专题研究一求曲线的轨迹方程习题和答案详解
高考数学难点突破 难点22 轨迹方程的求法
难点22 轨迹方程的求法求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.●难点磁场(★★★★)已知A 、B 为两定点，动点M 到A 与到B 的距离比为常数λ,求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.●案例探究［例1］如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.命题意图：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目.知识依托：利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB 中点的轨迹方程.错解分析：欲求Q 的轨迹方程，应先求R 的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题.技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |. 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.［例2］设点A 和B 为抛物线 y 2=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.(2000年北京、安徽春招)命题意图：本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目. 知识依托：直线与抛物线的位置关系.错解分析：当设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)时，注意对“x 1=x 2”的讨论.技巧与方法：将动点的坐标x 、y 用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x 、y 的关系.解法一：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y )依题意，有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=---=--⋅-=⋅==112121212122112221211144x x y y x x y y x x y y x y x y x y px y px y ①－②得(y 1－y 2)(y 1+y 2)=4p (x 1－x 2) 若x 1≠x 2,则有2121214y y px x y y +=--⑥①³②,得y 12²y 22=16p 2x 1x 2③代入上式有y 1y 2=－16p 2 ⑦ ⑥代入④，得yxy y p -=+214⑧⑥代入⑤，得pyx y y x x y y y y p442111121--=--=+ 所以211214)(44y px y y p y y p --=+ 即4px －y 12=y (y 1+y 2)－y 12－y 1y 2⑦、⑧代入上式，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0)当x 1=x 2时，AB ⊥x 轴，易得M (4p ,0)仍满足方程.故点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.解法二：设M (x ,y )，直线AB 的方程为y =kx +b由OM ⊥AB ，得k =－yx由y 2=4px 及y =kx +b ，消去y ,得k 2x 2+(2kb －4p )x +b 2=0所以x 1x 2=22kb ,消x ,得ky 2－4py +4pb =0① ② ③ ④ ⑤所以y 1y 2=kpb4，由OA ⊥OB ，得y 1y 2=－x 1x 2 所以kpk4=－22k b ,b =－4kp故y =kx +b =k (x －4p ),用k =－yx代入，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0) 故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.［例3］某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？命题意图：本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：圆锥曲线的定义，求两曲线的交点.错解分析：正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键.技巧与方法：研究所给圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程.解：设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ，问题转化为求两等圆P 、Q ,使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切.建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为r ,则 |P A |+|PO |=1+r +1.5－r =2.5∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为3225)41(1622y x ++=1 ① 同理P 也在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为 (x －21)2+34y 2=1 ② 由①、②可解得)1412,149(),1412,149(-Q P ，∴r =73)1412()149(2322=+-故所求圆柱的直径为76cm. ●锦囊妙计求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法.(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.(4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2.(★★★★)设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.14922=+y x B.14922=+x y C.14922=-y xD.14922=-x y 二、填空题3.(★★★★)△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________. 4.(★★★★)高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.三、解答题5.(★★★★)已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.6.(★★★★)双曲线2222by a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.7.(★★★★★)已知双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.(★★★★★)已知椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R .(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值.参考答案难点磁场解：建立坐标系如图所示， 设|AB |=2a ,则A (－a ,0）,B (a ,0). 设M (x ,y ）是轨迹上任意一点.则由题设，得||||MB MA =λ,坐标代入，得2222)()(ya x y a x +-++=λ,化简得(1－λ2)x 2+(1－λ2)y 2+2a (1+λ2)x +(1－λ2)a 2=0(1)当λ=1时，即|M A|=|M B|时，点M 的轨迹方程是x =0，点M 的轨迹是直线(y 轴).(2)当λ≠1时，点M 的轨迹方程是x 2+y 2+221)1(2λ-λ+a x +a 2=0.点M 的轨迹是以(－221)1(λ-λ+a ，0）为圆心，|1|22λ-λa 为半径的圆. 歼灭难点训练一、1.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|, ∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆. 答案：A2.解析：设交点P (x ,y ）,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0) ∵A 1、P 1、P 共线，∴300+=--x yx x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴300-=-+x yx x y y解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得 答案：C二、3.解析：由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a , ∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-. 答案：)4(1316162222ax a y a x >=-4.解析：设P (x ,y ），依题意有2222)5(3)5(5yx yx +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0.答案：4x 2+4y 2－85x +100=0三、5.解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P .由切线的性质知：|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC | =|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0) 6.解：设P (x 0,y 0）(x ≠±a ),Q (x ,y ). ∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 220000000)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2.即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a ).7.解：(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，则Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0), 则A 1P 的方程为：y =)(11m x mx y ++ ①A 2Q 的方程为：y =－)(11m x mx y -- ②①³②得：y 2=－)(2222121m x mx y -- ③又因点P 在双曲线上，故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1.此即为M 的轨迹方程.(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±22n m -,0)，准线方程为x =±222nm m -,离心率e =mn m 22-；(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =nm n 22-.8.解：(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ， ∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0）,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0).|F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0.∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图，∵S △AOB =21|OA |²|OB |²sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为21a 2.此时弦心距|OC |=21|2|kak +.在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC。
高考数学轨迹问题专题练习题讲解
高考数学轨迹问题专题练习题讲解第1讲 轨迹问题一．选择题（共12小题）1．方程|1|x −=所表示的曲线是( ) A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆【解答】解：将方程|1|x − 得22(1)(1)1x y −+−=，其中02x 剟，02y 剟．因此方程|1|x −表示以(1,1)C 为圆心，半径1r =的圆． 故选：A ．2．方程||1x −=( ) A ．两个半圆B ．一个圆C ．半个圆D ．两个圆【解答】解：两边平方整理得：22(||1)2x y y −=−， 化简得22(||1)(1)1x y −+−=，由||10x −…得||1x …，即1x …或1x −…， 当1x …时，方程为22(1)(1)1x y −+−=， 表示圆心为(1,1)且半径为1的圆的右半圆； 当1x −…时，方程为22(1)(1)1x y ++−=， 表示圆心为(1,1)−且半径为1的圆的左半圆综上所述，得方程||1x −= 故选：A ．3．在数学中有这样形状的曲线：22||||x y x y +=+．关于这种曲线，有以下结论： ①曲线C 恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意两点之间的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“花瓣”形状区域的面积大于5． 其中正确的结论有( ) A ．①③B ．②③C ．①②D ．①②③【解答】解：①曲线C 经过的整点有(0,0)，(1,0)，(1,0)−，(0,1)，(0,1)−，(1,1)，(1,1)−，(1,1)−，(1,1)−−，恰有9个点，即①正确；②点(1,1)和(1,1)−−均在曲线C 上，而这两点间的距离为2，即②错误； ③由于图形是对称的，所以只需考虑第一象限内的部分即可．此时有，22x y x y +=+，整理得，22111()()222x y −+−=，是以11(,)22为半径的圆，作出曲线在第一象限的图形如图所示，面积211111122224AOB C S S S ππ∆=+=⨯⨯+⋅⋅=+圆，故曲线C 的面积为14()2524ππ⨯+=+>，即③正确．故选：A ．4．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy 中，把到定点1(,0)F a −，2(,0)F a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双纽线C 、已知点0(P x ，0)y 是双纽线C 上一点，下列说法中正确的有( )①双纽线经过原点O ； ②双纽线C 关于原点O 中心对称；③022a ay −剟；④双纽线C 上满足12||||PF PF =的点P 有两个． A ．①②B ．①②③C ．②③D ．②③④【解答】解；根据双纽线C 2a =， 将0x =，0y =代入，符合方程，所以①正确；用(,)x y −−替换方程中的(,)x y ，原方程不变，所以双纽线C 关于原点O 中心对称，②正确； 根据三角形的等面积法可知，1212011||||sin 2||22PF PF F PF a y ∠=⨯⨯，即012||sin 22a ay F PF =∠…，亦即022a ay −剟，③正确； 若双纽线C 上点P 满足12||||PF PF =，则点P 在y 轴上，即0x =，代入方程， 解得0y =，所以这样的点P 只有一个，④错误． 故选：B ．5．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy 中，把到定点1(,0)F a −，2(,0)F a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双纽线C ．已知点0(P x ，0)y 是双纽线C 上一点，下列说法中正确的有( )①双纽线C 关于原点O 中心对称；②022a a y −剟；③双纽线C 上满足12||||PF PF =的点P 有两个；④||PO ． A ．①②B ．①②④C ．②③④D ．①③【解答】解：根据双纽线C 2a =，用(,)x y −−替换方程中的(,)x y ，原方程不变，所以双纽线C 关于原点O 中心对称，①正确； 根据三角形的等面积法可知，1212011||||sin 2||22PF PF F PF a y ∠=⨯⨯，即012||sin 22a ay F PF =∠…，亦即022a ay −剟，②正确； 若双纽线C 上点P 满足12||||PF PF =，则点P 在y 轴上，即0x =，代入方程， 解得0y =，所以这样的点P 只有一个，③错误；因为121()2PO PF PF =+，所以2221121221||[||2||||cos ||]4PO PF PF PF F PF PF =+∠+由余弦定理可得，2221121224||2||||cos ||a PF PF PF F PF PF =−∠+22222121212||||||cos cos 2PO a PF PF F PF a a F PF a =+∠=+∠…，所以|PO ，④正确．故选：B ．6．如图，设点A 和B 为抛物线22(0)y px p =>上除原点以外的两个动点，已知OA OB ⊥，OM AB ⊥，则点M 的轨迹方程为( )A ．2220x y px +−=（原点除外）B ．2220x y py +−=（原点除外）C ．2220x y px ++=（原点除外）D ．2220x y py ++=（原点除外）【解答】解：设(,)M x y ，直线AB 的方程为y kx b =+， 由OM AB ⊥得x k y=−， 联立22y px =和y kx b =+消去y 得222(22)0k x x kb p b +−+=，所以2122b x x k=，所以22121212122()()()pby y kx b kx b k x x kb x x b k=++=+++=，由OA OB ⊥得12120x x y y +=，所以2220b pbk k +=，所以2b kp =−， 所以(2)y kx b k x p =+=−，把xk y =−代入得2220(0)x y px y +−=≠，故选：A ．7．如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为( )A B ．3 C ．D ．4【解答】解：曲线422x y +=围成的平面区域，关于x ，y 轴对称，设曲线上的点(,)P x y ，可得3||2OP ． 所以曲线422x y +=围成的平面区域的直径为：3． 故选：B ．8．由曲线222||2||x y x y +=+围成的图形面积为( ) A ．24π+B ．28π+C ．44π+D ．48π+【解答】解：根据对称性，曲线222||2||x y x y +=+围成的图形面积等于在第一象限围成面积的4倍， 当0x …且0y …时222||2||x y x y +=+等价为2222x y x y +=+， 即22220x y x y +−−=， 即22(1)(1)2x y −+−=，圆心(1,1)C ，半径R ， 则ACO ∆的面积12112S =⨯⨯=，BCO ∆的面积1S =，在第一象限部分的面积211122S ππ=++⨯=+，则四个象限的面积为44(2)84S ππ=+=+， 故选：D ．9．如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是( )A ．