南开大学高等代数历年考研真题专业课考试试题
高等代数考研20051
南开大学2005硕士研究生入学考试试题 高等代数注：本解答所需知识均参照高教社出版的由北大代数小组主编由王萼芳、石生明修订的《高等代数》！一、计算下列行列式2n ?,x x x x x x x x x x x x 1x 1x 1x 1112n n1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 222121n 21≥=+++++++++------解：由行列式性质，2n n1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 2221212n n1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 222121n 212n n 1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 222121n 21x x x x x x x x x x x x 111111x x x x x x x x x x x x x x x 111x x x x x x x x x x x x 1x 1x 1x 111------------------+++++++++++++=+++++++++显然，第二式为0，连续运用此性质得()∏≤<≤----------==+++++++++ni j 1j i1n n1n 21n 12n 2221n 212n n 1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 222121n 21a ax x x x x x x x x 111x x x x x x x x x x x x 1x 1x 1x 111二、设齐次线形方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+=++-=++0ex dx bx 0ex cx ax 0dx cx x 0bx ax x 321421431432的一般解以43x ,x 为自由未知量（1） 求 a,b,c,d,e 满足的条件 （2）求齐次线形方程组的基础解系解：由自由变量数为2，可知，方程组系数矩阵的秩为2，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0e d b e 0c a d c 01b a 10的秩为2，又易得系数矩阵变形⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--0e d b e 0c a b a 10d -c -01。
南开大学高等代数
南开大学2000年硕士入学考试试题――高等代数1、（10分）求直线⎩⎨⎧=++=+++02201z y x z y x 在平面0123=+++z y x 上的垂直投影。
2、（10分）求过点(0,1,0)且与两条直线⎩⎨⎧=+=++0201y x y x ，⎩⎨⎧=+=+++02013y x z y x 均相交的直线方程。
3、（10分）设这线L 和平面π平行，则直线L 上任一点到平面π的距离均相等，称之为直线L 到平面π的距离。
求和下面两条直线⎩⎨⎧=-=--01032z y x ⎩⎨⎧=-=+-0201y z x 距离相等的平面方程。
4、（10分）设2R 是实数域R 上的2维向量空间，线性变换22:R R T →在基)0,1(1=e ，)1,0(2=e 下的矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛2012证明：（1）设1W 是由1e 张成的2R 的子空间，则1W 是T 的不变子空间 （2）2R 不能表示成T 的任一不变子空间2W 与1W 的直和。
5、（15分）设2R 是实数域R 上的2维向量空间22:R R T → ),(),(2221x x x x → 是线性变换（1）求T 在基)2,1(1=α，)1,1(2-=α下的矩阵；（2）证明对于每个实数c ，线性变换cE T -是可逆变换，这里E 是2R 上的恒等变换6、（15分）设n 级矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001001001001000 ， 求可逆矩阵T 使得矩阵AT TB 1-=是对角形，并求矩阵B 。
7、（15分）设S 是数域P 上n 维线性空间V 上线性变换。
