高考数学奇函数与偶函数的性质及其应用
高中数学中的函数的奇偶性与对称性
高中数学中的函数的奇偶性与对称性函数是数学中非常重要的概念，它在解决各种实际问题以及数学推导中起着关键的作用。
在高中数学中，函数的奇偶性和对称性是我们经常要研究的性质之一。
本文将就这两个性质展开讨论，并阐述它们在函数研究中的应用。
1. 函数的奇偶性函数的奇偶性判断是指在函数的定义域内，函数关于y轴的对称性。
对于任意实数x，如果函数f(-x) = f(x)，那么这个函数被称为偶函数；如果函数f(-x) = -f(x)，那么这个函数被称为奇函数。
奇函数的图像关于原点对称，即函数在原点的对称轴上。
典型的奇函数包括正弦函数和正切函数。
例如，y = sin(x)和y = tan(x)都是奇函数。
当x为正时，函数值与x轴的夹角是一致的；当x为负时，函数值与x轴的夹角是相反的，因此函数关于y轴对称。
偶函数的图像关于y轴对称，即函数在y轴上对称。
典型的偶函数包括余弦函数和幂函数。
例如，y = cos(x)和y = x^2都是偶函数。
当x为正时，函数值与x轴的夹角是一致的；当x为负时，函数值与x轴的夹角也是一致的，因此函数关于y轴对称。
2. 函数的对称性除了奇偶性，函数还有其他的对称性，如x轴对称和原点对称。
当函数关于x轴对称时，对于任意实数x，函数f(-x) = f(x)。
当函数关于原点对称时，对于任意实数x，函数f(-x) = -f(x)。
函数的对称性在研究函数的性质和图像时非常有用。
奇偶性和对称性在函数研究中起着重要的作用。
它们帮助我们简化函数的研究和计算，同时也带来了一些有趣的性质和规律。
3. 奇偶函数的性质和应用奇函数和偶函数有一些特殊的性质和规律，它们在数学推导和解决实际问题时非常有用。
首先，奇函数与奇函数的和、差、积仍然是奇函数。
例如，如果有两个奇函数f(x)和g(x)，那么它们的和f(x) + g(x)和差f(x) - g(x)仍然是奇函数。
同样地，奇函数与奇函数的乘积fg(x)也是奇函数。
其次，奇函数与偶函数的和、差、积都是一般的函数。
函数的奇偶性的判断及其应用-学会解题之高三数学多题一解【解析版】
函数的奇偶性的判断及其应用【高考地位】函数的奇偶性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明函数的奇偶性，利用函数的奇偶性解决实际问题．类型一 函数奇偶性的判断万能模板 内 容使用场景 一般函数类型解题模板第一步 确定函数的定义域；第二步 判断其定义域是否关于原点对称；第三步 若是，则确定()f x 与()f x -的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数； 第四步 得出结论.例1 判断下列函数的奇偶性：(1) 22()99f x x x =--(2) 1()(1)1x f x x x -=++(3)24()33x f x x -=+-.【解析】（1）第一步，确定函数的定义域：由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-090922x x 得3±=x ，所以函数的定义域为{}33，- 第二步，判断其定义域是否关于原点对称：因为函数的定义域为{}33，-，所以定义域关于原点对称 第三步，若是，则确定()f x 与()f x -的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；()()()()x f x x x x x f =-+-=--+--=-99992222第四步，得出结论. 所以函数为偶函数。
（2）第一步，确定函数的定义域： 由不等式011≥+-xx得11≤<-x ，所以函数的定义域为(]11，- 第二步，判断其定义域是否关于原点对称：因为函数的定义域为(]11，-，所以定义域不关于原点对称第三步，得出结论.所以函数既不是奇函数也不是偶函数；。
（3）第一步，确定函数的定义域：由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≠-+≥-033042x x 得02<≤-x 或20≤<x ，所以函数的定义域为[)⋃-02，或(]20， 第二步，判断其定义域是否关于原点对称：因为函数的定义域为[)⋃-02，或(]20，，所以定义域关于原点对称 第三步，若是，则确定()f x 与()f x -的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；()()()x f xx x x x f -=--=---=-2244第四步，得出结论. 所以函数为奇函数。
高考数学知识点汇总函数的奇偶性与周期性
高考数学知识点汇总函数的奇偶性与周期性高考数学知识点汇总函数的奇偶性与周期性知识要点：一、函数的奇偶性1.定义：关于函数f(x)，假如关于定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)为奇函数;关于函数f(x)，假如关于定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f (x)为偶函数;2.性质：(1)函数依据奇偶性分类可分为：奇函数非偶函数，偶函数非奇函数，既奇且偶函数，非奇非偶函数;(2) f(x),g(x)的定义域为D;(3)图象特点：奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于原点对称;(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件，奇函数f(x)在原点处有定义，则有f(0)=0;(5)任意一个定义域关于原点对称的函数f(x)总能够表示为一个奇函数与偶函数的和的形式：f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)=-[f(x)+f(-x)]为偶函数，h(x) =-[f(x)-f(-x)]为奇函数;(6)奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性。
3.判定方法：(1)定义法(2)等价形式：f(-x)+f(x)=0，f(x)为奇函数;f(-x)-f(x)=0,f(x)为偶函数。
4.拓展延伸：(1)一样地，关于函数y=f(x)，定义域内每一个自变量x，都有f(a+x)=2 b-f(a-x)，则y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称;(2)一样地，关于函数y=f(x)，定义域内每一个自变量x都有f(a+x)=f(a -x)，则它的图象关于x=a成轴对称。
二、周期性：1.定义：关于函数y=f(x)，假如存在一个非零常数T，使得当自变量x 取定义域内的每一个值时，都有f(x)=f(x+T)成立，那么就称函数y=f(x)为周期函数。
2.图象特点：将函数y=f(x)的图象向左(右)平移的整数倍个单位，所得的函数图象与函数y=f(x)的图象重合。
年高考第一轮复习数学函数的奇偶性
函数的奇偶性●知识梳理1.奇函数：对于函数f（x）的定义域内随意一个x，都有f（－ x）=－f（x）〔或f （x） + f（－ x） =0〕，则称f（ x）为奇函数.2.偶函数：对于函数f（ x）的定义域内随意一个x，都有f（－ x） =f（ x）〔或f （ x）－ f（－ x）=0〕，则称f（x）为偶函数.3.奇、偶函数的性质（1）拥有奇偶性的函数，其定义域对于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必需条件是其定义域对于原点对称）.（2）奇函数的图象对于原点对称，偶函数的图象对于y 轴对称 .（3）若奇函数的定义域包括数0，则 f（0）=0.（4）奇函数的反函数也为奇函数.（5）定义在（－∞， +∞）上的随意函数f（x）都能够独一表示成一个奇函数与一个偶函数之和 .●点击双基1.下边四个结论中，正确命题的个数是①偶函数的图象必定与y 轴订交②奇函数的图象必定经过原点③偶函数的图象对于 y 轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数必定是f（ x）=0（x∈R）分析：①不对；②不对，由于奇函数的定义域可能不包括原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数能够为f（ x）=0〔x∈（－ a， a）〕.答案： A2.已知函数 f（x）=ax2＋bx＋ c（a≠0）是偶函数，那么g（x） =ax3＋bx2＋cx 是A. 奇函数C.既奇且偶函数B.偶函数D.非奇非偶函数分析：由f（x）为偶函数，知b=0，有g（x）=ax3＋cx（ a≠0）为奇函数.答案： A3.若偶函数f（x）在区间［－1， 0］上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则以下不等式中正确的选项是（cosα）＞ f（cosβ）（sinα）＞ f（ cosβ）（sinα）＞ f（sinβ）（cosα）＞f（sinβ）分析：∵偶函数f（x）在区间［－ 1， 0］上是减函数，∴ f（x）在区间［ 0， 1］上为增函数 .由α、β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞90°，α＞90°－β.1＞sinα＞cosβ＞ 0.∴f（sinα）＞ f（ cosβ） .答案： B4.已知 f（ x）＝ ax2＋ bx＋ 3a＋ b 是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则 a＝___________，b＝___________.分析：定义域应对于原点对称，故有 a－1＝－ 2a，得 a＝1 .3又对于所给分析式，要使f（－ x）＝ f（ x）恒建立，应 b＝0.答案：131（ x≠ 0）；②y=x25.给定函数+1；③y=2x；④y=log2；⑤y=log2（x+x 2 1 ）:①y=x.x在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是 _________，非奇非偶函数是__________.答案：①⑤② ③④●典例分析【例 1】已知函数 y=f（x）是偶函数， y=f（x－ 2）在［ 0，2］上是单一减函数，则（0）＜ f（－ 1）＜ f（ 2）（－1）＜f（0）＜f（2）（－ 1）＜ f（ 2）＜ f（ 0）（2）＜f（－1）＜f（0）分析：由 f（x－2）在［ 0，2］上单一递减，∴f（x）在［－ 2，0］上单一递减 .∵y=f（x）是偶函数，∴f（x）在［ 0， 2］上单一递加 .又 f（－ 1） =f（1），故应选 A.答案： A【例 2】判断以下函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|－ |x－ 1|；1x（2）f（x）=（x－1）·；（3）f（x）=1x 2；| x 2 | 2（4）f（x）=x(1x)( x0),x(1x)( x0).分析：依据函数奇偶性的定义进行判断.解：（1）函数的定义域x∈（－∞， +∞），对称于原点 .∵f（－ x）=|－ x+1|－ |－ x－ 1|=|x－1|－ |x+1|=－（ |x+1|－|x－1|） =－ f（ x），∴f（x）=|x+1|－ |x－ 1|是奇函数 .（ 2）先确立函数的定义域 .由1x1 x≥0，得－ 1≤x＜ 1，其定义域不对称于原点，所以 f（x）既不是奇函数也不是偶函数.（3）去掉绝对值符号，依据定义判断.由1x20,1 x 1,得4. | x 2 | 2 0,x 0且x故 f（x）的定义域为［－ 1，0）∪（0，1］，对于原点对称，且有 x+2＞0.进而有 f（x）221( x)22= 1 x= 1x=－1x =－f（x），故 f（x）为奇，这时有 f（－ x）=xx22x x函数 .（4）∵函数 f（x）的定义域是（－∞， 0）∪（0，+∞），而且当 x＞ 0 时，－ x＜0，∴f（－ x）=（－ x）［1－（－ x）］=－x（1+x） =－ f（x）（x＞ 0） .当 x＜ 0 时，－ x＞0，∴ f（－ x） =－ x（ 1－ x）=－f（x）（ x＜ 0） .故函数 f（x）为奇函数 .评论：（ 1）分段函数的奇偶性应分段证明 .（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数分析式 .【例 3】（2005 年北京东城区模拟试题）函数f（ x）的定义域为 D={ x|x≠0} ，且满足对于随意 x 、 x ∈D，有 f（ x ·x ）=f（ x ）+f（x ） .121212（1）求 f（ 1）的值；（2）判断 f（x）的奇偶性并证明；（3）假如 f（4）=1， f（3x+1）+f（ 2x－6）≤ 3，且 f（ x）在（ 0，+∞）上是增函数，求 x 的取值范围 .（1）解：令 x1 =x2=1，有 f（1×1）=f（ 1） +f（1），解得 f（1）=0.