考研数学:分段函数求导两种技巧
浅析分段函数的求导
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2 分析 : ) 静态单链表不仅解决了某些高级语言没有提
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x— 0 一 ) +…]=0 。 1
3 典型应用举例
f x)= 。 l () l f x, 厂 ) 0 可导 。 ( o A若 i x ≠ i () ( 在X处不 mf a r 则_
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注: 定理中的条件是充分而非必要的。即若 l 厂() j m
例讨 ) { ≠在 =处 导 。 例讨.) 』 … 0 :处 可 性 1论( : 厂= 0的
i x 不存在, mf() 则不能断定, ) 。 ( 在 处是否可导。 此 高等数学中初等函数通常定义为: 由常数和基本初等 或 l 函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构 时要用 2 )中的方法来解 。 成并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数。而分段函 证明: V (, ) ) x 。 上连续, ‰) 对 o 。Ax 在I, ] 在(, 数通常是在 自 变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式 内 可导, 拉格朗日中 由 值定理: 至少存在一点 (, , )使 子来表示的函数。教学 中, 分段 函数是不是初等函数呢? 厂(): ^ , 二 两边同时取极限, 左边:I (): i , 般的教材中, 没有给出具体的讨论。学生在遇到这类问 0 州
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2 0 年 第 2期 01
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时只需要修改游标的指向, 不需要移动元素, 使其即具有顺
序表的特性, 也具有动态链表指针的灵活性。
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分段函数在分段点处求导方法初探
分段函数在分段点处求导方法初探摘要:本文利用微分中值定理对分段函数在分段点处的导数进行了讨论,并给出了一种求导方法。
关键词:分段函数,分段点,导数,微分中值定理。
一、问题的提出在《微积分》教材及很多高等数学参考书中,分段函数的导数一般按下面方法来求:(1)在各个部分区间内用导数公式与运算法则求导。
(2)在分段点处按导数定义求导,即求分段点处的左、右导数。
而分段点处可导的充分必要条件是左、右导数存在且相等。
但是,我在教学过程中经常发现:一些学生在求分段函数在分段点处的导数时,不按导数定义去求左、右导数,而是利用导函数在分段点处的左、右极限得出左、右导数。
例如:设函数:讨论在分段点处的可导性时,一些学生这样来求左、右导数:而这样做得结果与按导数定义求左、右导数所得结果相同,那么这样做对不对呢?下面我们来讨论这一问题。
二、问题探讨定理:设分段函数其中,均为初等函数,在a点右邻域可导,在点左邻域可导,在处连续,若极限,存在,则有:,证:因为在处连续,则当时,因在点右邻域可导,故在内可导,又为初等函数,故在上连续,从而在上满足微分中值定理的条件,由微分中值定理有:故由导数定义有:又因为,则当时,有从而可得:当时,虽然在处无定义,但因为在处连续,则可以补充定义,令:又为初等函数,故在上连续,又在点的左邻域可导,故在上可导,从而由微分中值定理可得:完全类似地可推得:综上所述,我们有:关于该定理,我们进一步说明以下几点:1、在满足该定理条件之下,可利用该定理结论求出与,然后比较与是否相等,从而得出在处是否可导的结论。
这样,就避免了用导数定义求左、右导数的麻烦。
2、该定理要求在处连续。
事实上,若在处不连续,由连续与可导关系知,不连续一定不可导,由此可得出在处不可导的结论。
因此应用该定理结论时,应判断在处是否连续。
否则,即使有,也不一定在处可导。
例:虽然有,但在处不可导,因为在处不连续。
3、若与极限至少有一个不存在时,在处可能可导,也可能不可导,需用导数定义判断。
1.4.5 分段函数的求导法则
湘潭大学数学与计算科学学院
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2
ln ( 1 + x ) , 例 1 求函数 f ( x ) = x,
解 当 x > 0 时,
x ≥ 0, x<0
的导数.
1 f ′( x ) = , 1+ x
当 x < 0 时,
f ′( x ) = 1.
当 x = 0 时,
f ( x ) − f (0) f ( x ) − f (0) f ′(0) = lim , = lim x →0 x →0 x−0 x
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按定义可知: 当( x , y ) = (0,0)时 , 按定义可知:
f ( ∆ x ,0 ) − f x (0,0) = lim ∆x → 0 ∆x f ( 0, ∆ y ) − f y ( 0,0) = lim ∆y → 0 ∆y y( y 2 − x 2 ) 2 f x ( x , y ) = ( x + y 2 )2 0 x( x 2 − y 2 ) 2 f y ( x , y ) = ( x + y 2 )2 0
x 2 ( x − 2), x ≤ 0 2 f ( x ) = − x ( x − 2),0 < x < 2, x 2 ( x − 2), x ≥ 2
当x = 0时,
f −′ ( 0) = f +′ ( 0) = 0,
f ′(0) = 0;
当x > 2或x < 0时 ,
f ′( x ) = 3 x 2 − 4 x ; f ′ ( x ) = − 3 x 2 + 4 x;
分段函数在分段点处的导数求法
分段函数在分段点处的导数求法
求分段函数在分段点处的导数:
1、概念:
分段函数是指在一定的区间内,表达式有不同的形式,形式由一些离散的分段点划分开,在这些离散的分段点上的导数称为分段函数的分段导数。
2、计算方法:
(1)在非分段点处,可以使用直接求导法求分段函数的导数。
(2)在分段点处,可以使用两个分段函数的斜率法求分段函数的分段导数。
斜率法求分段函数的分段导数时,只需将左右两个分段函数在分段点处取斜率(斜率相等),即可求得分段函数的导数。
3、示例:
以函数y=f(x)=x-1 为例,当x=0时,f(x)的分段点处的导数求法如下:(1)在x=0处,左函数斜率为f'(x)=1;右函数斜率为f'(x)=1,斜率相等,得f'(0)=1。
(2)在x=0处,用直接求导法求出f'(0)=1,与斜率法求出的f'(0)=1一致。
4、总结
分段函数在分段点处的导数可以用两种不同的方法求得:一种是用斜
率法,即求出两个分段函数在分段点处的斜率。
另一种是直接求导法,即直接求出函数函数在分段点处的导数。
分段函数求导问题的多种解法
集体中均约含有 6.02 × 1023 个粒子。
1mol H 中约含有 6.02 × 1023 个 H;
1mol H+ 中约含有 6.02 × 1023 个 H+;
1mol H 中约含有 6.02 × 1023 个 H ;
2
2
1mol H O 中约含有 6.02 × 10 23 个 2
H O。 2
三 物质的量
上式两边取极限,便得 同理可证
例 3 求分段函数 的导数.
