全微分
全微分及其应用
常见方法
求解无约束最优化问题的方法包括梯度下降法、 牛顿法、拟牛顿法等。
牛顿法
牛顿法是一种基于目标函数二阶导数的迭代算法 ，通过构造海森矩阵并求解线性方程组来逼近最 优解。
有约束最优化问题
01
有约束最优化问题
有约束最优化问题是在存在约束条件限制下，寻找满 足所有约束条件的参数的最优解。
02 分类 有约束最优化问题可以分为等式约束问题和不等式约 束问题。
极值点判断
全微分还可以用于判断函数的极值点。如果函数在某一点的导数等于0，则该点 可能是函数的极值点。
函数极值点的判断
极值点判断
全微分可以用于判断函数的极值点。如果函数在某一点的导数等于0，且该点的二阶导数大于0，则该点 是函数的极值点。
极值点类型判断
全微分还可以用于判断函数的极值点类型，如极大值点或极小值点。如果函数在某一点的二阶导数小于0， 则该点是极大值点；如果二阶导数大于0，则该点是极小值点。
全微分的几何意义
总结词
全微分在几何上表示函数图像在 某一点处的切线斜率。
详细描述
全微分可以理解为函数图像在某 一点处的切线的斜率，这个斜率 表示函数在该点处沿任一方向的 变化率。
全微分的性质
总结词
全微分具有线性性质、可加性、可乘性和链式法则等性质。
详细描述
全微分具有线性性质，即两个函数的和或差的微分等于它们各自微分的和或差；全微分具有可加性，即函数在两 点间的微分等于这两点间各自微分的和；全微分还具有可乘性和链式法则等性质，这些性质在求导和积分中有着 广泛的应用。
应用
全微分在几何上表示函数图像在某点处的切线斜率的变化 量。
全微分在优化、近似计算、泰勒级数展开等方面有广泛应 用。
简述全微分的定义
简述全微分的定义全微分是微积分中的一个重要概念，用于描述函数的微小变化。
全微分的定义可以简述为：对于函数f(x, y)在点(x0, y0)处的全微分df，可以表示为df = ∂f/∂x · dx + ∂f/∂y · dy，其中∂f/∂x和∂f/∂y分别表示f对x和y的偏导数，dx和dy分别表示x和y的微小变化量。
全微分的定义可以从几何和物理的角度进行解释。
从几何角度来看，全微分可以理解为函数在某一点附近的切线方程。
在点(x0, y0)处，函数f(x, y)的切线方程可以表示为z = f(x0, y0) + ∂f/∂x · (x - x0) + ∂f/∂y · (y - y0)。
这个切线方程可以用全微分的形式来表示，即dz = ∂f/∂x · dx + ∂f/∂y · dy。
从物理角度来看，全微分可以理解为函数的微小变化对应的物理量。
例如，对于一个物体的位移函数，全微分可以表示物体在某一时刻的微小位移。
全微分的应用非常广泛。
在物理学中，全微分可以用于描述物体在运动过程中的微小变化。
在经济学中，全微分可以用于描述经济变量之间的微小变动关系。
在工程学中，全微分可以用于描述工程系统的微小变化。
在生物学中，全微分可以用于描述生物体的微小变化。
总之，无论是自然科学还是社会科学，全微分都具有广泛的应用。
全微分的定义是微积分中的基本概念，理解全微分的定义对于深入学习微积分非常重要。
通过全微分的定义，我们可以推导出一些重要的微积分定理，如链式法则和隐函数定理。
此外，全微分还可以用于近似计算，例如在数值计算和优化问题中，可以使用全微分来近似函数的变化。
在实际问题中，全微分的定义可以帮助我们理解函数的变化规律。
通过计算全微分，我们可以了解函数在某一点附近的变化趋势，并可以用全微分来近似函数的变化。
例如，在经济学中，我们可以使用全微分来描述经济变量之间的关系，从而研究经济系统的稳定性和变动性。
全微分的定义公式
全微分的定义公式全微分是描述多元函数在其中一点处的微小变化的概念。
它可以帮助我们理解多元函数的性质，并在一些应用中起到重要的作用。
首先，我们先回顾一元函数的微分的定义。
对于一个一元函数f(x)，如果在其中一点x=x0处，函数f(x)的微分存在，则微分df(x0)可以表示为：df(x0) = f'(x0)dx其中，f'(x0)是f(x)在x=x0处的导数，dx是自变量的一个微小增量。
对于多元函数来说，全微分的定义与一元函数类似，只是自变量有多个。
假设有一个二元函数f(x, y)，我们希望求解在点(x0, y0)处的全微分。
全微分df(x0, y0)可以表示为：df(x0, y0) = (∂f/∂x)，x=x0,y=y0 * dx + (∂f/∂y)，x=x0,y=y0 *dy其中，∂f/∂x和∂f/∂y分别表示f(x, y)对x和y的偏导数，dx和dy分别为自变量x和y的微小增量。
这个定义可以推广到任意多个自变量的情况。
这个定义稍微有点抽象，我们可以通过一个具体的例子来说明。
假设有一个二元函数f(x,y)=x^2+y^2，在点(1,2)处求解全微分。
首先，求解∂f/∂x和∂f/∂y。
对于f(x,y)=x^2+y^2，我们可以得到：∂f/∂x=2x∂f/∂y=2y然后，我们给定自变量的微小增量dx和dy的值，比如dx=0.1，dy=0.2、代入上式，就可以计算出df(x0, y0)的值：df(x0, y0) = (∂f/∂x)，x=1,y=2 * dx + (∂f/∂y)，x=1,y=2 * dy=2*1*0.1+2*2*0.2=0.6所以，在点(1, 2)处，函数f(x, y)的全微分df(x0, y0)的值为0.6、这个值表示函数在这个点处的微小变化。