（2）证明：令 x1 =x2=－ 1，有 f［（－ 1）×（－ 1）］=f（－ 1）+f（－ 1） .解得 f（－1）=0.令 x1 =－1，x2=x，有 f（－ x）=f（－ 1）+f（ x），∴ f（－ x）=f（ x） .∴f（x）为偶函数.（3）解： f （ 4× 4） =f （4）+f （4）=2，f （ 16×4）=f （ 16）+f （4） =3.∴ f （3x+1）+f （2x －6）≤ 3 即 f ［（3x+1）（ 2x －6）］≤ f （64） .（* ）∵f （x ）在（ 0， +∞）上是增函数，∴（ * ）等价于不等式组或 (3x 1)( 2x 6) 0,(3x 1)(2 x 6) 64,x 3或x1 , 1 3,或3 或x 375x R.x3∴3＜x ≤5 或－ 7≤x ＜－ 1或－ 1＜x ＜3.333∴x 的取值范围为 { x|－ 7≤x ＜－ 1或－ 1＜x ＜3 或 3＜ x ≤5}.33 3评论：解答此题易出现以下思想阻碍：（1）无从下手，不知怎样脱掉“ f ” .解决方法 :利用函数的单一性 .（2）没法获得另一个不等式 .解决方法：对于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性同样，偶函数的单一性相反 .深入拓展已知 f （ x ）、g （x ）都是奇函数， f （ x ）＞ 0 的解集是（ a 2，b ）， g （ x ）＞ 0 的解集2是（a， b ）， b＞a 2，那么 f （x ）· g （ x ）＞ 0 的解集是 2 2 2A. （ a 2 ， b）2）2 2 B.（－ b ，－ aC.（ a 2， b）∪（－ b，－ a 2）222 D.（a，b ）∪（－ b 2，－ a 2）2提示： f （ x ）·g （x ）＞ 0f (x) 0, 或 f ( x) 0,g( x) 0g ( x)0.∴x ∈（ a 2， b ）∪（－ b，－ a 2） .2 2答案： C【例 4】 （2004 年天津模拟试题）已知函数 f （x ）=x+ px+m （ p ≠ 0）是奇函数 .（1）求 m 的值 .（2）（理）当 x ∈［ 1， 2］时，求 f （x ）的最大值和最小值 .（文）若 p ＞ 1，当 x ∈［ 1，2］时，求 f （x ）的最大值和最小值 .解：（1）∵ f （x ）是奇函数，∴ f （－ x ）=－f （x ）.∴－ x － p +m=－x － p－m.xx∴ 2m=0.∴m=0.（2）（理）（ⅰ）当 p ＜ 0 时，据定义可证明 f （x ）在［ 1， 2］上为增函数 .∴ f （x ）max =f （2）=2+ p，f （ x ） min =f （1）=1+p.2（ⅱ）当 p ＞ 0 时，据定义可证明 f （x ）在（ 0， p ］上是减函数，在［p ，+∞）上是增函数 .①当 p ＜1，即 0＜ p ＜ 1 时， f （x ）在［ 1，2］上为增函数，∴ f （x ）max =f （2）=2+ p， f （x ）min =f （1）=1+p.2②当 p ∈［ 1，2］时， f （ x ）在［ 1，p ］上是减函数 .在［ p ， 2］上是增函数 .f （ x ） min =f （ p ）=2 p .f （ x ） max =max{ f （ 1），f （2） }=max{1+ p ，2+ p}.2当 1≤p ≤2 时，1+p ≤2+ p，f （x ）max =f （ 2）；当 2＜p ≤4 时，1+p ≥2+ p，f （x ）max =f22（1）.③当p ＞ 2，即 p ＞ 4 时，f （ x ）在［1，2］上为减函数， ∴ f （ x ）max =f （1）=1+p ，f （x ）min =f （2）=2+ p.2（文）解答略 .评论： f（ x） =x+ p（ p＞0）的单一性是一重要问题，利用单一性求最值是重要方x 法.深入拓展f（ x） =x+ p的单一性也可依据导函数的符号来判断，此题怎样用导数来解？x●闯关训练夯实基础1.定义在区间（－∞，+∞）上的奇函数 f （ x）为增函数，偶函数g（ x）在区间［ 0， +∞）上的图象与f（x）的图象重合，设a＜ b＜ 0，给出以下不等式，此中建立的是①f（b）－ f（－ a）＞ g（ a）－ g（－ b）②f（b）－ f（－ a）＜ g（ a）－ g（－ b）③f（a）－ f（－ b）＞ g（ b）－ g（－ a）④f（a）－ f（－ b）＜ g（ b）－ g（－ a）A. ①④B.②③C.①③D. ②④分析：不如取切合题意的函数f（x）=x 及 g（x） =|x|进行比较，或一般地g（x）f ( x)x0, =x f（0）=0， f（a）＜ f（b）＜ 0.f ( x)0,答案： D2.（2003 年北京海淀区二模题）函数f（x）是定义域为 R 的偶函数，又是以 2 为周期的周期函数 .若 f（x）在［－ 1，0］上是减函数，那么 f（ x）在［ 2，3］上是A. 增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数分析：∵偶函数f（x）在［－ 1，0］上是减函数，∴ f（ x）在［ 0，1］上是增函数 .由周期为 2 知该函数在［ 2，3］上为增函数 .答案： A3.已知 f（ x）是奇函数，当 x∈（ 0，1）时， f（x）=lg1，那么当x∈（－1，0）1 x时， f（ x）的表达式是 __________.分析：当 x∈（－ 1，0）时，－ x∈（ 0，1），∴ f（x）=－f（－ x）=－lg 1=lg（1 1 x－x） .答案： lg（1－x）x2x1,4.（2003 年北京）函数 f（x）=lg（ 1+x2），g（x）= 0| x | 1, h（x）=tan2x中，x2x 1.______________是偶函数 .分析：∵ f（－ x）=lg［1+（－ x）2］=lg（1+x2） =f（x），∴f（x）为偶函数 .又∵ 1°当－ 1≤x≤1 时，－ 1≤－ x≤1，∴g（－ x） =0.又 g（ x） =0，∴ g（－ x）=g（ x）.2°当 x＜－ 1 时，－ x＞ 1，∴g（－ x） =－（－ x）+2=x+2.又∵ g（ x） =x+2，∴ g（－ x）=g（ x） .3°当 x＞ 1 时，－x＜－ 1，∴g（－ x） =（－ x）+2=－x+2.又∵ g（ x） =－ x+2，∴ g（－ x）=g（x）.综上，对随意 x∈ R 都有 g（－ x） =g（x）.∴g（x）为偶函数 .h（－ x）=tan（－ 2x） =－tan2x=－ h（ x），∴h（x）为奇函数 .答案： f（ x）、g（x）5.若 f（x）= a 2x a 2为奇函数，务实数 a 的值 .2 x1解：∵x∈ R，∴要使 f（x）为奇函数，一定且只需 f（ x）+f（－ x）=0，即 a－2+2 x1 a－2=0，得 a=1.x216.（理）定义在［－ 2， 2］上的偶函数 g（x），当 x≥0 时， g（x）单一递减，若 g （1－ m）＜ g（m），求 m 的取值范围 .解：由 g（1－m）＜ g（m）及 g（x）为偶函数，可得g（|1－ m|）＜ g（ |m|）.又 g（x）在（0，+∞）上单一递减，∴ |1－m|＞|m|，且 |1－m|≤ 2，|m|≤2，解得－ 1≤m＜1 . 2说明：也能够作出g（x）的表示图，联合图形进行分析.（文）（ 2005 年北京西城区模拟试题）定义在R 上的奇函数 f（ x）在（ 0，+∞）上是增函数，又 f（－ 3）=0，则不等式 xf（x）＜ 0 的解集为A. （－ 3，0）∪（ 0， 3）B.（－∞，－ 3）∪（ 3，+∞）C.（－ 3，0）∪（ 3， +∞）D.（－∞，－ 3）∪（ 0，3）分析：由奇偶性和单一性的关系联合图象来解.答案： A培育能力已知（）＝（1＋1）.7.f xx2 x 1 2（1）判断 f（x）的奇偶性；（2）证明 f（x）＞ 0.（1）解：f（x）＝ x·2x1，其定义域为 x≠0 的实数 .又 f（－ x）＝－ x·22( 2x1)2( 2xx11)＝－x· 1 2x＝x· 2 x 1＝f（x），2(1 2 x )2(2 x1)∴f（x）为偶函数 .（2）证明：由分析式易见，当x＞0 时，有 f（x）＞ 0.又 f（x）是偶函数，且当 x＜ 0 时－ x＞0，∴当 x＜0 时 f（x）＝ f （－ x）＞ 0，即对于 x≠0 的任何实数 x，均有 f（ x）＞ 0.研究创新8.设 f（x）=log 1（1ax）为奇函数，a为常数，2x1（1）求 a 的值；（2）证明 f（x）在（ 1， +∞）内单一递加；对于［ 3， 4］上的每一个x 的值，不等式 f（ x）＞（1）x+m 恒建立，求2实数 m 的取值范围 .（1）解： f（ x）是奇函数，∴ f（－ x）=－f（x）.∴ log 11ax=－ log 12x 12 a=1（舍），∴ a=－1.1 ax1 ax=x 1＞ 0 1－ a2x2=1－ x2a=± 1.查验x 1x 1 1 ax（2）证明：任取 x1＞ x2＞1，∴ x1－ 1＞ x2－1＞0.220＜ 1+ x 21＜ 1+ x2x11x21x11∴0＜x 1＜x211210＜x11＜x21 log 1x11＞12log 1x21，即 f（x1）＞ f（ x2）.∴f（x）在（ 1， +∞）内单一递加 .2x21（3）解： f（ x）－（1）x＞m 恒建立 . 2令 g（x） =f（x）－（1）x.只需 g（x）min＞ m，用定义能够证 g（ x）在［ 3， 4］2上是增函数，∴ g（ x）min（）－9∴＜－9时原式恒建立 .=g 3 =. m88●思悟小结1.函数的奇偶性是函数的整体性质，即自变量x 在整个定义域内随意取值 .2.有时可直接依据图象的对称性来判断函数的奇偶性.●教师下载中心教课点睛1.函数的奇偶性常常与函数的其余性质，如单一性、周期性、对称性联合起来考察.所以，在复习过程中应增强知识横向间的联系.2.数形联合，以形助数是解决本节问题常用的思想方法.3.在教课过程中应重申函数的奇偶性是函数的整体性质，而单一性是其局部性质 .拓展题例2【例 1】 已知函数 f （x ）=ax1（a 、b 、c ∈ Z ）是奇函数，又 f （ 1）=2，f （2）bx c＜3，求 a 、b 、c 的值 .解：由 f （－ x ）=－f （x ），得－ bx+c=－（ bx+c ）.∴ c =0.由 f （1）=2，得 a+1=2b.由 f （2）＜ 3，得4a 1＜3，a 1解得－ 1＜a ＜2.又 a ∈ Z ，∴a=0 或 a=1.若 a=0，则 b= 1，与 b ∈Z 矛盾 .∴a=1， b=1，c=0.2【例 2】 已知函数 y=f （x ）的定义域为R ，对随意 x 、 x ′∈ R 均有 f （x+x ′） =f（x ） +f （x ′），且对随意 x ＞0，都有 f （x ）＜ 0，f （3）=－3.（1）试证明：函数 y=f （ x ）是 R 上的单一减函数；（2）试证明：函数 y=f （ x ）是奇函数；（3）试求函数 y=f （x ）在［ m ， n ］（m 、 n ∈ Z ，且 mn ＜0）上的值域 .分析：（1）可依据函数单一性的定义进行论证， 考虑证明过程中怎样利用题设条件 .（2）可依据函数奇偶性的定义进行证明，应由条件先获得f （ 0）=0 后，再利用条件 f （x 12）=f （ 1 ） +f （ 2）中 x 1、 2 的随意性，可使结论得证.+xx x x（3）由（ 1）的结论可知 f （ m ）、f （n ）分别是函数 y=f （x ）在［ m 、 n ］上的最大值与最小值，故求出 f （m ）与 f （n ）便可得所求值域 .（1）证明：任取 x 1、 x 2∈R ，且 x 1＜x 2，f （x 2） =f ［x 1+（x 2－x 1）］，于是由条件f（x+x′） =f（x）+f（ x′）可知 f（x2） =f（x1）+f（x2－x1） .∵x2＞ x1，∴ x2－ x1＞0.∴f（x2－x1）＜ 0.∴f（x2）=f（x1）+f（ x2－x1）＜ f（x1） .故函数 y=f（x）是减函数 .（2）明：∵ 随意x、x′∈ R 均有 f（x+x′） =f（x） +f（x′），∴若令 x=x′ =0， f（ 0） =f（0）+f（0）.∴f（0）=0.再令 x′=－x，可得 f（0） =f（x）+f（－ x） .∵f（0）=0，∴ f（－ x）=－f（ x） .故 y=f（ x）是奇函数 .（3）解：由函数 y=f（x）是 R 上的减函数，∴y=f（x）在［ m，n］上也减函数 .∴y=f（x）在［ m，n］上的最大 f（m），最小 f（n）.∴f（n）=f［1+（n－1）］ =f（1）+f（ n－ 1） =2f（ 1） +f（n－2）=⋯=nf（1）.同理， f（ m）=mf（1）.∵f（3）=－3，∴ f（3）=3f（1）=－3.∴f（1）=－1.∴f（m）=－m， f（n）=－n.所以，函数 y=f（x）在［ m， n］上的域［－ n，－ m］.述：（ 1）足条件f（ x+x′） =f（x）+f（ x′）的函数，只需其定域是关于原点称的，它就奇函数.（2）若将条件中的x＞0，均有 f（ x）＜ 0 改成均有 f（x）＞ 0，函数 f（x）就是 R 上的增函数 .（3）若条件中的m、n∈Z 去掉，我就没法求出f（m）与 f（n）的，故 m、n∈Z 不行少 .。