解:首先易得 ,
下面利用导数极限定理,求 : ∵
因此 在 x 0 处连续,又因
所以
= 1 ,依据导数极限定
理得 在 x = 0 处可导,且
=1。
4.方法四 利用泰勒公式
[命题 3]若函数 在点 x0 存在直至 阶 导数,则有
上述公式称为带有 P e a n o 型余项的 T a y l o r 公式,命题的证明可以借助 L1Hospital 法则,具体证明方法参考文献 [1]。
内连续,在
内
0
可导,且极限
存在,则 在点 x 0
可导,且
=
。
证明:任取
,在
上
满足 Lagrange 中值定理的条件,则存在
存在,则称此极限
由
于
,对
-289-
基础及前沿研究 中国科技信息 2006 年第 16 期 CHINA SCIENCE AND TECHNOLOGY INFORMATION Aug.2006
表示含有一定数目粒子的集体,通
常用符号“n ”表示,单位是摩尔。
[讲解]
……
国际千克原器的质量是 1Kg ,千克是
表示质量的单位;1 m o l 物质含有阿伏伽
分段函数在分段点处导数的一种求法
图、绘图、公式推导、定量计算等能力就可以通过笔试来考
核。闭卷和开卷都可以,当然试卷内容和要求均有显著差别。
在上述四个方面的考核中,平时成绩占总成绩的10%,
技能考核(操作考核与课程设计项目考核)占40%,笔试成绩
liuqilintangliang一种分段函数分段点的求导方法及注意的问题株洲师范高等专科学校学报2007122提供一种分段函数的分段点求导的方法即利用分段点两侧导数取极限来求分段点的导数并提出两个应当特别注意的问题一是在利用该法求导时应先判断函数在分段点处的连续性二是当函数在分段点连续时分段点两侧导数的极限存在是分段点可导的充分而非必要条件
10.期刊论文 JIANG Hai-qin.曹瑞成.JIANG Hai-qin.CAO Rui-cheng 分段函数分段点可导性的一个定理及应用 -
扬州职业大学学报2008,12(2)
给出分段函数分段点导数存在的一个充要条件:函数在该点连续,导函数在该点左、右极限存在且相等.并由此得到在分段点导数不存在的一个充分条 件以及三种特例分段函数分段点导数存在的充分条件.举例说明该定理的应用,并指出利用该定理求分段函数分段点导数时的几点注意:函数在该点连续是 可导的必要条件,导函数在该点左、右极限存在且相等是充分条件.
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万方数据
所以f(x)在(一,0】上连续。
2)在(一,0)内,P(x)=2x。
3)lim f’(工)=lim 2x=0,
J—÷0一
J—÷0一
根据命题得
,二(0)=lim
z_÷0
(2)
f 7(工)=0.
1)lim f(x)=lim xe。=0=f(0),
所以f(x)在[O,斗一止连续。
求分段函数的导数
求分段函数的导数例 求函数的导数2.;3.;4.说明:分不清复合函数的复合关系,忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式,而最内层可以是关于自变量x 的基本函数,也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数,导致陷入解题误区,达不到预期的效果.求函数的导数例 求下列函数的导数.1.;2.;3.;4.{ EMBED Equation.3 |21x x y +=。
分析:选择中间变量是复合函数求导的关键.必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的复合关系.要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体,这个暂时的整体,就是中间变量.求导时需要记住中间变量,注意逐层求导,不遗漏,而其中特别要注意中间变量的系数.求导数后,要把中间变量转换成自变量的函数. 解:1.解法一:设,则解法二:2.解法一:设,则解法二:3.解法一:设,则解法二:4.解法一:设,则解法二:说明:对于复合函数的求导,要注意分析问题的具体特征,灵活恰当地选择中间变量,不可机械照搬某种固定的模式,否则会使确定的复合关系不准确,不能有效地进行求导运算.学生易犯错误是混淆变量或忘记中间变量对自变量求导.求复合函数的导数例 求下列函数的导数(其中是可导函数)1.;2.1.;2.分析:对于抽象函数的求导,一方面要从其形式上把握其结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法则。
先设出中间变量,再根据复合函数的导数运算法则进行求导运算。
一般地,假设中间变量以直接可对所设变量求导,不需要再次假设,如果所设中间变量可直接求导,就不必再选中间变量。
解:1.解法一:设,则解法二:2.解法一:设,则解法二:说明:理解概念应准确全面,对抽象函数的概念认识不足,显示了一种思维上的惰性,导致判断复合关系不准确,没有起到假设中间变量的作用。
其次应重视与的区别,前者是对中间变量的求导,后者表示对自变量x的求导.。
【考研数学】考研数学常考70题型通法