22(||1)(1)0x y x y −−−+=B ．( 22)(1)0x y −+=C ．2(||1)(10x y x −−−+=D ．(2)(10x −+=【解答】解：如图曲线表示折线段的一部分和双曲线，选项A 等价于||10x y −−=或2210x y −+=，表示折线||1y x =−的全部和双曲线，故错误； 选项B 等价于22||1010x y x y −−⎧⎨−+=⎩…，或||10x y −−=，||10x y −−=表示折线||1y x =−的全部，故错误； 选项C 等价于22||1010x y x y −−=⎧⎨−+⎩…或2210x y −+=，22||1010x y x y −−=⎧⎨−+⎩…表示折线||1y x =−在双曲线的外部 （包括有原点）的一部分，2210x y −+=表示双曲线，符合题中图象，故正确； 选项D 等价于22||1010x y x y −−=⎧⎨−+⎩…或22||1010x y x y −−⎧⎨−+=⎩…， 22||1010x y x y −−=⎧⎨−+⎩…表示表示折线||1y x =−在双曲线的外部（包括有原点）的一部分，22||1010x y x y −−⎧⎨−+=⎩…表示双曲线在x 轴下方的一部分，故错误． 故选：C ．10．已知点集22{(,)|1}M x y y xy =−…，则平面直角坐标系中区域M 的面积是( ) A ．1B ．34π+C ．πD ．22π+【解答】解：当0xy …时，只需要满足21x …，21y …即可；当0xy >时，对不等式两边平方整理得到221x y +…，所以区域M 如下图．易知其面积为22π+．故选：D ．11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为22322()x y x y +=．给出下列四个结论： ①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴 围成的矩形面积最大值为18；④四叶草面积小于4π． 其中，所有正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②④【解答】解：四叶草曲线方程为22322()x y x y +=，将x 换为x −，y 不变，可得方程不变，则曲线关于y 轴对称；将y 换为y −，x 不变，可得方程不变，则曲线关于x 轴对称；将x 换为y ，y 换为x ，可得方程不变，则曲线关于直线y x =对称；将x 换为y −，y 换为x −，可得方程不变，则曲线关于直线y x =−对称； 曲线C 有四条对称轴，故①正确；由y x =与22322()x y x y +=联立，可得y x ==或y x ==C 上的点到原点的最大距离为12=，故②错误； 设曲线C 第一象限上任意一点为(,)x y ，(0,0)x y >>，可得围成的矩形面积为xy ，由222x y xy +…， 则223223()8()x y x y xy +=…，即18xy …，当且仅当x y =取得最大值，故③正确； 易得四叶草曲线在以原点为圆心，12为半径的圆内，故四叶草面积小于4π，则④正确． 故选：C ．12．曲线C 为：到两定点(2,0)M −、(2,0)N 距离乘积为常数16的动点P 的轨迹．以下结论正确的个数为( )（1）曲线C 一定经过原点； （2）曲线C 关于x 轴、y 轴对称； （3）MPN ∆的面积不大于8；（4）曲线C 在一个面积为64的矩形范围内． A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：设(,)P x y 22(2)16x −+，对于（1），原点(0,0)代入方程，得2216⨯≠，即方程不成立， 则曲线C 一定经过原点，命题错误；对于（2），以x −代替x ，y −代替y 22(2)16x −−成立，16也成立，即曲线C 关于x 、y 轴对称，命题正确；对于（3），0x =，y =±MPN ∆的最大面积为1482⨯⨯=，命题正确；对于（4），令0y =，可得x =±，根据距离乘积为16可以得出x 的取值只可能在−到同理y 的取值只可能在−所以曲线C 在一个面积为= 综上，正确的命题有（2）（3），共2个． 故选：B ．二．多选题（共2小题）13．数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的∞符号，我们把形状类似∞的曲线称为“∞曲线”．经研究发现，在平面直角坐标系xOy 中，到定点(,0)A a −，(,0)B a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹C 是“∞曲线”．若点0(P x ，0)y 是轨迹C 上一点，则下列说法中正确的有( ) A ．曲线C 关于原点O 中心对称 B ．0x 的取值范围是[a −，]aC ．曲线C 上有且仅有一个点P 满足||||PA PB =D ．22PO a −的最大值为22a【解答】解：在平面直角坐标系xOy 中，到定点(,0)A a −，(,0)B a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹C 是“∞曲线”． 故点(P x ，0)y 满足2a ，点(M x −，0)y −代入2a ，得2a ，故A 正确；对于B ：设x 轴上0x 范围的最大值为m x ，所以2()()m m x a x a a −+=，解得m x =，故0x 的范围为[]．故B 错误； 对于C ：若PA PB =，则点P 在AB 的垂直平分线上，即0P x =，设点(0,)P P y ，所以22a =，所以0P y =，即仅原点满足，故C 正确；对于2D a =， 化简得2222222()220x y a x a y +−+=，根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，得到222cos 2a ρθ=， 所以2PO 的最大值为22a ，22PO a −的最大值为2a ，故D 错误．故选：AC ．14．在平面直角坐标系xOy 中，(,)P x y 为曲线22:422||4||C x y x y +=++上一点，则( ) A ．曲线C 关于原点对称B ．[1x ∈−C ．曲线C 围成的区域面积小于18D ．P 到点1(0,)2【解答】解：当0x >，0y >时，曲线C 的方程为22422||4||x y x y +=++， 去掉绝对值化简可得22(1)1()142x y −+−=，将2214x y +=的中心平移到1(1,)2位于第一象限的部分， 因为点(,)x y −，(,)x y −，(,)x y −−都在曲线C 上， 所以曲线C 的图象关于x 轴、y 轴和坐标原点对称， 作出图象如图所示，由图可知曲线C关于原点对称，故选项A正确；令2214xy+=中的0y=，解得2x=，向右平移一个单位可得到横坐标为3，根据对称性可知33x−剟，故选项B错误；令2214xy+=中的0x=，解得1y=，向上平移12个单位可得纵坐标的最大值为32，曲线C第一象限的部分被包围在矩形内，矩形面积为39322⨯=，所以曲线C围成的区域面积小于94182⨯=，故选项C正确；令22(1)1()142xy−+−=中的0x=，可得12 y=所以到点1(0,)2，故选项D正确．故选：ACD．三．填空题（共6小题）15．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y xy+=+就是其中之一（如图），给出下列三个结论：①曲线C恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C③曲线C所围成的“花形”区域的面积小于4．其中，所有正确结论的序号是②．【解答】解：①令0x =，方程化为：21y =，解得1y =±，可得点(0,1)±；令0y =，方程化为：21x =，解得1x =±，可得点(1,0)±；令x y =±，方程化为：21x =，解得1x =±，可得点(1,1)±±．由此可得：曲线C 恰好经过8个整点，因此不正确． ②221||2||xy x y xy +=+…，方程化为：||1xy …，∴曲线C 上任意一点到原点的距离d ==，即曲线C③由四个点(1,1)±±作为正方形的顶点，可得正方形的面积为4，曲线C 所围成的“花形”区域的面积大于4．其中，所有正确结论的序号是②． 故答案为：②．16．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图），给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 ①② ．【解答】解：根据题意，曲线22:1||C x y x y +=+，用(,)x y −替换曲线方程中的(,)x y ，方程不变，所以曲线C 关于y 轴对称，对于①，当0x …时，221||x y x y +=+，即为，2222112x y x y xy ++=++…，可得222x y +…， 所以曲线经过点(0,1)，(0,1)−，(1,0)，(1,1)，再根据对称性可知，曲线还经过点(1,0)−，(1,1)−，故曲线恰好经过6个整点，①正确；对于②，由上可知，当0x …时，222x y +…，即曲线C再根据对称性可知，曲线C ②正确；对于③，因为在x 轴上方，图形面积大于四点(1,0)−，(1,0)，(1,1)，(1,1)−围成的矩形面积122⨯=， 在x 轴下方，图形面积大于三点(1,0)−，(1,0)，(0,1)−围成的等腰直角三角形的面积12112⨯⨯=，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3，③错误． 故答案为：①②．17．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322:()16C x y x y +=恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论： ①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2； ③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程22322()16(0)x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限． 其中正确结论的序号是 ②④ ．【解答】解：22223222()16()2x y x y x y ++=…，224x y ∴+…（当且仅当222x y ==时取等号）， 则②正确；将224x y +=和22322()16x y x y +=联立， 解得222x y ==，即圆224x y +=与曲线C相切于点，(，(，， 则①和③都错误；由0xy <，得方程22322()16x y x y +=表示的曲线C 在第二象限和第四象限，故④正确． 故答案为：②④．18．曲线C 是平面内到定点(1,0)A 的距离与到定直线1x =−的距离之和为3的动点P 的轨迹．则曲线C 与y 轴交点的坐标是(0, ；又已知点(B a ，1)(a 为常数），那么||||PB PA +的最小值d （a ）= ． 【解答】解：（1）设动点(,)P x y|1|3x +=， ①当4x <−时，|1|3x +>，无轨迹；②当41x −−剟4x +，化为231015(1)2y x x =+−−厖，与y 轴无交点；③当1x >−2x −，化为223y x =−+，3(1)2x −<…． 令0x =，解得y =综上①②③可知：曲线C 与y轴的交点为(0,； （2）由（1）可知：231015,(1)2323,(1)2x x y x x ⎧+−−⎪⎪=⎨⎪−+−<⎪⎩剟…．如图所示，令1y =，则10151x +=，或231x −+=， 解得 1.4x =−或1．①当 1.4a −…或1a …时，||||||PA PB AB +…，d ∴（a）||AB ==； ②当11a −<<时，当直线1y =与2323(1)2y x x =−+−<…相交时的交点P 满足||||PA PB +取得最小值， 此抛物线的准线为2x =，∴直线1y =与准线的交点(2,1)Q ，此时d （a ）||2QB a ==−；③当 1.41a −<−…时，当直线1y =与231015(1)2y x x =+−−剟相交时的交点P 满足|||PA PB +取得最小值，此抛物线的准线为4x =−，∴直线1y =与准线的交点(4,1)Q −，此时d （a ）||4QB a ==+．综上可知：d （a） 1.414, 1.412,1 1.a a a a a a −=+−<−⎨⎪−−<<⎪⎩或剠…19．已知点(A B ，动点P 满足APB θ∠=且2||||cos 12PA PB θ=，则点P 的轨迹方程为2213x y += ． 【解答】解：由2||||cos 12PA PB θ=，(0,)θπ∈，则1cos ||||12PA PB θ+=，||AB = 所以|||||||||cos 2PA PB PA PB θ+=，而在三角形ABP 中22222||||||||||8cos 2||||2||||PA PB AB PA PB PA PB PA PB θ+−+−==，所以可得22||||||||62PA PB PA PB ++=，而222||||(||||)2||||PA PB PA PB PA PB +=+−，所以可得2(||||)12PA PB +=，所以||||PA PB +=||AB ，所以可得P的轨迹为椭圆，且长轴长2a =2c =x 轴上，中心在原点的椭圆，即a =c =2221b a c =−=，所以P 的轨迹方程为：2213x y +=，故答案为：2213x y +=．20．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO BO ⊥（如图所示）．则AOB ∆得重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程为2233y x =+；【解答】解：显然直线AB 的斜率存在，记为k ，AB 的方程记为：y kx b =+，(0)b ≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，将直线方程代入2y x =得：20x kx b −−=，则有：△240k b =+>①，12x x k +=②，12x x b =−③，又211y x =，222y x =212y y b ∴=；AO BO ⊥，12120x x y y ∴+=，得：20b b −+=且0b ≠，1b ∴=，代入①验证，满足；故21212()22y y k x x k +=++=+； 设AOB ∆的重心为(,)G x y ，则1233x x k x +==④，212233y y k y ++==⑤， 由④⑤两式消去参数k 得：G 的轨迹方程为2233y x =+． 故答案为：2233y x =+． 四．解答题（共5小题）21．如图，直线1l 和2l 相交于点M ，12l l ⊥，点1N l ∈．以A ，B 为端点的曲线段C 上的任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等．若AMN ∆为锐角三角形，||AM =||3AN =，且||6BN =．建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程．【解答】解：法一：如图建立坐标系，以1l 为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以2l 为准线的抛物线的一段，其中A ，B 分别为C 的端点． 设曲线段C 的方程为22(0)y px p =>，(A B x x x 剟，0)y >， 其中A x ，B x 分别为A ，B 的横坐标，||p MN =． 所以(2p M −，0)，(2pN ，0)．由||AM =||3AN =得 2()2172A A p x px ++=，① 2()292A A p x px −+=．② 由①，②两式联立解得4A x p =．再将其代入①式并由0p >解得421 2.A Ap p x x ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 因为AMN ∆是锐角三角形，所以2A px >，故舍去22Ap x =⎧⎨=⎩ 所以4p =，1A x =．由点B 在曲线段C 上，得||42B px BN =−=． 综上得曲线段C 的方程为 28(14,0)y x x y =>剟．解法二：如图建立坐标系，分别以1l 、2l 为x 、y 轴，M 为坐标原点．作1AE l ⊥，2AD l ⊥，2BF l ⊥，垂足分别为E 、D 、F ． 设(A A x ，)A y 、(B B x ，)B y 、(N N x ，0)． 依题意有||||||3A x ME DA AN ====，||A y DM =，由于AMN ∆为锐角三角形，故有 ||||N x ME EN =+||4ME = ||||6B x BF BN ===．设点(,)P x y 是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合 {(x ，222)|()N y x x y x −+=，A B x x x 剟，0}y >．故曲线段C 的方程为28(2)(36y x x =−剟，0)y >．22．已知双曲线2212x y −=的左、右顶点分别为1A 、2A ，点1(P x ，1)y ，1(Q x ，1)y −是双曲线上不同的两个动点．求直线1A P 与2A Q 交点的轨迹E 的方程．【解答】解：由题设知1||x 1(A 0)，2A 0)， 直线1A P 的斜率为1k =，∴直线1A P 的方程为y x =，⋯①同理可得直线2A Q 的方程为y x ．⋯②将①②两式相乘，得222121(2)2y y x x =−−．⋯③点1(P x ，1)y 在双曲线2212x y −=上，∴221112x y −=，可得22211111(2)22x y x =−=−，⋯④ 将④代入③，得21222211(2)12(2)122x y x x x −=−=−−，整理得2212x y +=，即为轨迹E 的方程． 点P 、Q 不重合，且它们不与1A 、2A 重合，x ∴≠，轨迹E的方程为221(2x y x +=≠23．设圆C与两圆22(4x y ++=，22(4x y +=中的一个内切，另一个外切，求圆心C 的轨迹L 的方程．【解答】解：（1）两圆的半径都为2，两圆心为1(F 0)、2F 0)， 由题意得：12||2||2CF CF +=−或21||2||2CF CF +=−，2112||||||42||2CF CF a F F c ∴−==<=，可知圆心C 的轨迹是以原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴为4，焦距为 因此2a =，c =2221b c a =−=， 所以轨迹L 的方程为2214x y −=．24．已知椭圆221(0)259x y a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，Q 是椭圆外的动点，满足1||10FQ =．点P 是线段1F Q 与该椭圆的交点，点T 在线段2F Q 上，并且满足20PT TF =，2||0TF =． （Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明14||55F P x =+； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△12F MF 的面积9S =，求12F MF ∠的正切值；若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：设点P 的坐标为(,)x y ． 记1122||,||F P r F P r ==，则12r r = 由22121211410,16,55r r r r x F P r x +=−===+得；（Ⅱ）解：设点T 的坐标为(,)x y ．当||0PT =时，点(5,0)和点(5,0)−在轨迹上． 当200PT TF ≠≠且时，由20PT TF =，得2PT TF ⊥． 又2||||PQ PF =，所以T 为线段2F Q 的中点． 在△12QF F 中，11||||52OT FQ ==，所以有2225x y +=． 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是2225x y +=；（Ⅲ）结论：在点T 的轨迹C 上，存在点M 使△12F MF 的面积9S =，此时12F MF ∠的正切值为2． 理由如下：C 上存在点0(M x ，0)y 使9S =的充要条件是22000254||9x y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，显然09||54y =<，∴存在点M ，使9S =； 不妨取094y =，则10(4MF x =−−，9)4−，20(4MF x=−，9)4−， 121212||||cos MF MF MF MF F MF =∠0(4x =−−，09)(44x −−，9)4−220916()4x =−+21 / 21 2209()164x =+− 25169=−=， 又12121||||sin 92S MF MF F MF =∠=， 121212121||||cos ||||sin 2MF MF F MF MF MF F MF ∴∠=∠， 12tan 2F MF ∴∠=．。
