第二章理论力学第二册(哈工大7版)课件总结
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哈工大第七版 理论力学
F1 FR F2
F1
FR
F1 F2
FR
F2
☆ 公理2
二力平衡条件
作用在 刚 体 上的两个力,使刚体保持平衡 的充分必要条件是:这两个力大小相等,方向相 反,且在同一直线上 即 F1 = - F2
F1
F2
☆ 公理3
加减平衡力系原理
在已知力系上加上或减去任意的平衡力系,不改变原力 系对刚体的作用。(效应不变)
力可分为两类:主动力和被动力。 把受力体从施力体中分离出来,单独画简图的过 程叫取研究对象或取分离体。
把受力体所受的所有力(外力)全画出来的图称 为受力图。
• 受力图举例
例1-1
F F
试画出图示重为P的石磙的受力图。
A
B
FA
p
A B
FB
P F B A
例1-2
试画出图示自重为 P,AC 边承受均 布风力 (单位长度上的力的载荷集度为 q)的 屋架的受力图。
光滑铰链的特点是只限制两物体径向 的相对位移,而不限制两物体绕铰链 中心的相对转动及沿轴向的位移。
4. 其它约束
(1) 滚动支座(辊轴支座) 约束力 实物简图
(2)球铰链
Fz
Fy
Fx
约束力 实物简图
(3)止推轴承
√ ×
实物简图
Fz Fy Fx
约束力
§1-4 物体的受力分析和受力图
在求解之前,首先要确定构件受几个力,及其位 置和作用方向。此过程称为物体的受力分析。
C
A
B
铰链和固定铰支的构造
C
C
销钉A
A A
销钉C
B
B
销钉B
固定在地面上的支架
F1
FR
F1 F2
FR
F2
☆ 公理2
二力平衡条件
作用在 刚 体 上的两个力,使刚体保持平衡 的充分必要条件是:这两个力大小相等,方向相 反,且在同一直线上 即 F1 = - F2
F1
F2
☆ 公理3
加减平衡力系原理
在已知力系上加上或减去任意的平衡力系,不改变原力 系对刚体的作用。(效应不变)
力可分为两类:主动力和被动力。 把受力体从施力体中分离出来,单独画简图的过 程叫取研究对象或取分离体。
把受力体所受的所有力(外力)全画出来的图称 为受力图。
• 受力图举例
例1-1
F F
试画出图示重为P的石磙的受力图。
A
B
FA
p
A B
FB
P F B A
例1-2
试画出图示自重为 P,AC 边承受均 布风力 (单位长度上的力的载荷集度为 q)的 屋架的受力图。
光滑铰链的特点是只限制两物体径向 的相对位移,而不限制两物体绕铰链 中心的相对转动及沿轴向的位移。
4. 其它约束
(1) 滚动支座(辊轴支座) 约束力 实物简图
(2)球铰链
Fz
Fy
Fx
约束力 实物简图
(3)止推轴承
√ ×
实物简图
Fz Fy Fx
约束力
§1-4 物体的受力分析和受力图
在求解之前,首先要确定构件受几个力,及其位 置和作用方向。此过程称为物体的受力分析。
C
A
B
铰链和固定铰支的构造
C
C
销钉A
A A
销钉C
B
B
销钉B
固定在地面上的支架
ppt版本-哈工大版理论力学课件(全套)
理论力学课程的内容包括质点和刚体的运动、弹性力学、 流体力学、振动和波等,其体系由静力学、运动学和动力 学三个部分组成。
理论力学课程的内容非常广泛,主要包括质点和刚体的运 动、弹性力学、流体力学、振动和波等方面的知识。这些 内容在理论力学体系中占据着重要的地位,为后续的工程 技术和科学研究提供了重要的理论基础和应用方法。同时 ,理论力学体系由静力学、运动学和动力学三个部分组成 ,这三个部分相互联系、相互渗透,构成了完整的理论力 学体系。
详细描述
理论力学作为经典力学的一个重要分支,主要研究物体运动规律、力的作用机制以及它们之间的相互作用。通过 对质点和刚体的运动规律、力的合成与分解、动量守恒和能量守恒等基本原理的研究,理论力学为各种工程技术 和科学研究提供了重要的理论基础和应用方法。
理论力学课程的内容和体系
要点一
总结词
要点二
详细描述
置和速度。
刚体的转动
02
描述刚体绕固定点或轴线的旋转运动,通过角速度矢量和角加
速度矢量表示刚体的转动状态。
刚体的复合运动
03
描述刚体同时存在的平动和转动,通过平动和转动运动的合成
来描述。
刚体的动力学方程
牛顿第二定律
表述了物体运动与力的关系,即物体受到的合外力等 于其质量与加速度的乘积。
动量定理
表述了物体动量的变化率等于作用在物体上的力与时 间的乘积。
由于非惯性参考系中物体受到的力不是真实的外力,而是由于参考 系加速或旋转产生的惯性力。
非惯性参考系的应用
在研究地球上的物体运动时,常常需要用到非惯性参考系,例如研 究地球的自转和公转对物体运动的影响。
05
刚体的运动
01
描述刚体在空间中的位置和运动,通过平动矢量表示刚体的位
哈工大第七版理论力学课件PPT课件
公理1 公理2 公理3 公理4
力的平行四边形法则 二力平衡公理 加减平衡力系原理 作用力和反作用力定律
公理5 刚化原理
11
第11页/共75页
公理1 力的平行四边形法则
作用在物体上同一点的两个力可合成一个合力,此合力也作用于该点,合力 的大小和方向由以原两力矢为邻边所构成的平行四边形的对角线来表示。
第18页/共75页