《高等数学部分》题型考点01极限的概念与性质【通用方法】极限与无穷小的关系:00lim (),()(1)x x f x A x x f x A o .题型考点02无穷小的比较(1)高阶无穷小、等价无穷小【通用方法】用定义转化成函数极限的计算问题.(2)无穷小排序【通用方法】利用0()lim0n x f x k x,解得n ,然后排序.题型考点03函数求极限【通用方法】(1)分析:把?x 代入极限,分析类型和化简方法(2)化简:①根式有理化②提公因子③计算非零因子④等价无穷小替换⑤拆分极限存在的项⑥幂指函数指数化⑦变量替换(尤其是倒代换)(3)计算:①洛必达法则②泰勒公式题型考点04极限的反问题(1)已知极限求另一极限【通用方法】加减乘除凑已知极限(2)已知极限求参数【通用方法】7种化简方法、泰勒公式、洛必达法则题型考点05函数的渐近线【通用方法】(1)垂直渐近线:若 )(lim x f ax ,则函数存在渐近线a x ;(2)水平渐近线:若b x f x)(lim ,则函数存在渐近线b y ;(3)斜渐近线:若b kx x f kx x f x x ])([lim )(lim ,则函数存在渐近线b kx y .题型考点06利用单调有界准则求数列极限【通用方法】(1)单调性①计算n n u u 1.若01 n n u u ,则}{n u 单调递增;若01 n n u u ,则}{n u 单调递减.②若)(1n n u f u ,构造函数)(x f ,单调数列应该有0)( x f ,若12u u ,则}{n u 单调递增;若12u u ,则}{n u 单调递减;另外,若0)( x f ,则数列不单调.(2)有界性①数学归纳法②均值不等式题型考点07求n 项和的数列极限【通用方法】①定积分定义②夹逼准则题型考点08判断函数的连续性与间断点【通用方法】①连续的定义②四种间断点的定义题型考点09一个点的导数【通用方法】一个点的导数用定义题型考点10切线方程与法线方程【通用方法】①求00(),()f x f x ②代入切线方程与法线方程.题型考点11各类函数求导(1)反函数求导【通用方法】反函数的导数等于原来函数导数的倒数.(2)复合函数求导【通用方法】从外层往内层逐层求导相乘.(3)隐函数求导【通用方法】把y 看成x 的函数,等式两边直接求导.(4)参数方程求导【通用方法】()()(),()()y t h t y h t y x t x t.(5)变限积分函数求导【通用方法】①设)()(21)()(x x dt t f x F,则)()]([)()]([)(1122x x f x x f x F ;②设xdt t xf x F 0)()(,则)()()()(00x xf dt t f dt t f x x F xx;注:被积函数中含有求导的变量时,要把变量分离出来,再求导.③设xdt t x f x F 0)()(,则令t x u , xdu u f x F 0)()(,)()(x f x F .注:被积函数中含有求导的变量但不能直接分离时,要通过换元分离,再求导.(6)分段函数求导【通用方法】分段函数分段求,分段点处定义求题型考点12求0x 处的n 阶导数【通用方法】利用泰勒公式的唯一性题型考点13判断函数的单调性、极值点与凹凸性、拐点【通用方法】求函数的一阶导数、二阶导数进行判断题型考点14不等式的证明【通用方法】利用单调性证明(1)移项到大于号一边,构造()F x (2)求()()F x F x ,,判断()F x 的单调性(3)找()F x 的最小值点,验证最小值大于等于0.题型考点15方程根的问题【通用方法】①单调性②零点定理题型考点16曲率与曲率半径(仅数一、二要求)【通用方法】曲率公式232)1(y y K,KR 1.题型考点17罗尔定理的证明题【通用方法】(1)证明一阶导等于零(0)( f ),找两个原函数的点相等;(2)证明二阶导等于零(0)( f ),找三个原函数的点相等,或者两个一阶导相等;(3)证明表达式的题目(0)](),(,[ f f G ),思路如下:草稿纸上:① 换成x 把要证明的表达式抄下来;②两边移项,目的是便于积分求原函数注:遇到)(x f 可以把它除到)(x f 下面去,积分为)(ln x f ;③两边积分,目的是构造有用的)(x F 试卷上:令 )(x F ,易知)(x F 在],[b a 上连续,),(b a 内可导,再证明)(x F 两个点相等即可.(4)双介值问题:解题思路:①分离介值,把含不同介值的表达式移到等号两边;②结合(3)的思路,分别使用微分中值定理证明左边C ,右边C 即可注:C 为某常数,需要通过其中一边C ,满足罗尔定理的情况下,求得.另外,若只是证明存在两个介值,则不需要把区间分段;若要求证明存在两个不同的介值,则必须把区间分段,证明介值分别来自两个不同的区间.题型考点18拉格朗日中值定理的证明题【通用方法】找对区间(一般需要将区间等分或者根据第一问提示点将区间分开),在各区间上使用拉氏定理,然后相加相减凑所证结论.题型考点19泰勒中值定理的证明题【通用方法】找对展开点(一般为区间中点或端点),然后写出泰勒展开式,带入端点值,相加相减凑所证结论.题型考点20不定积分的计算【通用方法】①凑微分②去根号③分部积分④有理函数积分题型考点21定积分的计算【通用方法】①牛顿莱布尼兹公式②定积分的换元法③区间再现④分段函数分段积分⑤含抽象函数的积分使用分部积分题型考点22积分不等式的证明【通用方法】①转化为函数不等式,利用单调性证明②积分中值定理题型考点23含变限积分函数的等式方程【通用方法】①初值②求导题型考点24反常积分的计算【通用方法】在瑕点处拆开,直接按定积分计算.题型考点25反常积分敛散性的判定【通用方法】根据比较审敛法的极限形式,与P 积分进行比较判断.