北师大版八年级数学上第七章平行线的证明教案

第七章平行线的证明

§7.1 为什么要证明

【教学目标】

知识与技能目标：

1.经历观察、验证、归纳等过程，让学生初步了解猜测得到的结论不一定正确。要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理，从而认识证明的必要性。

2. 了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等。

过程和方法目标：体会、检验数学结论常用的方法：实验验证、举反例验证、计算、推理等，发展学生推理能力。

情感与价值目标：通过积极参与，理解数学的严谨性；培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习数学的自信心，让学生体会数学来源于生活又为生活服务的道理。

【教学重点】理解判断一个结论是否正确需要进行证明。

【教学难点】理解数学证明的重要性；验证某些问题的结论正确与否。

【教学方法】问题情境、观察猜想、交流讨论、验证总结

【教学过程】

一、创设情境，引入新课

内容1.课件展示故事《知人不易》谈谈自己的感受.

颜回是孔子最得意的门生。

有一次孔子周游列国，困于陈蔡之间七天没饭吃.颜回好不容易找到一点粮米，便赶紧埋锅造饭.米饭将熟之际，孔子闻香抬头，恰好看到颜回用手抓出一把米饭送入口中。

等到颜回请孔子吃饭，孔子假装说：「我刚刚梦到我父亲，想用这干净的白饭来祭拜他。」颜回赶快说：「不行，不行，这饭不干净，刚刚烧饭时有些烟尘掉入锅中，弃之可惜，我便抓出来吃掉了.」

孔子这才知道颜回并非偷吃饭，心中相当感慨，便对弟子们说：「所信者目也，而目犹不可信；所恃者心也，而心犹不足恃.弟子记之，知人固不易！」

内容2.我们再来欣赏几组图片(多媒体展示)：

上图中的线是直的吗?

下图中中心的两个圆哪个大?

【师】我们常说，

“

百闻不如一见”，“耳听为虚，眼见为实”，但“眼见真的全为实”吗？

以前，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论。那么通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?

今天这节课我们就通过具体问题来探讨判断数学结论正确性的方法——引入新课，

【设计意图】通过故事和精美的图片，使学生在愉快的氛围中激发起学习兴趣，燃起学习热情。 二、活动探究 课件展示内容：

活动一：猜一猜，比一比 1．、观察图1中两条线段a 与b 的长度相等吗？请你先观察，再度量一下．

22中四边形是正方形吗？然后设法验证． 3、观察下列图形，回答下列问题：

（1）线段a ，b 相等吗? （2）谁与线段d 在一条直线上？

通过观察四幅图使我们明白：眼见 （未必、一定）为实，只有实践才能出真知的道理。

【设计意图】通过看一看，让学生明白视觉有可能产生错觉，了解生活中的错觉.然后

a b

通过测量让他们知道仅仅靠观察得到的数学结论不一定正确，同时也锻炼了学生的语言表达能力。

在活动1的基础上，问：所有的数学结论都可以用实验的方法来验证吗？ 活动二：想一想，量一量

如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DE ，DE 与BC 有怎样的位置关系和数量关系？请你猜一猜，再设法检验你的猜想。你能肯定你的结论对所有的ABC 都成立吗?与同伴进行交流。

位置关系： 数量关系：

学生以小组为单位进行讨论交流。

活动2让我们明确：毕竟是测量结果，测量有 ，结论难以令人信服，还需寻求更可信的方法。

【设计意图】通过测量得到问题的结论，多次实验后认为结论的正确性，但毕竟是测量得出的，还得需要证明，让学生体会证明的必要性。 活动三：做一做，推一推

质数：就是在所有比1大的整数中，除了1和它本身以外，不再有别的约数，这种整数叫做质数又叫做 数。如2，3，5，7，11，13，17，19，23……这样的数就是质数。

合数：一个数的约数除了1和它本身，还有其它的约数，叫做合数. 如 4、6、8、9、10、12、14、15、16……这样的数就是合数。 寻找质数：（1）不难发现，当n=0，1，2，3时，代数式n2－n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n ， n2－n+11的值都是质数。你认为呢？与同伴交流。

（2）你能否得到结论：对于所有自然数n ， n 2－n+11的值都是质数？ 先猜测，后验证判断。

答：猜测结果为 。 验证如下：

判断：猜测的结果与验证的结果 一样。 举反例是一种常用验证数学结论不正确的方法。

【设计意图】让学生进一步对归纳所得的结论产生怀疑，且体验举反例是判断错误结论的方法.通过该题的计算，用归纳的方法，仍不能判断数学结论的正确性，同时培养了学生的合作竞争意识。 活动四：试一试，算一算

设圆的半径为r ，则圆的周长C= ；若圆的周长为C ，则圆的半径r= 。 一个圆环外圆周长比内圆周长多6πcm ，则环宽为______cm ．

如图，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1m 的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与赤道之间的间隙能有多大？能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗?先凭感觉想象一下，再具体算一算，看看与你的感觉是否一致，并与同伴进行交流。

答：猜测结果为 。

验证如下：

解：设赤道周长为c ，铁丝与地球赤道之间的间隙为：

)________(2)(221m c

c ≈=-+π

ππ= (cm) 答：它们的间隙不仅 ，而且 。 说明：猜测的结果与验证的结果 一样。

进一步明确：要说明一个结论是否正确，光靠观察、猜测是不够的，必须经过有根有据的 才行．

学生先自己感觉，然后再分小组讨论交流，发表自己的见解，最后进行计算验证自己的所想。教师参与到学生中间去，对计算有所迷惑的小组，进行适当的引导。验证结束后，小组派代表回答.

【设计意图】通过这个问题让学生感受凭直觉得到的结论不一定正确，需要通过计算进行推理.感受为什么要证明。 三、归纳明晰 活动一：读一读 课本“费马的失误”

【设计意图】通过阅读材料使学生认识到，仅由几个特殊情况归纳出来的结论并不可靠，即使如费马这样的名家，归纳的结论也难免错误。 活动二：议一议

【师】实验、观察、归纳、猜测、直觉、经验等方法是人们认识事物的重要手段。那么通过实验、观察、归纳、猜测、直觉、经验等方法得到的结论都正确吗？通过以上问题，你怎样才能判断一个结论是否正确?说说你的经验与困惑。 学生讨论交流，教师参与其中，然后进行归纳。

【生】实验、观察、归纳、猜测、直觉、经验得到的结论可能正确，也可能不正确。因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳、猜测、直觉、经验是不够的，必须进行有根有据的证明。

【设计意图】本环节是本节课的重难点，从学生的实际情况出发，让学生理清判断一个数学结论的正确性必须进行有根有据的证明.利用小组合作方式培养学生的合作意识。

【实际效果】学生在自由愉快的环境中学习，在讨论中探索知识，最后得出结论。 四、巩固提高 1.随堂练习

2.当n 为正整数时，2

31n n ++的值一定是质数吗?

3.下列判断是否正确?

（1）从书架上抽出5本书，5本书都是数学书，因此书架上的书都是数学书. （2）有一条线段AB 长3cm ，另一条线段BC 长2cm ，那么AC 长为5cm. 4.此次数学考试七年级九班全班65名学生没有不及格的。李妙是七年级九班的一名学生，由此推断李妙考试 (填“及格”或“不及格”)。

（学生先独立完成，然后再交流自己的结果， 教师巡视，了解学生对知识的掌握情况。）

【设计意图】在巩固提高过程中，让学生进一步体会证明的必要性，明白数学来源于生活，又服务于生活，联系生活. 五、课堂小结

【师】通过本节课的学习，你有哪些收获？和大家一起分享吧！