df(x10, x20, ..., xn0) = (∂f/∂x1)，x1=x10, x2=x20, ...,xn=xn0 * dx1 + (∂f/∂x2)，x1=x10, x2=x20, ..., xn=xn0 * dx2 + ... + (∂f/∂xn)，x1=x10, x2=x20, ..., xn=xn0 * dxn其中，∂f/∂xi表示f(x1, x2, ..., xn)对xi的偏导数，dxi表示自变量xi的微小增量。
全微分性质
全微分性质定义1：全微分：微分学中指在局部的邻域内|定义2：全微分：在某点，函数值可以取得无限精确的变量称为全微分。
2。
概念1：函数在任一开区间内的图像都是对该开区间上的邻域而言，故可称为开区间的函数值；对一切连续函数而言，在任一开区间上的图像都是唯一确定的，因此有无穷个不同点；4。
类型1：可微，不可导。
3。
概念2：微分和导数是互逆的两种变换，且他们都能用来研究函数。
我们也称微分为“高阶”的导数。
5。
应用：函数在开区间上的单调性判别式为可求出它在该开区间内的单调区间。
6。
总结：单调性的判别主要用于：单调性证明；判断在某个范围内是否可导（直接求导或积分即可）。
7。
应用：在极值问题中我们通常会遇到函数在开区间上的极值点的分布问题，我们可以利用全微分计算出函数在这些区间上的最值点。
因此可根据全微分的性质来解决问题。
8。
应用：函数在开区间上的最值问题。
9。
分类1：全微分=拉格朗日乘数=partial^2 partial^2是微分的逆运算。
2。
总结：微分的应用其实就是拉格朗日乘数的应用，分类1中包含的大多数问题，我们都可以用微分来解决。
10。
推论：函数在某点的斜率是该点在所在直线上的截距，斜率是曲线在原点处的切线与该直线之间的夹角。
11。
推论：如果微分中的某项系数为零，则该函数在该点取得负斜率。
12。
推论：若函数在某点取得斜率为负的切线，则该点一定在该直线上，即该点到原点的距离等于其斜率的绝对值。
13。
反例：函数在0处取得切线，但不存在斜率为正的切线。
14。
类型2：无界，不可导。
15。
简单应用：常见的无界函数的拉格朗日乘数是正数，无界函数为复变函数的重要概念。
16。
分类2：无界，不可导。
17。
总结：无界函数的拉格朗日乘数是负数，无界函数为复变函数的重要概念。
18。
应用：复变函数在开区间内定义域扩大后的极值问题。
19。
分类3：无界，不可导。
20。
简单应用：最值问题。
21。
分类4：无界，不可导。
全微分的两种计算方法
全微分的两种计算方法
全微分有两种计算方法：
1. 使用链式法则：这种方法适用于多元函数的情况。
首先，假设函数 f(x,y,z,...) 是可微分的，
而且各个自变量之间存在关系，例如x=x(t), y=y(t), z=z(t)，则可以通过链式法则来计算全微分。
根据链式法则，全微分 df 可以表示为df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy + (∂f/∂z)dz + ...。
其中(∂f/∂x), (∂f/∂y), (∂f/∂z), ... 分别表示函数 f 对于各个自变量的偏导数，dx, dy, dz, ... 表示各个自变量的微分。
2. 使用近似法：这种方法适用于一元函数的情况。
假设函数 f(x) 是可微分的，我们想要计算在
某个点 a 处的全微分。
可以通过对函数 f 在点 a 处进行线性近似来计算全微分。
根据线性近似
的原理，可将 f(x) 在点 a 处展开成 f(x) = f(a) + f'(a)(x - a)，其中 f'(a) 表示函数 f 在点 a 处的导数。
将 x 替换为 a+dx，其中 dx 表示 x 在点 a 处的微分，可以得到 f(a+dx) = f(a) + f'(a)(dx)，进
而可以推导出全微分 df = f'(a)dx。
这两种方法都可以用于计算全微分，选择哪一种方法主要取决于函数的形式以及具体的问题。
全微分的推导
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ), f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 )
若 f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 可偏导,
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) x o( x )
x
Q
四、全微分在近似计算中的应用
当 z f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的两个偏导数 f x ( x , y ), f y ( x , y ) 连续, 且 x , y 都较小时, 有近似等式
z dz f x ( x , y )x f y ( x , y )y .
