函数的极值与最值问题

极值与最值问题

极值与最值问题极值与最值问题是数学中一个重要的概念，涉及到函数的最大值和最小值的求解。

在实际应用中，我们常常需要找到某个函数在给定区间上的最大或最小值，以便做出最优的决策。

本文将介绍极值与最值问题的定义、求解方法以及一些实际应用。

一、极值与最值问题的定义在数学中，给定一个函数f(x)，我们称x=a为f(x)的极大值点，如果存在一个ε>0，对任意的x∈(a-ε，a+ε)，有f(x)≤f(a)。

类似地，我们称x=a为f(x)的极小值点，如果存在一个ε>0，对任意的x∈(a-ε，a+ε)，有f(x)≥f(a)。

最大值和最小值是函数在给定区间上的极大值和极小值。

设[a,b]是一个闭区间，函数f(x)在[a,b]上有定义。

如果对于任意的x∈[a,b]，都有f(x)≤f(a)，则称f(a)为函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值。

同样地，如果对于任意的x∈[a,b]，都有f(x)≥f(a)，则称f(a)为函数f(x)在闭区间[a,b]上的最小值。

二、求解极值与最值的方法1. 极值点的求解方法要找到函数f(x)的极值点，可以通过求解f'(x)=0来实现。

具体步骤如下：1) 求函数f(x)的导函数f'(x)；2) 解方程f'(x)=0，得到x=k；3) 判断k是否为极值点，即判断二阶导数f''(x)的符号。

a. 如果f''(k)>0，说明f(x)在k处取极小值；b. 如果f''(k)<0，说明f(x)在k处取极大值；c. 如果f''(k)=0，说明x=k处可能为极值点，需进行进一步的分析。

2. 最值的求解方法为了找到函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值，可以通过以下步骤进行：1) 计算函数f(x)在区间端点a和b处的函数值：f(a)和f(b)；2) 计算函数f(x)在(a,b)内的临界点，即f'(x)=0的解x=c；3) 计算函数f(x)在(a,b)内的驻点，即f'(x)不存在的解x=d。

函数的极值与最值问题

函数的极值与最值问题函数的极值与最值问题是数学分析中的重要内容。

在实际问题中，我们常常需要求解函数的极值或最值，来确定某一变量的最佳取值或最大最小值。

本文将介绍函数的极值与最值问题的定义、求解方法以及实际应用。

一、函数的极值与最值的定义在数学中，给定一个函数f(x)，若存在一个区间I，使得对于该区间内的任意x值，f(x)的值都比f(x)在I的其它点处的值小（大），则称f(x)在I内存在极大（小）值，同时称该点为函数的极值点。