FR
18
公理4 作用力和反作用力定律
作用力和反作用力总是同时存在,两力的大小相等,方向相反,沿着同一直线, 分别作用在两个相互作用的物体上。
[例] 吊灯
[例] 重物
第19页/共75页
FN FN'
19
§1-2 约束与约束力
一、概念 自由体:位移不受限制的物体叫自由体。如人造卫星。
6 、同一系统各研究对象的受力图必须整体与局部一致,相 互协调,不能相互矛盾。 对于某一处的约束反力的方向一旦设定,在整体、局部或单个物体的受力 图上要与之保持一致。
7 、正确判断二力构件。
44
第44页/共75页
[ 例 5 ]画出下列各构件的受力图和整体的受力图 FD
F FAx
FD
F
FBy
FBx
4、受力图上不能再带约束。 即受力图一定要画在分离体上。
42
第42页/共75页
5、受力图上只画外力,不画内力。 一个力,属于外力还是内力,因研究对象的不同,有可能不同。当物体 系统拆开来分析时,原系统的部分内力,就成为新研究对象的外力。
[整体]
A
错误的画法:
F
H D
B
E C
FB
FC
43
第43页/共75页
非自由体:位移受限制的物体叫非自由体。如火车、电灯 约束:对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体称为约束。
哈尔滨工业大学理论力学第七版第II篇 第3章 碰撞
飞机相撞,如果飞机速度是800km/h,(对现代飞机来说, 这只是中等速度),碰撞力可高达3.56105N,即为鸟重的2 万倍!这是航空上所谓“鸟祸”的原因之一。
害的一面: 鸟祸、机械、仪器及其它物品由于碰撞损坏等。
利的一面:利用碰撞进行工作,如锻打金属,用锤打桩等。 研究碰撞现象,就是为了掌握其规律,以利用其有利的一 面,而避免其危害。
§3-2
用于碰撞过程的基本定理
由于碰撞过程时间短、碰撞力变化规律复杂,因此只分 析碰撞前、后运动的变化。 碰撞过程中有机械能的损失,难以用力的功来计算,因 此一般采用动量定理和动量矩定理的积分形式来确定力 的作用和运动变化的关系。 1. 用于碰撞过程的动量定理—冲量定理
t 对于质点: mv mv Fdt I 0 I 称为碰撞冲量,普通力的冲量忽略不计
§3-3
§3-4
质点对固定面的碰撞 · 恢复因数
碰撞问题举例
§3-5
碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用
· 撞击中心
§3-1
碰撞的分类 · 碰撞问题的简化
1. 碰撞的分类
碰撞时两物体间的相互作用力,称为碰撞力。
(1)两个物体相碰时,按其相处位置,可分为 对心碰撞 ---- 碰撞力的作用线通过两物体的质心。 否则称为偏心碰撞 偏心碰撞 正碰撞 斜碰撞 ---- 碰撞时各自质心的速度均沿着公法线。 否则称为斜碰撞
(i ) Ii 0
n i 1
冲量定理:质点系在碰撞开始和结束时动量的变化,等于作 用于质点系的外碰撞冲量的主矢。
(e ) mvC mvC I i
2. 用于碰撞过程的动量矩定理—冲量矩定理
n n (e) d (e) LO M O ( Fi ) ri Fi dt i 1 i 1 n n (e) (e) dLO ri Fi dt ri dI i i 1 i 1
害的一面: 鸟祸、机械、仪器及其它物品由于碰撞损坏等。
利的一面:利用碰撞进行工作,如锻打金属,用锤打桩等。 研究碰撞现象,就是为了掌握其规律,以利用其有利的一 面,而避免其危害。
§3-2
用于碰撞过程的基本定理
由于碰撞过程时间短、碰撞力变化规律复杂,因此只分 析碰撞前、后运动的变化。 碰撞过程中有机械能的损失,难以用力的功来计算,因 此一般采用动量定理和动量矩定理的积分形式来确定力 的作用和运动变化的关系。 1. 用于碰撞过程的动量定理—冲量定理
t 对于质点: mv mv Fdt I 0 I 称为碰撞冲量,普通力的冲量忽略不计
§3-3
§3-4
质点对固定面的碰撞 · 恢复因数
碰撞问题举例
§3-5
碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用
· 撞击中心
§3-1
碰撞的分类 · 碰撞问题的简化
1. 碰撞的分类
碰撞时两物体间的相互作用力,称为碰撞力。
(1)两个物体相碰时,按其相处位置,可分为 对心碰撞 ---- 碰撞力的作用线通过两物体的质心。 否则称为偏心碰撞 偏心碰撞 正碰撞 斜碰撞 ---- 碰撞时各自质心的速度均沿着公法线。 否则称为斜碰撞
(i ) Ii 0
n i 1
冲量定理:质点系在碰撞开始和结束时动量的变化,等于作 用于质点系的外碰撞冲量的主矢。
(e ) mvC mvC I i
2. 用于碰撞过程的动量矩定理—冲量矩定理
n n (e) d (e) LO M O ( Fi ) ri Fi dt i 1 i 1 n n (e) (e) dLO ri Fi dt ri dI i i 1 i 1
《哈工大理论力学》课件
总结词
动量守恒定律在物理学、工程学和天文 学等领域有着广泛的应用。
VS
详细描述
在碰撞、火箭推进、行星运动、相对论等 领域中,动量守恒定律都起着重要的作用 。通过应用动量守恒定律,可以预测系统 的运动状态和变化趋势,为实际应用提供 重要的理论支持。