轨迹方程的求法及典型例题(含答案)
轨迹方程的求法一、知识复习轨迹方程的求法常见的有（1）直接法；（2）定义法；（3）待定系数法（4）参数法（5）交轨法；（6）相关点法注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点.一、知识复习例1：点P（－3，0）是圆x2+y2－6x－55=0内的定点，动圆M与已知圆相切，且过点P，求圆心M的轨迹方程。
例2、如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2) 又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.例3、如图, 直线L 1和L 2相交于点M, L 1L 2, 点N L 1. 以A, B 为端点的曲线段C 上的任一点到L 2的距离与到点N 的距离相等. 若AMN 为锐角三角形, |AM|= 17 , |AN| = 3,且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C 的方程.解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点。
依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A ，B 分别为C 的端点。
高考动点轨迹方程的常用求法(含练习题及答案)资料
高考动点轨迹方程的用求法〔含练习题及答案〕轨迹方程的经典求法一、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程.例2:在4ABC 中,BC 24, AC, AB 上的两条中线长度之和为 39,求4ABC 的重心的轨迹方 程.：P 点轨迹为抛物线.应选D.、代入法：此方法适用于动点随曲线上点的变化而变化的轨迹问题 例3:△ ABC 的顶点B( 3,0) C(1,0),顶点A 在抛物线y轨迹方程.3 1 X O,一 、一 一 x一； 一,x 3x 2,①解：设G(x, y) , A(x 0, y o ),由重心公式,得3:,y 弛,V .3y.②3又「 A(x .,y .)在抛物线y x 2上,「. y .x 2 .③将①,②代入③,得3y (3x 2)2(y .),即所求曲线方程是y 3x 2 4x -(y 0).3解：以线段BC 所在直线为x 轴,线段BC 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系,如图1, M 为重2 心,那么有 BM CM — 3926 . 3「.M 点的轨迹是以B, C 为焦点的椭圆, 其中 c 12, a 13 . b ,a 2 c 2 5.2:所求^ABC 的重心的轨迹方程为 — 169 2y—i(y 0) . 25、直接法：直接根据等量关系式建立方程.例 1 :点 A( 2,0) B(3,0),动点 P(x,y)满足P A PBx 2 ,那么点P 的轨迹是(A.圆B.椭圆C,双曲线D.抛物线解析：由题知PA ( 2 x y) , PB(3x, y),由 PA PB x 2 ,得(2 x)(3x) y 2x 2,即x 2上运动,求 4ABC 的重心G 的6四、待定系数法：当曲线的形状时,一般可用待定系数法解决(1)求E 点轨迹方程;(2)过A 作直线交以A, B 为焦点的椭圆于M, N 两点,线段MN 的中点到y 轴的距离为公,5且直线MN 与E 点的轨迹相切,求椭圆方程.解：(1)设 E(x, y),由 AE -(AB AD)知 E 为 BD 中点,易知 D(2x 2,2y). 2又 AD 2 ,那么(2x 2 2)2 (2 y)2 4.即 E 点轨迹方程为 x 2 y 2 1(y 0); (2)设 M(x, y i ), N(x 2, v2 ,中点(x 0, y (o ). 22由题意设椭圆方程为xr1 ,直线MN 方程为y k(x 2).a a 4••・直线MN 与E 点的轨迹相切,,/k L 1,解得k 眄.k 1 3将yX3(x 2)代入椭圆方程并整理,得4(a 2 3)x 2 4a 2x 16a 2 3a 4 0, 3 2x 〔 x 2a一 x o ------------------- -2——,2 2(a 3)222又由题意知x o4,即 T-解得a 2 8.故所求的椭圆方程为 上 £ 1.5 2(a 3) 58 4五、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系,可考虑借助中间变量(参数),把例4:线段AA 2a ,直线l 垂直平分AA 于O ,在l 上取两点P, P ,使其满足解：如图2,以线段AA 所在直线为x 轴,以线段AA 的中垂线为y 轴建 立直角坐标系. 设点 P(0, t)(t 0), 那么由题意,得P 0彳.由点斜式得直线AP, A P 的方程分别为y -(x a), y —(x a).ata例5:A, B, D 三点不在一条直线上,且A( 2,0) , B(2,0) , A D 2, A E ^(A B A D).4,求直线AP 与AP 的交点M 的轨迹方程.两式相乘,消去t,得4x 2 a 2y 2 4a 2(y 0).这就是所求点M 的轨迹方程.评析：参数法求轨迹方程,关键有两点：一是选参,容易表示出动点；二是消参,消参的途 径灵活多变.配套练习、选择题1.椭圆的焦点是 F i 、F 2, P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F i P 到Q,使得|PQ|二|PF 2|,那么动点 Q的轨迹是()二、填空题迹方程为4.高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上,且相距 10 m ,如果把两旗杆底部的坐标分别确定为 A(- 5,0)、B(5, 0),那么地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是三、解做题5.A 、B 、C 是直线l 上的三点,且|AB|=|BC|=6,.0'切直线l 于点A,又过B 、C 作.O'异于l 的 两切线,设这两切线交于点P,求点P 的轨迹方程.A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2一 .一 X 2.设A 1、A 2是椭圆一 92匕=1 的长轴两个端点,P i 、P 2是垂直于 A 1A 2的弦的端点,那么直线A i P i 与A 2P 2交点的轨迹方程为22A.L 工9 42 B.—92 C.—92D.—93. △ ABC 中,A 为动点,B 、B(-2a 1,0),C (2,0),且满足条件 sinC —sinB=^sinA,那么动点 A 的轨的交点为Q,求Q点的轨迹方程.. ..x2=1的实轴为A1A2,点P是双曲线上的一个动点,弓I A i QXA l P, A2QLA2P, A1Q与A2Q6.双曲线—ab22 2.「一 x y8.椭圆 - q=1(a>b>0),点P为其上一点,F i、F2为椭圆的焦点,/ F1PF2的外角平分线为1,点a bF2关于1的对称点为Q, F2Q交1于点R(1)当P点在椭圆上运动时,求R形成的轨迹方程；(2)设点R形成的曲线为C,直线1: y=k(x+J2a)与曲线C相交于A、B两点,当^ AOB的面积取得最大值时,求k的值.参考答案配套练习一、1.解析：|PF i|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,,|PF i|+|PF2|=|PF i|+|PQ|=2a,即|F i Q|=2a,.••动点Q到定点F i的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆答案：A2.解析:设交点P(x,y) ,A i(—3,0),A2(3,0),P i(X0,y o),P2(X0, —y o)A i、P i、P 共线,-一应—y—A2、P2、P 共线,x x0 x 3y Vo yx x0x 3解得x o=9,y o 型,代入得冬- 久-i,即止亡 i x x 9 49 4仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢6答案：C二、3.解析：由 sinC —sinB=』sinA,得 c — b=- a, 2 2・•・应为双曲线一支,且实轴长为 a ,故方程为285x+100=0.答案：4x 2+4y 2—85x+1..=.三、5.解：设过 B 、C 异于l 的两切线分别切..’于D 、E |BA|=|BD|, |PD|=|PE|, |CA|=|CE|,故 |PB|+|PC|=|BD |+|PD|+FC|=|BA|+|PE|+FC| 二|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+I2=I8>6=|BC|,故由椭圆定义知,点P 的轨迹是以 B 、C 为两焦点的椭圆,以 l所在的直线为x 轴,以BC 的中点为原点,建立坐标系,可求得动点P 的轨迹方程为 6.解:设 P(x o ,y o) (xw ± a),Q(x,y).「A i (—a,0),A 2(a,0).22 b 2x .2—aVJa 为2,即 b 2(-x 2)-a 2(---)2=a 2b 2yQ 点坐标为(x i , —y i ),又有 A i ( — m,0),A 2(m,0),22 2 答案:竽崇i(xJ)4.解析：设 P(x,y),依题意有 5 ,(x 5)2 y 2(x 5)2=,化简彳导P 点轨迹方程为4x 2+4y 2 -yy一八 x a由条件yx a y . x . ax . y . x . ay .x(x . a)22x a那么A i P 的方程为:y= -y I (xx i mm)A 2Q 的方程为：y=-必/-------- (x x i mm)m 2)i6x 2 * 2~ a i6y ar i(x ).3a 2 4两点,两切线交于点 P.由切线的性质知:2 2x y一 一 二i(yw0)8i 72而点P(x o ,y o )在双曲线上,化简得Q 点的轨迹方程为:a 2x 2—b 2y 2=a 4(xw ± a).7.解:⑴设P 点的坐标为(x i ,y i ),那么2n 八,2 〜2、 2 (x 1 m ). m21=1.此即为M 的轨迹方程. n(2)当mwn 时,M 的轨迹方程是椭圆.2 m 一 一 2 2e =lm__.e= ----------- , m8.解：(1)二.点F 2关于l 的对称点为Q,连接PQ,,/F 2PR=/QPR, |F 2R|=|QR|, |PQ|=|PF 2|又由于l 为/ F 1PF 2外角的平分线,故点 F i 、P 、Q 在同一直线上,设存在R(X 0,y o) ,Q(x i ,y i ),F i(— c,0),F 2(c,0).|F 1Q|=|F 2P|+|PQ|=|F 1P|+|PF 2|=2a,那么(x 1+c)2+y 12=(2a)2x 〔 c 2y 1 2得 x 1二2x .一 c,y 1=2y o .(2x o )2+(2y o )2=(2a)2, •1- x o 2+y o 2=a 2 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(yw 0)(2)如右图,••• S AAOB =1|QA| |OB| - sinAOB= a- sinAOB , 一 , .... 1c 当/AOB=90 时,S AAOB 最大值为-a 2. 此时弦心距|OC|二 I"2ak|1 k2 ,在 RtAAOC 中,/ AOC=45° ,|OC | | . 2ak |2 1 .3cos45 ——,k ——.22,离心率m n(ii)当mvn 时,焦点坐标为(0, 土 Jm ―n 7,准线方程为y= ±2n 2,n —2 ,离心率 m 2 2n m e= ------------- n又因点P 在双曲线上,2代入③并整理得 Jm(i )当m>n 时,焦点坐标为(土 J m ―n 2 ,0),准线方程为x=±xo又V .|OA| a1 k2 2 32 2x y7.双曲线—今=1(m>0,n>0)的顶点为A i、A2,与y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q. m n(1)求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程；(2)当mwn时,求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率① X ②得：y2=_ 2yi2(x2x i m。
高三数学轨迹方程50题及答案
求轨迹程求曲线的轨迹程常采用的法有直接法、定义法、代入法、参数法、交轨法，待定系数法。
(1)直接法 直接法是将动点满足的几条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹程.(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法 根据相关点所满足的程，通过转换而求动点的轨迹程.(4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数程. （5）交轨法 若动点是受某一参量影响的两动曲线的交点，我们可以以消去这个参量得到动点轨迹程.(6)待定系数法 求轨迹程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹程”是两个不同的概念.一、选择题：1、程y=122+--x x 表示的曲线是： （ ） A 、双曲线 B 、半圆 C 、两条射线 D 、抛物线2、程[(x －1)2+(y+2)2](x 2－y 2)=0表示的图形是： （ ） A 、两条相交直线 B 、两条直线与点（1，－2） C 、两条平行线 D 、四条直线3、动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹程是： （ ） A 、x 2+y 2=1 B 、x 2+y 2=1(x ≠±1） C 、x 2+y 2=1(x ≠1） D 、y=21x -4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平，则动点的轨迹程是： （ ） A 、x 2+y 2=2(x+y) B 、x 2+y 2=2|x+y| C 、x 2+y 2=2(|x|+|y|) D 、x 2+y 2=2(x －y) 5、动点P 到直线x=1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是：（ ）A 、中心在原点的椭圆 B 、中心在（5，0）的椭圆 C 、中点在原点的双曲线 D 、中心在（5，0）的双曲线6、已知圆x 2+y 2=4，过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹程是 （ ）A 、(x －2)2+y 2=4B 、(x －2)2+y 2=4(0≤x ＜1)C 、(x －1)2+y 2=4D 、(x －1)2+y 2=4(0≤x ＜1) 7、已知M （－2，0），N （2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P 的轨迹是： （ ） A 、双曲线 B 、双曲线左支 C 、一条射线 D 、双曲线右支8、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ） A 、抛物线 B 、圆 C 、双曲线的一支 D 、椭圆9、点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹程是：（ ）A 、y 2=12xB 、y 2=12x(x>0)C 、y 2=6xD 、y 2=6x(x>0)10、已知圆x 2+y 2=1，点A （1，0），△ABC 接于圆，且∠BAC=60°，当B 、C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹程是 （ ）A 、x 2+y 2=21 B 、x 2+y 2=41 C 、x 2+y 2=21(x<21) D 、x 2+y 2=41（x<41) 11、抛物线过点M （2，－4），且以x 轴为准线，此抛物线顶点的轨迹程是 （ ） A 、(x －2)2+(y+4)2=16 (0)y ¹ B 、(x －2)2+4(y+2)2=16 (0)y ¹ C 、(x －2)2－(y+4)2=16 D 、(x －2)2+4(y+4)2=1612、椭圆C 与椭圆14)2(9)3(22=-+-y x 关于直线x+y=0对称，椭圆C 的程是（ ） A 、22(2)(3)149x y +++= B 、22(2)(3)194x y --+= C 、22(2)(3)194x y +++= D 、22(2)(3)149x y --+= 13、设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹程为 ( )A.14922=+y xB.14922=+x y C.14922=-y xD.14922=-x y 14、中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆程为 ( ) 12575 D. 17525C.1252752 B. 1752252A.22222222=+=+=+=+y x y x y x y x 15、已知⊙O ：x 2+y 2=a 2, A(－a, 0), B(a, 0), P 1, P 2为⊙O 上关于x 轴对称的两点，则直线AP 1与直线BP 2的交点P 的轨迹程为 （ ） A 、x 2+y 2=2a 2 B 、x 2+y 2=4a 2 C 、x 2－y 2=4a 2 D 、x 2－y 2=a2二、填空题：16、动圆与x 轴相切，且被直线y=x 所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹程为 。
2024年高考数学复习 专题01 圆锥曲线中的轨迹方程问题 (典型题型归类训练) (解析版)
3．（2024 上·广东广州·高二统考期末）已知两个定点 A1 2, 0 ，A2 2, 0 ，动点 M 满足直线 MA1 与直线 MA2
的斜率之积为定值
m 4
（
m
0
）.
(1)求动点 M 的轨迹方程，并说明随 m 变化时，方程所表示的曲线 C 的形状；
【答案】(1)答案见解析.
【分析】（1）由斜率之积表示出轨迹方程，再对 m 分类讨论确定曲线的类型即可.
2
2
3
9
即点 Q 的轨迹方程为 (x 2)2 y2 4 ( y 0) .
3
9
2．（2024 上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）已知圆 C 的圆心为直线 x y 2 0 与直线
3x y 6 0 的交点，且圆 C 的半径为 5 .