数学复习函数的奇偶性与单调性的判定与应用
数学复习函数的奇偶性与单调性的判定与应用数学复习：函数的奇偶性与单调性的判定与应用一、引言在数学中，函数是一种重要的概念，用于描述数值之间的关系。
函数的奇偶性与单调性是研究函数特性的重要方面。
本文将对函数的奇偶性与单调性的判定方法和应用进行复习和总结。
二、函数的奇偶性的判定与应用1. 奇函数与偶函数的定义奇函数指满足f(-x)=-f(x)的函数，即关于原点对称；偶函数指满足f(-x)=f(x)的函数，即关于y轴对称。
2. 函数奇偶性的判定方法（1）对于已知函数 f(x)，可根据奇函数和偶函数的定义，通过验证f(-x)与f(x)的关系，来判定函数的奇偶性。
（2）特殊情况下，例如幂函数、正弦函数等具有明显的对称特点的函数，可以直接判断其奇偶性。
3. 奇偶函数的性质（1）奇函数与奇函数相加、相减仍为奇函数。
（2）偶函数与偶函数相加、相减仍为偶函数。
（3）奇函数与偶函数相乘为奇函数。
4. 奇偶函数的应用（1）对称轴：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
根据奇偶函数的性质，可以确定图像的对称轴位置。
（2）函数的简化：奇函数与偶函数的特殊性质，可用于简化复杂的函数表达式。
（3）函数的积分：在某些情况下，奇函数在对称区间上的积分为0，而偶函数在关于y轴对称的区间上的积分具有简化求解的特点。
三、函数的单调性的判定与应用1. 单调递增与单调递减的定义（1）单调递增指函数在定义域上的任意两点满足f(x1)<=f(x2)，当x1<x2时。
（2）单调递减指函数在定义域上的任意两点满足f(x1)>=f(x2)，当x1<x2时。
2. 函数单调性的判定方法（1）求导：对于已知函数 f(x)，求其导函数 f'(x)。
若在定义域上f'(x)>=0，则函数在该区间上单调递增；若 f'(x)<=0，则函数在该区间上单调递减。
（2）二阶导数：当一阶导数无法确定函数的单调性时，可求二阶导数，通过二阶导数的正负来判定函数的单调性。
奇、偶函数的一组性质及其应用
奇、偶函数的一组性质及其应用
在函数的域含义下，奇函数和偶函数是积分及微分统一最重要的两个用在经典力学中的性质，它们在数学和物理中都有极为重要的应用。
关于奇函数和偶函数的一组性质可以分为几类：
1. 单调性：对于所有的奇函数来说，在其定义域内是单调递减的，而偶函数则在其定义域内是单调递增的。
2. 对称性：奇函数是在y轴上对称的，而偶函数是在原点对称的。
3. 微分：奇函数在其定义域内的导数一定是偶函数，而偶函数的导数一定是奇函数。
4. 积分：奇函数在其定义域内的积分一定是偶函数，而偶函数的积分一定是奇函数。
这些定义为奇函数和偶函数在经典力学中有极为重要的应用，比如一些势能的表示和求解。
在数学中，奇函数和偶函数也是非常重要的，它们可用于展示曲线的对称性，求解微积分问题，同时也用于求解泛函分析问题。
此外，奇函数和偶函数也常常被广泛应用于统计分析和机器学习中，以及信号处理和图像处理中，进行时间序列预测等。
综上所述，奇函数和偶函数的一组性质和应用极为广泛，它们在数学和物理的经典应用中都有重要的作用，并且在统计学、机器学习和信号处理中也有重要的应用。
函数奇偶性及单调性的综合应用课件
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$，则 称$f(x)$为增函数。
性质
增函数的图像是上升的，即随着$x$的 增大，$y$的值也增大。
单调减函数的定义与性质
定义
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称 $f(x)$为减函数。
奇偶性与单调性在数学问题中的应用实例
函数图像分析
通过分析函数的奇偶性和 单调性，可以更好地理解 函数的图像和性质，进而 解决相关的数学问题。
数值计算优化
在数值计算中，利用函数 的奇偶性和单调性，可以 更高效地求解数学问题和 优化算法。
数学建模应用
在数学建模中，结合奇偶 性和单调性，可以建立更 精确的数学模型，解决实 际问题。
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性质
减函数的图像是下降的，即随着$x$的增大，$y$的值减小。
单调性在函数图像中的应用
1 2 3
判断函数图像的单调性
通过观察函数图像的走势，可以判断函数的单调 性。
利用单调性判断函数值大小
在单调增函数中，如果$x_1 < x_2$，则有 $f(x_1) < f(x_2)$；在单调减函数中，如果$x_1 < x_2$，则有$f(x_1) > f(x_2)$。
对于函数$f(x) = x^{2}$，其在区间 $(-infty, 0)$上单调递减，在区间$(0, +infty)$上单调递增。对于函数$f(x) = frac{1}{x}$，其在区间$(-infty, 0)$ 和$(0, +infty)$上均为单调递减。
函数的奇偶性质及其应用
函数的奇偶性质及其应用云南昭通 昭翼高考补习学校 陈培泽1.定义:函数y ()f x =在其定义域D 内满足: ()()f x f x -=,则称函数为偶函数, 函数y ()f x =在其定义域D 内满足: ()()f x f x -=-则称函数为奇函数.分析定义:(1)奇偶函数定义中的自变量x 与-x 互为相反数,确定了奇,偶函数的定义域必然关于原点对称..(2) 奇函数满足: ()()f x f x -=-,当0x D =∈时,有(0)0f =;偶函数在其定义域D 内满足: ()()f x f x -=,当x D ∈时有()()(||)f x f x f x -==.(3)由定义知道,奇函数图象关于原点对称;偶函数图象关于y 轴对称,因此奇函数在对称区间上有相同的单调性,若在区间(,)a b 有最大(最小)值M,则在区间(,)b a --上有最小(最大)值-M,最大值与最小值的和为0; 偶函数在对称区间上有相反的单调性.若在区间(,)a b 有最大(最小)值M,则在区间(,)b a --上也有相等的最大(最小)值M 。
(4)若y ()f x =既是奇函数又是偶函数,,由定义有()0f x =,由定义域D 确定,它表示直线或线段.(5) 若y ()f x =是偶函数,且图象又关于x a =(0)a ≠对称,则有()()f x f x -=和()(2)f x f a x =-同时成立,所以有()(2)f x f a x =+,故y ()f x =又是周期2T a =的周期函数.推而广之：函数()y f x =图象如果有两条对称轴x a =和x b = (0,)ab a b ≠≠则有(2)y f a x =-和(2)y f b x =-,所以有(2)(2)f a x f b x -=-,即()(22)f x f b a x =-+,所以()y f x =是周期2||T b a =-的周期函数.(6) 若y ()f x =是奇函数,图象又关于x a =(0)a ≠对称, 则有()()f x f x -=-和()(2)f x f a x =-同时成立,所以有()(2)f x f a x -=--,()(2)f x f a x ⇒=-+ ()(4)f x f a x ⇒=+,所以y ()f x =又是周期4T a =的周期函数.(7)复合函数()y f x a =+ (0)a ≠为偶函数,由定义有()()f x a f x a -+=+,容易看出函数图象关于直线x a =对称,令t x a =-+;则()(2)(4)f t f a t f a t =-=+,所以()f x 是周期4T a =的周期函数.(8) 复合函数()y f x a =+ (0)a ≠是奇函数,由定义有()()f x a f x a -+=-+,令t x a =-+,则有()(2)f t f a t =--,所以 ()(4)f t f a t =+,所以()f x 是周期4T a =的周期函数.2.常用结论:(1)任意定义域关于原点对称的函数()y f x =均可以表示成一个奇函数()()()2f x f x g x --=和一个偶函数()()()2f x f x h x +-=的和, 即:()()()f xg xh x =+. (2) ;±=±=奇奇奇偶偶偶;; ⨯=奇奇偶; ⨯偶偶=偶; ⨯奇偶=奇3.部分重要奇偶函数:(1)奇函数: ()x xf x a a -=-;()x x x x a a f x a a --+=-;()x x x x a a f x a a ---=+;221()1x x a f x a -=+ 1()log 1a x f x x-=+;()log (a f x x =+ (0,1)a a ≠≠ (2)偶函数: ()x x f x a a -=+ (0,1)a a ≠≠4．奇偶函数定义的等价形式:奇函数等价式: ()()0f x f x -+=, ()1,(()0)()f x f x f x -=-≠. 偶函数等价式: ()()0f x f x --=;()1,(()0)()f x f x f x -=≠’ 5.常见题型归类:<1>考察奇偶函数的定义域关于原点对称:例题:(1)已知二次函数2()f x ax bx =+是定义在[1,2]a a -上的偶函数则________a b +=.(2)已知222()log ()f x x a b =++是定义在(3,2)b a --上的偶函数,图象过点(1,3)则函数的定义域是________;解析式是________.<2>考察函数的定义:例题:(1)已知函数2()lg()1f x a x=+-是奇函数,则使()0f x <的x 取值范围是: (1,0)A - (0,1)B (,0)C -∞ (,0)(1,)D -∞+∞U(2) a R ∈,函数2()21x f x a =-+是奇函数,则_______a =. <3>判断函数奇偶性:例题:(1)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ).1A y x =+ 2.B y x =- 1.C y x= .||D y x x = (2) 下列函数中,既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是( )3.A y x = .||1B y x =+ 2.1C y x =-+ ||.2x D y -=<4>求函数表达式:例题:(1)已知()y f x =是奇函数,当0x ≤时2()2f x x x =-,则_____________()f x =.(2) 已知()y f x =是偶函数,当0x <时()x f x e x =-,则_____________()f x =.(3)(2011年全国卷)设()f x 是周期为2的奇函数,当01x ≤≤时()2(1)f x x x =-,则___________________5()2f -= (4)(2011年湖北卷)已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2(x x f x g x a a a -+=-+>且1)a ≠若(2)g a =则(2)f =( ) .2A 15.4B 17.4C 2.D a <5>简单求值计算例题:(1)(2012年上海卷)已知2()y f x x =+是奇函数,且(1)1f =,若()()2g x f x =+,则________(1)g -=.(2)()f x 是定义在R 上的奇函数,若()()4g x f x =+且(3)5g -=则__________(3)g =;若()()2h x f x =+在(0,)+∞上有最大值5,则()h x 在区间(,0)-∞上的最小值是________.(3)(2011年广东卷)设函数3()cos 1f x x x =+.若()11f a =,则______()f a -=.(4)设函数22(1)sin ()1x x f x x ++=+的最大值为M,最小值为m,则M+m __________=. 点评：运用“奇函数在定义域内最大值与最小值的和为0。
函数奇偶性的概念
奇函数的图像关于原点对称。
奇函数的性质
奇函数在原点有定义，且在原点的函数值为0。
偶函数的性质
偶函数定义
01
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，
则称$f(x)$为偶函数。
偶函数的图像
02
偶函数的图像关于y轴对称。
偶函数的性质
03
偶函数在y轴两侧的函数值相等，即$f(-x)=f(x)$。
用。理解和掌握奇偶函数的性质和特点
是解决相关问题的关键。
05 奇偶函数与周期性的关系
奇函数与周期性的关系
奇函数
如果对于函数$f(x)$，有$f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
奇函数的周期性
