张宇2017命题人八套卷-数学三试卷
2017高考数学全国卷三
高考数学试卷一、单选题1.“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.设集合{}{}234345M N ==，，，，，， 那么M N ⋃=（ ） A.{} 2345，，， B.{}234，， C.{}345，， D.{}34，3.命题：00x ∃≤，20010x x -->的否定是（ ） A ．0x ∀>，210x x --≤ B ．00x ∃>，20010x x --> C ．00x ∃≤，20010x x --≤D ．0x ∀≤，210x x --≤ 4.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝5，c ＝2a cos A ，则cos A ＝（ ）A ．13B ．24C ．33D ．63 5.复数满足(12)3z i i -=-，则z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．tan3π=（ ） A ．33 B ．32 C ．1D ．37．袋中有2个白球，2个黑球，若从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是（ ）A ．16B ．13C ．34D ．568．下列函数中，既是偶函数又在区间(0),-∞上单调递增的是（ ） A ．2(1)f x x = B ．()21f x x =+ C ．()2f x x = D ．()2x f x -= 9．已知集合{}3,1,0,2,3,4A =--，{|0R B x x =≤或3}x >，则A B =（ ） A.∅ B.{}3,1,0,4-- C.{}2,3 D.{}0,2,3 10．中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京开幕．党的二十大报告鼓舞人心，内涵丰富．某学校党支部评选了5份优秀学习报告心得体会（其中教师2份，学生3份），现从中随机抽选2份参展，则参展的优秀学习报告心得体会中，学生、教师各一份的概率是（ ）A ．120B ．35C ．310D ．91011．2020年，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得全国学生无法在春季正常开学，不得不在家“停课不停学”.为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n 个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如下图所示），已知学习时长在[9,11)的学生人数为25，则n 的值为（ ）A ．40B ．50C ．80D ．10012．已知函数()11f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ）A ．14 ,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12 ,1⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,3) 二、填空题13．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：4：3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生数为15，则抽取的样本容量为_______．14．甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为____15．定义在(1,1)-上的函数()f x 满足()()()1f x g x g x =--+，对任意的1212,(1,1),x x x x ∈-≠，恒有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则关于x 的不等式(21)()2f x f x ++>的解集为三、解答题 16.已知函数()()21log 01+=>-ax f x a x 是奇函数 （1）求a 的值与函数()f x 的定义域；（2）若()232log g x x =-对于任意[]1,4x ∈都有()()22log >⋅g x g x k x ，求k 的取值范围.17.已知函数2()2sin cos 23sin 3(0)f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值18.已知α、β是方程24420x mx m -++=的两个实根，设()22f m a β=+ （1）求函数()f m 的解析式；（2）当m 为何值时，()f m 取得最小值？19.已知函数1 ()2 f x xx=+-.（1）用定义证明函数()f x在(0,1]上是减函数，在[1,)+∞上是增函数；（2）当函数()lgy f x k=-有两个大于0的零点时，求实数k的取值范围；。
2017考研数学三真题及答案解析
ln 2
ln 2
2
．
5
19．（本题满分 10 分）
设
a0
1, a1
0, an1
n
1
1
(na
n
a n 1 )(n
1, 2,3 ),
，
S(x)
为幂级数
n0
an xn
的和函数
（1）证明 an xn 的收敛半径不小于1． n0
（2）证明 (1 x)S(x) xS(x) 0(x (1,1)) ，并求出和函数的表达式．
0
2
10．差分方程 yt1 2 yt 2t 的通解为
．
【详解】齐次差分方程 yt1 2 yt 0 的通解为 y C 2x ；
设
yt 1
2 yt
2t
的特解为
yt
at 2t
，代入方程，得 a
1 2
；
所以差分方程
yt 1
2 yt
2t
的通解为
y
C 2t
1 t2t. 2
11．设生产某产品的平均成本 C(Q) 1 eQ ，其中产量为 Q ，则边际成本为
8．设
X1, X 2,, X n(n
2)
为来自正态总体 N (,1) 的简单随机样本，若
X
1 n
n i 1
Xi
，则下列结论中不
正确的是（ ）
n
（A） ( X i )2 服从 2 分布 i 1
（B） 2 X n X1 2 服从 2 分布
n
（C） ( X i X )2 服从 2 分布 i 1
时， g(x) g(0) 0 ，进一步得到当 x (0,1) 时， f (x) 0 ，也就是 f (x) 在 (0,1) 上单调减少．
2017年考研数学三真题和解析
2017年考研数学三真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则 （A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xf x ax ax a +++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =⇒=．所以应该选（A ）2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ）（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,)【详解】2(3)32zy x y xy y xy y x∂=---=--∂，232z x x xy y ∂=--∂，2222222,2,32z z z zy x x x y x y y x∂∂∂∂=-=-==-∂∂∂∂∂∂ 解方程组22320320z y xy y x z x x xy y∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩，得四个驻点．对每个驻点验证2AC B -，发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ）3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2()f x 是单调增加函数．也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-，所以应该选（C ）4． 若级数211sin ln(1)n k nn ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2-【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时，级数的一般项是关于1n的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）．5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（A ）TE αα-不可逆 （B ）TE αα+不可逆 （C ）2TE αα+不可逆 （D ）2TE αα-不可逆【详解】矩阵Tαα的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2T T T TE E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1；2,1,1,,1；1,1,1,,1-；3,1,1,,1．显然只有T E αα-存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）．6．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．对于矩阵A ，0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于 1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于 2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）． 7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B 与C 相互独立的充分必要条件是（ ）（A ）,A B 相互独立 （B ）,A B 互不相容 （C ）,AB C 相互独立 （D ）,AB C 互不相容 【详解】(())()()()()()()()()()P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC =+=+-=+-()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-显然，AB 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =，所以选择（C ）． 8．设12,,,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是（ ）（A ）21()ni i X μ=-∑服从2χ分布 （B ）()212n X X -服从2χ分布（C ）21()nii XX =-∑服从2χ分布 （D ）2()n X μ-服从2χ分布解：（1）显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=且相互独立，所以21()ni i X μ=-∑服从2()n χ分布，也就是（A ）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)~(1)nii n S XX n S n χσ=--=-=-∑，所以（C ）结论也是正确的；（3）注意221~(,)()~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ⇒-⇒-，所以（D ）结论也是正确的；（4）对于选项（B ）：22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-，所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．3(sin x dx ππ-=⎰ ．解：由对称性知33(sin22x dx ππππ-==⎰⎰．10．差分方程122tt t y y +-=的通解为 ．【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2xy C =； 设122t t t y y +-=的特解为2tt y at =，代入方程，得12a =； 所以差分方程122t t t y y +-=的通解为12 2.2tt y C t =+11．设生产某产品的平均成本()1QC Q e -=+，其中产量为Q ，则边际成本为 .【详解】答案为1(1)QQ e -+-．平均成本()1QC Q e-=+，则总成本为()()QC Q QC Q Q Qe-==+，从而边际成本为()1(1).Q C Q Q e -'=+-12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)yydf x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)f x y =【详解】(,)(1)()yyydf x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)yf x y xye C =+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)yf x y xye =．13．