(1)求圆 C 的标准方程；
(2)若
P
为圆
【详解】（1）设动点 M x, y ，依题意有
y y m（, m 0, m 0）， x2 x2 4 整理，得 x2 y2 1, m 0 ，
4m ∴动点 M 的轨迹方程为： x2 y2 1,
4m
m 4, 0 时，轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆，
m 4 时，轨迹是圆， m (, 4) 时，轨迹是焦点在 y 轴上的椭圆，
圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点 A(x1, y1), B(x2, y2 ) 的坐标
代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得 x1 x2 ， y1 y2 ， x1 x2 ， y1 y2 等关系式，由于
弦
AB
的中点
P(x,
y)
的坐标满足
2x
x1
x2
，
轨迹方程的求法及典型例题含答案
轨迹方程的求法及典型例题(含答案) 轨迹方程是描述一条曲线在平面上的运动轨迹的方程。
在二维平面上，轨迹方程通常由一元二次方程、三角函数方程等形式表示。
在三维空间中，轨迹方程可能会更加复杂，可以由参数方程或参数化表示。
一、轨迹方程的求解方法：1. 根据题目给出的条件，确定轨迹上的点的特点或特殊性质。
2. 将轨迹上的点的坐标表示为一般形式。
3. 将坐标表示代入到方程中，消去多余的变量，得到轨迹方程。
二、典型例题及其解答：【例题1】已知点P(x,y)到坐标原点O的距离为定值d，求点P的轨迹方程。
解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。
2. 根据题目给出的条件，根据勾股定理，可以得到点P到原点O的距离公式：d = √(x^2 + y^2)3. 将坐标表示代入到距离公式中，得到轨迹方程：d^2 = x^2 + y^2【例题2】已知点P(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离为定值d，求点P的轨迹方程。
解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。
2. 根据题目给出的条件，点P到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d = |Ax+By+C| / √(A^2 + B^2)3. 将点P的坐标表示代入到距离公式中，得到轨迹方程：(Ax+By+C)^2 = d^2(A^2 + B^2)【例题3】已知点P(x,y)满足|x|+|y|=a，求点P的轨迹方程。
解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。
2. 根据题目给出的条件，可以得到两种情况下的轨迹方程：当x≥0，y≥0时，有x+y=a，即y=a-x；当x≥0，y<0时，有x-y=a，即y=x-a；当x<0，y≥0时，有-x+y=a，即y=a+x；当x<0，y<0时，有-x-y=a，即y=-a-x。
3. 将上述四种情况合并，得到轨迹方程：|x|+|y|=a【例题4】已知点P(x,y)满足y = a(x^2 + b)，求点P的轨迹方程。
圆锥曲线专题复习试题和答案
题型一：求曲线轨迹方程1.如图，从双曲线x 2-y 2=1上一点Q 引直线x+y=2的垂线，垂足为N 。
求线段QN 的中点P 的轨迹方程。
解：设动点P 的坐标为（x,y ）,点Q 的坐标为（x 1,y 1）则N （ 2x-x 1,2y-y 1）代入x+y=2,得2x-x 1+2y-y 1=2 ① 又PQ 垂直于直线x+y=2，故111=--x x y y ，即x-y+y 1-x 1=0 ② 由①②解方程组得12321,1212311-+=-+=y x y y x x , 代入双曲线方程即可得P 点的轨迹方程是2x 2-2y 2-2x+2y-1=02.抛物线)0(42>=p px y 的顶点作互相垂直的两弦OA 、OB ，求抛物线的顶点O 在直线AB 上的射影M 的轨迹。
解1（交轨法）：点A 、B 在抛物线)0(42>=p px y 上，设A （),42A Ay py ，B （),42B B y p y 所以k OA =A y p 4 k OB =By p4,由OA 垂直OB 得k OA k OB = -1，得y A y B = -16p 2 ,又AB 方程可求得)4(44222p y x py p y y y y y ABA B A A ---=-，即（y A +y B ）y--4px--y A y B =0,把 y A y B = -16p 2代入得AB 方程（y A +y B ）y--4px+16p 2 =0 ① 又OM 的方程为 x Py y y BA 4-+=②由①②消去得y A +y B 即得0422=-+px y x ， 即得2224)2(p y p x =+-。
所以点M 的轨迹方程为2224)2(p y p x =+-，其轨迹是以)0,2(p 为圆心，半径为p 2的圆,除去点（0，0）。
解2（几何法）：由解1中AB 方程（y A +y B ）y--4px+16p 2 =0 可得AB 过定点（4p,0）而OM 垂直AB ，所以由圆的几法性质可知：M 点的轨迹是以)0,2(p 为圆心，半径为p 2的圆。
高三数学轨迹方程50题及答案
求轨迹方程求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、交轨法，待定系数法。
(1)直接法直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程. (4)参数法若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.（5）交轨法 若动点是受某一参量影响的两动曲线的交点，我们可以以消去这个参量得到动点轨迹方程. (6)待定系数法求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.一、选择题：1、方程y=122+--x x 表示的曲线是： （ ） A 、双曲线 B 、半圆 C 、两条射线 D 、抛物线2、方程[(x －1)2+(y+2)2](x 2－y 2)=0表示的图形是： （ ） A 、两条相交直线 B 、两条直线与点（1，－2） C 、两条平行线 D 、四条直线3、动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹方程是： （ ）A 、x 2+y 2=1B 、x 2+y 2=1(x ≠±1）C 、x 2+y 2=1(x ≠1）D 、y=21x -4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程是： （ ）A 、x 2+y 2=2(x+y)B 、x 2+y 2=2|x+y|C 、x 2+y 2=2(|x|+|y|)D 、x 2+y 2=2(x －y) 5、动点P 到直线x=1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是：（ ）A 、中心在原点的椭圆 B 、中心在（5，0）的椭圆C 、中点在原点的双曲线D 、中心在（5，0）的双曲线6、已知圆x 2+y 2=4，过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程是 （ ） A 、(x －2)2+y 2=4 B 、(x －2)2+y 2=4(0≤x ＜1) C 、(x －1)2+y 2=4 D 、(x －1)2+y 2=4(0≤x ＜1)7、已知M （－2，0），N （2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P 的轨迹是： （ ） A 、双曲线 B 、双曲线左支 C 、一条射线 D 、双曲线右支8、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ） A 、抛物线 B 、圆 C 、双曲线的一支 D 、椭圆9、点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹方程是：（ ） A 、y 2=12x B 、y 2=12x(x>0) C 、y 2=6x D 、y 2=6x(x>0) 10、已知圆x 2+y 2=1，点A （1，0），△ABC 内接于圆，且∠BAC=60°，当B 、C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是 （ ） A 、x 2+y 2=21 B 、x 2+y 2=41 C 、x 2+y 2=21(x<21) D 、x 2+y 2=41（x<41) 11、抛物线过点M （2，－4），且以x 轴为准线，此抛物线顶点的轨迹方程是 （ ）A 、(x －2)2+(y+4)2=16 (0)y ¹B 、(x －2)2+4(y+2)2=16 (0)y ¹C 、(x －2)2－(y+4)2=16D 、(x －2)2+4(y+4)2=1612、椭圆C 与椭圆14)2(9)3(22=-+-y x 关于直线x+y=0对称，椭圆C 的方程是（ ） A 、22(2)(3)149x y +++= B 、22(2)(3)194x y --+= C 、22(2)(3)194x y +++= D 、22(2)(3)149x y --+= 13、设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为 ( )A.14922=+y xB.14922=+x y222214、中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为 ( ) 12575 D. 17525C.1252752 B. 1752252A.22222222=+=+=+=+y x y x y x y x15、已知⊙O ：x 2+y 2=a 2, A(－a, 0), B(a, 0), P 1, P 2为⊙O 上关于x 轴对称的两点，则直线AP 1与直线BP 2的交点P 的轨迹方程为 （ ） A 、x 2+y 2=2a 2 B 、x 2+y 2=4a 2 C 、x 2－y 2=4a 2 D 、x 2－y 2=a 2 二、填空题：16、动圆与x 轴相切，且被直线y=x 所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为 。
轨迹方程的 几种求法整理(例题+答案)
轨迹方程的六种求法整理求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考.求轨迹方程的一般方法：1. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
2. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
6. 待定系数法：已知曲线是圆，椭圆，抛物线，双曲线等 一、直接法把题目中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程基本步骤是：建系。
设点。
列式。
化简。
说明等，圆锥曲线标准方程的推导。
1. 已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PAPB x =·，求点P 的轨迹。
26y x =+， 2. 2.已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅ （1）求点P 的轨迹C 对应的方程；（2）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论.（3）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点.解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入二、定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．1、 若动圆与圆4)2(22=++y x 外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是解：如图，设动圆圆心为M ，由题意，动点M 到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x =4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x =4为准线的抛物线，并且p =6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是)1(122--=x y ．选（B ）．2、一动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心轨迹为解：如图，设动圆圆心为M ，半径为r ，则有.1,2,1=-+=+=MO MC r MC r MO 动点M 到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O 、C 为焦点的双曲线的左支3、在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程．解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M为重心，则有239263BM CM +=⨯=．M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠．注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性.4、设Q 是圆x 2+y 2=4上动点另点A （3。
曲线的轨迹方程习题课.docx
曲线的轨迹方程习题课求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化” 将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点。
求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法等。
- •直接法如果动点运动的轨迹简单明确，易于表示成含x、y的等式，从而得到轨迹方程，这种方法称之为直接法.2.运用直接法应注意的问题(1)在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的.(2)若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略.3.求曲线方程的基本步骤：例1. (1) (2012 -广州模拟)一条线段的长等T10,两端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，M在线段AB上且而=4而则M的轨迹方程是.(2)已知直角坐标平面上的点Q(2,0)和圆C： x2+y2=i,动点醒到圆C的切线长与|MQ|的比等丁常数X ( A >0),求动点M的轨迹方程. 解析:(1)设出动点人、B和M的坐标，依据■商=4显得出轨迹方程：(2)可设出动点M的坐标，依据动点M到圆C的切线长与IMQI的比等丁常数入(X>0)即可得出方程.解：⑴设M(x,y)、A(a,0)、B (0, b),则a2+b2=100.•/ AM = 4MB,b = -y，代入a2+b2=100,4J即16x2+y2=64.(2)设直线MN切圆C于N点，则动点M的集合为：P- {Ml IMNI-A |MQ|},因为圆C的半径ICNI-1, 所以|MN|2=|MC|2-|CN|2=|MC|2-1,设点M的坐标为M(x,y),则7(x2+ /)-l=X^x-2)2+y2,化简整理得：(X 2-1) (x2+y2) -4 A 2x+l+4 A 2-0 ( X > 0).点评：1.从两个题目的求解可以看出，求轨迹的方程，其关键是建立平面直角坐标系后寻找等量关系，从而得出方程；2.求解轨迹方程时，一定要注意检验，以防产生增根或漏解.二相关点(代入)法求轨迹方程动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x, ,y')的运动而有规律地运动，而且动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将X’、寸表示成x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，整理化简即得动点P的轨迹方程.例2.设F (1,0),点■在x轴上，点P在y轴上，旦MN = 2MP,PM-LPF,当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程.解析：设点N, M, P的坐标分别为N(x,y), M(x z , 0), P(0,y，),可由已知条件得出x，、与x、y之间的关系，同时得到X，、y'满足的方程，用代入法即可求出轨迹方程.解：设M（x，, 0）, P（0,y z）, N（x, y）,由MN = 2MP ,得（x-x z , y） -2 （~x z，矿），, fx7 = —Xx—x' = -2x'所以［y = 2/ ，解得|/ = |，又因为PM 1 EF.PM = = （1,-/）,所以（x，, -y z）• （l,-y‘ ） =0,即x，+y* 2-0,_x + （Xy=O所以2 ,即y2-4x.因此所求的轨迹方程为y2=4x.点评：1.解答本题的关键是从已知条件中发现X，、寸之间的关系式及x'、寸与x、y之间的关系；2.用代入法求轨迹方程，关键是发现相关点的轨迹方程，同时要注意验证应该删除的点或遗漏的点，以防增解或漏解.三定义法求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是理解解析几何中有关曲线的定义.利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.例3.一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时与圆x2+y2-6x-91= 0内切,求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么曲线.解析：由曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.解如图所示，设动圆圆心为y）,半径为R,设已知圆的圆心分别为01、。
轨迹方程培优(含参考答案)
