离散数学第四讲推理规则与证明方法 ppt课件
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命题逻辑04证明方法.ppt
例题解（3）
3.如果4能够整除整数K，那么2也能整除K。 解：设 p：4能够整除整数K。
q： 2也能整除K。 命题符号化为：p → q 此命题为永真命题。即有 p ⇒ q
p
q
p→q
0
0
1
0
1
1
1
1
1
哈尔滨工程大学校级精品课—离散数学
Discrete Mathematics—Harbin Engineering University CST
Discrete Mathematics—Harbin Engineering University CST
基本蕴涵式
(1)化简律：AB=>A, AB => B (2)附加律：A => AB, B => AB (3)假言推理： A ( AB) => B (4)拒取式：(AB)B => A (5)析取三段论：(AB) B => A (6)假言三段论：(AB) (BC) => AC (7)等价三段论： (A↔B) (B ↔ C) => A↔C (8)二难推理： (AC)(AB)(CB) => B (9)构造性二难： (AB)(CD)(AC) => BD
推理的形式结构
• 有 限 命 题 序 列 A1,A2,…Ak,B 称 为 推 理 （ 或 论 证 （ argument ） ） 。 A1,A2,…Ak 称 为 推 理 的 前 提 （premise），B称为推理的结论（conclusion）。
• 当且仅当A1∧A2∧…∧Ak → B为重言式时，称由 前提A1, A2,… Ak推出B的推理是有效的（或正确 的），并称B是该前提的有效结论。
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离散数学命题逻辑推理理论
构造性二难
(A®B)Ù(ØA®B) Þ B
构造性二难(特殊形式)
(A®B)Ù(C®D)Ù( ØBÚØD) Þ (ØAÚØC) 破坏性二难
自然推理系统P
自然推理系统P由下述3部分组成:
1、 字母表
命题变项符号: p,q,r,…,
pi,qi,ri,…
联结词:
,
,
,
,
括号与逗号: ( ), , 2、 合式
明天就是5号、 解 设 p: 今天就是1号, q: 明天就是5号 推理得形式结构为 (p®q)Ùp®q 证明 用等值演算法
(p®q)Ùp®q Û Ø((ØpÚq)Ùp)Úq Û ((pÙØq)ÚØp)Úq Û ØpÚØqÚq Û 1
得证推理正确
实例( 续 )
(2) 若今天天冷,小王就穿羽绒服。小王就穿羽绒服。 所以, 今天天冷。
r:我有课,
s:我备课
前提: (pÚq)®r, r®s, Øs
结论: ØpÙØq
实例( 续 )
前提: (pÚq)®r, r®s, Øs
结论: ØpÙØq
证明 ① r®s ② Øs ③ Ør ④ (pÚq)®r
前提引入 前提引入 ①②拒取式 前提引入
Ø(pÚq)
③④拒取式
⑥ ØpÙØq
置换
结论有效, 即明天不就是星期一与星期三
公式
3. 推理规则
前提引入规则
结论引入规则
置换规则
自然推理系统P(续)
(4) 假言推理规则 A®B A
\B (5) 附加规则
A \AÚB (6) 化简规则
AÙB \A
(7) 拒取式规则 A®B ØB
\ØA (8) 假言三段论规则
A®B B®C
1.7推理理论(离散数学)PPT
例2. 构造下列推理的证明
前提：p∨q, p→ r, s→t, s→r, t
结论：qБайду номын сангаас
①s→t
前提引入
② t
前提引入
③ s
①②拒取式
④ s→r
前提引入
⑤r
③④假言推理
⑥p→ r
前提引入
⑦ p
⑤⑥拒取式
⑧p∨q
前提引入
⑨q
⑦⑧析取三段论
例3. 构造下列推理的论证
前提：p→q, r→ q, r∨s, s→ q
称(A1∧A2∧…∧Ak)→B 为由前提A1,A2,…,Ak推结论 B 的推理的形式结构.