奇函数不一定具有周期性，但如果 一个奇函数具有周期性，那么它的 周期一定是$T=2npi$（$n$为整 数）。
描述弹性力分布
描述波动传播
在波动传播中，如果波动函数具有偶 函数的性质，那么波前的形状将呈现 对称性，即波前的中心位置是波峰或 波谷。
在弹性力学中，如果弹性力分布具有 偶函数的性质，那么物体在受力作用 下的变形将呈现对称性。
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奇函数的性质
奇函数的图像关于原点对 称，即如果$f(x)$是奇函 数，那么其图像关于原点 对称。
奇函数的例子
$f(x)=x^3$是一个奇函数， 因为$f(-x)=-x^3=-f(x)$。
偶函数的定义
偶函数的定义
如果对于函数$f(x)$的定 义域内任意一个$x$，都 有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
函数奇偶性的概念
contents
函数的奇偶性及其应用(答案版)
一、关于函数的奇偶性的定义：定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ：（1）)()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数；（2）)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；（3）判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式： ()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±- 二、函数的奇偶性的几个性质：（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称.（3）若奇函数的定义域包含数0，则f （0）=0.（4）奇函数对称区间上的单调性相同，偶函数对称区间上的单调性相反（5）奇函数+奇函数=奇函数 偶函数+偶函数=偶函数奇函数*奇函数=偶函数 偶函数*偶函数=偶函数 奇函数*偶函数=奇函数三、函数的奇偶性的判断利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，步骤如下：（1） 首先确定函数的定义域，并判其定义域是否关于原点对称；（2）确定f(－x)与f(x)的关系；（3）作出相应结论：1、判断下列函数的奇偶性（1）()(f x x =- （2）22(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩(3)()f x =1122-⋅-x x (4)()f x = (5)f(x)＝2-x +x -2 解：（1）由101x x+≥-，得定义域为[1,1)-，关于原点不对称，∴()f x 为非奇非偶函数 （2）当0x <时，0x ->，则22()()()()f x x x x x f x -=---=-+=-，当0x >时，0x -<，则22()()()()f x x x x x f x -=--=--+=-，综上所述，对任意的(,)x ∈-∞+∞，都有()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数（3）∴f(x)是偶函数.事实上函数的定义域为{-1，1}，将=)(x f 1122-⋅-x x化简得f(x)=0.∴f(x)既是偶函数，又是奇函数.（4）奇函数 （5）此函数定义域为｛2｝，故f(x)是非奇非偶函数。
函数的奇偶性与周期性的应用
函数的奇偶性与周期性的应用函数是数学中的重要概念，它描述了数值之间的关系。
在实际问题中，我们经常会遇到需要研究函数的奇偶性和周期性的情况。
本文将讨论函数的奇偶性和周期性在数学和实际问题中的应用。
一、函数的奇偶性奇函数和偶函数是指具有特定对称性质的函数。
1. 奇函数奇函数是指满足以下条件的函数：对任意实数 x，有 f(-x) = -f(x)。
奇函数具有关于原点对称的性质，即图像关于原点对称。
例如，常见的奇函数有正弦函数 sin(x) 和三角函数 tan(x)。
在实际问题中，奇函数的应用很广泛。
比如，当我们研究对称材料的性质时，可以使用奇函数来描述。
此外，奇函数在信号处理和电路设计中也有很多应用，可以用于滤波和调制等方面。
2. 偶函数偶函数是指满足以下条件的函数：对任意实数 x，有 f(-x) = f(x)。
偶函数具有关于 y 轴对称的性质，即图像关于 y 轴对称。
例如，常见的偶函数有余弦函数 cos(x) 和绝对值函数 |x|。
在实际问题中，偶函数也有许多应用。
比如，在对称图形的研究中，可以使用偶函数来描述图形的特性。
此外，偶函数在信号处理和图像处理中也有广泛应用，可以用于图像增强和去噪等方面。
二、函数的周期性周期函数是指在一定区间内具有重复性质的函数。
1. 周期函数的定义周期函数是指满足以下条件的函数：存在一个正数 T，对任意实数x，有 f(x+T) = f(x)。
周期函数的图像在一定区间内重复出现，具有明显的周期性。
常见的周期函数有正弦函数和余弦函数。
2. 周期函数的应用周期函数在实际问题中的应用非常广泛。
比如，当我们研究震动问题时，可以使用周期函数来描述物体的运动轨迹。
此外，在电路设计和信号处理中，周期函数也有很多应用，例如音乐信号的合成和调节。
总结：函数的奇偶性和周期性在数学和实际问题中起着重要作用。
通过研究函数的奇偶性，我们可以揭示问题中的对称性质，从而更好地理解问题。
而函数的周期性则描述了重复出现的模式，使我们能够分析问题的重复特征。
高中数学函数的奇偶性与周期性应用题解析
高中数学函数的奇偶性与周期性应用题解析在高中数学中，函数的奇偶性与周期性是重要的概念，对于解题具有很大的指导作用。
本文将通过具体的题目举例，分析奇偶性与周期性的应用，帮助高中学生更好地理解和运用这些概念。
一、奇偶函数的性质与应用奇函数和偶函数是函数的一种特殊性质，它们在数学中有着重要的应用。
首先，我们来看一个例子：例题1：已知函数$f(x)=x^3-2x$，求证$f(x)$是奇函数。
解析：要证明$f(x)$是奇函数，需要证明对于任意的$x$，有$f(-x)=-f(x)$成立。
我们将$f(-x)$代入并化简，得到$f(-x)=(-x)^3-2(-x)=-x^3+2x$。
然后，我们将$-f(x)$化简，得到$-f(x)=-(x^3-2x)=-x^3+2x$。
可以看出，$f(-x)$和$-f(x)$的结果是相等的，因此$f(x)$是奇函数。
这个例题中，我们通过代入$x$和$-x$，并对函数进行化简，证明了函数$f(x)$是奇函数。
奇函数的一个重要性质是，当自变量$x$取正值和负值时，函数值的符号相反。
在解题中，我们可以利用奇函数的性质进行简化计算，例如可以通过奇偶性关系得到一些特殊点的函数值。
二、周期函数的性质与应用周期函数是指函数在一定区间内满足$f(x+T)=f(x)$的函数，其中$T$为函数的周期。
周期函数在数学中有着广泛的应用。
接下来，我们来看一个例子：例题2：已知函数$f(x)=\sin(2x)$，求证$f(x)$是周期函数，并求出它的最小正周期。
解析：要证明$f(x)$是周期函数，需要证明对于任意的$x$，有$f(x+T)=f(x)$成立。
我们将$f(x+T)$代入并化简，得到$f(x+T)=\sin(2(x+T))=\sin(2x+2T)$。
然后，我们将$f(x)$化简，得到$f(x)=\sin(2x)$。
要使得$f(x+T)=f(x)$成立，必须满足$\sin(2x+2T)=\sin(2x)$。
高考数学奇函数与偶函数的性质及其应用
奇函数与偶函数的性质及其应用1 奇函数的性质及其应用奇函数的性质 设)(x f 是奇函数. (1)若)0(f 有意义，则0)0(=f ；(2)若a x f x g +=)()(，则a x g x g 2)()(=-+；(3)若函数)(x f 有最大(小)值，则函数)(x f 有最小(大)值，且函数)(x f 的最大值与最小值互为相反数.证明 (1)在恒等式0)()(=-+x f x f 中，令0=x 后，可得0)0(=f . (2)可得a a x f a x f x g x g 2])([])([)()(=+-++=-+.(3)这里只证明结论：若函数)(x f 有最大值，则函数)(x f 有最小值，且函数)(x f 的最大值与最小值互为相反数.设函数)(x f 的定义域是D ，得)()(,,00x f x f D x D x £Î"Î$. 因为奇函数)(x f 的定义域D 关于原点对称，所以D x D x Î-Î",，得Dx x f x f x f x f x f x f Î--=-³£-=-0000),()()(),()()(，所以函数)(x f 有最小值(为)(0x f -)，且函数)(x f 的最大值与最小值互为相反数.题1 (普通高中课程标准实验教科书《数学1·必修·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版)第83页第3(2)题)是否存在实数a 使函数122)(+-=xa x f 为奇函数？为奇函数？解 由奇函数的性质(1)，可得1,01)0(==-=a a f .还可验证：当1=a 时，0)()(=-+x f x f ，即)(x f 是奇函数. 所以存在实数1=a 使函数)(x f 为奇函数.题2 (2007年高考安徽卷理科第11题)定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个周期，若将方程0)(=x f 在闭区间],[T T -上的根的个数记为n ，则n 可能为()A.0B.1C.3D.5 解 D.可证÷øöçèæ-=÷øöçèæ-=÷øöçèæ=÷øöçèæ222:02T f T f T f Tf . 所以由奇函数的性质(1)，可得÷øöçèæ-=÷øöçèæ=-===22)(0)0()(T f T f T f f T f ，得方程0)(=x f 在闭区间],[T T -上有根T T x ±±=,2,0.题3 若函数b a bx ax x f ,(1)(3++=是常数)满足13)2016(=f ，则=-)2016(f. 解11-.因为函数bx ax x g +=3)(是奇函数，所以由奇函数的性质(2)，可得2)2016()2016(=-+f f .又13)2016(=f ，所以11)2016(-=-f . 题4 函数)0](,[,21)1ln()(2>-Î-+=t t t x x e x x f x 的最大值与最小值之和为-_____.解0.因为可证)(x f 是奇函数，再由由奇函数的性质(3)，可得答案. 题5 函数11sin )(||||++-=x x e x e x f 在[-m ,m ](m >0)上的最大值与最小值之和为_____. 解 2.1sin 111sin )(||||||+-=++-=x x x e xe x e xf . 可得1sin 1)()(||+-=-=x e xx f x g 是奇函数，且函数)(x g 在[-m ,m ](m >0)上的最大值、最小值之和是0，所以函数)(x f 在[-m ,m ](m >0)上的最大值与最小值之和为2.题6 已知函数12()1sin 21x xf x x +=+++在区间[,](0)k k k ->上的值域为[,]m n ，则m n +=. 解4.可证得()22()f x f x -=--. 设()()2g x f x =-，所以()g x 是奇函数，且其在区间[,](0)k k k ->上的值域为[2,2]m n --.由奇函数的性质(3)，可得(2)(2)0,4m n m n -+-=+=.题7 若函数xx xx x x f cos 224sin 2)(22+++÷øöçèæ+=p 的最大值与最小值分别是M ,m ，则( ) A.M -m =4 B.M +m =4 C.M -m =2D.M +m =2 解 D.可得x x xx x f cos 2sin 1)(2+++=. 可得xx xx x f x g cos 2sin 1)()(2++=-=是奇函数，且函数)(x g 的最大值、最小值分别是1,1--m M .由奇函数的性质(3)，可得2,0)1()1(=+=-+-m M m M . 2 偶函数的性质及其应用偶函数的性质 (1)若函数()()f x x D Î是偶函数，则()()()f x f x x D =Î恒成立；恒成立； (2)(2)若偶函数若偶函数f (x )在0x =处可导，则(0)0f ¢=；(3)(3)若偶函数若偶函数f (x )的定义域是D (可得D 关于原点对称)，,A B 是数集D 的关于原点对称的两个子集，则函数f (x )在数集,A B 上的值域相同.证明(1)当0£x 且D x Î时，)()()(x f x f x f =-=；当0>x 且D x Î时，)()(x f x f =.所以欲证结论成立.