题型考点26定积分的几何应用【通用方法】微元法(1)求平面图形的面积① dxx y x y S ba121② d r S2221③dtt t ydx S ba3(2)求旋转体的体积① dxx fV bax2②bay dxx xf V2③d y V Dx(3)求平面曲线的弧长d r r dt t y t x dxx y ds 222221(仅数一、二要求)(4)求旋转体的侧面积ydsd S 2 侧(仅数一、二要求)题型考点27定积分的物理应用(仅数一、二要求)【通用方法】微元法(1)变力沿曲线做功①FSW ②maF (2)静水侧压力①PS F ②ghP(3)引力问题①221r m m GF 万②221r Q Q kF 库题型考点28微分方程的求解【通用方法】根据各类微分方程的固定求解步骤进行即可.(1)一阶微分方程①可分离变量的方程②齐次方程③一阶线性微分方程(2)可降阶的微分方程①不显含y 的微分方程②不显含x 的微分方程(3)二阶常系数线性微分方程①二阶常系数线性齐次方程②二阶常系数线性非齐次方程(4)伯努利方程、欧拉方程(仅数一)通过换元化为常见方程求解题型考点29微分方程的物理应用(仅数一、二要求)【通用方法】从问题出发,找两个变量,列微分方程.题型考点30多元复合函数求偏导【通用方法】①画出复合函数关系图②从外往内逐层求偏导题型考点31多元隐函数求偏导【通用方法】①直接求②公式法③一阶微分形式不变性(全微分法)题型考点32偏积分【通用方法】注意对x 积分时加)(y C ,对y 积分时加)(x C .题型考点33多元函数极值【通用方法】①令偏导数等于0解得驻点②根据充分条件判断极值题型考点34多元函数条件极值【通用方法】①代入法②拉格朗日乘数法题型考点35多元函数求闭区域上的最值【通用方法】①开区域内求极值②边界上求条件极值③比大小题型考点36各类积分比大小【通用方法】①不等式性质②对称性③格林公式、高斯公式(仅数一)题型考点37二重积分的计算【通用方法】①画D②观察对称性③选择坐标系和积分次序④化为累次积分计算题型考点38数项级数敛散性的判断(仅数一、三)【通用方法】(1)正项级数①比较审敛法(极限形式)②比值(根植)审敛法(2)交错级数①加绝对值后判断是否绝对收敛②莱布尼兹判别法(3)一般级数①加绝对值后判断是否绝对收敛②级数敛散性的性质题型考点39幂级数的收敛域及和函数(仅数一、三)【通用方法】(1)收敛域比值法(2)和函数逐项积分,逐项求导(3)函数展开成幂级数①逐项积分,逐项求导②常见泰勒级数题型考点40函数展开成傅里叶级数(仅数一)【通用方法】(1)周期为 2的傅里叶级数①10sin cos 2~)(n n n nx b nx a a x f ,其中,2,1,sin )(1,)(1,2,1,cos )(1n nxdx x f b dx x f a n nxdx x f a n n.②余弦级数若)(x f 为偶函数,则10cos 2~)(n n nx a a x f ,其中.0,)(2,2,1,cos )(200n n b dx x f a n nxdx x f a③正弦级数若)(x f 为奇函数,则1sin ~)(n nnx bx f ,其中,2,1,sin )(2,2,1,0,00n nxdx x f b n a n n(2)周期为l 2的傅里叶级数10sincos 2~)(n n n lxn b l x n a a x f ,其中 l l n l l n dx lxn x f l b dx l x n x f l a sin )(1,cos )(1.(3)狄里克雷收敛定理设)(x f 是周期为 2的可积函数,且满足①)(x f 上],[ 连续或只有有限个第一类间断点;②)(x f 上],[ 只有有限个单调区间,则)(x f 的以 2为周期的傅里叶级数收敛,且2)0()0()(000x f x f x S .题型考点41空间解析几何(仅数一)【通用方法】(1)平面与直线①平面点法式②直线点向式(2)曲面与曲线①旋转曲面轨迹法②投影曲线消元法(3)空间曲面的切平面与空间曲线的切线①曲面的法向量),,(z y x F F F ②曲线的切向量))(),(),((t z t y t x 或))(),(,1(x z x y 等.题型考点42三重积分的计算(仅数一)【通用方法】①投影法②截面法③柱面坐标④球面坐标题型考点43曲线积分的计算(仅数一)【通用方法】(1)第一类曲线积分①对称性②参数法(2)第二类曲线积分①对称性②参数法③积分与路径无关④格林公式题型考点44曲面积分的计算(仅数一)【通用方法】(1)第一类曲面积分①对称性②一投二代三计算(2)第二类曲面积分①对称性②一投二代三定号③轮换投影法④高斯公式题型考点45多元积分学的应用(仅数一)【通用方法】(1)质心、形心①质心横坐标D Dd y x f d y x xf x),(),(;dVz y x f dV z y x xf x ),,(),,(;LL dsy x f ds y x xf x ),(),(;dSz y x f dS z y x xf x ),,(),,(.②形心横坐标(数二、三的同学要求掌握平面图形的形心)DDd xd x;dVxdV x ;L Ldsxds x ;dSxdSx .(2)转动惯量2mr I 题型考点46场论公式(仅数一)【通用方法】(1)方向导数①定义),()cos ,cos (lim 00000y x f y x f l.②可微函数cos cos y x f f l.