北京市首都师范大学附属中学2020-2021学年度第一学期九年级数学阶段练习(一)
北京市朝阳区首都师范大学附属中学朝阳学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
北京市朝阳区首都师范大学附属中学朝阳学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．一元二次方程224x x -=化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（）A ．1，4B ．1，0C ．1，4-D ．1，2-3．关于函数()232y x =-+-的图象叙述正确的是（）A ．开口向上B ．图象都在x 轴下方C ．与y 轴交点为()0,2-D ．顶点()3,2-4．如图，在平面直角坐标系中，点B 、C 、E 在y 轴上，点C 的坐标为()0,1，2AC =，Rt ODE △是Rt ABC △经过某些变换得到的，则正确的变换是（）A ．ABC 绕点C 逆时针旋转90︒，再向下平移1个单位B ．ABC 绕点C 顺时针旋转90︒，再向下平移1个单位C ．ABC 绕点C 逆时针旋转90︒，再向下平移3个单位D ．ABC 绕点C 顺时针旋转90︒，再向下平移3个单位5．随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000A．①③④二、填空题9．在平面直角坐标系中，点10．将二次函数y= 11．若关于x的方程12．如图，在ABC △．若点B'恰好落在AB C''13．若关于x的一元二次方程整数k的个数为．的半径为2，14．如图，O是函数y x=的图象，则阴影部分的面积是15．如图，点A在x轴上，则经过A、O、B三点的抛物线的解析式为16．距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为时h的值的“极差”（即0秒到t≤≤值范围是；当2t三、解答题(1)画出将OAB 绕原点O 逆时针旋转(2)在（1）的条件下，OB 上一点则线段1PP 的长度为______．19．已知将抛物线()2y x 41=--向左平移2y ax bx c =++经过点()0,3．(1)求平移后的抛物线2y ax bx c =++的解析式；(2)利用以上信息图象解答问题：若关于的范围内有两个实数解，则t 的取值范围是20．关于x 的方程210x ax -+=有两个相等的实数根，求代数式(1)求证：AE =(2)若55ABE ∠=22．如图，已知二次函数(1)求该二次函数的表达式；(2)当2y ≤-时，请根据图象直接写出23．学校计划利用一片空地建一个长方形电动车车棚，在与墙平行的一面开一个全部用于除墙外其余三面外墙的修建．(1)长方形车棚与墙垂直的一面至少为(2)为了方便学生通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图中阴影）车棚与墙垂直的一面长按方米，若能，此时小路的宽度是多少米？若不能，请说明理由．24．如图，在ABC(1)以点D 为对称中心，作出ABD △的中心对称图形；(2)求ABC 的面积的值．25．我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm ，锅深3dm ，锅盖高1dm （锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为1C ，把锅盖纵断面的抛物线记为2C ．(1)求1C 和2C 的解析式；(2)如果炒菜时锅的水位高度是1dm ，求此时水面的直径；(3)如果将一个底面直径为3dm ，高度为3.2dm 的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．26．已知(),0A n ，()2,3B -两点在一次函数1y x m =-+与二次函数223y ax bx =+-的图象上．(1)求m 的值和二次函数的解析式；(2)请直接写出使12y y >时，自变量x 的取值范围为______；(3)直接写出所求的抛物线223y ax bx =+-关于x 轴对称的抛物线的解析式为______．27．问题背景：（1）如图1，ACB △和CEF △都是等腰直角三角形，点E 在AB 上，连BF ，求证：BF AB ⊥；迁移运用：（2）如图2，在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，点P 在ABC 外，2PA =，6PB =，60BPA ∠=︒，求PC 的长；拓展提升：（3）如图3，在等腰Rt ABC △中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点E 、F 在ABC 外，135ECF ∠=︒，BE AF ∥，直接写出线段BE 、AF 、EF 之间的关系．28．我们规定，以二次函数2y ax bx c =++的二次项系数a 的2倍为一次项系数，一次项系数b 为常数项构造的一次函数2y ax b =+叫做二次函数2y ax bx c =++的“子函数”，反过来，二次函数2y ax bx c =++叫做一次函数2y ax b =+的“母函数”．(1)若一次函数24y x =-是二次函数2y ax bx c =++的“子函数”，且二次函数经过点()3,0，求此二次函数的解析式及顶点坐标；(2)若“子函数”6y x =-的“母函数”的最小值为1，求“母函数”的函数表达式；(3)已知二次函数248y x x =--+的“子函数”图象直线l 与x 轴、y 轴交于C 、D 两点，P 点在直线l 上方的抛物线上，求PCD 面积的最大值．。
2020-2021北京市师大实验九年级数学上期中一模试题(带答案)
2020-2021北京市师大实验九年级数学上期中一模试题(带答案)一、选择题1．如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是（ ）A ．4.75B ．4.8C ．5D ．42．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ．D ．3．布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中摸出一个球之后不放回布袋，再摸第二个球，这时得到的两个球的颜色中有“一红一黄”的概率是（ ）A ．16B ．29C ．13D ．234．如果关于x 的方程240x x m -+=有两个不相等的实数根，那么在下列数值中，m 可以取的是（ ）A ．3B ．5C ．6D ．85．如图所示的暗礁区，两灯塔A ，B 之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S ）不进入暗礁区，那么S 对两灯塔A ，B 的视角∠ASB 必须（ ）A ．大于60°B ．小于60°C ．大于30°D ．小于30°6．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C=45°，AB=2，则⊙O 的半径为（ ）A ．1B ．22C ．2D ．2 7．若2245a a x -+-=，则不论取何值，一定有（ ） A ．5x > B ．5x <-C ．3x ≥-D ．3x ≤- 8．抛物线y ＝2(x －3)2＋4的顶点坐标是( )A ．(3，4)B ．(－3，4)C ．(3，－4)D ．(2，4) 9．将函数y=kx 2与y=kx+k 的图象画在同一个直角坐标系中，可能的是（ ） A ． B ． C ． D ．10．如图所示，⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，P 是⊙O 上不与A 、B 重合的任意一点，则∠APB 等于（ ）A ．45°B ．60°C ．45° 或135°D ．60° 或120°11．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中涂色部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④12．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10，»»»AC CDDB ==，点E 是点D 关于AB 的对称点，M 是AB 上的一动点，下列结论：①∠BOE ＝60°；②∠CED ＝12∠DOB ；③DM ⊥CE ；④CM ＋DM 的最小值是10，上述结论中正确的个数是( )A．1B．2C．3D．4二、填空题13．用半径为30，圆周角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是__．14．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，给出的下列6个结论：①ab＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；③4a+2b+c＜0；④当x＞1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3；⑥3a+2c＜0．其中不正确的有_____．15．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是______．16．如图，将正六边形ABCDEF放置在直角坐标系内，A(﹣2，0)，点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2020次翻转之后，点C的坐标是_____．17．如图，五边形ABCD 内接于⊙O ，若AC=AD ，∠B+∠E=230°，则∠ACD 的度数是__________．18．关于x 的方程ax²-（3a+1）x+2(a+1)=0有两个不相等的实数根x 1,x 2,且x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，则a=19．母线长为2cm ，底面圆的半径为1cm 的圆锥的侧面积为__________ cm²． 20．如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，点C 为OA 的中点，CE ⊥OA 交»AB 于点E ，以点O 为圆心，OC 的长为半径作»CD交OB 于点D ，若OA=2，则阴影部分的面积为 .三、解答题21．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？22．已知二次函数243y x x =-+.（1）求函数图象的顶点坐标，对称轴和与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图象. （2）若1122(,),(,)A x y B x y 是函数243y x x =-+图象上的两点，且121x x <<，请比较12y y 、的大小关系（直接写出结果）.23．如图，ABO V 与CDO V 关于O 点中心对称，点E 、F 在线段AC 上，且AF=CE ． 求证：FD=BE ．24．小明在上学的路上要经过多个路口，每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯，假设在各路口遇到信号灯是相互独立的．（1）如果有2个路口，求小明在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）（2）如果有n个路口，则小明在每个路口都没有遇到红灯的概率是．25．如图，在中，，是的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且．求证：PA是的切线；若，求图中阴影部分的面积结果保留和根号【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则有FD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形，FC+FD=PQ，由三角形的三边关系知，FC+FD＞CD；只有当点F在CD上时，FC+FD=PQ有最小值，最小值为CD的长，即当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，PQ=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CD=BC•AC÷AB=4.8．【详解】如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，则FD⊥AB．∵AB=10，AC=8，BC=6，∴∠ACB=90°，FC+FD=PQ，∴FC+FD＞CD，∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，PQ=CD有最小值，∴CD=BC•AC÷AB=4.8．故选B．【点睛】本题利用了切线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直角三角形的面积公式求解．2．B解析：B【解析】由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”分析可知，上述图形中，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形.故选B.3．C解析：C【解析】解：画树状图如下：一共有6种情况，“一红一黄”的情况有2种，∴P（一红一黄）=26=13．故选C．4．A解析：A【解析】【分析】根据根的判别式的意义得到16﹣4m＞0，然后解不等式得到m＜4，然后对各选项进行判断．【详解】根据题意得：△=16﹣4m＞0，解得：m＜4，所以m可以取3，不能取5、6、8．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．