抽象函数专题

抽象函数专题

一、定义域问题

1、若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为

2、已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-x f 3log 21 的定义域。 3、已知函数()x f 3log 的定义域为[3，27]，求函数f(x)的定义域

4、若函数(21)f x +的定义域为31,

2⎛⎫- ⎪⎝⎭,则函数2(log )f x 的定义域为 二、赋值问题

1、已知定义域为+R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①5

1)6(1)2(=

=f f ，；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f （3）

，f （9）的值。

2、对任意实数x,y ，均满足f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=___

3、若*(1)()1(f n f n n N +=+∈),且f(1)=2,则f(100)的值是( )

4、定义R 上的函数()f x 满足：()()(),(9)8,f xy f x f y f f =+==且则

5、对任意整数y x ,函数)(x f y =满足：1)()()(+++=+xy y f x f y x f ，若1)1(=f ，则=-)8(f

三、解析式问题 1、设对满足10≠≠x x ，的所有实数x ，函数)(x f 满足

x x x f x f +=-+1)1()(，求f （x ）

的解析式。 2、()f x 满足：12()()1f x f x x

-=+求()f x 3、设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,1

1)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析 4、若一次函数()f x 满足：{[()]}87f f f x x =+，求()f x

四、单调性问题

1、设f （x ）定义于实数集上，当0>x 时，1)(>x f ，且对于任意实数x 、y ，有

)()()(y f x f y x f ⋅=+，求证：)(x f 在R 上为增函数。

2、f(x)对任意实数x 与y 都有()()()2f x f y f x y -=--,当x>0时,f(x)>2

（1）求证:f(x)在R 上是增函数；

3、已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=，求不等式f a a ()2223--<的解集.

4、f(x)是定义在x>0的函数,且f(xy) = f(x) + f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3) = -1.

(1) 求f(1)和f(1/9)的值；（2）证明f(x)在x>0上是减函数；

（3）解不等式f(x) + f(2-x) < 2。

5、定义在(0,)+∞上函数()y f x =对任意的正数,a b 均有：()()()

a f f a f

b b =-，且当1x <时，()0f x >,（I ）求(1)f 的值;（II ）判断()f x 的单调性,

6、若非零函数)(x f 对任意实数b a ,均有()()()f a b f a f b +=⋅，且当0x f ；

（1）求证：()0f x > ；（2）求证：)(x f 为减函数

7、设函数f （x ）定义在R 上，对于任意实数m 、n ，恒有fm n fm fn ()()()+=·，且当x >0时，0

（1）求证：f （0）=1，且当x <0时，f （x ）>1；

（2）求证：f （x ）在R 上单调递减；

五、奇偶性问题

1、已知函数)0)((≠∈x R x x f ，对任意不等于零的实数21x x 、都有)()()(2121x f x f x x f +=⋅，试判断函数f （x ）的奇偶性。

2、已知函数f(x)的定义域关于原点对称且满足())

()(1)()()(1x f y f y f x f y x f -+=

-，（2）存在正常数a ，使f(a)=1.求证：f(x)是奇函数。

3、设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在)0,(-∞上是增函数，又)123()12(22+-<++a a f a a f 。求实数a 的取值范围。

4、定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x +y )=f (x )+f (y )．

(1)求证f (x )为奇函数；

(2)若f (k ·3x )+f (3x -9x

-2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．

5、已知f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的函数a,b 都满足f(ab)=af(b)+bf(a).

(1)求f(0)，f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;

6、定义在区间（-1，1）上的减函数()f x 满足：()()f x f x -=-。若2(1)(1)0f a f a -+-<恒成立，则实数a 的取值范围是___________________.

7、已知函数()f x 是定义在(0,+∞)上的增函数,对正实数,x y ,都有:()()()f xy f x f y =+成立.则不等式2(log )0f x <的解集是

8、定义在R 上的函数f （x ）对任意实数a 、b 都有f （a +b ）+ f （a －b ）=2 f （a ）·f （b ）成立，且f ()00≠。

（1）求f （0）的值；

（2）试判断f （x ）的奇偶性；