而函数在区间I内最大（小）的极值点则称为函数的最大（小）值。

二、求解函数的极值与最值的方法1. 寻找驻点首先，我们需要寻找函数的驻点。

驻点即为函数在该点的导数为零的点，也就是函数的极值点可能位于驻点处。

2. 列出极值点及临界点的值将驻点的值以及函数的定义域内的临界点的值列出，并计算出相应的函数值。

3. 比较并确定极值点及最值比较驻点和临界点的函数值，找出函数的极大值和极小值，即为函数的极值点。

同样地，比较所有极值点的函数值，找出函数的最大值和最小值。

4. 确定函数的定义域在比较极值点和临界点的函数值时，需要注意函数定义域的边界条件。

确保所比较的点处于函数的定义域内。

三、函数极值与最值问题的应用函数的极值与最值问题在实践中具有广泛的应用。

以经济学为例，函数的极值与最值问题常用于优化问题的求解。

例如，确定成本最低的生产方案或利润最大化的销售策略等。

在工程学中，函数的极值与最值问题可应用于优化设计。

比如求解最节能的物流路径、最优化的结构参数以及最大功率输出的电子电路布局等。

此外，函数的极值与最值问题还可用于求解几何问题中的最优解。

在数学建模、各类优化理论以及应用数学的研究中都有广泛的应用。

结论函数的极值与最值问题是数学分析中一个重要且常见的问题。

通过寻找函数的极值点和最值点，可以确定变量的最佳取值或者确定函数在某个区间内的最大最小值。

本文介绍了函数极值与最值问题的定义、求解方法以及应用，并指出了其在实际问题中的重要性。

函数的极值与最大值最小值

lim
x x0
f (x) f (x0 ) (x x0 )n
2
(n为正整数)
试讨论 f (x)在 x x0 点的极值问题.
解：由于 lim f (x) f (x0 ) 2 0， xx0 (x x0 )n
则
0，当x U (x0, ) 时，有
f
(x) f (x0 ) (x x0 )n
a 1 当a 1时，则1 e1a 0，a 1 0，于是，f (a) 0；当a 1时，则1 e1a 0，a 1 0，于是，f (a) 0；因此，当a 1时，f (a) 0，由第二充分条件可知： f (a) 为极小值.
-11-
例 4 设 f (x)在 x0 的某个邻域内连续，且
切线与直线 y 0 及 x 8所围成的三角形面积最大．
解如图，设所求切点为 P(x0, y0 ), y
T
则切线PT为：y y0 2x0 (x x0 ),
B
P
y0 x02 ,
oA
Cx
A(
1 2
x0
,
0),
C(8, 0),
B(8, 16x0 x02 )
SABC
1(8 2
1 2 x0 )(16 x0
由极值定义可知：f (x)在 x0 不取得极值.
-13-
二、最大值最小值问题
假定：f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内除有限个点外可导，且至多有有限个驻点.
讨论：f (x) 在[a,b]上的最大值与最小值的问题.
★ 最值的存在性：
若 f (x)在[a,b] 上连续，则 f (x) 在[a,b]上的最值必定存在.
如：y x3，y x0 0，但 x 0 不是极值点.
【注 2】函数的极值点只可能是驻点或导数不存在的点.

函数的极值与最大值最小值

极值点是否一定是驻点？驻点是否一定是极值点？考察x=0是否是函数y=x3的驻点, 是否是函数的极值点.
x1 x2 x3 x4 x5
定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f ′(x0)=0. •驻点使导数f ′(x)为零的点(方程f ′(x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点. 观察与思考： (1) 观察曲线的升降与极值
x1 x2
x3 x4 x5
定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续, 且在(a, x0)∪(x0, b)内可导. (1)如果在(a, x0)内f ′(x)>0, 在(x0, b)内f ′(x)<0, 那么函数f(x) 在x0处取得极大值; (2)如果在(a, x0)内f ′(x)<0, 在(x0, b)内f ′(x)>0, 那么函数f(x) 在x0处取得极小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)内 f ′(x)的符号相同, 那么函数f(x) 在x0处没有极值.
1 2 所以当b= d 时, 抗弯截面模量 W 最大, 这时 h = d . 3 3
讨论：
函数f(x)=x4, g(x)=x3在点x=0是否有极值？ >>>
例2 求函数f(x)=(x2−1)3+1的极值. 解 f ′(x)=6x(x2−1)2. 令f ′(x)=0, 求得驻点x1=−1, x2=0, x3=1. f ′′(x)=6(x2−1)(5x2−1). 因为f ′′(0)=6>0, 所以f (x)在x=0处取得极小值, 极小值为f(0)=0. 因为f ′′(−1)=f ′′(1)=0, 所以用定理3无法判别. 因为在−1的左右邻域内f ′(x)<0, 所以f(x)在−1处没有极值. 同理, f(x)在1处也没有极值.

函数的极值与最值问题

函数的极值与最值问题函数的极值与最值问题是微积分中的重要概念，涉及到求解函数在某一区间内的最大值或最小值的问题。

本文将介绍极值与最值的定义、求解方法以及相关应用。

一、极值的定义在数学中，给定一个函数f(x)，如果存在一个实数a，使得对于a点的某一邻域内的任意x值，都有f(x) ≤ f(a)，则称f(x)在点a处取得极大值。