04
角动量与角动量守恒定律
角动量的定义与计算
角动量的定义
体育竞技
在花样滑冰、冰球等体育项目 中,运动员通过改变身体姿态 来调整角动量,以完成各种高
难度动作。
05
万有引力定律
万有引力定律的表述
总结词
万有引力定律是描述两个质点之间由于它们 的质量而相互吸引的力的大小和方向的定律 。
详细描述
万有引力定律由艾萨克·牛顿提出,表述为 任意两个质点通过连心线方向上的力相互吸 引,该力的大小与它们质量的乘积成正比,
02
牛顿运动定律
牛顿运动定律的表述
第一定律(惯性定律)
除非受到外力作用,否则保持静止或匀速直线运动 的状态不变。
第二定律(动量定律)
物体的加速度与作用力成正比,与物体的质量成反 比。
第三定律(作用与反作用定律)
对于任何作用力,都存在一个大小相等、方向相反 的反作用力。
牛顿运动定律的应用
动力学问题
弹性力学的应用实例
总结词:实际应用
详细描述:弹性力学在工程领域有广 泛的应用,如桥梁、建筑、机械和航 空航天等。应用实例包括梁的弯曲、 柱的拉伸和压缩、壳体的变形等。
THANKS
感谢观看
提供理论基础和解决方案。
理论力学的发展历程
总结词
理论力学的发展经历了古典力学和相对论力学两个阶段,相对论力学对于高速运动和强引力场的研究具有重要意 义。
理论力学(哈工大版本)第二章平面力系ppt
[例]图示杆系,已知M,l,求A、B处约束力。
理论力学
38
FA C
F
解:1、 AD为二力杆。 2、研究对象: 整体
M l
FA F C
A
C
B
D
l
l
M
FA
lFC
M作用在AD杆上又如何?
A
B
D
l
l
M
BC为二力杆
FA l
Mlsin450
和滑轮的大小,试求平衡时杆AB和BC所受的力。
A
B
D
30
60
C
G
解:取滑轮B为研究对象,忽略滑轮的大小,画受力图。
x
y
B30
60
FBA
F1
FBC
1
1
F2Fx 0, FBA F cos 60 F2 cos 30 0Fy 0,FBC F cos 30 F2 cos 60 0
封闭多边形为三角形,可用三角形的
下面我们研究力系合成与平衡的另一种方法: 解析法。
二、平面汇交力系合成的解析法1、力的投影
理论力学
10
反之,已知投影可求
Fx=F· cosqFy=F· cosbF· sinq
F
y
Fy O
q 分力:Fx投影:Fx
Fy A
b
Fx Fy F F
M Fd (F 3 F4)d F 3d F4d M1 M2 在同平面内的任意个力偶可以合成为一个合力偶,合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。
F′2
F2
d2
F1
′
F′3
F
四、平面力偶系的合成和平衡 F1 F d1 4
[例]图示是汽车制动机构的一部分。司
(NEW)哈工大理论力学教研室《理论力学》(第7版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录第1章 静力学公理和物体的受力分析1.1 复习笔记
1.2 课后习题详解
1.3 名校考研真题详解
第2章 平面力系
2.1 复习笔记
2.2 课后习题详解
2.3 名校考研真题详解
第3章 空间力系
3.1 复习笔记
3.2 课后习题详解
3.3 名校考研真题详解
第4章 摩 擦
4.1 复习笔记
4.2 课后习题详解
4.3 名校考研真题详解第5章 点的运动学
5.1 复习笔记
5.2 课后习题详解
5.3 名校考研真题详解第6章 刚体的简单运动
6.1 复习笔记
6.2 课后习题详解
6.3 名校考研真题详解第7章 点的合成运动
7.1 复习笔记
7.2 课后习题详解
7.3 名校考研真题详解第8章 刚体的平面运动8.1 复习笔记
8.2 课后习题详解
8.3 名校考研真题详解
第9章 质点动力学的基本方程9.1 复习笔记
9.2 课后习题详解
9.3 名校考研真题详解
第10章 动量定理
10.1 复习笔记
10.2 课后习题详解
10.3 名校考研真题详解
第11章 动量矩定理
11.1 复习笔记
11.2 课后习题详解
11.3 名校考研真题详解
第12章 动能定理
12.1 复习笔记
12.2 课后习题详解
12.3 名校考研真题详解
第13章 达朗贝尔原理。
理论力学(第七版)哈工大高等教育出版社教学课件
图如图(b)所示
取左拱 AC,其受力图如图
(c)所示
系统整体受力图如图 (d)所示
考虑到左拱 AC三个力作用下
平衡,也可按三力平衡汇交定
理画出左拱 AC的受力图,如
图(e)所示
此时整体受力图如图(f) 所示
讨论:若左、右两拱都考 虑自重,如何画出各受力 图?
如图 (g)(h)(i)
例1-5 不计自重的梯子放在光滑水 平地面上,画出梯子、梯子 左右两部分与整个系统受力 图.图(a)
一般不必分析销钉受力,当要分析时,必须把销钉单独 取出.
(3) 固定铰链支座
约束特点:
由上面构件1或2 之一与地面或机架固定而成. 约束力:与圆柱铰链相同 以上三种约束(经向轴承、光滑圆柱铰链、固定铰链支 座)其约束特性相同,均为轴与孔的配合问题,都可称 作光滑圆柱铰链.
