第1节 定积分的元素法

应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压 力；引力和平均值等．
高等数学
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戴本忠
作业
• 无
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戴本忠
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的
一个整体量 ;
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过
“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
表示为
定积分定义
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戴本忠
二 、如何应用定积分解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量 的 微分表达式 近似值
“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
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戴本忠
3）以所求量U 的元素 f ( x )dx 为被积表达式，在区间
[a , b]上作源自文库积分，得 U a f ( x )dx ，
即为所求量 U 的积分表达式.
b
这个方法通常叫做元素法．
微元的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
d U f ( x ) dx
第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的 精确值 积分表达式
U a f ( x ) dx
这种分析方法成为元素法 (或微元分析法) 元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
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b
戴本忠
元素法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 分变量，并确定它的变化区间[a , b]；
x 为积
2）设想把区间[a , b]分成 n 个小区间，取其中任一 小区间并记为 [ x , x dx ]，求出相应于这小区间的部 分量 U 的近似值.如果 U 能近似地表示为 [a , b] 上的一个连续函数在 x 处的值 f ( x ) 与 dx 的乘积， 就把 f ( x )dx 称为量 U 的元素且记作dU ，即 dU f ( x )dx ；
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戴本忠
第一节 定积分的元素法
第六章
一、什么问题可以用定积分解决 ? 二 、如何应用定积分解决问题 ?
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戴本忠
第一节 定积分的元素法
教学目的： 要求准确理解“元素法”的基本思想和 步骤。 注意事项： 所求量在某个确定的区间上具有可加性 时才能用定积分的元素法。
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戴本忠
一、什么问题可以用定积分解决 ?
第六章 定积分的应用
利用元素法解决:
定积分在几何上的应用 定积分在物理上的应用
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戴本忠
主要内容
微元法的思想． 直角坐标、极坐标情形下平面图形的面积 旋转体、平行截面面积为已知的立体的体 积 物理应用，功、水压力和引力
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戴本忠
难点
平面图形面积，弧长等几何应用上微元法 的灵活应用 功、水压力和引力等物理应用上微元法的 灵活应用