同理，如果存在一个实数a，使得对于a点的某一邻域内的任意x 值，都有f(x) ≥ f(a)，则称f(x)在点a处取得极小值。

二、求解极值的方法1. 寻找函数的极值需要先求出函数的导数。

对于给定的函数f(x)，可以通过求导的方法得到其导函数f'(x)。

2. 将导函数f'(x)等于零，解方程求出所有满足条件的x值，即为函数的临界点。

3. 确定临界点是否为极值点，可以通过二阶导数来判断。

如果二阶导数f''(x)在该点处大于零，则该点为极小值点；如果二阶导数小于零，则该点为极大值点。

4. 对于临界点以及区间的边界点，将其代入原函数f(x)，求出对应的y值，即为函数在各个极值点处的极值。

三、最值的定义函数的最大值是指函数f(x)在给定区间内取得的最大的y值，而函数的最小值则是在给定区间内取得的最小的y值。

四、求解最值的方法1. 给定一个函数f(x)，可以通过求解极值的方法来求得函数在给定区间内的最大值或最小值。

2. 首先，根据前述方法求得函数的极值点。

3. 然后，将求得的极值点对应的x值代入原函数f(x)，求出对应的y值。

4. 比较各个极值点及区间的边界点处的y值，即可得到函数在给定区间内的最大值和最小值。

五、应用举例函数的极值与最值问题在实际应用中有着广泛的应用，以下举例介绍其中两个常见的应用场景。

1. 最大利润问题假设有一家公司的成本函数为C(x)，收入函数为R(x)，利润函数为P(x) = R(x) - C(x)。

公司的目标是在一定生产规模内，求得利润最大值。

研究函数的极值与最值问题

研究函数的极值与最值问题在数学中，研究函数的极值和最值问题是非常重要的。

通过研究函数的极值和最值，我们可以了解函数的性质，并解决许多实际问题。

一、极值问题函数的极值是指在一定范围内的最大值或最小值。

为了求得函数的极值，我们需要先求出函数的导数，然后令导数为零并解方程，得到极值对应的自变量值。

接下来，可以通过代入自变量值进入原函数来求得极值。

举个例子，考虑函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 4 在区间 [-2, 3] 上的极值问题。

首先，我们求得导数 f'(x) = 6x^2 - 6x - 12。

令 f'(x) = 0，解方程可以得到x = -1 和 x = 2。

接着，我们将这两个值代入原函数 f(x) 中，可以得到 f(-1) = -7 和 f(2) = 6。

所以，在区间 [-2, 3] 上，函数 f(x) 的最小值为 -7，对应的自变量 x = -1，函数 f(x) 的最大值为 6，对应的自变量 x = 2。

二、最值问题函数的最值是指函数在整个定义域内的最大值或最小值。

为了求得函数的最值，我们需要先求得函数的导数，并研究其在定义域内的增减性以及边界情况。

根据导数和边界的关系，可以找到函数在定义域内的最值。

以函数 g(x) = x^2 + 4x - 3 为例，我们可以求得导数 g'(x) = 2x + 4。

通过观察导数的符号，我们可以发现在 x < -2 时，导数为负数，表示函数 g(x) 单调递减；在 x > -2 时，导数为正数，表示函数 g(x) 单调递增。

由于函数 g(x) 是一个二次函数，我们可以知道当 x 趋近无穷大或无穷小时，函数的值无限增大，因此函数g(x) 在无穷大时没有最大值。

另外，函数 g(x) 在定义域内都是连续的，所以可以确定函数 g(x) 存在最小值。

为了找到函数 g(x) 的最小值，我们可以考虑其导数为零的情况。

函数的极值与最值知识点

函数的极值与最值知识点函数是数学中非常重要的概念，它描述了变量之间的关系。

在函数中，经常会遇到极值与最值的问题。

本文将介绍与函数的极值与最值相关的知识点。

一、函数的极值函数的极值指的是在函数曲线上存在的最高点或最低点。

根据函数的定义域和值域，可以分为两种极值：最大值和最小值。

1. 定义域与值域在讨论函数的极值之前，首先需要明确函数的定义域和值域。

定义域是指函数的自变量的取值范围，而值域则是函数的因变量的取值范围。

2. 局部极值对于实数域上的函数，如果在某个区间内存在一个点，使得这个点左右两侧的函数值都比它小（或都比它大），那么这个点就是函数在该区间内的局部最小值（或最大值）。

3. 单调性与极值单调性是指函数在定义域内的变化趋势。

如果函数在某个区间内单调递增，那么在这个区间内，函数的最小值一定在区间的起点上；如果函数在某个区间内单调递减，那么在这个区间内，函数的最大值一定在区间的终点上。

二、函数的最值函数的最值指的是函数在定义域内可能取得的最大值或最小值。

1. 最大值与最小值对于连续函数，在有限闭区间上一定存在最大值和最小值。

根据最值的性质，最大值是函数图像上的“最高点”，最小值是函数图像上的“最低点”。

2. 最值的求解方法为了找到函数的最值，可以使用以下方法：（1）导数法：通过求函数的导数，找到导数为零的点，并且通过二阶导数的符号判断这些点是极值点还是驻点。

（2）边界法：当函数定义域为闭区间时，极值可能出现在端点上。

三、综合例题为了更好的理解函数的极值与最值，下面给出一个综合例题：例题：已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求其在定义域[-2,2]上的最大值和最小值。