证明（1）01≠-n S ，0=n S 则V 中存在一个基使得S 在这个基下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010000001000000010000001000000 （2）如M ，N 是数域P 上两个n 级方阵，110--≠≠n n N M ，0==n n N M ，则M 和N 相似8、（15分）设)(x f 是数域P 上的n 次多项式，这里1>n ；且设)(x f 的一阶微商可以整除)(x f ，证明n b x a x f )()(-=，0,,≠∈a P b a南开大学 2001年硕士研究生入学考试 高等代数1. 在空间仿射坐标系O-xyz 中，已知三角形ABC 的两顶点A(-4，-1，2），B(3,5,-16).若AC 的中点在y 轴上，BC 的中点在zx 平面上，求C 点的坐标2. （1）证明下述两平面12:2310:10x y z x y z ππ-++=+++=相交（2）证明坐标原点(0,0,0)不在平面12ππ和的交线上（3）求经过坐标原点(0,0,0)及平面12ππ和的交线上平面方程3. （1）在空间直角坐标系O-xyz 中，方程2240x y z +-=与2224x y z ++=分别代表什么曲面？（2）求交线22222440x y z x y z ⎧++=⎨+-=⎩在xy 平面上的正投影曲线的方程4. 设()f x 是复数域上首项系数为一的n 次多项式，如1212'()()(),((),())f x x b x b b b f x f x =--≠ 且1x b -是()f x 的k-重因式(这里'()f x 是()f x 的一阶微商)，问()?f x =为什么？5. 判别3252610123A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭和620346325142032B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭是否相似，为什么?6. 11112211211222221122(1)n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 有解，如t 是满足1t n ≤≤的一个固定的正整数，试证明线性方程组任一解12(,,,)t n c c c c 均有0t c =的充分必要条件是（1）的增广矩阵A 去掉第t 列所得矩阵的秩等于秩A=17.设V 是数域P 上的n 维线性空间，:A V V →是线性变换，秩A=r 证明：存在V 的基12,,n βββ 及可逆线性变换:B V V →满足11221122()r r n n r r BA k kk k k k k βββββββ+++++=+++8. 设V 是n 维欧式空间，12,αα和12,ββ是V 中两对向量，如1122,αβαβ==且12αα和的夹角等于12ββ和的夹角，证明存在一个正交变换:A V V →满足：1122(),()A A αβαβ==南开大学 2002年硕士研究生入学考试 解析几何与高等代数1. 设{}{}101102αβ==，，，，，为两个矢量 （1） 求过点A(1,1,1)且与矢量αβ和均垂直的直线方程（2） 求过点A(1,1,1)且与矢量αβ和所夹锐角的角平分线平行的直线方程2. （1）求过点A(1,0,0)且平行于矢量{}{}101102αβ==，，，，，的平面π （2）求平面π与椭圆面2221223x y z --=的交线在XOY 面上的投影 3．（1）求下面向量组的所有极大线性无关组1234(4,1,3,2),(3,2,6,4),(3,1,4,2),(6,2,8,4)αααα=--=--=--=--（2）2111222221110222n n n mm mx x x x x x x x x ---=4.设V 是n 维欧式空间，12V V 和是V 的两个子空间，且2V 的维数大于1V 的维数，证明：2V 中存在非零向量与1V 中每个向量均正交5.设V 是n 维线性空间，,:V V ϕψ→是线性变换，且ϕψψϕ=，证明：如ϕ有n 个不同特征值，则V 中存在ψ的特征向量构成的基6.设12(,,,)n f x x x 是正定二次型，12(,,,)n g x x x 是实二次型，证明：存在一个非退化线性变换把12(,,,)n f x x x 化为规范形，同时把12(,,,)n g x x x 化为标准型南开大学 2003年硕士研究生入学考试 高等代数1. 判断题，判断下列论段是否正确，若正确，给出简要证明；若不正确，请举反例说明（1） 如果向量12,,m ααα 生成子空间S ，则Ｓ的维数为ｍ （2） 设Ａ为方阵，且32,0A A A =≠，则2A A =（3） 设Ｖ是数域P 上n 维线性空间，12,W W 是V 的子空间，12V W W =+且:f V V →是线性变换，如dim dim (),1,2i i W f W i ==，则f 一定是满设（4） 设V 是复数域C 上的n 维线性空间，:f V V →是线性变换，则V 中存在唯一的基（基向量的次序除外）是f 在这一组基下的矩阵为若当标准型2. 计算下列行列式的值111212112122221122n n n n n n n n na b ca b c a b c a b c a b c a b c d a b c a b c a b c ++++++=+++其中3n ≥3. 