(2)由题设，可得由题设，可得0()(0)(0)lim x f x f f x+®-¢=0000()(0)()(0)()(0)()(0)(0)lim lim lim lim x x x t f x f f x f f x f f t f f x x xt -+++®-®-®®------¢===-=--所以所以(0)(0)f f ¢¢=- (0)0f ¢=(3)(3)由偶函数由偶函数f (x )的图象关于y 轴对称，立得欲证结论成立.题8 (2014年高考全国新课标卷II 理科第15题)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是________．解 (－1，3).由题设及偶函数性质(1)，可得，可得f (x －1)＞0(1)(2)1213f x f x x Û->Û-<Û-<<题9 (2015年高考全国卷年高考全国卷II 文科第12题)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.1,13æöç÷èø B.1,(1,)3æö-¥È+¥ç÷èø C.11,33æö-ç÷èø D.11,,33æöæö-¥-È+¥ç÷ç÷èøèø解 A.易知f (x )是偶函数，且当0x ³时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2是增函数(因为两个增函数之和是增函数)，所以由性质1，可得，可得f (x )>f (2x －1)221()(21)212113f x f x x x x x x Û>-Û>-Û>-Û<<题10 已知函数已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+¥上单调递增.若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f a f +£，则a 的取值范围是( )A.[1,2]B.10,2æùçúèûC.1,22éùêúëûD.(0,2] 解 C.由题设及偶函数性质(1)，可得，可得212222(log )(log )2(1)(log )(log )2(log )2(1)f a f a f f a f a f a f +£Û+-=£221(log )(1)log 122f a f a a Û£Û£Û££题11 (2014年高考湖南卷文科第年高考湖南卷文科第15题)若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________．解 －32.由题设及偶函数性质(2)，可得，可得3303e 3(0)0e 12x xx f a a =æö¢=+=+=ç÷+èø 32a =-题12 (2015年高考全国卷I 理科第13题)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________．解 1.由题设及偶函数性质(2)，可得，可得()220(0)ln()[ln()]ln 0x f x a x x x a x a =¢¢=+++++==1a =题13 (2015年高中数学联赛湖北省预赛高二年级第8题)函数2()(112)(11)f x x x x =++-+-+的值域是的值域是 . .解[22,8]+.可得函数f (x )的定义域是[1,1]-. 由偶函数性质(3)知，所求答案即函数2()(112)(11)(01)g x x x x x =++-+-+££的值域的值域. .设11(01)z x x x =++-££，得222+21(01)z x x =-££，由此可得函数112(01)y x x x =++-+££是函数值为非负数的减函数是函数值为非负数的减函数. .又函数211(01)u x x =-+££也是函数值为非负数的减函数，所以函数()g x 是减函数.所以所求答案即[(1),(0)][22,8]g g =+. 题14 (2013年高中数学联赛安徽赛区初赛第1题)函数2()114f x x x x =++-+-的值域为的值域为 . . 解[22,8]+.可得函数f (x )的定义域是[2,2]-. 由偶函数性质(3)知，所求答案即函数2()114(02)g x x x x x =++-+-££的值域.当01x ££时，函数2()24g x x =+-是减函数，得此时()g x 的取值范围是[23,4]+.当12x <£时，可设2cos 03xp q q æö=£<ç÷èø，得此时，得此时221()244cos 2sin 25cos sin 25sin()55g x xxq qq q q j æö=+-=+=+=+ç÷èø(其中j 是锐角且2sin 5j =，可得63j »°)得此时()g x 的取值范围是25sin ,253p j æùæö+ç÷çúèøèû即4cos 2sin ,2533p p æù+çúèû也即(2+3,25]. 所以所求答案即[23,4](2+3,25]+È即[2+3,25].题15 (2013年高中数学联赛湖北省预赛高一年级第5题)函数1111s i n c os t a nc o ty x x x x =+++的最小值为的最小值为 . .解 222+.可得函数y 是偶函数且是以2p为一个周期的正确函数，为一个周期的正确函数，所以只需求函数所以只需求函数y 在,00,44p p éöæù-È÷çêúëøèû上的最小值.由偶函数性质(3)知，只需求函数y 在0,4p æùçúèû上的最小值. 当0,4x p æùÎçúèû时，1111sin cos 1sin cos tan cot sin cos x x y x x x x x x ++=+++=. 设sin cos 2sin 4tx xx p æö=+=+ç÷èø，得21(1,2],sin cos 2t t x x -Î=，所以，所以2(12)1y t t =<£-进而可得所求答案为222221y ==+-.。
函数的奇偶性 - 高中数学讲义与经典例题解析版
函数的奇偶性知识讲解一、函数奇偶性的定义1.奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对于D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，则这个函数叫做奇函数．2.偶函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对于D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=，则这个函数叫做偶函数．二、奇偶函数的图象特征1.函数()y f x =是偶函数⇔()y f x =的图象关于y 轴对称；2.函数()y f x =是奇函数⇔()y f x =的图象关于原点对称．三、判断函数奇偶性的方法1.定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称．若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x -=-或()()f x f x -=是否为恒等式．定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-．2.图象法3.性质法：设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D = 上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇；四、奇偶函数的性质1.函数具有奇偶性⇒其定义域关于原点对称；2.函数()y f x =是偶函数⇔()y f x =的图象关于y 轴对称；3.函数()y f x =是奇函数⇔()y f x =的图象关于原点对称．4.奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．5.若奇函数()y f x =的定义域包含0，则(0)0f =．五、常见函数的奇偶性1.正比例函数(0)y kx k =≠是奇函数；2.反比例函数(0)k y k x=≠是奇函数；3.函数(00)y kx b k b =+≠≠，是非奇非偶函数；4.函数2(0)y ax c a =+≠是偶函数；5.常函数y c =是偶函数；6.对勾函数(0)k y x k x=+≠是奇函数；经典例题一．填空题（共12小题）1．给定四个函数：①y=x3+3；②y=1（x＞0）；③y=x3+1；④y=2+1．其中是奇函数的有①④（填序号）．【解答】解：：①函数的定义域为R，则f（﹣x）=﹣（x3+3）=﹣f（x），则函数f（x）是奇函数；②函数的定义域关于原点不对称，则函数f（x）为非奇非偶函数；③函数的定义域为R，f（0）=0+1=1≠0，则函数f（x）为非奇非偶函数；④函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（﹣x）=2+1−=﹣2+1=﹣f （x），则函数f（x）是奇函数，故答案为：①④2．f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2﹣3x，则当x＞0时，f（x）=﹣x2﹣3x．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=x2﹣3x，∴当﹣x＜0时，f（﹣x）=x2+3x=﹣f（x），∴f（x）=﹣x2﹣3x，故答案为：x2﹣3x，3．已知f（x）是R上偶函数，且在[0，+∞）上递减，比较o−34)与f（1+a+a2）的大小关系为f（1+a+a2）≤f（﹣34）．【解答】解：根据题意，1+a+a2=（14+a+a2）+34=（a+12）2+34≥34，则又由f （x ）在[0，+∞）上递减，则有f （1+a +a 2）≤f （34），又由f （x ）是R 上偶函数，则有f （1+a +a 2）≤f （﹣34），故答案为：f （1+a +a 2）≤f （﹣34）．4．已知f （x ）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且在定义域上为增函数，若f （a ﹣2）＜f （4﹣a 2），求a 2）．【解答】解：因为f （x ）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且在定义域上为增函数．所以f （a ﹣2）＜f （4﹣a 2）等价于−1＜−2＜1−1＜4−2＜1−2＜4−2，化简可得1＜＜33＜2＜5−3＜＜2解可得3＜a ＜2．故答案为（3，2）．5．设函数f （x ）在R 上是偶函数，在区间（﹣∞，0）上递增，且f （2a 2+a +1）＜f （2a 2﹣2a +3），则a 的取值范围=（23，+∞）．【解答】解：根据题意，2a 2+a +1=2（a 2+12a +116）+78=2（a +12）2+78≥78，而2a 2﹣2a +3=2（a 2﹣a +14）+52=2（a ﹣12）2+52≥52；由f （x ）在R 上是偶函数，在区间（﹣∞，0）上递增，可知f （x ）在（0，+∞）上递减．若f （2a 2+a +1）＜f （2a 2﹣2a +3），则2a 2+a +1＞2a 2﹣2a +3，即3a ﹣2＞0，解可得a ＞23，则a 的取值范围（23，+∞）；故答案为：23，+∞）．6．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2+2x（x≥0），若f（3﹣a2）＞f（2a﹣a2），则实数a的取值范围是a＜32．【解答】解：∵函数f（x）=x2+2x（x≥0）是增函数，且f（0）=0，f（x）是奇函数∴f（x）是R上的增函数．由f（3﹣a2）＞f（2a﹣a2），于是3﹣a2＞2a﹣a2，因此，解得a＜32．故答案为：a＜32．7．若f（x）=ax3+bx+1﹣b是定义在区间[﹣4+a，a]的奇函数，则a+b= 3．【解答】解：∵f（x）=ax3+bx+1﹣b是定义在区间[﹣4+a，a]的奇函数，∴﹣4+a+a=0，f（0）=0．解得a=2，b=1．∴a+b=3．故答案为：3．8．若f（a+b）=f（a）•f（b）且f（1）=2．则o2)o1)+o3)o2)+…+o2012)o2011)=4022．【解答】解：令b=1．∴f（a+1）=f（a）f（1）or1)op=f（1）=2o2)o1)=2.o3)o2)=2． (2012)o2011)=2o2)o1)+o3)o2)+…+o2012)o2011)=2011×2=4022．答案：4022．9．已知函数f（x）满足f（ab）=f（a）+f（b），且f（2）=p，f（3）=q，那么f（72）=3p+2q．【解答】解：由题意可知：f（6）=f（2）+f（3）=p+q∴f（18）=f（6）+f（3）=p+q+q=p+2q∴f（36）=f（18）+f（2）=p+2q+p=2p+2q∴f（72）=f（36）+f（2）=2p+2q+p=3p+2q故答案为：3p+2q．10．