(2)梯度),(),(y x f f y x gradf (3)散度zR y Q x P A div(4)旋度Qy j A rot题型考点47经济学应用(仅数三)【通用方法】(1)边际)(x f dxdy(2)弹性xdx y dy E yx《线性代数部分》题型考点01数值型行列式的计算【通用方法】边化零,边展开题型考点02抽象行列式的计算【通用方法】①化为乘法②特征值的乘积题型考点03方阵的幂【通用方法】(1)找规律(2)若1)( A r ,则A A 1n nl,其中)(A tr l .(3)若1A P ΛP ,则P ΛP A nn1.题型考点04矩阵的秩【通用方法】①化行阶梯形②利用秩的9个结论题型考点05具体方程组的求解【通用方法】①化行阶梯形②化行最简形③写出同解方程组④写出通解题型考点06抽象方程组的求解【通用方法】解的结构(1)齐次方程组的基础解系:①是解②无关③个数()n r A (2)非齐次方程组的通解: 通通特非齐非题型考点07向量组的线性相关性【通用方法】①秩②定义题型考点08向量组的线性表示【通用方法】①秩②定义题型考点09向量组的极大无关组【通用方法】①部分组②无关③个数()r A .题型考点10相似对角化【通用方法】(1)解0 E A 得特征值123,, ;(2)解()0x E A 得特征向量123,,ααα;(3)令123(,,) P ααα,则1P AP Λ.题型考点11正交变换法化二次型为标准形【通用方法】(1)解0 E A 得特征值123,, ;(2)解()0x E A 得特征向量123,,ααα;(3)正交化得:123,,βββ;(4)单位化得:123,,γγγ;(5)令123(,,) Q γγγ,则在正交变换x y Q 下,二次型的标准形为222112233y y y .题型考点12配方法化二次型为标准形【通用方法】①优先配交叉项少的变量②所用变换必须为可逆变换题型考点13二次型的正定型【通用方法】等价条件:①0,0Tx x x A ;②特征值均大于0;③正惯性指数为n ;④顺序主子式均大于0.《概率统计部分》题型考点01概率计算公式【通用方法】(1)加法公式()P A B C 加奇减偶(2)减法公式()()()P AB P A P AB (3)乘法公式()(|)()(|)()P AB P A B P B P B A P A (4)条件概率()(|)()P AB P A B P B(5)全概率公式1()(|)()nk k k P A P A B P B (6)贝叶斯公式(|)()(|)()k k k P A B P B P B A P A题型考点02概率密度与分布函数【通用方法】(1)概率密度①()1f x dx;(,)1xoyf x y d ②()0f x ;(,)0f x y (2)分布函数①规范性()0,()1F F ②右连续性00(0)()F x F x ③单调不减性题型考点03常见分布【通用方法】题型考点04二维连续型随机变量的分布【通用方法】(1)边缘概率密度()(,),()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx(2)条件概率密度(,)()()X Y Y f x y f x y f y(3)独立性若(,)()()X Y f x y f x f y ,则,X Y 独立(4)事件概率{(,)}(,)DP X Y D f x y d题型考点05随机变量函数的分布【通用方法】(1)一维连续型随机变量函数的概率密度分布函数法:①定义②代入③讨论④求导(2)一维连续型随机变量函数的概率密度分布函数法:①定义②代入③讨论④求导公式法:()(,(,))Z y f z f x y x z dx z(3)离散型+连续型随机变量函数的概率密度分布函数法:①定义②代入③全概率公式④讨论⑤求导题型考点06数字特征【通用方法】(1)随机变量的数字特征①期望 取值概率②方差性质化简,公式计算③协方差性质化简,公式计算④相关系数性质化简,公式计算(2)统计量的数字特征①E X EX②1D X DX n③2ES DX④2()E n n⑤2()2D n n题型考点07二维正态分布的性质【通用方法】若221212(,)~(,;,;)X Y N ,则:(1)边缘分布都是服从一维正态分布,即 221122~,,~,X NY N .(2)X 和Y 任意的非零线性组合aX bY 服从一维正态分布.(3)X 和Y 相互独立的充要条件是相关系数0 .(4)若12,Z Z 是,X Y 的非零线性组合,则 12,Z Z 也服从二维正态分布.题型考点08三大抽样分布【通用方法】(1)2分布:222212()nn X X X (2)F 分布:22()(,)()m mF m n n n(4)t 分布:()t n(5)若12,,,n X X X 为来自正态总体2~(,)X N 的简单随机样本,则:~(0,1)X N②222(1)~(1)n S n ~(1)X t n 题型考点09点估计【通用方法】(1)矩估计总体的矩等于样本的矩(2)最大似然估计①离散型1()()n i i L P X X ;1()ln(())ni i LnL P X X ②连续型1()()ni i L f x ;1()ln(())ni i LnL f x 题型考点10估计量的评选标准【通用方法】(1)无偏性 ()E(2)有效性若 12()()D D ,则 1 比 2更有效(3)一致性P。
分段函数在分段点的求导