固定铰链支座
F
Fy
Fx
i 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n
FR FRn1 Fn Fi Fi
i1
二.平面汇交力系平衡的几何条件
平衡条件 Fi 0
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是:该力系 的力多边形自行封闭.
例2-1
已知:AC=CB,P=10kN,各杆自重不计;
求:CD杆及铰链A的受力.
可用二个通过轴心的正交分力 Fx , Fy 表示.
(2)光滑圆柱铰链
约束特点:由两个各穿孔的构件及圆柱销钉组成,如剪 刀.
光滑圆柱铰链约束
A B
F A
B
约束力:
光滑圆柱铰链:亦为孔与轴的配合问题,与轴承一样,可用 两个正交分力表示.
取左拱 AC,其受力图如图
(c)所示
系统整体受力图如图 (d)所示
考虑到左拱 AC三个力作用下
平衡,也可按三力平衡汇交定
理画出左拱 AC的受力图,如
图(e)所示
此时整体受力图如图(f) 所示
讨论:若左、右两拱都考 虑自重,如何画出各受力 图?
如图 (g)(h)(i)
例1-5 不计自重的梯子放在光滑水 平地面上,画出梯子、梯子 左右两部分与整个系统受力 图.图(a)
一般不必分析销钉受力,当要分析时,必须把销钉单独 取出.
(3) 固定铰链支座
约束特点:
由上面构件1或2 之一与地面或机架固定而成. 约束力:与圆柱铰链相同 以上三种约束(经向轴承、光滑圆柱铰链、固定铰链支 座)其约束特性相同,均为轴与孔的配合问题,都可称 作光滑圆柱铰链.
固定铰链支座
F
Fy
Fx
i 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n
FR FRn1 Fn Fi Fi
i1
二.平面汇交力系平衡的几何条件
平衡条件 Fi 0
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是:该力系 的力多边形自行封闭.
例2-1
已知:AC=CB,P=10kN,各杆自重不计;
求:CD杆及铰链A的受力.
可用二个通过轴心的正交分力 Fx , Fy 表示.
(2)光滑圆柱铰链
约束特点:由两个各穿孔的构件及圆柱销钉组成,如剪 刀.
光滑圆柱铰链约束
A B
F A
B
约束力:
光滑圆柱铰链:亦为孔与轴的配合问题,与轴承一样,可用 两个正交分力表示.
理论力学哈工大第七版第2章
P
l
0
x l
q
dx
1 2
ql
由合力矩定理
得 h 2l 3
Ph
l
q dx x
0
l
0
x2 l
q dx
例2-9 已知:M1 M 2 10N m, M3 20N m, l 200mm;
求: 光滑螺柱AB所受水平力. 解:由力偶只能由力偶平衡的性 质,其受力图为
M 0
FAl M1 M2 M3 0
M 0
FA'
r
sin
M2
0
解得 M2 8kN m
FB FA 8kN
§2-5 平面平行力系的合成和平衡
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫∼ 一、平面平行力系的合成
设在刚体上作用一平面平行力系 F1 、F2 、F3 ,现求其
合成结果。
根据两个平行力合成理论可知,力F1 与 F5 合成一个合力 R1 R1 F1 F5, mo (R1) mo (F1)mo (F5 )
MO1 F
F ,
d
F
x1
MO1 F F x1
M
Fd
O1
F
MO2
F
,
F
F
d
x2
F
x2
F 'd Fd
力偶矩的符号
M
3.只要保持力偶矩不变,力偶可在其作用面 内任意移转,且可以同时改变力偶中力的大小与 力臂的长短,对刚体的作用效果不变.
=
=
=
ABC?ABD
ABC ABD
M
⑵ 当R1 R2 时(即 Fi 0 时),原力系合成结果是一
合力偶
mmo (Fi )Fi xi
哈工大威海理论力学学习课件配哈工大第七版动力学引言
质点动力学的基本方程 动量定理,质心运动定理 动量矩定理,定轴转动刚体的转动微分方程
刚体的平面运动微分方程
动能ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ理,机械能守恒定律
动静法——达朗贝尔原理
虚位移原理
动
力
学
动力学:研究物体的机械运动与作用力之间的关系。
空气动力学
结构动力学
动力学
超高速碰撞动力学
动力学的抽象模型
质点:具有一定质量而几何形状和尺寸大小可 忽略不计的物体。
质点动力学
质点系:由几个或无限个相互有联系的质点组 成的系统。
质点系动力学
刚体:特殊质点系,其中任意两点之间的距离 保持不变。
本篇的基本内容
刚体的平面运动微分方程
动能ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ理,机械能守恒定律
动静法——达朗贝尔原理
虚位移原理
动
力
学
动力学:研究物体的机械运动与作用力之间的关系。
空气动力学
结构动力学
动力学
超高速碰撞动力学
动力学的抽象模型
质点:具有一定质量而几何形状和尺寸大小可 忽略不计的物体。
质点动力学
质点系:由几个或无限个相互有联系的质点组 成的系统。
质点系动力学
刚体:特殊质点系,其中任意两点之间的距离 保持不变。
本篇的基本内容
哈尔滨工业大学理论力学第七版第II篇 第2章 非惯性系中的质点动力学
y′
非惯性系中的质点动力学基本方程,或质点相对运动动力 学基本方程
m a r F F Ie F IC
非惯性系中的质点动力学基本方程,其中 F Ie m a e --- 牵连惯性力 F IC m a C --- 科氏惯性力
在非惯性系中,牵连惯性力和科氏惯性力是真实存在的
2 2 2 2 2 2
1 2
m R (1 cos max ) 0
2
R cos max 2 g cos max 2 g R 0
解出
cos max g ( R g )
2
R
2
cos max
g ( R g )
2
R
2
1 2
mv
2 r
1 2
mv
2 r0
W F W Ie
质点相对运动动能定理的积分形式:质点在非惯性系中相 对动能的变化,等于作用于质点上的力与牵连惯性力在相 对路径上所作的功之和。
例 半径为R的环形管,绕铅垂轴z以匀角速度转动,管内有 一质量为m的小球,原在最低处平衡。小球受微小扰动时可能会 沿圆管上升。忽略管壁摩擦,求小球能达到的最大偏角max。
(4)台风、龙卷风的形成。台风基本发生在大约离赤道5个
纬度以上的洋面上。
(5)证明地球自转的傅科摆(1851年Foucault J L发明)。
北半球
在北半球,摆运动的平面缓慢顺时针转动,平面旋转一周的周期为
T 2
sin
为地球自转角速度, 为傅科摆所在地的纬度。
某人水平抛出一个球,如果考虑科氏惯性力,在下述情况下,由抛球的人
a 2
理论力学 哈尔滨工业大学 第二章(2)
' FRx Fix F1 F2 cos 232.9kN ' FRy Fiy P 1P 2 F sin 670.1kN
大小 FR
方向余弦
F
x iy
2
709.4kN
F cos F , i
解得
FC 28.28kN, FAx 20kN, FAy 10kN
例2-3 已知: P 尺寸如图; 1 10kN, P 2 40kN, 求: 轴承A、B处的约束力. 解: 取起重机,画受力图.