设V 是数据P 上的3维线性空间，线性变换:f V V →在V 的基123,,e e e 下的矩阵为212533102-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭（1） 求线性变换f 在V 的基11213,,e e e e e ++下的矩阵； （2） 求线性变换f 的特征值和特征向量；（3） 线性变换f 可否在V 的某组基下矩阵为对角形，为什么？4. 设V 是数域P 上3维线性空间，线性变换:f V V →在V 的基123,,e e e 下矩阵为4615135124A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭问f 可否在V 的某组基下矩阵为1332613148B -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭为什么？5. 设4R 是具有通常内积的欧式空间，W 是4R 的子空间，（1） 如W 是下列方程组123412412342303220390x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪+-=⎨⎪++-=⎩的解空间，求W=？W 在中正交不'?W = （2） 求W 和'W 的标准正交基 6. 设n nA R⨯∈，已知A 在n nR⨯中的中心化子{}()|n n C A X R AX XA ⨯=∈=是n nR⨯的子空间，证明：当A 为实对称矩阵是，C(A)的维数dim ()C A n ≥，且等号成立当且仅当A 有n 个不同的特征值7. 设V 是实数域R 上的n 维线性空间，12,W W 是V 的子空间，且{}120W W =（1） 如12(,),(,)分别是12W W 和上的内积，证明：存在V 上的内积(,)满足(,)|(,),1,2i W i i ==满足（1）中的内积(,)是否唯一，为什么？8． 设()ij n n A a ⨯=为数域P 上的11(),1,2,,,,1,2,,ni i ij j j A B b i n d b c i n -======∑令()i j n n C d c ⨯=，试证明； 1d e t d e t (1)ni i i C A c d ==+∑南开大学 2004年硕士研究生入学考试 高等代数1.设n 阶行列式11111n n nn a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭且满足,,1,2,,i j j i a a i j n =-= ，对任意数b ，求n 阶行列式 1111?n n n n a b a b a b a b ++⎛⎫⎪= ⎪ ⎪++⎝⎭2.设Ａ，Ｂ分别为数域P 上的m s ⨯矩阵和s n ⨯矩阵，令AB=C ，证明；如秩A=r ,则数域Ｐ上存在一个秩为{}min ,s r n -的s n ⨯矩阵Ｄ，满足对于数域Ｐ上任何ｎ阶方阵Q A(DQ+B)=C3.设a b A c d ⎛⎫⎪⎝⎭为数域P 上二阶方阵，定义22R ⨯上变换σ如下：22(),X AX XA X P σ⨯=-∈（1） 证明σ为线性变换 （2） 求σ在基11122122,,,E E E E1112212210010000,,,00001001E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3） 证明σ必以为0特征值，并求出0作为σ的特征值的重数4.设11111,,1n n n n a a A a a --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 的行向量组是线性方程120n x x x +++= 的阶，令i M 表示A 中划掉第i 列的n-1阶行列式，证明：（1）1(1)0nii i M A =-=⇔∑的行向量组120n x x x +++= 的基础解系 （2）令1(1)1nii i M =-=∑，求i M =？ 5.给定2R 标准度量，求出2R 中所有保持下列正方形(其中A=(1,1)),B=(-1,1),C=(-1,-1),D=(1,-1)整体不变（即正方形四条边上的点经过变换后仍落在这四条边上）的正交变换6. 设V 为n 维复线性空间，Ｍ是V 上一些线性变换组成的非空集合。
全国名校高等代数考研真题汇编(含部分答案)
考生注意： 1.本 试 卷 满 分 为 150 分，共计10道题，每题满分15 分，考试时间总计180 分钟；
2.答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸 上均无效。
一、设 是 阶单位矩阵， ，证明 的行列式等于 .
，矩阵 满足
二、设 是 阶幕零矩阵满足
，
.证明所有的 都相似于一个对角矩阵，
的特征值之和等于矩阵 的秩.
3.南开大学高等代数考研真题 2012年南开大学804高等代数考研真题 2011年南开大学802高等代数考研真题
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有
证明：
(1)
.
(2) 是 的不变子空间，则 也是的 不变子空间.