全微分的概念与计算
一、全微分的定义
二、全微分存在的条件 三、全微分的几何意义
四、全微分在近似计算中的应用
复习:一元函数 y = f (x) 的微分
y Ax o( x )
d y f ( x )x
可微
可导
一、全微分的定义
函数z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处对x和y的偏增量
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
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由微分定义 :
x 0 y 0
lim z lim ( A x B y ) o ( ) 0
0
得
x 0 y 0
lim f ( x x, y y ) f ( x, y )
例6
利用单摆摆动测定重力加速度 g 的公式是
4π2l g 2 . 现测得单摆摆长l 与振动周期T 分别为 T l 100 0.1cm , T 2 0.004s.问由于测定l与T的 误差而引起g的绝对误差和相对误差各为多少?
第六章3 全微分
的全微分.
yz ) d y ze
练习： 练习：设
注意: 注意 x , y , z 具有 x 解: Q f (x,0,0) = 轮换对称性 3 + cos x 1 x ′ = ) ∴ f x (0,0,0) = ( 3 + cos x x = 0 4
1 f y (0,0,0) = f z (0,0,0) = 4 ∴d f (0,0,0) = f y (0,0,0) d x + f y (0,0,0) d y + f z (0,0,0) d z 1 = (d x + d y + d z) 4
(∆x)2 + (∆y)2 ∆x ∆y = 0 2 2 (∆x) + (∆y)
≠ o(ρ ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
定理2 定理 (充分条件) 若函数
的偏导数
在 (x, y) 连 , 则函数在该点可微分. 点 续 证：∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y)
du =
记作
∂u + dz ∂z
dz u
dx u , d y u , dz u称为偏微分 故有下述叠加原理 偏微分. 偏微分 d u = d x u + d y u + dz u
1. 微分定义:
∆z =
+ o(ρ)
ρ = (∆x) + (∆y)
2
2
d z = f x (x, y)dx + f y (x, y)dy
ρ = (∆x) + (∆y)
2
2
d z = f x (x, y)dx + f y (x, y)dy
全微分公式
全微分公式1. 引言全微分是微积分中的一个重要概念，它通过近似刻画函数在某个点上的小变化，进而帮助我们理解函数的性质和行为。
全微分公式作为计算全微分的基本工具，具有广泛的应用。
2. 全微分的定义在微积分中，如果函数f(x, y)在点(x0, y0)处是可微的，则其全微分df(x0, y0)可表示为以下形式：df(x0, y0) = ∂f/∂x · dx + ∂f/∂y · dy其中，∂f/∂x和∂f/∂y分别表示f对x和y的偏导数，而dx 和dy分别表示x和y的变化量。
3. 全微分公式的推导要推导全微分公式，我们从泰勒展开式开始。
根据一元函数的泰勒展开式，我们可以得到：f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + R(x)其中，f(a)表示函数在点a处的函数值，f’(a)表示函数在点a处的导数，而R(x)表示剩余的高阶无穷小。
将上述泰勒展开式推广到二元函数的情况，我们有：f(x, y) = f(a, b) + ∂f/∂x(a, b)(x - a) + ∂f/∂y (a, b)(y - b) + R(x, y)与一元函数类似，f(a, b)是函数在点(a, b)处的函数值，∂f/∂x(a, b)和∂f/∂y(a, b)分别是函数在点(a, b)处的偏导数，R(x, y)表示剩余的高阶无穷小。
该展开式可以进一步化简为：f(x, y) ≈ f(a, b) + ∂f/∂x(a, b)(x - a) + ∂f/∂y (a, b)(y - b)观察上式，我们可以将其视为一个函数近似式的形式，近似的程度由后面两项决定。
在此近似条件下，我们可以将f(x, y)的变化量表示为：Δf ≈ ∂f/∂x(a, b)Δx + ∂f/∂y(a, b)Δy其中，Δx和Δy分别表示x和y的变化量。
4. 全微分的性质根据全微分的定义和推导过程，我们可以得出以下几个性质：•全微分df(x0, y0)是f(x, y)在点(x0, y0)处的切线方程；•全微分df(x0, y0)在点(x0, y0)处的值与函数在该点的实际变化量Δf(x0, y0)非常接近；•全微分与偏导数的关系：∂f/∂x = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy。
《高等数学》第三节 全微分
当 0 时,即 x 0 ,且
y 0
xy 是比 时，
高阶的无穷小. 则 z yx xy
z z z z ,y 其中 x ，从而有 z x y x y x y
第三节
全微分
一、全微分的定义 二、全微分在近似计算中的应用
一、全微分的定义
1、引例 一矩形金属片,长为 x ,宽为 y ,则面积 z xy 当边长 x, y 分别有增量 x, y 时,面积的增量为
z ( x x)( y y) xy yx xy xy
dz = 34dx + 12dy
极限, 连续, 偏导存在, 可微的关系:
极限
连续
+
偏导存在
连续
+
可微
二、全微分在近似计算中的应用 设函数
z f ( x, y) 在点 ( x, y )处可微，当 x, y
分别取得增量 x, y 时，
z f ( x x, y y) f ( x, y) dz f x( x, y)x f y ( x, y)y
yx y 1 d x x y ln x d y
注：关于二元函数全微分的定义及可微分的充 分条件可以完全类似地推广到三元和三元以上 的多元函数. y yz 例２：计算 u x sin 2 e 的全微分． 解
u 1, x u ye yz z
y u 1 yz cos ze y 2 2
15.47
y 1 dz dx ( cos ze yz ) dy ye yz dz 2 2
例３: 求 z = x4 y3 +2x 在点 (1, 2)的全微分.