Fx 0
Fy 0
FAx FB 0
FAy P 1P 2 0
例2-2
已知: AC=CB=l, P=10kN; 求:铰链A和DC杆受力. (用平面任意力系方法求解)
解: 取AB梁,画受力图.
Fx 0
FAx Fc cos 450 0
FAy Fc sin 450 F 0
Fy 0
M
A
0
Fc cos 450 l F 2l 0
§2-3 平面任意力系
平面任意力系实例
1、力的平移定理
可以把作用在刚体上点A的力F平行移 到任一点B,但必须同时附加一个力偶, 这个附加力偶的矩等于原来的力F对新 作用点B的矩.
M B M B ( F ) Fd
2、平面任意力系向作用面内一点简化·主矢和主矩
F1 F1 F2 F2 Fn Fn M1 M 0 ( F1 ) M 2 M 0 ( F2 )
A, B 两点连线不得与各力平行
§2-5 物体系的平衡· 静定和超静定问题
§2-6 平面简单桁架的内力计算
理论力学(2)终版.ppt
0.0
P = 100 N
P
y
25
阅读材料和作业
• 阅读材料
– (1)P53---P65; P150---P162
– (2)P64---P83 • 作业
– (1)2---31 ; 2---34 ;4---4
– (2)3---6; 3---15; 3---20 • 预习内容
– (1)P83---P91
– (2)P95---P114
0.0
26
再见
0.0
27
=-bSi-aSj
mix = 0
D
Q
C
x
P
bQ-bS=0
(1)
miy = 0
b
aP-aS=0
(2)
P
联立(1)(2)两式得: 0.0
P 1 Q
S=P
23
例题3-5. 若三个力偶作用于楔块上使其保 持平衡.设Q = Q=150N.求力P与F的大小.
z
F´
FQ
o
P
y
0.3m
Q´
x
0.4m
P´
0.0
理论力学
(2)
0.0
1
内容提要
三.力偶理论
3-1.力对点的矩 3-2.两平行力的合成 3-3.力偶与力偶矩 3-4.力偶的等效条件 3-5.力偶系的合成与平衡
0.0
2
3-1.力对点的矩
z
B
(1)力对点的矩
mo(F)
F
mo(F) = r×F
A
mo(F)表示力F绕O点
O
r
y
转动的效应.O点称为矩
d
x
0.0
A
F´ rA
P = 100 N
P
y
25
阅读材料和作业
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0.0
26
再见
0.0
27
=-bSi-aSj
mix = 0
D
Q
C
x
P
bQ-bS=0
(1)
miy = 0
b
aP-aS=0
(2)
P
联立(1)(2)两式得: 0.0
P 1 Q
S=P
23
例题3-5. 若三个力偶作用于楔块上使其保 持平衡.设Q = Q=150N.求力P与F的大小.