5．D解析：D【解析】试题解析：连接OA，OB，AB，BC，如图：∵AB=OA=OB，即△AOB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∵∠ACB与∠AOB所对的弧都为»AB，∴∠ACB=12∠AOB=30°，又∠ACB为△SCB的外角，∴∠ACB＞∠ASB，即∠ASB＜30°．故选D6．D解析：D【解析】【分析】【详解】解：连接AO，并延长交⊙O于点D，连接BD，∵∠C=45°，∴∠D=45°，∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴∠DAB=∠D=45°，∵AB=2，∴BD=2，∴==∴⊙O 的半径AO=2AD =． 故选D ．【点睛】 本题考查圆周角定理；勾股定理．7．D解析：D【解析】【分析】由﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3可得：x ≤﹣3．【详解】∵x =﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3≤﹣3，∴不论a 取何值，x ≤﹣3．故选D ．【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练运用配方法解答本题的关键．8．A解析：A【解析】根据2()y a x h k =-+ 的顶点坐标为(,)h k ，易得抛物线y=2（x ﹣3）2+4顶点坐标是（3，4）.故选A.9．C解析：C【解析】【分析】根据题意，利用分类讨论的方法，讨论k ＞0和k ＜0，函数y=kx 2与y=kx+k 的图象，从而可以解答本题．【详解】当k ＞0时，函数y=kx 2的图象是开口向上，顶点在原点的抛物线，y=kx+k 的图象经过第一、二、三象限，是一条直线，故选项A 、B 均错误，当k ＜0时，函数y=kx 2的图象是开口向下，顶点在原点的抛物线，y=kx+k 的图象经过第二、三、四象限，是一条直线，故选项C 正确，选项D 错误，故选C ．【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10．C解析：C【解析】【分析】首先连接OA，OB，由⊙O是正方形ABCD的外接圆，即可求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，即可求得∠APB的度数．【详解】连接OA，OB，∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，∴∠AOB=90°，若点P在优弧ADB上，则∠APB=12∠AOB=45°；若点P在劣弧AB上，则∠APB=180°-45°=135°．∴∠APB=45°或135°．故选C．11．D解析：D【解析】【分析】根据中心对称图形的概念，如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形.将④涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕第三个正方形的中心旋转180°后，这个图形能与自身重合，是中心对称图.【详解】解：将④涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕第三个正方形的中心旋转180°后，这个图形能与自身重合，是中心对称图.故选：D.【点睛】本题考查的是利用旋转设计图案，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.12．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：∵弧AC=弧CD=弧DB，∴∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，故①正确；∵AB为直径，且点E是点D关于AB的对称点∴∠E=∠ODE，AB⊥DE∴∠CED =30°=12∠DOB，故②正确；∵M和A重合时，∠MDE=60°，∴∠MDE+∠E=90°∴DM⊥CE故③不正确；根据轴对称的性质，可知D与E对称，连接CE，根据两点之间线段最短，可知这时的CM+DM最短，∵∠DOB=∠COD=∠BOE=60°∴CE为直径，即CE=10，故④正确.故选C.【点睛】本题考查了圆周角定理，圆中的有关计算问题和图形的轴对称的应用，关键是熟练地运用定理进行推理和计算，题型较好，综合性比较强，但难度不大．二、填空题13．10【解析】【分析】由扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算【详解】设圆锥底面圆的半径为r则2πr=解得：r=10所以圆锥的底面半径为10故答案为：10【点睛】考查了圆锥的计算及扇形的弧长的计算的知识解析：10【解析】【分析】由扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算．【详解】设圆锥底面圆的半径为r，则2πr=12030 180π⋅，解得：r=10，所以圆锥的底面半径为10．故答案为：10．【点睛】考查了圆锥的计算及扇形的弧长的计算的知识，解题关键是牢固掌握和弧长公式．14．⑤【解析】【分析】①由图象可知a>0b<0则问题可解；②根据图象与x 轴交点问题可解；③由图象可知当x=2时对应的点在x 轴下方x=2时函数值为负；④由图象可知抛物线对称轴为直线x=1当x>1时y 随x 值解析：⑤【解析】【分析】①由图象可知，a>0,b<0,则问题可解；②根据图象与x 轴交点，问题可解；③由图象可知，当x=2时，对应的点在x 轴下方，x=2时，函数值为负；④由图象可知，抛物线对称轴为直线x=1，当x>1时，y 随x 值的增大而增大；⑤由图象可知，当y>0时，对应x>3或x<-1；⑥根据对称轴找到ab 之间关系，再代入a ﹣b+c ＝0，问题可解．综上即可得出结论．【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y 轴右侧，与y 轴交于负半轴，∴a ＞0，﹣2b a ＞0，c ＜0， ∴b ＜0，∴ab ＜0，说法①正确；②二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，∴方程ax 2+bx+c ＝0的根为x 1＝﹣1，x 2＝3，说法②正确；③∵当x ＝2时，函数y ＜0，∴4a+2b+c ＜0，说法③正确；④∵抛物线与x 轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，∵图象开口向上，∴当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大，说法④正确；⑤∵抛物线与x 轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，且图象开口向上，∴当y ＜0时，﹣1＜x ＜3，说法⑤错误；⑥∵当x ＝﹣1时，y ＝0，∴a ﹣b+c ＝0，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1＝﹣2b a， ∴b ＝﹣2a ，∴3a+c ＝0，∵c ＜0，∴3a+2c ＜0，说法⑥正确．故答案为⑤．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x 轴的交点以及二次函数图象上点的坐标特征，解答关键是根据二次函数性质结合函数图象解答问题．15．【解析】【分析】思路分析：把所求的线段放在构建的特殊三角形内【详解】如图所示连接HCDF且HC与DF交于点P∵正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG∴∠BCF=∠DCG=30解析：3．【解析】【分析】思路分析：把所求的线段放在构建的特殊三角形内【详解】如图所示．连接HC、DF，且HC与DF交于点P∵正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG∴∠BCF=∠DCG=30°，FC =DC，∠EFC=∠ADC=90°∠BCG=∠BCD+∠DCG=90°＋30°=120°∠DCF=∠BCG－∠BCF－∠DCG=120°－30°－30°=60°∴△DCF是等边三角形，∠DFC=∠FDC=60°∴∠EFD=∠ADF=30°，HF=HD∴HC是FD的垂直平分线，∠FCH=∠DCH=12∠DCF=30°在Rt△HDC中，HD=DC·tan∠3∵正方形ABCD的边长为3∴HD=DC·tan∠DCH=3×tan30°33试题点评：构建新的三角形，利用已有的条件进行组合．16．(40382)【解析】【分析】先求出开始时点C的横坐标为OC＝1根据正六边形的特点每6次翻转为一个循环组循环用2020除以6根据商和余数的情况确定出点C的位置然后求出翻转B前进的距离连接CE过点D作解析：(4038，3【解析】【分析】先求出开始时点C的横坐标为12OC＝1，根据正六边形的特点，每6次翻转为一个循环组循环，用2020除以6，根据商和余数的情况确定出点C的位置，然后求出翻转B前进的距离，连接CE，过点D作DH⊥CE于H，则CE⊥EF，∠CDH＝∠EDH＝60°，CH＝EH，求出CE＝2CH＝2×CDsin60°＝23，即可得出点C的坐标．【详解】∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠AOC＝120°，∴∠DOC＝120°﹣90°＝30°，∴开始时点C的横坐标为：12OC＝12×2＝1，∵正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，∴每6次翻转为一个循环组循环，∵2020÷6＝336…4，∴为第336循环组的第4次翻转，点C在开始时点E的位置，如图所示：∵A（﹣2，0），∴AB＝2，∴翻转B前进的距离＝2×2020＝4040，∴翻转后点C的横坐标为：4040﹣2＝4038，连接CE，过点D作DH⊥CE于H，则CE⊥EF，∠CDH＝∠EDH＝60°，CH＝EH，∴CE＝2CH＝2×CDsin60°＝2×2×33，∴点C的坐标为（4038，3），故答案为：（4038，3【点睛】本题考查了正六边形的性质、坐标与图形、翻转的性质、含30°角直角三角形的性质、三角函数等知识；根据每6次翻转为一个循环组，确定出翻转最后点C所在的位置是解题的关键．17．65°【解析】【分析】连接OAOCOD利用同弧所对的圆心角等于圆周角得2倍求出所求的角即可【详解】解：如图解:连接OAOCOD在圆的内接五边形ABCDE中∠B+∠E=230°∠B=(∠AOD+∠CO解析：65°【解析】【分析】连接OA,OC,OD,利用同弧所对的圆心角等于圆周角得2倍求出所求的角即可.【详解】 解：如图解:连接OA,OC,OD,Q 在圆的内接五边形ABCDE 中, ∠B+∠E=230°,Q ∠B=12(∠AOD+∠COD), ∠E=12(∠AOC+∠COD),（圆周角定理） ∴12(∠AOD+∠COD)+ 12(∠AOC+∠COD)= 230°, 即:12（∠AOD+∠COD+∠AOC+∠COD ）= 230°， 可得：∠C0D=o o 2230360⨯-=0100，可得：∠CAD=050,在△ACD 中，AC=AD ，∠CAD=050，可得∠ACD=065,故答案：065.【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦的关系,以及圆周角定理,熟练掌握定 理及法则是解本题的关键.18．-1【解析】试题分析：根据根与系数的关系得出x1+x2=-bax1x2=ca 整理原式即可得出关于a 的方程求出即可试题解析：∵关于x 的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1解析：-1【解析】试题分析：根据根与系数的关系得出x 1+x 2=-，x 1x 2=，整理原式即可得出关于a 的方程求出即可．试题解析：∵关于x 的方程ax 2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2， ∴x 1+x 2=，x 1x 2=，依题意△＞0，即（3a+1）2-8a （a+1）＞0，即a 2-2a+1＞0，（a-1）2＞0，a≠1，∵关于x 的方程ax 2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2，且有x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，∴x1-x1x2+x2=1-a，∴x1+x2-x1x2=1-a，∴-=1-a，解得：a=±1，又a≠1，∴a=-1．考点：1.根与系数的关系；2.根的判别式．19．2π【解析】【分析】【详解】解：∵圆锥的底面圆的半径为1∴圆锥的底面圆的周长=2π×1=2π∴圆锥的侧面积=×2π×2=2π故答案为2π【点睛】本题考查了圆锥的侧面积公式：S=l•R圆锥侧面展开图为解析：2π【解析】【分析】【详解】解：∵圆锥的底面圆的半径为1，∴圆锥的底面圆的周长=2π×1=2π，∴圆锥的侧面积=12×2π×2=2π．故答案为2π．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积公式：S=12l•R．圆锥侧面展开图为扇形，底面圆的周长等于扇形的弧长，母线长为扇形的半径．20．【解析】试题解析：连接OEAE∵点C为OA的中点∴∠CEO=30°∠EOC=60°∴△AEO为等边三角形∴S扇形AOE=∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COD-（S扇形AOE-S△COE）===解析：312π+.