说明：
同用“A B”表示“AB”是重言式类似,用 “AB”表示“AB”是重言式.因而,若由前提 A1,A2,···,Ak推结论B的推理正确,也记
(A1∧A2∧…∧Ak)B.
于是,判断推理是否正确的方法就是判断重言蕴涵 式的方法.比如真值表法,等值演算法,主析取范式 法等.
8.(A→B)∧(C→D)∧(A∨C) (B∨D). 构造性二难
推理规则
（1）前提引入规则 在证明的任何步骤上都可以引入前提。
（2）结论引入规则 在证明的任何步骤上所得到的结论都可以作为
后继证明的前提。
（3）置换规则 在证明的任何步骤上，命题公式中的子公式都
可以用与之等值的公式置换，得到公式序列中的又 一个公式。
①p∨ s
前提引入
②s
附加前提引入
③p
①②析取三段论
④p→ (q→r)
前提引入
⑤q→r
③④假言推理
⑥q
前提引入
⑦r
⑤⑥假言推理
四、归谬法
若A1∧A2∧…∧An 是可满足式，则称A1 ,A2,…,An 是相 容的，
离散数学第四讲-推理规则与证明方法
设P: 这里有球赛, Q: 通行是困难的, R: 他们按时到达。 即证 P→Q，R→ ¬ Q，R ¬ P
*
运用推理规则形式化证明
1). 无义证明法 证明 P Q为真，只需证明P为假。 2). 平凡证明法 证明 P Q为真，只需证明Q为真。 无义证明法和平凡证明法应用的次数较少, 但 对有限的或特殊的情况, 它们常常是重要的。
结论:从前提出发，应用推理规则推出的命题公式。
什么是推理？ 推理规则 推理
*
推理的例子：设x属于实数, P: x是偶数, Q: x2是偶数。
例3. 如果x是偶数, 则x2是偶数。 x不是偶数。 x2不是偶数。
例2. 如果x是偶数, 则x2是偶数。 x2是偶数。 x是偶数。
例4. 如果x是偶数, 则x2是偶数。 x2不是偶数。 x不是偶数。
*
8. 反证法（又称归谬法、矛盾法） 定理：设{H1, H2, … , Hn}是一致的, C是一命题公式, 如果{H1, H2, …, Hn, ¬ C}非一致, 则能从H1 , H2, … , Hn推出C，即H1∧H2∧ …∧Hn C 。
3.证明方法
3.证明方法
#2022
*
7.分情况证明 证明 P1 P2 … Pn Q ， 只需证明对每一i，Pi → Q成立。
3.证明方法
#2022
*
Байду номын сангаас3.证明方法
反证法（又称归谬法、矛盾法） 定义：设公式H1, H2, … , Hm中的原子命题变元是P1, P2, … , Pn, 如果给P1, P2, … , Pn以某一 指派, 能使H1∧H2 … ∧Hm的真值为真, 则称命题公式集合{H1, H2, … , Hm}是一致的, 否则称为非一致的。 这个定义也可这样叙述: 若H1∧H2∧…∧Hm R∧¬R, 则{H1, H2, … , Hm}是非一致的, 否则是一致的。
*
运用推理规则形式化证明
1). 无义证明法 证明 P Q为真，只需证明P为假。 2). 平凡证明法 证明 P Q为真，只需证明Q为真。 无义证明法和平凡证明法应用的次数较少, 但 对有限的或特殊的情况, 它们常常是重要的。
结论:从前提出发，应用推理规则推出的命题公式。
什么是推理？ 推理规则 推理
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推理的例子：设x属于实数, P: x是偶数, Q: x2是偶数。
例3. 如果x是偶数, 则x2是偶数。 x不是偶数。 x2不是偶数。
例2. 如果x是偶数, 则x2是偶数。 x2是偶数。 x是偶数。
例4. 如果x是偶数, 则x2是偶数。 x2不是偶数。 x不是偶数。
