专题研究一求曲线的轨迹方程习题和答案详解

1．已知点A(－1，0)，B(2，4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( ) A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0 B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0 C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0 D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0

答案 B

解析 可知AB 的方程为4x －3y ＋4＝0，又|AB|＝5，设动点C(x ，y)．由题意可知1

2×5×

|4x －3y ＋4|

5＝10，所以4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.故选B. 2．动圆M 经过双曲线x 2－

y 2

3

＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x

答案 B 解析 双曲线

x 2－

y 2

3

＝1的左焦点F(－2，0)，动圆M 经过F 且与直线x ＝2相切，则圆心M 经过F 且与直线x ＝2相切，则圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y 2＝－8x.

3．(2019·皖南八校联考)设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA|＝1，则P 点的轨迹方程为( ) A ．y 2＝2x B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2x D ．(x －1)2＋y 2＝2

答案 D

解析 (直译法)如图，设P(x ，y)，圆心为M(1，0)．连接MA ，PM. 则MA ⊥PA ，且|MA|＝1，

又因为|PA|＝1，所以|PM|＝|MA|2＋|PA|2＝2， 即|PM|2＝2，所以(x －1)2＋y 2＝2.

4．方程x －1lg(x 2＋y 2－1)＝0所表示的曲线图形是( )

答案 D

5．已知A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( ) A ．y 2－

x 2

48

＝1(y ≤－1) B ．y 2－

x 2

48

＝1

C ．y 2－x 2

48

＝－1

D ．x 2

－y 2

48

＝1

答案 A

解析 由题意，得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2.故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线下支．∵双曲线中c ＝7，a ＝1，∴b 2＝48，∴轨迹方程为

y 2－

x 2

48

＝1(y ≤－1)． 6．△ABC 的顶点为A(－5，0)，B(5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 29－y 2

16＝1 B.x 216－y 2

9

＝1 C.x 29－y 2

16＝1(x>3) D.x 216－y 2

9

＝1(x>4) 答案 C

解析 设△ABC 的内切圆与x 轴相切于D 点，则D(3，0)．由于AC ，BC 都为圆的切线． 故有|CA|－|CB|＝|AD|－|BD|＝8－2＝6.

由双曲线定义知所求轨迹方程为x 29－y 2

16

＝1(x>3)．故选C.

7.如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝r 2(r>0)内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若OP →＝aOA →＋bOB →

(a ，b ∈R )，若M(a ，b)，则动点M 所形成的轨迹曲线的长度为( )

A ．π B.2π C.3π D ．2π

答案 B

解析 设P(x ，y)，则

x 2＋y 2＝r 2，A(r ，r)，B(－r ，r)．由OP →＝aOA →＋bOB →

，得⎩⎪⎨

⎪⎧x ＝（a －b ）r ，y ＝（a ＋b ）r ，

代入x 2＋y 2＝r 2，得(a －b)2＋(a ＋b)2＝1，即a 2＋b 2＝1

2，故动点M 所形成的轨迹曲线的长度

为2π.

8．(2019·福建三明一中期中)已知两点M(－3，0)，N(3，0)，给出下列曲线：①x －y ＋5＝0；②2x ＋y －24＝0；③y ＝x 2；④(x －6)2＋(y －4)2＝1；⑤y 29－x 2

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＝1，在所给的曲线上存在点P 满足|MP|＋|NP|＝10的曲线方程有( )

A ．②③④

B ．①③④

C ．①③⑤

D ．①④⑤

答案 C

解析 ∵|PM|＋|PN|＝10>|MN|＝6，

∴P 点轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，长轴长2a ＝10，a ＝5，2c ＝6，c ＝3. ∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16. ∴P 点轨迹方程为x 225＋y 2

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＝1.

问题转化为哪条曲线与椭圆有公共点，数形结合知①③⑤三条曲线与椭圆有公共点，选C. 9．(2019·人大附中模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设点P(x ，y)，M(x ，－4)，以线段PM 为直径的圆经过原点O.则动点P 的轨迹方程为________． 答案 x 2＝4y

解析 由题意可得OP ⊥OM ，所以OP →·OM →

＝0，所以(x ，y)·(x ，－4)＝0，即x 2－4y ＝0，所以动点P 的轨迹方程为x 2＝4y. 10．已知抛物线

y 2＝nx(n<0)与双曲线

x 28－y 2

m

＝1有一个相同的焦点，则动点(m ，n)的轨迹方程是________． 答案 n 2＝16(m ＋8)(n<0)

解析 抛物线的焦点为(n 4，0)，在双曲线中，8＋m ＝c 2＝(n

4)2，n<0，即n 2＝16(m ＋8)(n<0)．

11．若过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与其交于M ，N 两点，作平行四边形MONP ，则点P 的轨迹方程为________． 答案 y 2＝4(x －2)

解析 设直线方程为y ＝k(x －1)，点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，P(x ，y)，由OM →＝NP →

，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)． 得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y.

由⎩

⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，联立得x ＝x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.

y ＝y 1＋y 2＝

4k

k

2，消去参数k ，得y 2＝4(x －2)． 12.如图所示，直角三角形ABC 的顶点坐标A(－2，0)，直角顶点B(0，－22)，顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点．