解答：首先，将函数f(x)对x求导，得到f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。

令f'(x) = 0，解得x = 1/3。

然后，计算f''(1/3) = 4，由于f''(1/3)大于0，所以x = 1/3是函数f(x)的一个局部最小值点。

函数极值与最值问题的解决方法

函数极值与最值问题的解决方法在数学中，函数极值与最值问题一直是学习者们面临的难题。

解决这类问题需要运用一些特定的方法和技巧。

本文将探讨一些常见的解决方法，帮助读者更好地理解和应用。

一、导数法导数法是解决函数极值与最值问题的一种常用方法。

对于给定的函数，我们可以通过求导数来找到其极值点。

具体步骤如下：1. 求出函数的导函数。

2. 解方程f'(x) = 0，找出导函数的零点，即可能的极值点。

3. 利用二阶导数的符号判断这些零点的性质。

若f''(x) > 0，则该点为极小值点；若f''(x) < 0，则该点为极大值点。

4. 将极值点带入原函数，求出函数的极值。

举个例子，考虑函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1。

首先，求导得到f'(x) = 3x^2 -6x + 2。

然后，解方程f'(x) = 0，得到x = 1和x = 2/3。

接着，计算二阶导数f''(x) =6x - 6，发现f''(1) = 0，f''(2/3) = -2。

因此，x = 1是极小值点，x = 2/3是极大值点。

最后，将这两个点带入原函数，求得f(1) = 2和f(2/3) = 4/27，即函数f(x)在x = 1处取得极小值2，在x = 2/3处取得极大值4/27。

二、区间法区间法是一种直观且易于理解的解决函数极值与最值问题的方法。

它通过观察函数在不同区间的变化趋势来确定极值点的位置。

具体步骤如下：1. 找出函数的定义域。

2. 将定义域分成若干个区间。

3. 在每个区间内，计算函数的值，并找出最大值和最小值。

4. 比较各个区间的最大值和最小值，确定函数的最大值和最小值。

例如，考虑函数f(x) = x^2 - 4x + 3。

首先，求出函数的定义域为(-∞, +∞)。

然后，将定义域分成三个区间：(-∞, 1)，(1, 3)，(3, +∞)。

函数的极值与最值(带答案).doc

导数法解极值、最值问题类型一、正向思维已知解析式求极值或最值In X【例1】已知函数y=f(x) = —ox(I)求y = f(x)的最大值;(II)设实数a>0,求函数F(x) = af⑴在[a,2a]±的最小值解析：⑴令/© = 0得x = e" "|・・•当xe (O.e)时，/(>:)> 0, /(功在(04上为増函数当x e时，f (x) < 0,在(e：g)上为减旳数厶⑴= /(◎ = [e.(2) va>0,由(2〉知：F(x)在(0«)上单调递増，在@出功上里调递减。

■・-・F(力在肚却上的最小值/oul(x) = miD{ F® FS}・・・F(a)-F3 = 存片「.当0v"2 时，F(^>- F(2a)(x) = F(a) = fa A当2<«B寸F(o)—FS〉0, f^(x)=F(2a) = ^2ai--------------------------------------------------------------------------------------------------- -j --------------------------------------- 互--------------------------------------- ■<类型二、逆向思维已知极值或最值求解析式【例2】已f (x) = ax3 + bx2 + cx(a 0)在兀=±1时取得极值，且f (1) =—1.(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x二±1是函数的极小值还是极人值，并说明理由.解析：(1〉由已知得=3ax a+2bx+c*/x=± 1是函数f (x)的极值点，-■.x=±l 是方程f\x)=0,即3ax2+2bx+c=O 的两根.』=0 ①由根与系数的关系，得367又 f （1） =-1, /.a+b+c=~l, ③由①②③解得a二丄上=0工=3,学科网2 21 3 3 3 3（2）f （x）= —x3—— x, —^2—— =—（X— 1）（x+1）2 2 2 2 2当xV-l 或X>1 时，f\x）>0}当一1<xVl 时，/r（x）<0• ••函数f（X）在（—8〉— 1）和十8〉上是増函数，在（—1, 1）上是;咸函数.• ••当汩一1时，国数取得极犬值f ("I) =1,当汩1时，函数取得极小值f CD =-1.类型三、构造函数不等式恒成立问题转化为求最值问题点评：利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性, 求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.【例4]已知函数f(x) = a\nx-^-bx(a,be R) , |11|线y = /(x)在点(1,/(1))处的切线方程为x-2y-2=0.(I )求/(X )的解析式；(II)当兀>1吋，/(兀)+仝vO 恒成立，求实数R 的収值范围;解析：(I 〉•.•y'(x) = alux + &x ,・ \f r (x) = — +b ・•・•直线x —即一 2 = 0的斜率为；,且曲线y = 丁⑴过点(1,一亠TT lc H LI D x — — + — < 0 等价于——一xlnx •2 x 2令 g(x) = — —xlu x > 贝I 」g f(x) = x —(lu X +1) = x — 1 —I D X . 21y_[令应(x) = x-l —lnx,贝I J/J F (X ) = 1-- = -------- ・-XT当el 时」函数方匕)在(L-KO)上单调递増，故A(x)>A(l)=O.从而，当工>1时，g'(x )A0,即函数g(0在(L-H»)上单调递増，1X 21故g(x )Ag(l) =刁・因此，当兀>1时，k< — -x]nx 恒成立，则k<-.・•・上的取值范围杲(Tof]・1.若点P 是曲线尸二x‘一In x 上任意一点，则点P 到直线y = x —2的最小值为()A. 1B. ^2C. -----D. y/32八1)詁’ b =——.2・即Ia+b = -.2丄~2所以 /(x)=lnx-^ Ir(II 〉由(I 〉得当"1时,/(%) + -<0恒成立即解析：设心如，点P 到直线一 2的距离“上需已亡”，设g^ = j(?-x-\nx+2 (x>0),所以g ，(x)二"％ 1 = (2兀 + lXx 1),当x<o 时，g ，(x )<o,当x X X >0时,g©)>0,则g(x)在(0,1)是减函数,在(b +8)上是増函数，则当E 时,g(x)取极小值也是最小值g(l)=2,此时好血,故选B ・2.若函数y = /一弓工2+Q 在［_i,i ］上有授大值3,则该函数在［一1,1］上的最小值是2解析：/=3X 2-3X = 3X (X -1)>0,/ <0,解得 0<x<l,所以当血［一1,1］时,a1［-1,0］函数増，［0,1］函数减，所以当x = 0时，函数取得最大值/(O )=a =3 > y =< 一牙x 2 +3 ,/(-l) = —, /(1) =舟'所以最小值是/(一1) = £・选C 。