《轨迹方程培优材料（含参考答案）》一、知识归纳求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法.(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.(4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念. 二、典型例题例1：如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |. 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.例2：抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过点(0，－1)作直线L 交抛物线A 、B 两点，再以AF 、BF为邻边作平行四边形FARB ，试求动点R 的轨迹方程.[解析]：设R(x ,y),∵F(0,1), ∴平行四边形FARB 的中心为)21,2(+y x C ，L:y=k x －1,代入抛物线方程得x 2－4k x +4=0, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4k,x 1x 2=4，且△=16k 2－16＞0，即|k|＞1 ①，2442)(4221221222121-=-+=+=+∴k x x x x x x y y ，∵C 为AB 的中点.∴ 1222122222222-=+=+=+=k y y y k x x x ⇒3442-==k y k x ，消去k 得x 2=4(y+3),由① 得，4>x ，故动点R 的轨迹方程为x 2=4(y+3)( 4>x )．三、巩固训练 一、选择题1.已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2.设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.14922=+y x B.14922=+x y C.14922=-y xD.14922=-x y二、填空题3.△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a ,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________.4.高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.三、解答题5.已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.6.双曲线2222by a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.7.已知双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.已知椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R .(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值.参考答案一、1.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|, ∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆. 答案：A2.解析：设交点P (x ,y ）,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0) ∵A 1、P 1、P 共线，∴300+=--x yx x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴300-=-+x yx x y y 解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得 答案：C二、3.解析：由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a , ∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-. 答案：)4(1316162222ax a y a x >=-4.解析：设P (x ,y ），依题意有2222)5(3)5(5yx yx +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0.答案：4x 2+4y 2－85x +100=0三、5.解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P .由切线的性质知：|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC | =|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0) 6.解：设P (x 0,y 0）(x ≠±a ),Q (x ,y ). ∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 220000000)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2.即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a ).7.解：(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，则Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0), 则A 1P 的方程为：y =)(11m x mx y ++ ①A 2Q 的方程为：y =－)(11m x mx y -- ②①³②得：y 2=－)(2222121m x mx y -- ③又因点P 在双曲线上，故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1.此即为M 的轨迹方程.(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±22n m -,0)，准线方程为x =±222nm m -,离心率e =mn m 22-；(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =nm n 22-.8.解：(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ， ∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0）,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0).|F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0.∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图，∵S △AOB =21|OA |²|OB |²sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为21a 2. 此时弦心距|OC |=21|2|kak +.在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC。
圆锥曲线中的轨迹方程问题-(解析版)
专题1 圆锥曲线的轨迹方程问题轨迹与轨迹方程高考题中在选择题或填空题中单独考查，在解答题中也会出现轨迹与轨迹方程的问题.本文主要研究圆锥曲线中关于轨迹方程求法。
首先正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，常用方法有：直译法、定义法、相关点法、参数（交轨）法等方法1、直译法：若动点运动的条件是一些已知（或通过分析得出）几何量的等量关系，可转化成含x,y 的等式，就得到轨迹方程。
直译法知识储备：两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率（向量）公式。
经典例题：1．（2020·江苏徐州市·高三月考）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ（1λ≠）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -、()4,0B ，点P 满足12PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为()22416x y ++= B ．在C 上存在点D ，使得D 到点()1,1的距离为3 C ．在C 上存在点M ，使得2MO MA = D ．在C 上存在点N ，使得224NO NA += 【答案】ABD【分析】设点P 的坐标，利用12PA PB =，即可求出曲线C 的轨迹方程，然后假设曲线C 上一点坐标，根据BCD 选项逐一列出所满足条件，然后与C 的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案．【详解】设点P （x ，y ），()2,0A -、()4,0B ，由12PA PB =，12=，化简得x 2+y 2+8x ＝0，即：（x +4）2+y 2＝16，故A 选项正确；曲线C 的方程表示圆心为（﹣4，0），半径为4的圆，圆心与点（1，1）=﹣4，+4，而3∈﹣4，故B 正确；对于C 选项，设M （x 0，y 0），由|MO |＝2|MA |，=又 ()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝2，解得y 0无解，故C 选项错误；对于D 选项，设N （x 0，y 0），由|NO |2+|NA |2＝4，得 ()2222000024x y x y ++++=，又()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝0，解得y 0＝0，故D 选项正确．2．（2020·湖南省高三期末）点(,)P x y 与定点(1,0)F 的距离和它到直线:4l x =距离的比是常数12. 求点P 的轨迹方程；【答案】22143x y +=12=，化简即可求出；12=，化简得：223412x y +=，故1C 的方程为22143x y +=.【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点是动点轨迹方程的求解.3．（2021年湖南省高三月考）已知动点P 到定点A （5，0）的距离与到定直线165x =的距离的比是54，求P 点的轨迹方程．【答案】轨迹方程是221169x y -=.【分析】利用动点P 到定点A （5，0）的距离与到定直线165x =的距离的比是54可得方程，化简由此能求出轨迹M 的方程．【详解】由题意，设P （x ，y ），则()22252516165x y x -+=⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简得轨迹方程是221169x y -=． 故答案为221.169x y -=【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，属于基础题．由2、3题推广：圆锥曲线统一定义（第二定义）：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
专题01 解析几何中的轨迹方程问题(解析版)
专题01 解析几何中的轨迹方程问题常见考点考点一 直接法典例1．已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12，记M 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；(2)若直线l ：3y x =-和曲线C 相交于E ，F 两点，求EF .【答案】(1)22142x y -=（2x ≠±）(2)【解析】 【分析】（1）设(),M x y ，用坐标表示AM ，BM 的斜率，由已知可得曲线方程，注意斜率有意义； （2）直线方程与曲线方程联立，消元后应用韦达定理，由弦长公式计算弦长． (1)设(),M x y ，则AM ，BM 的斜率分别为12y k x =+，22y k x =-， 由已知得1222y y x x ⋅=+-，化简得22142x y -=（2x ≠±），即曲线C 的方程为22142x y -=（2x ≠±）； (2)联立221423x y y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩消去y 整理得212220x x -+=，设()11,E x y ，()22,F x y ，则1212x x +=，1222x x =，12EF x =-===变式1-1．在直角坐标系xOy 中，已知动点P 与平面上两定点(1,0)M -，(1,0)N 连线的斜率的积为定值4-，设点P 的轨迹为C ．(1)求出曲线C 的方程；(2)设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点，若OA OB ⊥，求k 的值．【答案】(1)221(1)4y x x +=≠±(2)12k =± 【解析】 【分析】（1）根据条件列出方程化简即可求解；（2）联立方程组可得根与系数的关系，再由OA OB ⊥，利用向量求解即可. (1)设P 点坐标为(,)x y ，∵定点(1,0),(1,0)M N -，直线PM 与直线PN 的斜率之积为4-， ∵411y y x x ⨯=-+-， ∵曲线C 的方程221(1)4y x x +=≠±.(2)设1122(,),(,)A x y B x y ，其坐标满足 22141y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=，22412(4)0k k ∆=++>，故12122223,44k x x x x k k +=-=-++ 因为OA OB ⊥, 则OA OB ⊥，即12120x x y y +=．而()21212121y y k x x k x x =+++于是22121222233210444k k x x y y k k k +=---+=+++， 化简得2410k -+=， 所以解得12k =±.变式1-2．若点(),M x y 到直线40x +=的距离比它到点()1,0N 的距离大3． (1)求点M 的轨迹方程；(2)过点N 的直线1l 与点M 的轨迹曲线交于A ，B 两点，过点N 的直线2l 与点M 的轨迹曲线交于C ，D 两点，若12l l ⊥，求11AB CD +的值． 【答案】(1)2 4y x = (2)14【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求得答案；（2）设直线方程并联立抛物线方程得到根与系数的关系式，表示出弦长,AB CD ，继而得到11AB CD +的表达式，化简可得答案. (1)由题意可知点(),M x y 到1x =-的距离与到点()1,0N 的距离相等， ∵点M 的轨迹为以点()1,0N 为焦点的抛物线且2p =, ∵点M 的轨迹方程为2 4y x =． (2)抛物线的焦点为()1,0N ，由题意可知，若1l 与2l 中有一条直线的斜率不存在不符合题意， ∵1k 与2k 都存在，且10k ≠，20k ≠，设AB l 的方程为()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立()214y k x y x⎧=-⎨=⎩消y 得：()2222240k x k x k -++=，∵2122120241k x x k x x ∆>⎧⎪+⎪+=⎨⎪=⎪⎩，2122224444224kAB x x p k k k +=++=++=+=． 同理222144441k CD k k ⎛⎫+- ⎪⎝⎭==+⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵22222111114444444k k AB CD k k k ++=+==+++． 变式1-3．在平面直角坐标系中，动点P 到点()2,0F 的距离和它到直线9:2l x =的距离之比为23.动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程，并说明曲线C 是什么图形；(2)已知曲线C 与x 轴的交点分别为,A B ，点M 是曲线C 上异于,A B 的一点，直线MA 的斜率为1k ，直线MB 的斜率为2k ，求证：12k k 为定值.【答案】(1)22195x y +=，曲线C 是以()()2,0,2,0-为焦点的椭圆；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】（123=，即求；（2）利用斜率公式及椭圆方程计算即得. (1)设P 点坐标为(),x y，根据题意，得23=，左右同时平方，得22244481994x x y x x -++=-+， 整理得，225945x y +=，即22195x y +=，所以曲线C 的方程是22195x y +=，曲线C 是以()()2,0,2,0-为焦点的椭圆. (2)由题意得()(),3,03,0A B -，设M 的坐标是()00,x y ，因为点M 在曲线C 上，所以2200195x y +=，因为001200,33y y k k x x ==+-， 所以()2022*******00055199599999x x y k k x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭====----， 所以12k k 为定值59-.考点二 相关点法典例2．已知圆()222:0O x y r r +=>与直线y x =+(1)求圆O 的标准方程；(2)若线段AB 的端点A 在圆O 上运动，端点B 的坐标是()6,0，求线段AB 的中点M 的轨迹方程． 【答案】(1)2216x y += (2)()2234x y -+=【解析】 【分析】(1)由圆心到直线的距离等于半径即可求出. (2)由相关点法即可求出轨迹方程. (1)已知圆()222:0O x y r r +=>与直线y x =+所以圆心()00O ，到直线0x y -+=的距离为半径r．所以4r =，所以圆O 的标准方程为：2216x y +=．(2)设()()00,,,,M x y A x y 因为AB 的中点是M ，则006202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以0026,2x x y y =-=，又因为A 在圆O 上运动，则220016x y +=，所以带入有：()()2226216x y -+=，化简得：()2234x y -+=．线段AB 的中点M 的轨迹方程为: ()2234x y -+=.．变式2-1．已知圆M 经过原点和点()3,1-，且它的圆心M 在直线250x y +-=上. (1)求圆M 的方程；(2)若点D 为圆M 上的动点，定点()2,0C ，求线段CD 的中点P 的轨迹方程. 【答案】(1)22420x y x y +--=. (2)22430x y x y +--+=. 【解析】 【分析】（1）设圆M 的方程为22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->，由已知条件建立方程组，求解即可；（2）设(),P x y ，()11,D x y ，依题意得11222x x y y =-⎧⎨=⎩.代入圆M 的方程可得点P 的轨迹方程. (1)解：设圆M 的方程为2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->（），则圆心,22D E M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 依题意得0913025022F D E F D E =⎧⎪++-+=⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪-+--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得042F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩.所以圆M 的方程为22420x y x y +--=. (2)解：设(),P x y ，()11,D x y ，依题意得112202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，得11222x x y y =-⎧⎨=⎩. 点()11,D x y 为圆M 上的动点，得()()()()22222422220x y x y -+---=，化简得P 的轨迹方程为22430x y x y +--+=.变式2-2．已知抛物线24C y x =： 的焦点为F . 点A P 、满足2AP FA =-.当点A 在抛物线C 上运动时，求动点P 的轨迹方程. 【答案】284y x =- 【解析】【分析】设动点(),P x y ，点A 的坐标为(),A A A x y ，由向量条件可得2A A x xy y=-⎧⎨=-⎩，代入抛物线方程化简可得答案. 【详解】设动点(),P x y ，点A 的坐标为(),A A A x y ，则(),A A AP x x y y =--， 因为F 的坐标为()1,0，所以()1,A A FA x y =- 由2AP FA =-得()(),21,A A A A x x y y x y --=--. 即 ()212A A A Ax x x y y y ⎧-=--⎨-=-⎩ 解得2A A x x y y=-⎧⎨=-⎩ 代入24y x =，可得()242y x =-即284y x =-，所以动点P 的轨迹方程为284y x =-.变式2-3．已知圆()2221:0C x y r r +=>与直线01:2l y x =相切，点A 为圆1C 上一动点，AN x ⊥轴于点N ，且动点M 满足()2222OM AM ON +=-，设动点M 的轨迹为曲线C ，求动点M 的轨迹曲线C 的方程. 【答案】22184x y +=【解析】 【分析】设动点(,)M x y ，0(A x ，0)y ，由于AN x ⊥轴于点N ，推出0(N x ，0)，通过直线与圆相切，求出圆的方程，然后将A 点的坐标用M 点的坐标表示，从而可求解曲线C 的方程． 【详解】解：设动点(,)M x y ，0(A x ，0)y ， 由于AN x ⊥轴于点N ，0(N x ∴，0)，又圆2221:(0)C x y r r +=>与直线01:2l y x =即20x y -+相切，∴3r =，∴圆221:9C x y +=，由题意，2(222)OM AMON+=-，得000(,)2(,)2)(,0)x y x x y y x +--=，∴000(32,32)2),0)x x y y x --=．∴000322)320x x x y y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，∴003.2x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩将3)2yA 代入229x y +=， 得曲线C 的方程为22184x y +=．考点三 定义法典例3．设圆222150x y x ++-=的圆心为1C ﹐直线l 过点()21,0C 且与x 轴不重合，直线l 交圆1C 于A ，B 两点.