分段函数在分段点的求导陈佩树【摘要】分段函数的可导性问题是高等数学中的一个重点和难点.本文研究分段函数在分段点的可导性、导数的求法,并给出相应的例子.【期刊名称】《巢湖学院学报》【年(卷),期】2011(013)003【总页数】4页(P124-127)【关键词】分段函数;导数;连续【作者】陈佩树【作者单位】巢湖学院,安徽巢湖238000【正文语种】中文【中图分类】O172.1分段函数是一类常见的函数,虽然有的分段函数在每一段上的表达式都不复杂,但是分段函数在分段点的极限是否存在、是否连续以及是否可导等问题都比一般初等函数复杂的多,常常让初学者感到一片茫然,搞不清其中的关系.由于分段函数在分段点的左右极限之间关系复杂,在分段点可能连续也可能不连续,有可能可导也有可能不可导,下面从三个定理出发,对分段函数在分段点的可导进行研究并给出相应的例子.定理 1[1] 若 f(x)在 x0处可导,则 f(x)在 x0处连续.反之,若 f(x)在 x0处不连续,则 f(x)在 x0处不可导.但即使f(x)在x0处连续,在处也未必可导.(1)满足什么条件时,f(x)在 x=0 连续;(2)满足什么条件时,f(x)在 x=0 可导;(3)满足什么条件时,f′(x)在 x=0 连续.解:(1)由连续的定义,如果 f(x)在 x=0 连续,则必然有也即要求由于所以只需,也即m≥1 时,f(x)在 x=0 连续.(2)由导数定义,知f′(0)=所以只需也即m≥2 时,f(x)在 x=0 可导,且有f′(0)=0.要使f′(x)在 x=0 连续,则有由(2)知当m≥2 时,f(x)在 x=0可导,且有f′(0)=0,也即则进一步还需要综上所述,即要求m≥3 时,f′(x)在 x=0 连续.注:从上面例可以看出,当m≥1时,f(x)在x=0连续,但当m≥1时,f(x)在x=0未必可导,只有当m≥2时,f(x)在x=0才可导.即说明了f(x)在x=0处连续并不能确保f(x)在x=0处可导,另一方面也验证了f(x)在x=0处可导,则f(x)在x=0处一定连续.极限、连续、导数的概念是关系到学生能否学好微积分的极其重要、最基本的概念.例 2 设分段函数解:当x≠0 时,f′(x)=3x2,由于则有函数 f(x)在 x=0 处左右极限不相等,显然有f(x)在x=0处不连续.从而f(x)在x=0处不可导.综上所述,当x≠0时,f′(x)=3x2,且 f(x)在 x=0 处不可导.注:如果直接地认为就出错了.在求函数在分段点的导数时,要判断函数在分段点处是否连续,甚至还需要判断在分段点的左右导数是否存在,以及是否存在且相等等若干问题,这将在下面的定理中进行讨论.定理 2[1] 存在当且仅当 f-′(x0),f+′(x0)存在,且有 f-′(x0)=f+′(x0)=f′(x0)注:定理2说明了若分段函数在分段点的左右导数虽然存在但不相等或至少有某一侧导数不存在,那么分段函数在这一分断点的导数就不存在.注:此题是首先判断函数在分段点连续,再通过求分段点两侧导数的极限存在且相等,进一步地有此函数在分段点两侧的导数存在且相等.故有函数在此分段点可导,且求出其导数.但是,分段点两侧的导数的极限存在是分段点可导的充分条件而非必要条件.从而求得不存在.进一步误认为f′(0)不存在就出错了.分段点两侧的导数的极限存在是分段点可导的充分条件而非必要条件.这时,只能利用导数的定义来判断.例 5 设函数解:由题目易得进一步考察f(x)在x=2点的导数:所以 f-′(2)≠ f+′(2),即 f(x)在 x=2 处不可导.综上所述,即有,且 f(x)在 x=2 处不可导.注:虽然f(x)在x=2处连续,但是f(x)在x=2处不可导.如果直接地对例5中函数f(x)中的分段函数进行求导,得到进而想当然地认为f′(2)=2,那就出错了.只有当f+′(2)=f-′(2)=2 的情况下,才有f′(2)=2.而实际上 f-′(2)=2;f+′(2)=4.利用左右导数来确定分段函数在分段点处的导数是行之有效的方法,在实际解题中必须小心谨慎.定理3 设分段函数满足(1)f(x)在x=x0处连续;(2)g(x)在(x0-δ,x0)内可导(其中存在,则 f-′(x0)存在且有证明:∀x∈(x0-δ,x0),由于f(x)在x=x0处连续,g(x)在(x0-δ,x0)内可导.所以 g(x)在[x,x0]上连续且在(x,x0)内可导.由微分中值定理知∃ξ∈(x,x0),使得由于当时,必有即 f-′(x0)存在且有同理有:设分段函数满足(1)f(x)在 x=x0处连续;(2)h(x)在(x0,x0+δ)内可导(其中存在,则f+′(x0)存在且有f+′(x0)=limh′(x).通过该定理我们可以直接求解一些分段函数在分段点的的导数问题.(1)如果分段函数在分段点单侧连续,且在这一侧的导函数的极限存在,则可以直接利用该定理.比如例 2中的分段函数在分段点x=0左连续,且所以有 f-′(0)存在且有但是在分段点 x=0处不右连续,因此f+′(0)只能用定义去求解了.(2)如果分段函数在分段点连续,且在两侧导数的极限均存在,那么左、右导数都可用该定理的求得.比如例 5 中的函数在分段点x=2处连续,且(3)如果函数在分段点的两侧由同一表达式表示,且在分段点连续,如果存在,则有f′比如解:因为所以f(x)在分段点 x=1 处连续.当x≠1 时,f′(x)=【相关文献】[1]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].高等教育出版社.2003.[2]吉米多维奇,费定晖,周学圣.数学分析习题集题解(2)[M].济南:山东科学技术出版社,1999:58.[3]同济大学应用数学系.高等数学(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2002:78-82.[4]袁文俊,邓小成.极限的求导剥离法则[J].广州大学学报:自然科学版,2006,(3).[5]程黄金,陈伟.分段函数求导问题的多种解法[J].中国科技信息,2006,(16).[6]王大荣,艾素梅.分段函数在分段点处的求导方法刍议[J].沧州师范专科学校校报,2005,21(3).[7]刘其林,唐亮.一种分段函数分段点的求导方法及注意的问题[J].株洲师范高等专科学校学报,2007,(4).。