函数的极值与最大值最小值

第五节函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值及其求法二、最大值与最小值问题
一、函数的极值及其求法
极值定义设函数 f ( x)在 x0 的某邻域U ( x0 )内有定义,
如果对 x U ( x0 ) ,有 f ( x ) f ( x0 ) ( 或 f ( x ) f ( x0 ) ),
求函数 f ( x ) x 2 3 x 2 在 [3,4] 上的例3 最大值与最小值 .
解: 显然
一定取得最大值与最小值.
f ( x) ( x 2)( x 1)
又
x 1, x 2为不可导点
x [3,1] [2,4] x (1,2).
x 2 3 x 2, f ( x) 2 x 3 x 2,

2 5
0 0.33
2 ( 5 , )
其极大值为是极大点，
是极小点，其极小值为
确定函数极值点和极值的步骤
(1) 确定函数定义域 , 并求导数 f ( x );
(2) 求出 f ( x ) 的全部驻点与不可导点;
(3)驻点和不可导点将定义域区间分成若干个区间，列表考察导函数在各个区间内的符号，以便确定该点
x 最大(小)值若在区间内部取得,则它一定是极大(小)值. o a x1 x2 x3x4 b x 2 , x4 为极小值点
费马( Fermat )引理
设函数 f ( x)在 x0 的某邻域U ( x0 )内有定义,
若 (1) f ( x)在 x0 点可导
则 f ( x0 ) 0.
(2) f ( x)在 x0 点取得极大值或极小值
点处的切线与直线 y 0 及 x 8 所围成的三角形

