圆柱和圆锥体积中的典型题 等积变形
关于六上圆柱等积变形的易错题和好题
圆柱等积变形的易错题和好题1．如图，把纸盒里的牛奶倒入圆柱体容器中正好倒满，这纸盒中的牛奶有多少毫升？2．一个底面内半径和高分别是12cm、20cm的空心圆锥和空心圆柱组合成如图①所示的容器。
若在这个密封容器内注入一些细沙，则不仅能填满圆锥，还能填注部分圆柱，经测量，圆柱部分的沙子高5cm。
若将这个容器如图①倒立，则沙子的高度是多少厘米？3．一个小圆锥体玩具被芳芳一不小心掉进了一个底面积为3平方分米，高4分米的圆柱体量杯中，她发现正好水面上升了1分米。
你能求出这个小圆锥体玩具的体积吗？4．下图中圆柱杯子与圆锥杯子底面积相等，把圆锥杯子装满水倒进圆柱杯子，至少需要倒（）杯才能把圆柱杯子装满。
请在下面用你喜欢的方式描述你的思考过程。
5．如图所示，一个长方体礼盒刚好能容纳6个圆柱形茶叶罐（单位：厘米）（1）一个圆柱形茶叶罐的体积是多少立方厘米？（2）做一个长方体礼盒至少需要多少平方厘米的包装材料？（接口处不计）（3）能容纳这6个茶叶罐的长方体礼盒还可以设计出不同的方案，你所设计的礼盒长是（），宽是（），高是（）。
6．一个底面半径是10厘米的圆柱形玻璃杯，原来水深15厘米，现在把一块长和宽都是8厘米，高是42厘米的长方体铁块垂直放入水中，水没有溢出，求水面上升了多少厘米？7．袁隆平爷爷，世界上第一个成功利用水稻杂交优势的科学家，被誉为“杂交水稻之父”，发展杂交水稻，造福世界人民是袁降平院士毕生的追求。
目前，我国杂交水稻年种植积约2.57亿亩，非杂交水稻年种植面积约1.94亿亩，2020年我国稻谷总产量约为120亿千克，其中杂交水稻产量与非杂交水稻产量的比为13①7，杂交水稻每年增产的稻谷，可为中国多养活8000万人。
（1）2020年杂交水稻产量约多少亿千克？，那么问题为___________________。
（2）根据上面的信息，如果列式为1.94 2.57（3）如下图，已知圆锥形谷堆的底面直径是圆柱形铁桶底面直径的2倍，它们的高一样，把这些稻谷装在铁桶中（铁桶厚度忽略不计），装得下吗？请把你的想法写下来。
等积变形
6
4
x
6
在一个底面直径5厘米、高18厘米的圆柱 形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个 底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃 杯中，能否完全装下？若装不下，那么 瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯 内水面离杯口的距离？
本节课你学会了什么？
列一元一次方程解决有关等积变形问题 形状改变而体积不变 等量关系是 :
2.分析：
圆柱形瓶内装满水，则水的体积为:
5 2 ( ) 18 112 .5 (立方厘米) 2
圆柱形玻璃杯的容积为: 6 2 ( ) 10 90 (立方厘米) 2 因此：水的体积大于杯的容积。 可见：圆柱形玻璃杯装不下，圆柱 形瓶内仍剩余部分的水。
注意到：在变形过程中水的总体积保持不变。 所以可得到相等关系： 玻璃杯里的水的体积 + 圆柱形瓶内剩余 水的体积 = 圆柱形瓶内装满水的体积
解：圆柱形玻璃杯装不下。
设圆柱形瓶内的水面还有x厘米高， 5 2 则剩余水的体积为 ( ) x立方厘米 。 2
根据题意，列方程得
6 2 5 2 5 2 ( ) 10 ( ) x ( ) 18 2 2 2
整理得 90 + 6.25x =112.5 解得 x = 3.6 经检验，符合题意。 答：圆柱形玻璃杯装不下,圆柱形瓶内的 水面还有3.6厘米高。
1、一块长、宽、高分别为4厘米、3 厘米、2厘米的长方体橡皮泥，要用 它来捏一个底面半径为1.5厘米的圆 柱，它的高是多少？（精确到0.1厘 米，π=3.14）
:
变形前的体积=变形后的体积
注
有关圆柱、 圆锥、球等体积变换问题 中,经常给的条件是直径,而公式中的是 半径,不注意这一点就会犯错误。
意
人教版数学六年级下册体积的等积变形
人教版数学六年级下册第三单元《圆柱与圆锥》“等积变形”教学预案永川区望城路小学何开莲教材分析数学六年级下册第三单元《圆柱与圆锥》是整个小学阶段最后一个“几何与图形”的内容。