分段函数在分段点处导数的一种求法12
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秦体恒等: 探究分段函数在分段点处导数的一种求法
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确定分段函数导数的方法
确定分段函数导数的方法卢刚夫【摘要】对于分段函数的求导,关键是确定分段点处的导数,通常的方法是先计算左、右导数,再根据导数与左、右导数的关系进行判定,较为繁琐.根据拉格朗日中值定理,给出利用左、右极限计算导数的方法,可以较方便地求出分段函数的导数.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2017(037)008【总页数】3页(P86-87,99)【关键词】分段函数;导数;左极限;右极限【作者】卢刚夫【作者单位】山东理工大学数学与统计学院,山东淄博255049【正文语种】中文【中图分类】O172.1;G642.0求分段函数的导数关键是确定该函数在分段点处的导数.通常的方法是根据导数定义计算左、右导数:,,若,则;若,则不存在,计算比较繁琐[1-2].如何能方便地计算出分段函数分段点处的导数,部分文献对此进行了一定的探究,给出了依不同情形利用不同定理进行计算的方法[3-7].这在某些情况下对计算进行了简化,但由于需要分多种情形进行讨论,不便于掌握.本文根据拉格朗日中值定理,给出了利用左、右极限计算分段函数导数的方法,方法单一简便,不仅简化了计算,也方便实际运用.定理1 设在点处连续的函数在该点的某去心邻域内可导,若存在,则存在,且;同样,若存在,则.证明设在()内存在,任取,则函数在区间上满足拉格朗日中值定理条件,故至少存在一点,使得.令,此时也有,于是.同理可证,若存在,则.证毕.定理1给出了一种确定分段函数分段点导数的方法.为说明此方法,设有,其中:分别在上连续,内可导,求.先判定点处的连续性,若不连续,由可导与连续的关系可知,不存在;若连续,则例1 设,求.解当时,,在处,满足定理1条件,又,于是,所以.例2 设,求.解在=处连续,又,,于是.同理可知,.例3 设,函数,判断是否存在.解在点处连续,由于,,因此0)不存在.例4 设,求解不存在,但由例4可以看出,在使用定理1时,如若或有一个不存在,就不能用定理计算,,而要用导数定义去计算,.定理2 设在区间内可导,则在内没有第一类间断点,即对任意,或为的连续点或为的第二类间断点.证明反证法.假设是的第一类间断点,则,都存在.由定理1可知,此时=及=都存在,又因为存在,于是有=,从而是的连续点,与假设矛盾.故不是的第一类间断点,所以或为的连续点或为第二类间断点.证毕.例4中,,而,显然是的第二类间断点.[1] 同济大学数学系.高等数学(上册)[M].7版.北京:高等教育出版社,2014:79-80[2] 同济大学数学系.高等数学附册——学习辅导与习题选解[M].北京:高等教育出版社,2014:52[3] 李卫平.对分段函数可导性的研究[J].哈尔滨师范大学自然科学学报,2015,31(1):38-41[4] 张永明.分段函数导数的计算[J].北京印刷学院学报,1999,7(2):34-38[5] 林洁.分段函数在分界点处导数的处理方法[J].内蒙古林学院学报:自然科学版,1997,19(3):100-104[6] 谭惠新.分段函数分界点处导数存在性研究[J].安徽工学院学报,1995,14(4):114-115[7] 沙淑波.分段函数分段点上导数问题的一点注记[J].昌潍师专学报,2000,19(5):86-88。
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考研数学:分段函数求导两种技巧
从上面的例题中,可以看出,方法二在处理分段函数求导问题上,明显更简便一些。
具体的方法选用,要具体的分析对应的题目。
同学们可以做一些这一类的题目,进行巩固练习,加深对两种方法的掌握。
考研数学高分规划
近几年的考研数学大纲基本没有变化。
对于选择题仍然考查考生的基本计算能力、基本逻辑推导能力等;填空题考查基本计算能力;而计算题考查基本计算能力、简单的应用能力和证明能力等。
我们考生在复习时,一定要以国家考试中心的考试大纲为标准,严格按照规定的考点及层次去复习,至今命题的核心是考察两个层次的问题,一个是基本概念、基本理论、基本方法,也就是“三基”,这些题目占到80%以上;再一个就是知识的运用能力,所以凯程教育数学辅导专家提醒考生考研数学复习的准备也应该从这样两个方面去针对性的复习。
第一个层次——扎实的基础知识。
对于考试大纲中规定的所有考点,一定要系统、完备的理解和掌握,特别要注意课本外的理解和延展,结合一些基础题目去真正理解这些知识点以及了解这些知识点的使用条件等。
第二个层次——知识的灵活运用。
如果仅是依靠教材,很难把这种考试命题的特点归纳总结出来,因此要了解考试必须熟悉历年考试真题,通过真题的分析帮助自己真正的归纳总结一些题型,再针对每一类问题去分析。
根据真题,总结常考的题型及每种题型相应的解决方法有哪些,去总结和归纳,借助于题型再进一步完善知识点的理解和掌握。
不管进行哪个层次的复习,都必须保证一定的题量。