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南开大学(已有09试题)
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页高等数学（信息技术科学学院）2003——2023年年光学（信息技术科学学院）2000，2003——2023年年应用光学1999——2000，2003——2023年年信号与系统1999——2023年年控制原理1999——2000自动控制2023年年自动控制原理2003——2004现代控制论基础1999——2000，2003——2004综合基础课（光学、电路与系统、通信与信息系统、信号与信息系统、物理电子学、微电子学与固体电子学、光学工程专业）1999——2000，2002——2023年年编译原理1998数据结构（含程序设计）2002数据结构与算法2003——2004数据结构1998——2000软件基础1999——2000计算机软硬件基础2023年年C语言与数据结构2004计算机原理1999——2000，2003综合基础课（模拟电路、数字电路、计算机原理）1999——2000大学物理2000大学物理（物理科学学院）2023年年大学物理（信息技术科学学院）2003——2004晶体管原理2003——2004普通物理1999——2000，2003——2004通信原理2003——2023年年物理学2023年年运筹学2003——2023年年高分子化学与高分子物理1999——2000高分子化学与物理2004，2023年年环境科学与工程学院水污染控制工程2004——2023年年安全学导论2004——2023年年环境监测1999——2000，2002——2023年年环境经济学2003——2023年年环境微生物学1999——2000环境生物学2003——2023年年环境学导论2004——2023年年环境管理1999——2000，2003——2023年年动物生理学1999——2000环境化学1999——2000，2002，2023年年环境化学与分析化学2003——2004（注：2004年试卷缺页，惟独“环境化学”内容）环境质量评价1999——2000环境工程1999——2000细胞生物学1999——2000生物化学1999——2000环境科学概论1999——2000，2002——2003化学学院综合化学2023年年——2023年年无机化学1999——2000，2003——2023年年分析化学1999——2000，2003——2023年年，2023年年高分子化学与高分子物理1999——2000高分子化学与物理2004，2023年年有机化学1999——2000，2003——2023年年，2023年年物理化学2000，2003，2023年年——2023年年第 5 页/共22 页药物化学2004——2023年年细胞生物学1999——2000生物化学1999——2000固体物理（基础部分）2004——2023年年普通生物化学2003——2023年年植物化学保护1999——2000，2004生命科学学院微生物学1999——2000，2003——2023年年细胞生物学1999——2000生物化学1999——2000数学分析2000——2023年年（2023年年有答案）高等代数2003——2023年年（2023年年有答案）遗传学1999——2000，2003，2023年年真菌学1999——2000普通植物生理学1999——2000，2003——2023年年植物学1999——2000，2003动物学1999，2003——2023年年昆虫学2003——2023年年分子遗传学1999——2000植物生理学2000，2003——2023年年植物化学保护1999——2000，2004植物解剖学2023年年普通生态学1999——2000，2003——2023年年普通生物化学2003——2023年年普通微生物学2003——2023年年普通物理1999——2000，2003——2004数据结构（含程序设计）2002数据结构与算法2003——2004数据结构1998——2000医学院病理学2004——2023年年人体解剖学2004——2023年年生理学2004——2023年年生物化学（医）2004——2023年年药理学2004——2023年年汉语言文化学院汉语2023年年古代汉语2002现代汉语（文学院）2001现代汉语（汉语言文化学院）2002——2004语言学理论基础（汉语言文化学院）2001——2004 语言学理论2023年年文学院文学基础2023年年中国古代文学2023年年人文社科基础2004——2023年年世界文学2023年年综合考试（文学）1999——2000文学综合1999——2000文艺理论1999——2000，2004——2023年年文艺评论2004——2023年年文艺写作2023年年文艺评论写作1999——2000中国文学史1998——2002第7 页/共22 页中国文学批评史1998——2001古代汉语2002现代汉语与古代汉语2003——2023年年古典文学文献学2004——2023年年语言学概论2023年年现代汉语（文学院）2001现代汉语（汉语言文化学院）2003——2004语言理论基础（文学院）2003——2004语言学理论基础（汉语言文化学院）2001——2004 