包括圆柱圆锥的认识、圆柱的表面积、圆柱的体积和圆锥体积。
圆柱、圆锥是人们在生产、生活中经常遇到的几何形体。
教学这一部分内容，有利于发展学生的空间观念，为进一步应用几何知识解决实际问题打下基础。
几何知识一向是小学生学习的难点。
特别是圆柱的表面积、圆柱圆锥体积的应用问题更是让学生忘而却步。
造成这种现象的原因除了计算复杂繁琐外，就是学生对立体图形的空间思维能力差。
不能根据文字叙述想象立体图形的样子，找不到解题的关键。
我的思考本次教研主题是“提高立体图形空间思维能力”。
围绕这个主题，我确定从“等积变形”思想方法来落实。
“等积变形”是小学阶段要渗透落实的重要思想方法之一。
生活中大量存在其身影。
在实际生活中有些物质如金属、橡皮泥、或装在容器里的液体等，可以通过熔铸、锻造、重塑或更换容器等改变原来的形状，在这个变换的过程中物体的形状发生了变化，体积不变，这就是形体的“等积变形”。
围绕“等积变形”，我设计“面积变形”和“体积变形（重点）”两个内容。
“面积变形”是为了使计算简便。
“体积变形”设计为稍复杂的体积变形：不规则物体体积计算（看图计算）和未完全浸没（解决问题）。
利用“化曲为直”、“动画重现”“割补剪拼”、“移花接木”“数形结合”等方式，让学生体会转化思想在数学中的广泛应用，提高学生的立体图形空间观念。
教学目标1.优化圆柱体表面积计算公式，能够解决稍复杂的体积的“等积变形”问题。
2.在不同情境中，找准“形变”与“体积不变”的关系，在变化中找不变的量，抓住解决问题的关键，从而正确解决实际问题。
3.发展空间观念，提高学生立体图形空间思维能力。
体会转化的思想价值。
教学重、难点重点：运用多种方法通过“等积变形”解决实际问题。
难点：在不同题目情境中，找准不变的量，抓住“等积”这一解题关键。
圆柱与圆锥的等积变形(课件)北师大版六年级下册数学
度。
S底=3.14×52=78.5(cm2)
V圆锥=13×3.14×62h×=130 76.8÷78.5
= 37.68×10 =4.8(cm)
=376.8(cm3)
答:圆柱内水面的高度为4.8厘米。
变式1： 在一个底面直径是8厘米，高10厘米的圆柱 形量杯内放入一些水，水面高是8厘米。把 一个小球浸没在量杯里，水满后还溢出 12.56克。求小球的体积。（每立方厘米水 重1克）
分析:放入小球前水的高度是8cm，还没达到量 杯的高度，放入小球后，水满溢出，水不仅升高 了10-8=2（cm）,还有水溢出，
溢出水的体积：12.56÷1=12.56（cm³）
3.14×（8÷2）²×（10-8）+12.56
=100.48+12.56 =113.04（cm³）
答：小球的体积是113.04cm³。
1250 20 100（0 毫升)
5 厘米
20 5
答：瓶内有饮料1000毫升。
20
厘 米
8、把一个正方体木块削成一个最大的圆 锥。正方体木块的棱长是6 dm，被削 去部分的体积是多少立方分米？
63－
1 3
×3.14×(6÷2)2×6＝159.48(dm3)
答：被削去部分的体积是159.48 dm3。
半径:15.7÷3.14÷2=2.5（dm） 体积：3.14×2.5²×2=39.25（dm³） 高：39.25×3÷10=11.775（dm）
答：圆锥的高是11.775 分米。
3、把一个体积是282.6立方厘米的铁块熔
铸成一个底面半径是6厘米的圆锥形机器零
件，求圆锥零件的高。
282.6÷（3.14×62× 1 ）
3-2.4= 0.6（分米）
圆柱与圆锥的等体积变化练习题
圆柱与圆锥的等体积变化练习题一、填空。
1、 一个圆柱和一个圆锥等底等高。
已知圆柱的体积是9立方米，圆锥的体积是（3）立方米。
2、 一个圆锥的体积是1.2立方分米，和它底面直径相等，高也相等的圆柱的体积是（3.6）立方分米。
二、选择。
1、 把一个圆柱形状的木块切削成一个和它等底等高的圆锥形状的木块。
削掉的部分是这个圆柱体积的（B ）A ．31 B. 32 C.3倍 2、一个圆柱和一个圆锥体积相等，底面积也相等。
如果圆柱的高是2.4厘米，那么圆锥的高是（A ）厘米。
A.7.2B.2.4C.0.83、把一个棱长为4厘米的正方体铸件切削成尽可能大的圆柱形状的机器零件。
这个零件的体积是（B）立方厘米。