不通过一定的题量练习稳固知识基础,也很难把握知识的灵活运用,所以建议大家找一些典型的题做一些训练,通过这种练习来反馈我们知识的把握情况,同时还能更好的掌握这些相关的知识。
根据命题考核层次及学习的科学规律,我们总的来说把复习规划可以分为三个阶段:
第一个阶段是基础阶段。
这个阶段的长短应该根据自己的情况来实施,基础好一点的同学,这个时间可以短一点,基础差一点的同学,这个阶段可以长一点。
但是要提醒大家,这个基础阶段的时间不能太长,不能到了十月、十一月份还在打基础,那这样的话,复习的效率就太低了,我们建议基础再差的同学也要尽量在五、六月份把这个教材的打基础复习的阶段做完。
第二个阶段是强化阶段。
看一些提高类的辅导书和针对考研的这种考试参考书,按照题型分类。
教材和参考书在复习上是有差异的,教材是不跨章节的,也就是你在看第六章的时候,例题也好,习题也好,不可能用到第六章以后的知识,考研的题是同学们上完全部课程,都学完了才来考试的,所以仅看教材的话就有些不足,难以提高自己的水平。
而参考书已经将所有知识进行了综合整理,对于考研这个层次的数学知识来说哪些是重点、哪些是难点它都做了归纳总结,同学们要多花时间充分利用参考书复习透彻。
第三个阶段是冲刺阶段。
通过强化阶段的复习,考生已经达到了一定的水平,那么怎么样保持这个水平呢?通过做适当的题,比如历年真题或是做模拟题,这个叫做总复习,或者说是冲刺的阶段。
这个阶段什么时候开始是同学们关心的,一般来说,考生可以在十月份中旬以后,甚至十一月份以后作为准备冲刺的阶段。
这个阶段大家必须要做10到15年的真题,先做第一遍,每天上午利用3个小时的时间,完全模拟真正的考试,完整的做一套卷子,这样
下午去总结和归纳,第二天做第二套,一直下午,基本半个月一遍结束,然后重新开始再做第二遍,也从第一套开始,下午总结的时候看看是不是第一遍错的地方第二遍纠正过来了,对于两遍都错的地方要特别留意。
真题做完之后必须要做5套模拟题,以及调整心理和生理的备考状态,在真正考试时,让自己充分发挥出来。
凯程教育:
凯程考研成立于2005年,国内首家全日制集训机构考研,一直从事高端全日制辅导,由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成,为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。
凯程考研的宗旨:让学习成为一种习惯;
凯程考研的价值观口号:凯旋归来,前程万里;
信念:让每个学员都有好最好的归宿;
使命:完善全新的教育模式,做中国最专业的考研辅导机构;
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敬业:以专业的态度做非凡的事业;
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苦学习,是很难达到优异的成绩。
最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。
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有没有实体学校校区:有些机构比较小,就是一个在写字楼里上课,自习,这种环境是不太好的,一个优秀的机构必须是在教学环境,大学校园这样环境。
凯程有自己的学习校区,有吃住学一体化教学环境,独立卫浴、空调、暖气齐全,这也是一个考研机构实力的体现。
此外,最好还要看一下他们的营业执照。
出师表
两汉:诸葛亮
先帝创业未半而中道崩殂,今天下三分,益州疲弊,此诚危急存亡之秋也。
然侍卫之臣不懈于内,忠志之士忘身于外者,盖追先帝之殊遇,欲报之于陛下也。
诚宜开张圣听,以光先帝遗德,恢弘志士之气,不宜妄自菲薄,引喻失义,以塞忠谏之路也。
宫中府中,俱为一体;陟罚臧否,不宜异同。
若有作奸犯科及为忠善者,宜付有司论其刑赏,以昭陛下平明之理;不宜偏私,使内外异法也。
侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等,此皆良实,志虑忠纯,是以先帝简拔以遗陛下:愚以为宫中之事,事无大小,悉以咨之,然后施行,必能裨补阙漏,有所广益。
将军向宠,性行淑均,晓畅军事,试用于昔日,先帝称之曰“能”,是以众议举宠为督:愚以为营中之事,悉以咨之,必能使行阵和睦,优劣得所。
亲贤臣,远小人,此先汉所以兴隆也;亲小人,远贤臣,此后汉所以倾颓也。
先帝在时,每与臣论此事,未尝不叹息痛恨于桓、灵也。
侍中、尚书、长史、参军,此悉贞良死节之臣,愿陛下亲之、信之,则汉室之隆,可计日而待也。
臣本布衣,躬耕于南阳,苟全性命于乱世,不求闻达于诸侯。
先帝不以臣卑鄙,猥自枉屈,三顾臣于草庐之中,咨臣以当世之事,由是感激,遂许先帝以驱驰。
后值倾覆,受任于败军之际,奉命于危难之间,尔来二十有一年矣。
先帝知臣谨慎,故临崩寄臣以大事也。
受命以来,夙夜忧叹,恐托付不效,以伤先帝之明;故五月渡泸,深入不毛。
今南方已定,兵甲已足,当奖率三军,北定中原,庶竭驽钝,
攘除奸凶,兴复汉室,还于旧都。
此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。
至于斟酌损益,进尽忠言,则攸之、祎、允之任也。
愿陛下托臣以讨贼兴复之效,不效,则治臣之罪,以告先帝之灵。
若无兴德之言,则责攸之、祎、允等之慢,以彰其咎;陛下亦宜自谋,以咨诹善道,察纳雅言,深追先帝遗诏。
臣不胜受恩感激。
今当远离,临表涕零,不知所言。