z
F´
FQ
o
P
y
0.3m
Q´
x
0.4m
P´
0.0
理论力学
(2)
0.0
1
内容提要
三.力偶理论
3-1.力对点的矩 3-2.两平行力的合成 3-3.力偶与力偶矩 3-4.力偶的等效条件 3-5.力偶系的合成与平衡
0.0
2
3-1.力对点的矩
z
B
(1)力对点的矩
mo(F)
F
mo(F) = r×F
A
mo(F)表示力F绕O点
O
r
y
转动的效应.O点称为矩
d
x
0.0
A
F´ rA
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第二章 非惯性系中的质点动力学
§ 2-1 非惯性系中质点动力学的基本方程
惯性参考系:
Oxyz
非惯性参考系: O' x' y ' z '
在惯性参考系内:
maa F
aa ar ae aC
a 其中 e 为质点的牵连加速度
aC 为质点的科氏加速度
mar mae maC F mar F mae maC
注意此时 v0 0
(b)
其零次近似的速度式改为 x 0 ,y 0 ,z gt
以始落点为原点, 一次近似的质点运动方程式为 1 1 2 3 x gt cos ,y 0 ,z gt 3 2 当落下高度h 时,z h 经历时间为
(i)
质点相对于地球的运动微分方程
mar F FIe FIC mg 2m vr
引用式(a)
上式沿 x ,y ,z轴的投影式为
2 y sin 2 z cos x 2 x sin y cos g 2 x z
其落点偏西。 x 为负值, 表明上抛质点落地时, 如果质点在高h 处无初速度自由落下
其相对运动微分方程为
2 y sin 2 z cos x 2 x sin y cos g 2 x z
F FIe 0
FIC 0
质点相对静止的平衡方程
即当质点在非惯性参考系中保持相对静止时, 作用在质点上的力与质点的牵连惯性力相互平衡。 (4)质点相对于动参考系作等速直线运动 F FIe FIC 0 ar 0
质点相对平衡方程
地球自转的影响
地球总是在自转,固结在地面上的参考系实质上是非
令
FIe mae FIC maC
牵连惯性力
科氏惯性力
mar F FIe FIC
非惯性系中的质点动力学基本方程
或质点相对运动动力学基本方程
在非惯性系内,上式写成微分方程形式
d r m 2 F FIe FIC dt
非惯性系中的质点运动微分方程 质点相对运动微分方程
例 2-1 摆长为l, 小球质量为m。 已知:如图所示单摆, 其悬挂点O以加速度 a0向上运动。 求:此时单摆作微振动;
y'
解: 在悬挂点O上固结一平移参考系 Ox y
小球相对于此动参考系的运动 相当于悬挂点固定的单摆振动 分析小球受力如图所示。
a0
O
x'
因动参考系作平移, 所以科氏惯性力 FIC 0
FIe mae
FN F Ie
FIC 0
小球相对静止, 方程为
F F
从中解出 得
x y
0 ,FN mg cos FIe sin 0 0, mg sin FIe cos 0
例 2-4 已知:一平板与水平面成θ角,板上有一质量为m 的小球, 如图所示,若不计摩擦等阻力。
求:平板以多大加速度向右平移时,小球能保持相对静止。 若平板又以这个加速度的两倍向右平移时,小球应沿 板向上运动。球沿板走了l 距离后,小球的相对速度是 多少?
a
解: (1)在平板上固结一动参考系 Oxy
1 2 d( mvr ) δWF δWIe 2
质点相对运动动能定理的微分形式: 质点在非惯性系中相对动能的增量等于作用于质点 上的力与牵连惯性力在相对运动中所作的元功之和。
积分上式得
1 2 1 2 WIe mvr mvr0 WF 2 2
质点相对运动动能定理的积分形式: 质点在非惯性参考系中相对动能的变化等于作 用在质点上的力与牵连惯性力在相对路程上所作的 功之和。
t
2h g
2h g
2h cos x 3
此时
x 为正值, 偏移向东。
这就是地球上的落体偏东现象。
§ 2-2 非惯性系中质点的动能定理
质点的相对运动动力学基本方程为
dvr m F FIe FIC dt
式中 FIe mae ,FIC maC 2m vr
aC 0
ae 0
FIe FIC 0 mar F
所有相对于惯性参考系作匀速直线平移的参考系 都是惯性参考系 发生在惯性参考系中的任何力学现象都无助于发 觉该参考系本身的运动情况----相对性原理
(3)质点相对于动参考系静止
ar 0 ,r 0
上式两端点乘相对位移d r
d vr 是 v r 对时间t 的相对导数 dt dvr m dr F dr FIe dr FIC dr dt
科氏惯性力 FIC 垂直于相对速度 v r
有 FIC dr 0
mvr dvr F dr FIe dr -表示力 F 在质点的相对位移上的元功。 δWF -表示牵连惯性力 FIe 在质点的相对位移上的元功。 δWIe
2 π T ω sin
在北半球某地上空大气压强的等压线如图所示。其中心 部分是低压,外部是高压,则空气将由高压向低压处运动。 气体运动时将受到科氏惯性力作用。在北半球科氏惯性力指 向运动方向的右侧,因此气体不会作直线运动,而是向右偏 斜。这就导致在低压处附近形成逆时针方向的气旋。
思考:如果中心是高压,四周是 低压,是否会形成顺时针方向的 气旋?