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8. 反证法（又称归谬法、矛盾法） 定理：设{H1, H2, … , Hn}是一致的, C是一命题公式, 如果{H1, H2, …, Hn, ¬ C}非一致, 则能从H1 , H2, … , Hn推出C，即H1∧H2∧ …∧Hn C 。
3.证明方法
3.证明方法
#2022
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7.分情况证明 证明 P1 P2 … Pn Q ， 只需证明对每一i，Pi → Q成立。
3.证明方法
#2022
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Байду номын сангаас3.证明方法
反证法（又称归谬法、矛盾法） 定义：设公式H1, H2, … , Hm中的原子命题变元是P1, P2, … , Pn, 如果给P1, P2, … , Pn以某一 指派, 能使H1∧H2 … ∧Hm的真值为真, 则称命题公式集合{H1, H2, … , Hm}是一致的, 否则称为非一致的。 这个定义也可这样叙述: 若H1∧H2∧…∧Hm R∧¬R, 则{H1, H2, … , Hm}是非一致的, 否则是一致的。
精品课程《离散数学》PPT课件(全)
言1
为什么学习离散数学？
离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学与技术 的理论基础，所以又称为计算机数学，是计算机科学与技术 专业的核心、骨干课程。
它以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研 究对象一般是有限个或可数个元素，因此它充分描述了计算 机科学离散性的特点。
离散数学是什么课？
真值为1
25
1.1 命题符号化及联结词
以下命题中出现的a是给定的一个正整数： (3) 只有 a能被2整除， a才能被4整除。
(4) 只有 a能被4整除， a才能被2整除。
解： 令r： a能被4整除， s： a能被2整除。 真值不确定 (3)符号化为 s r (4)符号化为 r s
真值为1
26
19
1.1 命题符号化及联结词
3.析取词 设p,q为二命题，复合命题“p或q” 称为p与q的析取式，记作p ∨ q，符号∨称 为析取联结词。 运算规则：
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1
20
1.1 命题符号化及联结词
析取运算特点：只有参与运算的二命题全为假时，运算结果才 为假，否则为真。 相容或：二者至少有一个发生，也可二者都发生 排斥或：二者只有一个发生，即非此即彼 例如： （1）小王爱打球或爱跑步。 设p：小王爱打球。 q：小王爱跑步。 则上述命题可符号化为：p ∨ q （2）张晓静是江西人或湖南人。 设p：江西人。 q：湖南人。 则上述命题就不可简单符号化为：p ∨ q 而应描述为(p∧ q) ∨( p∧q)(也可用异或联接词∨)
（1）星期天天气好，带儿子去了动物园； （2）星期天天气好，却没带儿子去动物园； （3）星期天天气不好，却带儿子去了动物园； （4）星期天天气不好，没带儿子去动物园。
离散数学第四章课件ppt
例1 设R＝{<x，y>|x、y∈N∧y＝x2}和S＝{<x，y>|x、 y∈N∧y＝x＋1}是N上的关系，求R-1、R*S、S*R。
解 R-1＝{<y，x>|x、y∈N∧y＝x2}
R*S＝{<x，y>|x、y∈N∧y＝x2＋1}
S*R＝{<x，y>|x、y∈N∧y＝(x＋1)2}
定理4.9 设R和S为任意两个二元关系，则： (1)(R-1)-1＝R。 (2)(R∪S)-1＝R-1∪S-1。 (3)(R∩S)-1＝R-1∩S-1。 (4)(R－S)-1＝R-1－S-1。 (5)(A×B)-1＝B×A。 证 (2)因为<x，y>∈(R∪S)-1<y，x>∈(R∪S) 明 <y，x>∈R∨<y，x>∈S