【解析】试题解析：连接OE、AE，∵点C为OA的中点，∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，∴△AEO为等边三角形，∴S 扇形AOE =260223603ππ⨯=， ∴S 阴影=S 扇形AOB -S 扇形COD -（S 扇形AOE -S △COE ）=2290290121136036032πππ⨯⨯---⨯（=32432ππ-+=122π+ 三、解答题21．每件衬衫应降价20元.【解析】【分析】利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可.【详解】解：设每件衬衫应降价x 元.根据题意，得 （40-x ）（20+2x ）=1200,整理，得x 2-30x+200=0,解得x 1=10，x 2=20．∵“扩大销售量，减少库存”，∴x 1=10应舍去，∴x=20.答：每件衬衫应降价20元.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键.22．（1）顶点(2,1)-；对称轴：直线2x =；与x 轴交点为（1，0）和（3，0），与y 轴交点为（0，3），图象见解析；（2）12y y >.【解析】【分析】（1）根据二次函数解析式即可确定出顶点坐标、对称轴、与两坐标轴的交点坐标，再在坐标系中画出函数图象即可；（2）根据二次函数的图象解答.【详解】解：（1）二次函数y ＝x 2﹣4x +3＝（x ﹣2）2﹣1，当x =0，y =3，当y =0时，x 2﹣4x +3＝0，解得：11x =，23x =，∴抛物线的顶点为（2，﹣1），对称轴为直线x ＝2，与x 轴交点为（1，0）和（3，0），与y 轴交点为（0，3），画出图象，如图所示：（2）∵当x <1时，y 随x 的增大而减小，∴当121x x <<时，12y y >.【点睛】此题考查了抛物线的图象与性质和二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．23．详见解析【解析】【分析】根据中心对称得出OB=OD ，OA=OC ，求出OF=OE ，根据SAS 推出△DOF ≌△BOE 即可．【详解】证明：∵△ABO 与△CDO 关于O 点中心对称，∴OB=OD ，OA=OC ．∵AF=CE ，∴OF=OE ．∵在△DOF 和△BOE 中，OB OD DOF BOE OF OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DOF ≌△BOE （SAS ）．∴FD=BE ．24．（1）29；（2）2()3n 【解析】【分析】（1）画树状图列出所有等可能结果，从中找到到第二个路口时第一次遇到红灯的结果数，根据概率公式计算可得．（2）根据在第1个路口没有遇到红灯的概率为23，到第2个路口还没有遇到红灯的概率为24293y ⎛⎫== ⎪⎝⎭【详解】解：（1）画出树状图即可得到结果；由树状图知，共有9种等可能结果，其中到第二个路口时第一次遇到红灯的结果数为2， 所以到第二个路口时第一次遇到红灯的概率为29； （2）P （第一个路口没有遇到红灯）=23， P （前两个路口没有遇到红灯）=282()183， 类似地可以得到P （每个路口都没有遇到红灯）＝2()3n ． 故答案为：2()3n 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．25．（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）如图，连接OA ；证明∠OAP=90°，即可解决问题．（2）如图，作辅助线；求出OM=1，OA=2；求出△AOB 、扇形AOB 的面积，即可解决问题．【详解】如图，连接OA ；，；而， ；而， ；，，是的切线．如图，过点O作，则，，，，；，，图中阴影部分的面积．【点睛】本题考查了切线的判定与扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握切线的判定与扇形面积公式.。
北京市海淀区首都师范大学附属中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题(无答案)
首都师大附中2024—2025学年第一学期期中练习初三数学命题人：张彩萍刘宇航审核人：周素裹第Ⅰ卷（共16分）一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．用配方法解方程，下列变形正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，OA 交于点B ，AD 切于点D ，点C 在上．若，则为（）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°4．平移抛物线使其顶点在原点，可以平移的方法是（）A ．向左1个单位B ．向右1个单位C ．向上1个单位D ．向下1个单位5．如图，在正方形ABCD 中，将边BC 绕点B 逆时针旋转至BE ，于F ，若，，则线段BE 的长为（ ）A ．4B ．C ．6D ．6．如图，AB 是的直径，弦AC ，AD 分别是的内接正六边形和内接正方形的一边．若，下2230x x +-=()212x +=-()214x +=()214x +=-()212x +=O O O 40A ∠=︒C ∠()21y x =-BF CE ⊥90CED ∠=︒2DE=O O 1AC =列结论中错误的是（）A ．的直径为2B ．连接OD ，则C ．D ．连接CD ，则7．二次函数自变量和函数值的部分对应值如下表所示．当时，y 的取值范围是，则m 的取值范围是（ ）x...-3-11...y (8)n 8…A ．B ．C ．D ．8．已知内接于，．点A 从圆周上某一点开始沿圆周运动，设点A 运动的路线长为l ，的面积为S ，S 随l 变化的图象如图所示，其中．①点A 在运动的过程中，始终有;②点M；③存在4个点A 的位置，使得．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A ．②B ．①③C ．②③D ．①②③第Ⅱ卷（共84分）二、填空题（共16分，每题2分）9．点关于原点的对称点的坐标是______．10．若关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为______．11．如图，将绕点A 逆时针旋转30°得到，点B 的对应点D 落在边BC 上，的度数为______．O OD AB⊥ 3BD CD =2AC CD=2y ax bx c =++3x m -≤≤8n y ≤≤3m ≥-31m -≤≤1m ≥-11m -≤≤ABC △O 2BC =ABC △21l l -=45BAC ∠=︒1+12S =()6,5-2x k =ABC △ADE △ADE ∠第11题图12．抛物线的顶点为，其部分图象如图所示，若，则x 的取值范围是______．第12题图13．如图，PA ，PB 分别切于点A ，B ．若的半径为1．，则的长度为______．第13题图14．小华利用网络平台帮助家乡小红销售农产品．8月份销售额为1000元，10月份销售额为1210元，求销售额平均每月的增长率．设销售额平均每月的增长率为x ，根据题意，可列方程为______．15．已知的半径为3，线段，若与线段AB 有两个交点，则点O 到直线AB 的距离d 的取值范围是______．16．对于函数（其中h 为常数，）和其图象上的一点．（1）若时，，则的取值范围是______;（2）若时，，则的取值范围是______．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解方程：．18．已知m 是方程的根，求代数式的值．23y ax bx =++()2,A m 3y <O O 60P ∠=︒AB O 2AB =O 22y x hx =+0h <()00,x y 0x x >0y y >0x 02x x >0y y >0x 210x x +-=2310x x -+=()2143m m m --+19．如图，和都是等边三角形，B ，C ，D 共线．求证：．20．已知：如图1，P 为上一点．求作：直线PQ ，使得PQ 与相切．作法：如图2，①连接OP ;②以点P 为圆心，OP 长为半径作弧，与的一个交点为A ，作射线OA ;③以点A 为圆心，OP 长为半径作圆，交射线OA 于点Q （不与点O 重合）；④作直线PQ ．直线PQ 就是所求作的直线．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）：（2）完成下面的证明．证明：连接PA ．由作法可知，∴点P 在以OQ 为直径的上．∴______①______（______②______）（填推理的依据）．∴．又∵OP 是的半径，∴PQ 是的切线（______③______）（填推理的依据）．21．关于x 的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根：（2）若方程有一根为负数，求m 的取值范围．22．如图，已知AB 为半圆O 的直径．弦BC ，AD 相交于点E ．连接AC ，点C 是的中点．若，．ABC △ADE △60ECD ∠=︒O O O AP AO AQ ==A OPQ ∠=OP PQ ⊥O O ()2210x m x m -+++=AD 6OA =30CBA ∠=︒（1）求CE 的长：（2）M 为的中点，点P 在直径AB 上，直接写出的最小值为______．23．已知二次函数的图象经过（0，3），（3，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）一次函数，当时，总有，直接写出k 的取值范围．24．如图，在中，，AB 为的直径．AC 与相交于点D ．过点D 作于点E ，CB 延长线交于点F ．（1）求证：DE 为的切线；（2）若，，求AD 的长．25．为了探究某飞机某次着陆后滑行的距离y （单位：m ）与滑行时间x （单位：s ）之间的关系，测得几组数据如下表：滑行时间x /s024681012滑行距离y /m 0112208288352400432（1）根据上述数据，在平面直角坐标系xOy 中描出表格中对应的点，并判断此次滑行的距离y 与滑行时间x 满足的是______函数关系（填“一次”或“二次”）；（2）求y 与x 的函数关系式；BDDP MP +212y ax x c =++21y kx =+2x >12y y <ABC △AB BC =O O DE BC ⊥O O 3BE =4BF =（3）飞机着陆后滑行______s 能停下来，此时滑行的距离是______m ．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线，点，，是抛物线上不同的三点．（1）若，直接写出a 的值：（2）若对于任意的，都有，求a 的取值范围．27．已知在中，，CD ，BE 分别为AB ，AC 边上的高．（1）如图1，CD ，BE 交于点P ，若，求证：；（2）在线段CD 上取一点P ，使得，连接BP ，EP ．①在图2中补全图形；②用等式表示PB 与PE 之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，的半径为1，MN 为的弦．对于平面内的一点P ，若点P 关于MN 的中点对称的点恰好在内，则称点P 为弦MN 的“内称点”．已知点，，．（1）以下各点中，是弦AB 的“内称点”的是______；①②③④（2）已知点D ，E 在上运动，且，若内的每一个点都能成为某一时刻弦DE 的“内称点”，求a 的取值范围；（3）点P 在上运动，若直线与x ，y 轴的交点所连线段上的每一个点都可以成为某一时刻弦CF 的“内称点”，则b 的取值范围为______．()()20y a x a c a =-+≠()12,A y ()23,B a y ()3,C t y 12y y =21t -<<-321y y y >>ABC △45ACB ∠=︒2CP DB =AD BD =2CP DB =O O O ()0,1A ()1,0B ()1,0C -130,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭211,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭()31,1P 41P ⎛++ ⎝O DE a =O O y x b =+。
