北师大版八年级数学上第七章平行线的证明教案
北师大版初中数学八年级上册《平行线的证明》教案
平行线的证明【考点一：命题、定理及公理】●对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义．●判断一件事情的句子，叫做命题，每个命题都由条件和结论两部分组成．●正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．●公认的真命题称为公理．●推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理．【典型例题】1．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式______________________________________．2．命题“任意两个直角都相等”的条件是_________________________，结论是_________________，它是______（真或假）命题．3．有下列两个命题：①如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；②如果一个等腰三角形有一个内角是60°，那么这个等腰三角形一定是等边三角形．其中正确的是（）A．只有命题①正确B．只有命题②正确C．命题①，②都正确D．命题①，②都不正确4．下列命题为真命题的是（）A．同位角相等B．如果∠A+∠B+∠C=180°，那么∠A，∠B，∠C互补C．邻补角是互补的角D．两个锐角的和是锐角【变式练习】1．把“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式______________________________．2．下列命题是假命题的是（）A．对顶角相等B．圆有无数条对称轴C．两点之间，线段最短D．平行四边形是轴对称图形3．下列三个命题：①同位角相等，两直线平行；②两点之间，线段最短；③过两点有且只有一条直线，其中真命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个4．下列语句中，属于命题的是（）A．画∠AOB=90°B．2比－2大吗C．过点A作直线m D．负数的偶次幂是正数5．下列四个命题是真命题的是（）A．同位角相等B．如果两个角的和是180度，那么这两个角是邻补角C．在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直6．有下列四个命题，其中所有正确的命题是（）①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行②两条直线被第三条直线所截同旁内角互补③在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相垂直④在同一平面内，过一点由且只有一条直线与已知直线垂直．A．①②B．①④C．②③D．③④7．请写出命题：“全等三角形对应角相等”的逆命题，并判断命题的真假．8．“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是________________________________．【考点二：平行线的性质及判定】判定：1．同位角相等，两直线平行．性质：1．两直线平行，同位角相等．2．同旁内角互补，两直线平行．2．两直线平行，同旁内角互补．3．内错角相等，两直线平行．3．两直线平行，内错角相等．平行线的判定：【典型例题】1．如图所示：已知：AD∥EF，∠1＝∠2．求证：AB∥DG．【变式练习】1．如图，已知直线EF⊥MN垂足为F，且∠1=140°，则当∠2等于（）时，AB∥CD．A．50°B．40°C．30°D．60°2．如图，可以推理得AB∥CD的条件是（）A．∠2=∠ABC B．∠1=∠AC．∠3=∠ABC D．∠3=∠A3．下列说法正确的是（）A．同一平面内没有公共点的两条直线平行B．两条不相交的直线一定是平行线C．同一平面内没有公共点的两条线段平行D．同一平面内没有公共点的两条射线平行4．下列说法正确的是（）①相等的角是对顶角；②相等且互补的两个角是直角；③一个角的两个邻补角是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；⑤凡直角皆相等；⑥同时垂直于同一条直线的两条直线平行．A．1个B．2个C．3个D．4个5．在同一个平面内，不相邻的两个直角，如果它们有一条边共线，那么另一边互相（）A．平行B．垂直C．共线D．平行或共线6．小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，要求AB∥CD，∠BAE=35°，∠AED=90°．小明发现工人师傅只是量出∠BAE=35°，∠AED=90°后，又量了∠EDC=55°，于是他就说AB与CD肯定是平行的，你知道什么原因吗?EAC BG M D NF12 7．已知：如图∠1=∠2，当DE 与FH 有什么位置关系时，CD ∥FG ? 并说明理由．平行线的性质 【典型例题】1．如图所示：如果AB ∥CD ，则角α、β、γ之间的关系式为（ ） A 、α＋β＋γ=360° B 、α－β＋γ=180°C 、α＋β＋γ=180°D 、α＋β－γ=180°2．如图所示：直线AB ∥MN ，分别交直线EF 于点C 、D ，∠BCD 、∠CDN 的角平分线交于点G ，求∠CGD 的度数．【变式练习】1．如下图左，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC =46°，∠CEF =154°，则∠BCE 等于（ ）A ．23°B ．16°C ．20°D ．26°2．如下图中，将三角板的直角顶点放在两条平行线a 、b 中的直线b 上，如果∠1=40°，则∠2的度数是（ ） A ．30°B ．45°C ．40°D ．50°3．把一块直尺与一块三角板如下图右放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（ ）A ．115°B ．120°C ．145°D ．135°4．如图，AE∥BD，∠1=120°，∠2=40°，则∠C的度数是（）A．10°B．20°C．30°D．40°5．如图，已知直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α等于（）A．21°B．48°C．58°D．30°6．如图，AB∥CD，∠B=23°，∠D=42°，则∠BED为（）A．23°B．42°C．65°D．19°7．将一副三角板摆放成如图所示，图中∠1=（）度．A．90 B．120C．125 D．1508．如图，玲玲在美术课上用丝线绣成了一个“2”，AB∥DE，∠A=30°，∠ACE=110°，则∠E的度数为（）A．30°B．150°C．120°D．100°9．如图所示，OP∥QR∥ST，若∠2=110°，∠3=120°，则∠1的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．10°10．下列说法正确的有（）（1）两直线被第三直线所截，若同位角相等，则同旁内角相等（2）两直线被第三直线所截，若内错角的角平分线平行，则这两直线平行（3）两直线被第三直线所截，若同旁内角不互补，则内错角也不相等（4）在同一平面内，两直线同时垂直同一条直线，则这两直线也互相垂直A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，已知AB∥EF，∠BAC=p，∠ACD=x，∠CDE=y，∠DEF=q，则用p、q、y来表示x．得（）A．x=p+y－q+180°B．x=p+q－y+180°C．x=p+q+y D．x=2p+2q－y+90°12．如图，AB∥CD∥EF∥GH，AE∥DG，点C在AE上，点F在DG上．设与∠α相等的角的个数为m，与∠β互补的角的个数为n，若α≠β，则m+n的值是（）A．8 B．9 C．10 D．1113．如图，AB∥CD，BE⊥DE．试说明∠B与∠D之间的关系，并说明理由．14．如图，点P是∠AOB内的任意一点，（1）过点P分别作OA、OB的平行线，分别交OA、OB于点C、D；（2）∠AOB和∠P是否相等? 说明理由．15．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，点F在DC上，且∠1+∠2=180°，∠3=∠B．求证：DE∥BC．16．如图，点C 在∠AOB 的边OA 上一点，请你使用直尺和圆规，过点C 作直线OB 的平行线．（保留作图痕迹，不要求写画法）．【考点三：三角形的内角和外角定理】● 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． ● 如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线也互相平行． ● 如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条． ● 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° ● 三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ● 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．【典型例题】1、已知：如图所示：在△ABC 中，CH 是外角∠ACD 的平分线，BH 是∠ABC 的平分线．求证：∠A = 2∠H证明： ∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，∴∠ACD =∠ABC +∠A （___________________________）∠2是△BCD 的一个外角，∴∠2=∠1+∠H （__________________） ∵CH 是外角∠ACD 的平分线，BH 是∠ABC 的平分线， ∴∠1=21∠ABC ，∠2= 21∠ACD （_____________________） ∴∠A =∠ACD －∠ABC = 2 （∠2 －∠1） （_______________________） 而 ∠H =∠2 － ∠1 （等式的性质） ∴∠A = 2∠H （_______________________）【变式练习】1．如图，在△ABC 中，∠B =67°，∠C =33°，AD 是△ABC 的角平分线， 则∠CAD 的度数为（ ） A ．40°B ．45°C ．50°D ．55°2．如图，将一块三角板叠放在直尺上，若∠1=20°，则∠2的度数为（）A．40°B．60°C．70°D．80°3．如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A=50°，则∠BOC等于（）A．110°B．115°C．120°D．130°4．两条平行线被第三条直线所截得的角中角平分线互相垂直的是（）A．内错角B．同旁内角C．同位角D．内错角和同位角5．如图，∠ABC=31°，又∠BAC的平分线与∠FCB的平分线CE相交于E点，则∠AEC为（）A．14．5°B．15．5°C．16．5°D．20°6．如图，两平面镜所成的∠1，一束光线由是P发出，经平面镜OB，OA两次反射后回到点P，已知PQ∥OA，PR∥OB，则∠1的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°7．若一个三角形的两个内角的平分线所成的钝角为145°，则这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形8．若△ABC的内角满足：2∠A－∠B=60°，4∠A+∠C=300°，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．无法确定9．△ABC中，三个内角的度数均为整数，且∠A＜∠B＜∠C，4∠C=7∠A，则∠A的度数为（）A．40°B．48°C．36°D．44°10．如图，l∥m，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上，若∠β=20°，则∠α的度数为（）A．25°B．30°C．20°D．35°11．将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为（）A．75°B．95°C．105°D．120°12．如图，∠CBD、∠ADE为△ABD的两个外角，∠CBD=70°，∠ADE=149°，则∠A的度数是（）A．28°B．31°C．39°D．42°13．如图，在Rt△ADB中，∠D=90°，C为AD上一点，则x可能是（）A．10°B．20°C．30°D．40°14．如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（）A．19.2°B．8°C．6°D．3°15．如图所示，l1∥l2，则下列式子中值为180°的是（）A．α+β+γB．α+β－γC．β+γ－αD．α－β+γ16．下列说法：①三角形的高是线段；②直角三角形只有一条高线；③三角形的中线可能在三角形的外部；④三角形的一个外角一定大于三角形的内角．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个17．△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC（1）在图中画出△ABC的高AE，垂足为E；并完成下列问题：1．若∠B=50°，∠C=70°，则∠DAE= ．2．试探寻∠DAE与∠B、∠C的关系．请说明理由．（2）若一点F在AD上移动，且FE⊥BC于E，其他条件不变，那么∠EFD与∠B、∠C间有怎样的关系?18．在小学学习中，我们已经知道三角形的三个角之和等于180°，如图，在三角形ABC中，∠C=70°，∠B=38°，AE是∠BAC的平分线，AD⊥BC于D．（1）求∠DAE的度数；（2）判定AD是∠EAC的平分线吗? 说明理由．（3）若∠C=α°，∠B=β°，求∠DAE的度数．（∠C＞∠B）19．已知：△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，请根据题中所给的条件，解答下列问题：（1）如图1，若∠BAD=60°，∠EAD=15°，求∠ACB的度数．（2）通过以上的计算你发现∠EAD和∠ACB－∠B之间的关系应为：．（3）在图2的△ABC中，∠ACB＞90°，那么（2）中的结论仍然成立吗? 为什么?20．如图，已知△ABC中，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，BD、CE交于点O，∠A=70°．（1）若∠ACB=40°，求∠BOC的度数；（2）当∠ACB的大小改变时，∠BOC的大小是否发生变化? 为什么? 请写出证明过程．21．已知如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数（3）在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，试求∠P的度数；22．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，证明：∠BOC=90°+12∠A．探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系?探究3：如图3 中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系?23．（1）如图1，∠1 与∠2 的大小有什么关系?（2）如图2，BE、CD相交于点A，∠DEA，∠BCA的平分线相交于F．探求∠F、∠B、∠D关系?精品文档考试教学资料施工组织设计方案精品文档考试教学资料施工组织设计方案精品文档考试教学资料施工组织设计方案。
北师大版八年级数学上册：第七章《平行线的证明》教案