注： (1)当x≠y时，<x，y>≠<y，x>； (2)<x，y>＝ <u，v>当且仅当x＝u∧y＝v； (3)序偶<x，y>与集合 {x，y}不同。
定义4.2 n个元素x1、x2、…、xn按一定的 次序排列组成的有序序列称为有序n元组，记 作<x1，x2，…，xn>。
例如，表示时间的年月日组成一个三元组。
证 明
(2)因为y∈R[A∩B] x(x∈A∩B∧xRy) c∈A∧c∈B∧cRy
(c∈A∧cRy)∧(c∈B∧cRy)
y∈R[A]∧y∈R[B] y∈R[A]∩R[B]， 所以R[A∩B] R[A]∩R[B]。
4.2.2关系矩阵与关系图
定义4.11 设A＝{x1，x2，…，xn}，B＝{y1，
定理4.10 设R、S和T为任意三个二元关 系，则： (1)DR*SDR，RR*SRS。 (2)RS∧TWR*TS*W。 (3)R*(S∪T)＝(R*S)∪(R*T)。 (4)R*(S∩T)(R*S)∩(R*T)。 (5)R*S－R*TR*(S－T)。 (6)(R*S)-1＝S-1*R-1。 (7)(R*S)*T＝R*(S*T)。
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逻辑运算符“析取”， 与汉语中“或”含义 相当，但有细微的区 别
1.1 命题及联结词
运算符“析取” 与汉语的“或”几乎一致但有 区别：哪些老师讲离散数学？有人回答如下：
(16)“讲离散数学的老师是杨老师或吴老师”， 分解为
“讲离散数学的老师是杨老师”或 “讲离散数学的老师是吴老师”， 这两个原子命题有可能都是对的， 这种“或”称为“可同时为真的或”， 或简称为“可兼或”。 这种“或”表示可表 示为“析取”
1.1 命题及联结词
定义1.4条件:当p是1 ,q是0时,pq为0,即10 为0,其他情况为1。
逻辑运算符“如果…那么”， 如老妈说：“如果期终考了年级前10 名，那么奖励1000元”。 p:期终考了年级前10名 q:奖励1000元 则上面的语句表示为pq。 先考虑值为0即假的情况： 当p为1即“期终考了年级前10”， 且q为0即“没有奖励1000元” 这时老妈的话是假话空话，
这个例题有点不正点！ “郎才当且仅当女貌”，
可以表示为“郎才女貌”
1.2命题公式
对错明确的陈述语句称为命题，其真值t/f 0/1 C运算：加+、减-、乘x、除/、余数%， 命题逻辑：合、析、否定、条件、双条件(版) C语言中用变量x表示某些数，如x*x+x+10是表达式，
命题逻辑中用变量p,q,r表示任意命题，由命题常元与 此类变量所构成表达式，称为“命题公式”。
无论p/q取何值，这两个公式的值，与前面各例 不同，此表是将运算结果写在联结词的下方！
1.3 等值式
定义1.3.1等值： 对于合法的命题公式A、B， 若无论其中的命题变元取何值，A 、B值总相等， 称为两个公式等值，记为AB (边播边板)
目的:
1．掌握离散数学五大核心内容（集合论、数 理逻辑、代数结构、图论、组合数学）的基本概 念、基本理论、基本方法，训练提高学生的概括 抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能力，培养 学生严谨、完整、规范的科学态度和学习思维习 惯。
1.1 命题及联结词
运算符“析取” 与汉语的“或”几乎一致但有 区别：哪些老师讲离散数学？有人回答如下：
(16)“讲离散数学的老师是杨老师或吴老师”， 分解为
“讲离散数学的老师是杨老师”或 “讲离散数学的老师是吴老师”， 这两个原子命题有可能都是对的， 这种“或”称为“可同时为真的或”， 或简称为“可兼或”。 这种“或”表示可表 示为“析取”
1.1 命题及联结词
定义1.4条件:当p是1 ,q是0时,pq为0,即10 为0,其他情况为1。