汉语基础知识2004汉语知识2004中国文学史2003——2023年年人文地理学1999——2000传扬学2003传扬学原理2004——2023年年绘画基础与创作2004——2023年年美学原理2003——2023年年书法技法2003——2004书法史论2003——2004新闻学原理2004——2023年年艺术史论2004——2023年年艺术与设计史论2003——2023年年中外美术史论2003——2023年年专业设计（环境设计）2003专业设计（设计艺术学、环境设计专业）2004专业设计（设计艺术学、视觉设计）2023年年历史学院古代汉语2003——2023年年古代文献2003——2004古典文献学2004——2023年年拉丁美洲史2003——2004历史地理2004——2023年年历史文献学2004——2023年年历史学基础理论2023年年美国史2003——2004美国学综论2023年年明清史2003——2004史学史2023年年世界近现代史（历史学院）2003——2023年年世界近现代史（日研院）2023年年世界上古中古史2003——2023年年世界通史2003——2023年年文物博物馆学2003——2023年年中国古代史2003——2023年年中国近现代史2003——2023年年中国史学史与史学理论2003——2004中国思想史2003——2023年年中国通史1994——1997，2003——2023年年中国文献学基础2003——2004中国近代史（中共党史专业）2003——2023年年哲学系马克思主义哲学（哲学各专业）2004——2023年年马克思主义哲学（马克思主义教诲学院）2003——2023年年宗教学概论2004——2023年年伦理学原理2004——2023年年美学概论2023年年第9 页/共22 页欧美哲学通史2003——2023年年西方哲学通史2023年年形式逻辑2003——2023年年中国哲学史2023年年中外哲学史2003——2023年年外国语学院二外日语2001——2023年年二外德语2001——2023年年二外法语2001——2023年年二外俄语2003——2023年年专业英语2000——2003，2023年年——2023年年（2023年年——2023年年有答案）（注：2023年年答案惟独英美文学部分，2023年年答案有英美文学部分和语言学部分）基础英语1997，2000——2023年年（1997，2004——2023年年，2023年年有答案）语言学基础2023年年（2023年年有答案）翻译2004（2004有答案）双语翻译与文学2004英美文学2004（2004有答案）语言学2004——2023年年（2004——2023年年有答案）二外英语2001，2003——2023年年，2023年年基础日语2001，2003——2023年年专业日语2001，2003——2023年年基础俄语2004——2023年年法学院刑法学2023年年法学综合（含法理学、宪法、民法、刑法、刑诉、民诉）2000——2023年年（2023年年试题有答案）民法与商法2003——2023年年，2023年年民法（民商法专业）2002民法（经济法专业）2002民法2000——2001（法理学）法学理论2023年年法学理论2003法制史（含中国法制史、外国法制史）2003——2023年年，2023年年国际法学（含国际经济法、国际公法、国际私法）2003——2023年年，2023年年国际经济法概论2000经济法与商法2003——2023年年，2023年年经济法1999诉讼法学（含行政诉讼法、刑事诉讼法、民事诉讼法）2004——2023年年，2023年年宪法学、行政法与行政诉讼法2003——2023年年，2023年年（2004有答案）环境法2023年年周恩来政府管理学院行政管理学2003——2023年年政策原理与政策分析2003——2023年年（2004有答案）国际关系史1999——2000，2003——2023年年国际关系学2003——2023年年国际关系概论1999——2000外交学概论与当代中国外交2004——2023年年外国政治制度史1999——2000政治学原理1999——2023年年中国政治制度史1999——2000中国通史1994——1997第11 页/共22 页中外政治思想史2003——2023年年中国政治思想史1999——2000，2002西方政治思想史1999——2000中外经济地理1999——2000世界近现代历史2002社会保障学2004——2023年年社会学理论2023年年社会学概论1995——2001，2003——2004社会调查主意与社会统计1995——2023年年社会工作2001环境学与环境法2004——2023年年西方经济学流派2004——2023年年（2004——2023年年有答案）心理学主意2004——2023年年（2004有答案）心理学基础2004——2023年年（2004有答案）马克思主义教诲学院马克思主义哲学（哲学各专业）2004——2023年年马克思主义哲学（马克思主义教诲学院）2003——2023年年科学社会主义原理2004——2023年年专业综合基础理论（科学社会主义与国际共产主义运动理论专业）2004——2023年年思想政治教诲原