第七章平行线的证明1为什么要证明1．使学生经历通过观察、猜想、归纳等得到的结论不一定正确的过程认识到证明的必要性．2．理解并掌握检验数学结论是否正确的常用方法：实验验证、举出反例推理证明等，理解数学的严谨性．3．发展学生的探索意识以及合作交流的习惯；关注现实，培养学生进行深入思考的能力和质疑精神．重点理解判断一个结论正确与否需要进行推理证明，理解并掌握应用实验进行证明、举反例验证、利用推理论证来验证某些结论是否正确的方法．难点体会数学推理的重要性和必要性．一、情境导入师：在以前的学习过程中，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论，那么通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗？下面我们一起来学习第七章第一节的内容：为什么要证明．二、探究新知1．探究一：观察得到的结论正确吗？课件出示教材第162页“做一做”上面的题目．学生凭着自己的观察和直观感觉说出想法后，组织学生动手量一量、算一算，验证结论是否正确．然后引导学生回答下列问题．(1)由观察得到的结论正确吗？(2)你还能举出日常生活中的例子吗？2．探究二：归纳得到的结论正确吗？(1)听故事“公鸡归纳法”．某主妇养小鸡十只，公母各半．她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐．每天早晨她拿米喂鸡，到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃……第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃．”这时，该主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了．师：第1天有米吃，第2天有米吃……第99天有米吃，一定能推出第100天有米吃吗？从这个故事中你明白了什么道理？同桌之间相互交流．(2)算一算验证“归纳法”．课件出示教材第162页“做一做”第(1)题．师：我们是不是可以由此得出结论：当n为任意自然数时，n2－n＋11的值一定是质数呢？让学生再多取几个数代入代数式中，验证结论是否正确．(不正确，比如当n＝11时，n2－n＋11＝121，结果是合数．)思考：由归纳得到的结论一定正确吗？(3)再次验证“归纳法”．课件出示教材第162页“做一做”第(2)题．DE与BC平行，且等于BC长度的一半；引导学生尝试猜想：连接三角形两条边的中点所得的线段平行第三条边，且是第三条边长度的一半；组织学生进行归纳并验证结论，发现这样的结论对所有的三角形都成立．小结：归纳得到的结论有的正确有的不正确．3．交流与发现．师：通过上述几类问题的分析，你有什么发现吗？师：通过实验、观察、归纳得到的结论是否都正确？怎样判断一个结论是否正确呢？总结：实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确，因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明．三、举例分析1．课件出示教材第163页“随堂练习”第1题第(1)题．解：线段b与线段d在同一条直线上．2．课件出示教材第163“随堂练习”第1题第(2)题．分析：观察往往会产生错觉，得出的结论不一定正确，想要判断两条线段是否一样长，最科学、合理的方式是量一量，组织学生动手操作量一量．解：两条线段一样长．四、练习巩固观察下图，左图中间的圆圈大还是右图中间的圆圈大？解：一样大．说明：实验、观察、归纳得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．五、小结1．通过本节课的学习，我们了解了实验、观察、归纳得到的结论不一定正确，从而明白证明的意义和必要性．2．让学生反思自己在本节课学习中的优缺点及改进的方法，并能积极地参与总结性的发言．六、课外作业教材第164页习题7.1第1～3题．本节课的教学设计是建立在“以学生的发展为本，为学生的终身学习奠定基础”的教育理念上，融入了新课标的思想内涵，尊重学生的直观感觉，并从学生的直观感觉出发逐步将学生的思维引向严密性、逻辑证明等方面．不是一味地强调证明的必要性，而是通过几个事实的说明来让学生意识到证明的必要性，设计中突出体现了学生的主体地位．2定义与命题第1课时定义与命题1．了解定义与命题的含义，会区分某些语句是不是命题；能找出命题的条件和结论．2．用数学的观点来审视生活中或数学学习中遇到的语句特征．3．通过对某些语句特征的判断，养成严谨的思考习惯．重点理解命题的概念，找出命题的条件和结论．难点正确找出命题的条件和结论．一、情境导入课件出示：小亮和小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》．小亮说：……小刚说：“是的，现在因特网广泛运用于我们的生活中，给我们带来了方便，但……”小亮说：“……”小刚说：“……”小亮说：“哈！这个黑客终于被逮住了．”……坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄议论着：一人说：“这黑客是个小偷吧？”另一人说：“可能是喜欢穿黑衣服的贼．”……一人说：“那因特网肯定是一张很大的网．”另一人说：“估计可能是英国造的特殊的网．”……师：在这个故事中，你得到什么启示？(人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行．为此，我们需要给出它们的定义．)二、探究新知1．命题．课件出示教材第165页“议一议”．学生小组讨论，指名汇报，教师点评，并引出命题的概念．像这样，对事情作出判断的句子，就叫做命题．即：命题是判断一件事情的句子．例如，上面“议一议”中的(1)(2)(3)(4)对事情进行了判断，都是命题．如果一个句子没有对某一事情做出任何判断，那么它就不是命题．例如，上面“议一议”中的(5)(6)都不是命题．师：大家能举出这样的例子吗？学生分小组讨论回答：任意一个三角形都有一个直角．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．全等三角形的对应角相等．……2．命题的条件和结论．阅读教材第166页“想一想”，完成下列小题．(1)这些命题都有________________的结构特征．(2)一般地，每个命题都由________和________两部分组成，________是已知的事项，________是由已知事项推断出的事项．命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中“________”引出的部分是条件，“________”引出的部分是结论．3．完成教材第166页“做一做”．三、举例分析1．举出一些是命题的语句．教师引导学生回答问题．2．举出一些不是命题的语句．教师引导学生回答问题．四、练习巩固1．下列句子中哪些是命题？(1)画线段AB＝3 cm；(2)两条直线相交，有几个交点？(3)等于同一个角的两个角相等吗？(4)在射线OA上，任取两点B，C.2．指出下列命题的条件和结论．(1)若a＞0，b＞0，则ab＞0；(2)如果a∥b，b∥c，那么a∥c；(3)同角的补角相等；(4)内错角相等，两直线平行．五、小结1．定义的含义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是它们的定义．2．命题的含义：判断一件事情的句子，叫做命题，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题．六、课外作业教材第167页习题7.2第1～3题．教学中以学生自主探索为主，通过学生活动，了解定义的含义．通过学生的自主探索、合作交流、归纳出命题的题设和结论，加深了学生对命题结构的理解与记忆．整个教学过程中以学生讨论为主，极大地调动了学生的学习积极性，激发了学生学习的兴趣．在教学中教师要加强对已经学过的相关知识的梳理，加深对新知识的认识，逐渐形成对知识的迁移与应用．第2课时公理、定理及证明1．理解公理和定理的概念；会在简单情况下判断一个命题的真假，会区分定理、公理和命题．2．通过对真假命题的判断，培养学生树立科学严谨的学习方法．3．使学生在接受专业知识的同时增强学习的兴趣，调动学生探索发现问题的积极性．重点理解公理、定理的概念．难点正确认识公理、定理、命题(真命题)之间的区别与联系．一、复习导入1．下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？(1)同一平面内的两条直线不是平行就是相交；(2)画一个长方形和正方形；(3)直角小于钝角；(4)4是偶数吗？师：判断一件事情的句子叫做命题．命题由题设(或条件)和结论两部分组成．2．下列命题的条件是什么？结论是什么？(1)如果地面是潮湿的，那么下雨了；(2)同位角相等，两条直线平行；(3)三角形两边之和大于第三边．师：在上述命题中，哪些正确？哪些不正确？你的理由是什么？二、探究新知1．真命题、假命题．课件出示教材第166页“做一做”．学生完成后，指名汇报，教师点评，并引出真命题、假命题的概念．正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具备命题的结论，这种例子称反例．2．公理、定理．指导学生阅读教材第168～169页的内容，并回答下列问题：(1)什么叫公理？公理的意义是什么？(2)定理的概念是什么？它和公理有什么区别和联系？(3)我们学过哪些公理？哪些定理？小结：(1)公理：人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为证实其他命题的出发点和依据．这样公认为正确的命题叫做公理．(2)定理：经过证明的真命题叫做定理．(3)定理和公理都可以作为判断其他命题真假的依据．三、举例分析课件出示教材第169页例题．由上面的例题，得到定理：对顶角相等．四、练习巩固1．判断．(1)所有的命题都是公理；所有的真命题都是定理．(2)所有的定理是真命题；所有的公理是真命题．2．请你完成下列定理的证明．(1)同角(等角)的补角相等；(2)同角(等角)的余角相等．几何证明如下：(1)已知：∠1＝∠2，∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角．求证：∠3＝∠4.证明：∵∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角(已知)，∴∠3＝180°－∠1，∠4＝180°－∠2(补角的定义)．∵∠1＝∠2(已知)，∴∠3＝∠4(等量代换)．(2)证明过程与(1)类似，鼓励学生自己证明．五、小结本节课的重点是了解命题中的真假命题、公理、定理的含义，通过学习学会区分命题的条件、结论，学会判别真、假命题，理解反例、证明等概念．六、课外作业1．下列说法正确的是()A．真命题都可以作为定理B．公理不需要证明C．定理不一定都要证明D．证明只能根据定义、公理证明2．教材第170页“随堂练习”．本节课主要学习了公理、定理的概念，了解了判断一个命题是真命题还是假命题．教学中应注意培养学生通过举反例判断假命题的能力，应让学生明白：经过确认可以通过逻辑推理证明的真命题才有可能作为定理，成为以后证明的依据，另外应注重培养学生知识间的联系与应用，培养学生综合运用所学知识解决问题的能力．3平行线的判定1．熟练掌握平行线的判定定理；能对平行线的判定进行灵活运用，并把它们应用于几何证明中．2．通过学生画图、讨论、推理等活动，体会证明的基本方法和过程，体验推理的严谨性和结论的确定性，同时给学生渗透化归思想和分类思想．重点掌握平行线的判定定理及灵活运用．难点平行线判定定理的应用．一、复习导入1．什么叫做平行线？(同一平面内，两条直线不相交，就叫做平行线)2．什么叫做同位角、内错角和同旁内角？3．前面我们探索过两条直线平行的哪些判别条件？师：通过前面的学习我们知道，判断一个数学结论是否正确还需要有根有据的证明，那么，利用“同位角相等，两直线平行”这个基本事实，你能证明下列定理吗？我们一起来试一试．二、探究新知1．平行线的判定定理一．(1)定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简述为：内错角相等，两直线平行．(2)证明这个定理需要先把定理转化成几何语言，谁能说一说，怎么转化？(画出两条直线a，b，被第三条直线c所截，标出内错角∠1和∠2，表示如果∠1＝∠2，那么a∥b.)已知：如图，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的内错角，且∠1＝∠2.求证：a∥b.(3)怎么证明呢？请写出完整的证明过程．证明：∵∠1＝∠2(已知)，∠1＝∠3(对顶角相等)，∴∠3＝∠2(等量代换)．∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．2．平行线的判定定理二．(1)定理：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简述为：同旁内角互补，两直线平行．(2)让学生利用证明定理一的经验自主证明定理二．(3)讨论：要由同旁内角互补证明两直线平行，怎么证明？(我们知道有基本事实“同位角相等，两直线平行”，如果能由同旁内角互补推出同位角相等，那么根据已有的这个基本事实就能证明两直线平行)(4)学生板书证明过程．三、举例分析1．如图①所示，由∠DCE＝∠D，可判断哪两条直线平行？由∠1＝∠2，可判断哪两条直线平行？2．如图②，已知∠1＝45°，∠2＝135°，l1∥l2吗？为什么？学生思考后回答问题，教师点评．四、练习巩固1．同一平面内的四条直线若满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是()A．a∥d B．b⊥d C．a⊥d D．b∥c2．如图，∠B＝60°，∠1＝________时，DE∥BC，理由是________________．五、小结1．如何判断两条直线平行？2．通过这节课的学习你还有哪些收获？六、课外作业教材第173～174页习题7.4第1～4题．本节课学习了判定两条直线平行的三个方法，其中一条是判定公理，另外两个是判定定理．判定公理是我们证明两直线平行的原始依据，在具体证明过程中，应根据已知条件灵活地选择判定方法．很多时候往往不能直接运用判定定理，此时需要进行适当地转化，有时需要添加必要的辅助线．注意：作铺助线时应用虚线．4平行线的性质1．掌握平行线的三条性质定理；能熟练运用这三条性质定理证明几何题；进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法．2．经历观察、操作、推理、交流等学习活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力．重点掌握平行线的性质定理．难点平行线性质定理的应用．一、复习导入师：平行线的判定方法有哪些？师：在上一节课中，我们证明了有关平行线的判定定理，那么对于平行线的性质，又怎么证明呢？能运用上节课积累的方法进行证明吗？今天这节课我们一起再来试一试证明它们．二、探究新知1．平行线的性质定理一．证明：两直线平行，同位角相等．(1)你能用几何语言描述这样的证明题吗？已知：直线AB∥CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线EF截出的同位角．求证：∠1＝∠2.(2)如果直接进行证明的话，难以找到能够作为依据的相关事实、定理，该怎么办？(提示学生可以用反证法，假设结论错误，再从错误的结论出发推出与定理、事实相矛盾的地方，说明假设不成立，从而得证)(3)如果∠1≠∠2，那么是否存在另外一条直线，它被第三条直线所截的∠2的另一同位角∠1′，有∠1′＝∠2呢？(有)(4)如果有，是否意味着这条直线和CD平行？(是的，同位角相等，两直线平行)这条直线可以是任意一条，也就是说我们可以过M点(AB与EF相交于点M)作这样的一条直线，此时我们发现过M点有两条直线与CD平行，这可能吗？(不可能，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行)(5)这样看来假设不能成立，说明什么？(∠1＝∠2)(6)学生根据讨论、交流，板书证明过程．证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH＝∠2，如图所示．根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH∥CD.又因为AB∥CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行．这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾．这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1＝∠2.2．平行线的性质定理二．证明：两直线平行，内错角相等．(1) 你能用几何语言描述题目要求吗？已知：如图，直线l1∥l2，∠1和∠2是直线l1，l2被直线l截出的内错角．求证：∠1＝∠2.(2)我们已经证明了两直线平行，同位角相等，可以将这个作为基本的事实(定理)，你能尝试完成吗？证明：∵l1∥l2(已知)，∴∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等)．又∵∠2＝∠3(对顶角相等)，∴∠1＝∠2(等量代换)．3．平行线的性质定理三．师：你能按照上面的思路证明两直线平行，同旁内角互补吗？学生完成，指名板演，教师讲评．三、举例分析课件出示教材第176页例题．通过例题，得出定理：平行于同一条直线的两条直线平行．四、练习巩固1．请你对比这些平行线的性质与前面所学的平行线的判定，它们有什么不同？2．若两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是() A．相等B．互补C．相等或互补D．相等且互补五、小结1．这节课你有什么收获？2．平行线的性质定理有哪些？3．完成一个命题的证明，需要哪些环节？六、课外作业教材第177页习题7.5第1～4题．本节课主要学习了平行线的三条性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．平行线的性质定理和判定定理中的条件和结论刚好相反，在具体应用时要注意，当知道两条直线平行时，要利用其性质得出相关的角相等或互补，当不知道两条直线是否平行时，要用相关的角相等或互补判定两直线平行．5三角形内角和定理第1课时三角形的内角1．掌握三角形内角和定理的证明及简单应用；灵活运用三角形内角和定理解决相关问题．2．用多种方法证明三角形内角和定理，培养一题多解的能力．重点掌握三角形内角和定理的证明及简单应用．难点灵活运用三角形内角和定理解决相关问题．一、情境导入用折纸的方法验证三角形内角和定理．先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行(图①)，然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合(图②、③)，最后得图④所示的结果．试用自己的语言说明这一结论的证明思路．想一想，还有其他折法吗？二、探究新知1．将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起．试用自己的语言说明这一结论的证明思路．想一想，如果只剪下一个角呢？2．用严谨的证明来论证三角形内角和定理．看哪个同学想的方法最多？方法一：过A点作DE∥BC.∵DE∥BC，∴________________(两直线平行，内错角相等)．∵∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝180°，∴________________ (等量代换)．方法二：延长BC到D，过点C作射线CE∥BA.∵CE∥BA，∴∠B＝________________(两直线平行，同位角相等)．∠A＝________________(两直线平行，内错角相等)．∵∠BCA＋∠ACE＋∠ECD＝180°，∴∠A＋∠B＋∠ACB＝________________ (等量代换)．添辅助线不是盲目的，而是为了证明某一结论，需要引用某个定义、公理、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添辅助线创造条件，以达到证明的目的．三、举例分析课件出示教材第179页例1.小组合作解决问题并完成证明．四、巩固练习教材第179页“随堂练习”第1～3题．五、小结1．通过本节课的学习，我们了解证明三角形内角和定理的几种方法，学会了作辅助线创造条件以达到证明的目的．2．让学生反思自己本节课学习中的优缺点及改进的方法．六、课外作业教材第180页习题7.6第1～4题．根据课程的特点，创设问题情境，以引导学生探索、运用为主线来展开．坚持以学生为本的原则，引导学生操作、探索、讨论、归纳．