FIe ma0
F
t
mar F P FIe
y'
P FIe
将上式投影到轨迹的切向轴t上 得
d2s m 2 ( P FIe ) sin m( g a0 ) sin dt
当摆作微振动时 角很小 有 sin 且 s l 上式成为 d 2 m l 2 m( g a0 ) dt 令
2 0
g a0 l
则上式可写成自由振动微分方程的标准形式 d 2 2 0 0 2 dt 其解的形式为 A sin(0t ) 而振动周期为
l T 2π 0 g a0 2π
例 2-2 已知:一直杆OA,长l=0.5m,可绕过端点O的 z 轴在水 平面内作匀速转动,其转动角速度 2π rad/s 在杆OA上有一质量为m=0.1kg的套筒B。设开始运 动时,套筒在杆的中点处于相对静止,忽略摩擦。 求:套筒运动到端点A所需的时间及此时对杆的水平压力。
将上式代入式(b), 得一次近似的微分方程
2( gt 0 ) cos , 0 , g x y z
在式(d)的初始条件下,上式积分一次
得一次近似的速度 x ( gt 2 2v0t )cos ,y 0,z gt v0 再积分一次,得一次近似的上抛质点运动方程
其中 F 为地球引力
科氏惯性力
FIC maC 2m vr
vr xi yj zk
FIC 的矢量积可展开为 i j k FIC 2m 0 cos sin ' x y z sin z sin j x cos k ] (a) cos )i x 2m[( y
(b)
对此微分方程组, 可以采用逐次的方法求解。 由于地球自转角速度ω很小, 最初级的近似计算中 则式(b)的零次近似方程为 可取ω=0 (c) 0 , 0 , g x y z 运动初始条件为 t=0时 x 0 ,y 0 ,z v0 (d) x 0 ,y 0 ,z 0 在此条件下式(c)积分一次, 得质点零次近似的速度为 x 0,y 0,z gt v0 (e)
2
其中 r 表示质点M在非惯性系中的矢径
d2r r 是 对时间t 的二阶相对导数 2 dt
几种特殊情况
(1)动参考系相对于定参考系作平移 相对运动动力学基本方程为 aC 0 FIC 0
mar F FIe
(2)动参考系相对于定参考系作匀速直线平移
惯性系。由于地球自转角速度较小,每24小时转2π弧 度,因此一般工程上可以将其看为惯性系。但地球自转 的影响是真实存在的,在许多情况下不可忽略。在地面 上物体的重量是地球引力与离心惯性力的合力,称之为 表观重力。地面上铅垂线的方向也是表观重力的方向。 自由落体甚至不沿表观重力方向下落,这是由于有科氏 惯性力的存在。在北半球,河流的右岸受较大的冲刷,
2
x
得 或
1 2 1 2 2 l2 vr ( x ) 2 2 4
dx l2 2 vr x dt 4
(b)
上式再分离变量并积分 即 l t dx dt 1 0 2 l 2 x 2 4
l2 l l 1 4 1 ln(2 3 ) 0.209s t ln 1 2 2 d r m 2 mg F1 F2 FIe FIC (a) dt
铁路的右轨易磨损也是由于科氏惯性力的作用。
在北半球,用球铰链悬挂一支摆,摆锤运动时,由于 其科氏惯性力向右,因此它不会象单摆一样在一个固定平 面内摆动,摆锤将会向右方偏斜,其运动轨迹如图所示。 这种摆是傅科于1851年表明的,称之为傅科摆,它证明了 地球的自转。摆(含摆杆)运动的平面缓慢地顺时针转动。 理论计算表明,该平面旋转一周的周期为
O
B
将上式投影到 x 轴上得 mx 2 m x 令 vr x
dvr dvr dx 2 x dt dx dt
y' F1
F2
mg FIC
A FIe
x'
§ 2-1 非惯性系中质点动力学的基本方程
惯性参考系:
Oxyz
非惯性参考系: O' x' y ' z '
在惯性参考系内:
maa F
aa ar ae aC
a 其中 e 为质点的牵连加速度
aC 为质点的科氏加速度
mar mae maC F mar F mae maC
注意此时 v0 0
(b)
其零次近似的速度式改为 x 0 ,y 0 ,z gt
以始落点为原点, 一次近似的质点运动方程式为 1 1 2 3 x gt cos ,y 0 ,z gt 3 2 当落下高度h 时,z h 经历时间为
(i)
质点相对于地球的运动微分方程
mar F FIe FIC mg 2m vr
引用式(a)
上式沿 x ,y ,z轴的投影式为
2 y sin 2 z cos x 2 x sin y cos g 2 x z
其落点偏西。 x 为负值, 表明上抛质点落地时, 如果质点在高h 处无初速度自由落下
其相对运动微分方程为
2 y sin 2 z cos x 2 x sin y cos g 2 x z
F FIe 0
FIC 0
质点相对静止的平衡方程
即当质点在非惯性参考系中保持相对静止时, 作用在质点上的力与质点的牵连惯性力相互平衡。 (4)质点相对于动参考系作等速直线运动 F FIe FIC 0 ar 0
质点相对平衡方程
地球自转的影响
地球总是在自转,固结在地面上的参考系实质上是非
令
FIe mae FIC maC
牵连惯性力
科氏惯性力
mar F FIe FIC
非惯性系中的质点动力学基本方程
或质点相对运动动力学基本方程
在非惯性系内,上式写成微分方程形式
d r m 2 F FIe FIC dt
非惯性系中的质点运动微分方程 质点相对运动微分方程
例 2-1 摆长为l, 小球质量为m。 已知:如图所示单摆, 其悬挂点O以加速度 a0向上运动。 求:此时单摆作微振动;
y'
解: 在悬挂点O上固结一平移参考系 Ox y
小球相对于此动参考系的运动 相当于悬挂点固定的单摆振动 分析小球受力如图所示。
a0
O
x'
因动参考系作平移, 所以科氏惯性力 FIC 0
FIe mae
FN F Ie
FIC 0
小球相对静止, 方程为
F F
从中解出 得
x y
0 ,FN mg cos FIe sin 0 0, mg sin FIe cos 0
例 2-4 已知:一平板与水平面成θ角,板上有一质量为m 的小球, 如图所示,若不计摩擦等阻力。
求:平板以多大加速度向右平移时,小球能保持相对静止。 若平板又以这个加速度的两倍向右平移时,小球应沿 板向上运动。球沿板走了l 距离后,小球的相对速度是 多少?