A.5.024B.50.24C.200.96三、解决问题。
1、一个圆锥形麦堆，底面周长是25.12米，高3米。
把这些小麦装入一个底面直径是4米的圆柱形粮囤内，正好装满。
这个粮囤的高是多少米？(25.12÷3.14÷2)²×3.14×3÷3=50.24（m³）50.24÷（（4÷2）²×3.14）=4（m）答：这个粮囤的高是4m。
2、一个底面直径为20厘米的圆柱形的玻璃杯装有一些水，水中放着一个底面直径为6厘米、高20厘米您的圆锥形铅锤。
当取出铅锤后，杯里的水下降几厘米？（6÷2）²×3.14×20=565.2（cm³）3、把50个底面直径都是30厘米，高20厘米的圆锥形钢坯，熔铸成一根底面直径是60厘米的圆柱形钢材。
求钢材长多少厘米？4、一个圆锥形的沙堆的沙堆，底面积是12.56平方米，高是1.2米。
用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？。
初中数学七年级《等积变形问题》
二、排除法：
排除法根据题设和有关知识，排除明显不正确选项，那么剩下
惟一的选项，自然就是正确的选项，如果不能立即得到正确的选 项，至少可以缩小选择范围，提高解题的准确率。排除法是解选 择题的间接方法，也是选择题的常用方法。
已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同 一坐标系内的大致图象是（ ）
O
x
点拨：画出两函数的草图即可得答案
Y=-x-2
四、特殊值法：
选择题中所研究的量可以在某个范围内任意取值，这时可以 取满足条件的一个或若干特殊值代人进行检验，从而得出正确答 案．有些问题从理论上论证它的正确性比较困难，但是代入一些 满足题意的特殊值，验证它是错误的比较容易，此时，我们就可 以用这种方法来解决问题。
解：圆柱形玻璃杯装不下。
设圆柱形瓶内的水面还有x厘米高， 则剩余水的体积为 (5)2 x立方厘米 。
2
根据题意，列方程得
(6)2 10 (5)2 x (5)2 18
2
2
2
整理得 90 + 6.25x =112.5
解得 x = 3.6
经检验，符合题意。
答：圆柱形玻璃杯装不下,圆柱形瓶内的 水面还有3.6厘米高。
A
128 27
C 12
B 10 D 27
直接变形法
选项变形
练习3 、当a=-1时，代数式(a+1)2+a(a-3) 的值是( )
A -4
B4
C -2
D2
直接代入法
已知代入
练习4、
不等式组
x
2x 3 1 8 2x
的最小整数解是 ( )
A -1 B 0
圆柱与圆锥难题解析
二、切割问题 1、一根长4米,底面直径4厘米的圆柱形钢
材,把它锯成同样长的3段,表面积比原来增加了
多少平方厘米?
五、图形题 3、如图, 你能否求它的体积?( 单位:厘米)
3.14×(2÷2)2×(4+6) ÷2 = 15.7(cm3)
4
2
6
五、图形题 解法二： 4
2
6
3.14×(2÷2)2×4=12.56(cm3) 3.14×(2÷2)2×(6-4)÷2 =3.14(cm3)
12.56+3.14= 15.7(cm3)
五、图形题
2、如下图所示，有一块长方形铁皮，把其中 的阴影部分剪下，正好制成一个圆柱形油桶。求 这块长方形铁皮的面积是多少？
12.56cm
8÷2=4(cm)
3.14×4=12.56(cm)
8cm
12.56+4=16.56(cm)
16.56cm
16.56×8=132.48(cm 2)
V沙= 14V锥
11
4× ×33.14×12 ×0.6 = 0.157(m3)
六、动态几何
1、一个直角梯形，以它的下底为轴旋转一周，
形成一个图形（如图），你能算出这个图形的体积
吗？（单位：厘米解）法一：13×3.14×62×(4-2)
2
=75.36(cm3)
3.14×62×2
6
4 6 2=226.08(cm3)
五、图形题 1、如图，在一个棱长是20厘米的正方体铸铁
中，以相对的两个面为底，挖出一个最大的圆柱
体。求剩下的铸铁的体积是多少立方厘米？
解法一：20×20×20-3.14×（20÷2）2×20
解法二：
20×20 ÷4×（4-3.14）×20 = 17S正20(cm3S)底
圆柱圆锥练习等积变形
8、一个圆锥形沙堆，占地面积为15平方米， 高2米，把这堆沙铺在宽8米的路上，平 均厚度5厘米，能铺路多少米？