已知函数f（x）的定义域D=（0，+∞），且对于任意x1，x2∈D，均有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）﹣1，且当x＞1时，f（x）＞1（1）求f（1）的值；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）若f（16）=3，解不等式f（3x+1）≤2．【解答】解：（1）令x1=x2=1，∴f（1）=f（1）+f（1）﹣1∴f（1）=1，（2）：设令0＜x1＜x2，21＞1，当x＞1时，f（x）＞1∴f（21）＞1，∴f（21•x1）=f（x2）=f（21）+f（x1）﹣1＞f（x1），∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）令x1=x2=4，∴f（16）=f（4）+f（4）﹣1=3∴f（4）=2，∴f（3x+1）≤2=f（4），∵f（x）在（0，+∞）上是增函数；∴3+1＞03+1≤4，解得−13＜x≤1，故不等式f（3x+1）≤2的解集为（−13，1]．11．已知f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调递增函数．且满足f（6）=1．f（x）﹣f（y）=f（）（x＞0，y＞0）．则不等式f（x+3）＜f（12的解集是（0，−3+3172）．【解答】解：∵f（x）﹣f（y）=f（）（x＞0，y＞0），令x=36，y=6，得f（36）﹣f（6）=f（6）∴f（36）=2f（6）=2，∵f（x+3）＜f（1）+2，∴f（x+3）﹣f（1）=f（x（x+3））＜2=f（36），∵f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调递增函数，+3＞0＞0o+3)＜36∴0＜x−3+3172故不等式f（x+3）＜f（1）+2的解集是（0，−3+3172），故答案为：（0−3+3172），12．已知函数f（x），对任意实数x1，x2都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞0时f（x）＞0，f（2）=1．解不等式f（2x2﹣1）＜2的解集为[﹣102，102]．【解答】解：∵f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），设x1=x2=0，可得f（0）=2f（0），解得f（0）=0，令x1+x2=0，可得f（0）=f（x1）+f（x2），即有f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）为奇函数；令x1＜x2，即有x2﹣x1＞0，f（x2﹣x1）＞0，即为f（x2）=f（x1+x2﹣x1）=f（x1）+f（x2﹣x1）＞f（x1），即有f（x）在R上为增函数；令x1=x2=2，可得f（4）=2f（2），解得f（4）=2，∵不等式f（2x2﹣1）＜2=f（4）∴2x2﹣1＜4，102＜x＜102102，102]．102，102]．二．解答题（共6小题）13．设函数y=f（x）（x∈R）对任意实数均满足f（x+y）=f（x）+f（y），求证f（x）是奇函数．【解答】证明：定义域关于原点对称，令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）得f（0）=0，令y=﹣x得：f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．14．判断并证明下列函数的奇偶性．（Ⅰ）f（x）=|x|+12；（Ⅱ）f（x）=x2+2x；（Ⅲ）f（x）=x+1．【解答】解：（Ⅰ）可得x≠0f（﹣x）=|﹣x|+1(−p2=f（x），故函数为偶函数；（Ⅱ）函数的定义域为R，且f （x ）=x 2+2x 的图象为抛物线，对称轴为x=﹣1，不关于y 轴对称，也不关于原点对称，故函数非奇非偶；（Ⅲ）可得x ≠0，f （﹣x ）=﹣x ﹣1=﹣f （x ），故函数为奇函数．15．判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=3，x ∈R ；（2）f （x ）=5x 4﹣4x 2+7，x ∈[﹣3，3]；（3）f （x ）=|2x ﹣1|﹣|2x +1|；（4）f （x ）=1−2，＞00，=02−1，＜0．【解答】解：（1）由f （﹣x ）=3=f （x ），x ∈R ，可得函数f （x ）为偶函数；（2）f （﹣x ）=5（﹣x ）4﹣4（﹣x ）2+7=5x 4﹣4x 2+7=f （x ），x ∈[﹣3，3]，可得函数f （x ）为偶函数；（3）定义域为R ，f （﹣x ）=|﹣2x ﹣1|﹣|﹣2x +1|=|2x +1|﹣|2x ﹣1|=﹣f （x ），可得f （x ）为奇函数；（4）f （x ）=1−2，＞00，=02−1，＜0，定义域为R ，当x ＞0时，﹣x ＜0，可得f （﹣x ）=（﹣x ）2﹣1=x 2﹣1=﹣f （x ），当x=0可得f （0）=0；当x ＜0时，﹣x ＞0，可得f （﹣x ）=1﹣（﹣x ）2=1﹣x 2=﹣f （x ），即有f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）为奇函数．16．判断下列函数的奇偶性（1）f（x）=a（a∈R）（2）f（x）=（1+x）3﹣3（1+x2）+2（3）f（x）=o1−p，＜0o1+p，＞0．【解答】解：（1）由奇偶性定义当a=0时，f（x）=0既是奇函数又是偶函数，当a≠0时，f（x）=f（﹣x）=a，故是偶函数；（2）f（x）=（1+x）3﹣3（1+x2）+2=x3+3x，由于f（x）+f（﹣x）=x3+3x+（﹣x）3+3（﹣x）=0，故f（x）=（1+x）3﹣3（1+x2）+2是奇函数．（3）当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=﹣x（1﹣x）=﹣f（x）；当x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）=﹣x（1+x）=﹣f（x）；由上证知，在定义域上总有f（﹣x）=﹣f（x）；故函数f（x）=o1−p，＜0o1+p，＞0是奇函数．17．已知函数op=B2+23r是奇函数，且o2)=53．（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并加以证明．【解答】解：（1）函数op=B2+23r是奇函数，且o2)=53，可得f（﹣x）=﹣f（x），B2+2−3r=﹣B2+23r，可得﹣3x+b=﹣3x﹣b，解得b=0；4r26=53，解得a=2；（2）函数f（x）=22+23在（﹣∞，﹣1]上单调递增；理由：设x1＜x2≤﹣1，则f（x1）﹣f（x2）=23（x1+11）﹣23（x2+12）=23（x1﹣x2）（1﹣112），由x1＜x2≤﹣1，可得x1﹣x2＜0，x1x2＞1，即有1﹣112＞0，则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），则f（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递增．18．已知f（x）=1+．（1）求f（x）+f（1）的值；（2）求f（1）+f（2）+…+f（7）+f（1）+f（12）+…+f（17）的值．【解答】解：（1）∵f（x）=1+．∴f（x）+f（1）=1++11+1=1++11+=1，（2）由（1）得：f（1）+f（2）+…+f（7）+f（1）+f（12）+…+f（17）=7．。
函数奇偶性的性质应用
函数奇偶性的应用一、利用函数的奇偶性判断函数的单调性1奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致,偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．2奇函数、偶函数的单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比拟大小中作用很大．对于偶函数,如果两个自变量在关于原点对称的两个不同的单调区间上,即自变量的正负不统一,应利用图象的对称性将自变量化归到同一个单调区间,然后再根据单调性判断．例．假如奇函数f<x>在[a,b]上是增函数,且有最大值M,如此f<x>在[－b,－a]上是增函数,且有最小值－M.例．假如偶函数f<x>在<－∞,0>上是减函数,如此f<x>在<0,＋∞>上是增函数．例如果f<x>是R上的奇函数,且在[3,6]上有最大值4,最小值2,那么函数f<x>在[－6,－3]上的最大值和最小值各是多少？提示：奇函数的图象关于原点对称,联想图象可知函数f<x>在[－6,－3]上的最大值为－2,最小值为－4.例．假如函数y＝f<x><x∈R>是奇函数,且f<1><f<2>,如此必有<>A．f<－1><f<－2> B．f<－1>>f<－2>C．f<－1>＝f<1> D．f<－2>＝f<1>解析：∵f<1><f<2>,∴－f<1>>－f<2>．又f<x>是奇函数,∴f<－1>>f<－2>．答案：B例函数y＝f<x><x∈R>是奇函数,图象必过点A．〔a,－f<a>> B．〔-a,－f<a>>C．〔a,f<－a>> D．〔-a,－f<a>>例．设f<x>是R上的偶函数,且在[0,＋∞>上单调递增,如此f<－2>,f<－π>,f<3>的大小顺序是________．解析：∵f<x>是R上的偶函数,∴f<－2>＝f<2>,f<－π>＝f<π>,又f<x>在[0,＋∞>上递增,而2<3<π,∴f<π>>f<3>>f<2>,即f<－π>>f<3>>f<－2>．答案：f<－π>>f<3>>f<－2>例．函数f<x>是R上的偶函数,且在[0,＋∞>上单调递增,如此如下各式成立的是<>A．f<－2>>f<0>>f<1>B．f<－2>>f<1>>f<0>C．f<1>>f<0>>f<－2>D．f<1>>f<－2>>f<0>解析：∵f<x>是R上的偶函数,∴f<－2>＝f<2>,又∵f<x>在[0,＋∞>上递增,∴f<－2>>f<1>>f<0>．答案：B例．函数f<x>在区间[－5,5]上是奇函数,在区间[0,5]上是单调函数,且f<3><f<1>,如此<>A．f<－1><f<－3> B．f<0>>f<－1>C．f<－1><f<1> D．f<－3>>f<－5>思路分析：要比拟各函数值的大小,需判断函数在区间[－5,5]上的单调性,根据题意,应首先判断函数在区间[0,5]上的单调性．解析：函数f <x >在区间[0,5]上是单调函数,又3>1,且f <3><f <1>,故此函数在区间[0,5]上是减函数．由条件与奇函数性质,知函数f <x >在区间[－5,5]上是减函数．选项A 中,－3<－1,故f <－3>>f <－1>．选项B 中,0>－1,故f <0><f <－1>．同理选项C 中f <－1>>f <1>,选项D 中f <－3><f <－5>．答案：A例．设f <x >是定义在R 上单调递减的奇函数．假如x 1＋x 2>0,x 2＋x 3>0,x 3＋x 1>0,如此< >A ．f <x 1>＋f <x 2>＋f <x 3>>0B ．f <x 1>＋f <x 2>＋f <x 3><0C ．f <x 1>＋f <x 2>＋f <x 3>＝0D ．f <x 1>＋f <x 2>>f <x 3>解析：利用减函数和奇函数的性质判断．∵x 1＋x 2>0,∴x 1>－x 2.又∵f <x >是定义在R 上单调递减的奇函数,∴f <x 1><－f <x 2>．∴f <x 1>＋f <x 2><0.同理,可得f <x 2>＋f <x 3><0,f <x 1>＋f <x 2><0.∴2f <x 1>＋2f <x 2>＋2f <x 3><0.∴f <x 1>＋f <x 2>＋f <x 3><0.答案：B例〔2009年某某文科卷〕定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠,有2121()()0f x f x x x -<-．如此〔〕A ．(3)(2)(1)f f f <-<Ｂ．(1)(2)(3)f f f <-<Ｃ．(2)(1)(3)f f f -<<Ｄ．(3)(1)(2)f f f <<-答案：A例 定义在R 上的偶函数f <x >满足：对任意的x 1,x 2∈<－∞,0]<x 1≠x 2>,有<x 2－x 1>·[f <x 2>－f <x 1>]>0.如此当n ∈N ＋时,有< >A ．f <－n ><f <n －1><f <n ＋1>B ．f <n －1><f <－n ><f <n ＋1>C ．f <n ＋1><f <－n ><f <n －1>D ．f <n ＋1><f <n －1><f <－n >思路分析：先判断出函数f <x >的单调性,再转化为同一单调区间内判断函数值的大小关系．解析：由<x 2－x 1>[f <x 2>－f <x 1>]>0得f <x >在x ∈<－∞,0]为增函数．又f <x >为偶函数,所以f <x >在x ∈[0,＋∞>为减函数．