高考数学中的函数极值及最值问题及解题方法

高考数学中的函数极值及最值问题及解题方法在高中数学学习中，函数极值及最值问题是一个重要的考点，也是一个有难度的知识点。

在高考数学中，这个知识点被广泛地应用于各种数学题型中，涉及到的知识点和方法需要大家掌握好。

本文将就函数极值及最值问题及解题方法做一些简单的介绍和详解。

第一部分：什么是函数的最值和极值函数的最大值和最小值是这个函数在定义域内的函数值中的最大值和最小值，也就是说，最大值和最小值都是函数的取值，而不是函数本身。

函数的最大值就是这个函数在定义域内取到的最大值，而函数的最小值就是这个函数在定义域内取到的最小值。

函数的极值也是类似的，极大值指的是某个函数在一个特定的区间内取到的最大值，而极小值就是函数在这个特定的区间内取到的最小值。

第二部分：函数的最值和极值问题的解法1. 求函数的最值对于求函数的最值，一般有两种方法：一种方法是借助函数图像，根据函数图像的形态来看出函数的最值所在的位置。

另一种方法是通过求导数，然后借助导数定理来求解函数的最值。

求函数的最值需要用到极限、导数、函数的性质等多个数学知识点，需要考生们细心地掌握。

2. 求函数的极值对于求函数的极值，可以通过以下几种方法来实现：一种方法是通过求导数，然后求得导函数的零点，从而求出函数的极值点。

另一种方法是对函数求导数，然后再对导数进行求导数，直到得到导函数的函数表达式，从而得到函数的极值点。

还有一种方法是使用极限和数列的性质来求解函数的极值。

总的来说，求函数的极值需要使用到导数、函数的性质、函数图像的图形等多个数学知识点，需要考生们认真学习和练习。

第三部分：函数极值及最值问题的解题实例在高考数学中，函数极值及最值问题的解题实例非常丰富，接下来就给大家介绍一些常见的解题思路。

1. 求函数的最值比如，一道求函数最大值的题目：求函数f(x)=x2+2x+3的最小值。

解题思路：首先可以画出函数的图像，在图像上寻找最小值所在的位置。

另一方面，我们也可以通过求导数来求解函数的最值。

高中函数的极值与最值问题

高中函数的极值与最值问题函数是数学中的重要概念之一，它描述了两个变量之间的关系。

在高中数学学习中，我们经常遇到关于函数的极值与最值问题，这是一类常见且重要的问题。

本文将详细介绍高中函数的极值与最值问题，以帮助读者更好地理解和解决这类题目。

一、函数的极值与最值概念函数的极值包括极大值和极小值，统称为极值。

极大值对应函数的最大值，极小值对应函数的最小值。

最值问题是要求在一定条件下找到函数的最大值或最小值。

1. 极值的定义设函数y=f(x)在点x0处取得极大值，如果对于x0的某个邻域上的任意一点x，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数的极大值。

类似地，如果对于x0的某个邻域上的任意一点x，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数的极小值。

2. 最值的定义给定一个函数，如果在其定义域上存在一个点x1，使得对于定义域上的任意一点x，都有f(x)≤f(x1)，则称f(x1)为函数的最大值。

类似地，如果对于定义域上的任意一点x，都有f(x)≥f(x1)，则称f(x1)为函数的最小值。

二、求解函数的极值与最值的方法在高中数学中，求解函数的极值与最值可以采用以下方法：1. 导数法当函数的导数存在时，可以通过求导数的方法来找到函数的极值。

具体步骤如下：（1）求出函数的导数f'(x)；（2）令f'(x)=0，求出导数为零的临界点；（3）将临界点和函数的端点代入原函数，并比较函数值，找到最大值与最小值。

2. 函数图像法通过绘制函数的图像，可以直观地找到函数的极值与最值。

具体步骤如下：（1）绘制函数的图像；（2）观察图像的极值点和最值点，标出对应的坐标。

3. 区间端点法当函数在特定区间上连续且可导时，可以通过将函数在区间两个端点处的值进行比较来找到函数的最值。

具体步骤如下：（1）计算函数在区间的两个端点处的函数值；（2）比较函数值，找出最大值与最小值。

三、应用举例下面通过两个例子来说明如何求解函数的极值与最值问题。

函数的极值与最值

函数的极值与最值函数是数学中非常重要的概念，它描述了输入和输出之间的关系。

在数学中，我们经常会遇到寻找函数的极值和最值的问题。

本文将介绍函数的极值和最值的概念、求取方法以及相关的应用。

一、函数的极值和最值概念函数的极值指的是函数在特定区间内取得的最大值和最小值。

极大值是函数在该区间内取得的最大值，而极小值则是函数在该区间内取得的最小值。

极大值和极小值统称为极值。

而最大值和最小值则是函数在整个定义域内的最大值和最小值。

二、求取函数极值的方法有多种方法可以求取函数的极值，下面介绍常用的两种方法：导数法和二阶导数法。

1. 导数法导数法是一种基于函数导数的方法，它通过求取函数的导数来判断函数在某一点的递增或递减性，从而确定极值的存在和位置。

具体步骤如下：（1）求取函数的导数；（2）求取导数为零的点，即导数为零的点可能是函数的极值点；（3）求取导数为零点的二阶导数，并判断二阶导数的正负性；（4）根据二阶导数的正负性来确定函数在该点处的极值。

2. 二阶导数法二阶导数法是基于函数的二阶导数来判断函数极值的存在和位置。

通过求取函数的二阶导数，我们可以确定函数的凹凸性，并进而确定极值的存在和位置。

具体步骤如下：（1）求取函数的二阶导数；（2）求取二阶导数为零的点，即二阶导数为零的点可能是函数的极值点；（3）根据二阶导数的正负性来确定函数在该点处的极值。

三、函数极值与最值的应用函数的极值和最值在数学中有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景：1. 最优化问题最优化问题是函数极值与最值的常见应用之一。