过2C 作1AC 的平行线交1BC 于点P . (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点P 的轨迹为曲线E ，直线l 交E 于M ，N 两点，C 在线段MN 上运动，原点O 关于C 的对称点为Q ，求四边形OMQN 面积的取值范围；【答案】(1)()221043x y y +=≠(2)(]0,3 【解析】 【分析】（1）由12//AC PC 得112=C AC PBBC P ，2=PC PB ，再由1124+=+=P C B PC C P P ，可得P 的轨迹方程；（2）设四边形OMQN 的面积为S ，2=OMNS S ，设直线l 的方程为1x my =+，代入椭圆方程，利用韦达定理代入2121222==⨯⨯-OMNS S OC y y ，整理后再利用函数单调性可得答案.(1)（1）圆()22116++=x y 的圆心为()11,0-C ，因为12//AC PC ，所以112=C AC PBBC P ，因为11=AC BC ，所以2=PC PB ，又1124+=+=P C B PC C P P ， 且121==OC OC ，1122+>C PC C C P ，所以P 的轨迹方程为()221043x y y +=≠.(2)设四边形OMQN 的面积为S ，则2=OMNS S ，可设直线l 的方程为1x my =+，代入椭圆方程化简得()2234690m y my ++-=，∆>0恒成立.设()()1122,,,M x y N x y ，则12122269,3434m y y y y m m +=-=-++，212121222==⨯⨯-=-=OMNS SOC y y y y(),1t t ≥，则212121313t S t t t==++，11,3t y t t≥=+在[)1,+∞上单调递增，4,y ∴≥(]0,3S ∴∈，即四边形OMQN 面积的取值范围(]0,3.变式3-1．已知在平面直角坐标系中，圆A ：22570x y ++-=的圆心为A ，过点B ，0)任作直线l 交圆A 于点C 、D ，过点B 作与AD 平行的直线交AC 于点E . (1)求动点E 的轨迹方程；(2)设动点E 的轨迹与y 轴正半轴交于点P ，过点P 且斜率为k 1，k 2的两直线交动点E 的轨迹于M 、N 两点(异于点P )，若126k k +=，证明：直线MN 过定点.【答案】(1)221169x y +=(2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)作出图象，易知|EB |＋|EA |为定值，根据椭圆定义即可判断点E 的轨迹，从而写出其轨迹方程； (2)设()()1122,,,M x y N x y ，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，联立MN 方程和E 的轨迹方程得根与系数的关系，根据126k k +=解出k 与m 的关系即可以判断MN 过定点；最后再考虑MN 斜率不存在时是否也过该定点即可. (1)由圆A：22570x y ++-=可得(22(64x y ++=， ∵圆心A (，0)，圆的半径r ＝8，8,AC AD r ADC ACD ∠∠===∴=，,BE AD ADC EBC ∠∠∴=∥，可得EBC ECB ∠=∠，EB EC ∴=，8EB EA EC EA r AB ∴+=+==>=由椭圆的定义可得：点E 的轨迹是以A(，0)、B ，0)为焦点，2a ＝8的椭圆， 即a ＝4，c ∵222b a c =-＝16－7＝9，∵动点E 的轨迹方程为221169x y +=；(2)由(1)知，P (0，3)，设()()1122,,,M x y N x y ，当直线MN 的斜率存在时， 设直线MN 的方程为：y kx m =+，由221169y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得222(916)32161440k x kmx m +++-=，∵12232916km x x k -+=+，212216144916m x x k ，∵12122112121233(3)(3)y y kx m x kx m x k k x x x x --+-++-+=+=1212122(3)()6kx x m x x x x +-+==， ∵1212(26)(3)()0k x x m x x -+-+=，即2221614432(26)(3)0916916m km k m k k ⎛⎫--⎛⎫-+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 整理可得：(3)(3)0m k m ---=， ∵k ＝m ＋3或m ＝3，当m ＝3时，直线MN 的方程为：3y kx =+， 此时过点P (0，3)不符合题意，∵k ＝m ＋3，∵直线MN 的方程为：3(1)3y kx m kx k k x =+=+-=+- 此时直线MN 过点(－1，－3)，当直线MN 的斜率不存在时12x x =，21y y =-，12111212111333366y y y y k k x x x x x -----+=+=+=-=，解得11x =-， 此时直线MN 的方程为：1x =-，过点(－1，－3)， 综上所述：直线MN 过定点(－1，－3).变式3-2．已知P 为圆22:2150M x y x +--=上一动点，点()1,0N -，线段PN 的垂直平分线交线段PM 于点Q .(1)求点Q 的轨迹方程；(2)设点Q 的轨迹为曲线C ，过点N 作曲线C 的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分別为E ，F ，过点N 作直线EF 的垂线，垂足为点H ，是否存在定点G ，使得GH 为定值？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1)22143x y +=(2)存在，11,014G ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）Q 点轨迹符合椭圆定义，因而简化了运算过程；（2）两条互相垂直的弦所在直线要分为两种情况：两条直线斜率均存在或其中一条直线斜率不存在另一条斜率为0，找到直线EF 所过定点是本题关键. (1)由题意可知圆22:2150M x y x +--=的圆心为()1,0，半径为4， 因为线段PN 的垂直平分线交线段PM 于点Q ， 所以QP QN =，所以4QNQM QP QM +=+=，又因为24MN =<，所以Q 轨迹是以N ，M 为焦点的椭圆，设22221x y a b +=（0a b >>），则2a =，1c =，b = 所以点Q 的轨迹方程为22143x y +=.(2)（∵）若两条直线斜率均存在，设过点N 的弦所在直线1l 的方程为1x ty =-（0t ≠），代入椭圆方程联立得：()2234690t y ty +--=，设1l 与椭圆两交点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y 所以122634t y y t +=+，所以2334E ty t =+， 则223413434E t x t t t -=⋅-=++； 同理22434F t x t -=+，2334F t y t -=+；由对称性可知EF 所过定点必在x 轴上，设为()0,0T x ，显然ET TF //，所以2002222433434343434t t tx x t t t t ⎛⎫---⎛⎫-⋅=⋅- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 化简得()()2204171t x t -+=+，即047x =-；（∵）若其中一条直线斜率不存在，则直线EF 为x 轴；综上直线EF 必过定4,07T ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 取点N 与点T 的中点为G ，则11,014G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为NH EF ⊥，所以0NH TH ⋅=， 所以点H 在以G 为圆心，314GT GH ==为半径的圆上运动， 所以存在定点G ，使得GH 为定值.变式3-3．在平面直角坐标系xOy 中，动圆P 与圆221:28C x y x ++=内切，与圆222:20C x y x +-=外切.(1)求动圆圆心P 的轨迹方程E ；(2)若直线(1)x t t =≠与轨迹E 交于A ，B 两点，直线2BC 交轨迹E 于另一个点M ，连接AM 交x 轴于点N ，试探究；是否存在t ，使得2MC N 的面积等于94？若存在，求出全部的t 值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)221(2)43x y x +=≠(2)存在，137t = 【解析】 【分析】（1）设动圆P 的半径为r ，根据题意得动点P 的轨迹为以1C ，2C 为焦点，实轴长为24a =的椭圆，再根据圆1C 与圆2C 内切于点()2,0，进而得方程221(2)43x yx +=≠；（2）设直线2BC 的方程为1(0)x my m =+≠，11(,)B x y ，22(,)M x y ，进而根据M ，A ，N 三点共线和221x my =+得121221()N my y x y y =+*+，再联立方程221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并结合韦达定理得4N x =，再结合面积得1=M x ，进而得1M x =-，310AM k =，再求解得存在唯一137t =满足题意.(1) 解：221:(1)9C x y ++=，222:(1)1C x y -+=设动圆P 的半径为r ，因为动圆P 与圆221:28C x y x ++=内切，与圆222:20C x y x +-=外切所以1231PC r PC r ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，12124PC PC C C ∴+=>，由椭圆的定义可知，动点P 的轨迹为以1C ，2C 为焦点，实轴长为24a =的椭圆，又因为圆221:28C x y x ++=与圆222:20C x y x +-=内切于点()2,0，所以动圆圆心P 的轨迹方程为：221(2)43x y x +=≠(2)解：设直线2BC 的方程为1(0)x my m =+≠，11(,)B x y ，22(,)M x y ， 则11(,)A x y -∵M ，A ，N 三点共线AM AN k k ∴=，即211211N y y y x x x x +=--，整理得121112()N y x x x x y y -=++ 又221x my =+代入，121221()N my yx y y =+*+联立22221(34)690431x y m y my x my ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩122634my y m -∴+=+，122934y y m -=+ 代入()*可得4N x =， 又229342MC NS y =⇒=，21x =，因为1t ≠，所以21x ≠-，故21x =-，11310AM N y k x x ∴==±-，由对称性，不妨取310AM k = 3:(4)10ANl y x ∴=-代入椭圆22143x y +=，得276130x x --=1137M x x ∴⋅=-，1137x ∴=， ∴存在唯一137t =满足题意.考点四 消参法与交轨法典例4．如图所示，过双曲线C ：2213y x -=的左焦点F 作直线l 与双曲线交于P 、Q ，以OP 、OQ为邻边作平行四边形OPMQ ，求点M 的轨迹方程.【答案】22(2)1412+-=x y ()0x < 【解析】 【分析】设所求点M 的坐标为(),x y ，则平行四边形中心N 的坐标为,22x y⎛⎫⎪⎝⎭，设直线():2l y k x =+，1122(,),(,)P x y Q x y ，联立直线与双曲线方程，消元列出韦达定理，根据N 为PQ 的中点，即可得到22243123k x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，消去参数k ，即可得到动点M 的轨迹； 【详解】解：设所求点M 的坐标为(),x y ，则平行四边形中心N 的坐标为,22x y⎛⎫⎪⎝⎭， 而双曲线左焦点F 为()20-，，显然直线的斜率存在设():2l y k x =+与双曲线方程联立()22213y k x y x ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩消去y 得2222(3)4430k x k x k ----=，则()()()2222230443430k k k k ⎧-≠⎪⎨----->⎪⎩，解得23k ≠； 又设P 、Q 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，由韦达定理知212243k x x k +=-，2122433k x x k --=-，依题意21224303k x x k--=<-，解得23k >， ∵N 为PQ 的中点，∵22223222x k k y x k ⎧=⎪-⎪⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩ 即22243123k x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，因为23k >，所以22403k x k =<-，消去参数k 得22(2)1412+-=x y ()0x <，这就是点M 的轨迹，故点M 的轨迹方程为22(2)1412+-=x y ()0x <.变式4-1．已知椭圆22184x y +=，点A ，B 分别是它的左、右顶点，一条垂直于x 轴的动直线l 与椭圆相交于P ，Q 两点，当直线l 与椭圆相切于点A 或点B 时，看作P ，Q 两点重合于点A 或点B，求直线AP 与直线BQ 的交点M 的轨迹方程．【答案】22184x y -=【解析】 【分析】设00(,)P x y ，则00(,)Q x y -，写出直线AP 和直线BQ 的方程，利用2200184x y +=消去0x 和0y 即可得到结果.【详解】设00(,)P x y ，则00(,)Q x y -，则2200184x y +=，因为(A -，()B ，当0x ≠±所以直线AP的方程为：y x =+直线BQ的方程为：y x =-，所以222020(8)8y y x x -=--，又22200084(1)82x x y -=-=，所以2282x y -=，即22184x y -=，当0x =±(M ±也符合上式，所以直线AP 与直线BQ 的交点M 的轨迹方程是22184x y -=.变式4-2．已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()0,F c (0)c >到直线:20l x y --=(1)求抛物线C 的方程；(2)设点0(P x ，0)y 为直线l 上一动点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，求直线AB 的方程，并证明直线AB 过定点Q ；(3)过（2）中的点Q 的直线m 交抛物线C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，求1l ，2l 交点M 满足的轨迹方程． 【答案】(1)24x y =(2)直线AB 的方程为00220x x y y --=，证明见解析 (3)20x y --=【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式直接求得c 值；（2）设0(P x ，02)x -，设切点为2(,)4x x ，曲线2:4xC y =，2xy '=，从而2002480x x x x -+-=，由此能求出直线00220x x y y --=，并能证明直线AB 过定点(2,2)Q ；（3）设1(A x ，21)4x ，222(,)4x B x ，从而求出交点12(2x x M +，12)4x x ，设过Q 点的直线为(2)2y k x =-+，联立()2224y k x x y⎧=-+⎨=⎩，得24880x kx k -+-=，由此能求出点M 满足的轨迹方程为20x y --=．(1)设抛物线的方程为22x py =，∵抛物线C 的焦点()0,F c (0)c >到直线:20l x y --=，=1c =或5c =-（舍去)， ∵12p=，2p =， ∵抛物线C 的方程为24x y =． (2)设0(P x ，02)x -，设切点为2(,)4x x ，曲线2:4x C y =，2xy '=，则切线的斜率为200(2)42x x x y x x --='=-，化简得2002480x x x x -+-=， 设1(A x ，21)4x ，222(,)4x B x ，则1x ，2x 是以上方程的两根，则1202x x x +=，12048x x x =-，2212012124442ABx x x x x k x x -+===-，直线AB 的方程为：2011()42x x y x x -=-，整理得20011242x x x x y x =-+，∵切线PA 的方程为2111()42x x y x x -=-，整理得21124x x y x =-，且点0(P x ，0)y 在切线PA 上，∵2110024x x y x =-，即直线AB 的方程为：002x y x y =-，化简得00220x x y y --=，又∵002y x =-，∵()02240x x y --+=， 故直线AB 过定点(2,2)Q ． (3) 设1(A x ，21)4x ，222(,)4x B x ，过A 的切线2111()24x x y x x =-+，过B 的切线2222()24x x y x x =-+，则交点12(2x x M +，12)4x x 设过Q 点的直线为(2)2y k x =-+， 联立()2224y k x x y⎧=-+⎨=⎩，得24880x kx k -+-=，∵124x x k +=，1282x x k =-， ∵(2,22)M k k -， ∵2y x =-．∵点M 满足的轨迹方程为20x y --=．变式4-3．已知A （ -3，0），B （3，0），四边形AMBN 的对角线交于点D （1，0），kMA 与kMB 的等比中项为13，直线AM ，NB 相交于点P . (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)若点N 也在C 上，点P 是否在定直线上?如果是，求出该直线，如果不是，请说明理由.【答案】(1)2219x y -=；(2)点P 在定直线x =9上.理由见解析. 【解析】 【分析】(1)设点(,)M x y ，根据两点坐标距离公式和等比数列的等比中项的应用列出方程，整理方程即可； (2)设直线MN 方程为：1x my =+，点()()1122，，，M x y N x y ，联立双曲线方程消去x 得到关于y 的一元二次方程，根据韦达定理写出1212y y y y +、，利用两点坐标和直线的点斜式方程写出直线P A 、PB ，联立方程组，解方程组即可. (1)设点(,)M x y ，则33MA MB y y k k x x ==+-，， 又19MA MB k k =，所以1339y y x x ⨯=+-， 整理，得2219x y -=，即轨迹M 的方程C 为：2219x y -=；(2)点P 在定直线上. 由(1)知，曲线C 方程为：2219x y -=，直线MN 过点D (1,0)若直线MN 斜率不存在，则1x =，得21109y =-<，不符合题意；设直线MN 方程为：1x my =+，点()()1122，，，M x y N x y ，则22119x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x ，得22(9)280m y my -+-=， 有1212222899m y y y y m m +==--，， 111x my =+，221x my =+，121233PA PB y y k k x x ==+-，， 所以直线P A 方程为：1111(3)(3)34y y y x x x my =+=+++， 直线PB 方程为：2222(3)(3)32y y y x x x my =-=---， 所以点P 的坐标为方程组1122(3)4(3)2y y x my y y x my ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩的解，有1212(3)(3)42y y x x my my +=-+-，即12121226143my y y y my y x -=-++，整理，得21224268349y y m x y m +=++-，解得9x =，即点P 在定直线9x =上.巩固练习练习一 直接法1．在平面直角坐标系xOy 中，A (2，0)，B (－2，0)． (1)若|P A |＝|PB |，求点P 的轨迹方程；(2)若2|P A |＝|PB |，且对于任意的点P ，Q ，均有OQ ＝λOP ，记点Q 的轨迹方程为C ，若C 与x 轴有一个交点为A ，求λ的值． 【答案】(1)0x =； (2)3或13. 