论积分学中的微元法思想及其应用

目录

摘要 (2)

关键字 (2)

Abstract (2)

Key Words (2)

绪论

1、微积分学中微元法思想的起源与发展 (3)

1.1微元法思想的起源 (3)

1.2 微积分的现代发展 (5)

1.3中国古代数学对微积分创立的贡献 (6)

2、微元法的基本思想

2. 1 微元法的概念及理论

2.2 微元法使用的一般条件

2.3 微元法的解题步骤

3、几何学中微元法思想及其应用

3.1 定积分中平面图形微元法的思想及几何应用

3.2 二重积分中微元法的思想及几何应用

4、微元法在其他学科中的应用

总结

参考文献

答谢

论积分学中的微元法思想及其应用

专业：数学与应用数学

摘要:积分学中微元法思想是这一学科的非常重要的思想，它的合理运用可以使原本复杂的问题变得更为简单易行,并且在实际生活中此理论也得到了非常广泛的应用，本论文将重点论述微元法的思想和它的几何应用,使读者对微元法有更深刻的理解,然后介绍微元法在物理学，经济学上的应用,解决一些具体的实际问题

关键词：微元法，定积分，几何应用，面积，基本思想

ABSTRACT

Integral micro-element method is a very important ideological thinking of the discipline ，It can make rational use of the original problem becomes more complicated simple,And in real life, this theory has also been a very wide range of applications,This thesis focuses on the ideas of micro element method and its geometric applications,Micro-element method for the reader a deeper understanding ，Then describes the application of micro-element method in physics, economics ，Solve some specific practical problems

Key Words:Micro-element method，Definite integral，Geometry ，Area，The basic idea

绪论

微元法的使用使原本复杂的积分问题变得容易处理。本论文将给出微元法的思想、使用条件及几何应用,使对微元法有更深刻的认识,然后介绍微元法在其他上的应用,解决一些具体的实际问题,并研究如何使用微元法更加简单、高效.现阶段微元法思想已经被广泛的使用在微积分学理论及其他学科中，解决了定积分方面和生活中数学问题等问题，显示出微元法的方便之处，但对于微元法思想及其应用各个书籍都介绍的较少，尽管微元法思想既是极限思想较为简单，但通过对微元法的思想的深入研究可以使这种思想深入到人们思想中，更好的把微元法思想使用到实际生活中。

1、微积分学中微元法思想的起源与发展

1.1微元法思想的起源

微积分是微分学和积分学的统称，而微元法思想则是微分学的主要思想，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。公元前300年左右，希腊的数学家、物理学家阿基米德在解决抛物弧形的面积、球行面积和双曲旋转体的体积等问题时就已经有了关于微分再积分的初步想法，但后来的数学们都没能对这种微积分思想进行突破和发展，直到到1800年前后，由于社会的发展、工业革命的进行出现了火松制造，矿山的开发，开普勒发现行星运动规律和航海的需要等一系列

的力学和有关数学的问题，迫切的需要运用数学工具去解决这些问题，于是微积分学就开始得到了发展。总的来说，可有四个种类的问题：1.研究运动的时候直接出现的，也就是求瞬时速度的问题。2.求切线的问题。3.求函数的最值问题。4.求不规则曲线弧长、不规则图形的面积、不规则物体的体积、以及物理学中的万有引力等问题。

在十七世纪的许多著名科学家都对微积分的创立做出重要贡献如，而牛顿和莱布尼茨是这些科学家中对微积分的创立做出的贡献最为突出：1.牛顿

牛顿研究的微积分是从物理学的角度进行的，他为了解决其中的运动问题，创造了“流数术”的理论，这其实即是后来的微积分理论。牛顿还创作了许多关于微积分著作这些理论是力的数学反映，牛顿一切变量都看作是流量。

牛顿给出的“流数术”大致上包含三个方面的内容：1.已知的流量关系，求流数之间的关系，为积分的内容。2.已知流数的关系，求相应的流量之间的关系。为微分学的内容。3.流技术的应用包括计算极值曲线，需求曲线的切线和曲率，需求曲线并计算曲边图形区面积。最终牛顿建立了积分与微分的互逆关系的理论，即微积分的最后一步。

2.莱布尼茨

德国数学家莱布尼茨则是通过在几何方面的研究的微积分。与牛顿创立的微积分不同，莱布尼茨是经过研究不规则曲线的切线和不规则曲线所围的面积，同时还引入了一种沿用到至今的简洁的数学符

号，运用分析学的方法引进了微积分概念，得出运算法则的，使得微积分更具有可读性和运用性。而牛顿在微积分的研究上更多地结合了物理学，从理论上看牛顿的研究更加先进，但莱布尼茨所采用的表达方式及运算符号更加简洁，方便，从而使得微积分更容易被读者理解和接受。

尽管牛顿与莱布尼茨各自都创立了微积分且较为完整，但在某些方便仍存在缺点，如对于无穷小量的说明没有解释清楚，甚至说是混乱，这也使得起初的微积分理论被很多数学家质疑和批判，这也使得第二次数学危机的产生。

直到19世纪早期，科学家对微积分的基础工作重新研究并使其根基完善，其中法国科学家柯西就是对微积分研究的一个代表，他建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的完善与补充，最终运用极限理论来巩固了微积分这座大厦的根基，才使微积分进一步的发展开来。微积分在发展的过程中与数学的其他的分支结合交融，形成了一个庞大的数学学科。

1.2微积分的现代发展

由于19世纪科学家已经将微积分这座大厦的根基巩固了，所以随着后来时代的发展，微积分也得到了不断地发展与完善，下面将举例说明微积分得到不断地发展与完善。

法国数学家柯西在原有微积分基础上进行进一步完善了微积分，他的极数理论使得微积分的根基得到了巩固，而德国数学家黎曼又将