在教学过程中，引导学生去探索，使学生感受到添加辅助线的教学思想，更好地掌握三角形内角和定理的证明及简单的应用，从而实现教师是引导者和学生是主体的课堂教学理念．第2课时三角形的外角1．掌握三角形外角的两条性质；进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧；灵活运用三角形外角的两条性质解决相关问题．2．进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识．重点掌握三角形外角的两条性质．难点灵活运用三角形外角的两条性质解决相关问题．一、情境导入师：在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的边BC延长到D得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这个角命名，并且来研究它的性质．二、探究新知1．三角形外角的概念．三角形的外角：三角形的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．(1)如下图，∠________是△ABC的一个外角．你还能作出△ABC其他的外角吗？(2)观察上图的外角，你能总结出三角形外角有哪些特征？①顶点在________________上；②一条边是三角形的____________；③另一条边是三角形某条边的______________．2．三角形内角和定理的推论．课件出示：如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A、∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A、∠B有什么关系？师：由上面的推导过程我们可以得到两个定理：定理1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．定理2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．推论：由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论．推论可以当做定理使用．三、举例分析1．课件出示教材第181页例2.(1)要证明AD∥BC，只需证明哪两个角相等？(2)如何利用题目中的条件？(3)你能说说自己的解题思路吗？(4)你还有其他的证明方法吗？(5)大家通过小组合作能解决问题并完成证明吗？证明：∵∠EAC＝∠B＋∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，∠B＝∠C(已知)，∴2∠B＝∠EAC(等式的性质)．∵AD平分∠EAC(已知)，∴2∠DAE＝∠EAC(角平分线的定义)．∴∠DAE＝∠B(等量代换)．∴AD∥BC(同位角相等，两直线平行)．2．课件出示教材第182页例3.引导学生用不同的方法证明．四、练习巩固教材第183页“随堂练习”第1，2题．五、小结1．这节课你有什么收获？2．三角形外角的两条定理是什么？六、课外作业教材第183页习题7.7第1～3题．本节课主要学习三角形外角的两个性质．因为这两个性质是由三角形内角和定理经过推理得来的，所以这两个性质也叫三角形的内角和定理的推论．当遇到证明角的不等关系时应自然想到用三角形的外角的性质．在解决实际问题时，根据题意构建几何模型是解题的关键．综合与实践⊙计算器运用与功能探索1．指导学生学会应用计算器进行实数的加、减、乘、除、乘方运算及混合运算．2．用计算器完成较为繁杂的计算，鼓励学生用计算器探索规律．3．使学生了解计算工具的发展历史，进一步认识到数学来源于生活服务于生活的道理，通过类比认识到现代信息技术是学习数学和解决问题的强有力的工具．重点计算器的使用及技巧．难点运用计算器进行较为繁琐的运算和探索规律，熟练准确地运用计算器进行计算．一、情境导入我们日常生活中常常会遇到很多的计算问题，如到市场买菜、到超市买生活用品、到银行存款、到商店买学习用品等都会遇到计算问题，这些地方是怎样计算价格的？学生回答可能有：口算、用计算器、用算盘、电脑，综合学生的回答作如下引导，同学们发现了没有，这些计算方法各有什么特点？(心算快捷用于简单的运算，算盘用于较为麻烦的运算，但是用的人越来越少，计算器使用范围广，操作简便，男女老少都能用，电脑在银行、超市中使用准确，快捷)由学生的回答进一步引导，大家知道计算器的发展历史吗？由学生回答后教师作简单的讲解(见准备材料)．二、探究新知1．探究问题1.课件出示问题1：任选一个三位数(要求：百位数比个位数至少大2)，将这个数的百位、十位、个位数字顺序完全颠倒，得到另一个三位数，用其中较大的那个三位数减去较小的三位数，再将所得差的各位数字的顺序完全颠倒，又得到一个三位数，将这个三位数再加上差本身，你得到的结果是多少？学生小组讨论完成．注意：教师要强调运算的顺序，任何一步的错误都会影响结果和规律的探索．师：请同学们用计算器验证刚才计算的过程，看结果是否一致．学生小组验证，进一步明确计算的过程，选一名代表作记录．师：再换几个数试试，你发现了什么？学生小组合作完成，谈论发现的规律，派代表发言．(按照问题1的过程计算，所得结果都是1 089)师：任选一个四位数，仿照上面的规则，你会得到什么结果呢？如果任选一个五位数呢？……学生小组交流讨论，汇总所得的结果，对结果进行分析找出存在的规律．2．探究问题2.课件出示问题2：任选一个正数，执行下列操作：加1，再取倒数．将所得到的结果不断执行上述操作……你发现了什么？学生小组合作探究，派代表作记录，观察所得到的结果存在的规律．(所得结果取三位小数都是0.618)师：如果改变操作规则：加2，再取倒数．将所得到的结果不断执行上述操作……你发现了什么？学生小组合作探究，派代表作记录，观察所得到的结果存在的规律．(所得结果取三位小。
北师大初中八年级数学上册《第七章平行线的证明》教案
第七章平行线的证明第一课时为什么要证明学习目标1.运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否．2.经历观察、验证、归纳等过程，使学生对由这些方法所得到的结论产生怀疑，以此激发学生的好奇心，从而认识证明的必要性，培养学生的推理意识．3.了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等．教学重点、难点: .经历观察、验证、归纳等过程，使学生对由这些方法所得到的结论产生怀疑，以此激发学生的好奇心，从而认识证明的必要性，培养学生的推理意识．教学过程第一环节：验证活动（1）活动内容：某学习小组发现，当n=0，1，2，3时，代数式n2-n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n，n2-n+11的值都是质数．你认为呢？与同伴交流．参考答案：列表归纳为第二环节：猜想并验证活动（2）活动内容：如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？参考答案：设赤道周长为c ，铁丝与地球赤道之间的间隙为 ：)(16.021221m c c ≈=-+πππ 它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头．第三环节：猜想并验证活动（3）活动内容：如图，四边形ABCD 四边的中点E 、F 、G 、H ，度量四边形EFGH 的边和角，你能发现什么结论？改变四边形ABCD 的形状，还能得到类似的结论吗？ 参考答案：连接AC ．∵E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 四边中点， ∴EF ∥AC ，EF=21AC ；GH ∥AC ，GH=21AC ； ∴EF 平行且等于GH ，∴四边形EFHG 为平行四边形．第四环节：归纳与总结活动内容：A B E C D F GH①通过以上三个数学活动，使学生对每一个问题的结论的正确性有了怀疑，从而知道了由观察、猜想等渠道得到的结论还必须经过有效的证明才能对其进行肯定．也即：要判断一个数学结论是正确，仅观察、猜想、实验还不够，必须经过一步一步，有根有据的推理．②举例说明“推理意识”与推理方法．第五环节：反馈练习活动内容：1.如图中两条线段a与b的长度相等吗？请你先观察，再度量一下.，答案：a与b的长度相等.第1小题图第2小题图2.如图中三条线段a、b、c,哪一条线段与线段d在同一直线上？请你先观察，再用三角尺验证一下.答案：线段b与线段d在同一直线上.3.当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数吗？答案：经验证：当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数.第六环节：课堂小结活动内容：今天这节课你学到了什么知识？①要说明一个数学结论是否正确，无论验证多少个特殊的例子，也无法保证其正确性．②要确定一个数学结论的正确性，必须进行一步一步、有根有据的推理．第七环节巩固练习课本第217页习题6.1第2，3题．第二课时定义与命题教学目标1.了解定义与命题的含义，会区分某些语句是不是命题．2.用比较数学化的观点来审视生活中或数学学习中遇到的语句特征．3.通过对某些语句特征的判断学会严谨的思考习惯．教学重点、难点：用比较数学化的观点来审视生活中或数学学习中遇到的语句特征。
北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明单元教学设计
（二）过程与方法
1.通过小组合作、讨论交流等形式，让学生在探索、发现、总结平行线性质的过程中，培养观察、分析、归纳的能力。
2.引导学生运用演绎推理方法，从特殊到一般，逐步掌握平行线的判定方法，提高学生的逻辑思维能力。
二、学情分析
八年级学生在经过之前的学习，已经具备了一定的几何基础，对几何图形有一定的认识和理解。在此基础上，学生对平行线的概念及性质已有初步的了解，但在判定方法、性质应用等方面仍需加强。此外，学生在演绎推理、问题解决等方面的能力有待提高。因此，在教学过程中，应关注以下学情：
1.学生对平行线性质的理解程度，注重引导学生从直观到抽象，逐步提高对平行线性质的认识。
c.解决实际问题，运用平行线性质求解。
2.学生独立完成练习题，教师巡回指导，对学生的解答进行点评，及时纠正错误，巩固所学知识。
（五）总结归纳
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，让学生用自己的话总结平行线的性质、判定方法及其在实际问题中的应用。
2.教师强调本节课的重点知识，提醒学生注意平行线性质及判定方法的灵活运用。
2.教师提出问题：我们已经学过直线、线段、射线等基本概念，那么如何判断两条直线是否平行？这节课我们就来探讨这个问题。
（二）讲授新知
1.教师引导学生回顾同位角、内错角、同旁内角等概念，为后续学习平行线的判定方法打下基础。
2.教师通过几何画板演示，引导学生观察并总结出平行线的性质，如同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等。
（二）教学设想
1.创设情境，激发兴趣：
通过生活中的实例，如铁轨、教室墙壁等，引出平行线的概念，激发学生对平行线性质探究的兴趣。
北师大版八年级上册数学第7章《平行线的证明》教案
第七章平行线的证明1为什么要证明【学习目标】1．初步体会观察、猜测得到的结论不一定正确．2．通过探索，初步了解数字中推理的重要性．3．初步了解要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理．【学习重点】判断一个结论正确与否需要进行推理．【学习难点】理解数学推理的重要性．一、情景导入生成问题在现实生活中，我们常采用观察的方法来了解世界．在数学学习中，我们通过观察、度量、猜测来得到一些结论．那这样得到的结论都是正确的吗？如果是正确的，那么用什么方法说明它的正确性呢？解：不一定都是正确的，如果正确，需要用推理证明的方法来说明它的正确性．二、自学互研生成能力知识模块一观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗先阅读教材第162页“做一做”之前的内容，然后完成书中设置的两个问题，最后与同伴进行交流．【说明】让学生通过观察、实验、归纳等方法初步体会得到的结论不一定正确．知识模块二启发学生有理有据地推理师生合作共同完成教材第162页“做一做”的学习与探究．【说明】(1)中让学生体会数学教学中从特殊到一般的思想方法；(2)中利用先猜想再验证的方法，培养学生从不同的角度来用不同的数学方法解决实际问题的能力．【归纳结论】实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗知识模块二启发学生有理有据地推理四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________2定义与命题第1课时定义与命题【学习目标】1．理解定义与命题的概念．2．掌握命题的结构、形式及种类．3．能从具体实例中，了解命题的概念，并会区分真假命题．【学习重点】命题的相关概念．【学习难点】对于命题的条件和结论不十分明显，改写成“如果……那么……”的形式．一、情景导入生成问题人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行．为此，我们需要给出它们的定义．这节课我们就一起研究定义与命题．二、自学互研生成能力知识模块一定义先阅读教材第165页“议一议”上面的内容，弄清“定义”的概念．【说明】通过思考、归纳得出定义的概念，并利用举例的形式加深对概念的理解与掌握．【归纳结论】证明时，为了交流的方便，必须对某些名称和术语形成共同的认识．为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义．知识模块二命题阅读教材第165页“议一议”的内容，弄清命题的概念，并与同伴进行交流．【说明】通过讨论、交流让学生对命题形成初步认识，安排不是命题的问题参加，让学生逐步体会一个句子是不是命题的关键是对一件事情是否作出判断．【归纳结论】判断一件事情的句子叫做命题．如果一个句子没有对某件事情作出任何判断，那么它就不是命题．知识模块三命题的组成阅读教材第166页“想一想”部分的内容．弄清一个命题的组成，并与同伴进行交流．【说明】学生通过观察、思考得出命题是由两部分组成的，并掌握它们各自的概念，进一步加深对命题的理解．【归纳结论】一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成．条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项．命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．知识模块四命题的分类仿例：下列命题是真命题的是(D)A．若a2＝b2，则a＝bB．若a2>b2，则a>bC．若|a|>|b|，则a>bD．若a3＝b3，则a＝b阅读教材第166页“做一做”的内容，然后与同伴进行交流．【说明】进一步加深对命题组成的理解，同时学会利用自学的知识对命题作出正确的判断．【归纳结论】正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一定义知识模块二命题知识模块三命题的组成知识模块四命题的分类四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________第2课时定理与证明【学习目标】1．理解公理和定理的意义，并能对公理与定理加以区别．2．理解证明命题的思路、书写的格式，能对推理论证有初步的认识．【学习重点】命题证明的一般步骤．【学习难点】探索命题证明的思路及思维方向．一、情景导入生成问题我们知道，举一个反例就可以证明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？用以前学过的观察、实验、验证特例等方法来证明可靠吗？能不能根据已经知道的真命题证实呢？那已经知道的真命题又是如何证实的？【说明】提出一系列的问题启发思考，体会证明的必要性，让学生明白采用什么样的方式作为证实其他命题的出发点和依据．二、自学互研生成能力知识模块一公理、定理的概念阅读教材第168页和第169页例题前面部分的内容，然后解答下列问题：问题1什么是公理？什么是定理？问题2我们已经学习了哪几条基本事实作为证明的出发点和依据？【说明】给出概念，直入主题．回顾所学知识，加深对概念的理解，同时也让学生明白如何区分公理和定理．【归纳结论】除了上面几条可以作为证明的依据外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据．知识模块二定理的证明师生合作完成下面问题的学习与探究．问题3什么叫证明？如何来证明一个命题或定理的正确性？【说明】让学生明白证明的概念，并且为后面书写过程有个心理准备．例：已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角．求证：∠AOC＝∠BOD.由于证明过程是学生刚刚接触的，比较陌生，教师可以引导学生帮助分析，展示如下：证明：∵直线AB与直线CD相交于点O，∴∠AOB和∠COD都是平角(平角的定义)．∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义)．∴∠AOC＝∠BOD(同角的补角相等)．定理：对顶角相等．注：对于符号“∵”“∴”表示的意思教师要作出解释；由于刚学证明，力求注明理由，证明过程要符合逻辑思维，不能因果不相匹配．仿例：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，求证：∠1＝∠A，∠2＝∠B.证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，又∵∠1＋∠B＝90°，∴∠2＝∠B，同理可证：∠1＝∠A.三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一公理、定理的概念知识模块二定理的证明四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________3平行线的判定【学习目标】1．会用“同位角相等，两直线平行”证明“内错角相等，两直线平行”及“同旁内角互补，两直线平行”的正确性．2．会用平行线的三个判定定理解决问题．【学习重点】平行线的三个判定定理．【学习难点】灵活应用平行线的三个判定定理解决问题．