2020-2021学年北京师大附中九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年北京师大附中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.抛物线y=2(x+3)2+5的顶点坐标为()A. (3,5)B. (−3,5)C. (−3,−5)D. (3,−5)2.如果a+2bb =52，那么ab的值是()A. 12B. 2 C. 15D. 53.将抛物线y=(x−1)2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位所得抛物线的解析式()A. y=(x−2)2B. y=(x−2)2+6C. y=x2+6D. y=x24.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，则sin B的值等于()A. 34B. 43C. 45D. 355.如图，在△ABC中，DE//BC，分别交AB，AC于点D，E.若AD=1，DB=2，则△ADE的面积与△ABC的面积的比等于()A. 12B. 14C. 18D. 196.如图，点A、B、C、D、E、F、G、H、K都是7×8方格纸中的格点，为使△DEM∽△ABC，则点M应是F、G、H、K四点中的()A. FB. GC. HD. K7.若函数y=x2−4x+m的图象上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，若x1<x2<2，则()A. y1>y2B. y1<y2C. y1=y2D. y1，y2的大小不确定8.如图，点A(t,3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=3，则t的值是()2A. 1B. 1.5C. 2D. 39.已知函数y=(x−a)(x−b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数y=ax+b的图象可能正确的是()A.B.C.D.10.如图，已知矩形ABCD的长AB为5，宽BC为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交CD于点F.设BE=x，FC=y，则点E从点B运动到点C时，能表示y关于x的函数关系的大致图象是()A. B.C. D.二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.关于x的方程3x2−4x−k=0有实数根，则k的取值范围是______ ．12.请写出一个开口向上，且对称轴为直线x=3的二次函数解析式______．13.在△ABC中，若sinA=√32，tanB=√33，则∠C=______ °.14.△ABC顶点的坐标分别为A(1,−1)，B(4,−1)，C(3,−4).以坐标原点O为位似中心，画出放大的△A1B1C1，使得它与△ABC的位似比等于2：1.则点C的对应点C1坐标为______ ．15.廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为y=−140x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是______米．16.一个人由山脚爬到山顶，须先爬倾斜角为30度的山坡300米到达D，再爬倾斜角为60度的山坡200米，求这座山的高度______ (结果保留根号)17.已知点A(0,2)，B(2,0)，点C在y=x2的图象上，若△ABC的面积为2，则这样的C点有______ 个.18.如图，在△ACM中，△ABC、△BDE、△DFG是等边三角形，点E、G在△ACM的边CM上，设△ABC、△BDE、△DFG的面积分别为S1、S2、S3，若S1=8，S3=2，则S2=______ ．三、解答题（本大题共11小题，共66.0分）19.计算：√3cos30°−√2sin45°−(√3−√2)0．20.解方程：x2−4x−1=0．21.二次函数y=−x2+(m−1)x+m的图象与y轴交点坐标是(0,3)．(1)求此二次函数解析式；(2)在图中画出二次函数的图象；(3)当0<x<3时，直接写出y的取值范围．22.已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB，AC上，且∠AED=∠ABC，DE=3，BC=5，AC=12.求AD的长．23.如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB=3√2，AC=5，sinC=3，求BC的长．524.有这样一个问题：探究函数y=(x−1)(x−2)(x−3)的图象与性质．小东对函数y=(x−1)(x−2)(x−3)的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成：(1)函数y=(x−1)(x−2)(x−3)的自变量x的取值范围是全体实数；(2)下表是y与x的几组对应值．x…−2−10123456…y…m−24−600062460…①m=______ ；②若M(−7,−720)，N(n,720)为该函数图象上的两点，则n=______ ；(3)在平面直角坐标系xOy中，A(x A,y A)，B(x B,−y A)为该函数图象上的两点，且A为2≤x≤3范围内的最低点，A点的位置如图所示．①标出点B的位置；②画出函数y=(x−1)(x−2)(x−3)(0≤x≤4)的图象．25.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A与点B，与y轴交于点C(0,−3)，且OB=OC=3OA．(1)求抛物线的解析式；(2)探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．26.定义：对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为2时，称M为PQ的“等高点”，称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”．(1)若P(1,2)，Q(4,2)．,4)，C(0,3)中，PQ的“等高点”是______ ；①在点A(1,0)，B(54②若M(t,0)为PQ的“等高点”，求PQ的“等高距离”的最小值及此时t的值．(2)若P(0,0)，PQ=2，当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q的坐标．27.已知点P(x0,y0)和直线y=kx+b(k≠0,k、b是常数)，则点P到直线y=kx+b的距离证明可用公式d=|Ax0−By0+C|√A2+B2计算．例如：求点P(−1,2)到直线y=3x+7的距离．解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．所以点P(−1,2)到直线y=3x+7的距离为：d=|kx0−y0+b|√1+k2=|3×(−1)−2+7|√1+32=2√10=√105．根据以上材料，解答下列问题：(1)求点P(1,−1)到直线y=x−1的距离；(2)已知直线y=−2x+4与y=−2x−6平行，求这两条直线之间的距离．28.如图1，ABCD是边长为1的正方形，O是对角线BD的中点，Q是边CD上一个动点(点Q不与点C、D重合)，直线AQ与BC的延长线交于点E，AE交BD于点P.设DQ =x ，(1)填空：当x =23时，CE = ______ ；APEQ = ______ ；(2)如图2，直线EO 交AB 于点G ，若BG =y ，求y 关于x 之间的函数关系式； (3)在第(2)小题的条件下，是否存在点Q ，使得PG//BC ？若存在，求x 的值；若不存在，说明理由．29. 如图，已知二次函数y =ax 2+bx +3的图象交x 轴于点A(1,0)，B(3,0)，交y 轴于点C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)将直线BC 向下移动n 个单位(n >0)，若直线与抛物线有交点，求n 的取值范围；(3)直线x =m 分别交直线BC 和抛物线于点M ，N ，当△BMN 是等腰三角形时，直接写出m 的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵抛物线解析式为y=2(x+3)2+5，∴二次函数图象的顶点坐标是(−3,5)．故选：B．因为y=2(x+3)2+5是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出顶点坐标．本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标(对称轴)，最大(最小)值，增减性等．2.【答案】A【解析】解：∵a+2bb =52，∴2a+4b=5b，∴2a=b，∴ab =12．故选：A．根据两内项之积等于两外项之积列式整理即可得解．本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，需熟记．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y=(x−1)2+3向左平移1个单位所得直线解析式为：y=(x−1+1)2+ 3，即y=x2+3；再向下平移3个单位为：y=x2+3−3，即y=x2．4.【答案】C【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=√AC2+BC2=10，∴sinB=ACAB =810=45．故选：C．先根据勾股定理求出AB的长，再运用锐角三角函数的定义解答．本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，比较简单．掌握正弦函数的定义是解题的关键．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据DE//BC，即可证得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解．【解答】解：∵AD=1，DB=2，∴AB=AD+DB=3，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC =(ADAB)2=(13)2=19．故选：D．6.【答案】C本题主要考查相似三角形的判定．由图形可知△ABC的边AB=4，AC=6，DE=2，当△DEM∽△ABC时，AB和DE是对应边，相似比是1：2，则AC的对应边是3，则点M的对应点是H．【解答】解：根据题意，∠A=∠MDE=90°当DE：AB=DM：AC时，△DEM∽△ABC，∵AB=4，AC=6，DE=2∴DM=3∴M应是H故选：C．7.【答案】A【解析】解：∵y=x2−4x+m，∴此函数的对称轴为：x=−b2a =−−42×1=2，∵x1<x2<2，两点都在对称轴左侧，a=1>0，∴对称轴左侧y随x的增大而减小，∴y1>y2．故选：A．根据x1、x2与对称轴的大小关系，判断y1、y2的大小关系．此题主要考查了函数的对称轴求法和二次函数的性质，利用二次函数的增减性解题时，利用对称轴得出是解题关键．8.【答案】C【解析】解：如图：∵点A(t,3)在第一象限，∴AB=3，OB=t，又∵tanα=ABOB =32，∴t=2．根据正切的定义即可求解．本题考查锐角三角函数的定义及运用．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线中自变量x=1及x=−1的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：∵y=(x−a)(x−b)=x2−(a+b)x+ab，∵抛物线的开口向上知a>0，与y轴的交点为在y轴负半轴上，∴ab<0，∵对称轴在y轴的左侧，二次项系数>0，∴−(a+b)>0．∴a+b<0，∵a>b，∴a>0，b<0，∴y=ax+b的图象是D选项，故选D．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键．利用三角形相似求出y关于x的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解．【解答】解：∵BC=4，BE=x，∴CE=4−x．∵AE⊥EF，∴∠AEB+∠CEF=90°，∴∠AEB=∠CFE．又∵∠B=∠C=90°，∴Rt△AEB∽Rt△EFC，∴ABCE =BECF，即54−x =xy，整理得：y=15(4x−x2)=−15(x−2)2+45∴y与x的函数关系式为：y=−15(x−2)2+45(0≤x≤4)由关系式可知，函数图象为一段抛物线，开口向下，顶点坐标为(2,45)，对称轴为直线x=2．故选A．11.【答案】k≥−43【解析】解：根据题意得△=(−4)2−4×3×(−k)≥0，解得k≥−43．所以k的取值范围是k≥−43．故答案为k≥−43．根据△的意义得到△=(−4)2−4×3×(−k)≥0，然后解不等式得到k的取值范围．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．12.【答案】y=x2−6x+6【解析】【分析】此题考查了二次函数的性质，抛物线的对称轴、开口方向与抛物线顶点式的关系：顶点式y=a(x−ℎ)2+k，顶点坐标是(ℎ,k)，对称轴是x=ℎ.a>0时，开口向上，a<0时，坐标可任意选择一个数，由顶点式写出二次函数解析式．【解答】解：依题意取a =1，顶点坐标(3,−3)，由顶点式得y =(x −3)2−3．即y =x 2−6x +6．故答案为：y =x 2−6x +6(答案不唯一)．13.【答案】90【解析】解：∵sinA =√32，tanB =√33， ∴∠A =60°，∠B =30°，∴∠C =180°−60°−30°=90°．故答案为：90．根据特殊角的三角函数值求出∠A 和∠B 的度数，然后求出∠C 的度数．本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．14.【答案】(6,−8)或(−6,8)【解析】解：以坐标原点O 为位似中心，放大的△A 1B 1C 1，它与△ABC 的位似比等于2：1，点C 的坐标为(3,−4)，∴点C 的对应点C 1坐标为(3×2,−4×2)或(−3×2,4×2)，即(6,−8)或(−6,8)， 故答案为：(6,−8)或(−6,8)．根据位似变换的性质计算即可．本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或−k ．15.【答案】8√5【解析】解：令y =8，即y =−140x 2+10=8，解得：x =±4√5，∴则EF =4√5−(−4√5)=8√5．本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，解题的关键是弄懂题意，该题比较简单．16.【答案】(150+100√3) 【解析】解：过D 作DF ⊥AC ．在Rt △ADF 中，易得：CE =DF =AD ×sin30°=150米，在Rt △BDE 中，易得：BE =BD ×sin60°=100√3米，故山高BC =CE +BE =(150+100√3)米．故答案为：(150+100√3).在RT △ADF 中，利用30°角和AD ，求出DF 即CE ；在RT △BDE 中，利用60°角和BD ，求出BE ；最后求CE 和BE 的和即可．