设矩阵101112011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A ααα的秩为 ．【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知矩阵A 的秩为2，由于123,,ααα为线性无关，所以向量组123,,A A A ααα的秩为2．14．设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=，{}1P X a ==，{}3P X b ==，若0EX =，则DX = ．【详解】显然由概率分布的性质，知112a b ++= 12133102EX a b a b =-⨯+⨯+⨯=+-=，解得11,44a b ==29292EX a b =++=，229()2DX EX E X =-=．三、解答题15．（本题满分10分）求极限0lim t x dt +→【详解】令x t u -=，则,t x u dt du =-=-，t x u dt du -=⎰⎰02limlim limlim 3t x u u x x x x dt e du du ++++--→→→→====计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰，其中D是第一象限中以曲线y =与x 轴为边界的无界区域． 【详解】33242242002424200220(1)(1)1(1)4(1)1111411282Dy y dxdy dx dy x y x y x y dx x y dx x x π+∞+∞+∞=++++++=++⎛⎛⎫=-=- ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰17．（本题满分10分） 求21limln 1nn k kk nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰18．（本题满分10分） 已知方程11ln(1)k x x-=+在区间(0,1)内有实根，确定常数k 的取值范围．【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x=-∈+，则22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++-'=-+=++++ 令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ''=+-+-=2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-''=<∈+，所以()g x '在(0,1)上单调减少，由于(0)0g '=，所以当(0,1)x ∈时，()0)0g x g ''<=，也就是()g x ()g x '在(0,1)上单调减少，当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g <=，进一步得到当(0,1)x ∈时，()0f x '<，也就是()f x 在(0,1)上单调减少．00011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++→→→⎛⎫-+=-== ⎪++⎝⎭，1(1)1ln 2f =-，也就是得到111ln 22k -<<．设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+，()S x 为幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数（1）证明nn n a x∞=∑的收敛半径不小于1．（2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-，并求出和函数的表达式． 【详解】（1）由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+⇒+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--，也就得到111,1,2,1n n n n a a n a a n +--=-=-+1112110112101(1)(1)!n n n n n n n n n n n a a a aa a a a a a a a a a a a n ++--------=⨯⨯⨯=-----+也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+111121121()()()(1)!nk n n n n n k a a a a a a a a k +++-==-+-++-+=-∑ lim1!n n n n ρ=≤++≤=，所以收敛半径1R ≥ （2）所以对于幂级数nn n a x∞=∑， 由和函数的性质，可得11()n nn S x na x∞-='=∑，所以11111101111111(1)()(1)(1)((1))()n n nn n n n n n nnn n n n nn n n nn n n n n n n n x S x x na xna xna x n a x na x a n a na x a x a xx a x xS x ∞∞∞--===∞∞+==∞+=∞∞∞+-==='-=-=-=+-=++-====∑∑∑∑∑∑∑∑∑也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-．解微分方程(1)()()0x S x xS x '--=，得()1xCe S x x -=-，由于0(0)1S a ==，得1C =所以()1xe S x x-=-．设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+ （1）证明：()2r A =；（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥．假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=，所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数．21．（本题满分11分）设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭， 所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他． （1）求概率P Y EY ≤（）；（2）求Z X Y =+的概率密度． 【详解】（1）1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰（2）Z X Y =+的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=≤+≤-=+-故Z X Y =+的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==+-≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 23．（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=，利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ．（1）求i Z 的概率密度；（2）利用一阶矩求σ的矩估计量； （3）求参数σ最大似然估计量． 【详解】（1）先求i Z 的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσσ⎧-⎫=≤=-≤=≤⎨⎬⎩⎭当0z <时，显然()0Z F z =；当0z ≥时，{}{}()21i Z i i X z zF z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭； 所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩．（2）数学期望2220()z i EZ z f z dz ze dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑，解得σ的矩估计量1ni i Z σ===．（3）设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z ．当0,1,2,i z i n >=时似然函数为221121()(,)ni i nnz i i L f z σσσ=-=∑==∏，取对数得：2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑，得参数σ最大似然估计量为σ=。
2017考研数学三真题及答案解析
（B） 2
（C） 1
（D） 2
【详解】iv
n
时 sin
1 n
k
ln(1
1) n
1 n
k
1 n
1 2
1 n
2
o
1 n2
(1
k)
1 n
k 2
1 n2
o
1 n2
显然当且仅当 (1 k) 0 ，也就是 k 1 时，级数的一般项是关于 1 的二阶无穷小，级数收敛，从而选择 n
（C）．
AC
B2
，发现只有在点 (1,1)
处满足
y
AC B2 3 0 ，且 A C 2 0 ，所以 (1,1) 为函数的极大值点，所以应该选（D）
3．设函数 f (x) 是可导函数，且满足 f (x) f (x) 0 ，则
（A） f (1) f (1) （B） f (1) f (1) （C） f (1) f (1) （D） f (1) f (1)
2017 年考研数学三真题及解析
一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．
1．若函数
f
(x)
1
cos ax
x , x 0 在 x 0 处连续，则
b,
x0
（A） ab 1 （B） ab 1 （C） ab 0 （D） ab 2
2
2
1
【详解】 lim
f (x)
1 cos lim
（D） (1,1)
【详解】 z y(3 x y) xy 3y 2xy y2 ， z 3x x2 2xy ，
x
y
2z x2
2 y,
2z y 2
2x, 2 z 2 z 3 2x xy yx
2017年考研数学三真题与解析
1 2017年考研数学三真题一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．1．若函数1cos ,0(),0xx f x ax b x ì->ï=íï£î在0x =处连续，则（A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =【详解】00011cos 12lim ()lim lim 2x x x x x f x ax ax a+++®®®-===，0lim ()(0)x f x b f -®==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =Þ=．所以应该选（A ）2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（）（A ）(0,0)（B ）03(,)（C ）30(,)（D ）11(,)【详解】2(3)32z y x y xy y xy y x ¶=---=--¶，232z x x xy y¶=--¶，2222222,2,32z z z z y x xxyx yy x¶¶¶¶=-=-==-¶¶¶¶¶¶解方程组22320320z y xy y xz x x xy y¶ì=--=ï¶ïí¶ï=--=¶ïî，得四个驻点．对每个驻点验证2AC B -，发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ）3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x ¢>，则（A ）(1)(1)f f >-（B ）11()()f f <-（C ）11()()f f >-（D ）11()()f f <-【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ¢¢=>，也就是()2()f x 是单调增加函数．也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-Þ>-，所以应该选（C ）4．若级数211sin ln(1)n k nn ¥=éù--êúëûå收敛，则k =（）（A ）1（B ）2（C ）1-（D ）2-【详解】iv n ®¥时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n æöæöæöæö--=---+=++ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时，级数的一般项是关于1n的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）．5．设a 为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则阶单位矩阵，则（A ）T E aa -不可逆不可逆 （B ）TE aa +不可逆不可逆（C ）2TE aa +不可逆不可逆 （D ）2TE aa -不可逆不可逆【详解】矩阵Taa 的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2T T T TE E E E aa aa aa aa -+-+的特征值分别为0,1,1,1 ；2,1,1,,1 ；1,1,1,1,1,1,,,1- ；3,1,1,,1 ．