【解析】 【分析】（1）根据两点间距离公式进行求解即可；（2）根据两点间距离公式，结合共线向量的性质，运用代入法进行求解即可. (1) 设(,)P x y ，因为|P A |＝|PB |0x ==， 所以点P 的轨迹方程为0x =； (2) 设(,)P x y ，因为2|P A |＝|PB |，所以2220403x y x =+-+=， 设00(,)Q x y ，因为OQ ＝λOP ，所以有00001(,)(,)1x x x y x y y y λλλ⎧=⎪⎪=⇒⎨⎪=⎪⎩，代入2220403x y x +-+=中，得22000221120403x y x λλλ⋅+⋅-+=， 所以点Q 的轨迹方程为22221120403x y x λλλ⋅+⋅-+=，因为C 与x 轴有一个交点为A ， 所以有22211202024033λλλλ⋅+⨯-⨯+=⇒=，或13λ=， 所以λ的值为3或13.2．已知动点P 到点（0，1）的距离与到直线y ＝2，动点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)直线y ＝kx +1与曲线C 交于A ，B 两点，点M （0，2），证明：直线MA ，MB 的斜率之和为0．【答案】(1)2212y x +=(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合两点间距离公式进行求解即可；（2）直线y ＝kx +1与曲线C 方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合斜率公式进行求解即可. (1)设点P 的坐标为P （x ，y ），整理可得曲线C 的轨迹方程为2212y x +=； (2)证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），与直线方程联立可得：（k 2+2）x 2+2kx ﹣1＝0，则：12122221,22k x x x x k k --+==++， 121212122211MA MBy y kx kx k k x x x x ----+=+=+＝22121212121222()220k k kx x x x k k x x x x --⋅--+++==， 从而直线MA ，MB 的斜率之和为0．3．已知点A ，B 的坐标分别为()2,0-，()2,0，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是34-，求点M 的轨迹方程．【答案】()221243x y x +=≠±.【解析】 【分析】设出交点M 的坐标，写出两直线的斜率，直接由斜率之积是34-列式化简，即得. 【详解】设(),M x y ，则2AM y k x =+，2BM y k x =-， ()32224AM BM y y k k x x x ∴⋅=⋅=-≠±+-，化简整理得，()2234122x y x +=≠±，所以点M 的轨迹方程为：()221243x y x +=≠±.4．设动点M 到定点(3,0)F 的距离与它到直线4:3l x =的距离之比为32，求点M 的轨迹方程．【答案】22145x y -=【解析】 【分析】设点(,)M x y ，可求得MF 的长及M 到直线l 的距离，根据题意，列出方程，化简计算，即可得答案. 【详解】设点(,)M x y，所以MF M 到直线4:3l x =的距离为43x -32=3423x -， 所以2229168(3)493x x y x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，整理得22145x y -=， 所以点M 的轨迹方程为22145x y -=.练习二 相关点法5．已知圆C 经过点A （3，1）、B （－1，3），且它的圆心在直线320x y --=上. (1)求圆C 的标准方程；(2)若点D 为圆C 上任意一点，且点E （3，0），求线段ED 中点M 的轨迹方程. 【答案】(1)()()222410x y -+-=；(2)()2255222x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；（2）首先设出点M 的坐标，利用中点公式得到点D 坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M 的轨迹方程. (1)由题可设圆C 的标准方程为()()222x a y b r -+-=，则()()()()2222223113320a b r a b r a b ⎧-+-=⎪⎪--+-=⎨⎪--=⎪⎩， 解之得22,4,10a b r ===，所以圆C 的标准方程为()()222410x y -+-=； (2)设M （x ，y ），D ()11,x y ，则，由E (3，0)及M 为线段ED 的中点得：113202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得11232x x y y =-⎧⎨=⎩ 又点D 在圆C ：22(2)(4)10x y -+-=上， 所以有()()222322410x y --+-=，化简得：()2255222x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．故所求的轨迹方程为()2255222x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．6．已知Rt ABC 的斜边为AB ，且(1,0),(3,0)A B -.求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程. 【答案】(1)22(1)4(0)x y y -+=≠ (2)()()22210x y y -+=≠ 【解析】 【分析】（1）设(,)C x y ，根据AC BC ⊥，得到1AC BC k k ⋅=-，结合斜率公式，即可求得顶点C 的轨迹方程； （2）设00(,),(,)M x y C x y ，根据M 是线段BC 的中点，得到0023,2x x y y =-=，代入C 的轨迹方程，即可求得动点M 的轨迹方程. (1)解：设(,)C x y ，因为,,A B C 三点不共线，所以0y ≠， 因为AC BC ⊥，所以1AC BC k k ⋅=-， 又因为,13AC BC y yk k x x ==+-，所以113y y x x ⋅=-+-， 整理得22230x y x +--=，即22(1)4x y -+=， 所以直角顶点C 的轨迹方程为22(1)4(0)x y y -+=≠. (2)解：设00(,),(,)M x y C x y ，因为(3,0)B ，M 是线段BC 的中点， 由中点坐标公式得0030,22x y x y ++==，所以0023,2x x y y =-=， 由（1）知，点C 的轨迹方程为22(1)4(0)x y y -+=≠，将0023,2x x y y =-=代入得22(24)(2)4x y -+=，即22(2)1x y -+= 所以动点M 的轨迹方程为()()22210x y y -+=≠.7．在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，设点P 在x 轴上的正投影为点D .当点P 在圆上运动时，动点M 满足2PD MD =，动点M 形成的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程． 【答案】＋y 2＝1. 【解析】 【分析】 【详解】方法一 由＝2，知点M 为线段PD 的中点，设点M 的坐标为(x ，y )，则点P 的坐标为(x ，2y )． 因为点P 在圆x 2＋y 2＝4上， 所以x 2＋(2y )2＝4，所以曲线C 的方程为＋y 2＝1.方法二 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标是(x 0，y 0)， 由＝2，得x 0＝x ，y 0＝2y ， 因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x ＋y ＝4，(*)把x 0＝x ，y 0＝2y 代入(*)式，得x 2＋4y 2＝4， 所以曲线C 的方程为＋y 2＝1.8．圆O ：x 2+y 2＝9上的动点P 在x 轴、y 轴上的射影分别是P 1，P 2，点M 满足122133OM OP OP =+． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）点A （0，1），B （0，﹣3），过点B 的直线与轨迹C 交于点S ，N ，且直线AS 、AN 的斜率k AS ，k AN 存在，求证：k AS •k AN 为常数．【答案】（1）2214x y +=；（2）12【解析】 【分析】（1）设0(P x ，0)y ，(,)M x y ，根据向量关系，用M 的坐标表示P 的坐标后，将P 的坐标 代入圆的方程可得M 的轨迹方程；（2）设出直线SN 的方程3y kx =-并代入椭圆方程，利 用韦达定理以及斜率公式得AS AN k k 为常数12.【详解】（1）设P （x 0，y 0），M （x ，y ），则1OP ＝（x 0，0），2OP ＝（0，y 0），由122133OP O OP M =+ ．得00002332133x x x x y y y y ⎧=⎧⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎩⎪⎩代入x 02+y 02＝9，所以点M 的轨迹C 的方程为2214x y +=.（2）当SN 的斜率不存在时，AS ，AN 的斜率也不存在，故不适合题意； 当SN 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线SN 的方程为y ＝kx ﹣3代入椭圆方程整理得（1+4k 2）x 2﹣24kx+32＝0，∵＞0⇒k 2＞2 设S （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2＝22414k k +，x 1x 2＝23214k +， 则k AS •k AN ＝()()()212121212121212kx 4kx 4k x x 4k x x 16y 1y 1x x x x x x ---++--⋅== ＝2222222322441632961664114143232214kk k k k k k k k⋅-⋅+-++++==+，故k AS •k AN 为常数12. 【点睛】本题考查了轨迹方程的求法，考查直线与圆的位置关系和椭圆中的定值问题，属中档题．练习三 定义法9．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是圆1F：22(16x y +=上的动点，定点2F ，线段2PF 的垂直平分线交1PF 于Q ，记Q 点的轨迹为E . （∵）求轨迹E 的方程；（∵）若动直线l ：(0)y kx m k =+≠与轨迹E 交于不同的两点M 、N ，点A 在轨迹E 上，且四边形OMAN 为平行四边形.证明：四边形OMAN 的面积为定值.【答案】（∵）2214x y +=（∵）见证明【解析】 【分析】(∵)由题意利用图形的几何性质和椭圆的定义即可确定轨迹方程；(∵)联立直线方程与(∵)中求得的轨迹方程，结合韦达定理和平行四边形的性质得到面积的表达式，进一步计算即可证得其面积为定值. 【详解】（∵）由题意：1214QF QF PF +==，∵根据椭圆的定义，点Q 的轨迹E 是以1F 、2F 为焦点的椭圆，其中24a =，2c =∵2a =，c 222431b a c =-=-=，∵轨迹E 的方程为：2214x y +=；（∵）证明：设11(,)M x y 、22(,)N x y ，联立方程组2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222148440k x kmx m +++-=，()()222(8)414440km k m∆=-+->，∵2214m k <+，122814km x x k +=-+，21224414m x x k -⋅=+，∵MN 的中点224,1414kmm k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭，∵2282,1414km m A k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 点A 在椭圆上，∵()()222222216411414k m m k k +=++，∵22414m k =+，∵||MN =点O 到直线y kx m =+的距离d =∵||OMAN S MN d =⋅===∵四边形OMAN【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．10．已知圆A ：（x +1）2+y 2＝16，圆C 过点B （1，0）且与圆A 相切，设圆心C 的轨迹为曲线E ． （∵）求曲线E 的方程；（∵）过点B 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与E 交于M ，N 两点，直线l 2与圆A 交于P ，Q 两点，求MN PQ的取值范围．【答案】（I ）22143x y +=；（II ）38⎡⎢⎣⎦.【解析】 【分析】（∵）由题意画出图形，根据椭圆的定义和性质求出a ，b ，则椭圆方程可求； （∵）求出两直线垂直于坐标轴时MN PQ的值，当两直线斜率存在且不为0时，设l 1：y ＝k （x ﹣1），则l 2：y ()11x k=--，分别求出|MN |，|PQ |的值，可得MN PQ关于k 的函数，利用配方法求值域．【详解】（∵）圆A ：（x +1）2+y 2＝16的圆心A （﹣1，0），半径r ＝4，如图， 由图可知，|CA |+|CB |＝r ＝4，∵圆心C 的轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆，且c ＝1，2a ＝4，a ＝2． ∵b则曲线E 的方程为22143x y +=；（∵）如图，当l 1∵x 轴，l 2∵y 轴时，38MNPQ =； 当l 1∵y 轴，l 2∵x轴时，MN PQ==当两直线斜率存在且不为0时，设l 1：y ＝k （x ﹣1）， 则l 2：y ()11x k=--．联立()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得（3+4k 2）x 2﹣8k 2x +4k 2﹣12＝0．设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，∵|MN|=x1﹣x2|=()2212134kk+=+．圆心A到直线x+ky﹣1＝0的距离d=则|PQ|＝∵22121kMNPQ+===∵k2+1＞1，∵213441k-+＜＜，则211114341k-+＜＜，∵MNPQ∵（38），综上，MNPQ的取值范围为[38]．【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆，直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，训练了利用配方法求最值，属于难题．11．设圆222150x y x++-=的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D 两点，过B作AC的平行线交AD于点E．证明EA EB+为定值，并写出点E的轨迹方程．【答案】证明见解析，点E的轨迹方程为221(0)43x yy+=≠【解析】 【分析】由//EB AC ，得EBD ACD ∠=∠，进而得EB ED =，所以EA EB AD +=，根据圆的方程可得4EA EB +=．设点E 的坐标为(),x y 4=，化简可得所求方程．由题意可得点E 不能在x 轴上，所以0y ≠． 【详解】因为AD AC =，//EB AC ，故EBD ACD ADC ∠=∠=∠， 所以EB ED =，故EA EB EA ED AD +=+=．又圆A 的标准方程为()22116x y ++=，从而4AD =，所以4EA EB +=． 由题设得()1,0A -，()1,0B ，2AB =，设点E 的坐标为(),x y 4=，化简可得点E 的轨迹方程为()221043x y y +=≠．【点睛】本题考查求动点的轨迹方程等知识，考查学生的运算能力、转化能力．应注意分析题中的几何条件，进而将题目中的几何条件直接翻译为代数条件．可通过建系、设点、列式、化简、讨论等步骤得到所求的曲线轨迹方程．另一种方法，也可以根据动点所满足的平面几何性质得到等量关系，进而根据特殊曲线的定义写出其轨迹方程．12．在直角坐标系xOy 中，动圆P 与圆Q ：22(2)1x y -+=外切，且圆P 与直线1x =-相切，记动圆圆心P 的轨迹为曲线C .求曲线C 的轨迹方程. 【答案】28y x = 【解析】 【分析】设圆心(),P x y ，圆P 的半径为r 1r +以及1r x =+，联立消去r 即求出曲线C 的轨迹方程. 【详解】解：设圆心(),P x y ，圆P 的半径为r ，因为动圆P 与圆22:(2)1Q x y -+=外切，1r +∵，又动圆P 与直线1x =-相切.所以1r x =+∵， 联立∵∵消去x ，可得28y x =． 所以曲线C 的轨迹方程为28y x =.练习四 消参法与交轨法13．设椭圆方程为2214y x +=，过点()0,1M 的直线l 交椭圆于点A ，B ，O 是坐标原点，点P 满足()12OP OA OB =+，点N 的坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，当l 绕点M 旋转时，求：（1）动点P 的轨迹方程； （2）NP 的最小值与最大值.【答案】（1）2240x y y +-=；（2）当14x =时，最小值为14；当16x =-6. 【解析】 【分析】（1）设出直线l 的方程1y kx =+和点A 、B 的坐标，联立直线与椭圆的方程，即可求出1212,x x y y ++，然后根据()12OP OA OB =+求出点P 的坐标，消去参数，即可得到动点P 的轨迹方程，再检验当k 不存在时，是否也满足方程即可；（2）根据点P 的轨迹方程求得x 的取值范围，再根据两点间的距离公式求出2||NP ，消元，由二次函数的性质即可求出NP 的最小值与最大值． 【详解】（1）直线l 过点()0,1M ，设其斜率为k ，则l 的方程为1y kx =+．设()11,A x y ，()22,B x y ，由题设可得点A 、B 的坐标是方程组221,14y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩①②的解．将∵代入∵并化简得()224230kx kx ++-=，所以1221222,48.4k x x ky y k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩于是，()12OP OA OB =+1212224,,2244x x y y k k k ++-⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，设点P 的坐标为(),x y ，则22,44,4k x k y k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩消去参数k 得2240x y y +-=，∵ 当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点()0,0，也满足方程∵， 所以点P 的轨迹方程为2240x y y +-=．（2）点P 的轨迹方变形为2211424x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，知2116x ≤，即1144x -≤≤． 所以222|122|1NP x y ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222111142424x y y x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2173612x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，故当14x =时，NP 取得最小值，最小值为14．当16x =-时，NP取得最大值，最大值为．【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用，平面向量的坐标运算，两点间的距离公式的应用，利用参数法求轨迹，以及二次函数的性质应用，意在考查学生的数学运算能力，综合性较强，属于中档题．14．已知椭圆C ：2222x y a b +＝1(a >b >0)经过点1)(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON (O 为坐标原点)的斜率之积为12-.若动点P 满足2OP OM ON =+，求点P 的轨迹方程.【答案】(1)2242x y +＝1；(2)222010x y +＝1.【解析】（1）离心率提供c a=1)，提供22211a b +=，结合222a b c =+可求得,a b ，得椭圆方程；（2）设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由2OP OM ON =+得x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2，利用P ，Q都是椭圆上的点，满足椭圆方程，求得2212122204(2)x y x x y y +=++，再由12OM ON k k =-可得结论．