全微分的定义公式
全微分的定义公式全微分的定义全微分是微积分中一个重要的概念，用于描述函数在某点处的变化率。
全微分的定义和相关公式可以帮助我们理解和计算函数的变化。
以下是全微分的定义和相关公式的列举。
定义在函数中，如果存在一个点(x0,y0)以及函数在该点的全微分dz，则函数在该点的全微分可以表示为：dz=∂z∂xdx+∂z∂ydy其中，∂z∂x 和∂z∂y分别表示函数z对变量x和y的偏导数。
全微分的性质全微分具有以下性质，可以帮助我们理解和应用全微分的概念：•全微分是线性的：即对于任意常数a和b，有da=adx+bdy•全微分的导数等于原函数的导数：即∂2z∂x∂y =∂2z∂y∂x解释和示例全微分的定义可以帮助我们理解函数在某点处的变化情况。
例如，考虑一个函数z=x2+y2，我们可以计算函数在点(1,2)处的全微分。
首先，我们需要计算函数z对x和y的偏导数。
根据函数z的定义，∂z ∂x =2x和∂z∂y=2y。
然后，我们可以将偏导数代入全微分的定义中，得到函数在点(1,2)处的全微分为：dz=∂z∂xdx+∂z∂ydy=2x⋅dx+2y⋅dy当我们希望计算函数在点(1,2)处的变化率时，可以使用全微分的定义和公式进行计算。
例如，当$dx = ，dy = $时，可以代入上述公式计算得到：$dz = 2 + 2 = $这表示函数在点(1,2)处的变化率为。
总结全微分是微积分中一个重要的概念，用于描述函数在某点处的变化率。
全微分的定义和相关公式可以帮助我们理解和计算函数的变化。
通过计算函数在特定点处的全微分，我们可以获得函数的变化率。
在实际应用中，全微分的概念也可以扩展到多个变量的函数和多元微积分中。
全微分
全增量 S 由 y0 x，x0 y，x y 三项组成.
x y
令
比其余两项小得多.
(x) (y ) ，
2 2
当 0时，
即 x y 是比高阶的无穷小， x y o( ).
又因为x0，y0为常数，
所以全增量S 只是x, y 的函数.
z f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 )
可表示为
z Ax By o( ),
其中A，B与 x, y 无关， (x)2 (y )2 , o( ) 是比
高阶的无穷小，则称 Ax By 为函数z=f(x,y)在点
z f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 ).
例1 设矩形金属薄板长为x，宽为y，则面积S=xy.薄板 受热膨胀，长自x0增加x，宽自y0增加 y，其面积相 应增加
S ( x0 x)( y0 y ) x0 y0 y0 x x0 y x y.
微分为
dz f x ( x, y )dx f y ( x, y )dy
或写成
dz z x dx z y dy. (1)
定理2 (全微分存在的充分条件) 设函数z=f(x,y)在点 (x,y)存在连续的偏导数 f x ( x, y ), f y ( x, y ) ，则函数z=f(x,y) 在点(x,y)可微. 例如
函数可微
上面三个定理可以完全推广到三元和三元以上的 多元函数.如三元函数u=f(x,y,z)的全微分存在，则有
du
u x
dx
u y
dy
u z
dz.
例2 求 z x3 y 3x 2 y 3 的全微分.