考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，本题要求学生借助俯角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．17.【答案】4【解析】解：如图，∵点A(0,2)，B(2,0)，∴直线AB 为y =−x +2，AB =√22+22=2√2，设C 点到直线AB 的距离为h ，∵△ABC 的面积为2，∴12AB ⋅ℎ=2，即12×2√2⋅ℎ=2， ∴ℎ=√2，∵直线y =x 与直线AB 垂直，∴直线AB 沿直线y =x 向上或向下平移√2个单位得到直线y =−x +4或y =−x ，由{y =−x +4y =x2消去y 得到x 2+x −4=0， ∵△=12−4×(−4)=17>0，∴方程有两个不相等的根，由{y =−x y =x 2消去y 得到x 2+x =0，∴方程有两个不相等的根，∴函数y=x2的图象上存在4个点(如上面图中四个点C1，C2，C3，C4)使得△ABC的面积为2，故答案为4．根据三角形面积公式求得C到直线AB的距离为√2，即可求得C在直线AB沿直线y=x 的方向平移√2的单位得到的直线上，求得平移好的直线解析式，然后与y=x2联立，消去y得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式即可判断方程的根的情况，进一步得到C点的个数．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，三角形的面积，数形结合是解题的关键．18.【答案】4【解析】解：△ABC、△BDE、△DGF的边长分别是a、b、c，∵△ABC、△BDE是等边三角形，∴∠CBA=∠EBD=60°，∴∠CBE=60°，同理∠EDG=60°，∴∠CBE=∠EDG，∵△BDE、△DGF是等边三角形，∴∠EBD=∠GDF=60°，∴BE//DG，∴∠CEB=∠EGD，∴△CBE∽△EDG，∴a：b=b：c，∴b2=ac，∵S1：S3=(a：c)2=8：2=4：1，∴a：c=2：1，∵S1：S2=(ab )2=a2b2=a2ac=ac=21，∴S2=12S1=4．先设△ABC、△BDE、△DGF的边长分别是a、b、c，由于△ABC、△BDE是等边三角形，易知∠ABC=60°，∠EBD=60°，结合平角定义可求∠CBE=60°，同理可求∠EDG= 60°，那么∠CBE=∠EDG，由于△BDE、△DGF是等边三角形，那么∠EBD=∠GDF=60°，从而有BE//DG，于是∠CEB=∠EGD，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△CBE∽△EDG，可得比例关系：a：b=b：c，即b2=ac，再根据S1：S3的值得a：c=3：1，结合S1：S2的值进而可求S2．本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明△CBE∽△EDG，得出b2=ac．19.【答案】解：原式=√3×√32−√2×√22−1=32−1−1=−12．【解析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再算乘法，后算加减即可．此题主要考查了实数运算，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．20.【答案】解：∵x2−4x−1=0，∴x2−4x=1，∴x2−4x+4=1+4，∴(x−2)2=5，∴x=2±√5，∴x1=2+√5，x2=2−√5．【解析】配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．21.【答案】解：(1)把(0,3)代入y=−x2+(m−1)x+m得m=3，∴抛物线解析式为y=−x2+2x+3；∴抛物线与x轴的交点坐标为(−1,0)，(3,0)，∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，∴抛物线的顶点坐标为(1,4)，如图，(3)当0<x<3时，y的取值范围为0<y≤4．【解析】(1)把已知点的坐标代入解析式求出m即可；(2)先解方程−x2+2x+3=0得抛物线与x轴的交点坐标为(−1,0)，(3,0)，再配方得到抛物线的顶点坐标，然后利用描点法画函数图象；(3)结合函数图象，利用二次函数的性质求解．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，也考查了二次函数的性质．22.【答案】解：∵∠AED=∠ABC，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，∴ADAC =DEBC，∵DE=3，BC=5，AC=12，∴AD12=35．∴AD=365．【解析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．23.【答案】解：作AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵AC=5，sinC=3，5∴AD=AC⋅sinC=3．∴在Rt△ACD中，CD=√AC2−AD2=4．∵AB=3√2，∴在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD2=3．∴BC=BD+CD=7．【解析】作AD⊥BC，在△ACD中求得AD=ACsinC=3、CD=√AC2−AD2=4，再在△ABD中根据AB=3√2、AD=3求得BD=3，继而根据BC=BD+CD可得答案．本题主要考查解直角三角形，解题的关键是根据题意构建合适的直角三角形及三角函数的定义．24.【答案】(2)①−60；②11(3)①作点A关于点(2,0)的对称点B1，再在函数图象上找与点B1纵坐标相等的B2点．②根据表格描点、连线，画出图形如图所示．【解析】解：(2)①当x=−2时，y=(x−1)(x−2)(x−3)=−60．故答案为：−60．②观察表格中的数据可得出函数图象关于点(2,0)中心对称，∴−7+n=2×2，解得：n=11．故答案为：11．(3)见答案(2)①把x =−2代入函数解析式可求得m 的值；②观察给定表格中的数据可发现函数图象上的点关于点(2,0)对称，再根据点M 、N 的坐标即可求出n 值；(3)①找出点A 关于点(2,0)对称的点B 1，再找出与点B 1纵坐标相等的B 2点； ②根据表格描点、连线即可得出函数图象．本题考查了多次函数的图象与性质，根据给定表格找出函数图象关于点(2,0)中心对称是解题的关键．25.【答案】解：(1)∴抛物线y =ax 2+bx +c 与y 轴交于点C(0,−3)，则c =−3，∴OB =OC =3OA =3，∴A(−1,0)，B(3,0)，代入y =ax 2+bx −3， 得{a −b −3=09a +3b −3=0，解得{a =1b =−2，∴y =x 2−2x −3；(2)如图，①当∠P 1AC =90°时，∵∠P 1AO +∠OAC =90°，∠OAC +∠ACO =90°， ∴∠P 1AO =∠AOC ， ∵∠P 1AC =∠AOC =90°， ∴△P 1AO∽△ACO ，∴Rt △P 1AO 中，tan∠P 1AO =tan∠ACO =13，∴P 1(0,13).②同理：如图当∠P 2CA =90°时，P 2(9,0)，③当∠CP 3A =90°时，此时点O 与点P 3重合，故点P 3(0,0)，综上，坐标轴上存在三个点P ，使得以点P ，A ，C 为顶点的三角形为直角三角形，分别是P 1(0,13)，P 2(9,0)，P 3(0,0)．【解析】(1)易得点C 坐标，根据OB =OC =3OA 可得点A ，B 坐标．代入二次函数解析式即可．(2)点P ，A ，C 为顶点的三角形为直角三角形，那么应分点P ，A ，C 三个顶点为直角顶点三种情况进行探讨．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．26.【答案】A ，B【解析】解：(1)①∵P(1,2)，Q(4,2)，∴在点A(1,0)，B(54,4)，C(0,3)中，点A(1,0)，B(54,4)到PQ 的距离为2， ∴PQ 的“等高点”是A ，B ； 故答案为：A ，B ；②如图1，作点P 关于x 轴的对称点P′，连接P′Q ，P′Q 与x 轴的交点即为“等高点”M ，此时“等高距离”最小，最小值为线段P′Q 的长， ∵P (1,2)， ∴P′(1,−2)，设直线P′Q 的表达式为y =kx +b ，根据题意，有{k +b =−24k +b =2，解得：{k =43b =−103， ∴直线P′Q 的表达式为y =43x −103，当y=0时，解得x=5，2即t=5，2∵P′(1,−2)，Q(4,2)，∴PQ=√(4−1)2+(2+2)2=5，∴PQ的“等高距离”的最小值为5；(2)如图2，过PQ的“等高点”M作MN⊥PQ于点N，∴PQ=2，MN=2．设PN=x，则NQ=2−x，在Rt△MNP和Rt△MNQ中，由勾股定理得：MP2=22+x2=4+x2，MQ2=22+(2−x)2=x2−4x+8，∴MP2+MQ2=2x2−4x+12=2(x−1)2+10，∵MP2+MQ2≤(MP+MQ)2，∴当MP2+MQ2最小时MP+MQ也最小，此时x=1，即PN=NQ，∴△MPQ为等腰三角形，∴MP=MQ=√22+12=√5，如图3，设Q坐标为(x,y)，过点Q作QE⊥y轴于点E，则在Rt △OEQ 和Rt △MEQ 中，由勾股定理得：QE 2=QP 2−OE 2=22−y 2=4−y 2，EQ 2=MQ 2−ME 2=(√5)2−(√5−y)2=−y 2+2√5y ，∴4−y 2=−y 2+2√5y ， 解得y =2√55，∴QE 2=4−y 2=4−(2√55)2=165，当点Q 在第一象限时，x =4√55，当点Q 在第二象限时，x =−4√55， ∴Q(4√55,2√55)或(−4√55,2√55). (1)①根据“等高点”的概念解答即可；②先确定出点P 关于x 轴的对称点P′，再根据轴对称的最短路径的求法即可确定最小距离；(2)先证明“等高距离”最小时△MPQ 为等腰三角形，再利用勾股定理求出点Q 坐标即可．本题是一次函数的综合题，考查了对新定义：“等高点”，“等高距离”的理解和运用，在(1)①中理解等高点和等高距离的概念即可，在②中确定出P 关于x 轴的对称点P′的位置是解决本题的关键，在(2)中利用勾股定理和最短路径问题是解题的关键，综合性较强，难度适中．27.【答案】解：(1)∵直线y =x −1，其中k =1，b =−1，∴点P(1,−1)到直线y =x −1的距离为d =00√1+k 2=√1+12=√22； (2)当x =0时，y =−2x +4=4，∴点(0,4)在直线y =−2x +4上， ∵点(0,4)到直线y =−2x −6的距离为d =00√1+k 2=√1+(−2)2=2√5，∵直线y =−2x +4与y =−2x −6平行， ∴这两条直线之间的距离为2√5．【解析】(1)根据点到直线的距离公式计算即可；(2)在直线y =3x +3上取一点(0,3)，根据点到直线的距离公式可知：点(0,3)到直线y =3x +6的距离d ，利用平行线的性质即可解决问题；本题考查了一次函数的点与直线之间的距离公式的运用，由函数的解析式求点的坐标的运用，平行线的性质的运用，解答时掌握点到直线的距离公式是关键．28.【答案】12 65【解析】解：(1)∵ABCD 是边长为1的正方形， ∴AD//BE ， ∴AD CE=DQ QC=QA QE ，AD BE=APPE ，∵AD =BC =DC =1，DQ =23， ∴QC =13，即1CE =2313，∴CE =12，AQ QE =21， ∴BE =32，QE =13AE ，∴132=APPE ，即AP PE=23，∴AP =25AE ， ∴APEQ =2AE 513AE =65，故答案为12，65；(2)过O 作OM ⊥AB 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，∵O 是正方形的中心， ∴OM =MB =BN =ON =12，∵AD CE=DQQC，即1CE =x1−x ， ∴CE =1−x x，∴BE =BC +EC =1x ， ∵OM//BE ， ∴△GMO∽△GBE ， ∴GM GB=OM BE ，即y−12y=121x，∴y =12−x ①；(3)存在，理由： ∵PG//BC ，AG BG=AP PE=AD BE，∵AG =1−y ，GB =y ，AD =1，BE =1x ， ∴1−y y=11x，整理得：y =1x+1②，联立①②并解得x =12， 所以当x =12时，使得PG//BC ．(1)先根据平行线分相等成比例定理得出ADCE =DQ QC=QA QE ，AD BE=APPE ，然后根据已知条件求得CE =12，进而求得QE =13AE ，进而求解；(2)过O 作OM ⊥AB ，ON ⊥BC ，根据平行线分相等成比例定理得出CE =1−x x，进而求得BE =1x ，进而求解；(3)根据PG//BC 求得AG BG =AP PE =AD BE ，根据对应边成比例得出y =1x+1，再根据(2)中求得的解析式解方程组，即可求得．本题为四边形综合题，主要考查了三角形相似的判定和性质、平行线分相等定理的应用、正方形的性质等，找出对应线段之间的关系是本题的关键．29.【答案】解：(1)将A(1,0)，B(3,0)代入函数解析式，得{a +b +3=09a +3b +3=0，解得{a =1b =−4，∴这个二次函数的表达式是y =x 2−4x +3①；(2)由抛物线的表达式知，点C(0,3)，设直线BC 的表达式为y =mx +t ，则{t =30=3m +t ，解得{m =−1t =3，故直线BC 的表达式为y =−x +3，直线BC 平移后的表达式为y =−x +3−n②， 联立①②并整理得：x 2−3x +n =0， 则△=9−4n ≥0，解得n ≤94， 故0<n ≤94；(3)设：M(m,−m +3)，N(m,m 2−4m +3)，点B(3,0)，则MN =|m 2−4m +3+m −3|=|m 2−3m|，BM =√(3−m)2+(3−m)2=√2|m −3|，当MN =BM 时，①m 2−3m =√2(m −3)， 解得m =√2或3(舍去3)， ②m 2−3m =−√2(m −3)，解得m=−√2或3(舍去3)，当BN=MN时，∠NBM=∠BMN=45°，m2−4m+3=0，解得m=1或m=3(舍)，当BM=BN时，∠BMN=∠BNM=45°，则−(m2−4m+3)=−m+3，解得m=2或m=3(舍)，当△BMN是等腰三角形时，m的值为√2，−√2，1，2．【解析】(1)根据待定系数法，可得函数解析式；(2)求出直线BC平移后的表达式为y=−x+3−n，联立①②并整理得：x2−3x+n= 0，由△=9−4n≥0，解得n≤9，即可求解；4(3)根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、直角三角形的性质、图形的平移、根的判别式的运用等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．。