理2003——2023年年中共党史2003——2023年年中国近代史（中共党史专业）2003——2023年年中外哲学史2003——2023年年经济学院微观、宏观经济学2002，2023年年（2023年年有答案）微观经济学1999——2001宏观经济学1999——2001（1999——2000有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、保险学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、财政学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、产业经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、国际经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、金融工程学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、经济思想史）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、劳动经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、区域经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、人口经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、台湾经济）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、西方经济学流派）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、应用统计学）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、政治经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、中国近代经济史）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（国际经济学）（世界经济、国际贸易专业）2003西方经济学1999——2003（1999——2000，2002有答案）政治经济学1999——2000，2002，2023年年（1999——2000，2002，2023年年第13 页/共22 页有答案）当代西方经济学1999——2001（2000——2001有答案）区域经济学2002——2003（2002——2003有答案）产业经济学2002——2003（2002——2003有答案）货币银行学1999——2001（1999——2001有答案）国际金融1999——2001（1999——2001有答案）中国近代经济史1999——2000社会经济统计学原理1999——2000中国近代经济史（经研所）1999——2000企业人力资源开辟与管理1999——2000保险学原理1999——2000劳动经济学1999——2000人口经济学1999——2000人口学理论2003——2023年年计量经济学1999——2000世界经济概论1999——2000房地产经济1999——2000财产学1999——2000世界经济概论与世界经济情况1999——2000市场学1999——2000信息系统技术1999——2000环境经济学1999——2000国际经济学1999——2002（2000——2002有答案）外国近现代经济史1999——2000综合基础课（保险）1999——2000金融学基础（联考）2002——2023年年（2002——2023年年有答案）商学院会计学综合2023年年——2023年年会计学综合考试1999——2000，2003——2023年年（2000，2003——2023年年有答案）财务管理1999——2000财务管理与管理会计1999——2000（1999——2000有答案）公司治理2023年年技术经济学2003——2023年年市场学1999——2000管理综合（含管理学、微观经济学）2003——2023年年（2003——2023年年有答案）（注：2023年年——2023年年的答案惟独管理学部分的答案，无微观经济学部分的答案）管理学概论2002信息系统技术1999——2000管理信息系统2003——2023年年旅游管理1999旅游学综合（旅游概论和旅游经济学）2001——2023年年旅游学概论1997企业人力资源开辟与管理1999——2000（1999——2000有答案）人文地理学1999——2000中外经济地理1999——2000计算机应用（设计程序、数据库系统）2004——2023年年编辑学2001出版学2001网络技术基础2001档案管理学2004——2023年年档案学概论2004——2023年年目录学（含目录学概论、中西文工具书）2003——2004文献目录学2023年年情报学（含情报学概论、科技文献检索、计算机情报检索）2003情报学（含情报学概论、信息检索）2004第15 