【详解】(1)因为e2222212c a b a a -==， 又椭圆C 经过点，1)，所以22211a b +=， 解得a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆C 的方程为2242x y +＝1.(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由2OP OM ON =+得x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2，因为点M ，N 在椭圆2242x y +＝1，即2224x y +=上，所以2222112224,24x y x y +=+=，故x 2＋2y 2＝2222221122112211(44)2(44)(2)x x x x y y y y x y +++++=+22224(2)x y ++12124(2)x x y y ++，设kOM ，kON 分别为直线OM 与ON 的斜率，由题意知，kOM ·kON ＝121212y y x x =-，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0， 所以x 2＋2y 2＝20，故点P 的轨迹方程为222010x y +=1.【点睛】本题考查求椭圆标准方程，求动点轨迹方程．本题求动点轨迹方程方法相似于动点转移法：设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由动点P 与M ,N 的关系得x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2，M ,N 在已知椭圆上有2222112224,24x y x y +=+=，另外由kOM ·kON ＝121212y y x x =-，得x 1x 2＋2y 1y 2＝0，观察这些式子，求平方和222x y +正好消去所有参数1212,,,x x y y 得轨迹方程．15．已知抛物线C ：212y x =，过点()1,1Q 的动直线与抛物线C 交于不同的两点A 、B ，分别以A 、B 为切点作抛物线的切线1l 、2l ，直线1l 、2l 交于点P .(1)求动点P 的轨迹方程；(2)求PAB △面积的最小值，并求出此时直线AB 的方程. 【答案】(1)1y x =- (2)1，y x = 【解析】 【分析】（1）设211,2x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，分别求出以,A B 为切点的切线方程，联立两切线方程表示出点P 的坐标，再设直线AB 的方程为：1(x 1)y k -=-，与抛物线的方程联立，代入可得点P 的轨迹方程；（2）由（1）知AB 和(,1)P k k -到直线AB 的距离，利用三角形面积公式求得PAB △面积S =S 的最小值和直线AB 的方程.(1)设211,2x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，212y x =，y x '=则以A 为切点的切线为2111()2x y x x x -=-，整理得：2112x y x x =⋅-，同理：以B 为切点的切线为：2222x y x x =-，联立方程组：21122222x y x x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得121222x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 设直线AB 的方程为：1(x 1)y k -=-，联立方程组21(1)12y k x y x -=-⎧⎪⎨=⎪⎩，整理得：22220x kx k -+-=， 2244(22)4(1)40k k k ∆=--=-+>恒成立，由韦达定理得：122x x k +=，1222x x k =-，故(,1)P k k -， 所以点P 的轨迹方程为10x y --=； (2)解：由（1）知：AB =(,1)P k k -到直线AB的距离为：d =，∵12S AB d =⋅= ∵1k =时，S 取得最小值1，此时直线AB 的方程为y x =. 【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线的交点相关问题，涉及到抛物线的切线和三角形的面积的最值，直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．属中档题.16．设M 是椭圆C ：221124x y +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ∵MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程.【答案】()22103x y xy +=≠；【解析】 【分析】设点的坐标()()()()112211,,,0,,M x y N x y x y E x y ≠，则()()()111111,,,,,,P x y Q x y T x y ----由M 和N 满足椭圆方程得13MN QN k k ⋅=-，求出QN 斜率和方程，联立QN 方程和PT 方程求出x ，y ，由此用x ，y 表示M 的坐标，将M 坐标代入椭圆方程就可以得E 的轨迹方程. 【详解】设点的坐标()()()()112211,,,0,,M x y N x y x y E x y ≠， 则()()()111111,,,,,,P x y Q x y T x y ----∵M 、N 在椭圆C 上，∵()()221122221,11241.2124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 由(1)－(2)可得()()2112122113y y y y x x x x ---⋅----＝，即13MN QN k k ⋅=-， 又11MQ OM yk k x ==，MN ∵MQ ，∵11MN xk y =-，∵113QN yk x =，。
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1．已知点A(－1，0)，B(2，4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( ) A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0 B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0 C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0 D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0答案 B解析 可知AB 的方程为4x －3y ＋4＝0，又|AB|＝5，设动点C(x ，y)．由题意可知12×5×|4x －3y ＋4|5＝10，所以4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.故选B. 2．动圆M 经过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x答案 B 解析 双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F(－2，0)，动圆M 经过F 且与直线x ＝2相切，则圆心M 经过F 且与直线x ＝2相切，则圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y 2＝－8x.3．(2019·皖南八校联考)设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA|＝1，则P 点的轨迹方程为( ) A ．y 2＝2x B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2x D ．(x －1)2＋y 2＝2答案 D解析 (直译法)如图，设P(x ，y)，圆心为M(1，0)．连接MA ，PM. 则MA ⊥PA ，且|MA|＝1，又因为|PA|＝1，所以|PM|＝|MA|2＋|PA|2＝2， 即|PM|2＝2，所以(x －1)2＋y 2＝2.4．方程x －1lg(x 2＋y 2－1)＝0所表示的曲线图形是( )答案 D5．已知A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( ) A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1) B ．y 2－x 248＝1C ．y 2－x 248＝－1D ．x 2－y 248＝1答案 A解析 由题意，得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2.故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线下支．∵双曲线中c ＝7，a ＝1，∴b 2＝48，∴轨迹方程为y 2－x 248＝1(y ≤－1)． 6．△ABC 的顶点为A(－5，0)，B(5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x>3) D.x 216－y 29＝1(x>4) 答案 C解析 设△ABC 的内切圆与x 轴相切于D 点，则D(3，0)．由于AC ，BC 都为圆的切线． 故有|CA|－|CB|＝|AD|－|BD|＝8－2＝6.由双曲线定义知所求轨迹方程为x 29－y 216＝1(x>3)．故选C.7.如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝r 2(r>0)内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若OP →＝aOA →＋bOB →(a ，b ∈R )，若M(a ，b)，则动点M 所形成的轨迹曲线的长度为( )A ．π B.2π C.3π D ．2π答案 B解析 设P(x ，y)，则x 2＋y 2＝r 2，A(r ，r)，B(－r ，r)．由OP →＝aOA →＋bOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝（a －b ）r ，y ＝（a ＋b ）r ，代入x 2＋y 2＝r 2，得(a －b)2＋(a ＋b)2＝1，即a 2＋b 2＝12，故动点M 所形成的轨迹曲线的长度为2π.8．(2019·福建三明一中期中)已知两点M(－3，0)，N(3，0)，给出下列曲线：①x －y ＋5＝0；②2x ＋y －24＝0；③y ＝x 2；④(x －6)2＋(y －4)2＝1；⑤y 29－x 216＝1，在所给的曲线上存在点P 满足|MP|＋|NP|＝10的曲线方程有( )A ．②③④B ．①③④C ．①③⑤D ．①④⑤答案 C解析 ∵|PM|＋|PN|＝10>|MN|＝6，∴P 点轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，长轴长2a ＝10，a ＝5，2c ＝6，c ＝3. ∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16. ∴P 点轨迹方程为x 225＋y 216＝1.问题转化为哪条曲线与椭圆有公共点，数形结合知①③⑤三条曲线与椭圆有公共点，选C. 9．(2019·人大附中模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设点P(x ，y)，M(x ，－4)，以线段PM 为直径的圆经过原点O.则动点P 的轨迹方程为________． 答案 x 2＝4y解析 由题意可得OP ⊥OM ，所以OP →·OM →＝0，所以(x ，y)·(x ，－4)＝0，即x 2－4y ＝0，所以动点P 的轨迹方程为x 2＝4y. 10．已知抛物线y 2＝nx(n<0)与双曲线x 28－y 2m＝1有一个相同的焦点，则动点(m ，n)的轨迹方程是________． 答案 n 2＝16(m ＋8)(n<0)解析 抛物线的焦点为(n 4，0)，在双曲线中，8＋m ＝c 2＝(n4)2，n<0，即n 2＝16(m ＋8)(n<0)．11．若过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与其交于M ，N 两点，作平行四边形MONP ，则点P 的轨迹方程为________． 答案 y 2＝4(x －2)解析 设直线方程为y ＝k(x －1)，点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，P(x ，y)，由OM →＝NP →，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)． 得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，联立得x ＝x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.y ＝y 1＋y 2＝4kk2，消去参数k ，得y 2＝4(x －2)． 12.如图所示，直角三角形ABC 的顶点坐标A(－2，0)，直角顶点B(0，－22)，顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点．(1)求BC 边所在直线方程；(2)M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程；(3)若动圆N 过点P 且与圆M 内切，求动圆N 的圆心N 的轨迹方程． 答案 (1)y ＝22x －22 (2)(x －1)2＋y 2＝9 (3)49x 2＋45y 2＝1 解析 (1)∵k AB ＝－2，AB ⊥BC ，∴k CB ＝22.∴BC ：y ＝22x －2 2. (2)在上式中，令y ＝0，得C(4，0)．∴圆心M(1，0)． 又∵|AM|＝3，∴外接圆的方程为(x －1)2＋y 2＝9. (3)∵P(－1，0)，M(1，0)，∵圆N 过点P(－1，0)， ∴PN 是该圆的半径．又∵动圆N 与圆M 内切， ∴|MN|＝3－|PN|，即|MN|＋|PN|＝3.∴点N 的轨迹是以M ，P 为焦点，长轴长为3的椭圆． ∴a ＝32，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝54. ∴轨迹方程为49x 2＋45y 2＝1.13．已知动点P(x ，y)与两定点M(－1，0)，N(1，0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)． (1)求动点P 的轨迹C 的方程； (2)讨论轨迹C 的形状． 答案(1)x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1) (2)略 解析 (1)由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·y x －1＝λ. 整理，得x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)． (2)①当λ>0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(除去顶点)； ②当－1<λ<0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆(除去长轴两个端点)； ③当λ＝－1时，轨迹C 为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－1，0)，(1，0)； ④当λ<－1时，轨迹C 为中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)． 14．已知点A(－4，4)，B(4，4)，直线AM 与BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差为－2，点M 的轨迹为曲线C.(1)求曲线C 的轨迹方程；(2)Q 为直线y ＝－1上的动点，过Q 作曲线C 的切线，切点分别为D ，E ，求△QDE 的面积S 的最小值．答案 (1)x 2＝4y(x ≠±4) (2)4 解析 (1)设M(x ，y)，则k AM ＝y －4x ＋4，k BM ＝y －4x －4. ∵直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的差为－2， ∴y －4x ＋4－y －4x －4＝－2，∴x 2＝4y(x ≠±4)． (2)设Q(m ，－1)．∵切线斜率存在且不为0，故可设一条切线的斜率为k ，则切线方程为y ＋1＝k(x －m)．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k （x －m ），x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋4(km ＋1)＝0.由相切得Δ＝0，将k 2－km －1＝0代入，得x 2－4kx ＋4k 2＝0， 即x ＝2k ，从而得到切点的坐标为(2k ，k 2)． 在关于k 的方程k 2－km －1＝0中，Δ>0，∴方程k 2－km －1＝0有两个不相等的实数根，分别为k 1，k 2，则⎩⎪⎨⎪⎧k 1＋k 2＝m ，k 1·k 2＝－1，故QD ⊥QE ，S ＝12|QD||QE|.记切点(2k ，k 2)到Q(m ，－1)的距离为d ，则d 2＝(2k －m)2＋(k 2＋1)2＝4(k 2－km)＋m 2＋k 2m 2＋4km ＋4， 故|QD|＝（4＋m 2）（k 12＋1）， |QE|＝（4＋m 2）（k 22＋1）， S ＝12(4＋m 2)1＋1－2k 1k 2＋（k 1＋k 2）2＝12(4＋m 2)4＋m 2≥4， 即当m ＝0，也就是Q(0，－1)时面积的最小值为4.15．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，过左焦点倾斜角为45°的直线被椭圆截得的弦长为423.(1)求椭圆E 的方程；(2)若动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点，过点M(1，0)作l 的垂线，垂足为Q ，求点Q 的轨迹方程．答案 (1)x 22＋y 2＝1 (2)x 2＋y 2＝2解析 (1)因为椭圆E 的离心率为22，所以a 2－b 2a ＝22.解得a 2＝2b 2，故椭圆E 的方程可设为x 22b 2＋y 2b 2＝1，则椭圆E 的左焦点坐标为(－b ，0)，过左焦点倾斜角为45°的直线方程为l′：y ＝x ＋b.设直线l′与椭圆E 的交点为A ，B ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b 2＝1，y ＝x ＋b ，消去y ，得3x 2＋4bx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－4b 3.因为|AB|＝1＋12|x 1－x 2|＝42b 3＝423，解得b ＝1. ∴a 2＝2，∴椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)①当切线l 的斜率存在且不为0时，设l 的方程为y ＝kx ＋m ，联立直线l 和椭圆E 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1.消去y 并整理，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 和椭圆E 有且仅有一个交点， 所以Δ＝16k 2m 2－4(2k 2＋1)(2m 2－2)＝0. 化简并整理，得m 2＝2k 2＋1.因为直线MQ 与l 垂直，所以直线MQ 的方程为y ＝－1k (x －1)．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k （x －1），y ＝kx ＋m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－km 1＋k 2，y ＝k ＋m 1＋k 2，∴x 2＋y 2＝（1－km ）2＋（k ＋m ）2（1＋k 2）2＝k 2m 2＋k 2＋m 2＋1（1＋k 2）2＝（k 2＋1）（m 2＋1）（1＋k 2）2＝m 2＋11＋k 2，把m 2＝2k 2＋1代入上式得x 2＋y 2＝2.(*)②当切线l 的斜率为0时，此时Q(1，1)或(1，－1)，符合(*)式． ③当切线l 的斜率不存在时，此时Q(2，0)或(－2，0)，符合(*)式． 综上所述，点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.。