显然只有TE aa -存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）．6．已知矩阵200021001A æöç÷=ç÷ç÷èø，210020001B æöç÷=ç÷ç÷èø，100020002C æöç÷=ç÷ç÷èø，则，则 （A ）,A C 相似，,B C 相似相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似相似 （D ）,A C 不相似，,B C不相似不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1l l l ===．是否可对解化，只需要关心2l =的情况．的情况．对于矩阵A ，0002001001E A æöç÷-=-ç÷ç÷èø，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2l =存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -æöç÷-=ç÷ç÷èø，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2l =只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B 与C 相互独立的充分必要条件是（条件是（ ）（A ）,A B 相互独立相互独立 （B ）,A B 互不相容互不相容 （C ）,AB C 相互独立相互独立 （D ）,AB C 互不相容互不相容 【详解】【详解】(())()()()()()()()()()P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC =+=+-=+-()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-显然，A B 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =，所以选择（C ）． 8．设12,,,(2)n X X X n ³ 为来自正态总体(,1)N m 的简单随机样本，若11n i i X X n ==å，则下列结论中不正确的是（正确的是（ ）（A ）21()ni i X m =-å服从2c 分布分布 （B ）()212nX X -服从2c 分布分布 （C ）21()ni i X X =-å服从2c 分布分布（D ）2()n X m -服从2c 分布分布 解：（1）显然22()~(0,1(0,1))()~(1(1),),1,2,iiX N X i n m m c -Þ-= 且相互独立，所以21()nii X m =-å服从2()n c 分布，也就是（A ）结论是正确的；）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)~(1)ni i n S X X n S n c s=--=-=-å，所以（C ）结论也是正确的；）结论也是正确的；（3）注意221~(,)()~(0,1)()~(1)X N n X N n X nm m m c Þ-Þ-，所以（D ）结论也是正确的；）结论也是正确的；（4）对于选项（B ）：221111()~(0,2)~(0,1)()~(1)22n n n X X X X N N X X c --ÞÞ-，所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）把答案填在题中横线上） 9．322(sin )x x dx ppp -+-=ò．解：由对称性知332222(sin )22xx dxx dx ppppp p -+-=-=òò． 10．差分方程122tt t y y +-=的通解为的通解为 ． 【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2xy C =；设122t t tyy +-=的特解为2tty at =，代入方程，得12a =；所以差分方程122tt t y y +-=的通解为12 2.2t t y C t =+11．设生产某产品的平均成本()1QC Q e-=+，其中产量为Q ，则边际成本为，则边际成本为 . 【详解】答案为1(1)QQ e -+-．平均成本()1QC Q e-=+，则总成本为()()QC Q QC Q Q Qe-==+，从而边际成本为，从而边际成本为()1(1).QC Q Q e -¢=+-12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)f x y =【详解】(,)(1)()yyydf x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)yf x y xye C =+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)yf x y xye =．13．设矩阵101112011A æöç÷=ç÷ç÷èø，123,,a a a 为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A a a a 的秩为 ．【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A æöæöæöç÷ç÷ç÷=®®ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèø，知矩阵A 的秩为2，由于123,,a a a 为线性无关，所以向量组123,,A A A a a a 的秩为2．14．设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=，{}1P X a ==，{}3P X b ==，若0EX =，则DX = ．【详解】显然由概率分布的性质，知112a b ++= 12133102EX a b a b =-´+´+´=+-=，解得11,44a b ==29292EX a b =++=，229()2DX EX E X =-=．三、解答题三、解答题15．（本题满分10分）分）求极限03lim xtx x te dtx+®-ò【详解】令x t u -=，则,t x u dt du =-=-，xxtx ux te dtuedu --=òò3332limlim lim lim 332xxxtxuuxx x x x x te dt eue du ue du xexxxx ++++---®®®®-====òòò计算积分3242(1)Dydxdy xy ++òò，其中D 是第一象限中以曲线y x =与x 轴为边界的无界区域．轴为边界的无界区域．【详解】【详解】33242242002424200220(1)(1)1(1)4(1)11121411282xDxyydxdy dx dy x y x y d x y dx x y dx x x p +¥+¥+¥=++++++=++æöæö=-=-ç÷ç÷ç÷++èøèøòòòòòòò 17．（本题满分10分）分）求21lim ln 1nn k k k n n ®¥=æö+ç÷èøå 【详解】由定积分的定义【详解】由定积分的定义 120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx ®¥®¥==æöæö+=+=+ç÷ç÷èøèø=+=ååòò18．（本题满分10分）分） 已知方程11ln(1)k x x -=+在区间(0,1)内有实根，确定常数k 的取值范围．的取值范围．【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x =-Î+，则，则22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++-¢=-+=++++ 令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ¢¢=+-+-= 2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-¢¢=<Î+，所以()g x ¢在(0,1)上单调减少，上单调减少，由于(0)0g ¢=，所以当(0,1)x Î时，()0)0g x g ¢¢<=，也就是()g x ()g x ¢在(0,1)上单调减少，当(0,1)x Î时，()(0)0g x g <=，进一步得到当(0,1)x Î时，()0f x ¢<，也就是()f x 在(0,1)上单调减少．上单调减少．0011ln(1)1lim()lim lim ln(1)ln(1)2x x xx x f x x x x x +++®®®æö-+=-==ç÷++èø，1(1)1ln 2f =-，也就是得到111ln 22k -<<．设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+ ，()S x 为幂级数nnn a x ¥=å的和函数的和函数（1）证明nn n a x ¥=å的收敛半径不小于1．（2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x ¢--=Î-，并求出和函数的表达式．，并求出和函数的表达式． 【详解】（1）由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+Þ+=++也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--，也就得到111,1,2,1n nn n aa n a a n +--=-=-+1112110112101(1)(1)!n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a n ++--------=´´´=-----+ 也就得到111(1),1,2,(1)!nn n aa n n ++-=-=+111121121()()()(1)!nk n n nnn k aaa aa aa ak +++-==-+-++-+=-å111lim lim lim 12!3!!nnnn n n n a e n r ®¥®¥®¥=£+++£= ，所以收敛半径1R ³（2）所以对于幂级数nnn a x ¥=å， 由和函数的性质，可得11()n n n S x na x¥-=¢=å，所以，所以111111011111110(1)()(1)(1)((1))()n n nn n nn n n n n n nn n nn n n nn nn nnn n n x S x x na xna xna xn a x na x a n a na xa x a xx a x xS x ¥¥¥--===¥¥+====¥+=¥¥¥+-===¢-=-=-=+-=++-====ååååååååå也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x ¢--=Î-．解微分方程(1)()()0x S x xS x ¢--=，得()1xCeS x x-=-，由于0(0)1S a ==，得1C = 所以()1xeS x x-=-．设三阶矩阵()123,,A a a a =有三个不同的特征值，且3122.a a a =+（1）证明：()2r A =；（2）若123,b a a a =+，求方程组Ax b =的通解．的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ³．假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ³，又因为31220a a a -+=，也就是123,,a a a 线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220a a a -+=，所以基础解系为121x æöç÷=ç÷ç÷-èø；又由123,b a a a =+，得非齐次方程组Ax b =的特解可取为111æöç÷ç÷ç÷èø；方程组Ax b =的通解为112111x k æöæöç÷ç÷=+ç÷ç÷ç÷ç÷-èøèø，其中k 为任意常数．为任意常数．21．（本题满分11分）分） 设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x a x x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y l l +，求a 的值及一个正交矩阵Q ．【详解】二次型矩阵21411141Aa -æöç÷=-ç÷-èø因为二次型的标准形为221122y y l l +．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =114111(3)(6)412E A l l l l l l l ---=+=+--- 令0E A l -=得矩阵的特征值为1233,6,0l l l =-==．通过分别解方程组()0i E A x l -=得矩阵的属于特征值13l =-的特征向量111131x æöç÷=-ç÷ç÷èø，属于特征值特征值26l =的特征向量211021x -æöç÷=ç÷èø，30l =的特征向量311261x æöç÷=÷çèø， 所以()12311132612,,036111326Q x x x æö-ç÷ç÷ç÷==-ç÷ç÷ç÷ç÷èø为所求正交矩阵．