2厘米=0.02米
a×0.2= 10×π×0.4 a= 62.8
6、一个长方体钢坯，长50厘米，宽20厘 米，高10厘米，铸造成一个底面直径是 20厘米的圆柱形钢柱，高多少厘米？ （得数保留整数）
7、一个棱长为5分米的正方体油桶装满油， 倒入一个底面积是10平方米的圆柱形油桶 中，正好倒满，这个油桶高多少分米？
解：设圆锥的高为h。 体积不变：圆柱体积 圆锥体 h=6
3、一个圆锥形沙堆底面直径8米，高12分 米，把这些沙子铺在一条长31.4米，宽8米 的道路上，能铺多厚？
解：设能铺h米厚。 体积不变：长方体体积=圆锥体积
10×π×8×h= 16×π×0.4 8÷2=4米 12分米=1.2米 10×π×8×h= 16×π×0.4 5×h= 0.4 h= 0.08
等积变形问题
1、一辆货车箱是一个长方体，它的长是4 米，宽是1.5米，高是4米，装满一车沙， 卸后沙堆成一个高是1.5米的圆锥形，它的 底面积是多少平方米？
沙的体积不变
2、把一个底面积是12.56平方分米，高是 4.5分米的圆柱形钢材熔铸成一个底面直 径是6分米的圆锥，这个圆锥的高是多少 分米？
4、一个圆锥形沙堆，底面积是3.6平方米， 高是3米。将这堆沙装在一个底面积是2.4 的圆柱形沙坑里，能装多高？
解：设能铺h米厚。 体积不变：圆柱体积=圆锥体积
5、一个圆锥形沙堆，底面积是31.4平方米， 高是1.2米。用这堆沙在10米宽的公路上， 铺上2厘米厚的路，能铺多少米长？
解：设能铺a米长。 体积不变：长方体体积=圆锥体积
巧解等积变形题
巧解等积变形题
作者：唐擘
来源：《数学小灵通·5-6年级》2015年第04期
[题目一]如图1所示，一个底面直径是10cm的圆柱形容器装满水，先将一个底面直径是8cm的圆锥形铁块放入容器中，铁块全部浸入水中，再将铁块取出，这时水面的高度下降了3.2cm。
则圆锥形铁块高 cm。
（第十二届小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级第1试第15题）我是这样解的
取出铁块后，圆柱里的水面下降了3.2 cm，说明圆锥形铁块的体积是л（ 10÷2）z×3.2。
已知圆锥形铁块的底面直径是8cm，那么它的底面积就是这时由圆锥的体积计算公式可
[题目二]用底面内半径和高分别是12cm、20cm的空心圆锥和空心圆柱各一个组合成如图2所示竖放的容器。
在这个容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还能填部分圆柱，经测量，圆柱部分的沙子高5cm。
若将这个容器倒置，则沙子的高度是____cm。
（第十一届小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级第1试第9题）我的方法很巧妙
因为空心圆锥和空心圆柱等底等高，所以空心圆锥里沙子的体积是空心圆柱容积的。
由此可知，将圆锥里的沙子倒入圆柱后的高度是20×31=62（cm）。
进而可知，若将这个容器倒置，则沙子的高度是62+5=112（cm）。
“数学漫画”参考答案既爱吃萝卜又爱吃青菜的小兔子有4只。
圆柱和圆锥体积中的典型题-等积变形
例2
一个圆锥的底面半径为4cm，高为 6cm，将其等积变形为一个长方体， 求长方体的体积。
05 等积变形问题的解题技巧
灵活运用公式
1 2
熟练掌握圆柱和圆锥的体积公式
V=πr²h（圆柱）和V=1/3πr²h（圆锥）。
理解等积变形的含义
等积变形是指形状改变，但体积保持不变。
3
正确运用等积Leabharlann 形定理在等积变形中，高度和半径的比值保持不变。
方程求解等。
等积变形问题的发展趋势
随着数学和物理学理论的不断发展，等积变形问题也在不断演变。未来， 这类问题可能会更加复杂和多样化，涉及到更多的几何形状和物理现象。
未来解决等积变形问题的方法可能会更加多样化和创新。例如，可能会 引入更高级的数学工具，如微分几何、线性代数等，来更好地描述和解 决这类问题。
等积变形问题的发展趋势还表现在实际应用中。随着科技的不断进步， 这类问题在工程、机械、建筑等领域的应用越来越广泛。未来，等积变 形问题可能会成为解决实际问题的重要工具之一。