全微分的定义
= [ f ( x + Δx , y + Δy ) f ( x , y + Δy )]
+ [ f ( x , y + Δy ) f ( x , y )],
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 10
在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理
f ( x + Δx , y + Δy ) f ( x , y + Δy )
xy 2 x + y2 f ( x, y) = 0
微分存在． 全微分存在．
x2 + y2 ≠ 0 . x2 + y2 = 0
在点(0,0)处有
f x (0,0) = f y (0,0) = 0
2007年8月 8
南京航空航天大学 理学院 数学系
Δx Δy , Δz [ f x (0 Nhomakorabea0) Δx + f y (0,0) Δy ]= 2 2 ( Δx ) + ( Δy )
定理 1（必要条件） 如果函数 z = f ( x , y ) 在点
z ( x , y ) 可微分，则该函数在点 ( x , y ) 的偏导数 、 x z 必存在，且函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 的全微分 y
z z dz = Δx + Δy ． y x
为
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
6
证 如果函数 z = f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 可微分,
P ′( x + Δx , y + Δy ) ∈ P 的某个邻域
Δ z = A Δ x + B Δ y + o( ρ )
第8.4节 全微分
f f 所以 不存在.同理， 也不存在. x (0,0) y (0,0)
所以函数 f ( x, y ) 在点 (0,0) 处不可微.
定理2 若函数 z f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 处可微，则该函数在点 ( x, y )
处一定连续.
证
因为 z f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 处可微，于是有
定义 如果函数 z f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 的全增量
z f ( x x, y y ) f ( x, y ) 可 以 表 示 为 z Ax By o( ) ， 其 中 A, B 不 依 赖 于 x, y 而 仅 与 x, y 有 关 ， (x )2 (y )2 ， 则 称 函 数 z f ( x, y ) 在 点 ( x, y ) 可 微 分 ， Ax By 称 为 函 数 z f ( x , y )在点 ( x, y ) 的全微分，记为 d z ，即 d z = Ax By .
因此函数 z f ( x, y ) 的全微分可进一步表示为:
z z dz dx dy x y
计算函数 z e xy在点 (2,1) 处的全微分. 例1
z z xy ye , x e xy , 解 x y z z 2 2 e2 , e , y ( 2 ,1) x ( 2 , 1 )
因此取 x 1, y 2 ， x 0.02, y 0.01，则
f (1,2) 13 23 3,
3x2 1 f x (1,2) , 2 x 3 y 3 ( 1, 2 ) 2
3 y2 f y (1,2) 2. 3 3 2 x y ( 1, 2 )
利用上面的近似计算公式得
第八章 3全微分
x 0
lim
f ( x x, y) f ( x, y) x
B z y .
A
z x
,
同理可得
一元函数在某点的导数存在
微分存在．
多元函数的各偏导数存在
例如
xy 2 2 x y f ( x, y) 0
2
全微分存在．
x y 0
2
. x y 0
P ( x x , y y ) P 的 某 个 邻 域
z A x B y o( )
总成立,
当 y 0时，上式仍成立，
此 时 | x |,
f ( x x , y ) f ( x , y ) A x o (| x |),
则
x y
2
(x ) (y )
2
说明它不能随着
x x (x ) (x )
2 2
1 2
,
0 而 趋 于 0, 当 0 时
z [ f x ( 0 , 0 ) x f y ( 0 , 0 ) y ] o ( ),
函 数 在 点 ( 0 ,0 ) 处 不 可 微 .Βιβλιοθήκη 1 x y2 2
, ( x , y ) ( 0 ,0 )
在
( x , y ) ( 0, 0 )
点( 0,0 ) 连续且偏导数存在，但偏导数在点( 0,0 ) 不连续，而 f 在点( 0,0 ) 可微.
思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分
( x , y ) ( 0 ,0 ) ， ( x , y ) ( 0 ,0 ) 讨 论 .
全 微 分
全微分
du u x dx u ydy uz dz
2z z ( x 2 y) dx dy ln （x 2 y )dz . x 2y x 2y
z
练 习4 解:
计算函数
u 1 x
u 1 y cos ze yz y 2 2
解
y 求函数 z x
在点 (2 , 1) 处当
x 0.01,
y z 2 x x（2， 1）
z y
1 0.25 , 4 ( 2 ,1)
( 2 ,1)
1 x
( 2 ,1 )
1 0.5 . 2
z x y ( 2,1) y
( 2,1)
所以全微分为：
的全微分.