一、情景导入生成问题前面我们探索过两直线平行的哪些判别条件？利用“同位角相等，两直线平行”这个基本事实，你能证明它们吗？试试看．【说明】通过复习旧知识，为本节课进一步学习直线平行的条件做准备．两条直线被第三条直线所截，形成的角中，有同位角、内错角和同旁内角．同位角相等，两直线平行，那么利用内错角、同旁内角的关系，能否判定两直线平行？【说明】这个问题的提出，直截了当地切入本节课的中心内容，通过学生的猜想、讨论，引起学生的探究欲望．二、自学互研生成能力知识模块一内错角相等，两直线平行先阅读教材第172页定理1的内容及其证明过程，然后完成下面的问题．问题1如右图，∠1与∠2是什么位置关系？问题2当∠1＝∠2时，直线a、b有什么关系？为什么？【说明】通过观察、思考、讨论培养学生分析图形的能力，感受转化的思想．由未知转化为已知，把已知条件转化为以前学过的旧知识，从而达到解决问题的目的．为了给学生一个清晰的证明过程，教师展示如下：证明：∵∠1＝∠2(已知)，∠1＝∠3(对顶角相等)．∴∠3＝∠2(等量代换)．∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．知识模块二同旁内角互补，两直线平行先阅读教材第172页定理2的内容及证明过程，然后完成下面的问题．问题3如下图，∠2与∠3是什么位置关系？问题4当∠2＋∠3＝180°时，直线a、b有什么关系？为什么？【说明】让学生自己口述，培养学生的口语表达能力和推理论证的能力．在思考探究的过程中，体会判断两条直线平行的条件．这个证明的过程，老师可以引导学生自己书写．【归纳结论】已给的基本事实、定义和已经证明的定理以后都可以作为依据，用来证明新的结论．仿例：如图所示，一个合格的弯形管道经两次拐弯后，如果∠C＝68°，∠B＝112°，则AB与CD的位置关系是__平行__，理由是__同旁内角互补，两直线平行__．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一内错角相等，两直线平行知识模块二同旁内角互补，两直线平行四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________4平行线的性质【学习目标】1．初步掌握平行线的性质，并能用性质进行简单的推理和证明．2．进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法．【学习重点】平行线的性质的探索及性质的应用．【学习难点】运用平行线的性质和判定去解决问题．一、情景导入生成问题现在同学们已经掌握了利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，判定两条直线平行的三种方法．在这一节课里：大家把思维的指向反过来：如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角的数量关系又该如何表达？【说明】了解学生的认知基础，让全体学生对前一节的内容进行回顾，并为新课程的学习做准备．二、自学互研生成能力知识模块一两直线平行，同位角相等师生合作共同完成教材第175页性质定理1的证明及探究过程．【说明】给学生留有充分的探索和交流的空间，鼓励学生利用多种方法探索，这对于发展学生的空间观念，理解平行线的性质是十分重要的．此题的证明可以让学生感受反证法．知识模块二两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补阅读教材第176页平行线性质定理2和性质定理3的内容及证明过程，然后自己完成定理的证明．【说明】培养学生逻辑思维能力以及严谨的治学态度，逐步锻炼学生的推理能力，并进一步巩固对定理的理解及语言的规范，感受成功的喜悦，树立学习数学的信心．知识模块三平行于同一条直线的两条直线平行先阅读教材第176页例题及证明过程，然后完成下面的问题．例：已知：如图，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直线a、b、c被直线d截出的同位角．求证：b∥c.【说明】利用平行线的性质进行有关的证明，逐步培养学生的推理论证能力．发展他们的数学思维和空间观念．【归纳结论】平行于同一条直线的两条直线平行．讨论：完成一个命题的证明，需要哪些主要环节？与同学们交流．【说明】通过与学生交流、讨论，帮助他们形成知识体系，为以后的证明提供了很好的方法．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一两直线平行，同位角相等知识模块二两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补知识模块三平行于同一条直线的两条直线平行四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________5三角形内角和定理第1课时三角形内角和定理及应用【学习目标】1．会证明三角形的内角和定理，并能运用三角形内角和定理解题．2．初步学会利用辅助线证题．【学习重点】三角形内角和定理的证明和应用．【学习难点】用不同方法证明三角形内角和定理．一、情景导入生成问题我们知道，任意一个三角形的内角和等于180°，怎样证明这个结论的正确性呢？小学中我们通过测量的方法进行过验证，但我们不可能对所有的三角形进行验证，有没有一种能证明任意三角形的内角和等于180°的方法呢？【说明】通过问题引入，激发学生的学习兴趣，同时使学生认识到，测量的方法只能进行有限次的验证，并不能对所有三角形进行验证，所以必须寻找一种能说明所有三角形的内角和是180°的方法，为后面的证明做准备．二、自学互研生成能力知识模块一三角形内角和定理的证明先阅读教材第178页的内容，再完成下面的思考．思考：(1)如图，如果我们只把∠A移到∠1的位置，你能证明这个结论吗？如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果？(2)根据前面给出的基本事实和定理，你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗？你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗？与同学们交流．【说明】使学生从对三角形内角和的感性认识上升到理性认识，由于学生刚刚接触证明，并且还需添加辅助线，所以教师必须要有规范的示范，通过讲练结合，使学生逐步掌握推理的方法步骤．【归纳结论】三角形的内角和等于180°.思考：(1)你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗？(2)如果把三角形三个角“凑”到A处，过点A作直线PQ∥BC(如图)，这样的想法可行吗？如果可行，你能写出证明过程吗？与同学们交流．【说明】让学生尝试模仿用另外的方法证明三角形内角和是180°，从而培养学生多角度分析问题和解决问题的能力，学生的推理和证明方法再次得到深化．知识模块二三角形内角和定理的应用先独立完成下面问题的解答，然后再对照教材第179页例1的规范格式自评自纠．例：如图，在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．【说明】通过例题，要让学生体会三角形内角和定理在角的求值问题中的应用．注意向学生分析解决问题的思路和方法．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一三角形内角和定理的证明知识模块二三角形内角和定理的应用四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________第2课时三角形的外角【学习目标】1．了解三角形的外角定义，掌握三角形外角的两个定理．2．能综合运用三角形内角和定理及外角的两个定理进行几何证明与计算．【学习重点】三角形外角的性质定理．【学习难点】运用三角形外角性质定理进行有关计算时能准确地推理．一、情景导入生成问题旧知回顾：1在△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC的形状是直角三角形．2．一个三角形的三个内角中，至少有(B)A．一个锐角B．两个锐角C．一个钝角D．一个直角3．如图，直线l1∥l2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为(C)A．50°B．55°C．60°D．65°二、自学互研生成能力知识模块一三角形外角的定理先阅读教材第181页例2上面的内容，然后完成下面的问题：△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角．如图，∠1是△ABC的外角．问题1你能在图中画出△ABC的其他外角吗？∠1与其他角有什么关系？能证明你的结论吗？【说明】结合图形，学生通过观察、思考、讨论等一系列活动，既巩固了对概念的理解，又让学生进行证明，培养了学生的推理论证能力．【归纳结论】三角形内角和定理的推论：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．知识模块二运用三角形外角的定理进行证明你能运用所学的知识解决下面的问题吗？问题2(1)已知：在△ABC中，∠B＝∠C，AD平分外角∠EAC.求证：AD∥BC.第(1)题图第(2)题图(2)已知如图，P是△ABC内一点，连接PB、PC.求证：∠BPC>∠A.你们的证明方法一样吗？与大家共同交流．【说明】学生的讨论、交流、解决问题的过程，也是一个培养学生发散思维与创新能力的过程，它不受教师点拨的思维定式的影响，可以提高学生的思维灵活性．仿例：如图D是△ABC中∠ACB的外角的平分线与BA的延长线的交点．求证：∠BAC>∠B＋∠D.证明：∵CD平分∠ACE，∴∠ACD＝∠ECD，∵∠ECD＝∠B＋∠D，∴∠ACD＝∠B＋∠D，∵∠BAC>∠ACD，∴∠BAC>∠B＋∠D.三、交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 三角形外角的定理知识模块二 运用三角形外角的定理进行证明四、检测反馈 达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________本章复习小结【学习目标】1．掌握本章的重要概念，能熟练灵活地运用有关定理解决实际问题．2．通过整理本章知识点，经历严格的推理证明过程，培养学生逻辑思维能力．【学习重点】回顾本章知识点，构建知识结构．【学习难点】利用本章有关定理解决实际问题．一、情景导入 生成问题引导学生回顾本章知识点，展示知识结构图，让学生系统地了解本章知识及它们之间的相互联系．教学时，边回顾边引导学生画结构图．平行线的证明⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧为什么要证明定义与命题⎩⎪⎨⎪⎧真命题⎩⎪⎨⎪⎧公理定理假命题平行线的判定⎩⎪⎨⎪⎧同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行平行于同一条直线的两条直线平行平行线的性质⎩⎪⎨⎪⎧两直线平行，同位角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，内错角相等三角形内角和定理→两个推论二、自学互研 生成能力知识模块一 知识清单 加深理解1．平行线的性质和判定在运用的时候要注意：(1)判定是不知道两直线平行，是根据某些条件来判断两条直线是否平行；(2)性质是知道两直线平行，是根据两直线平行得到其他关系．2．三角形内角和定理及推论三角形内角和定理是有关角的问题中最常用的定理，是解决问题的基本手段．同时三角形的外角性质是证明角相等及不等问题的重要依据，必要时，可以通过添加辅助线来构造内、外角的位置关系，从而确定数量关系．知识模块二典例引路全面复习例1：在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是(D)A．∠A＋∠2＝180°B．∠A＝∠3C．∠1＝∠4D．∠1＝∠A分析：判定的是AB与DF平行，则把这两条直线看做被截的两直线，去找成同位角、内错角和同旁内角关系的两角，其中D选项∠1和∠A是AC、DE被截形成的同位角，由∠1＝∠A得的应是AC∥DE，故选D.例2：把下列命题改写成：“如果……那么……”的形式，并分别指出它们的条件和结论．(1)整数一定是有理数；(2)同角的外角相等；(3)两个锐角互余．分析：本题考查命题的概念、叙述简单的命题．要善于分辨条件与结论，这是改写成“如果……那么……”的形式的基础．解：(1)如果一个数是整数，那么它一定是有理数．条件：一个数是整数；结论：它一定是有理数；(2)如果两个角是同一个角的外角，那么这两个角相等．条件：两个角是同一个角的外角；结论：这两个角相等；(3)如果两个角是锐角，那么这两个角互为余角．条件：两个角是锐角；结论：这两个角互为余角．仿例：如图所示，已知∠4＝70°，∠3＝110°，∠1＝46°，求∠2的度数．分析：此题由同旁内角∠3＋∠4＝180°知AB∥CD，故∠2＝180°－∠1.解：因为∠A＝70°，∠3＝110°(已知)，所以∠4＋∠3＝180°，所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)，所以∠2＝180°－∠1＝180°－46°＝134°(两直线平行，同旁内角互补)．变例：一零件的形状如图所示，按规定∠BAC＝90°，∠B＝21°，∠C＝20°，检验工人量得∠BDC＝130°，就判定此零件不合格，请运用所学知识说明理由．分析：这是一个三角形知识的实际应用问题，解决此类问题的关键是如何把实际问题转化到三角形知识上来．解：连接AD并延长到点E，∵∠CDE＝∠C＋∠1，∠BDE＝∠B＋∠2，∴∠CDE＋∠BDE＝∠C＋∠1＋∠B＋∠2，即∠CDB＝∠C＋∠B＋∠CAB.若零件合格，则有∠CDB＝90°＋20°＋21°＝131°，而量得∠BDC＝130°，故此零件不合格．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一知识清单加深理解知识模块二典例引路全面复习四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
北师大版2019年八上数学：第7章-平行线的证明示范教案
北师大版2019年八上数学：第7章-平行线的证明示范教案一. 教材分析北师大版2019年八上数学第7章主要讲解平行线的证明。
本章内容是学生进一步深化对直线、射线、线段概念的理解，提高运用几何知识解决实际问题的能力。
通过本章的学习，学生将掌握平行线的判定和性质，为后续学习几何的其他内容打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了直线、射线、线段的基本概念，具备一定的空间想象能力和逻辑思维能力。
但学生在解决实际问题时，往往不能灵活运用所学知识，对几何图形的判断和分析能力有待提高。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导他们发现规律，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握平行线的判定和性质，能运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、交流、归纳等活动，培养学生空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极进取的精神。
四. 教学重难点1.重点：平行线的判定和性质。
2.难点：如何运用平行线的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、操作、交流，发现平行线的判定和性质。
2.案例分析法：教师通过典型例题，分析平行线的应用。
3.练习法：学生通过课堂练习和课后作业，巩固所学知识。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2.学具：几何画板、直尺、圆规。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实例，如公路、铁路等，引导学生观察并思考：这些实例中是否存在平行线？如何判断两条直线是否平行？呈现（10分钟）1.教师引导学生观察多媒体展示的几何图形，提出问题：如何判断这两条直线是否平行？2.学生通过观察、讨论，发现判定平行线的方法。
操练（10分钟）1.教师提出一组练习题，要求学生运用所学知识判断直线是否平行。
2.学生独立完成练习题，教师选取部分题目进行讲解。
巩固（10分钟）1.教师引导学生总结平行线的性质。
初中数学北师大八年级上册第七章 平行线的证明教学设计
让学生体会到三角形内角、外角角平分线问题其本质来源于平行线三线八角的角平分线问题，他们活水同源，本质相同，体会知识之间的本质联系，为之后的研究做铺垫。
三、
再变再探，本质不变
探究二：
教师利用几何画板的动画演示，在三角形内角平分线的基础上变化，探索 与 , 之间的数量关系，并证明。
二、教学目标
能熟练运用角平分线及三角形的相关知识，推理证明三角形角平分线的一些结论，并尝试探索这些结论之间的关系。
三、教学内容
教学内容：以已有的三线八角知识为切入点，探索三角形角平分线形成的角之间的关系，寻找不同关系之间的本质规律。
整合依据：《标准》要求：体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的教学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力。
突破点：
1、几何画板的动态展示；
2、从学生熟悉的知识和经验入手，让学生具备了探索的知识储备和方法引领，为探索降低了难度。
设计思路：
《标准》要求：体会通过合庆推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的教学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力。而本章作为正式学习证明的第一章，从这里开始，就要培养学生养成步步推理的习惯，形成严谨的科学态度。再加上本章多数结论是前面已经探究过的，于是，我的设计思路是从学生已经熟知的平行线中三线八角的知识和结论入手，通过增加一些条件，让学生探索新的结论，并尝试用已知的定理和结论步步推理，严密证明。通过基本图形的不断变化，同学们也更容易探索知识之间的变化，体验从合情推理到演绎推理的过程，提高逻辑推理能力，更能体会数学探索的乐趣。