北京师范大学附属实验中学2020-2021学年九年级上学期开学摸底测试数学试题(解析版)
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．
故选D．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
A.2B.3C.2.5D.4
【答案】B【解析】
【分析】根据中位数的计算方法计算即可；
【详解】把数据从小到大排序为2，2，3，4，5，
所以中位数是3．
【点睛】本题主要考查了中位数的计算，准确计算是解题的关键．
4.如图， 中， ， ， ，则 的长为（）
A.2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理计算即可；
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.若关于 一元二次方程 的一根为1，则 的值是________．
【答案】1
【解析】
【分析】把方程的根代入方程可以求出字母系数的值．
【详解】解：把x=1代入方程有：1＋m−2m＝0
m＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值．
【详解】解：A、 属于最简二次根式，符合题意；
B、 属于三次根式，不合题意；
C、 ＝|x|，不属于最简二次根式，不合题意；
D、 ＝3，不属于最简二次根式，不合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方x（x−4）+2（x−4）＝0，
（x−4）（x+2）＝0，
(精编)北京教院附中初三数学期中试卷2020-2021上
公众号：惟微小筑北京教育学院附属中学2021 -2021学年度 第|一学期初三年级|数学期中试卷 2021.11试卷共五道大题 ,33道小题 ,总分值120分 ,考试时间120分钟 .一、选择题 (此题共30分 ,每题3分 .下面各题均有四个选项 ,其中只有一个．．是符合题意的． )1．二次函数223y x x =-+的对称轴为 ( )A ． 2x =-B ．2x =C ．1x =D ．1x =-2．如图 ,ABC △内接于O ⊙ ,假设30OAB ∠=° , 那么C ∠的大小为 ( ) A ．30︒ B ．45︒ C ．60° D ．︒903. 以下说法正确的个数有 ( )① 平分弦的直径垂直于弦; ② 三点确定一个圆; ③ 等腰三角形的外心一定在它的内部; ④ 同圆中等弦对等弧A.0个B. 1个C. 2个D. 3个4．某汽车销售公司2007年盈利1500万元 , 2021年盈利2160万元 ,且从2007 年到2021年 ,每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x ,根据题意 ,下面所列方程正确的选项是 ( )．A ．21500(1)2160x += B ． 2150015002160x x +=C ．215002160x = D ． 21500(1)1500(1)2160x x +++=5．如果两圆半径分别为5和8 ,圆心距为3 ,那么这两个圆的位置关系是 ( ) A ．外离 B ．外切 C ． 相交 D ．内切6．在△ABC 中 ,O 为外心 ,∠A =92° ,那么∠BOC 的度数为： ( ) A ．88° B. 92° C. 184° D. 176°7.将二次函数22y x =的图像先向右平移1个单位 ,再向上平移3个单位后所得到的图像的解析式为 ( )A ．22(1)3y x =-- B ．22(1)3y x =-+C ．22(1)3y x =+-D ．22(1)3y x =++8．抛物线1C ：21y x =+与抛物线2C 关于x 轴对称 ,那么抛物线2C 的解析式为 ( ) A. 2y x =- B. 21y x =-+ C. 21y x =- D. 21y x =-- 9．二次函数22(21)1y m x m x =+++ 的图像与x 轴有两个交点 ,那么m 的取值范围是 ( ) A ．14m >-B ．14m ≥-C ．14m >-且0m ≠D ．14m ≥-且0m ≠ 10. 如图为二次函数2y ax bx c =++的图象 ,此图象与x 轴的交点坐标分别为 (1,0- )、 (3 ,0 ).以下说法正确的个数是( )①0ac < ②0a b c ++>③方程20ax bx c ++=的根为11x =- ,23x =④当1x >时 ,y 随着x 的增大而增大A.1B. 2C.3D.4二、 填空题 (此题每空2分 ,共26分 ) 11．一元二次方程220x x -=的解是 .12． 圆内接四边形ABCD 中 ,∠A ,∠B ,∠C 的度数比为3：2：7 ,那么∠D 的度数为 .13．关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0 ,那么a 的值为 ． 14．圆锥的母线长为3 ,底面半径为2 ,那么它的侧面积为 ．班 级|： 姓名： 学号：密封装订线C O BAMFEA C15. 半径为5cm 的圆中有两条平行弦 ,长度分别为6cm 和8cm ,那么这两条弦的距离为 .16．抛物线22(3)5y x =--+的顶点坐标是 ,在对称轴左侧 ,y 随x 的增大而 .17．边长为a 的正三角形的外接圆的半径为 ．18．如图 ,PA,PB,分别切⊙O 于点A,B,∠P =70° ,∠C 等于 .19．如图 ,AB 为⊙O 直径 ,CD 为⊙O 的弦 ,∠ACD =28° ,那么∠BAD 的度数为 .OAPBC第18题 20. 如图 ,□ABCD 中 ,BC =4 ,BC 边上高为3 ,M 为BC 中点 ,假设分别以B 、C 为圆心 ,BM 长为半径画弧 ,交AB 、CD 于E 、F 两点 ,那么图中阴影局部面积是________.21.二次函数223y x =的图象如下图 ,点A 0位于坐标原点 ,点1232008,,,,A A A A ⋅⋅⋅在y 轴的正半轴上 ,点1232008,,,,B B B B ⋅⋅⋅在二次函数223y x =位于第|一象限的图象上 ,假设△A 0B 1C 1 ,△A 1B 2C 2 ,△A 2B 3C 3 ,…△A 2007B 2008C 2021都为正三角形 ,那么△011A B A 的边长 = , △200720082008A B A 的边长 = .第20题 第21题三、解答题 (此题共30分 ,每题5分 )22．解方程：23620x x --= 23．解方程：245x x +=24.：不在同一直线上的三个点A ,B ,C.求作：⊙O ,使它经过点A ,B ,C. A ·请保存作图痕迹 ,不写作法 . ·CB ·班级|： 姓名： 学号：密封装订线O DC第19题12345-1-2-3-4-5-1-2-3-4-512345xyO 25．：如图 ,△ABC 的外接圆⊙O 的直径为4 ,∠A =30° ,求BC 的长. 解：26. 抛物线 2y ax bx c =++ 经过点034310A B C （，）、（，）、（，）. (1 )填空：抛物线的对称轴为直线x = ,抛物线与x 轴的另一个交点D 的坐标为 ；(2 )求该抛物线的解析式. 27．如图 ,等腰三角形ABC 中 ,AC =BC ,以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ,交AC 于点G , DF ⊥AC ,垂足为F ,交CB 的延长线于点E ． 求证：直线EF 是⊙O 的切线；四、解答题 (此题共15分 ,每题5分 )28.：232x x += ,求代数式2(2)(10)5x x x -++-的值.29．二次函数243y x x =++(1 )用配方法将243y x x =++化成2()y a x h k =-+的形式；(2 )在平面直角坐标系中 ,画出这个二次函数的图象； (3 )写出当x 为何值时 ,y >0．30. 某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现 ,每月销售量y (件 )与销售单价x (元 )之间的关系可近似的看作一次函数：10500y x =-+．(1 )设李明每月获得利润为w (元 ) (2050)x ≤≤ ,当销售单价定为多少元时 ,每月可获得最|大利润 ?班级|： 姓名： 学号：密封装订线(2 )如果李明想要每月获得2000元的利润 ,并且又要减少库存 ,那么销售单价应定为多 少元 ?五、解答题 (此题共19分 ,第31题6分 ,第32题6分 ,第33题7分 ) 31.如图 ,AB 为⊙O 的直径 ,CD 是弦 ,且AB ⊥CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ．(1 )求证：∠ACO =∠BCD ．(2 )假设EB =8cm ,CD =24cm ,求⊙O 的直径．32．抛物线C 1：22(24)10y x m x m =-++-的顶点A 到y 轴的距离为3 , 与x 轴交于C 、D 两点.(1 )求顶点A 的坐标；(2 )假设点B 在抛物线C 1上 ,且BCD S ∆=求点B 的坐标.33. 抛物线y =x 2＋kx ＋k －2.(1 )求证：不管k 为任何实数 ,抛物线与x 轴总有两个交点； (2 )假设反比例函数m y x =的图象与6y x=-的图象关于y 轴对称 ,又与抛物线交于点 A (n , －3) ,求抛物线的解析式；(3 )假设点P 是(2)中抛物线上的一点 ,且点P 到两坐标轴的距离相等 ,求点P 的坐标.密封装订线班级|： 姓名： 学号：OE DCBA北京教育学院附属中学2021 -2021学年度第|一学期初三年级|数学期中试卷一、选择题 (此题共30分 ,每题3分 .下面各题均有四个选项 ,其中只有一个．．是符合题意的． )C C A AD D B D C C 二、填空题 (此题每空2分 ,共26分 )11．0,2 12. 144︒13． -1 14． 6π 15．1cm,7cm16．(3,5) 增大 17.18. 55︒ 19. 62︒ 20. 122π- 21.1,2021 三、解答题 (此题共30分 ,每题5分 )22． 13±23.1, -5 24.略 25.BC =2 26.(1) 2x =,(3,0) (2) 243y x x =-+ 27.连接半径证垂直四、解答题 (此题共15分 ,每题5分 )28．3 29.(1) 2(2)1y x =+- (2) 略 (3) 1,3x x >-<- 30.(1) 2(20)1070010000W x y x x =-=-+- 35x = (2)40舍 ,30 五、解答题 (此题共19分 ,第31题6分 ,第32题6分 ,第33题7分 )31．(1)略(2)26cm 32.(1)(3, -18) (2) (1,2)(7,2)(32)---± 33. (1)2(2)4k ∆=-+ (2) 26,2,5,53m n k y x x ==-==++(3) (1,1)(3,3)(33-----+---+。
北京市海淀区首都师范大学附属育新学校2020-2021学年九年级上学期12月月考数学试卷带讲解
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，掌握知识点是解题关键．
13.下列图形一定不是中心对称图形的是（ ）
A. 正六边形B. 线段
C. 圆D. 抛物线
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的定义即可得．
故③正确；
④若点(x1，y1)，(x2，y2)在对称轴右侧时，
函数y随x增大而减小
即若x1＜x2，则y1＞y2
故④错误；
故选C.
【点睛】此题考查的是二次函数图像及性质，掌握二次函数图像及性质和各系数之间的关系是解决此题的关键.
10.在平面直角坐标系中，将抛物线 向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，得到抛物线（）
故
∵2tan∠QPO为大于0的常数，
故上述函数为开口向上的抛物线，且x=a时，y取得最大值0，
故选：C．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
7.函数 的自变量 的取值范围为全体实数，其中 部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：
①函数图象关于 轴对称；
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【分析】根据二次函数图像与b2－4ac的关系、对称轴公式、点的坐标及增减性逐一判断即可.