u ye yz z
du u x dx u ydy uz dz
在点 (x, y) 的全微分, 记作
d z d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
等价于
z A x B y o( ) , lim z A x B y 0
0
可微分与连续
偏导数存在不一定连续, 但可微分必连续. 证明：若 z f(x, y) 在点(x, y)可微, 则
例题2 求函数 z y x
2 2
全微分：
解
z x 2x
z y 2y
因为
dz z xdx z ydy
dz 2 xdx 2 ydy
2、定理2 (充分条件) 若函数
的偏导数
z z 在点 ( x, y ) 连续, 则函数在该点可微分. , x y
反例
第3节
简述全微分的定义
简述全微分的定义
全微分是微积分中一个重要的概念，是指对于一个多元函数，如果它
的偏导数存在且连续，那么该函数就具有全微分。
全微分的定义可以
从两个方面来解释。
一、从几何意义上来讲，全微分表示函数在某一点处沿着某个方向的
变化率。
具体而言，设函数f(x,y)在点P(x0,y0)处有定义，则在P点附近取一点Q(x0+Δx, y0+Δy)，则f(x,y)在P点处沿着向量(Δx, Δy)的方向上的变化率可以表示为：
df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy
其中∂f/∂x和∂f/∂y分别表示函数在P点处关于x和y的偏导数。
dx
和dy则是向量(Δx, Δy)的坐标变化量。
这个式子就是全微分的定义式。
二、从代数意义上来讲，全微分可以理解为一个线性近似函数。
具体
而言，在P点附近取一小块区域U，对于区域内任意一点(x,y)，都可
以将函数f(x,y)表示为：
f(x,y) ≈ f(x0,y0) + ∂f/∂x (x-x0) + ∂f/∂y (y-y0)
这个式子表示了f(x,y)在P点处的线性近似函数。
将x-x0和y-y0看作自变量的增量，∂f/∂x和∂f/∂y看作函数的导数，则可以将式子写成：
df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy
这个式子就是全微分的定义式。
综上所述，全微分是一个非常重要的概念，它可以从几何意义和代数意义两个方面来理解。
在实际应用中，全微分可以用来计算函数在某一点处沿着某个方向上的变化率，也可以用来进行线性近似计算。
对于工程、物理等领域中的问题求解都有很大帮助。
全微分求解方法
全微分求解方法一、全微分的概念。
1.1 啥是全微分呢？简单来说，全微分就是用来描述多元函数在各个自变量都有微小变化时，函数值的总体变化情况的一个好东西。
就好比你要考虑一个东西的变化，不是只看一个方面的小变动，而是好几个相关方面都有一点小改变时，对这个东西整体的影响。
这就像我们生活中做事情，不能只看一个因素变了会咋样，得综合考虑好多因素同时有点小波动的情况。
1.2 从数学式子上看，如果有个二元函数z = f(x,y)，那么全微分dz就和x、y 的微小变化dx和dy有关系。
这就像是一个小团队里，每个成员的小行动（dx和dy）都会对整个团队的成果（dz）有影响，牵一发而动全身啊。
二、全微分的求解步骤。
2.1 首先呢，得求出函数对各个自变量的偏导数。
这偏导数就像是在一个多因素的事情里，单独看一个因素对整体的影响程度。
比如说，对于函数z = f(x,y)，就要分别求出∂z/∂x和∂z/∂y。
这就好比在一个大家庭里，要看看爸爸挣钱的能力（∂z/∂x）和妈妈理财的能力（∂z/∂y）对家庭财富（z）的单独影响。
2.2 然后呢，全微分的公式就是dz = ∂z/∂x dx + ∂z/∂y dy。
这就像是把爸爸和妈妈各自对家庭财富的影响（∂z/∂x和∂z/∂y），再结合他们各自的小行动（dx和dy），最后得到家庭财富总体的小变化（dz）。
这个公式看起来简单，但是可别小瞧它，就像老话说的“麻雀虽小，五脏俱全”，这里面包含了多元函数变化的很多奥秘呢。
2.3 要是多元函数的自变量更多，比如说三元函数u = f(x,y,z)，那全微分公式就是du = ∂u/∂x dx+ ∂u/∂y dy + ∂u/∂z dz。
这就好比一个更复杂的团队，有更多的成员，每个成员的小行动（dx、dy、dz）和他们对整体的单独影响（∂u/∂x、∂u/∂y、∂u/∂z）共同决定了整个团队成果（du）的小变化。
三、全微分求解的实际例子。
3.1 比如说有个函数z = x² + y²，那先求偏导数，∂z/∂x = 2x，∂z/∂y = 2y。
全微分
直流电路中, 例5. 在直流电路中 测得电压 U = 24 伏, 相对误差为 0.3%; % 测得电流 I = 6安, 相对误差为 0.5 % , 安 求用欧姆定律计算电阻 求用欧姆定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差 . U 24 欧 由欧姆定律可知: 解: 由欧姆定律可知 R = = = 4 (欧) I 6 的相对误差约为: 所以 R 的相对误差约为
≠ o(ρ ) 因此, 不可微. 因此 函数在点 (0, 0) 不可微
∂z ∂z 3. 定理 (充分条件 若函数 z=f(x, y)的偏导数 , 在点 y)连续 定理2 充分条件 充分条件):若函数 在点(x, 连续 连续, 的偏导数 ∂x ∂ y
则函数在该点可微分. 则函数在该点可微分 . 由于 x = ∆x, d y = ∆y, 所以函数 z = f (x, y) 的全微分可记作 由于d 的全微分可记作: dz = f x′( x, y)dx + f y′( x, y)dy . 可微与偏导数的关系 可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 (2) 偏导数连续 偏导数存在 函数可微
f y′(1, −1) = 5,
dz x=1 = f x′(1, −1)dx + f y′(1, −1)dy = 8dx + 5dy
x 2+y
的全微分d 例2: 求函数 z = sin (x y) + e 的全微分 z 。 2 2 解： Q ∂z = y cos( xy) + 2xex + y, ∂z = x cos( xy) + ex + y ∂x ∂y ∂z ∂z ∴ dz = dx + dy ∂x ∂y
2. 可微与偏导数的关系: 可微与偏导数的关系 (1) 函数可微 (2) 偏导数连续 偏导数存在 函数可微
全微分
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∂2z ∂2z 四、 2 = y x ln 2 y , 2 = x ( x − 1) y x − 2 , ∂x ∂y ∂ 2z = y x −1 ( x ln y + 1) . ∂ x∂ y 1 ∂3z ∂3z =− 2. 五、 2 = 0, 2 y ∂x ∂y ∂ x∂ y
π 三、 . 4
∂z ∂z 2 2 =e , = 2e , ∂x ( 2 ,1 ) ∂y ( 2 ,1 )
所求全微分 dz = e 2dx + 2e 2dy .