学生独立思考探索 与 , 之间的数量关系，鼓励学生上台展示自己的推理过程，展示不一样的推理思路。要求学生落实书写，教师关注几何语言运用是否规范，推理是否步步有根据。
北师大版初中数学八年级上册 第七章 平行线的证明复习、回顾与思考 教案
第七章平行线的证明回顾与思考教学目标1.复习本章的知识点，了解各知识点之间的关系，巩固所学的知识，并能用这些知识解决一些问题。
2.经历知识的总结过程，回顾知识点，发展形成知识结构的能力。
教学重点进一步理解和掌握本章的公理及定理，掌握证明的步骤与格式，在证明过程中发展初步的演绎推理能力。
教学难点掌握证明的方法及应用定理解决问题。
教学方法自主反思，归纳总结.教学教具直尺，三角板，量角器教学过程本节课设计了五个教学环节：知识回顾——做一做——想一想——试一试——反馈练习．第一环节知识回顾活动内容：1.什么是定义？什么是命题？命题由哪两部分组成？举例说明！2.平行线的性质定理与判定定理分别是什么？3.三角形内角和定理是什么？4.与三角形的外角相关有哪些性质？5.证明题的基本步骤是什么？活动目的：通过学生的回顾与思考，使学生对平行线的性质定理与判定定理，三角形内角和定理及三角形的外角的性质有一个更深层次的认识，为下一步的简易的逻辑推理作好知识准备． 注意事项：由于学生对于上述概念都有较长时间的学习，但知识点是零散的，因此有必要在学生头脑中形成一个清晰的知识网络，如：}⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⇒⎩⎨⎧⇒⇒⇒⇒⇒⇒结论题设部分条件结构反例假命题公理外角推论内角和定理三角形性质判定平行线应用证明推论定理真命题分类命题证明）（）（第二环节 做一做 活动内容：1.下列语句是命题的有（ ）（1）两点之间线段最短；（2）向雷锋同志学习；（3）对顶角相等；（4）花儿在春天开放；（4）对应角相等的两个三角形是全等三角形；2.下列命题，哪些是真命题？哪些是假命题？如果是真命题，请写出条件与结论，如果是假命题，请举出反例.（1）同角的补角相等；（2）同位角相等，两直线平行；（3）若|a |=|b |，则a =b .3. 如图，AD 、BE 、CF 为△ABC 的三条角平分线,则：∠1+∠2+∠3=________.4. 用两个全等的等腰直角三角尺拼成四边形，则此四边形一定是_____。
北师大版八年级上册第七章平行线的证明课程设计
北师大版八年级上册第七章平行线的证明课程设计一、教学目标知识目标：1.了解平行线及相关概念；2.掌握平行线的判定方法；3.掌握平行线的性质及证明方法。
能力目标：1.能运用平行线的判定方法解决实际问题；2.能够运用证明方法证明平行线及其性质。
情感目标：1.培养学生对证明的兴趣；2.培养学生独立思考和解决问题的能力；3.培养学生用证明方法解决实际问题的意识。
二、教学重难点教学重点：1.平行线的定义及特征；2.平行线的判定方法；3.平行线的性质及证明方法。
教学难点：1.平行线的证明方法；2.平行线性质的证明。
三、教学过程1. 导入（5分钟）教师可以通过课堂游戏或者展示图片等形式，带领学生了解平行线的概念，引发学生对平行线的好奇心，为后续的学习打下基础。
2. 讲授（35分钟）2.1 平行线的定义及特征•平行线的定义：如果两条不同的直线在同一个平面内，且它们没有公共点，则这两条直线叫做平行线。
•平行线的特征：1.平行线不相交；2.平行线之间的距离是相等的；3.平行线上的对应角相等，同旁内角互补，同旁外角相等。
2.2 平行线的判定方法•通过角的对应关系判断平行线：若两条直线上的对应角相等，则这两条直线平行。
•通过角的内外关系判断平行线：若一条直线与另外两条直线形成的内角互补，则这两条直线平行。
•通过交错内角判断平行线：若两条平行线被一条横穿，则所构成的交错内角相等。
2.3 平行线的性质及证明方法•平行线性质：1.平行线投影原理：平行线间的投影相等；2.平行线截短定理：平行线截下的线段成比例；3.平行线夹角定理：直线穿过两条平行线时，内和角互补，外错角相等。
•平行线的证明方法：1.利用平行线的判定方法证明；2.利用等角、全等形、比例、勾股定理等证明。
3. 练习（30分钟）安排练习题，让学生通过练习提高对平行线的运用能力，并掌握证明方法。
4. 总结（5分钟）让学生通过总结，深入理解并掌握平行线的知识点。
四、教学资源准备1.标准教具：黑板、彩色粉笔；2.教科书、教辅资料等；3.练习题。
最新北师大版八年级数学上册 第七章 平行线的证明 教案教学设计(含教学反思)
第七章平行线的证明7.1 为什么要证明 (1)7.2 定义与命题 (4)第1课时定义与命题 (4)第2课时定理与证明 (7)7.3平行线的判定 (10)7.4平行线的性质 (14)7.5 三角形内角和定理 (17)第1课时三角形内角和定理的证明 (17)第2课时与三角形外角有关的定理 (21)第七章归纳总结 (25)7.1 为什么要证明【知识与技能】1.经历观察、归纳、验证等活动过程，在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性.2.发展学生的推理意识.【过程与方法】通过观察、猜想、验证、归纳等方法让学生多角度思考问题、解决问题.【情感态度】让学生明白仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明，培养学生科学严谨的学习态度.【教学重点】体会观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性.【教学难点】感受证明的必要性.一、创设情境，导入新课教材第162页“做一做”上方的问题.【教学说明】让学生通过观察、实验、归纳等方法初步体会得到的结论是否正确.二、思考探究，获取新知验证结论的正确性.做一做：教材第162页“做一做”.【教学说明】（1）中让学生体会数学教学中从特殊到一般的思想方法；（2）中利用先猜想再验证的方法；培养学生从不同的角度来用不同的数学方法解决实际问题.【归纳结论】实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明.三、运用新知，深化理解1.最近有很长一段时间没有下雨了.并且今天是艳阳高照，那么晚上不会下雨，这个判断是的.（填“正确”或“不正确”）2.下列说法不正确的是（）A.若∠1=∠2，则∠1与∠2是对顶角.B.若∠1与∠2是对顶角，则∠1=∠2.C.若直线a∥b,a⊥c,则b⊥c.D.若∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，则∠1=∠2.3.如图，甲沿着ACB由A到B，乙沿着ADEFB由A到B，同时出发，速度相等，则（）A.甲先到B.乙先到C.甲乙同时到D.不确定4.在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点，连结EF,EF与AD和BC有怎样的位置关系和数量关系？你的结论对所有的梯形都成立吗？5.当a=1,b=2时，12+22>2×1×2;当a=-1,b=3时，（-1）2+32>2×（-1）×3；当a=-12,b=-3时，（-12）2+（-3）2>2×(-12)×(-3).于是猜想：对于任意实数总有a2+b2>2ab成立.这个结论正确吗？说明理由.【教学说明】让学生独立完成，检查学生对于所学知识的掌握程度，根据反馈的情况适当查漏补缺，有困难的学生采用互相交流的形式得出结论.【答案】1.不正确； 2.A; 3.C4.EF∥AD∥BC.EF=12(AD+BC).这个结论对所有的梯形都成立.证明：连结AF并延长交BC的延长线于点G.∵AD∥BC,∴∠D=∠FCG,∠DAF=∠G,又∵F是CD的中点，∴DF=CF,∴△ADF≌△GCF(AAS),∴AD=CG,AF=GF.又∵E是AB的中点，∴AE=BE,∴EF=12BG=12(BC+CG)=12(BC+AD).5.解：不正确.当a=b时，a2+b2=2ab,找得到实数a、b，如a=b=1,使得a2+b2=2ab 成立，因为对于任意的实数a、b都有a2+b2-2ab=(a-b)2≥0成立，所以a2+b2≥2ab 成立，而不是a2+b2>2ab.四、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，经过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确？说说你的经验与困惑，与同学交流.【教学说明】让学生大胆发言，进行知识的提炼和归纳总结，与同学交换意见相互补充，利于共同提高.1.布置作业：习题7.1中的第1、2、3题.2.完成练习册中本课时相应练习.学生的直观判断、实验操作得出的结论可能带有极大的片面性.数学是一门科学，讲究的是周密的计算和合乎逻辑的推理证明，不能想当然，让学生在学习过程中不断去体会.7.2 定义与命题第1课时定义与命题【知识与技能】1.了解定义、命题的概念.2.能分清命题的组成，会判断一个命题的真假，学会用反例说明一个命题是假命题.【过程与方法】通过讨论、探究、交流等形式，使学生在辩论中获得知识体验.【情感态度】在学习过程中培养学生敢于怀疑、大胆探究的品质.【教学重点】命题的概念及真假的判断.【教学难点】对于命题的条件和结论不十分明显，改写成“如果……那么……”形式.一、创设情境，导入新课（1）阅读新华社酒泉2013年6月11日这篇报导：神舟十号载人飞船于6月11日上午发射，……神舟十号飞船搭乘两名航天员，执行多天飞行任务.按计划，飞船将从中国酒泉卫星发射中心发射升空，运行在轨道倾角42.4°，近地点高度为200千米，远地点高度为347千米的椭圆轨道上，实施变轨后，进入343千米的圆轨道.要读懂这段报道，你认为要知道哪些名称和术语的含义？（2）什么叫做平行线？（在同一平面内永不相交的两条直线叫做平行线）.什么叫做物质的密度？（单位体积内所含某一物质的质量叫做密度）.【教学说明】用熟悉的背景和提出的两个问题引入，为下面给出定义的概念得以顺理成章.二、思考探究，获取新知1.定义问题1：从以上两个问题中，你能得出什么是定义吗？并举例说明.【教学说明】通过思考、归纳得出定义的概念，并利用学生举例的形成加深对概念的理解与掌握.【归纳结论】证明时，为了交流的方便，必须对某些名称和术语形成共同的认识.为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义.2.命题问题2：下面的语句中，哪些语句对事情做了判断？哪些没有？与同学们交流.（1）任何一个三角形一定有一个角是直角；（2）对顶角相等；（3）无论n为怎样的自然数，式子n2-n+11的值都是质数；（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（5）你喜欢数学吗？（6）作线段AB=CD.【教学说明】通过讨论、交流让学生对命题形成初步认识，安排了不是命题的问题参入，让学生逐步体会一个句子是不是命题的关键是对一件事情是否作出判断.【归纳结论】判断一件事情的句子叫做命题.如果一个句子没有对某件事情作出任何判断，那么它就不是命题.问题3：观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的特征？与同学们交流.（1）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；（2）如果a=b，那么a2=b2;（3）如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等.【教学说明】学生通过观察、思考得出命题是由两部分组成的，并掌握它们各自的概念，进一步加深了命题的理解.【归纳结论】一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项.命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.问题4：指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？你是如何判断的？与同学们交流.（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；（2）如果a≠b,b≠c,那么a≠c;（3）全等三角形的面积相等；（4）如果室外气温低于0℃,那么地面上的水一定会结冰.【教学说明】进一步加深对命题组成的理解，同时学会利用自己学的知识对命题做出正确的判断.【归纳结论】正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例.三、运用新知，深化理解1.命题：“垂直于同一条直线的两条直线平行”的条件是，结论是 .2.若a2=b2,则a=b.这个命题是命题（填“真”或“假”）.3.下列语句不是命题的有（）个①相等的角是直角；②两点之间线段最短；③煤球是白色的；④连线A、B 两点.A.0B.1C.2D.34.下列句子哪些是命题？是命题的判断真假.①对顶角相等；②画一个角等于已知角；③两直线平行，同位角相等；④a，b两直线平行吗？⑤鸟是动物；⑥若a2=4，求a的值；⑦若｜a｜=｜b｜，则a=b.【教学说明】由学生自主完成，通过练习，使学生对知识的理解由浅入深，从感性上升到理性，及时反馈，便于发现问题、解决问题、提高课堂效率.提高45分钟的质量.【答案】1.两条直线垂直于同一条直线，这两条直线平行；2.假；3.B;4.命题有：①③⑤⑦；真命题有：①③⑤；假命题有：⑦.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾定义、命题、条件、结论、真命题、假命题和反例的概念等知识点.2.谈谈你对本节课的收获.【教学说明】使学生对本节课的知识有一个完整的认识，进一步形成知识网络.不断对知识进行提炼和归纳，有助于概念的理解.1.布置作业：习题7.2中的第1、2、3题.2.完成练习册中本课时相应练习.本节课概念比较多，千万不要死记硬背，在教学中要利用实例帮助理解记忆.对于命题中的条件和结论不很明显的改写成“如果……那么……”的形式有些困难，这方面有待今后不断强化提升.第2课时定理与证明【知识与技能】1.了解公理、定理、证明的含义.2.体验、理解证明的必要性.3.了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题.【过程与方法】通过书写完整的证明过程培养学生的逻辑思维能力和体验证明的方式方法.【情感态度】利用证明的过程培养学生科学严谨的学习习惯.【教学重点】证明的含义和表述格式.【教学难点】按规定格式表述证明的过程.一、创设情境，导入新课我们知道，举一个反例就可以证明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？用以前学过的观察、实验、验证特例等方法来证明可靠吗？能不能根据已经知道的真命题证实呢？那已经知道的真命题又是如何证实的？【教学说明】提出一系列的问题启发思考，体会证明的必要性，让学生明白采用什么样的方式作为证实其他命题的出发点和依据.二、思考探究，获取新知1.公理、定理的概念问题1：什么是公理？什么是定理？问题2：我们已经学习了哪几条基本事实作为证明的出发点和依据？【教学说明】给出概念，直入主题.回顾所学知识，加深对概念的理解，同时也让学生明白如何区分公理和定理.【归纳结论】除了上面几条可以作为证明的依据外，数与式的运算律和运算法则.等式的有关性质以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据.2.证明问题3：什么叫证明？如何来证明一个命题或定理的正确性？【教学说明】让学生明白证明的概念，并且为后面书写证明过程有个心理准备.例已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角.求证：∠AOC=∠BOD.由于证明过程是学生刚刚接触的，比较陌生，教师可以引导学生帮助分析，展示如下：证明：∵直线AB与直线CD相交于点O，∴∠AOB和∠COD都是平角（平角的定义）.∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角（外角的定义）.∴∠AOC=∠BOD（同角的补角相等）定理：对顶角相等.注：对于符号“∵”“∴”表示的意思教师要作出解释；由于刚学证明，力求注明理由，证明过程要符合逻辑思维，不能因果不相匹配.三、运用新知，深化理解1.关于直线的公理的内容是.2.如果a=b，b=c，那么，这一结论的根据是.3.命题“无论a取任何实数，式子a2-4a+7的值都是正数”是真命题还是假命题？请说明理由.4.已知：如图∠AOB=∠COD.求证：∠1=∠2.5.如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别是点D、E.求证：PD=PE.【教学说明】学生独立完成，加深对所学知识的理解和检查跟证明有关的掌握情况，特别是对于证明过程的表述教师要及时指导.【答案】1.两点确定一条直线；2.a=c，等量代换；3.是真命题.∵a2-4a+7=a2-4a+4+3=(a-2)2+3,无论a为任何实数，（a-2)2≥0,(a-2)2+3>0,即式子a2-4a+7的值是正数.4.证明：∵∠AOB=∠COD,∴∠AOB-∠COB=∠COD-∠COB，即∠1=∠2.5.证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB（已知）.∴∠PDO=∠PEO=90°（垂直定义）.∵OC平分∠AOB（已知）.∴∠AOC=∠BOC（角平分线定义）.又∵OP=OP（公共边）.∴△PDO≌△PEO（AAS).∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）.四、师生互动，课堂小结1.师生共回顾公理、证明的概念和证明的步骤与格式.2.本节课你掌握了哪些知识？还存在什么疑问？与大家交流.【教学说明】通过回顾本课知识点，学生之间相互交流，对知识不断总结归纳，特别是对于几何证明要结合图形加以训练.1.布置作业：习题7.3中的第1、2题.2.完成练习册中本课时相应练习.本节课从已学的八条基本事实出发，利用这些结论进行有关几何问题的证明，培养学生逻辑思维能力和严密的推理能力，这是本节课教学的重点，也是难点.7.3平行线的判定【知识与技能】1.理解并掌握平行线的判定方法.2.经历探索直线平行的条件的过程，并能运用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”进行简单的证明.【过程与方法】经过观察、想象、推理、交流等活动，进一步加强学生空间观念、推理能力和有条理的表述能力.