【详解】解：①由图可知，将抛物线补全，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点
∴b2－4ac＞0
∴4ac－b2＜0，故①正确；
②∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1
A.1B.2C.4D.3
2020-2021北京师范大学第一附属中学初三数学上期中一模试卷带答案
2020-2021北京师范大学第一附属中学初三数学上期中一模试卷带答案一、选择题1．若二次函数2y x bx =+的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程25x bx +=的解为（ ）．A ．10x =，24x =B ．11x =，25x =C ．11x =，25x =-D ．11x =-，25x =2．如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( )A ．68°B ．20°C ．28°D ．22°3．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上的一点，过点C 作⊙O 的切线，交直径AB 的延长线于点D ，若∠A =25°，则∠D 的度数是（ ）A ．25°B ．40°C ．50°D ．65°4．下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．用配方法解方程210x x +-=，配方后所得方程是（ ）A ．213()24x -= B ．213()24x += C ．215()24x += D ．215()24x -= 7．若α，β是一元二次方程x 2﹣x ﹣2018＝0的两个实数根，则α2﹣3α﹣2β+3的值为（ ）A ．2020B ．2019C ．2018D ．20178．已知关于x 的方程()211230mm x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．±1 D ．29．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形 （忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB 的面积为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 10．如图，△ABC 绕点A 旋转一定角度后得到△ADE，若BC=4，AC=3，则下列说法正确的是（ ）A ．DE=3B ．AE=4C ．∠ACB 是旋转角D ．∠CAE 是旋转角 11．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个12．如图，圆锥的底面半径r 为6cm ，高h 为8cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A ．30πcm 2B ．48πcm 2C ．60πcm 2D ．80πcm 2二、填空题13．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB =90°，∠ACB 的角平分线交⊙O 于D ．若AC =6，BD =52，则BC 的长为_____．14．已知一元二次方程x 2＋kx －3＝0有一个根为1，则k 的值为__________．15．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图11所示，且P ＝|2a ＋b|＋|3b －2c|，Q ＝|2a －b|－|3b ＋2c|，则P ，Q 的大小关系是______．16．如图，若以平行四边形一边AB 为直径的圆恰好与对边CD 相切于点D ，则∠C=_______度．17．一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为_____．18．圆锥的底面半径为3，母线长为5，该圆锥的侧面积为_______．19．一元二次方程()22x x x -=-的根是_____.20．已知圆锥的母线长为5cm ，高为4cm ，则该圆锥的侧面积为_____ cm ²（结果保留π）．三、解答题21．若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +a ﹣2＝0有实数根．（1）求a 的取值范围；（2）当a 为符合条件的最大整数，求此时方程的解．22．已知在△ABC 中，∠B=90o ，以AB 上的一点O 为圆心，以OA 为半径的圆交AC 于点D ，交AB 于点E ．（1）求证：AC·AD=AB·AE ； （2）如果BD 是⊙O 的切线，D 是切点，E 是OB 的中点，当BC=2时，求AC 的长．23．如图，AB 是O e 的直径，点C D 、在O e 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作O e 的切线，分别交OA 的延长线与OC 的延长线于点E F 、，连接BF 。
2020-2021北京师范大学第一附属中学初三数学上期中一模试卷带答案
2020-2021北京师范大学第一附属中学初三数学上期中一模试卷带答案一、选择题1．若二次函数2y x bx =+的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程25x bx +=的解为（ ）．A ．10x =，24x =B ．11x =，25x =C ．11x =，25x =-D ．11x =-，25x =2．如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( )A ．68°B ．20°C ．28°D ．22°3．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上的一点，过点C 作⊙O 的切线，交直径AB 的延长线于点D ，若∠A =25°，则∠D 的度数是（ ）A ．25°B ．40°C ．50°D ．65°4．下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．用配方法解方程210x x +-=，配方后所得方程是（ ）A ．213()24x -= B ．213()24x += C ．215()24x += D ．215()24x -= 7．若α，β是一元二次方程x 2﹣x ﹣2018＝0的两个实数根，则α2﹣3α﹣2β+3的值为（ ）A ．2020B ．2019C ．2018D ．20178．已知关于x 的方程()211230mm x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．±1 D ．29．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形 （忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB 的面积为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 10．如图，△ABC 绕点A 旋转一定角度后得到△ADE，若BC=4，AC=3，则下列说法正确的是（ ）A ．DE=3B ．AE=4C ．∠ACB 是旋转角D ．∠CAE 是旋转角 11．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个12．如图，圆锥的底面半径r 为6cm ，高h 为8cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A ．30πcm 2B ．48πcm 2C ．60πcm 2D ．80πcm 2二、填空题13．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB =90°，∠ACB 的角平分线交⊙O 于D ．若AC =6，BD =52，则BC 的长为_____．14．已知一元二次方程x 2＋kx －3＝0有一个根为1，则k 的值为__________．15．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图11所示，且P ＝|2a ＋b|＋|3b －2c|，Q ＝|2a －b|－|3b ＋2c|，则P ，Q 的大小关系是______．16．如图，若以平行四边形一边AB 为直径的圆恰好与对边CD 相切于点D ，则∠C=_______度．17．一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为_____．18．圆锥的底面半径为3，母线长为5，该圆锥的侧面积为_______．19．一元二次方程()22x x x -=-的根是_____.20．已知圆锥的母线长为5cm ，高为4cm ，则该圆锥的侧面积为_____ cm ²（结果保留π）．三、解答题21．若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +a ﹣2＝0有实数根．（1）求a 的取值范围；（2）当a 为符合条件的最大整数，求此时方程的解．22．已知在△ABC 中，∠B=90o ，以AB 上的一点O 为圆心，以OA 为半径的圆交AC 于点D ，交AB 于点E ．（1）求证：AC·AD=AB·AE ； （2）如果BD 是⊙O 的切线，D 是切点，E 是OB 的中点，当BC=2时，求AC 的长．23．如图，AB 是O e 的直径，点C D 、在O e 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作O e 的切线，分别交OA 的延长线与OC 的延长线于点E F 、，连接BF 。
北京市大兴区首都师范大学大兴附属中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题
北京市大兴区首都师范大学大兴附属中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．抛物线2(1)2y x =-+的对称轴是 （ ） A ．直线x ＝－1B ．直线x ＝1C ．直线x ＝－2D ．直线x ＝22．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．若将抛物线y=5x 2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ） A ．y=5（x ﹣2）2+1B ．y=5（x+2）2+1C ．y=5（x ﹣2）2﹣1D ．y=5（x+2）2﹣14．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，根据图象可得a ，b ，c 与0的大小关系是（ ）A ．a ＞0，b ＜0，c ＜0B ．a ＞0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＜0，c ＜0D ．a ＜0，b ＞0，c ＜05．如图，在O 中，AB 为O 的直径，C 为圆上一点，若∠CAB =23°，则∠ABC 的度数为（ ）A ．23°B ．46°C ．57°D ．67°6．如图，在△ABC 中，∠B=40°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转，得到△ADE ，点D 恰好落在直线BC 上，则旋转角的度数为( )A ．70°B ．80°C ．90°D ．100°7．已知一次函数()10y kx m k =+≠和二次函数()220y ax bx c a =++≠部分自变量和对应的函数值如表：当y 2＞y 1时，自变量x 的取值范围是 A ．-1＜x ＜2B ．4＜x ＜5C ．x ＜-1或x ＞5D ．x ＜-1或x ＞48．如图，点A ，B ，C ，D ，E 为⊙O 的五等分点，动点M 从圆心O 出发，沿线段OA →劣弧AC →线段CO 的路线做匀速运动，设运动的时间为t ，∠DME 的度数为y ，则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰当的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（0，1）的抛物线的解析式 . 10．半径为3cm ，圆心角为120°的扇形的弧长为_____．11．点A(−3,y 1)，B(2,y 2)在抛物线y =x 2−2x 上，则y 1___y 2.（填“＞”“＜”或“＝”）12．如图，抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()()2,4,1,1A B -，则关于x 的方程20ax bx c --=的解为________．13．如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ACB =90°，∠A =25°，过点C 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点D ，则∠D 的度数是______．14．如图，⊙O 是等边△ABC 的外接圆，其半径为3. 图中阴影部分的面积是______.15．如图，在平面直角坐标系中，过格点A 、B 、C 作以圆弧，则圆心的坐标是________.16．已知抛物线221y x x =--，点P 是抛物线上一动点，以点P 为圆心，2个单位长度为半径作⊙P . 当⊙P 与x 轴相切时，点P 的坐标为________.三、解答题17．已知抛物线的顶点坐标为（3，-4），且过点（0，5），求抛物线的表达式 . 18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，求BE．19．已知：如图，△ABC内接于⊙O，∠C= 45°，AB=2，求⊙O的半径.20．如图，点D是等边三角形ABC的边BC上一点，以AD为边作等边△ADE，连接CE.△≌△；（1）求证：ABD ACE（2）若∠BAD=20°，求∠AEC的度数.21．如图，点C是半圆O上的一点，AB是⊙O的直径，D是AC的中点，作DE⊥AB 于点E，连接AC交DE于点F，求证：AF=DF.下面是小明的做法，请帮他补充完整（包括补全图形）解：补全半圆O为完整的⊙O，连接AD，延长DE交⊙O于点H（补全图形）∵D是AC的中点，∴AD CD.∵DE⊥AB，AB是⊙O的直径，∴AD AH =（ ）（填推理依据） ∴AHCD =∴∠ADF =∠F AD （ ）（填推理依据） ∴AF =DF （ ）（填推理依据）22．二次函数图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：（1）m = ；（2）在图中画出这个二次函数的图象；（3）当5y ≥时，x 的取值范围是 ； （4）当41x -＜＜时，y 的取值范围是 .23．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面8m 时，水面宽AB 为12m ．当水面上升6m 时达到警戒水位，此时拱桥内的水面宽度是多少m ？下面给出了解决这个问题的两种方法，请补充完整：方法一：如图1，以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ， 此时点B 的坐标为（ ， ），抛物线的顶点坐标为（ ， ）， 可求这条抛物线所表示的二次函数的解析式为 ． 当y ＝6时，求出此时自变量x 的取值，即可解决这个问题．方法二：如图2，以抛物线顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系xOy，这时这条抛物线所表示的二次函数的解析式为．当y＝时，求出此时自变量x的取值为，即可解决这个问题．24．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD的外角∠DAF的平分线．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若∠D=60°，AD=2，射线CO与AM交于N点，请写出求ON长的思路．25．有这样一个问题：探究函数y的图象与性质．小美根据学习函数的经验，对函数y的图象与性质进行了探究．下面是小美的探究过程，请补充完整：(1)函数y的自变量x的取值范围是；(2)下表是y与x的几组对应值．求m的值；(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；(4)结合函数的图象，写出该函数的一条性质：．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线2212y x ax aa=-+-的对称轴与x轴交于点A.（1）A的坐标为（用含a的代数式表示）；（2）若抛物线与x轴交于P，Q两点，且PQ=2，求抛物线的解析式.（3）点B的坐标为11(0,)4a-，若该抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围.27．△ABC中，∠ABC=45°，AB≠BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D．（1）如图1，作∠ADB的角平分线DF交BE于点F，连接AF．求证：∠FAB=∠FBA；（2）如图2，连接DE，点G与点D关于直线AC对称，连接DG、EG①依据题意补全图形；②用等式表示线段AE、BE、DG之间的数量关系，并加以证明．28．