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π 例 2 求函数 z = y cos( x − 2 y ) ，当 x = ， y = π ， 4
时的全微分. 时的全微分
解
∂z = − y sin( x − 2 y ), ∂x ∂z = cos( x − 2 y ) + 2 y sin( x − 2 y ), ∂y dz ( π , π )
∂u = ye yz , ∂z
所求全微分
1 y du = dx + ( cos + ze yz )dy + ye yz dz . 2 2
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全微分在近似计算中的应用
当二元函数 z = f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的两 连续， 个偏导数 f x ( x , y ), f y ( x , y ) 连续，且 ∆x , ∆y 都较小时， 都较小时，有近似等式
一、填空题: 填空题: 1 、设 z = e ,则
y x
练习题
∂z _____________； = _____________； ∂x
∂z ____________； = ____________；dz = ____________. ∂y 2 、若 u = ln( x 2 + y 2 + z 2 ) ,则 du = _____________________________. y 3 、若函数 z = ,当 x = 2, y = 1 , ∆x = 0.1, ∆y = −0.2 时, x _______;全微分 函数的全增量 ∆z = _______;全微分dz = ________. x 对 4 、若 函 数 z = xy + , 则 z对x 的 偏 增 量 y ∆xz = ______________. ∆ x z = ___________; lim ∆x → 0 ∆ x
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多元函数连续、可偏导、可微的关系
函数连续
函数可偏导
函数可微 偏导数连续
8.3.3 全微分在近似计算中的应用
函数f(x,y)在(x,y)可微分，则
z [ fx ( x, y) x f y ( x, y) y] o( ),
即 z dz o(),
当 x , y 较小时，就有近似公式：
z dz fx ( x, y) x f y( x, y) y
x y 函数在点( x, y)可微分．
证 z f (x x, y y) f (x, y)]
[ f ( x x, y y) f ( x, y y)] [ f ( x, y y) f ( x, y)] x的一元函数
由拉格朗日中值定理，有
fx(x, y)
f (x x, y y) f (x, y y) fx(x 1x, y y)x
第八章 多元函数微分法及其应用
8.1 多元函数的基本概念 8.2 偏导数 8.3 全微分 8.4 多元复合函数的求导法则 8.5 隐函数的求导公式 8.6 微分学在几何上的应用 8.7 方向导数与梯度 8.8 多元函数的极值及其求法
8.3 全微分
8.3.1 全微分的定义 8.3.2 可微分的条件 8.3.3 全微分在近似计算中的应用
f ( x, y y) f ( x, y) f y( x, y) y 2 y
上二式相加,得全增量
z fx(x, y)x f y(x, y) y 1x 2 y 其中当x 0, y 0时，1 0,2 0.
要证可微，只须证
z [ fx(x, y) x fy(x, y) y]
1x 2 y o()
x (2,1)
y (2,1)
所求全微分 dz x2 e2dx 2e2dy. y 1
例2 求函数 z y cos( y ,dx ,dy
x 2y) 当x
时的全微分.
4
,
4
解 z y sin( x 2 y),
x
z cos( x 2 y) 2 y sin( x 2 y), y
r 0.05, h 1
V 2 20100 0.05 202 (1) 200 (cm3)
即受压后圆柱体体积减少了
例2.计算
的近似值.
解: 设 f ( x, y) x y,则
f x (x, y) y x y1 , f y (x, y) x y ln x
取 x 1，y 2，x 0.04， y 0.02，
只须证 z [ fx ( x, y) x f y( x, y) y]
1x 2 y o( )
当x 0, y 0时，即 0,Q1x 2 y
1
2
0,
1
x
2
y
0.
即
z [ fx(x, y)x f y(x, y) y] 1x 2 y o( )
因此，z f ( x, y)在点P(x, y) 是可微分的.