【情感态度】在活动中培养学生良好的习惯、与他人合作交流、主动参与的意识，在独立思考的同时也能够认同他人.【教学重点】探索两直线平行的条件.【教学难点】运用直线平行的判定方法解决问题.一、创设情境，导入新课前面我们探索过两直线平行的哪些判别条件？利用“同位角相等，两直线平行”这个基本事实，你能证明它们吗？试试看.【教学说明】通过复习旧知识的形式，为本节课进一步学习直线平行的条件做准备.两条直线被第三条直线所截，形成的角中，有同位角、内错角和同旁内角.同位角相等，两直线平行，那么利用内错角、同旁内角的关系，能否判定两直线平行？【教学说明】这个问题的提出，直截了当地切入本节课的中心内容，通过学生的猜想、讨论，引起学生的探究欲望.二、思考探究，获取新知1.内错角相等，两直线平行.问题1：如右图，∠1与∠2是什么位置关系？问题2：当∠1=∠2时，直线a、b有什么关系？为什么？【教学说明】通过观察、思考、讨论培养学生分析图形的能力，感受转化的思想.由未知转化为已知，把已知条件转化为以前学过的旧知识，从而达到解决问题的目的.为了给学生一个清晰的证明过程，教师展示如下：证明：∵∠1=∠2（已知），∠1=∠3（对顶角相等）.∴∠3=∠2（等量代换）.∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.2.同旁内角互补，两直线平行.问题1：如右图，∠2与∠3是什么位置关系？问题2：当∠2+∠3=180°时，直线a、b有什么关系？为什么？【教学说明】让学生自己口述，培养学生的口语表达能力和推理论证的能力.在思考探究的过程中，体会判断两条直线平行的条件.这个证明的过程，教师可以引导学生自己书写.【归纳结论】已给的基本事实、定义和已经证明的定理以后都可以作为依据，用来证明新的结论.三、运用新知，深化理解1.已知：如图，∠1=76°，要使a∥b,则∠3= .2.若a∥b,b∥c,则a c ;若a⊥b,a⊥c，则b c.3.如图，直线a、b被直线c所截，以下四个条件：①∠1=∠5；②∠1=∠7；③∠2+∠3=180°，④∠4=∠7，其中能判定a∥b的是（）A.①②B.①③C.①④D.③④4.如图，直线EF交AB、CD于N、M，且∠EMC=65°,∠MNB=115°,则下列结论正确的是（）A.AE∥DFB.AB∥CDC.∠A=∠DD.∠E=∠F.5.如图，填空.（1）由∠A+∠ADC=180°,可得∥ .（2）由∠DBC=∠BCE,可得∥ .（3）由∠A=∠CBE,可得∥ .【教学说明】学生自主完成，加深对所学两个定理的理解与记忆和检测学生对知识的掌握情况，有困难的学生教师及时给予点拨和强化指导.【答案】1.104°；2.∥，∥；3.A；4.B；5.（1）DC AE；（2）BD CE;（3）AD BC四、师生互动，课堂小结1.到目前为止，你有多少种判定两条直线平行的方法？与大家共享.2.学习过程中你有哪些疑惑？请与同学们交流.【教学说明】通过小结的形式让学生在大脑中对平行线的判定方法形成知识体系，培养学生归纳总结的能力和综合运用的能力.1.布置作业：习题7.4中的第1、2、3题.2.完成练习册中本课时相应练习.学生对于三线八角的掌握比较牢固.根据角之间的关系判断哪两条直线平行很准确.由于刚学书写证明过程，还有不少学生的逻辑推理能力不强，在今后的训练中不断完善.7.4平行线的性质【知识与技能】经历探索平行线的性质的过程，初步掌握平行线的性质，并能用性质进行简单的推理和计算.【过程与方法】在学习过程中进一步培养学生的推理能力.发展学生的空间观念.【情感态度】培养学生的唯物主义观点，使学生逐步养成言之有据的习惯.【教学重点】平行线性质的探索及性质的理解.【教学难点】运用平行线的性质和判定结合去解决问题.一、创设情境，导入新课现在同学们已经掌握了利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，判定两条直线平行的三种方法.在这一节课里：大家把思维的指向反过来：如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角的数量关系又该如何表达？【教学说明】了解学生的认知基础，让全体学生对前一节的内容进行回顾，并为新课程的学习做准备.二、思考探究，获取新知平行线的性质及其证明.问题1：我们已经探索过平行四边形的性质，两直线平行，同位角相等，那它如何证明呢？【教学说明】给学生留有充分的探索和交流的空间，鼓励学生利用多种方法探索，这对于发展学生的空间观念，理解平行线的性质是十分重要的.此题的证明可以让学生感受反证法.问题2：利用上面的定理，你能证明其他两条性质吗？试一试！【教学说明】培养学生的逻辑思维能力以及严谨的治学态度，逐步锻炼学生的推理能力，并进一步巩固对定理的理解及语言的规范，感受成功的喜悦，树立学习数学的信心.问题3：例已知：如图，b∥a,c∥a,∠1,∠2,∠3是直线a、b、c被直线d截出的同位角.求证：b∥c.【教学说明】利用平行线的性质进行有关的证明，逐步培养学生的推理论证能力.发展他们的数学思维和空间观念.【归纳结论】平行于同一条直线的两条直线平行.讨论：完成一个命题的证明，需要哪些主要环节？与同学们交流.【教学说明】通过学生交流、讨论，帮助他们形成知识体系，为以后的证明提供了很好的方法.三、运用新知，深化理解1.如图，已知∠1=100°,∠2=80°,∠3=105°,则∠4= .2.如图，AB∥CD∥EF，则∠A+∠ACE+∠E= .3.如图BD平分∠ABC，ED∥BC,则图中相等的角共有（）A.2对B.3对C.4对D.5对4.如图，已知AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠BEF，∠1=40°.求∠2的度数.5.如图，已知A、B、C同在一条直线上,D、E、F同在一条直线上，且∠A=∠F,∠C=∠D,判断AE与BF的位置关系，并说明理由.【教学说明】通过对练习的处理，培养学生的口语表达能力和逻辑推理能力.使学生逐步学会运用推理的方法去证明问题，在具体的问题情境中能自觉地运用转化的思想去解决问题.对学习有困难的学生教师及时给予指导和点拨.【答案】1.105°；2.360°；3.D.4.解：∵AB∥CD,∴∠BEF=180°-∠1=180°-40°=140°.又∵EG平分∠BEF,∴∠3=12∠BEF=12×140°=70°.∵AB∥CD,∴∠2=∠3=70°.5.AE∥BF.证明：∵∠C=∠D,∴DF∥AC.∴∠A=∠1,∵∠A=∠F,∴∠1=∠F.∴AE∥BF.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾平行四边形的三条判定性质以及由例题得出的一个结论.2.谈谈你对本节课的收获与不足.【教学说明】通过引导学生回顾平行线的判定与性质.加强它们之间的区别和联系，进一步体会综合运用过程中的方法思路.1.布置作业：习题7.5中的第1、2、3、4题.2.完成练习册中本课时相应练习.本节课主要是平行线性质定理的推理，重在培养学生的逻辑思维能力和规范的推理过程的表述.再到平行线的性质与判定的综合运用，加深对所学知识的认识，提高运用知识解决实际问题的能力.在证明的过程中，图形有着至关重要的辅助作用.7.5 三角形内角和定理第1课时三角形内角和定理的证明【知识与技能】学会用逻辑推理的方法对三角形的内角和定理重新研究证明，并能利用三角形的内角和解决有关问题.【过程与方法】感受探索三角形内角和定理的证明过程，培养学生有条理地思考问题和合乎情理地表达问题的能力.通过渗透“化归”的数学思想，培养学生解决数学问题的基本方法.【情感态度】通过师生共同探究活动确认“三角形内角和是180°”，培养学生的概括、总结能力，激发学生探索问题的兴趣和体会学习数学的价值.【教学重点】三角形内角和定理的证明和利用三角形内角和进行有关的证明与计算.【教学难点】用不同的方法证明三角形内角和定理.一、创设情境，导入新课我们知道，任意一个三角形的内角和等于180°，怎样证明这个结论的正确性呢？小学中我们通过测量的方法进行过验证，但我们不可能对所有的三角形进行验证，有没有一种能证明任意三角形的内角和等于180°的方法呢？【教学说明】通过问题引入，激发学生的学习兴趣，同时使学生认识到，测量的方法只能进行有限次的验证，并不能对所有三角形进行验证，所以必须寻找一种能说明所有三角形的内角和是180°的方法，为后面的证明做准备.二、思考探究，获取新知三角形内角和定理的证明.思考：（1）如图，如果我们只把∠A移到了∠1的位置，你能证明这个结论吗？如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果？(2)根据前面给出的基本事实和定理，你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗？你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗？与同学们交流.【教学说明】使学生从对三角形内角和的感性认识上升到理性认识，由于学生刚刚接触证明，并且还需添加辅助线，所以教师必须要有规范的示范，通过讲练结合，使学生逐步掌握推理的方法步骤.【归纳结论】三角形的内角和等于180°.思考：（1）你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗？（2）如果把三角形三个角“凑”到A处，过点A作直线PQ∥BC（如图），他的想法可行吗？如果可行，你能写出证明过程吗？与同学们交流.【教学说明】让学生尝试模仿用另外的方法证明三角形内角和是180°，从而培养学生多角度分析问题和解决问题的能力，学生的推理能力和证明方法再次得到深化.运用所学的知识，你能解决下面的问题吗？例如图，在△ABC中，∠B=38°,∠C=62°,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.【教学说明】通过例题，要让学生体会三角形内角和定理在角的求值问题中的应用.注意向学生分析解决问题的思路和方法.三、运用新知，深化理解1.在△ABC中，∠A=80°,∠B-∠C=40°,则∠C= .2.∠A=∠B+∠C,则这个三角形是 .3.直角三角形两锐角的平分线相交所成的角的度数为（）A.45°B.135°C.45°或135°D.都不对4.若△ABC的一个内角是另一个内角的23，也是第三个内角的45，则它的三个内角的度数为（）A.30°，60°，90°B.40°，60°，80°C.48°，52°，80°D.48°，72°，60°5.如图，AD、AE分别为△ABC的高线和角平分线，且∠B=35°，∠C=45°，求∠DAE的度数.【教学说明】让学生自主完成，加深对三角形内角和定理的理解和检验学生运用的情况，第5题教师可以引导，对有困难的学生及时帮助、纠正强化.【答案】1.30°；2.直角三角形；3.C；4.D.5.解：在△ABC中，∠B=35°,∠C=45°,∴∠BAC=180°-(35°+45°)=100°.又∵AE平分∠BAC,∴∠CAE=12∠BAC=12×100°=50°.在△ACD中，∠ADC=90°,∠C=45°,∴∠CAD=90°-45°=45°.∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=50°-45°=5°.四、师生互动，课堂小结你掌握了哪些证明三角形内角和定理的方法？在证明的过程中遇到了哪些困难？请与大家共同交流.【教学说明】帮助学生回顾本节课的证明方法、加深对三角形内角和定理的理解和掌握，便于灵活熟练的运用.1.布置作业：习题7.6中的第1、2、3、4题.2.完成练习册中本课时相应练习.。
北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明7.1为什么要证明(教案)
-以具体的反证法问题为例，引导学生思考假设反设的情况，并从中找到矛盾点，以此说明原命题的正确性。
2.教学难点
-理解并运用综合法中的逻辑推理步骤，对于初学者来说，如何将直观的几何关系转化为严密的逻辑推理是一个难点定定理，包括同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，使学生能够准确判断两条直线是否平行。
-学会运用综合法进行平行线的证明，通过严密的逻辑推理，让学生理解证明的完整过程。
-掌握反证法的基本思想，能够利用反证法对简单的几何问题进行推理分析。
举例解释：
-在讲解平行线判定定理时，通过具体的图形示例，让学生观察并理解定理背后的几何关系。
3.培养学生的空间观念和几何直观，使其能够准确把握图形中的角度关系，为后续几何学习打下坚实基础。
4.培养学生的合作意识和交流能力，通过小组讨论、问题解答等环节，促进学生间的互动交流，提高解决问题的效率。
5.培养学生严谨的科学态度和批判性思维，使其在学习过程中能够主动质疑、思考，形成自己的见解和认识。
-对于角度辨识和计算的难点，可以通过提供具有挑战性的练习题，让学生在小组讨论中共同解决，教师则适时提供指导和反馈，帮助学生克服这一难点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《平行线的证明》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两条直线看起来永远不会相交的情况？”（例如，铁轨、操场跑道等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平行线的奥秘。
-反证法的思维方式对学生来说较为抽象，如何引导学生建立反设并找出矛盾点，是教学中的一个难点。
北师版八年级上册数学第7章 平行线的证明 【教案】平行线的判定
7.3 平行线的判定一、学生知识状况分析学生技能基础：在学习本课之前，学生对平行线的判定已经比较熟悉，也有了初步的逻辑推理能力，对简单的证明步骤有较清楚的认识，这为今天的学习奠定了一个良好的基础．活动经验基础：在以往的几何学习中，学生对动手操作、猜想、说理、讨论等活动形式比较熟悉，本节课主要采取学生分组交流、讨论等学习方式，学生已经具备必要的基础．二、教学任务分析在以前的几何学习中，主要是针对几何概念、运算以及几何的初步证明（说理），在学生的头脑中还没有形成一个比较系统的几何证明体系，本节课安排《为什么它们平行》旨在让学生从简单的几何证明入手，逐步形成一个初步的、比较清晰的证明思路，为此，本课时的教学目标是：1.熟练掌握平行线的判定公理及定理；2.能对平行线的判定进行灵活运用，并把它们应用于几何证明中．通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力，逐步掌握规范的推理论证格式．3.通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分类思想．三、教学过程分析本节课的设计分为四个环节：情景引入——探索平行线判定方法的证明——反馈练习——反思与小结．第一环节：情景引入活动内容：回顾两直线平行的判定方法师：前面我们探索过直线平行的条件．大家来想一想：两条直线在什么情况下互相平行呢？生1：在同一平面内，不相交的两条直线就叫做平行线．生2：两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行．生3：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行．师：很好．这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的．活动目的：回顾平行线的判定方法，为下一步顺利地引出新课埋下伏笔．教学效果：由于平行线的判定方法是学生比较熟悉的知识，教师通过对话的形式，可以使学生很快地回忆起这些知识．第二环节：探索平行线判定方法的证明活动内容：①证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．如图，已知，∠1和∠2是直线a 、b 被直线c 截出的同旁内角，且∠1与∠2互补，求证：a∥b．如何证明这个题呢？我们来分析分析．师生分析：要证明直线a 与b 平行，可以想到应用平行线的判定公理来证明．这时从图中可以知道：∠1与∠3是同位角，所以只需证明∠1=∠3，则a 与b 即平行．因为从图中可知∠2与∠3组成一个平角，即∠2+∠3=180°,所以：∠3=180°－∠2．又因为已知条件中有∠2与∠1互补，即：∠2+∠1=180°,所以∠1=180°－∠2,因此由等量代换可以知道：∠1=∠3．师：好．下面我们来书写推理过程，大家口述，老师来书写．（在书写的同时说明：符号“∵”读作“因为”，“∴”读作“所以”）证明：∵∠1与∠2互补（已知） ∴∠1+∠2=180°（互补定义）∴∠1=180°－∠2（等式的性质）∵∠3+∠2=180°（平角定义）∴∠3=180°－∠2（等式的性质）∴∠1=∠3（等量代换）∴a ∥b （同位角相等，两直线平行）这一定理可简单地写成：同旁内角互补，两直线平行．注意：（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据．用来证明新定理．（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，已经学过的定理．在初123a b c学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的括号内．②证明：内错角相等,两直线平行．师：小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？（见相关动画）生：我认为他的作法对．他的作法可用上图来表示：∠CFE=45°,∠BEF=45°．因为∠BEF与∠FEA组成一个平角，所以∠FEA=180°－∠BEF=180°－45°=135°．而∠CFE与∠FEA是同旁内角．且这两个角的和为180°，因此可知：CD∥AB．ABCD师生分析：已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角，且∠1=∠2．求证：a∥bA BC D EF证明：∵∠1=∠2（已知）∠1+∠3=180°（平角定义）∴∠2+∠3=180°（等量代换）∴∠2与∠3互补（互补的定义）∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理：内错角相等，两直线平行．③借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，你还能证明哪些熟悉的结论呢？生1：已知，如图，直线a⊥c,b⊥c．求证：a∥b．证明：∵a⊥c,b⊥c（已知）∴∠1=90°∠2=90°（垂直的定义）∴∠1=∠2（等量代换）∴b∥a（同位角相等，两直线平行）生2：由此可以得到：“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”的结论．师：同学们讨论得真棒．下面我们通过练习来熟悉掌握直线平行的判定定理．活动目的：通过对学生熟悉的平行线判定的证明，使学生掌握平行线判定公理推导出的另两个判定定理，并逐步掌握规范的推理格式．教学效果：由于学生有了以前学习过的相关知识，对几何证明题的格式有所了解，今天的学习只不过是将原来的零散的知识点以及学生片面的认识进行归纳，学生的认识更提高一步．第三环节：反馈练习活动内容：课本第173页的随堂练习活动目的：巩固本节课所学知识，让教师能对学生的状况进行分析，以便调整前进．教学效果：由于此题只是简单地运用到平行线的判定的三个定理（公理），因此，学生都能很快完成此题．第四环节：学生反思与课堂小结活动内容：①这节课我们主要探讨了平行线的判定定理的证明．同学们来归纳一下完成下表：②由角的大小关系来证两直线平行的方法，再一次体现了“数”与“形”的关系；而应用这些公理、定理时，必须能在图形中准确地识别出有关的角．③注意：证明语言的规范化．推理过程要有依据．活动目的：通过对平行线的判定定理的归纳，使学生的认识有进一步的升华，再一次体会证明格式的严谨，体会到数学的严密性．教学效果：学生充分认识到证明步骤的严密性，对平行线判定的三个定理有了更进一步的认识．课后作业：课本第173页习题7.4第1，2，3题四、教学反思平行线是众多平面图形与空间图形的基本构成要素之一，它主要借助角来研究两条直线之间的位置关系，即通过两条直线与第三条直线相交所成的角来判定两条直线平行与否，在教学中，要紧紧围绕这些角（同位角、内错角、同旁内角）与平行线之间的关系展开。
