方向导数与梯度

gradf方向就是 f变化最快的方向 gradf 就是 f最大变化率的值
例 求函数 u x2 2 y2 3z2 3x 2 y 在点 (1,1,2)处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？
解 由梯度计算公式得
gradu( x, y, z) (u , u , u) x y z
(2x 3, 4 y 2, 6z)
方向余弦为 cos 2 , cos 3 , cos 1
14
14
14
而
u
x
P
z
6x
6x2 8y2 P
6 14
同理得
u 1 6 2 8 3 141 11
n P 14
7
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问题：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个 火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一 个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点？
的方向导数 .
解: 向量 l 的方向余弦为
u 2x yz 2
l P
14
x2 y 3 14
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例2. 设 n 是曲面
在点 P(1, 1, 1 )处
指向外侧的法向量, 求函数
在点P 处沿
方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ n 的方向导数.
解: n (4x , 6 y , 2z) P 2(2 , 3 , 1)
一、方向导数
l
定义: 若函数 f ( x, y) 在点 P( x, y) 处
沿方向 l (方向角为 , )存在下列极限:
P1
lim f
0
P(x, y)
lim f ( x x, y y) f ( x, y)
0
记作 f l
记 PP1 x2 y2 .
则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.
第七 节 方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度
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复习偏导数定义: z f (P) f x , y
f x, y
f x x, y f x, y
lim
x
x0
x
f x , y lim f x , y y f x , y
y
y0
y
偏导数反映了函数 f P沿坐标轴方向上的变化率 .
l
2
二元函数 f ( x, y)
f f cos f cos
l x
y
其中 , 为方向l的方向角
三元函数 f ( x, y, z)
f l
f cos f cos f cos
x
y
z
其中 , , 为方向l 的方向角
f f cos f cos f cos
l x
y
z
例2. 求函数
在点 P(1, 1, 1) 沿向量
l
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定理: 若函数 f ( x, y) 在点 P( x, y) 处 可微 ,
则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有
f f cos f cos
l x
y
l
P
证明: 由函数 f ( x, y) 在点 P 可微 , 得
P(x, y)
f f x f y o( )
在该点切线方向的方向导数; (2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向
的夹角 .
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解:
1. (1)
曲线
M (1,1,1) 处切线的方向向量
在点
l
函数沿 l 的方向导数
f l
M fx cos f y cos fz cos (1,1,1)
f f cos f cos f cos
l x
y
z
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2. 梯度
二元函数
在点
处的梯度为
grad f ( fx , f y )
三元函数
在点
处的梯度为
grad f f , f , f x y z
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练习
1. 设函数 (1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线
故 gradu(1,1,2) (5, 2, 1) 5i 2 j 12k
在
P0
(
3 2
,
1 2
,0)
处梯度为
0.
内容小结
1. 方向导数
• 二元函数
在点
沿方向 l (方向角为
, )的方向导数为
f f cos f cos
l x
y
• 三元函数
在点
为 , , ) 的方向导数为
沿方向 l (方向角
max f G
l
这说明
G:
方向：f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值
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1. 定义
向量 G 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient),
记作grad f , 即
f , f , f x y z
同样可定义二元函数
在点P(x, y) 处的梯度
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(2) grad f M (2 , 1 , 0)
cos
l
l
arccos 6
130
f l M
grad f M
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x
y
o( )
故
f l
lim f
0
f cos f cos
x
y
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二元函数 f ( x, y)
f f cos f cos
l x
y
其中 , 为方向l的方向角
特别:
• 当 l 与 x 轴同向 0, 时,有 f f
2
l x
• 当 l 与 x 轴反向 , 时,有 f f
2
l x
f f cos f cos
l x
y
例 1 求z xe2 y 在点P(1,0)处沿从点 P(1,0)
到点Q(2,1)的方向的方向导数
解: 方向l 即为PQ 1,1
z e2 y 1
x (1,0)
(1,0)
z 2xe2 y 2
y
(1,0)
(1,0)
z 1 cos 2 cos 2
问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向 （即梯度方向）爬行
函数在点 P 沿哪一方向变化率最大?
二、梯度
方向导数公式 f f cos f cos f cos
l x
y
z
令向量 G f , f , f x y z
l 0 (cos , cos , cos )
当 l 0 与 G 方向一致时, 方向导数取最大值：