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重要性及应用场景
等积变形问题在数学竞赛、高考数学中频繁出现，是考察学生数学综合素质的重 要题型之一。
等积变形问题不仅有助于培养学生的空间想象能力和几何变换能力，还可以为解 决实际问题提供思路和方法，如建筑设计、机械制造等领域中需要进行形状变换 的问题。
02 等积变形的概念
定义与性质
定义
等积变形是指两个或多个几何形 状的体积相等，但形状可能不同 。
03 圆柱等积变形问题
圆柱等积变形的基本类型
圆柱的底面半径不变， 高发生变化的等积变 形。
圆柱的底面半径和高 同时发生变化的等积 变形。
热点：关于立体图形的等积变形问题-2024年小升初数学(解析版)
热点：关于立体图形的等积变形问题一、填空题。
1在一个长20分米、宽9分米、高7分米的长方体容器内注入3.6分米深的水，然后放入一个棱长为6分米的正方体铁块，则水位上升了()分米。
【答案】0.9【分析】水的水位只有3.6分米，则可以将水看成一个长20分米、宽9分米、高3.6分米的长方体，则水的体积是=长×宽×高。
放入正方体方块虽然水位上升了，但是水的体积没有发生改变。
但是底面积发生可改变。
现在水的高度=水的体积÷底面积。
注意：求的是水位上升的高度。
水位上升的高度=现在水的高度-开始水的高度。
【详解】20×9×3.6=648(立方分米)20×9-6×6=180-36=144(平方分米)648÷144=4.5(分米)4.5-3.6=0.9(分米)则水位上升了0.9米。
2把一个底面是半径4分米、高是6分米的圆柱体铁块，熔铸成一个底面半径是3分米的圆锥体，这个圆锥体的高是()分米，体积是()立方分米。
【答案】32301.44【分析】根据题意可知，把一个圆柱体铁块熔铸成一个圆锥体，铁块的形状变了，但体积不变；先根据圆柱的体积公式V=πr2h，求出这个铁块的体积，也就是圆锥的体积；再根据圆锥的高h=3V÷S，求出这个圆锥体的高。
【详解】铁块的体积：3.14×42×6=3.14×16×6=50.24×6=301.44(立方分米)圆锥的底面积：3.14×32=3.14×9=28.26(平方分米)圆锥的高：301.44×3÷28.26=904.32÷28.26=32(分米)这个圆锥体的高是32分米，体积是301.44立方分米。
3一个密闭的长方体容器，它的长、宽、高分别是10cm、10cm、20cm，容器如图1放置时，容器内水的高度是10cm。
六下形体的等积变形
形体的等积变形
把一个圆锥状油泥块，经过揉搓之后可变成一个圆柱或一个长方体，无论它的形状如何变化，它们的体积大小是恒等不变的，这就是等积变形。
例题：如图所示，一个底面直径为20厘米的装有一部分水的圆柱形容器， 水中放着一个底面直径为12厘米、高为10厘米的圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，容器中水面高度下降了几厘米？
[思路]铅锤取出后，水面就会下降，下降的体积与圆锥状铅锤的体积相同，这样依据等积变形的方法可知水的体积，从而可求得水面高度变化的情况。
[详解]铅锤的体积为 ）立方厘米(8.3761021214.3312
=⨯⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯⨯ 圆柱体的底面积为()平方厘米31422014.32=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯ 所以水面下降的高度为376.8÷314=1.2（厘米）
答：容器中水面高度下降了1.2厘米。
[诀窍]形体的等积变形的解题关键是确定两个体积相等的物体，或两个体积相等的部分，从而从体积相等中推算出另一个物体或部分的底或高。
A 用直径为20厘米的圆钢，锻造成长、宽、高分别为30厘米、20厘米、5厘米的长方体钢板，应截取圆钢多长？（精确到0.1厘米）
B 、把一块长15.7厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体铝锭，和一块底面直径6厘米、高24厘米的圆柱形铝块，熔铸成一个底面半径为8厘米的圆锥形铝块，求这个圆锥形铝块高是多少厘米？。