a
解: (1)在平板上固结一动参考系 Oxy
1 2 d( mvr ) δWF δWIe 2
质点相对运动动能定理的微分形式: 质点在非惯性系中相对动能的增量等于作用于质点 上的力与牵连惯性力在相对运动中所作的元功之和。
积分上式得
1 2 1 2 WIe mvr mvr0 WF 2 2
质点相对运动动能定理的积分形式: 质点在非惯性参考系中相对动能的变化等于作 用在质点上的力与牵连惯性力在相对路程上所作的 功之和。
t
2h g
2h g
2h cos x 3
此时
x 为正值, 偏移向东。
这就是地球上的落体偏东现象。
§ 2-2 非惯性系中质点的动能定理
质点的相对运动动力学基本方程为
dvr m F FIe FIC dt
式中 FIe mae ,FIC maC 2m vr
aC 0
ae 0
FIe FIC 0 mar F
所有相对于惯性参考系作匀速直线平移的参考系 都是惯性参考系 发生在惯性参考系中的任何力学现象都无助于发 觉该参考系本身的运动情况----相对性原理
(3)质点相对于动参考系静止
ar 0 ,r 0
上式两端点乘相对位移d r
d vr 是 v r 对时间t 的相对导数 dt dvr m dr F dr FIe dr FIC dr dt
科氏惯性力 FIC 垂直于相对速度 v r
有 FIC dr 0
mvr dvr F dr FIe dr -表示力 F 在质点的相对位移上的元功。 δWF -表示牵连惯性力 FIe 在质点的相对位移上的元功。 δWIe
2 π T ω sin
在北半球某地上空大气压强的等压线如图所示。其中心 部分是低压,外部是高压,则空气将由高压向低压处运动。 气体运动时将受到科氏惯性力作用。在北半球科氏惯性力指 向运动方向的右侧,因此气体不会作直线运动,而是向右偏 斜。这就导致在低压处附近形成逆时针方向的气旋。
思考:如果中心是高压,四周是 低压,是否会形成顺时针方向的 气旋?
FIe ma0
F
t
mar F P FIe
y'
P FIe
将上式投影到轨迹的切向轴t上 得
d2s m 2 ( P FIe ) sin m( g a0 ) sin dt
当摆作微振动时 角很小 有 sin 且 s l 上式成为 d 2 m l 2 m( g a0 ) dt 令
2 0
g a0 l
则上式可写成自由振动微分方程的标准形式 d 2 2 0 0 2 dt 其解的形式为 A sin(0t ) 而振动周期为
l T 2π 0 g a0 2π
例 2-2 已知:一直杆OA,长l=0.5m,可绕过端点O的 z 轴在水 平面内作匀速转动,其转动角速度 2π rad/s 在杆OA上有一质量为m=0.1kg的套筒B。设开始运 动时,套筒在杆的中点处于相对静止,忽略摩擦。 求:套筒运动到端点A所需的时间及此时对杆的水平压力。
将上式代入式(b), 得一次近似的微分方程
2( gt 0 ) cos , 0 , g x y z
在式(d)的初始条件下,上式积分一次
得一次近似的速度 x ( gt 2 2v0t )cos ,y 0,z gt v0 再积分一次,得一次近似的上抛质点运动方程
其中 F 为地球引力
科氏惯性力
FIC maC 2m vr
vr xi yj zk
FIC 的矢量积可展开为 i j k FIC 2m 0 cos sin ' x y z sin z sin j x cos k ] (a) cos )i x 2m[( y
(b)
对此微分方程组, 可以采用逐次的方法求解。 由于地球自转角速度ω很小, 最初级的近似计算中 则式(b)的零次近似方程为 可取ω=0 (c) 0 , 0 , g x y z 运动初始条件为 t=0时 x 0 ,y 0 ,z v0 (d) x 0 ,y 0 ,z 0 在此条件下式(c)积分一次, 得质点零次近似的速度为 x 0,y 0,z gt v0 (e)
2
其中 r 表示质点M在非惯性系中的矢径
d2r r 是 对时间t 的二阶相对导数 2 dt
几种特殊情况
(1)动参考系相对于定参考系作平移 相对运动动力学基本方程为 aC 0 FIC 0
mar F FIe
(2)动参考系相对于定参考系作匀速直线平移
惯性系。由于地球自转角速度较小,每24小时转2π弧 度,因此一般工程上可以将其看为惯性系。但地球自转 的影响是真实存在的,在许多情况下不可忽略。在地面 上物体的重量是地球引力与离心惯性力的合力,称之为 表观重力。地面上铅垂线的方向也是表观重力的方向。 自由落体甚至不沿表观重力方向下落,这是由于有科氏 惯性力的存在。在北半球,河流的右岸受较大的冲刷,
2
x
得 或
1 2 1 2 2 l2 vr ( x ) 2 2 4
dx l2 2 vr x dt 4
(b)
上式再分离变量并积分 即 l t dx dt 1 0 2 l 2 x 2 4
l2 l l 1 4 1 ln(2 3 ) 0.209s t ln 1 2 2 d r m 2 mg F1 F2 FIe FIC (a) dt
铁路的右轨易磨损也是由于科氏惯性力的作用。
在北半球,用球铰链悬挂一支摆,摆锤运动时,由于 其科氏惯性力向右,因此它不会象单摆一样在一个固定平 面内摆动,摆锤将会向右方偏斜,其运动轨迹如图所示。 这种摆是傅科于1851年表明的,称之为傅科摆,它证明了 地球的自转。摆(含摆杆)运动的平面缓慢地顺时针转动。 理论计算表明,该平面旋转一周的周期为
O
B
将上式投影到 x 轴上得 mx 2 m x 令 vr x
dvr dvr dx 2 x dt dx dt
y' F1
F2
mg FIC
A FIe
x'