逻辑运算符“如果…那么”， 如老妈说：“如果期终考了年级前10 名，那么奖励1000元”。 p:期终考了年级前10名 q:奖励1000元 则上面的语句表示为pq。 先考虑值为0即假的情况： 当p为1即“期终考了年级前10”， 且q为0即“没有奖励1000元” 这时老妈的话是假话空话，
这个例题有点不正点！ “郎才当且仅当女貌”，
可以表示为“郎才女貌”
1.2命题公式
对错明确的陈述语句称为命题，其真值t/f 0/1 C运算：加+、减-、乘x、除/、余数%， 命题逻辑：合、析、否定、条件、双条件(版) C语言中用变量x表示某些数，如x*x+x+10是表达式，
命题逻辑中用变量p,q,r表示任意命题，由命题常元与 此类变量所构成表达式，称为“命题公式”。
无论p/q取何值，这两个公式的值，与前面各例 不同，此表是将运算结果写在联结词的下方！
1.3 等值式
定义1.3.1等值： 对于合法的命题公式A、B， 若无论其中的命题变元取何值，A 、B值总相等， 称为两个公式等值，记为AB (边播边板)
目的:
1．掌握离散数学五大核心内容（集合论、数 理逻辑、代数结构、图论、组合数学）的基本概 念、基本理论、基本方法，训练提高学生的概括 抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能力，培养 学生严谨、完整、规范的科学态度和学习思维习 惯。
离散数学PPT【共34张PPT】
15
18.4 点着色
定义17.9 (1) 图G的一种点着色——给图G的每个顶点涂上一种颜色，
使相邻顶点具有不同颜色 (2) 对G进行k着色（G是k-可着色的）——能用k种颜色给G
的顶点着色 (3) G的色数(G)=k——G是k-可着色的，但不是(k1)-可着色
的.
16
关于顶点着色的几个简单结果
定理17.19 (G)=1当且仅当G为零图 定理17.20 (Kn)=n 定理17.21 若G为奇圈或奇阶轮图，则(G)=3，若G为偶阶轮 图，则(G)=4. 定理17.22 若G的边集非空，则(G)=2当且仅当G为二部图.
路径 (7) M的交错圈——由M与EM中的边交替出现构成的G中圈
上图中，只有第一个图存在完美匹配
8
可增广路径及交错圈
(1)
(2)
(3)
设红色边在匹配M中，绿色边不在M中，则图(1)中的两条路 径均为可增广的交错路径；(2)中的全不是可增广的交错路 径；(3)中是一个交错圈. 不难看出，可增广交错路径中，不在M中的边比在M中的边 多一条. 交错圈一定为偶圈.
立集 (3) 最大点独立集——元素最多的点独立集 (4) 点独立数——最大点独立集中的元素个数，记为0
(1)
(2)
在图中，点独立数依次为2, 2, 3.
(3)
2
极大独立集与极小支配集
定理18.1 设G=<V,E>中无孤立点，则G的极大点独立集都是 极小支配集. 证明线索： (1) 设V*为G的极大点独立集，证明它也是支配集.
定理17.28 偶圈边色数为2，奇圈边色数为3. 定理17.29 (Wn) = n1, n4. 定理17.30 二部图的边色数等于最大度. 定理17.31 n为奇数（n1）时，(Kn)=n；
18.4 点着色
定义17.9 (1) 图G的一种点着色——给图G的每个顶点涂上一种颜色，
使相邻顶点具有不同颜色 (2) 对G进行k着色（G是k-可着色的）——能用k种颜色给G
的顶点着色 (3) G的色数(G)=k——G是k-可着色的，但不是(k1)-可着色
的.
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关于顶点着色的几个简单结果
定理17.19 (G)=1当且仅当G为零图 定理17.20 (Kn)=n 定理17.21 若G为奇圈或奇阶轮图，则(G)=3，若G为偶阶轮 图，则(G)=4. 定理17.22 若G的边集非空，则(G)=2当且仅当G为二部图.