在实际问题中，我们常需要寻找一个函数的最大值或最小值，以满足特定的条件。

例如，生产厂家为了最大化利润，需要确定产量的最优值，这就是一个最优化问题。

2. 经济学应用函数的极值和最值在经济学中也有广泛的应用。

例如，生产函数和效用函数都需要求取最大值或最小值来确定最佳生产方案或消费方案。

3. 物理学应用在物理学中，函数的极值和最值也有很多应用。

极值与最值

y 1 x2
1
P ( x,1 x
1
A
2
)
所求三角形的面积为
1 x2 1 2 ( x 2 1)2 S ( x) ( x 1) ( x 0) 2 2x 4x
o
x
1 x2 1 2 ( x 2 1)2 S ( x) ( x 1) ( x 0) 2 2x 4x
解设房租为每月 x元，
x 180 套，租出去的房子有 50 10
每月总收入为
x 180 R( x ) ( x 20) 50 10
x R( x ) ( x 20) 68 10 x 1 70 x R( x ) 68 ( x 20) 5 10 10
第五节函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值及其求法二、最大值与最小值问题
一、函数的极值及其求法
定义:
在其中当
(1) 则称称 (2) 为
时,
的极大值点 ,
为函数的极大值 ;
则称
称
为
的极小值点 ,
为函数的极小值 .
极大值点与极小值点统称为极值点 .
例如 , 函数 f ( x) 2 x 3 9 x 2 12 x 3 为极大值点, 是极大值
x1 0 , x2 1, x3 2
(9) 4 2 12 81 96 0
故函数在 x x 2 取最小值 0 ; 0在 x 1及 5 取最大值 5. 2 0 9 x 12 2
R( x ) 0
x 350 （唯一驻点）
故每月每套租金为350元时收入最高。
350 最大收入为 R( x ) ( 350 20) 68 10 10890 (元)

函数的极值与最值的求解

函数的极值与最值的求解在数学中，我们经常需要求解函数的极值和最值。

函数的极值指的是函数在某个定义域内取得的最大值或最小值，最值则是函数在整个定义域内的最大值或最小值。

本文将介绍如何求解函数的极值和最值的方法。

一、函数的极值求解方法1. 导数法导数法是求解函数极值的一种常用方法。

根据函数的极值定义，极值点处函数的导数为零或不存在。

因此，我们可以通过以下步骤求解函数的极值：1）求函数的导数；2）令导数等于零，解方程得到极值点的横坐标；3）将极值点的横坐标代入原函数，求得纵坐标。

例如，对于函数f(x) = x^2 - 2x + 1，我们可以进行如下计算：1）求导：f'(x) = 2x - 2；2）令导数等于零：2x - 2 = 0，解得x = 1；3）将x = 1代入原函数：f(1) = 1^2 - 2(1) + 1 = 0，得到极小值0。

2. 二阶导数法在某些情况下，使用二阶导数可以更方便地求解函数的极值。

根据函数的极值定义，当函数的一阶导数为零且二阶导数大于零时，函数取得极小值；当一阶导数为零且二阶导数小于零时，函数取得极大值。

例如，对于函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，我们可以进行如下计算：1）求导：f'(x) = 3x^2 - 12x + 9；2）求二阶导数：f''(x) = 6x - 12；3）令一阶导数等于零，解方程得到极值点的横坐标：3x^2 - 12x +9 = 0，解得x = 1；4）将x = 1代入二阶导数：f''(1) = 6 - 12 = -6，表明函数在x = 1处取得极大值。

二、函数的最值求解方法函数的最值即为整个定义域内的最大值或最小值。

求解函数最值的方法有以下几种：1. 导数法和求解极值类似，我们可以通过求解函数在定义域内的导数来找到函数的最值。

例如，对于函数f(x) = -x^2 + 4x - 3，我们可以进行如下计算：1）求导：f'(x) = -2x + 4；2）令导数等于零，解方程得到最值点的横坐标：-2x + 4 = 0，解得x = 2；3）将x = 2代入原函数：f(2) = -(2^2) + 4(2) - 3 = 1，得到函数的最大值1。

函数的极值与最值问题

函数的极值与最值问题在数学中，函数的极值与最值问题是一类常见且重要的问题。

通过研究函数的极值和最值，我们能够深入理解函数的特点，并且在实际问题中能够得到有效的应用。

一、函数极值的定义在初等数学中，我们将极值分为两种，即极大值和极小值。

对于一个函数f(x)，如果在某一点x0处，其函数值f(x0)大于其邻近点的函数值，那么f(x0)即为函数的极大值；相反，如果在某一点x0处，其函数值f(x0)小于其邻近点的函数值，那么f(x0)即为函数的极小值。