(x)2 (y)2 ，则称函数z f ( x, y)
在点( x, y)可微分， Ax By称为函数
z f ( x, y)在点( x, y)的全微分,记为dz，
即
dz Ax B y
函数若在某区域D内每一点都可微分， 则称这函数在区域D内可微分.
8.3.2 可微分的条件
d z z d x z d y x y
多元函数的各偏导数存在
全微分存在．
例如，
xy
f
(
x,
y)
x2 y2
0
x2 y2 0 .
x2 y2 0
在点 (0,0) 处有 f x (0,0) f y (0,0) 0
讨论全微分是否存在，即
z [ fx (0,0) x f y (0,0) y] o( )
z [ fx (0,0) x f y (0,0) y]
8.3.1 全微分的定义
全增量的概念
z f (x x, y y) f (x, y)
称为函数在点P(x,y)对应于自变量增量 x,y 的全增量.
x x
S (x x) ( y y) xy
y
S = xy
yx x y x y
y
( xy)x x ( xy)y y o()
则 1.042.02 f (1.04, 2.02 )
f (1, 2) fx (1, 2) x f y (1, 2) y
1 2 0.04 0 0.02 1.08
全微分公式
证 如果函数 z f ( x, y) 在点 P(x, y)可微分,
对于P( x x, y y)U(P)，
z Ax By o( ) 总成立, 当 y 0 时，上式仍成立，此时 | x |
f ( x x, y) f ( x, y) A x o(| x |),
lim f (x x, y) f (x,
z dz o(), ( 0)
一元函数f(x)在点x可微 函数在该点连续
函数f(x,y)在点(x,y)可微分 函数在该点连续
证 由微分定义 z Ax By o( ),
lim z lim ( A x B y ) o( ) 0
x, y)(0,0)
0
0
0
0
得 lim f (x x, y y) f ( x, y) ( x ,y )( 0, 0)
dz
( , )
4
z x
dx
( , )
4
z y
dy
( , )
4
2 (4 7 ).
8
全微分公式 dz z dx z dy. 偏微分
x y
通常我们把二元函数的全微分等于它的 两个偏微分之和称为二元函数的微分符合 叠加原理．
叠加原理也适用于二元以上函数的情况．
例如, 三元函数 u f (x, y, z) 的全微分为
d u u dx u dy u dz
x
y
z
例3 计算函数 u x sin y e yz 的全微分. 2
解 u 1, x
u 1 cos y ze yz , y 2 2
u ye yz , z
所求全微分
du dx (1 cos y ze yz )dy ye yzdz. 22
一元函数在某点的导数存在 微分存在
xy (x)2 ( y)2
o( )
若点 P(x, y)沿着直线 y x 趋近于 (0,0),
x y
则
(x)2 (y)2
x x (x)2 (x)2
1 2
0
说明它不能随着 0 而趋于0, 当 0时，
z [ fx (0,0) x f y (0,0) y] o( ),
故函数在点 (0,0) 处不可微.
或
f (x x, y y) f (x, y) fx(x, y)x f y(x, y) y
例1. 有一圆柱体受压后发生形变, 半径由 20cm 增大
到 20.05cm , 高度由100cm 减少到 99cm , 求此圆柱体 体积的近似改变量.
解: 已知
则
V 2 rh r r 2h
r 20, h 100,
偏导数 f x (0,0) f y (0,0) 0
但函数在点 (0,0) 处不可微.
多元函数的各偏导数存在并不能保证 全微分存在.
多元函数偏导数存在
全微分存在.
对于一元函数，有 函数可导 函数可微
偏导数存在
全微分存在
定理（充分条件）如果函数z f ( x, y) 的偏导数 z 、z 在点( x, y)连续，则该
故函数z f ( x, y) 在点 ( x, y) 处连续.
定理（必要条件）
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)可微分， 则该函数在点( x, y)的偏导数 z 、z 必存在,
x y 且函数z f ( x, y)在点( x, y)的全微分为
dz z x z y
x y
或 dz z dx z dy x y
线性主部
(x)2 ( y)2
dS yx x y
xy
x y (x)2 ( y)2
( x)2 ( y)2 0 2(x, y) (0,0)
全微分的定义
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的全增量
可以表示为 z Ax By o( )，
其中 A, B不依赖于x, y而仅与 x, y有关，
x0
z
x
A x
因此，dz
, 同理可得
z x z
y)
B y
（o | x |）
A lim x0
x
z .
0
y
即 dz
z
dx
z x
z
, dy
x y
dx dy
x y
例1 计算函数 z e xy在点(2,1)处的全微分.
解 z ye xy , z xe xy ,
x
y
z e2 , z 2e2 ,
因fx ( x, y) 在(x,y)连续，故
(0 1 1)
(无穷小)
fx ( x 1x, y y) fx( x, y) 1
f (x x, y y) f (x, y y) fx(x, y)x 1x
f (x x, y y) f (x, y y) fx(x, y)x 1x 同理，