路径 (7) M的交错圈——由M与EM中的边交替出现构成的G中圈
上图中，只有第一个图存在完美匹配
8
可增广路径及交错圈
(1)
(2)
(3)
设红色边在匹配M中，绿色边不在M中，则图(1)中的两条路 径均为可增广的交错路径；(2)中的全不是可增广的交错路 径；(3)中是一个交错圈. 不难看出，可增广交错路径中，不在M中的边比在M中的边 多一条. 交错圈一定为偶圈.
立集 (3) 最大点独立集——元素最多的点独立集 (4) 点独立数——最大点独立集中的元素个数，记为0
(1)
(2)
在图中，点独立数依次为2, 2, 3.
(3)
2
极大独立集与极小支配集
定理18.1 设G=<V,E>中无孤立点，则G的极大点独立集都是 极小支配集. 证明线索： (1) 设V*为G的极大点独立集，证明它也是支配集.
定理17.28 偶圈边色数为2，奇圈边色数为3. 定理17.29 (Wn) = n1, n4. 定理17.30 二部图的边色数等于最大度. 定理17.31 n为奇数（n1）时，(Kn)=n；
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P
T,(1),E1 T,(2),E14 P T,(3),(4),I6 P T,(6),E24
(8) ¬ R→ S
(9) ¬( ¬ R)S
(10) R S
T,(5),(7),I6
T,(8),E14 T, (9), E1
11
3. 证明方法
4). 间接证明法-（对原命题的逆否命题进行证明）
证P Q只需证¬Q ¬P
常用的推理规则
1) 恒等式(E1~E24) 2) 永真蕴含式(I1~I8,表1.5-1) 3) 替换规则，代入规则 4) P规则和T规则
P规则：(前提引入)
在推导的任何步骤上，都可以引入前提。
T规则：(结论引用)
在推导任何步骤上所得结论都可以作为后继证明的前提。
6
1.5-1
表
常 用 推 理 规 则
证： P1∧P2∧ …∧Pn P→Q
即证 P1∧P2∧ …∧Pn ∧ P Q
因为 P1∧P2∧ …∧Pn P→Q
iff P1∧P2∧ …∧Pn →( P→Q) iff ¬ (P1∧P2∧ …∧Pn )(¬ P Q) iff ¬P1 ¬P2 … ¬Pn ¬ P Q iff (¬P1 ¬P2 … ¬Pn ¬ P ) Q iff ¬ (P1∧P2∧ …∧Pn ∧ P) Q iff P1∧P2∧ …∧Pn ∧ P → Q iff P1∧P2∧ …∧Pn →( P→Q)
T,(1),(2),I5 P
T,(3),(4),I3 P
T,(5),(6),I3 CP规则
14
3. 证明方法
7.分情况证明
证明 P1 P2 … Pn Q ， 只需证明对每一i，Pi → Q成立。
因为 P1 P2 … Pn Q iff P1 P2 … Pn → Q iff ¬(P1 P2 … Pn) Q iff (¬P1 ¬P2 … ¬Pn) Q iff ( ¬P1 Q) ( ¬P2 Q) … ( ¬Pn Q) iff (P1 → Q ) (P2 → Q ) (Pn → Q )
对有限的或特殊的情况, 它们常常是重要的。
10
3. 证明方法
3).直接证明法
H1∧H2∧ …∧Hn C，由前提利用推理规则直接推出C。
例2：证明
CD, C→R, D→S RS
证： (1) CD (2) ¬( ¬C) D
(3) ¬ C → D (4) D → S (5) ¬ C→ S (6) C →R (7) ¬ R→¬C
7
永真蕴含式
8
运用推理规则形式化证明
例1：考虑下述论证: 1. 如果这里有球赛, 则通行是困难的。 2. 如果他们按时到达, 则通行是不困难的。 3. 他们按时到达了。 4. 所以这里没有球赛。 前 3 个断言是前提, 最后1个断言是结论, 要求我们从前提推出结论。
设P: 这里Байду номын сангаас球赛, Q: 通行是困难的, R: 他们按时到达。
√
Q
P
× x 2
四个例子的推理是否正确？
例3.