页/共22 页情报学综合2023年年图书馆学理论2003——2023年年高等教诲研究所高等教诲原理2003——2023年年（2023年年有答案）经济学原理2023年年——2023年年（2023年年——2023年年有答案）高等教诲管理学2003——2023年年教诲社会学2004——2023年年教诲学原理2004——2023年年（2004有答案）普通心理学2003——2023年年（2004有答案）中国高等教诲史2003——2023年年经济与社会发展研究院专业综合（含微观经济学、区域经济学）2004——2023年年（2004——2023年年有答案）专业综合（宏观经济学、产业经济学）2004——2023年年（2004——2023年年有答案）微观、宏观经济学2002，2023年年（2023年年有答案）微观经济学1999——2001宏观经济学1999——2001（1999——2000有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、保险学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、财政学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、产业经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、国际经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、金融工程学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、经济思想史）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、劳动经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、区域经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、人口经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、台湾经济）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、西方经济学流派）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、应用统计学）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、政治经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、中国近代经济史）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（国际经济学）（世界经济、国际贸易专业）2003西方经济学1999——2003（1999——2000，2002有答案）政治经济学1999——2000，2002，2023年年（1999——2000，2002，2023年年有答案）当代西方经济学1999——2001（2000——2001有答案）区域经济学2002——2003（2002——2003有答案）产业经济学2002——2003（2002——2003有答案）货币银行学1999——2001（1999——2001有答案）国际金融1999——2001（1999——2001有答案）中国近代经济史1999——2000社会经济统计学原理1999——2000中国近代经济史（经研所）1999——2000企业人力资源开辟与管理1999——2000第17 页/共22 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南开大学2019年高等代数考研试题及解答
1. (1) 用第一行减去下面的各行, 然后在最后一列展开, 答案为 1. (2) 注意到
cos(n + k) = cos n cos k − sin n sin k, cos(2n + k) = cos(2n) cos k − sin(2n) sin k,
用第一行的 cos n, cos(2n) 倍分别减去第二行,第三行; 这时第三行是第二行的 2 cos n 倍, 从而行列式为 0.
其中
z
=
e 2πi n
.
由
AU
= UD,
U¯
= U −1
得到
U¯ AU
= D,
U¯ ATU
= D¯ ,
因此
U¯ BU
=
1 2
(D
+
D¯ ),
B
的特征值为
1,
cos
2π n
,
.
.
.
,
cos
2π(n−1) n
,
除去
1
外,
这些特征值中的最大值为
cos
2π n
,
从而结论
得证. 如果能事先注意到 AT = An−1 = A−1 的话, 更容易推出 B 的特征值.
把题目改成 A = T B 是不对的, 比如取 B = 0, A = 0. 把题目改成 T A = T B 没有意义, 因为可 以取 T = 0.
2
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南开大学 2019 年高等代数考研试题参考解答