数学上，我们通过求函数的导数来判断函数的极值。

若函数在某一点的导数等于零，且导数在该点的某个邻域内变号，那么这个点就是函数的极值点。

二、函数最值的定义与函数的极值不同，函数的最值是指函数在其定义域内取得的最大值和最小值。

函数的最大值是指函数在定义域内的某个点或某些点上取得的最大函数值；函数的最小值则是指函数在定义域内的某个点或某些点上取得的最小函数值。

为了求得函数的最值，我们需要通过一定的方法进行计算。

常见的方法有试探法、数列极限法、导数法等。

通过这些方法，我们能够准确地找到函数的最值点和最值。

三、函数极值与最值问题的应用函数的极值与最值问题广泛应用于各个领域，包括自然科学、工程技术以及社会经济等。

下面以数学建模为例，简要说明函数极值与最值问题的应用。

在数学建模中，我们常常需要寻找能够最大化或最小化某种指标的函数值。

通过求解函数的极值和最值问题，我们可以确定最优解。

例如，在运输路线优化问题中，我们可以将运输距离或成本等指标建立函数，然后通过求函数的最小值来确定最佳的运输路线。

在生产优化中，我们可以将成本和产量建立函数，进而求函数的最大值或最小值来获得最优的生产方案。

函数的极值与最值问题还应用于金融领域。

在投资决策中，我们需要评价不同投资方案的风险收益特征。

通过构建风险与收益函数，我们可以求函数的最值，从而找到最佳的投资方案。

此外，在金融衍生品定价中，通过求解衍生品定价模型中的极值问题，我们可以确定合理的衍生品价格，为交易提供参考。

解函数的最值与极值问题

解函数的最值与极值问题函数的最值与极值问题是数学中的常见问题，通过求解函数的最大值、最小值以及函数的极值点，可以帮助我们研究函数的性质和应用。

在本文中，我将介绍一些常见的方法和技巧，以解决函数的最值与极值问题。

一、最值问题的概念函数的最值问题是指在给定的定义域范围内，寻找函数的最大值和最小值的过程。

最大值是函数在定义域范围内取得的最大值，最小值则是函数在定义域范围内取得的最小值。

这些最值点可以通过找到函数的驻点（即导数等于零的点）和端点来确定。

二、最值问题的解法1. 使用导数法求解最值问题导数法是最常见也最基本的方法，通过求解函数的导数来确定函数的极值点和最值。

首先，计算函数的导数，然后将导数等于零求解，得到的解即为函数的驻点。

接着，将这些驻点代入原函数，求出对应的函数值，最大值和最小值即是其中的一个。

2. 使用二次函数的顶点公式求解最值问题当函数是二次函数时，可以使用顶点公式来求解最值问题。

二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线，最值点即为函数的顶点。

顶点的横坐标是函数的最值点，将这个横坐标代入原函数，求出对应的纵坐标即为函数的最大值或最小值。

3. 使用辅助线段求解最值问题辅助线段法是一种简单有效的方法，特别适用于定义域为闭区间的函数。

通过构造一个辅助线段，将函数的定义域划分为若干个小区间。

然后，在每个小区间内比较函数的值，找到最大值和最小值。

4. 使用函数性质求解最值问题有时候，在函数的性质中可以找到求解最值问题的思路。

比如，对于周期函数，可以通过观察周期内的变化情况，确定函数的最大值和最小值。

当函数具有对称性或者特殊的增减性质时，也可以通过这些特点来求解最值问题。

三、极值问题的概念函数的极值是指函数在某一点上的最大值或最小值。

极大值是函数在该点的函数值大于它周围的函数值，而极小值则是函数在该点的函数值小于它周围的函数值。

四、极值问题的解法1. 使用导数法求解极值问题与最值问题类似，使用导数法也可以求解函数的极值问题。

一轮复习：函数的极值与最值问题

一轮复习函数的极值一基础知识1、函数极值的概念：（1）极大值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x <，就说()0f x 是函数()f x 的一个极大值，记作()0y f x =极大值，其中0x 是极大值点（2）极小值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x >，就说()0f x 是函数()f x 的一个极小值，记作()0y f x =极小值，其中0x 是极小值点极大值与极小值统称为极值2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。

请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点3、极值点的作用：（1）极值点为单调区间的分界点（2）极值点是函数最值点的候选点4、费马引理（大学内容了解即可）：()f x 在0x x =处可导，那么0x x =为()f x 的一个极值点⇒()0'0f x =说明：①前提条件：()f x 在0x x =处可导②单向箭头：在可导的前提下，极值点⇒导数0=，但是导数0=不能推出0x x =为()f x 的一个极值点，例如：3y x =在()0,0处导数值为0，但0x =不是极值点③费马引理告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：y x =在()0,0处不可导，但是0x =为函数的极小值点）5、求极值的步骤：（1）筛选：令()'0fx =求出()'f x 的零点（此时求出的点有可能是极值点）（2）精选：判断函数通过()'fx 的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点（3）定性：通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点6、检验导数零点：对于在定义域中处处可导的函数，极值点是导函数的一些零点，所以涉及到极值点个数或所在区间的问题可转化成导函数的零点问题。