例4.
如果x是偶数, 则x2是偶数。所用依据如是果什x是么偶？数, 则x2是偶数。
x不是偶数。
x2不是偶数。
x2不是偶数。
x不是偶数。
P Q P Q
× x 2
P Q
Q
√
P
3
1、推理和推理规则
刚才的例子表明了研究推理规则的重要性。 推理规则：正确推理的依据。
因为P Q iff P→Q永真 iff ¬ Q → ¬P永真
iff ¬Q ¬P
5). (H1∧H2∧ …∧Hn) Q形式命题的证明
H1∧H2∧ …∧Hn Q
iff H1∧H2∧ …∧Hn →Q
是重言式
iff ¬ (H1∧H2∧ …∧Hn )Q
是重言式
iff ¬ H1 ¬ H2 … ¬ Hn Q
是重言式
iff (Q ¬ H1) (Q ¬ H2) … (Q ¬ Hn)
是重言式
iff (¬ Q → ¬ H1) (¬ Q → ¬ H2) … (¬ Q → ¬ Hn) 是重言式
若至少有一个i，使得 使 ¬ Q ¬Hi, 则原恒等式成立。
12
6. 证明方法
6. CP规则（演绎定理）
P1∧P2∧ …∧Pn →( P→Q)形式命题的证明
永真 永真 永真 永真 永真 永真
13
3. 证明方法
利用CP规则证明以下例题
例3：证A →(B → C)， ¬ D A，B D → C
证： (1) D (2) ¬ D A (3) A (4) A →(B → C) (5) B → C (6) B (7) C (8) D → C
P（附加前提）
P
注意： 1. 不考虑前提的真假，推理正确≠结论为真。 2. 结论的真假 取决于 前提H1∧H2∧ …∧Hn的真假。
前提为真，则结论为真； 前提为假，则结论可真可假。 3. 因此，定义中只说C 是H1, H2, …, Hn 的有效结论而不说是正确结 论。“有效”是指结论的推出合乎推理规则。
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1、推理和推理规则
任何一条永真蕴含式都可以作为一条推理规则。
例：析取三段论： P(PQ ) Q 如果，P：他在钓鱼，Q：他在下棋
前提：他在钓鱼或下棋； 他不在钓鱼
结论：所以他在下棋
PQ P 所以 Q
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1、推理和推理规则
定义1：若H1∧H2∧ …∧Hn C, 则称C是H1, H2, …, Hn的 有效结论。 特别若A B, 则称B是A的有效结论，或从A推出B。
第四讲 推理规则和证明方法
讲授内容： 1.推理和推理规则
推理 推理规则 两规则 替换规则
2. 证明方法
直接证明方法 CP规则 反证法
讲授重点：推理规则，直接证明方法与CP规则 讲授难点：直接证明方法，CP规则与反证法
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1.推理和推理规则
什么是推理？
推理:从前提推出结论的思维过程。 前提:指已知的命题公式。 结论:从前提出发，应用推理规则推出的命题公式。
即证
P→Q，R→ ¬ Q，R ¬ P
证： 步骤 断言(真)
根据
（1）
R
P
（2） R→ ¬ Q
P
（3） （4）
¬Q P→Q
T,(1),(2),I3 P
（5） ¬ P
T,(3),(4),I4
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3. 证明方法
1). 无义证明法
证明 P Q为真，只需证明P为假。
2). 平凡证明法 证明 P Q为真，只需证明Q为真。 无义证明法和平凡证明法应用的次数较少, 但
前提
推理规则
推理
结论
本节内容：从逻辑推理的角度来理解命题演算
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推理的例子：设x属于实数, P: x是偶数, Q: x2是偶数。
例1.
如果x是偶数, 则x2是偶数。
x是偶数。
前提
x2是偶数。 ------------- 结论
例2.
如果x是偶数, 则x2是偶数。
x2是偶数。 P Q
x是偶数。 P Q P Q