不同的元素中取出m 个元素的每一个组合，都对应于从n 个不

同的元素中取出m n -个元素的唯一的一个组合。）

②111---+=m n m n m n C C C （分两类完成：第一类：含a ，有11--m n C 种方法；

第二类：不含a ，有m n C 1-种方法；

） ③11--=m n m n C n C （第一步：先选出1个元素，第二步：再从余下1-n 个元素中选出1-m 个，但有重复，如先选出1a ，再选出m a a a ,,,32 组成一个组合，与

先选出2a ，再选出m a a a ,,,31 组成一个组合是相同的，且重复了m

次）

④)(1111n m C C C C C m m m m m ≤++++=-------- （分

1+-m n 类：第一类：含1a ，为11--m n C ；第二类：不含1a ，含2a ，为12--m n C ；第三类：不含1a ，不含

2a ，含3a ，为13--m n C ；……）

⑤m r n m r n r r n m r r n m r m n C C C C C C C C ------++++=11110 （将n 元素分成分成两个部分，第

一部分含)(m r r ≥个元素，第二部分含)(m r n r n ≥--个元素：

在第一部分中取m 个元素，在第二部分不取元素，有0r n m r C C -；

在第一部分中取1-m 个元素，在第二部分取1个元素，有

11r n m r C C --；……）

（3）排列、组合的应用：

解排列组合应用题时主要应抓住是排列问题还是组合问题，其次要搞清需要分类，还

是需要分步

切记：排组分清(有序排列、无序组合)，分类分步明确

排列组合应用问题主要有三类：不带限制条件的排列或组合题；带限制条件的排列或

组合题；排列组合综合题；

解排列组合的应用题，通常有以下途径：

①以元素为主，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素——特殊元素法

②以位置为主，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置——特殊位置法

③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减不合要求的排列数或组合数——

间接法

（4）对解组合问题，应注意以下三点：

①对“组合数”恰当的分类计算，是解组合题的常用方法。

②是用“直接法”还是“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”。

③命题设计“分组方案”是解组合题的关键所在。

（3）解排列、组合题的基本策略与方法：

①去杂法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这

是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。

②分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。这是解排列组合问题的基本策略之。注意的是：分类不重复不遗漏。即：每

两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。

③分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步

计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。

④插入法（插空法）：某些元素不能相邻采用插入法。即先安排好没有限制条件的元素，

然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。 ⑤“捆绑”法：要求某些元素相邻，把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个大元素，然

后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置

上全排列，即是“捆绑法”。

⑥穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一排列出来。

⑦消序处理：对均匀分组问题在解决时，一定要区分开是“有序分组”还是“无序分组”，

若是“无序分组”，一定要清除同均匀分组无形中产生的有序因素。

三、二项式定理：

)()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n ∈+++++=+--

（1）通项：)0(1n r b a C T r r n r n r ≤≤=-+

（2）二项式系数的性质：

①二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即：m n n

m n C C -= ②二项展开式中，中间的一项或两项的二项式系数相等并且最大，

即当n 为偶数时，第12

+n 项的二项式系数最大，为2n C ； 当n 为奇数时，第21+n 项及12

1++n 项的二项式系数最大，为21

21+-=n n n n C C ； n n n n n n C C C 210=+++ ； ④二项展开式中，奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等，即

15314202-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C ；

⑤1321232-⋅=++++n n n n n n n nC C C C

（3）、n c b a )(++展开式中r q p c b a 的系数求法（0,,≥r q p 的整数且n r q p =++）

r q q r n q r n r n r r n r n n n c b a C C c b a C c b a c b a ----=+=++=++)(])[()(