为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<ì=íî其他．（1）求概率P Y EY £（）； （2）求Z X Y =+的概率密度．的概率密度．【详解】（1）1202()2.3Y EY yf y dy y dy+¥-¥===òò所以{}230242.39P Y EYP Y ydy ìü£=£==íýîþò（2）Z X Y =+的分布函数为的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z YY F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =£=+£=+£=++£===£+=£-=£+£-=+-故Z X Y =+的概率密度为的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,ZZf z F z f z f z z z z z ¢==+-££ìï=-£<íïî其他23．（本题满分11分）分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量m 是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N m s 该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n m =-= ，利用12,,,n Z Z Z 估计参数s ． （1）求i Z 的概率密度；的概率密度；（2）利用一阶矩求s 的矩估计量；的矩估计量； （3）求参数s 最大似然估计量．最大似然估计量． 【详解】（1）先求i Z 的分布函数为的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P m m ss ì-ü=£=-£=£íýîþ当0z <时，显然()0Z F z =；当0z ³时，{}{}()21i Z i i X z z F z P Z z P X z P m m s s sì-üæö=£=-£=£=F -íýç÷èøîþ； 所以i Z 的概率密度为2222,0()()20,0z Z Z e z f z F z z s ps-ì³ï¢==íï<î．（2）数学期望22222()22z iEZ z f z dzze dzss psp-+¥+¥===òò， 令11ni i EZ Z Z n ===å，解得s 的矩估计量12222ni i Z Z np ps ===å．（3）设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z ．当0,1,2,i z i n >= 时 似然函数为2211212()(,)(2)n ii nnz i n i L f z ess s ps =-=å==Õ，取对数得：2211ln ()ln 2ln(2)ln 22ni i n L n n z s p s s ==---å令231ln ()10ni i d L n z d s s s s ==-+=å，得参数s 最大似然估计量为211ni i z n s ==å．。
2017年考研数学三真题与解析
2017年考研数学三真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则 （A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xf x ax ax a+++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =⇒=．所以应该选（A ） 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ）（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,)【详解】2(3)32z y x y xy y xy y x ∂=---=--∂，232zx x xy y∂=--∂， 2222222,2,32z z z z y x x x y x y y x∂∂∂∂=-=-==-∂∂∂∂∂∂ 解方程组22320320z y xy y x z x x xy y∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩，得四个驻点．对每个驻点验证2AC B -，发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ）3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <-【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2()f x 是单调增加函数．也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-，所以应该选（C ）4． 若级数211sin ln(1)n k n n ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2-【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时，级数的一般项是关于1n的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）．5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（A ）TE αα-不可逆 （B ）TE αα+不可逆 （C ）2TE αα+不可逆 （D ）2TE αα-不可逆【详解】矩阵Tαα的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2T T T T E E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1 ；2,1,1,,1 ；1,1,1,,1- ；3,1,1,,1 ．显然只有TE αα-存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）．6．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．对于矩阵A ，0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于 1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于 2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B 与C 相互独立的充分必要条件是（ ）（A ）,A B 相互独立 （B ）,A B 互不相容 （C ）,AB C 相互独立 （D ）,AB C 互不相容 【详解】(())()()()()()()()()()P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC =+=+-=+-()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-显然，A B 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =，所以选择（C ）．8．设12,,,(2)n X X X n ≥ 为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是（ ）（A ）21()ni i X μ=-∑服从2χ分布 （B ）()212n X X -服从2χ分布（C ）21()nii XX =-∑服从2χ分布 （D ）2()n X μ-服从2χ分布解：（1）显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-= 且相互独立，所以21()nii Xμ=-∑服从2()n χ分布，也就是（A ）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)~(1)nii n S XX n S n χσ=--=-=-∑，所以（C ）结论也是正确的；（3）注意221~(,))~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ⇒-⇒-，所以（D ）结论也是正确的；（4）对于选项（B ）：22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-，所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．3(sin x dx ππ-=⎰ ．解：由对称性知33(sin22x dx ππππ-==⎰⎰．10．差分方程122tt t y y +-=的通解为 ． 【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2xy C =； 设122t t t y y +-=的特解为2tt y at =，代入方程，得12a =； 所以差分方程122tt t y y +-=的通解为12 2.2tt y C t =+11．设生产某产品的平均成本()1Q C Q e -=+，其中产量为Q ，则边际成本为 .【详解】答案为1(1)Q Q e -+-．平均成本()1Q C Q e -=+，则总成本为()()Q C Q QC Q Q Qe -==+，从而边际成本为()1(1).Q C Q Q e -'=+-12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)f x y =【详解】(,)(1)()y y y df x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)y f x y xye C =+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)y f x y xye =．13．设矩阵101112011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A ααα的秩为 ．【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知矩阵A 的秩为2，由于123,,ααα为线性无关，所以向量组123,,A A A ααα的秩为2．14．设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=，{}1P X a ==，{}3P X b ==，若0EX =，则DX = ．【详解】显然由概率分布的性质，知112a b ++= 12133102EX a b a b =-⨯+⨯+⨯=+-=，解得11,44a b ==29292EX a b =++=，229()2DX EX E X =-=．三、解答题15．（本题满分10分）求极限0lim t x dt +→【详解】令x t u -=，则,t x u dt du =-=-，t x u dt du -=⎰⎰00002limlim limlim 33xt x u u x x x x x dt e du du ++++---→→→→====计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰，其中D是第一象限中以曲线y =x 轴为边界的无界区域． 【详解】33242242002424200220(1)(1)1(1)4(1)1111411282Dy y dxdy dx dy x y x y d x y dx x y dx x x π+∞+∞+∞=++++++=++⎛⎛⎫=-=- ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰17．（本题满分10分） 求21limln 1nn k k k n n →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰18．（本题满分10分） 已知方程11ln(1)k x x-=+在区间(0,1)内有实根，确定常数k 的取值范围．【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x=-∈+，则22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++-'=-+=++++ 令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ''=+-+-=2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-''=<∈+，所以()g x '在(0,1)上单调减少，由于(0)0g '=，所以当(0,1)x ∈时，()0)0g x g ''<=，也就是()g x ()g x '在(0,1)上单调减少，当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g <=，进一步得到当(0,1)x ∈时，()0f x '<，也就是()f x 在(0,1)上单调减少．00011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++→→→⎛⎫-+=-== ⎪++⎝⎭，1(1)1ln 2f =-，也就是得到111ln 22k -<<．