又f <－n >＝f <n >且0≤n －1<n <n ＋1,∴f <n ＋1><f <n ><f <n －1>,即f <n ＋1><f <－n ><f <n －1>．答案：C例．假如y ＝<a －1>x 2－2ax ＋3为偶函数,如此在<－∞,3]内函数的单调区间为________．解析：a ＝0,y ＝－x 2＋3结合二次函数的单调性知．答案：增区间<－∞,0>,减区间[0,3]例定义在区间<－∞,＋∞>上的奇函数)(x f 为增函数,偶函数)(x g 在区间[0,＋∞>上的图象与)(x f 的图象重合,设a ＞b ＞0,给出如下不等式：〔1〕f <b >－f <－a >＞g <a >－g <－b >；〔2〕f <b >－f <－a >＜g <a >－g <－b >；〔3〕f <a >－f <－b >＞g <b >－g <－a >；〔4〕f <a >－f <－b >＜g <b >－g <－a >．其中成立的是〔 〕A ． <1>与<4>B ． <2>与<3>C ． <1>与<3>D ． <2>与<4>解析：根据函数)(x f 、)(x g 的奇偶性将四个不等式化简,得：〔1〕f <b >＋f <a >＞g <a >－g <b >；〔2〕f <b >＋f <a >＜g <a >－g <b >；〔3〕f <a >＋f <b >＞g <b >－g <a >；〔4〕f <a >＋f <b >＜g <b >－g <a >．再由题义,有 )(a f ＝)(a g ＞)(b f ＝)(b g ＞0)0()0(==g f ．显然〔1〕、〔3〕正确,应当选C ．[技巧提示]具有奇偶性的函数可以根据某个区间的单调性判定其对称的区间内的单调性,因而往往与不等式联系严密．二. 求函数的函数值和函数解析式此类问题的一般解法是：<1>"求谁如此设谁〞,即在哪个区间求解析式,x 就设在哪个区间内．<2>要利用区间的解析式进展代入．<3>利用f <x >的奇偶性写出－f <x >或f <－x >,从而解出f <x >例 函数y ＝f <x >是偶函数,其图象与x 轴有四个交点,如此方程f <x >＝0的所有实根之和是< >A ．4B ．2C ．1D ．0思路分析：以偶函数的图象特征进展判断．解析：∵偶函数y ＝f <x >的图象关于y 轴对称,∴f <x >与x 轴的四个交点也关于y 轴对称．因此,假如一根为x 1,如此它关于y 轴对称的根为－x 1；假如一根为x 2,如此它关于y 轴对称的根为－x 2,故f <x >＝0的四根之和为x 1＋<－x 1>＋x 2＋<－x 2>＝0.∴应选D.例．()2f x ax bx 3a b =+++是偶函数,且定义域为[],a 22a -,如此____,____;a b == 例.函数1().21x f x a =-+,假如()f x 为奇函数,如此a =________. 例. 设f x a a b x x x x xc ()log ()=-+⋅+++-2122〔其中a,b,c 为常数〕,且f()-=25,试求f<2>的值. 解：设g x a a b x x x xc ()log ()=-+⋅++-212,易证g<x>是奇函数,故 于是f g f g ()()()()()()-=-+=--+⎧⎨⎩22412242两式相加得：f f ()()282853=--=-=,即f()23=例：8)(35-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ,那么=)2(f例.f <x >是偶函数,且当x >0时,f <x >＝x 3＋2x －3,求f <x >在x <0时的解析式．解：∵f <x >是偶函数,∴f <－x >＝f <x >,∵x <0,∴－x >0,∴f <－x >＝<－x >3＋2<－x >－3＝－x 3－2x －3.∴f <x >＝－x 3－2x －3<x <0>．例.函数f<x>在〔0,+∞〕上的解析式是f<x>=2x+1,根据如下条件求函数在〔-∞,0〕上的解析式.〔1〕f<x>是偶函数；〔2〕f<x>是奇函数.例设f<x>是定义在R 上的奇函数,当x>0时,f x x x ()lg()=+-+1212.试求此函数的解析式.解：〔1〕当x ＝0时,f f f ()()()000=-=-,于是f()00=；〔2〕当x<0时,->x 0,如此f x x x ()lg()()-=-+--+1212,由于f<x>是定义在R 上的奇函数,如此此函数的解析式为例．f <x >是R 上的奇函数,且当x >0时,f <x >＝－x 2＋2x ＋2.<1>求f <x >的解析式；<2>画出f <x >的图象,并指出f <x >的单调区间．解<2>先画出y ＝f <x ><x >0>的图象,利用奇函数的对称性可得到相应y ＝f <x ><x <0>的图象,其图象如如下图所示 由图可知,其增区间为[－1,0>与<0,1],减区间为<－∞,－1]与[1,＋∞>例．f <x >是奇函数,且当x >0时,f <x >＝x |x －2|,求x <0时,f <x >的表达式．解：∵x <0,如此－x >0,∴f <－x >＝<－x >|<－x >－2|.又∵f <x >为奇函数,∴f <x >＝－f <－x >＝－<－x >|<－x >－2|＝x |x ＋2|.故当x <0时,f <x >＝x |x ＋2|. 于原点对称,f<a>求f<－a>,可尝试利用函数的奇偶性．f<x>＝u<x>＋1,f<－x>＝u<－x>＋1,∴ f<x>＋f<－x>＝u<x>＋u<－x>＋2．∵ u<x>是奇函数,u<x>＋u<－x>＝0,∴ f<x>＋f<－x>＝2,如此例. 设x ∈-()11，,f<x>是奇函数,g<x>是偶函数,f x g x x x ()()lg()+=-+21,求f<x>的表示式.解：f<x>是奇函数,有f x f x ()()-=-；g<x>是偶函数,有g x g x ()()-=,如此即f x g x x x f x g x x x ()()lg()()()lg()+=-+-+=---⎧⎨⎩2121 两式相减得f x x x x()lg()=+-+21211例 设x∈<－1,1>,f<x>是偶函数,g<x>是奇函数,且f<x>＋g<x>＝－2lg<1＋x>,求10f<x>和10g<x>的表达式．解：法一：与上例同法二：∵x∈<－1,1>关于原点对称,又f<x>是偶函数f<－x>＝f<x>,g<x>是奇函数g<－x>＝－g<x>,设f<x>＋g<x>＝－2lg<1＋x>＝F<x>,如此F<－x>＝－2lg<1－x>,而F<－x>＝f<－x>＋g<－x>＝f<x>－g<x>,∴2f<x>＝F<x>＋F<－x>＝－2[lg<1＋x>＋lg<1－x>]＝－2lg<1－x 2>．又2g<x>＝F<x>－F<－x>＝－2[lg<1＋x>－lg<1－x>]三. 解不等式例．假如函数f <x >满足f <－x >＝－f <x >,又在<0,＋∞>上单调递增,且f <3>＝0,如此不等式x ·f <x ><0的解集是________．解析：∵f <－x >＝－f <x >,∴f <x >为奇函数,如此f <x >的简图如右图所示．∴当x <0时,f <x >>0,如此x ∈<－3,0>；当x >0时,f <x ><0,如此x ∈<0,3>．答案：<－3,0>∪<0,3>例. 〔2004年某某卷〕设奇函数f<x>的定义域是［-5,5］.当x ∈[]05，时,f<x>的图象如图1,如此不等式f<x><0的解是______________.图1解：根据奇函数图象关于原点成中心对称的性质,画出函数y f x =()在区间［-5,5］上的图象如图2,易知不等式f x ()<0的解是()(]-⋃2025，，.图2四. 函数的奇偶性的综合应用题解决有关函数的奇偶性、单调性以与求字母取值X 围的综合问题时,一般先利用奇偶性得出区间上的单调性,再利用单调性脱去函数的符号"f 〞,转化为解不等式<组>的问题．需要注意的是：在转化时,自变量必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号"f 〞时,需转化为含符号"f 〞的形式．例 函数f <x >是定义域为实数集R 的偶函数,且在区间[0,＋∞>上是增函数,假如f <m >≥f <－2>,某某数m 的取值X 围．解：函数f <x >是实数集R 上的偶函数,且在[0,＋∞>上是增函数,所以f <x >在<－∞,0>上是减函数．当m <0时,由f <m >≥f <－2>,知m ≤－2；当m ≥0时,由f <m >≥f <－2>,f <－2>＝f <2>,可得f <m >≥f <2>,知m ≥2.故所求的m 的取值X 围为<－∞,－2]∪[2,＋∞>．例 函数f <x >是奇函数〔x ≠0〕,当x ∈〔0,+∞〕时是增函数,假如(1)f =0,求不等式1()2f x -〈0的解集.思路分析：由f <x >的奇偶性与函数在<0,＋∞>上的单调性,不难得出f <x >在<－∞,0>上的单调性．再将不等式两边化为函数值的形式,利用单调性便可脱去函数记号"f 〞,于是问题转化为解不等式． 答案13(,)22⋃1(,)2-∞-例 偶函数)(x f 在定义域为R ,且在〔－∞,0]上单调递减,求满足)3(+x f ＞)1(-x f 的x 的集合．解析：偶函数)(x f 在〔－∞,0]上单调递减,在［0,＋∞〕上单调递增．根据图象的对称性,)3(+x f ＞)1(-x f 等价于 |3|+x ＞|1|-x ．解之,1->x ,∴ 满足条件的x 的集合为〔－1,＋∞〕．例 y ＝f<x>是定义在<－1,1>上的偶函数,且f<x>在<0,1>上是增函数,假如f<a －2>－f<4－a 2>＜0,试确定a 的取值X 围．解 因f<x>是定义在<－1,1>上的偶函数,故它在关于原点对称的两个区间<0,1>和<－1,0>上具有相反的单调性．而f<x>在<0,1>上是增函数,于是f<x>在<－1,0>上为减函数,且f<4－a 2>＝f<a 2－4>．根据f<a －2>＜f<4－a 2>＝f<a 2－4>,考虑几种情况：<1>当a －2和a 2－4都在<0,1>上时,有<2>当a －2和a 2－4都在<－1,0>上时,有<3>当a －2和a 2－4分别在<－1,0>、<0,1>或<0,1>、<－1,0>时,相应的不等式组无解．例 f <x >是定义在[－1,1]上的奇函数,对任意a 、b ∈[－1,1],当a ＋b ≠0时,都有错误!>0.<1>假如a >b ,试比拟f <a >与f <b >的大小；<2>解不等式f <x －错误!><f <2x －错误!>．解：<1>假如a >b ,如此a －b >0,依题意有错误!>0成立,∴f <a >＋f <－b >>0.又∵f <x >是奇函数,∴f <a >－f <b >>0,即f <a >>f <b >．<2>由<1>可知f <x >在[－1,1]上是增函数．如此所求不等式等价于错误!例：定义在R 上的偶函数)(x f 在)0,(-∞是单调递减,假如)123()12(22+-<++a a f a a f ,如此a 的取值X 围是如何？ 例. 函数f x ax bx c a b ()()=++>>2100，是奇函数,当x>0时,f<x>有最小值2,其中b N ∈+,且f()152<〔1〕试求f<x>的解析式；〔2〕问函数f<x>的图象上是否存在关于点〔1,0〕对称的两点,假如存在,求出点的坐标；假如不存在,说明理由. 解：知函数y f x a b =>>()()00，是奇函数,f x f x ()()-=-,如此c ＝0 由于f x a b x bx a b ()=+≥122,所以a b =2,又a b =2,又f a b ()1152=+<,于是25202b b -+< 解得122<<b ,又b N ∈+ 所以b ＝1,a ＝1 所以f x x x()=+1 〔2〕设点〔x 0,y 0〕存在关于点〔1,0〕对称点〔20-x ,y 0〕,此两点均在函数y x x=+21的图象上,如此y x y x x 002002012212=+-=-+-，() 联立以上两式得x x 020210--=,即x 012=±,从而,当x 012=+时,得y 022=；当x 012=-时,得y 022=- 即存在点〔1222+，〕,〔1222--，〕关于点〔1,0〕对称.。
函数的奇偶性及其应用
函数的奇偶性及其应用函数是数学中常见的概念，它描述了一种映射关系，即根据给定的输入值，得到相应的输出值。
函数的奇偶性是指函数图像在坐标系中的对称性质。
了解函数的奇偶性对于解题和分析函数性质具有重要的意义。
本文将就函数的奇偶性及其应用进行讨论。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性即函数关于原点(0,0)的对称性质。
若函数满足$f(-x) =f(x)$，则称该函数为偶函数；若函数满足$f(-x) = -f(x)$，则称该函数为奇函数。
也就是说，对于偶函数来说，函数关于Y轴对称；对于奇函数来说，函数关于原点对称。
二、奇偶函数的性质1. 偶函数和奇函数的性质(1) 任意两个偶函数相加是偶函数，任意两个奇函数相加是奇函数。
(2) 偶函数乘以偶函数是偶函数，奇函数乘以奇函数是偶函数。