北师大版初中数学八年级上册《第七章 平行线的证明 3 平行线的判定》 优课教学设计_0
7.3平行线的判定（教学设计）【教材分析】本课是义务教育北师大版数学8年级上册第7章《平行线的证明》第3节。
课程内容是7年级下册已学过的《平行线与相交线》的继续，也是后继学习、探究平移及几何推理等内容的基础，是空间与图形的重要组成部分。
教学中，要引导学生区分哪些结论可以作为证明的依据，哪些结论不可以作为证明的依据，要注重引导学生分析命题的条件和结论，并据此准确画出图形，并用符号语言来描述命题的条件和结论。
由于学生第一次学习命题的证明，教师要借助规范的板书进行示范，让学生初步掌握命题证明的一般步骤、格式。
【学情分析】学生在七年级下册已经认识了平行线，并初步探究了两直线平行的条件，并具备了初步的作图能力，对平行线的理解也比较充分，能较顺利的解决相关简单的实际问题，但对问题的分析还处于简单的说理层面。
同时，在本章的学习中，学生已认识并了解了命题的条件和结论，以及公理、定理等相关概念，已具备学习本节课的知识基础。
但对于命题的证明，不论是问题形式还是解决方法，学生都还非常陌生，更缺乏通过合情推理来判断结论正确与否的能力。
【教学目标】1.通过观摩和亲手操作，让学生学会用平行公理证明“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”，并能简单应用这些结论.2.使学生经历命题证明的一般步骤和书写格式的训练过程，感受推理的严谨性，发展初步的演绎推理能力.【教学重点、难点】1.重点：使经历命题证明的一般步骤，根据命题的条件和结论，将命题的文字语言转化成图形语言和符号语言.2.难点：根据命题的条件和结论，准确画出图形，写出已知和求证.【教学方法】示范讲解与讨论探究相结合.【教学过程】环节1：复习引入教师活动：同学们，在七年级的学习中，我们认识了平行线，并对平行线的条件和特征做了初步的探究。
请问，什么是平行线（定义）？学生活动：举手口答老师的提问。
教师活动：对学生的回答作适当的评价，并继续追问：那么，除了平行线的定义外，我们还有哪些方法判断两条直线平行呢？学生活动：举手发言（并互相补充）。
新北师大版八上数学第七章平行线的证明整章教案
第七章 平行线的证明 第1节 为什么要证明教学目标：经历观察、归纳、验证等活动过程，在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性，发展学生的推理意识。
教学重点：判定一个结论正确与否需进行推理. 教学难点：理解数学推理的重要性. 教学过程：1个课时教学内容一、导入：P1621、比较线段a 、b 的长短2、图中是正方形吗？3、如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？二、做一做：P1621、某学习小组发现，当n=0，1，2，3时，代数式n 2-n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n ， n 2-n+11的值都是质数．你认为呢？与同伴交流． n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … n 2-n+11 11 11 13 17 23 31 41 53 67 83 101 121 是否为质数 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 不是2、三角形中位线P162三、例：把立方体的六个面分别涂上六种不同的颜色，并画上朵数不等的花，各面上 颜色 红 黄 蓝 白 紫 绿 花的朵数 1 2 3 4 5 6方体，如图所示，那么此长方体的下底面有多少朵花？试写出你的结论并说出推理过程.四、议一议：P163要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理.五、练习 六、作业： 1、"当n 是整数时，两个连续整数的平方差22(1)n n +-等于这两个连续整数的和." 这个判断正确吗？试着用你学过的知识说明理由。
第2节 定义与命题教学目标1、了解定义、命题、真命题、假命题、定理的含义，会区分命题的条件和结论，了解判断命题真假的方法，通过实例感受证明的过程与格式。
2、初步感受公理化思想，并了解本套教科书所采用的基本事实。
北师大版八年级上册第七章 平行线的证明复习教案(教案)
第七章平行线的证明复习教案(教案）教学目标知识与技能：综合掌握平行线的判定定理和性质定理、三角形内角和定理及其推论.过程与方法：通过对知识的系统复习和整合,提升运用知识解决相关问题的能力.情感态度与价值观：培养学生养成良好的学习习惯,增强数学学习意识.教学重难点【重点】1.平行线的性质定理和判定定理的运用.2.三角形内角和定理的推论.【难点】三角形内角和定理和其推论的综合运用.知识总结—专题讲座专题一定义与命题一、定义对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定.如“两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义.二、命题判断一件事情的句子叫做命题.反之,如果一个句子没有对一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.每个命题都是由条件和结论两部分组成的.条件是已知事项,结论是由已知事项推断出的事项.命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式,“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.三、真命题、假命题与反例真命题:正确的命题称为真命题.假命题:不正确的命题称为假命题.反例:要说明一个命题是假命题,常常可以举出一个例子,使它具备命题的条件,而不具有命题的结论,这种例子称为反例.四、公理、定理、证明公理:公认的真命题称为公理.定理:经过证明的真命题称为定理.证明:演绎推理的过程称为证明.【专题分析】本专题知识是学习证明问题的开始,对于今后的问题证明具有十分重要的基础地位.重点要领会证明的方法和证明过程的严谨性.将下列命题改成“如果……那么……”的形式,并指出条件和结论.(1)等角的余角相等;(2)一组对边平行且不相等的四边形是梯形.〔解析〕命题的改写要注意下列三点:①改写前后内容要保持一致;②改写后的命题要是一个完整的语句;③改写后的条件和结论要表达清楚,有时要补上原命题省略的部分.解:(1)改为:如果两个角相等,那么它们的余角相等.条件为“两个角相等”.结论为“它们的余角相等”.(2)如果一个四边形是一组对边平行且不相等的四边形,那么该四边形是梯形.条件为“一个四边形是一组对边平行且不相等的四边形”.结论为“该四边形是梯形”.[规律方法] 判断是不是命题,关键是看它能否说明一件事情有何结果.一般的陈述句(包括肯定句和否定句)都为命题,疑问句和感叹句及祈使句都不是命题.找命题的条件和结论,一般先把它化成“如果……那么……”的形式.【针对训练1】下列语句哪些是命题?哪些不是命题?如果是命题,请指出命题的条件和结论,并判断命题的真假.(1)画线段AB=5 cm;(2)你吃饭了吗?(3)相等的角是直角;(4)如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角.〔解析〕严格按照命题的定义判断.解:是命题的有(3)(4),不是命题的有(1)(2).命题(3):条件:两个角相等;结论:这两个角是直角,是假命题.命题(4):条件:两个角不相等;结论:这两个角不是对顶角,是真命题.专题二平行线的判定定理和性质定理的应用一、判定两条直线平行的方法(1)同位角相等,两直线平行.(2)同旁内角互补,两直线平行.(3)内错角相等,两直线平行.(4)平行于同一直线的两直线平行.(5)在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行.二、平行线的性质(1)两直线平行,同位角相等.(2)两直线平行,内错角相等.(3)两直线平行,同旁内角互补.【专题分析】平行线的判定和性质的应用,是研究三角形的角、四边形、多边形相似等知识的重要基础.如图所示,已知AB⊥BC于B,DG⊥AC于D,BE⊥AC于E,∠1=∠2,求证EF⊥AB.证明:∵DG⊥AC,BE⊥AC,∴DG∥BE(平面内,垂直于同一直线的两直线平行),∴∠2=∠EBC(两直线平行,同位角相等).∵∠1=∠2,∴∠EBC=∠1,∴EF∥BC(内错角相等,两直线平行),∴∠EFB+∠CBA=180°(两直线平行,同旁内角互补).∵AB⊥BC,∴∠CBA=90°(垂直的定义),∴∠EFB=90°,∴EF⊥AB(垂直的定义).[规律方法]平行线的性质和判定往往在同一个题目中交替使用,当题目中出现角相等或角之间有互补(互余)关系时,往往要用到判定方法;当题中出现平行时,往往利用性质得到角之间的关系.在今后我们学习多边形时,平行线的性质和判定将起到工具性的作用.【针对训练2】如图,已知AB∥CD,BE,DE分别平分∠ABC和∠ADC,若∠A=45°,∠C=55°,求∠BED的度数.〔解析〕由AB∥CD,可得∠A=∠CDA,∠C=∠ABC,从而求得∠ABE=∠ABC=∠C,∠CDE=∠CDA=∠A,然后过点E作AB的平行线,从而易得∠BED 的度数.解:过点E作E F∥AB.∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EF,∴∠A=∠CDA,∠C=∠ABC,∠BEF=∠ABE,∠DEF=∠CDE.∴∠CDA=∠A=45°,∠ABC=∠C=55°.∵BE,DE分别平分∠ABC和∠ADC,∴∠CDE=∠A=×45°=22.5°,∠ABE=∠C=×55°=27.5°.∵∠BEF=∠ABE,∠DEF=∠CDE,∴∠BED=22.5°+27.5°=50°.专题三三角形内角和定理及有关三角形外角的两个推论1.三角形的内角和等于180°.2.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.3.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.【专题分析】本专题三角形角的相关知识是研究几何问题中角的相关知识的基础,它和平行线的知识一起构成了几何问题的两大基点.如图,已知BC⊥DE于O,∠A=27°,∠D=20°,求∠B与∠ACB.〔解析〕∠B在ΔBEO中,已知另外两个角即可,所以问题转化为求∠BEO,而∠BEO是ΔAED的外角,求∠ACB的方法有两种:一种是看做ΔBAC的内角,另外也可看做ΔDCO的外角.解:∵BC⊥DE(已知),∴∠B+∠BEO=90°.∵∠BEO=∠A+∠D=27°+20°=47°,∴∠B=90°-∠BEO=90°-47°=43°.∵在ΔBAC中,∠A+∠B+∠ACB=180°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180-27°-43°=110°.[易错提示]1.借助三角形求角,一般是把所求的角看成是某一个三角形的内角,图上出现外角时,则要考虑用外角的性质.2.三角形的外角一般为图上条件,在已知条件下并不出现,我们称三角形外角为图上隐含条件,所以在审题时要确认图上已知条件,还要认真审阅图上隐含条件.【针对训练3】如图所示,AB∥CD,AD∥BC,∠B=50°,∠EDA=60°,求∠CDF的度数.〔解析〕本题要充分运用AB∥CD,AD∥BC这两个条件,利用平行线进行转化,转化为三角形的外角.解:因为AD∥BC(已知),所以∠F=∠EDA=60°(两直线平行,同位角相等).因为AB∥CD(已知),所以∠BCD+∠B=180°(两直线平行,同旁内角互补).所以∠BCD=180°-∠B=180°-50°=130°(等式的性质).又因为∠BCD=∠F+∠CDF(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),所以∠CDF=∠BCD-∠F=130°-60°=70°(等式的性质).专题四方程思想【专题分析】本章中,经常遇到利用三角形内角和定理求角度的问题,当题目中有关各角之间的数量关系比较复杂时,可灵活运用方程(组)求解.如图,在ΔABC中,AB=AC,D,E分别在AC,AB边上,且BC=BD,AD=DE=EB,求∠A的度数.〔解析〕根据同一个三角形中等边对等角的性质,设∠ABD=x,结合三角形外角的性质,则可用含x的代数式表示∠A,∠ABC,∠C,再在ΔABC中,运用三角形的内角和为180°,可求∠A的度数.解:∵DE=EB,∴设∠BDE=∠ABD=x,∴∠AED=∠BDE+∠ABD=2x.∵AD=DE,∴∠AED=∠A=2x,∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x.∵BD=BC,∴∠C=∠BDC=3x.∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=3x.在ΔABC中,3x+3x+2x=180°,解得x=22.5°.∴∠A=2x=22.5°×2=45°.[规律方法](1)几何计算题中,依据题设和相关的几何图形的性质列出方程(或方程组)求解的方法叫做方程思想;(2)求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件;(3)三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决.【针对训练4】如图所示,在ΔABC中,P,Q是BC边上的两点,若∠PAB=∠B,∠QAC=∠C,∠BAC=130°,求∠PAQ的度数.〔解析〕由∠PAB=∠B,∠QAC=∠C与三角形内角和定理相结合,可列出关于∠PAQ的方程组,解方程组即可求得∠PAQ的度数.解:∵∠PAB=∠B,∠QAC=∠C,∴设∠PAB=∠B=x,∠QAC=∠C=y,∠PAQ=θ,则得方程组解方程组,得θ=80°,即∠PAQ=80°.[解题策略]本题中列出的方程组由两个方程组成,但未知数却有3个,显然用常规方法不能解得θ.观察方程组的特点,用①×2-②即可求得θ=80°.专题五转化思想【专题分析】在证明角的不等问题时,如果难以找到所证各角之间的关系,那么可设法把问题转化,从而使有关各角之间的关系由隐蔽化为明显,由复杂化为简单,由抽象化为直观.如图所示,CE是ΔABC的外角(∠ACD)平分线,BF是∠ABC的平分线,CE交BF的延长线于点E,请你判断∠ACE与∠ABE的大小关系,并证明.〔解析〕由题意可知∠ACE=∠DCE,∠ABE=∠CBE,则问题转化为判断∠DCE 与∠CBE的大小关系.解:∠ACE>∠ABE.证明如下:∵CE是ΔABC的外角(∠ACD)平分线(已知),∴∠DCE=∠ACE(角平分线的定义).∵∠DCE是ΔEBC的一个外角,∴∠DCE>∠CBE(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).∵BE是∠ABC的平分线(已知),∴∠ABE=∠CBE(角平分线的定义).∴∠ACE>∠ABE(等量代换).[解题策略] 在利用有关三角形外角的定理证明角的不等关系时,如果所要证明的两角没有直接联系,那么可发挥某些角(如本题中的∠DCE与∠CBE)的桥梁作用,从而将问题转化.【针对训练5】如图所示,试求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.〔解析〕求多个角的度数和问题,可以联想到三角形的内角和等于180°和外角的性质,将所求角转化到一个或几个三角形中去,从而求得多个角的和.因为∠A,∠B,∠C,∠D,∠E每个角的度数都不确定,且较分散,所以必须把∠A+∠B+∠C+∠D+∠E看成一个整体求它的度数,故考虑将其转化到一个三角形中去.解:因为∠AGE是ΔCGE的外角,所以∠AGE=∠C+∠E.同理∠AFG=∠B+∠D.因为∠AGE+∠AFG+∠A=180°,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.专题六构造思想【专题分析】在几何证明中,如果仅靠图中的线段难以说明问题时,那么可通过作辅助线构造某个基本图形,从而使问题的条件或结论发生转化.一大门的栏杆如图(1)所示,BA垂直地面AE于A,CD平行于地面AE,则∠ABC+∠BCD=.〔解析〕过点B作BG∥CD,易证得AB⊥BG,如图(2)所示.根据两直线平行,同旁内角互补,得∠BCD+∠CBG=180°.由题意得∠ABG=90°,所以∠ABC+∠BCD=180°+90°=270°.故填270°.【针对训练6】某校的校园平面图如图(1)所示,已知AB=470 m,BC=560 m.则这个校园的周长是多少米?(图中的每一个角都是直角)〔解析〕将GF沿GH方向平移到HP,ED沿EF方向平移到PQ,GH沿GF方向平移到RQ,EF沿ED方向平移到DR,如图(2)所示,则校园的周长就等于长方形ABCQ 的周长.解:将图(1)的部分线段经过平移,使图形变为如图(2)所示的长方形.由平移的特征知GF=HP,ED=PQ,GH=RQ,EF=RD,所以校园的周长为AB+BC+AH+GF+ED+GH+EF+CD=AB+BC+AH+HP+PQ+RQ+RD+CD=AB+BC+AQ+CQ=2(AB+BC)= 2×(470+560)=2060(m).。