设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+ ，()S x 为幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数 （1）证明nn n a x∞=∑的收敛半径不小于1．（2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-，并求出和函数的表达式． 【详解】（1）由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+⇒+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--，也就得到111,1,2,1n n n n a a n a a n +--=-=-+1112110112101(1)(1)!nn n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a n ++--------=⨯⨯⨯=-----+ 也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+111121121()()()(1)!nk n n n n n k a a a a a a a a k +++-==-+-++-+=-∑1n n n ρ=≤≤=，所以收敛半径1R ≥ （2）所以对于幂级数nn n a x∞=∑， 由和函数的性质，可得11()n nn S x na x∞-='=∑，所以11111101111111(1)()(1)(1)((1))()n n nn n n n n n nnn n n n nn n n nn n n n n n n n x S x x na xna xna x n a x na x a n a na x a x a xx a x xS x ∞∞∞--===∞∞+==∞+=∞∞∞+-==='-=-=-=+-=++-====∑∑∑∑∑∑∑∑∑也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-．解微分方程(1)()()0x S x xS x '--=，得()1xCe S x x -=-，由于0(0)1S a ==，得1C =所以()1xe S x x-=-．设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+ （1）证明：()2r A =；（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥．假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=，所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数．21．（本题满分11分）设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ． 【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a = 114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭， 所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他． （1）求概率P Y EY ≤（）；（2）求Z X Y =+的概率密度． 【详解】（1）1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰（2）Z X Y =+的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=≤+≤-=+-故Z X Y =+的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==+-≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 23．（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-= ，利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ． （1）求i Z 的概率密度；（2）利用一阶矩求σ的矩估计量； （3）求参数σ最大似然估计量． 【详解】（1）先求i Z 的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσσ⎧-⎫=≤=-≤=≤⎨⎬⎩⎭当0z <时，显然()0Z F z =；当0z ≥时，{}{}()21i Z i i X z zF z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭； 所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩．（2）数学期望2220()z i EZ z f z dz ze dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑，解得σ的矩估计量1ni i Z σ===．（3）设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z ．当0,1,2,i z i n >= 时似然函数为21121()(,)ni i n nz i i L f z σσσ=-=∑==∏，取对数得：2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑，得参数σ最大似然估计量为σ=。
【精品】2017年河南省八市中评高考数学三模试卷(理科)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个 选项中，有且只有一项符合题目要求 . 1．（ 5 分）若复数 （ a∈ R，i 是虚数单位） 是纯虚数， 则实数 a 的值为（ ） A．﹣ 2 B．﹣ 6 C．4 D．6 2．（5 分）设 [ x] 表示不大于 x（x∈R）的最大整数，集合 A={ x|[ x] =1} ， B={ 1， 2} ，则 A∪ B=（ ） A．{ 1} B．{ 1， 2} C． [ 1，2） D． [ 1，2] 3．（ 5 分）某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了 6 个数据： x1=52，x2=70， x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，执行如图所示的程序框图， 那么输出的 S 是（ ）
由于函数
的图象为单位圆的上半圆，
可得切线的斜率为﹣ ，
即有切线的方程为 y﹣n=﹣ （x﹣m）， 代入 m2+n2=1，可得 mx+ny=1， 代入（ 2，1），可得 2m+n=1， 解得 m= ，n=﹣ ，（舍去）或 m=0，n=1，
即为切线的斜率为﹣ =0．
故选： A． 【点评】 本题考查切线的斜率的求法， 注意运用圆的切线的性质， 以及两直线垂 直的条件和直线方程的运用，属于中档题．
使 P 与圆周上某点 P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与 EP的' 交点为 M．
（ 1）求 M 的轨迹 C 的方程；
（ 2）直线 l：y=kx+m 与 C 的两个不同交点为 A，B，且 l 与以 EP为直径的圆相切，
若
，求△ ABO 的面积的取值范围．
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21．（ 12 分）已知 f （x）=
高昆轮《张宇考研数学命题人终极预测8套卷》精讲精解
A A E; A E
B A E; A E
1
C A E; A E
D A E; A E
T
设A, B是n阶可逆矩阵, 满足AB A B, 则下列关系中不正确的是
A A B
A B
B AB
A 21 +a 2 3 B 21 +3 2 2a3 C a1 + 2 2 3 D 31 2a 2 3
1 有唯一解 设A是3阶矩阵, A 1, a11 1, aij Aij , Aij 是A中元素aij的代数余子式, 则非齐次线性方程组Ax 0 0 0 A1, 0，
五、特征值与特征向量（特征值与特征向量的定义；相似对角化；实对称）
设A是3阶不可逆矩阵, , 是线性无关的3维列向量, 满足 A , A , 则A =
0 设A是3阶矩阵, Ax 0有通解k11 k2 2 , A3 =3 , 则存在可逆矩阵P, 使得P 1 AP 0 A1 , 2 , 1 3 B 2 , 3 , 1 C 1 2 , 2 , 23 D 1 2 , 2 3 , 3
C 12 r 16
D r 16
设A是3阶方阵，有3个特征值0,1,1，且不能对角化，则r E A r A
4 0 4 A B 1 4 0 , 则r 2 E A 0 1 3
三、向量组（相关；表出；秩）
A, B都是2 4的矩阵, 其中 Ax 0有基础解系1 1,1, 2,1 , 2 0, 3,1, 0
T T T T
(完整版)2017全国3卷数学
2017年普通高等学校招生全国统一考试（3卷）数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={}22(,)1x y x y +=│，B={}(,)x y y x =│，则A ⋂B 中元素的个数为（ ）. A ．3 B ．2 C ．1 D ．02．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=（ ）.A ．12B ．22C ．2D ．2 3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（ ）.A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大学*科网致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4.(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为 （ ）.A. -80B. -40C. 40D. 805.已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为52y x =,且与椭圆221123x y += 有公共焦点，则C 的方程为（ ） A. 221810x y -= B. 22145x y -= C. 22154x y -= D. 22143x y -= 6．设函数f (x )=cos(x +3π)，则下列结论错误的是（ ）. A ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称C ．f (x +π)的一个零点为x =6πD ．f (x )在(2π,π)单调递减 7.执行右面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（ ）.A ．5B ．4C ．3D ．28.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）.A. πB. 3π4C. π2D. π49.等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为（ ）.A. -24B. -3C. 3D. 810.已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切， 则C 的离心率为（ ）.D.1311.已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =（ ）. A.12- B.13 C.12D.1 12. 在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值 为（ ）.A.3C.D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017张宇最后一套卷(数学二-解析)
故 dz ( x, y ) (0,0)
z z dx x (0,0) y
dy 2dx 3dy
(0,0)
x 1 ex , 当x 0 e （13） f ( x ) x 当x 0. 0
分析 未知函数含于积分之中的方程称积分方程。现在此积分的限为变量，求此方程的
（3） （D） 【分析】由曲率公式， y '
1 1 ， y '' 2 ， x x y '' (1 y ' )
2 32
k
x , x 0. (1 x 2 ) 3 2
dk 1 2x 2 . dx (1 x 2 ) 3 2
1
内部资料
令
严禁翻印
仅供模考
不作押题
dk dk dk 1 1 1 1 0 ，得 x 0 ；当 x 0 ，x . 当0 x 时， 时， dx dx dx 2 2 2 2 1 2
F ' x ( x, y ) F ' y ( x, y ) y ' ( x ) 0 ，对其两边求 x 的导数，有 F '' xx ( x, y ) F '' xy ( x, y ) y ' F '' yx ( x, y ) y ' F '' yy ( x, y ) y '2 F ' y ( x, y ) y '' 0
令 x 0, 得
f ' x =f ( x ) e x f '(0) f ( x )ae x
所以 f '( x ) 存在.解此一阶微分方程，得