小花爱数学
7. 充分性. 只需要注意到
E −X 0E
A0 0A
EX
A AX − XA
AB
=
=
.
5. (15 分) 若 A, B 都是 n 阶正定矩阵. 求证 tr(AB) > 0.
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2009年南开大学802高等代数考研 真题
2010年南开大学802高等代数考研 真题
2011年南开大学802高等代数考研 真题
一、（20分）设A为秩为1的n阶复方阵，A的迹tr（A）＝a≠0，试 求出A的所有特征值（写出重数）。
二、（20分）设V为4维实线性空间，ε1，ε2，ε3，ε4为一组基，已 知V上线性变换T在基ε1，ε2，ε3，ε4下的矩阵为
4 设V为数域P上的3维线性空间，已知V上线性变换T在基ε1， ε2，ε3下的矩阵为
试求V的一组基使得T在该基下的矩阵为
5 设n阶实矩阵P满足P1＝P2，试求出P的所有可能的特征值。 二、（20分）设A1，A2，…，Am为n阶方阵，且r（A1A2…Am）＝ r（Am）。证明：对任何1≤j，k≤m，齐次线性方程组AjAj＋1…AmX＝0 与AkAk＋1…AmX＝0同解。 三、（20分）设S，T都是半正定实对称n阶方阵，证明：det（S＋ T）≥（detS＋detT）/2。 四、（15分）设A，A－In都是n阶实对称正定矩阵，证明：In－A－ 1也是正定矩阵。 五、（15分）设f（x，y）为线性空间V上的非退化双线性函数，证
四、已知矩阵
与矩阵
（1）求x，y； （2）求阵。证明：s－秩（Es－AA′）＝n－秩（En－A ′A）。
六、设A为对称矩阵，存在线性无关的向量X1，X2使X1′AX1＞0， X2′AX2＜0，证明：存在线性无关的向量X3，X4使X1，X2，X3，X4线 性相关，且X3′AX3＝X4′AX4＝0。
（1）aij＞0，i＝1，2，…，n；
（2）aij＜0，i≠j；
（3）
，k＝1，2，···，n。
试求A的秩r（A）。
2 设A＝（aij）n×n为数域P上的n阶方阵，定义Pn×n上的线性变换T 使T（X）＝AX，X∈Pn×n，试求T的迹和行列式。
3 设P为数域，c0，c1，…，cn－1∈P，令
试求A的最小多项式。
2004年南开大学高等代数考研真 题
2005年南开大学高等代数考研真 题
2006年南开大学高等代数考研真 题
2007年南开大学高等代数考研真 题
2008年南开大学802高等代数考研 真题
一、计算题（每题12分，共60分，请写出必要的计算步骤）
1 设n阶实矩阵A＝（aij）n×n满足条件
七、设σ，τ为线性变换且σ有n个不同的特征值。证明：若στ＝τσ， 则τ可由I，σ，σ2，…，σn－1线性表出。其中I为恒等变换。
八、f（x）是A的特征多项式。存在互素且次数分别为p，q的多项 式g（x），h（x）且f（x）＝g（x）h（x）。求证：秩g（A）＝q，秩 h（A）＝p。
九、A，B都是反对称矩阵，且A可逆。求证|A2－B|＞0。
六、（15分）设A，B为数域P上的n阶方阵，满足方程aA2＋bAB＋ cB＝0，其中a，b，c为非零常数，证明：（cE＋bA）为可逆矩阵。
七、（15分）设A，B为数域P上的n阶方阵，且r（A）＝ r（BA），证明：对任何自然数l，有r（Al）＝r（BAl）。
八、（15分）设V为复数域上的4n维线性空间，证明：存在V上的 线性变换T使得T4＝－id，其中id为恒等变换。证明满足上述条件的线性 变换必然在某组基下的矩阵为对角矩阵。
明：对于任何g∈V*，存在唯一的α∈V，使得g（β）＝f（α，β）， ∀β∈V。
六、（10分）设T为欧几里得空间V上的线性变换，满足条件 ∀x，y∈V，（Tx，y）＝－（x，Ty）或（Tx，y）＝（x，Ty）至 少有一个成立。 证明：T或为对称变换或为反对称变换。
七、（10分）设A，B为n阶复方阵，C＝AB－BA，证明：如果C与 A可交换，则C为幂零矩阵。
（1）试求出T的特征值与特征向量； （2）试分别求出T的核kerT与象imT的一组基与维数。 三、（20分）设实矩阵
A＝
试将A写成一个正交矩阵Q与一个上三角矩阵T的乘积。
四、（20分）设A为实反对称矩阵，证明：E－A10一定是正定矩 阵。
五、（15分）设V为一个欧氏空间，T为V到V的一个映射，满足条 件：|Tα|＝|α|，∀α∈V，试问T是否一定是V上的正交变换？说明理由。
一、设n阶行列式 2，…，n。对任意x，求n阶行列式
，且满足aij＝－aji，i，j＝1，
二、已知向量α1，α2，β1，β2，β3。V1是由α1，α2组成，V2是由 β1，β2，β3组成。求V1＋V2和V1∩V2的维数和一组基。
三、
（1）证明A2014＝－A2012＋A2＋E； （2）求A2014。
九、（10分）数域P上一个n阶方阵A称为幂零的，如果存在自然数 m使得Am＝0。设A＝（aij）n×n为一个幂零方阵，且a12≠0，a13＝0，a22 ＝0，a23≠0，证明：不存在矩阵B使得Bn－1＝A。
2012年南开大学804高等代数考研 真题
2014年南开大学高等代数考研真 题（回忆版）
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