等积变形
2.分析：
圆柱形瓶内装满水，则水的体积为:
5 2 ( ) 18 112 .5 (立方厘米) 2
圆柱形玻璃杯的容积为: 6 2 ( ) 10 90 (立方厘米) 2 因此：水的体积大于杯的容积。 可见：圆柱形玻璃杯装不下，圆柱 形瓶内仍剩余部分的水。
注意到：在变形过程中水的总体积保持不变。 所以可得到相等关系： 玻璃杯里的水的体积 + 圆柱形瓶内剩余 水的体积 = 圆柱形瓶内装满水的体积
2
6
4
x
6
在一个底面直径5厘米、高18厘米的圆柱 形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个 底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃 杯中，能否完全装下？若装不下，那么 瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯 内水面离杯口的距离？
本节课你学会了什么？
列一元一次方程解决有关等积变形问题 形状改变而体积不变 等量关系是 :
1、一块长、宽、高分别为4厘米、3 厘米、2厘米的长方体橡皮泥，要用 它来捏一个底面半径为1.5厘米的圆 柱，它的高是多少？（精确到0.1厘 米，π=3.14）
:
变形前的体积=变形后的体积
注
有关圆柱、 圆锥、球等体积变换问题 中,经常给的条件是直径,而公式中的是 半径,不注意这一点就会犯错误。
意
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是头脑清醒至极。他壹各人开始东拉西扯地说咯半天别痛别痒の闲话，两各诸人、壹各格格全都老老实实地洗耳恭听，除咯排字琦偶尔有壹搭没壹搭地表各态以外，几乎就是王爷 壹各人负责清唱独角戏。过咯将近有四盏茶の功夫，王爷总算是止住咯他の话匣子，对排字琦说道：“好咯，时辰也别早咯，您早些歇息，爷那就走咯。”说着他就起咯身，红莲 赶快将他の披风拿来，替他系好。王爷都起身告辞咯，水清当然没什么继续留在那里の道理，于是她也赶快起咯身，月影服侍水清，吴嬷嬷伺候悠思。今天已经到咯二月初二，天 气逐渐回暖の季节，三各人都没什么戴雪帽，只是系咯披风，所以没壹会儿三各主子全部穿戴整齐，于是壹并出咯门。排字琦是那院子の主人，自然是要将王爷恭送到院门口。到 咯院门口，排字琦赶快跟王爷道别：“妾身恭送爷，那就麻烦妹妹送壹送爷咯。”“姐姐放心，妹妹记得。”朗吟阁离霞光苑很近，怡然居在王府の最里端，但是那两各院子别在 壹各方向，假设水清要送王爷，完全是先向北将他送到书院，自己再折向南，重新路过霞光苑才能回到怡然居。所以水清の话音刚壹落下，王爷就开口道：“您也别用送爷咯，那 么近の路，两步就到咯。您自己也多加小心，月影，吴嬷嬷，您们精心服侍好您家主子。”壹番话说完，还别待水清表态，他径自壹人掉头就走咯。既然他已经发咯话，水清只能 是恭敬别如从命，于是怀抱着悠思，和月影、吴嬷嬷两各人壹起往自己の院子方向走去。今晚真是壹各好天气，虽然还是初春时节，乍暖还寒，但是今天那各初春の夜晚，没什么 寒风，没什么冷霜，空气中飘荡着迎春花の清香，真是神清气爽。水清再壹抬头，果然，新月如钩，星光灿烂，真是壹各令人享受の迷人时刻！于是水清放慢咯脚步，壹边贪恋地 享受那迷人の初春夜，壹边安抚着失魂落魄の小格格。悠思今天对她の阿玛很别满意。他都没什么向她投来关注の目光，也没什么与她说上壹句贴心の话，阿玛那是怎么咯？怎么 跟上壹次の阿玛完全别壹样咯呢？就在悠思撅着小嘴壹声别吭地生着闷气，就在水清高高兴兴地享受着难得の惬意时光，她们主仆四人走到咯松溪。第壹卷 第640章 松溪松溪其 实别是壹条溪流，而是壹片很小の湖水，因为湖岸种咯壹片很茂密の松林，所以那各松溪指の是松林蜿蜒如溪流，而别是说湖水如溪水。当初刚嫁进王府の时候，水清第壹次听到 那各地方被命名为松溪，她当即就明白咯此溪非彼溪，同时对王爷高超の起名艺术赞别绝口。虽然那各时候，她对他壹丁点儿の好感都没什么，但是就事论事，那各松溪确实让水 清对王爷の学识刮目相看。此时，她们主仆四人壹行遛遛达达地行至松溪，闻着空气中の松针味道，真是令人心旷神怡。就在水清她们享受那难得の惬意时光之际，猛听身后传来 急促の脚步声，月影立即回身，同时将手中の灯笼往前递咯递，企图照得更远壹些，以便能够看清来人，但情急之下仍是禁别住脱口而出：“是谁？”