(3) 偶函数乘以奇函数是奇函数，奇函数乘以偶函数是奇函数。
(4) 偶数次幂的多项式函数是偶函数，奇数次幂的多项式函数是奇函数。
(5) 偶函数关于Y轴对称，奇函数关于原点对称。
2. 函数的奇偶性与代数运算的关系(1) 若$f(x)$是偶函数，则$f(x)+c$也是偶函数，其中$c$是常数。
(2) 若$f(x)$是奇函数，则$f(x)+c$也是奇函数，其中$c$是常数。
(3) 若$f(x)$是偶函数，则$f(x)\cdot c$仍是偶函数，其中$c$是常数。
(4) 若$f(x)$是奇函数，则$f(x)\cdot c$仍是奇函数，其中$c$是常数。
三、奇偶函数的应用1. 函数图像的性质分析通过函数的奇偶性，可以推导出函数图像关于Y轴或关于原点的对称性。
利用对称性可以简化函数图像的绘制和分析。
2. 奇偶函数在积分计算中的应用(1) 对于奇函数，其在关于原点对称的区间上的定积分为0，例如$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$。
(2) 对于偶函数，其在关于Y轴对称的区间上的定积分可以通过积分区间的对称性进行简化，例如$\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx$。
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奇函数与偶函数的性质及其应用1 奇函数的性质及其应用奇函数的性质 设)(x f 是奇函数. (1)若)0(f 有意义，则0)0(=f ；(2)若a x f x g +=)()(，则a x g x g 2)()(=-+；(3)若函数)(x f 有最大(小)值，则函数)(x f 有最小(大)值，且函数)(x f 的最大值与最小值互为相反数.证明 (1)在恒等式0)()(=-+x f x f 中，令0=x 后，可得0)0(=f . (2)可得a a x f a x f x g x g 2])([])([)()(=+-++=-+.(3)这里只证明结论：若函数)(x f 有最大值，则函数)(x f 有最小值，且函数)(x f 的最大值与最小值互为相反数.设函数)(x f 的定义域是D ，得)()(,,00x f x f D x D x ≤∈∀∈∃. 因为奇函数)(x f 的定义域D 关于原点对称，所以D x D x ∈-∈∀,，得D x x f x f x f x f x f x f ∈--=-≥≤-=-0000),()()(),()()(，所以函数)(x f 有最小值(为)(0x f -)，且函数)(x f 的最大值与最小值互为相反数.题1 (普通高中课程标准实验教科书《数学1·必修·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版)第83页第3(2)题)是否存在实数a 使函数122)(+-=x a x f 为奇函数？ 解 由奇函数的性质(1)，可得1,01)0(==-=a a f .还可验证：当1=a 时，0)()(=-+x f x f ，即)(x f 是奇函数. 所以存在实数1=a 使函数)(x f 为奇函数.题2 (2007年高考安徽卷理科第11题)定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个周期，若将方程0)(=x f 在闭区间],[T T -上的根的个数记为n ，则n 可能为( )A.0B.1C.3D.5 解 D.可证⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛222:02T f T f T f T f . 所以由奇函数的性质(1)，可得⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=-===22)(0)0()(T f T f T f f T f ，得方程0)(=x f 在闭区间],[T T -上有根T Tx ±±=,2,0. 题3 若函数b a bx ax x f ,(1)(3++=是常数)满足13)2016(=f ，则=-)2016(f .解 11-.因为函数bx ax x g +=3)(是奇函数，所以由奇函数的性质(2)，可得2)2016()2016(=-+f f .又13)2016(=f ，所以11)2016(-=-f . 题4 函数)0](,[,21)1ln()(2>-∈-+=t t t x x e x x f x的最大值与最小值之和为-_____.解 0.因为可证)(x f 是奇函数，再由由奇函数的性质(3)，可得答案.题5 函数11sin )(||||++-=x x e x e x f 在[-m ,m ](m >0)上的最大值与最小值之和为_____. 解 2.1sin 111sin )(||||||+-=++-=x x x e xe x e xf .可得1sin 1)()(||+-=-=x e xx f x g 是奇函数，且函数)(x g 在[-m ,m ](m >0)上的最大值、最小值之和是0，所以函数)(x f 在[-m ,m ](m >0)上的最大值与最小值之和为2.题6 已知函数12()1sin 21x xf x x +=+++在区间[,](0)k k k ->上的值域为[,]m n ，则m n += .解 4.可证得()22()f x f x -=--.设()()2g x f x =-，所以()g x 是奇函数，且其在区间[,](0)k k k ->上的值域为[2,2]m n --.由奇函数的性质(3)，可得(2)(2)0,4m n m n -+-=+=.题7 若函数xx xx x x f cos 224sin 2)(22+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π的最大值与最小值分别是M ,m ，则( ) A.M -m =4 B.M +m =4 C.M -m =2 D.M +m =2解 D.可得x x xx x f cos 2sin 1)(2+++=. 可得xx xx x f x g cos 2sin 1)()(2++=-=是奇函数，且函数)(x g 的最大值、最小值分别是1,1--m M .由奇函数的性质(3)，可得2,0)1()1(=+=-+-m M m M . 2 偶函数的性质及其应用偶函数的性质 (1)若函数()()f x x D ∈是偶函数，则()()()f x f x x D =∈恒成立； (2)若偶函数f (x )在0x =处可导，则(0)0f '=；(3)若偶函数f (x )的定义域是D (可得D 关于原点对称)，,A B 是数集D 的关于原点对称的两个子集，则函数f (x )在数集,A B 上的值域相同.证明 (1)当0≤x 且D x ∈时，)()()(x f x f x f =-=；当0>x 且D x ∈时，)()(x f x f =.所以欲证结论成立.(2)由题设，可得0()(0)(0)lim x f x f f x+→-'=0000()(0)()(0)()(0)()(0)(0)lim lim lim limx x x t f x f f x f f x f f t f f x x x t-+++→-→-→→------'===-=--所以(0)(0)f f ''=- (0)0f '=(3)由偶函数f (x )的图象关于y 轴对称，立得欲证结论成立.题8 (2014年高考全国新课标卷II 理科第15题)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是________．解 (－1，3).由题设及偶函数性质(1)，可得f (x －1)＞0(1)(2)1213f x f x x ⇔->⇔-<⇔-<<题9 (2015年高考全国卷II 文科第12题)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,(1,)3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C.11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解 A.易知f (x )是偶函数，且当0x ≥时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2是增函数(因为两个增函数之和是增函数)，所以由性质1，可得f (x )>f (2x －1)221()(21)212113f x f x x x x x x ⇔>-⇔>-⇔>-⇔<< 题10 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上单调递增.若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f a f +≤，则a 的取值范围是( )A.[1,2]B.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.(0,2]解 C.由题设及偶函数性质(1)，可得212222(log )(log )2(1)(log )(log )2(log )2(1)f a f a f f a f a f a f +≤⇔+-=≤221(log )(1)log 122f a f a a ⇔≤⇔≤⇔≤≤ 题11 (2014年高考湖南卷文科第15题)若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________．解 －32.由题设及偶函数性质(2)，可得3303e 3(0)0e 12x x x f a a =⎛⎫'=+=+= ⎪+⎝⎭32a =-题12 (2015年高考全国卷I 理科第13题)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________．解 1.由题设及偶函数性质(2)，可得()220(0)ln()[ln()]ln 0x f x a x x x a x a =''=+++++==1a =题13 (2015年高中数学联赛湖北省预赛高二年级第8题)函数2()(112)(11)f x x x x =++-+-+的值域是 .解 [22,8]+.可得函数f (x )的定义域是[1,1]-. 由偶函数性质(3)知，所求答案即函数2()(112)(11)(01)g x x x x x =++-+-+≤≤的值域.设11(01)z x x x =++-≤≤，得222+21(01)z x x =-≤≤，由此可得函数112(01)y x x x =++-+≤≤是函数值为非负数的减函数.又函数211(01)u x x =-+≤≤也是函数值为非负数的减函数，所以函数()g x 是减函数.所以所求答案即[(1),(0)][22,8]g g =+. 题14 (2013年高中数学联赛安徽赛区初赛第1题)函数2()114f x x x x =++-+-的值域为 .解 [22,8]+.可得函数f (x )的定义域是[2,2]-. 由偶函数性质(3)知，所求答案即函数2()114(02)g x x x x x =++-+-≤≤的值域.当01x ≤≤时，函数2()24g x x=+-是减函数，得此时()g x 的取值范围是[23,4]+.当12x <≤时，可设2cos 03x πθθ⎛⎫=≤<⎪⎝⎭，得此时 221()244cos 2sin 25cos sin 25sin()55g x x x θθθθθϕ⎛⎫=+-=+=+=+ ⎪⎝⎭(其中ϕ是锐角且2sin 5ϕ=，可得63ϕ≈︒)得此时()g x 的取值范围是25sin ,253πϕ⎛⎤⎛⎫+⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦即4cos 2sin ,2533ππ⎛⎤+ ⎥⎝⎦也即(2+3,25]. 所以所求答案即[23,4](2+3,25]+⋃即[2+3,25].题15 (2013年高中数学联赛湖北省预赛高一年级第5题)函数1111s i n c o st a nc o ty x x x x =+++的最小值为 .解 222+.可得函数y 是偶函数且是以2π为一个周期的正确函数，所以只需求函数y 在,00,44ππ⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦上的最小值. 由偶函数性质(3)知，只需求函数y 在0,4π⎛⎤⎥⎝⎦上的最小值.当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，1111sin cos 1sin cos tan cot sin cos x x y x x x x x x ++=+++=. 设sin cos 2sin 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，得21(1,2],sin cos 2t t x x -∈=，所以2(12)1y t t =<≤- 进而可得所求答案为222221y ==+-.。