最新北师大版八年级数学(上)第七章 平行线的证明教案
第七章平行线的证明§7.1 为什么要证明【教学目标】知识与技能目标：1.经历观察、验证、归纳等过程，让学生初步了解猜测得到的结论不一定正确。
要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理，从而认识证明的必要性。
2. 了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等。
过程和方法目标：体会、检验数学结论常用的方法：实验验证、举反例验证、计算、推理等，发展学生推理能力。
情感与价值目标：通过积极参与，理解数学的严谨性；培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习数学的自信心，让学生体会数学来源于生活又为生活服务的道理。
【教学重点】理解判断一个结论是否正确需要进行证明。
【教学难点】理解数学证明的重要性；验证某些问题的结论正确与否。
【教学方法】问题情境、观察猜想、交流讨论、验证总结【教学过程】一、创设情境，引入新课内容1.课件展示故事《知人不易》谈谈自己的感受.颜回是孔子最得意的门生。
有一次孔子周游列国，困于陈蔡之间七天没饭吃.颜回好不容易找到一点粮米，便赶紧埋锅造饭.米饭将熟之际，孔子闻香抬头，恰好看到颜回用手抓出一把米饭送入口中。
等到颜回请孔子吃饭，孔子假装说：「我刚刚梦到我父亲，想用这干净的白饭来祭拜他。
」颜回赶快说：「不行，不行，这饭不干净，刚刚烧饭时有些烟尘掉入锅中，弃之可惜，我便抓出来吃掉了.」孔子这才知道颜回并非偷吃饭，心中相当感慨，便对弟子们说：「所信者目也，而目犹不可信；所恃者心也，而心犹不足恃.弟子记之，知人固不易！」内容2.我们再来欣赏几组图片(多媒体展示)：上图中的线是直的吗?下图中中心的两个圆哪个大?【师】我们常说，“百闻不如一见”，“耳听为虚，眼见为实”，但“眼见真的全为实”吗？以前，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论。
那么通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?今天这节课我们就通过具体问题来探讨判断数学结论正确性的方法——引入新课，【设计意图】通过故事和精美的图片，使学生在愉快的氛围中激发起学习兴趣，燃起学习热情。
北师大版八年级上册第七章平行线的证明教学设计
北师大版八年级上册第七章平行线的证明教学设计一、教学目标1.了解平行线的概念和性质；2.掌握使用平行线的性质来进行简单的证明；3.培养学生的证明能力和逻辑思维能力。
二、教学重难点1.平行线的概念和性质；2.平行线证明的基本方法。
三、教学内容及安排1. 平行线概念及性质讲解（20分钟）首先，要求学生先通过视觉、触觉等方式加深对平行线的概念的理解，在交流中引导学生自然地说出“两直线在平面内不相交，且在不同直线上任取一点，与这两点连线所成的两角相等，则这两直线平行”的概念。
接下来，教师通过PPT呈现平行线的多条性质，如平行线与被它们分割的两条直线所对应的内角互补、两平行线与一直线所对应的内角相等等。
2. 平行线的证明方法（30分钟）教师先讲解基本的平行线证明方法，如对顶角相等证明法、错切线证明法和夹角平分线证明法等。
通过讲解具体的证明案例，让学生理解证明方法的使用，理解证明过程中的推理和逻辑关系，培养证明的思维方式。
3. 讲解平行线证明中需要掌握的基本定理（20分钟）在讲解证明方法的同时，教师需要讲解平行线证明中需要掌握的基本定理，如等角定理、垂角定理和同旁内角互补定理等。
通过讲解这些定理，帮助学生掌握证明的有效思路和方法。
4. 实例演练（30分钟）在讲解完理论知识后，进行例题演练。
教师出示多个实例，通过让学生自己完成证明，检测学生对平行线证明的掌握程度。
对于有困难的学生，教师可以提供辅助思路或给出提示，引导学生完成证明。
四、教学方法1.讲授法：通过概念、定理和案例讲解来引导学生理解平行线证明的基本思路和方法。
2.演示法：通过展示具体的案例，让学生知道如何应用方法来解决问题。
3.互动问答法：通过与学生积极的互动，让学生表达自己的看法、提出自己的问题和解决方案，激发学生的学习热情。
五、教学资料和工具1.PPT教学展示；2.平行线证明练习题。
六、教学评估1.学生的课堂表现和参与度；2.学生完成的平行线证明案例及答案表现。
北师大版八年级上册数学7.3《平行线的判定》说课稿
北师大版八年级上册数学7.3《平行线的判定》说课稿一. 教材分析北师大版八年级上册数学7.3《平行线的判定》这一节的内容，是在学生已经掌握了直线、射线、线段的基本概念，以及垂线的性质和判定基础上进行讲解的。
本节课的主要内容是让学生掌握平行线的判定方法，通过判定两个直线是否平行，从而进一步理解和掌握平行线的性质。
教材通过大量的生活中的实例，引导学生探究并发现平行线的判定方法，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经具备了一定的数学基础，对直线、射线、线段等基本概念有一定的了解，同时，他们也已经学习了垂线的性质和判定，这些都为本节课的学习打下了基础。
然而，学生对于平行线的判定方法可能还没有直观的认识，因此，在教学过程中，我将会以学生已知的知识为基础，引导学生通过观察、思考、动手等方式，去发现和理解平行线的判定方法。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握平行线的判定方法，能够运用判定方法判断两条直线是否平行。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、动手等方式，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。
四. 说教学重难点教学重点：平行线的判定方法。
教学难点：如何引导学生发现和理解平行线的判定方法。
五. 说教学方法与手段在这一节课中，我将采用讲授法、引导发现法、动手操作法等教学方法。
同时，我还会运用多媒体课件、实物模型等教学手段，帮助学生更好地理解和掌握平行线的判定方法。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些生活中的实例，让学生观察并思考，这些实例中的直线是否平行。
从而引出本节课的主题——平行线的判定。
2.探究：引导学生分组讨论，让他们通过观察、思考、动手操作等方式，去发现和总结平行线的判定方法。
3.讲解：在学生探究的基础上，我对平行线的判定方法进行讲解，让学生理解并掌握判定方法。
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第七章平行线的证明§7.1 为什么要证明【教学目标】知识与技能目标：1.经历观察、验证、归纳等过程，让学生初步了解猜测得到的结论不一定正确。
要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理，从而认识证明的必要性。
2. 了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等。
过程和方法目标：体会、检验数学结论常用的方法：实验验证、举反例验证、计算、推理等，发展学生推理能力。
情感与价值目标：通过积极参与，理解数学的严谨性；培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习数学的自信心，让学生体会数学来源于生活又为生活服务的道理。
【教学重点】理解判断一个结论是否正确需要进行证明。
【教学难点】理解数学证明的重要性；验证某些问题的结论正确与否。
【教学方法】问题情境、观察猜想、交流讨论、验证总结【教学过程】一、创设情境，引入新课内容1.课件展示故事《知人不易》谈谈自己的感受.颜回是孔子最得意的门生。
有一次孔子周游列国，困于陈蔡之间七天没饭吃.颜回好不容易找到一点粮米，便赶紧埋锅造饭.米饭将熟之际，孔子闻香抬头，恰好看到颜回用手抓出一把米饭送入口中。
等到颜回请孔子吃饭，孔子假装说：「我刚刚梦到我父亲，想用这干净的白饭来祭拜他。
」颜回赶快说：「不行，不行，这饭不干净，刚刚烧饭时有些烟尘掉入锅中，弃之可惜，我便抓出来吃掉了.」孔子这才知道颜回并非偷吃饭，心中相当感慨，便对弟子们说：「所信者目也，而目犹不可信；所恃者心也，而心犹不足恃.弟子记之，知人固不易！」内容2.我们再来欣赏几组图片(多媒体展示)：上图中的线是直的吗?下图中中心的两个圆哪个大?【师】我们常说，“百闻不如一见”，“耳听为虚，眼见为实”，但“眼见真的全为实”吗？以前，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论。
那么通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?今天这节课我们就通过具体问题来探讨判断数学结论正确性的方法——引入新课，【设计意图】通过故事和精美的图片，使学生在愉快的氛围中激发起学习兴趣，燃起学习热情。
二、活动探究 课件展示内容：活动一：猜一猜，比一比 1．、观察图1中两条线段a 与b 的长度相等吗？请你先观察，再度量一下．22中四边形是正方形吗？然后设法验证． 3、观察下列图形，回答下列问题：（1）线段a ，b 相等吗? （2）谁与线段d 在一条直线上？通过观察四幅图使我们明白：眼见 （未必、一定）为实，只有实践才能出真知的道理。
【设计意图】通过看一看，让学生明白视觉有可能产生错觉，了解生活中的错觉.然后a b通过测量让他们知道仅仅靠观察得到的数学结论不一定正确，同时也锻炼了学生的语言表达能力。
在活动1的基础上，问：所有的数学结论都可以用实验的方法来验证吗？ 活动二：想一想，量一量如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DE ，DE 与BC 有怎样的位置关系和数量关系？请你猜一猜，再设法检验你的猜想。
你能肯定你的结论对所有的ABC 都成立吗?与同伴进行交流。
位置关系： 数量关系：学生以小组为单位进行讨论交流。
活动2让我们明确：毕竟是测量结果，测量有 ，结论难以令人信服，还需寻求更可信的方法。
【设计意图】通过测量得到问题的结论，多次实验后认为结论的正确性，但毕竟是测量得出的，还得需要证明，让学生体会证明的必要性。
活动三：做一做，推一推质数：就是在所有比1大的整数中，除了1和它本身以外，不再有别的约数，这种整数叫做质数又叫做 数。
如2，3，5，7，11，13，17，19，23……这样的数就是质数。
合数：一个数的约数除了1和它本身，还有其它的约数，叫做合数. 如 4、6、8、9、10、12、14、15、16……这样的数就是合数。
寻找质数：（1）不难发现，当n=0，1，2，3时，代数式n2－n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n ， n2－n+11的值都是质数。
你认为呢？与同伴交流。
（2）你能否得到结论：对于所有自然数n ， n 2－n+11的值都是质数？ 先猜测，后验证判断。
答：猜测结果为 。
验证如下：判断：猜测的结果与验证的结果 一样。
举反例是一种常用验证数学结论不正确的方法。
【设计意图】让学生进一步对归纳所得的结论产生怀疑，且体验举反例是判断错误结论的方法.通过该题的计算，用归纳的方法，仍不能判断数学结论的正确性，同时培养了学生的合作竞争意识。
活动四：试一试，算一算设圆的半径为r ，则圆的周长C= ；若圆的周长为C ，则圆的半径r= 。
一个圆环外圆周长比内圆周长多6πcm ，则环宽为______cm ．如图，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1m 的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与赤道之间的间隙能有多大？能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗?先凭感觉想象一下，再具体算一算，看看与你的感觉是否一致，并与同伴进行交流。
答：猜测结果为 。
验证如下：解：设赤道周长为c ，铁丝与地球赤道之间的间隙为：)________(2)(221m cc ≈=-+πππ= (cm) 答：它们的间隙不仅 ，而且 。
说明：猜测的结果与验证的结果 一样。
进一步明确：要说明一个结论是否正确，光靠观察、猜测是不够的，必须经过有根有据的 才行．学生先自己感觉，然后再分小组讨论交流，发表自己的见解，最后进行计算验证自己的所想。
教师参与到学生中间去，对计算有所迷惑的小组，进行适当的引导。
验证结束后，小组派代表回答.【设计意图】通过这个问题让学生感受凭直觉得到的结论不一定正确，需要通过计算进行推理.感受为什么要证明。
三、归纳明晰 活动一：读一读 课本“费马的失误”【设计意图】通过阅读材料使学生认识到，仅由几个特殊情况归纳出来的结论并不可靠，即使如费马这样的名家，归纳的结论也难免错误。
活动二：议一议【师】实验、观察、归纳、猜测、直觉、经验等方法是人们认识事物的重要手段。
那么通过实验、观察、归纳、猜测、直觉、经验等方法得到的结论都正确吗？通过以上问题，你怎样才能判断一个结论是否正确?说说你的经验与困惑。
学生讨论交流，教师参与其中，然后进行归纳。
【生】实验、观察、归纳、猜测、直觉、经验得到的结论可能正确，也可能不正确。
因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳、猜测、直觉、经验是不够的，必须进行有根有据的证明。
【设计意图】本环节是本节课的重难点，从学生的实际情况出发，让学生理清判断一个数学结论的正确性必须进行有根有据的证明.利用小组合作方式培养学生的合作意识。
【实际效果】学生在自由愉快的环境中学习，在讨论中探索知识，最后得出结论。
四、巩固提高 1.随堂练习2.当n 为正整数时，231n n ++的值一定是质数吗?3.下列判断是否正确?（1）从书架上抽出5本书，5本书都是数学书，因此书架上的书都是数学书. （2）有一条线段AB 长3cm ，另一条线段BC 长2cm ，那么AC 长为5cm. 4.此次数学考试七年级九班全班65名学生没有不及格的。
李妙是七年级九班的一名学生，由此推断李妙考试 (填“及格”或“不及格”)。
（学生先独立完成，然后再交流自己的结果， 教师巡视，了解学生对知识的掌握情况。
）【设计意图】在巩固提高过程中，让学生进一步体会证明的必要性，明白数学来源于生活，又服务于生活，联系生活. 五、课堂小结【师】通过本节课的学习，你有哪些收获？和大家一起分享吧！【生1】我知道了眼睛看见的未必是真实的.【生2】实验得到的结论也不一定是真实的.【生3】归纳得到的结论同样不一定真实.【生4】要判断一个数学结论是否正确，仅仅靠观察、测量、经验或实验是不能确定的，必须是一步一步有根有据的证明。
……学生畅所欲言，相互进行补充，用自己的语言进行归纳【设计意图】引导学生自己小结本节课的的知识点，使学生再次回顾探索的整个过程，体会学习的成果，感受成功的喜悦，在整个过程中，体会证明的必要性.五、布置作业习题7.1§7.2 定义与命题（一）【教学目标】知识与技能：1.了解定义、命题、真命题、假命题的含义。
2.了解命题的结构，会区分命题的条件和结论；会把一个命题写成“如果……那么……”的形式；会判断命题的真假。
3.用比较数学化的观点来审视生活中或数学学习中遇到的语句特征。
过程与方法：1.经历感受定义的含义，体验命题的含义，感悟数学术语的科学性和严密性.2.从具体实例中，探索出定义，并了解定义在现实生活中的重要性，通过对某些语句特征的判断学会严谨的思考习惯。
3.通过举例判定一个命题是假命题，使学生学会反面思考问题的方法。
情感态度价值观：1.通过举反例的方法来判断一个命题是假命题，说明任何事物都是正反两方面的对立统一体。
2.通过从具体例子中提炼数学概念，使学生体会数学与实践的联系。
3.在合作交流的过程中，鼓励学生大胆尝试，获得成功的体验，培养学生合作意识和团队精神。
【教学重点】理解命题的组成：条件和结论；会判断命题的真假。
【教学难点】找出命题的条件和结论【教学方法】引导发现、合作探究【教学过程】第一环节：情景引入（由学生表演）活动内容：小亮和小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.小亮说：……小刚说：“是的，现在因特网广泛运用于我们的生活中，给我们带来了方便，但……”小亮说：“……”小刚说：“……”小亮说：“哈！，这个黑客终于被逮住了.”……坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄议论着：一人说：“这黑客是个小偷吧？”另一人说：“可能是喜欢穿黑衣服的贼。
”……一人说：“那因特网肯定是一张很大的网。
”另一人说：“估计可能是英国造的特殊的网。
”……（表演结束）教师提出问题：在这个小品中，你得到什么启示？人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行。
为此，我们需要给出它们的定义。
——引入新课①关于“黑客”对话的片断来引入生活中交流时必须对某些名称和术语有共同的认识才能进行；②对定义含义的解释；③举例说明生活中和数学学习中所熟知的定义（学生举例，看哪个小组的举例又多又好）。
活动目的：让学生通过对一个学生比较感兴趣的名词：“黑客”、“因特网”的不同理解，从而使学生了解定义的含义，由此产生了对定义的兴趣。
第二环节：了解定义、命题含义活动内容1：定义的含义（师生互动）［师］在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给他们下定义.如：“具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民共和国的公民”是“中华人民共和国公民”的定义。
大家还能举出一些例子吗？［生］“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义。
［生］“在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程”是“一元一次方程”的定义。