“是爷。”秦顺儿の声音在 回复月影。壹听秦公公说王爷过来咯，主仆四人赶快退立壹旁，行礼请安。来到她们身边の果然是王爷，他将几各人叫起之后，直接从水清の手中接过咯悠思。那各意外の惊喜将 小格格高兴得别知所措起来，除咯甜甜地对他叫咯壹声阿玛之后，伶牙俐齿の悠思竟然也有语塞の时候。看着他の宝贝女儿壹脸惊喜、壹脸娇羞，他の心中真是比吃咯蜜还甜。于 是忍别住在她娇嫩の小脸上结结实实地亲咯壹下。那壹下可是别得咯，受宠若惊の悠思即刻扑倒在他の怀中，两只小手紧紧の搂着他の脖子，半天都别愿松开，生怕壹松开手，她 の阿玛就会飞走咯，再也见别到似の。他何尝别是格外享受那种全新の父女亲情？前面三各格格，有两各是未足满月即殇，而锦茵格格出生の时候，他那各阿玛才十七岁，他自己 还是壹各大男孩，哪里懂得享受父女亲情？当他已是人到中年の时候，悠思格格の到来，立即就将他の父爱潜能充分地激发出来，在他终于
奥数等积变形题目
奥数等积变形题目一、一个长方体水箱，长、宽、高分别为3米、2米、1米。
若将其变形为正方体，且体积保持不变，则正方体的边长为多少米？A. 1米B. 2米C. 3米D. 根号6米（答案）B二、有一个圆柱体，底面半径为2厘米，高为5厘米。
若将其等体积变形为圆锥体，且底面半径保持不变，则圆锥体的高为多少厘米？A. 5厘米B. 10厘米C. 15厘米D. 20厘米（答案）C三、一个正方体纸盒，棱长为4厘米。
若将其等体积变形为长方体，且新长方体的长、宽、高均为整数，则新长方体的可能的长、宽、高组合为？A. 1厘米、2厘米、8厘米B. 2厘米、2厘米、4厘米C. 1厘米、4厘米、4厘米D. 3厘米、3厘米、3厘米（答案）A四、有一个圆锥体，底面半径为3厘米，高为4厘米。
若将其等体积变形为圆柱体，且圆柱体的高为2厘米，则圆柱体的底面半径为多少厘米？A. 3厘米B. 4厘米C. 5厘米D. 6厘米（答案）A五、一个长方体水槽，长、宽、高分别为6分米、4分米、2分米。
若将其等体积变形为正方体水槽，则新水槽的表面积比原水槽的表面积减少了多少平方分米？A. 16平方分米B. 32平方分米C. 48平方分米D. 64平方分米（答案）C六、一个圆柱体，底面半径为1厘米，高为10厘米。
若将其等体积变形为圆锥体，且圆锥体的高保持不变，则圆锥体的底面半径为多少厘米？A. 1厘米B. 根号3厘米C. 2厘米D. 3厘米（答案）B七、有一个正方体，棱长为5厘米。
若将其切割成若干个小正方体，且小正方体的棱长均为整数，这些小正方体的体积之和最大为多少立方厘米？（小正方体可以大小不同）A. 125立方厘米B. 100立方厘米C. 75立方厘米D. 50立方厘米（答案）A八、一个圆锥体，底面半径为4厘米，高为6厘米。
若将其等体积变形为圆柱体，且圆柱体的底面半径为2厘米，则圆柱体的高为多少厘米？A. 6厘米B. 8厘米C. 12厘米D. 24厘米（答案）D。
等积变形法
等积变形法等积变形法是指几何形体的形状发生变化后，变化后的物体和原物体相比较，体积与原来相等。
练习：1、一个圆柱形铁块的底面半径是10厘米，高是5厘米，把它熔铸成一个底面积是157平方厘米的圆锥形铁块，圆锥形铁块的高是多少厘米？2、一个圆锥形的沙堆，底面积是12.56平方米，高是6米。
用这堆沙在10米宽的公路上铺20厘米厚的路面，能铺多少米长？3、一个圆锥形的麦堆，底面半径为2米，高1.5米，如果把这些小麦装入一个圆柱形粮囤里，只占粮囤容积的94。
已知粮囤底面积是9平方米，粮囤的高是多少米？4、将一个底面半径是20厘米，高是27厘米的圆锥形铝材和一个底面半径是30厘米，高是20厘米的圆柱形铝材熔铸成一个底面半径是15厘米的圆柱形铝材，这个圆柱形铝材的高是多少厘米？5、一个圆柱形容器与一个圆锥形容器的底面积都是15平方厘米，用圆锥形容器盛水倒入圆柱形容器中，4次正好装满。
已知圆锥形容器的高是9厘米，圆柱形容器的高是多少？6、把一块长为18.84厘米，宽为8.4厘米，高为6厘米的长方体铝块和一块底面直径为8.4厘米，高为10厘米的圆柱形铝块，熔铸成一个底面半径为4.2厘米的圆锥形铝块，这块圆锥形铝块的高是多少厘米？不规则物体体积的计算方法1、一个圆柱形量杯，底面直径是10厘米，杯中浸没一块不规则的铁块，当铁块取出时，水面下降了4厘米，这块铁块的体积是多少立方厘米？2、在一个圆柱形水桶里，把一段底面是5厘米的圆柱形钢材全部放入水中，水面就上升9厘米。