数3--17真题答案
2017年考研数学(三)试卷答案速查一、选择题（1）A （2）D （3）C （4）C （5）A （6）B （7）C （8）B 二、填空题（9）3π2（10）122t t C t −+⋅ （11）1(1)e QQ −+−（12）e yxy （13）2 （14）92三、解答题 （15）23． （16（17）14． （18）11(1,)ln 22k ∈−． （19）略．（20）（Ⅰ）略．（Ⅱ）112111k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭x （k 为任意常数）．（21）2=a ．（Ⅱ）0⎛ = ⎝Q ． （22）（Ⅰ）49. （Ⅱ）,01,()2,23,0,.Z z z f z z z <<⎧⎪=−<⎨⎪⎩其他（23）（Ⅰ）2212,0,()0,;其他z Z z f z σ−⎧>=⎩；（Ⅱ）ˆ2σ=；（Ⅲ）ˆσ=2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】（A ）.【详解】因为()f x 在0x =连续，所以0lim ()lim ()(0)x x f x f x f +−→→==; 由20001112lim()lim lim ,2x x x f x ax ax a +++→→→−===0lim ()(0)x f x f b −→==； 得12b a =，即12ab =．故选（A ）．（2）【答案】（D ）.【详解】由(32)0,(32)0zy x y xz x x y y∂⎧=−−=⎪∂⎪⎨∂⎪=−−=∂⎪⎩得驻点(0,0),(0,3),(3,0),(1,1)；又222222,2,322z z zy x x y x y x y∂∂∂=−=−=−−∂∂∂∂； 利用极值的充分条件:当(,)(0,0)x y =时，290AC B −=−<，(0,0)不是极值点；(,)(0,3)x y =时，290AC B −=−<，(0,3)不是极值点； (,)(3,0)x y =时，290AC B −=−<，(3,0)不是极值点；(,)(1,1)x y =时，230AC B −=>，(1,1)是极值点;故选（D ）.（3）【答案】（C ）.【详解】由()()0f x f x '>，可判断2()f x 的单调性. 由于2(())2()()0f x f x f x ''=>，于是2()f x 在所考虑的区间上单调增加，因此，22(1)(1)f f >−,即(1)(1)f f >−，故选（C ）．（4）【答案】（C ）.【详解】因为331()111sin (())3!n o n n n =−+,221()111ln(1)(())2n o n n n−=++，所以332211111111sin ln(1)()()()62k o k o n n n n n n n n −−=−+−−++2211(1)()2k k o n n n=+−+，因为11n n∞=∑发散，211n n ∞=∑收敛，所以当10k +=，即1k =−时, 2111sin ln(1)()k O n n n −−=.故选（C ）.（5）【答案】（A ）．【详解】由条件知T1=αα，T αα为n 阶方阵，且T ()=αααα，T ()1r =αα，所以矩阵T αα的特征值为1和0（1n −重）. 则矩阵T−E αα特征值分别为10λ=，21n λλ===，所以T −E αα不可逆． 故选（A ）．（6）【答案】（B ）．【详解】A ,B 是上三角矩阵，C 是对角阵，特征值都是1,2,2．对于A 的二重特征值122,(2)312n r λλ==−−=−=A E （等于重数），故A 可相似对角化，相似于C ．对于B 的二重特征值122,(2)321n r λλ==−−=−=B E （小于重数），于是B 不可相似对角化，B 不相似于C ．故选（B ）．（7）【答案】（C ）.【详解】由独立性可知[()]()()P A B C P A B P C =;[()][()()]P A B C P AC BC =()()()P AC P BC P ACBC =+−()()()()(),P A P C P B P C P ABC =+−而()()[()()()]()P A B P C P A P B P AB P C =+−()()()()()()P A P C P B P C P AB P C =+−,从而有()()()P ABC P AB P C =. 故选（C ）.（8）【答案】（B ）． 【详解】（A ）选项(0,1)i X N μ−，所以221()()ni i X n μχ=−−∑；（B ）选项(0,2)n iX X N −，所以22()(1)2n i X X χ−，从而22()n i X X −不服从2χ分布； （C ）选项22221(1)()(1)1ni i n S X X n χ=−−=−∑；（D ）选项1(0,)X N n μ−，所以222()(1)X n X μχ⎛⎫⎪−=．故选（B ）．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）【答案】3π2.【详解】原式ππ3πsin d x x x −−=+⎰⎰π23110.22x −=+=⋅ππ=⋅π⎰（10）【答案】122t t C t −+⋅.【详解】易知对应的齐次方程的通解为2t C y C =，设非齐次方程的特解为*2t t y At =⋅，代入原方程解得12A =，所以通解为 *1()(2)2t t t C y y y t C t −=+=+⋅.（11）【答案】1(1)eQQ −+−.【详解】成本函数()()(1e )QC Q Q C Q Q −=⋅=+，所以d ()[(1e )]1(1)e d Q Q C Q Q Q Q−−'=+=+−. （12）【答案】e yxy .【详解】由题设可得(,)e ,(,)(1)e yyx y f x y y f x y x y ''==+.而(,)e d e ()yyf x y y x xyg y ==+⎰,d[e ()]d ()(,)(1)e d d yy x xy g y g y f x y x y y y+'==++;所以，d (),(),(,)e d y g y C g y C f x y xy C y===+，再由(0,0)0f =得(,)e y f x y xy =.（13）【答案】2．【详解】因为123,,ααα线性无关，则123(,,)ααα为可逆矩阵．于是123123(,,)[(,,)]()r r r ==A A A A A αααααα.对A 进行初等行变换，101011,000⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭A得()2r =A ，所以123,,A A A ααα的秩为2．（14）【答案】92.【详解】根据分布律的性质及期望的定义,可得11,21(2)130,2a b a b ⎧++=⎪⎪⎨⎪−⋅+⋅+⋅=⎪⎩解得 1,41;4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以22222211199(2)13,24422EX DX EX E X =⋅−+⋅+⋅==−=.三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）【解】对于分子，被积函数含有x ，首先利用换元法分离x ，e d e (d )e e d t x u x u xx t ux t tu u u u −−−=−−=⎰⎰⎰.所以原式03100022e d e 2lim e limlim 332x u x xx x x u u x xx +++−−→→→=⋅==⎰. （16）（本题满分10分）【详解】如右图所示，其积分区域为图中阴影部分；所以原式3242d d (1)xy x y x y +∞=++⎰324220001111d (414121y xy y x x y x x =+∞+∞==−=−++++⎰⎰012(2(arctan )4282x x +∞=−−=（17）（本题满分10分） 【解】由定积分定义得，21lim ln 1nn k k k nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑1011lim ln(1)ln(1)d n n k k k x x x n n n →∞==+=+∑⎰ 2211120001111ln(1)d ln(1)d 2221x x x x x x x−+=+=+−+⎰⎰10111ln 21d 221x x x ⎛⎫=−−+ ⎪+⎝⎭⎰11200111ln 2(1)ln (1)242x x =−−−+ 1111ln 2ln 2.2424=+−=（18）（本题满分10分） 【解】构造函数11(),(0,1)ln(1)f x x x x=−∈+，则011lim (),(1)12ln 2x f x f +→==−； 22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++−'=−=++++； 设22()(1)ln (1)g x x x x =++−，则有2()ln (1)2ln(1)2g x x x x '=+++−，2ln(1)22[ln(1)]()20111x x x g x x x x++−''=+−=<+++，结合(0)(0)0g g '==，可以判断()0f x '<，()f x 单调减少，其值域为11(1,)ln 22−； 所以11(1,)ln 22k ∈−.（19）（本题满分10分）【证】（Ⅰ）由已知条件得11)1(−++=+n n n a na a n ，即1111n n n n a a a a n +−−=−−+. 因此112111011210()n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a +−+−−−−−−−=⋅⋅⋅⋅−−−−110(1)1()(1)(1)!(1)!n n a a n n +−=−=−++，其中01a =，10a =. 从而1111111(1)(1)(1)(1)!(1)!!n n n n n n a a a n n n +++−=−+=−+−+++11112111(1)(1)(1)(1)(1)!!2!!k n n n k a n n n k +++=−==−+−+++=+∑.因为1121e !n n k a k ++=<∑，所以收敛半径1lim 1n n n a R a →∞+==，故收敛半径不小于1. （Ⅱ）因为0()nn n S x a x∞==∑，则111()(1)n n n n n n S x na xn a x ∞∞−+=='==+∑∑，1110(1)()(1)(1)nn n n n n x S x n a x n a x ∞∞+++=='−=+−+∑∑.由于11(1)n n n n a na a +−+=+，因此111111(1)()(1)()nnn n n n n n n x S x a na x a x n a x xS x ∞∞∞+−+==='−=++−+=∑∑∑；即得到可分离变量的微分方程(1)()()x S x xS x '−=，解得e ()1xC S x x −=−.再结合初始条件0(0)1S a ==，得1C =−，所以e ()(11).1xS x x x−=−<<−（20）（本题满分11分）【解】（Ⅰ）由于3122=+ααα知123,,ααα线性相关，得0=A ，于是0是A 的特征值．设A 的特征值为1230,,λλλ=，由于它们两两不等，所以23,λλ都不为0,并且A 相似于230000000λλ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭．于是12000()00 2.00r r λλ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭A（Ⅱ）由3122=+ααα，得1232++=ααα0，即T(1,2,1)−=A 0，则T(1,2,1)−是齐次方程=Ax 0的一个特解．因为()2r =A ，所以=Ax 0的基础解系只包含一个解向量，于是T(1,2,1)−构成=Ax 0的基础解系．T 123(1,1,1)=++=A αααβ，因此T(1,1,1)是非齐次方程=Ax β的一个特解．于是=Ax β的通解为：T T (1,1,1)(1,2,1),C C +−取任意常数．（21）（本题满分11分）【解】f 的二次型矩阵为21411141a −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭A ，相似于矩阵12000.000λλ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭B 故0==A B ．求出63a =−A ，得 2.a =得214111.412−⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭AA 的特征多项式为214606111111412412λλλλλλλλ−−−−−=−+−=−+−−−−−E A 600112412λλλ−=−+−−+2(6)(3)(6)(3)λλλλλλ=−+=−+； 求得A 的特征值为1236,3,0.λλλ==−=当16λ=时，(6)−=A E x 0的一个非零解T(1,0,1)−，单位化得T1=ξ； 当23λ=−时，(3)+=A E x 0的一个非零解T(1,1,1)−，单位化得T 2=ξ； 当30λ=时，(0)−=A E x 0的一个非零解T(1,2,1)，单位化得T 3.=ξ令正交矩阵123(,,)0⎛== ⎝Q ξξξ，则123(,,)f x x x 在正交变换=x Qy下化为221263.y y −（22）（本题满分11分） 【解】（Ⅰ）由122d 3EY y y y =⋅=⎰，得 {}23242d .39P Y EY P Y y y ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭⎰ （Ⅱ） {}{}()F z P Z z P X Y z ==+{}{}0,2,P X X Y z P X X Y z ==++=+ {}{}{}{}022P X P Y z P X P Y z ==+=− {}{}112,22P Y z P Y z =+− 当0z <时，()0F z =；当01z <<时，201()2d 022z z F z y y =+=⎰；当11z <时，11()(10)22F z =+=； 当23z <时，220111(2)()2d 2222z z F z y y −−=+=+⎰；当3z 时，() 1.F z =即 ,01,()2,23,0,Z z z f z z z <<⎧⎪=−<⎨⎪⎩其他.（23）（本题满分11分） 【解】（Ⅰ）由题设知，21(,)X N μσ，则1(0,1)X N μσ−，{}{}111()Z F z P Z z P X z μ==−；当0z 时，1()0,Z F z = 当0z >时， {}{}111()Z F z P X z P z X z μμ=−=−−11121,X z z z P μσσσσ−−⎧⎫⎛⎫==Φ−⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭ 综上所述：2212,0,()0,0.z Z z f z z σ−⎧>=⎩（Ⅱ）由（Ⅰ）知，221210()()d d z ZE Z zf z z z σ−+∞+∞−∞==⎰⎰222220ed ,2z z σσσ−+∞⎛⎫== ⎪⎝⎭故σ的矩估计量为ˆ2σ=11.ni i Z X n μ==−∑（Ⅲ）似然函数221221π()()()e ,0,1,2,,,20,i ni i n nn Z i i i z L f z z i n σσσ=−−−=⎧⎪⎪==>=⎨⎪⎪⎩∑∏其他.取对数得 221π1ln ()ln ln ,222nii n L n zσσσ==−−−∑等式两边对σ求导，得231d ln ()1d n i i Ln z σσσσ==−+∑，令d ln ()0d Lσσ=，得σ=故σ的最大似然估计量为ˆσ=。
2017张宇最后一套卷(数学三)
S2 S1 1 3 S3
4
1
内部资料
（A） 1 ， 3 （4）设 f ( x )
严禁翻印
仅供模考
不作押题
（B） 1 ， 3
（C） 5 ， 6
（D） 1 ， 9 ）
x
n 0
n
，则在 x 1 时， F ( x )
xf ( x) 的麦克劳林级数为（ 1 x
（A）
nxn
有解时,求解 X. （21） （本题满分 11 分） 设 ， 均为 3 维单位列向量，且 ， 正交， A ，
T T
证明： （I） A =0 ； （II） ， 均是 A 的特征向量； （III）A 可以相似对角化，并求 . （22） （本题满分 11 分） 某商品一周的需求量 X 是随机变量，已知其概率密度为 f ( x ) xe ( x 0) ，假设各周 的需求量相互独立，以 uk 表示 k 周的总需求量. （I）求 u2 和 u3 的概率密度 f k ( x )(k 2,3) ; （II）求接连三周中最大需求量的概率密度 f 3 ( x ) . （23） （本题满分 11 分） 设随机变量 X 1 与 X 2 相互独立， X i 服从参数为 i, p （0<p<1）的二项分布，i=1,2， 令随机变量 Y1 差达到最小.
4
内部资料
（20） （本题满分 11 分）
严禁翻印
仅供模考
不作押题
1 1 2 1 4 0 （I） 1 = 1 ， 2 = 1 ， 3 = 0 ，1 1 ， 2 0 ， 3 2 1 0 1 a b c
2017考研数学三真题及答案
2017考研数学三真题及答案、选择题1 —8小题.每小题4分，共32分.1 cos . x 01 .若函数f(x) ax ,x 0在x 0处连续，则b, x 0…11 . 一 . 一(A) ab — (B) ab — (Q ab 0 (D) ab 22 2_ 11 cos 、x ox 1【详斛】lim f (x) lim ------- lim — — , lim f (x) b f(0),要使函数在x 0 x 0 ax x 0 ax 2a x 0八……r 11 〜，…，x 0处连续，必须满足——b ab -.所以应该选(A2a 222z z2x, 3 2x x y y xz 2 八 一 3y 2xy y 0 x2解方程组 x ，得四个驻点.对每个驻点验证AC B 2,发现只有在z 2一 3x x 2xy 0 y应该选(D(A) f (1) f( 1) (B) f (1) f( 1)(C) f (1) |f( 1) (D) |f(1)| |f( 1)-11 一，一.22f(x)f (x) 0,也就是f(x)是单调增加函数.也3.设函数f(x)是可导函数，且满足f(x)f (x) 0,则【详解】设g(x) (f (x))2,则g (x)、.一 一2就得到f(1) f ( 1) f(1) |f( 1),所以应该选(C)2.二元函数z xy(3 x y)的极值点是((A) (0,0)(B) (0,3)(C) (3,0)(D) (1,1)【详解】—y(3 x y) xy x2 Z c 23y 2xy y ,——3x x y2z 2y, 2 点(1,1)处满足ACB 22 0,所以(1,1)为函数的极大值点，所以4.右级数sin - kln(1 —)收敛，则k n 2 n n26 .已知矩阵A 0情况.7 .设A,B, C 是三个随机事件，且 A,C 相互独立，B,C 相互独立，则AUB 与C 相互独 立的充分必要条件是【详解】(A)iv n(B) 2 (C)(D) 21sin 一 nk ln(1 1~2n(11 k)-n 显然当且仅当 (1 k) 0, 也就是k 1时，级数的一般项是关于 1 ,,人一—的二阶无穷小,n收敛，从而选择(C).5.设为n 单位列向量, E 为n 阶单位矩阵，则(A) ET 不可逆(B) E T 不可逆(C) E 2 T 不可逆(D) ET 不可逆【详解】矩阵T 的特征值为1和n 1个0,从而ET,ET,E 2 T ,E的特征值分别为 0,1,1,L 1; 2,1,1,L ,1 ;1,1,1L ,1 ； 3,1,1,L ,1 .显然只有E T 存在零特征值，所以不可逆, 应该选(A).(A) A,C 相似，B,C 相似(B) A,C 相似，B,C 不相似 (C) A,C 不相似，B,C 相似(D) A,C 不相似，B,C 不相似【详解】矩阵 A, B 的特征值都是22,31 .是否可对解化，只需要关心对于矢I 阵A, 2E A 0,也就是矩阵A 属于特征值2存在两个线性无关的特征向量, 也就是可以对角化，也就是A~C.,也就是矩阵A 属于特征值2只有个线性无关的特征向量, 也就是不可以对角化，当然B,C 不相似故选择(B).(A) A, B 相互独立 (B) A,B 互不相容(C) AB,C 相互独立(D) AB,C 互不相容【详解】P((AUB)C) P(AC AB) P(AC) P(BC) P(ABC) P(A)P(C) P(B)P(C) P(ABC)P(AUB)P(C) (P(A) P(B) P(AB))P(C) P(A)P(C) P(B)P(C) P(AB)P(C)是正确的;【详解】齐次差分方程 y t 1 2 y t 0的通解为y C2x ；显然，AU B 与C 相互独立的充分必要条件是P(ABC) P(AB)P(C),所以选择(C ).8.设X I ,X 2,L ,X n (n 2)为来自正态总体N( ,1)的简单随机样本,卜列结论中不正确的是n(A) (X ii 1 )2服从2分布(B)2 X n X 1 2服从2分布n(X ii 1(3)n(C) (X ii 1显然(X iX)2服从 2分布)~N(0,1) (X i)2服从2(n)分布，也就是(A)(X i X)2 (n i 11)S 27(D)n(X 22)~结论是正确的;2)2服从1,2,L 2(n 1),所以(C),n(X ) ~ N(0,1) n(X )2 ~2分布n 且相互独立，所以结论也是正确的;2 ,(1),所以(D)结论也(4)对于选项(B): (X nX I )~ N(0,2)X n -X 1 ~ N(0,1)所以(B)结论是错误的，应该选择(B) 二、填空题(本题共 6小题，每小题4分, 满分24分.把答案填在题中横线上)9. (sin 3x2 2x )dx 解：由对称性知(sin 3x 2x 2)dx 10.差分方程y t 12 y t 2t 的通解为t _ t1 设y t 1 2y t 2的特解为y at2 ,代入方程，得a —；2t+ 1 +所以差分万程y t i 2y t 2t的通解为y C2t5 t2.Q11 .设生广某广品的平均成本 C(Q) 1 e ，其中产量为Q,则边际成本为.【详解】答案为1 (1 Q)e Q.平均成本C(Q) 1 e Q ,则总成本为C(Q) QC(Q) Q Qe Q,从而边际成本为C (Q) 1 (1 Q)e Q .df(x,y) ye y dx x(1 y)e y dy ,f(0,0) 0,则 f(x,y)f(0,0) 0,得 C 0,所以 f(x, y) xye y.114.设随机变量 X 的概率分布为 PX 2- , P X 1 a,PX 3 b,若 2 EX 0 ,则 DX .…1 1^ , , _ __ ____ _1【详解】显然由概率分布的性质，知 a b - 121 …1 1EX 2 — 1 a 3 b a 3b 1 0,解得 a — ,b 一2 4412.设函数 f (x, y)具有一阶连续的偏导数，且已知【详解】df (x, y)ye y dx x(1 y)e y dy d(xye y ),所以 f (x, y) xye y C ,由1 0 113.设矩阵A1 12 01 1的秩为.【详解】对矩阵进行初等变1, 2, 3为线性无关的三维列向量, 则向量组A 1, A 2, A 31 0 11 0 1 A 1 1 20 1 1 0 1 10 1 11 0 10 11,知矩阵A 的 0 0 0秩为2,由于1, 2, 3为线性无关，所以向量组A 1,A 2, A 3的秩为 2.求极限lim x 0 ° x te t dt【详解】令 ,dt du,、.ue x u duli m x 0 x te t dt 16.(本题满分 计算积分 (1x 3limx 0,ue u dux 3 li mx 0ue u dux 3limx 0、,xe x2时3 2 10分)3y~24T2x y)•dxdy,其中D 是第一象限中以曲线 yJx 与x 轴为边界的无界区域. 【详解】 3y D (1 x 2 y亍dxdyxdx 03ydy (1 x 2 y 4)2V17.(本题满分 10分)求limn kn'n 1 n 1k n由定积分的定义 li m n Fn k 1 n 18.(本题满分10分) 1 已知方程一1— ln(1 x) 1 一 k 在区间 x 【详解】设f (x)1 ln(1 x) f(x) (1 x) ln 2(1 x)人 2令 g(x) (1 x)ln (1 x)li m n(0,1)1 一,x xdx24、xd(1 x y )(1)21 2x 2dxn k 1 n1 01n(1 x)dxln(1x)dx内有实根，确定常数 k 的取值范围. (0,1),则(1 x)ln 2(1 x) x 2x 2(1 x)ln 2(1 x) g(0) 0,g(1) 2ln 22g (x) ln2(1 x) 2ln(1 x) 2x, g (0) 0g (x) 2(1n(1 x) x) 0,x (0,1),所以g(x)在(0,1)上单调减少,1 x由于g (0) 0 ,所以当x (0,1)时，g(x) g0) 0, 也就是g(x) g (x)在(0,1)上单调减少，当x (0,1)时，g(x) g(0) 0,进一步得到当(0,1)时，f(x)0,也就是f (x) 在(0,1)上单调减少.1 lim f (x) lim 一x 0 - x 0 ln(1x)x ln(1 x) limx 0xln(1 x),也就是得到1 1-1k-ln219.(本题满分10分)设a0 1,a1 0,a n 1 (na n a n 1)(n 1,2,3L ),,S(x)为哥级数a n x n的和函数(1)证明a n x n的收敛半径不小于1 .n 0(2)证明(1 x)S(x) xS( x) 0(x (1,1)),并求出和函数的表达式.(1)由条件a n1 ,21 n1(n a na n 1) (n 1)a n 1 na n a n 1也就得到(n 1)(a n 1 a n ) (a n a n 1),也就得到a n 1 a n也就得到a n a n 1 (a n 1limvn 'a n 1 a n a n 1 a n a n a n 1a1 a0 a n a n 1 a n 1 a n 21 a na n )(a na na n a n 1a2 a1a1 a0——,n 1,2,Ln 11K11)!,n 1,2,La n 1) L (a2 a1) a1 1)k工k!lim n1 1n■ 2! 3!1n!lim Ven 1,所以收敛半径(2)所以对于哥级数a n x nn 0 由和函数的性质,可得S (x) na n x n 1,所以(1 x)S (x) (1 x) na n x n 1na n x n 1na n x nn 1n 1n 1n n(n 1)a n 1xna n xn 0n 1a 1((n 1)a n 1 na n )x nn 1nn 1na n 〔xa n xx a 「xxS(x)n 1n 0n 0也就是有(1 x}S(x) xS(x) 0(x ( 1,1)).Ce x解微分万程(1 x)S(x) xS(x) 0,得S(x)由于S(0)% 1,得1 xxe 所以S(x) ——. 