把圆柱形钢材竖着拉出水面8厘米长后，水面就下降4厘米。
这个圆柱形钢材的体积是多少？3、如下图，a、b是两个棱长为8厘米的正方体盒子。
a盒中放入一个直径为8厘米、高为8厘米的圆柱形铁块，b盒中放入四个直径为4厘米、高为8厘米的圆柱形铁块。
现在把两个盒子注满水，哪个盒子中的水多？。
人教版数学6年级下册 第3单元(圆柱和圆锥)专项训练《等积变形》(含答案)
人教版六年级数学下册第三单元专项训练《等积变形》（含答案）1．把一个圆柱底面平均分成若千个扇形，沿高切开拼成一个近似长方体。
这个长方体的宽是4厘米，高是20厘米，这个圆柱的体积是多少？2．把一个棱长是8分米的正方体铁块熔铸成一个底面直径是10分米的圆柱，这个圆柱的高大约是多少？（得数保留一位小数）3．一个圆柱形水池装满水，它的底面积是12.56平方米，深3米，将水池的水全部倒入一个长8米、宽3米、深2米的长方体水池，长方体的水面高是多少米？4．把一个棱长8分米的正方体木块加工成一个最大的圆柱，圆柱的体积是多少立方分米？5．一个圆柱体，如果把它的高截短2厘米，它的表面积就减少94.2平方厘米，这个圆柱体的体积减少多少立方厘米？6．将一个底面直径是20厘米，高为12厘米的金属圆锥体，全部浸没在直径是20厘米的圆柱形水槽中，水槽水面会升高多少厘米？7．一个圆锥形沙堆，底面积12.56平方米，高1.2米。
用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？8．一个圆锥形沙堆，底面积是24平方米，高是1.8米。
用这堆沙子去填一个长7.5米、宽4米的长方体沙坑，沙坑里沙子的厚度是多少厘米？9．把一个长、宽、高分别是7厘米、3厘米、9厘米的长方体铁块和一个棱长是5厘米的正方体铁块，熔铸成一个底面直径是10厘米的圆柱，这个圆柱的高是多少？10．机灵狗有一块体积是753.6立方厘米的绿色橡皮泥，它用这块橡皮泥捏成了等底等高的一个圆柱体和一个圆锥体。
则这个圆柱体体积是多少立方分米？11．在底面半径为5厘米、高为18厘米的圆柱形玻璃缸中，放入一个底面半径3厘米、高为10厘米的圆锥形铅块，放水将铅块全部淹没。
当铅块取出后，玻璃缸中的水面下降了多少厘米？12．学校的跳远沙池长6.28米，宽2米，学校运来一堆沙子（堆放如图）。
如果把这些沙子均匀地铺在跳远沙池中，可以铺多厚？13．把一个棱长6分米的正方体木块削成一个最大的圆锥，需要削去多少立方分米的木头？14．把一个长是10厘米，宽和高都是5厘米的长方体铁块和一个棱长是4厘米的正方体铁块，一起熔铸成一个底面周长是314厘米的圆柱。
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圆柱和圆锥中的典型题
讲解：数学老师
【例1】把一块高为9cm的圆锥形钢坯浸在一个底面 积为28.26cm2的圆柱形水桶内，水面上升了2cm，这 个圆柱形钢坯的底面积是多少平方厘米？
解：上升的水的体积： 26.26×2=50.24（cm3）
圆锥的底面积： 50.24 ×3÷9=18.84（ cm2）
5
正方体零件熔铸成圆柱形零件
10 10
解：正方体的体积： 10×10×10=1000（cm3）
圆柱的底面积： 3.14×52 =78.5（cm3）
圆柱的高： 1000 ÷78.5 ≈13（cm）
答：圆柱形零件的高是零件有多 高？（单位：cm，结果保留整数）
4
长方体零件熔铸成圆锥形零件
10
20
14
解：长方体的体积： 20×10×4=800（cm3）
圆锥的底面积： 3.14×（14÷2）2 =153.86（cm2）
圆锥的高：
800 ×3 ÷153.86 ≈16（cm）
答：圆锥形零件的高是16厘米。
答：这个圆锥形钢坯的底面积是18.84 平方厘米。
【例2】如图，圆柱形零件有多高？圆锥形零件有多 高？（单位：cm，结果保留整数）
·10
正方体零件熔铸成圆柱形零件
10 10
10 4
长方体零件熔铸成圆锥形零件
10 20
14
10
【例2】如图，圆柱形零件有多高？圆锥形零件有多 高？（单位：cm，结果保留整数）