1 x20 .(本题满分11分)设三阶矩阵A 1, 2, 3有三个不同的特征值，且(1)证明：r(A) 2；⑵若 12, 3,求方程组Ax 的通解.【详解】(1)证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以 A 是非零矩阵，也就是 假若r(A) 1时，则r 0是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有 r(A)3 12 2 0,也就是1, 2, 3线性相关，r(A) 3,也就只有r(A) 2(2)因为r(A) 2 ,所以 Ax 0的基础解系中只有一个线性无关的解向量. 331220,所以基础解系为x 2 ;11又由 12, 3,得非齐次方程组 Ax 的特解可取为 11113122.r(A) 1 . 2,又因为21 .（本题满分11分）222设一次型 f(X i ,X 2,X 3) 2x i X 2 ax 3 2x 1X 2 8x 1X 3 2x 2X 3在正交变换 x Qy 下的标22 -傕形为112 y 2 ,求a 的值及一个正交矩阵Q .21 4 【详解】二次型矩阵A 11 1 41 a1y 22y2.也就说明矩阵A 有零特征值，所以 A 0,故a 2.1 41 1 (3)(6)12令 E A0得矩阵的特征值为13, 2 6, 3 0.,, 3通过分别解方程组（i E A ）x 0得矩阵的属于特征值〔方程组Ax 的通解为x k 2 1 ,其中k 为任意常数.因为二次型的标准形为 3的特征向量1属于特征值特征值26的特征向量30的特征向量31 .6 21所以Q 1, 2, 31 20 121 -6 276为所求正交矩阵.22.（本题满分11分）设随机变量X,Y 相互独立，且X 的概率分布为P X 0〜、,… 1 、，P{ X 2} - , Y 的概率密度为 f(y)2y,0 y 1 0,其他(1)求概率P(Y EY)；（2）求Z X Y的概率密度.「，、, J 2 . 2 【详解】（1）EYyf Y(y)dy 02ydy -.3(2) Z X Y 的分布函数为F Z (z)PZz P X Y z PXYz,X0PXYz,X2P X0,Y zP X 2,Y z 21 ， 、 1 —P{Y z} -P Y z 22 2 1-F Y (Z ) F Y (Z 2) 2故Z X Y 的概率密度为1f Z (z) F Z (Z ) - f(z) f(z 2)2z, 0 z 1 z 2,2 z 30,其他用该天平对一物体的质量做了 n 次测量，该物体的质量2.是已知的，设n 次测量结果 X 1,X 2,L , X n 相互独立且均服从正态分布 N(,).该工程师(1)求Zi 的概率密度； (2)利用一阶矩求的矩估计量;(3)求参数 最大似然估计量. 【详解】(1)先求Z i 的分布函数为当z 0时，显然F Z (z) 0 ;当 z 0时，F Z (z) P Z i z P X iF z (z) P Z i z P X iX i所以Z i 的概率密度为f z (z) F z (z)所以P YEY P Y -3 2032 ydy23.(本题满分11分)某工程师为了解一台天平的精度,记录的是n 次测量的绝对误差乙X i ,(i 1,2,L ,n),利用 乙，Z 2,L ,Z n 估计参数X i zz z P ———-2 -z2(2)数学期望EZ i zf (z)dz _2_ ze 2^dz ,i 0 0 ..2 21 n.修......... ..令EZ Z - Z i,解得的矩估计量n i 129 2 29(3)设乙，Z2,L ,Z n的观测值为Z I,Z2,L ,Z n .当Z i 0,i 1,2,L n 时似然函数为L()2nf(Z i，) n e(.2 )1n z2 升i j取对数得: lnL() n In2 nln(2 ) nln2 2Z i i 1令dlnL(d Z20 ,得参数最大似然估计量为：2. n i 1n。
2017年考研(数学三)真题试卷(题后含答案及解析)
2017年考研（数学三）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．若函数f(x)=在x=0处连续，则( )A．ab=1／2B．ab=-C．ab=0D．ab=2正确答案：A解析：=1／2a，∵f(x)在x=0处连续，1／2a=bab=1／2，选A．2．二元函数z=xy(3-x-y)的极值点是( )A．(0，0)B．(0，3)C．(3，0)D．(1，1)正确答案：D解析：=-1，从而AC-B2＞0，从而(1，1)为极值点．3．设函数f(x)可导，且f(x)f’(x)＞0，则( )A．f(1)＞f(-1)B．f(1)＜f(-1)C．|f(1)|＞f(-1)|D．|f(1)|＜|f(-1)|正确答案：C解析：举特例，设f(x)=ex，可排除BD；设f(x)=-ex，可排除A，故选C．4．若函数收敛，则k=( )A．1B．2C．-1D．-2正确答案：C解析：因为原级数收敛，所以1+k=0k=-1．选C．5．设α为n维单位向量，E为n阶单位矩阵，则( )A．E-ααT不可逆B．E+ααT不可逆C．E+2ααT不可逆D．E-2ααT不可逆正确答案：A解析：选项A，由(E-ααT)α=α-α=0得(E-ααT)x=0有非零解，故|E-ααT|=0．即E-ααT不可逆，选项B，由r(ααT)=1得ααT的特征值为n-1个0，1故E-ααT的特征值为n-1个1，2，故可逆．6．已知矩阵A=，则( )A．A与C相似，B与C相似B．A与C相似，B与C不相似C．A与C不相似，B与C相似D．A与C不相似，B与C不相似正确答案：B解析：由(λE-A)=0可知A的特征值为2，2，1因为2E-A=得r(2E-A)=1，∴A可相似对角化。
且A～由|λE-B|=0可知B特征值为2，2，1因为2E-B=得r(2E-B)=2，∴B不可能相似对角化，显然C可相似对角化，∴A～C，且B不相似于C．7．设A，B，C为三个随机事件，且A与C相互独立，B与C相互独立，则A∪B与C相互独立的充分必要条件是( )A．A与B相互独立B．A与B互不相容C．AB与C相互独立D．AB与C互不相容正确答案：C解析：由题设知，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，由A∪B与C相互独立知，P(A∪B)C=P(A∪B)P(C)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)而P[(A∪B)∩C]=P(AC∪BC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)P(ABC)=P(AB)P(C)，即AB与C相互独立．8．设X1，X2，…，Xn(n≥2)为来自总体N(μ，1)的简单随机样本，记Xi，则下列结论不正确的是( )A．(X1-μ)2服从χ2分布B．2(Xn-x1)2服从χ2分布C．)2服从χ2分布D．n(-μ)2服从χ2分布正确答案：B二、填空题9．∫-ππ(sin3x+)dx=_______．正确答案：π3／2解析：∫-ππ(sin3x+)dx=2∫0π(2∫0π／2πcost．πcostdt=2π2∫0π／2πcos2tdt=2π22．=π3／2．10．差分方程yt+1-2yt=2t通解为yt=_______．正确答案：φt=C．2t+t．2t解析：由yt+1-2y1=2tλ=2，∴=C2t设y1*=C1t21，则y1+1*=C1(t+1)2i+1=2tt2i(C∈R)．11．设生产某产品的平均成本(Q)=1+e-Q，其中产量为Q，则边际成本为_______．正确答案：1+(1-Q)e-Q解析：C=Q=Q(1+e-Q)C’(Q)=1+e-Q-Qe-Q=1+(1-Q)e-Q．12．设函数f(x，y)具有一阶连续偏导数，且(x，y)=yeydx+x(1+y)eydy，f(0，0)=0，则f(x，y)=_______．正确答案：xyey解析：f’k=yey，f’y=x(1+y)ey，f(x，y)=∫yeydx=xyey+c(y)，故f’y=xey+xyey+c’(y)=xey+xyey，故c’(y)=0，由f(0，0)=0，即f(x，y)=xyey．13．设矩阵A=，α1、α2、α3为线性无关的三维向量组，则向量组Aα1、Aα2、Aα3的秩为_______．正确答案：2解析：由a1，a2，a3，线性无关，可知矩阵a1，a2，a3，可逆，故r(Aa1，Aa2，Aa3)=r(A(a1，a2，a3))=r(A)再由r(A)=2得r(Aa1，Aa2，Aa3)=2．14．设随机变量X的概率分布为P{X=-2}=1／2，P={X=1}=a，P{X=3}=b，若EX=0，则DX=_______．正确答案：9／2解析：由归一性得+a+b=1，再由EX=0得-1+a+3b=0故a=b=1／4，故EX2=(-2)2×=9／2，DX=EX2-(EX)2=9／2．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2017年数学三真题答案解析
所以Z的概率密度为
O<z <L
几(z)�r-- 2, 2<z<3,
(23)解
0'
其他．
CI) Z1 的分布函数为
厂王） -], F(z)�P{Z,,s;;z}�P{IX,-pl,s;;z}�
z�o.
o,
z < 0,
所以Z1 的概率密度为 f(z)�{f•';';,'
z歹o,
z<O.
=厂叮 z 厂 C II) EZ1
已AB与C相互独立，故应选C. (8) B
解 因为X, �NCµ ,1),
所以X,
— µ
�N(O,l),
�ex, 则
—µ尸～贮(n), 故A正确；
,-1
一｀ (n — 1)S 2
�(X,
,-1
因为 z =
�X气n — 1)'
C,
1
故C正确；
因为
X
�N(
µ
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X—µ
所以
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z z a
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EZ1, 令Z=亡让，得
6
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4J (1+x2
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1 1+2x 2)dx
。) 勹1 (arctanx
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产
0
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过 了arctan,/2x
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(17)解
2 —迈 = 16 兀
n (--;;) --;; 杻心： -杻心： n k
2017年考研数学真题(数三)试题+解析
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2017数学三
2017数学三试卷拿到手的时候离打铃还有十分钟好像，大概浏览了一下试卷。
一看就知道高数压轴题和概率论题难。
一看差分方程，好好复习的都知道平时张宇的模拟卷做了N遍。
除了级数和概率论，没有特别难的题。
填空题第一题一眼扫出答案，奇函数对称区间等于0，第二个用定积分几何意义做，是半圆的面积。
差分方程张宇的八套卷四套卷做了多少题。
然而我还是忘记乘以常数C后面题不记得了，但是都不是难题。
想要告诫大家的是，希望大家提前复习数学，做数一数二数三所有的真题卷，不要只做数三，请大家真题认认真真按照套卷按照分类按照你的盲点弱点刷三遍。
大题第一题，是具体化的含参数变限积分求导。
平时大家都做的是抽象函数，现在成了具体的函数我也一下懵逼了。
但是仔细想想换个元就行了。
大题后面记不得具体题号了。
但是，无界区域求二重积分，往年真题有过。
其次，二重积分的难点在于，要么被积函数复杂，要么积分区域复杂，要么积分时需要分别考虑极坐标和直角坐标，要么积分难。
你复习的时候把往年真题做个几遍，应该可以拿下。
这题积分函数复杂，要有整体思想，还有对于arctanx的那个积分函数熟不熟，是不是好好背过公式。
这里我要告诫大家的是，不要试图考前突击公式，我复习的时候一直分不清arctanx和arcsinx的那两个形式，唯有反复记忆，基本每几天背一次，考前多看看多想办法区分，考试的时候才不会慌了神。
级数题我的确是不会，但是第二问求S（X）是微分方程，不会做天理难容啊！最基础的微分方程，做做也是有分的啊。
线代，化简费功夫的…差点崩…线代请加强计算和细心程度还有一题抽象数列求方程的解，考前这个我一直不太拿手，这个题型李永乐的模拟卷有出现过，正好我买的一本辅导资料里也有，狂刷了好几题搞透了方法。
概率论第一题基础题，真题里做了很多遍的全集分解思想和用定义求概率密度。
概率最后一题，那帮五六十的老头请接受我的大白眼，亏我那么认真复习概率…反正我没做出来。
另外，有考生也许想问是看张宇还是看汤家凤，你现在好好复习可以两个都看，张宇让你爱上数学，汤家凤让你体验啥叫计算巅峰。
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