对于平面直角坐标系xOy 中的图形P 和直线AB ，给出如下定义：M 为图形P 上任意一点，N 为直线AB 上任意一点，如果M ，N 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P 和直线AB 之间的“确定距离”，记作d （P ，直线AB ）． 已知A (2，0)，B (0，2)． （1）求d （点O ，直线AB ）；（2）⊙T 的圆心为(,0)T t 半径为1，若d (⊙T ，直线AB )≤1，直接写出t 的取值范围； （3）记函数,(11,0)ykx x k =-≤≤≠的图象为图形Q ．若d (Q ，直线AB )=1，直接写出k 的值．参考答案1．B 【分析】根据题目所给的二次函数的顶点式直接得到函数图象的对称轴． 【详解】解：∵解析式为()212y x =-+， ∴对称轴是直线1x =． 故选：B ． 【点睛】本题考查二次函数的顶点式，解题的关键是根据二次函数的顶点式得到函数图象的性质． 2．A 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；B 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；C 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；D 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误． 故选：A ． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3．A 【解析】试题解析：将抛物线25y x =向右平移2个单位，再向上平移1个单位,得到的抛物线的解析式是()252 1.y x =-+ 故选A.点睛：二次函数图像的平移规律：左加右减，上加下减. 4．D【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由抛物线的开口向下知a ＜0， 与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上， ∴c ＜0， ∵对称轴为x ＝2ba＞0， ∴a 、b 异号，即b ＞0． 故选D ． 【点睛】本题考查了二次函数一般形式y=ax 2+bx+c 中各系数的意义，掌握a ，b ，c 意义是解题关键. 5．D 【分析】根据直径对的圆周角是90°解答即可． 【详解】∵AB 为⊙O 直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠CAB=23°， ∴∠ABC=67°， 故选：D ． 【点睛】此题考查圆周角定理，解题关键是根据圆周角定理中直径所对的圆周角的度数解答． 6．D 【分析】利用旋转的性质得到△ABC ≌△ADE ，根据全等三角形的性质可知AB=AD ，进而得到∠ADB=∠B=40°，再利用三角形内角和定理即可解答. 【详解】∵将△ABC 绕点A 逆时针旋转，得到△ADE∴△ABC≌△ADE∴AB=AD∴∠ADB=∠B=40°∵∠ADB+∠B+∠BAD=180°∴∠BAD=180°-40°-40°=100°故选D【点睛】本题考点涉及旋转的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题关键.7．D【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），-1＜x＜4时，y1＞y2，从而得到当y2＞y1时，自变量x的取值范围．【详解】∵当x=0时，y1=y2=0；当x=4时，y1=y2=5；∴直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），而-1＜x＜4时，y1＞y2，∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＜-1或x＞4．故选D．【点睛】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．8．B【解析】根据题意，分3个阶段；①P在OA之间，∠DME逐渐减小，到A点时，为36°，②P在弧AC之间，∠DME保持36°，大小不变，③P在CO之间，∠DME逐渐增大，到O点时，为72°；又由点P作匀速运动，故①③都是线段；分析可得：B符合3个阶段的描述；故选B．点睛：本题主要考查了函数图象与几何变换，解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段得变化情况，进而综合可得整体得变化情况．9．y＝x2＋1．【解析】此题答案不唯一，只要二次项系数大于0，经过点（0,1）即可，如y＝x2＋1，y＝x2＋2x＋1等．10．2π．【解析】【分析】根据弧长公式计算，得到答案．【详解】＝2π，解：扇形的弧长＝120π×3180故答案为：2π．【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式：l=nπr是解题的关键．18011．＞．【解析】【分析】先化成顶点式，直接将点的坐标代入进行计算，再判断即可．【详解】∵y=x2-2x=（x-1）2-1，将A(−3,y1)，B(2,y2)代入得到：y1=（-3-1）2-1=15，y2=（2-1）2-1=0，y1＞y2故答案为＞．【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特点和二次函数的性质，能把坐标代入抛物线是解此题的关键．12．122,1x x =-=【详解】∵抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()()2,4,1,1A B -，∴方程组2y ax y bx c⎧=⎨=+⎩的解为1124x y =-⎧⎨=⎩，2211x y =⎧⎨=⎩，即关于x 的方程20ax bx c --=的解为122,1x x =-=．13．40°【解析】【分析】根据圆周角定理进行计算即可.【详解】解：如图, 连接OC,因为同弧所对的圆心角是圆周角的2倍,所以∠BOC=2∠A=50°,由于CD 是圆O 的切线, 所以OC ⊥CD. 在△OCD 中, 根据内角和定理可得:∠D=180-∠OCD-∠DOC=180°-90°-50°=40°， 故答案：40°.【点睛】本题主要考查圆中的圆周角定理和三角形的内角和定理.14．3π．【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A=60°，再利用圆周角定理得到∠BOC=120°，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积．【详解】∵△ABC 为等边三角形，∴∠A=60°，∴∠BOC=2∠A=120°，∴图中阴影部分的面积=2 120?•3360=3π．故答案为：3π．【点睛】此题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解题关键在于掌握经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．15．（2，0）．【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．【详解】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，0）．故答案为（2，0）．【点睛】此题考查垂径定理的应用，解题关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分线”．16．（1，-2），（-1，2），（3，2）．【分析】⊙P的半径是2，⊙P与x轴相切，则P的纵坐标是2或-2，代入函数解析式即可求得横坐标．【详解】当y=2时，得：x2-2x-1=2，解得：x=-1或3，则P的坐标是（-1，2）或（3，2）；当y=-2时，x 2-2x-1=-2，∴x=1，则P 的坐标是（1，-2）则P 的坐标是：（1，-2），（-1，2），（3，2），故答案为：（1，-2），（-1，2），（3，2）．【点睛】此题考查切线的性质，抛物线的性质，解一元二次方程，理解当⊙P 的半径是2，⊙P 与x 轴相切，则P 的纵坐标是2或-2是解题关键．17．y=x 2-6x+5【解析】试题分析：由已知条件可设抛物线解析式为顶点式：2()?(0)y a x h k a =-+≠，把已知两点的坐标代入所设解析式列方程组可求出待定系数的值，可得抛物线的解析式.试题解析： 设二次函数的表达式为2()?(0)y a x h k a =-+≠， ∵抛物线的顶点坐标是(3，-4)，∴(3)4y a x =--，又∵抛物线经过点(0,5)∴25(03)4a =--，∴解得：1a =，∴二次函数的表达式为2(3)4y x =--，化为一般式为：265y x x =-+.18．．【分析】连接OC，根据垂径定理得出CE=ED=12CD=3，然后在Rt△OEC中由勾股定理求出OE的长度，最后由BE=OB-OE，即可求出BE的长度．【详解】如图，连接OC．∵弦CD⊥AB于点E，CD=6，∴CE=ED=12CD=3．∵在Rt△OEC中，∠OEC=90°，CE=3，OC=4，∴，∴．【点睛】此题考查垂径定理，勾股定理，解题关键在于熟练的运用垂径定理得出CE、ED的长度．19．【分析】连结OB，OA，根据圆周角定理得出∠BOA=90°，再由勾股定理得出⊙O的半径即可．【详解】连结OB，OA，∵∠BCA=45°，∴∠BOA=90°，∵OB=OA，∴∠OBA=∠OAB=45°，∵AB=2，∴．【点睛】此题考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半是解题关键． 20．（1）见解析；（2）100°．【分析】（1）根据△ADE 与△ABC 都是等边三角形，得到AC=AB ，AE=AD ，∠DAE=∠BAC=60°，从而得到∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD ，即∠CAE=∠BAD ，利用SAS 证得△ABD ≌△ACE ；（2）由△ABD ≌△ACE ，得到∠ACE=∠B=60°，∠BAD=∠CAE=20°，再由三角形内角和为180°即可求出∠AEC 的度数．【详解】（1）证明：∵△ADE 与△ABC 都是等边三角形，∴AC=AB ，AE=AD ，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD ，即∠CAE=∠BAD ，在△CAE 与△BAD 中，AC AB CAE BAD AE AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD ≌△ACE （SAS ）；（2）∵△ABD ≌△ACE ，∴∠ACE=∠B=60°，∠BAD=∠CAE=20°，∴∠AEC=180°-60°-20°=100°．【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质，根据等边三角形中隐含的条件可以得到证明三角形全等的一些条件是解题关键．21．垂径定理，等弧所对的圆周角相等，等角对等边．【分析】利用圆周角定理以及垂径定理证明∠ADF=∠FAD即可解决问题．【详解】补全半圆O为完整的⊙O，连结AD，延长DE交⊙O于点H（补全图形）．∵D是AC的中点，∴AD CD=.∵DE⊥AB，AB是⊙O的直径，∴AD AH=（垂径定理）∴AH CD=∴∠ADF=∠F AD（等弧所对的圆周角相等）∴AF=DF（等角对等边）故答案为：垂径定理，等弧所对的圆周角相等，等角对等边．【点睛】此题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理，等角对等边，解题关键是学会添加常用辅助线．22．（1）0；（2）见解析；（3）x≤-4或x≥2；（4）-4≤y＜5．【分析】（1）先确定出对称轴，根据抛物线的对称性即可求得；（2）根据二次函数图象的画法作出图象即可；（3）根据抛物线的对称性，（-4，5）关于直线x=-1的对称点是（2，5），根据图象即可求得结论，（4）根据函数图象，写y的取值范围即可．【详解】（1）由图表可知抛物线的顶点坐标为（-1，-4），∴抛物线的对称轴为直线x=-1，∵（-3，0）关于直线x=-1的对称点是（1，0），∴m=0，故答案为：0；（2）函数图象如图所示；（3）∵（-4，5）关于直线x=-1的对称点是（2，5），由图象可知当y≥5时，x的取值范围是x≤-4或x≥2，故答案为x≤-4或x≥2；（4）由图象可知当-4＜x＜1时，y的取值范围是-4≤y＜5，故答案为-4≤y＜5．【点睛】此题考查二次函数的图象，二次函数的性质，解题关键在于数形结合．23．12，0，6，8，y＝﹣29x2+83x，y＝﹣29x2；﹣2，±3．【解析】【分析】方法一根据抛物线性质可得出B、O坐标，然后设二次函数的解析式为y＝a（x﹣6）2＋8再将B点坐标代入即可得到a的值.方法二，设二次函数的解析式为y＝ax2将B点代入即可得到a的值，当y＝﹣2时，代入解析式即可求出答案.【详解】解：方法一：B（12，0），O（6，8），设二次函数的解析式为y＝a（x﹣6）2＋8，把B点的坐标代入得，a＝﹣29，∴二次函数的解析式为y＝﹣29x2＋83x；方法二：设二次函数的解析式为y＝ax2，把B（6，﹣8）代入得，a＝﹣29，∴二次函数的解析式为y＝﹣29x2；y＝﹣2时，求出此时自变量x的取值为±3，故答案为12，0，6，8，y＝﹣29x2＋83x，y＝﹣29x2；﹣2，±3．【点睛】本题主要考查的是抛物线的顶点式和一般式的性质，熟练掌握性质是本题的解题关键. 24．证明见解析【解析】【分析】（1）根据垂径定理得到AB垂直平分CD，根据线段垂直平分线的性质得到AC＝AD，得到∠BAD＝12∠CAD，由AM是△ACD的外角∠DAF的平分线，得到∠DAM＝12∠F AD，再由∠BAD与∠F AD互补，得出∠BAM＝90°，根据切线的判定即可得到结论；（2）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形推出△ACD是等边三角形，得到CD＝AD＝2，再根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠5＝∠4＝30°，AN＝AC＝2，利用三角函数解直角三角形即可得到结论．【详解】解：（1）证明：∵AB⊥CD，AB是⊙O的直径，∴BC BD=．∴112CAD ∠∠＝．∵AM是∠DAF的角平分线，∴122DAF ∠∠＝．∵180CAD DAF ∠∠＋＝°， ∴1290OAM ∠∠∠＝＋＝°． ∴OA ⊥AM ．∴AM 是⊙O 的切线．（2）思路：①由AB ⊥CD ，AB 是⊙O 的直径，可得AC ＝AD ，∠1＝∠3＝12∠CAD ；②由∠D ＝60°，AD ＝2，可得△ACD 为边长为2的等边三角形，∠1＝∠3＝30°； ③由OA ＝OC ，可得∠4＝∠3＝30°；④由∠CAN ＝∠3＋∠BAN ＝30°＋90°＝120°，可得∠5＝∠4＝30°，AN ＝AC ＝2； ⑤在Rt △OAN 中，根据三角函数即可求出ON 的长．点睛：本题考查了切线的判定，垂径定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．25．（1）x≥－2且x≠0；（2）1.（3）详见解析.（4）当－2≤x＜0或x＞0时，y随x的增大而减小.【解析】【分析】（1）根据被开方数非负以及分母不为0即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论；（2）将x=2代入函数解析式中求出m值即可；（3）连点成线即可画出函数图象；（4）观察函数图象，根据函数图象可寻找到函数具有单调性．【详解】解：（1）由题意得：20xx+≥⎧⎨≠⎩，解得x≥－2且x≠0；故答案为x≥－2且x≠0；(2)当x＝2时，m＝2＝1.(3)图象如图所示.（4）观察函数图象发现：当-2≤x＜0或x＞0时，y随x增大而减小．故答案为当-2≤x＜0或x＞0时，y随x增大而减小．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，描点法画函数图象及从函数图像获取信息，连点成曲线画出函数图象是解题的关键．26．（1）（a，0）；（2）y=x2-2x；（3）a≥12或a≤−12．【分析】（1）函数的对称轴为：x=a ，即可求解；（2）= =2，即可求解； （3）若该抛物线与线段AB 恰有一个公共点，则抛物线与y 轴的交点应该在点B 的上方，即可求解．【详解】（1）函数的对称轴为：x=a ，则点A （a ，0）；（2）△=4a 2-a （a 2- ＞0，解得：a ＞0，x 2-2ax+a 2- =0，x 1+x 2=2a ，x 1x 2=a 2-1a ，，解得：a=1， 故抛物线的表达式为：y=x 2-2x ；（3）若该抛物线与线段AB 恰有一个公共点，则抛物线与y 轴的交点应该在点B 的上方， 即：21411a a a-≤-， 解得：a≥12 或a≤−12． 【点睛】此题考查二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数解析式，解题关键在于熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等27．（1）见解析；（2）①见解析；②GD+AE=BE ．理由见解析【分析】（1）欲证明∠FAB=∠FBA ，由△ADF ≌△BDF 推出AF=BF 即可解决问题．（2）①根据条件画出图形即可．②数量关系是：GD+AE=BE ．过点D 作DH ⊥DE 交BE 于点H ，先证明△ADE ≌△BDH ，再证明四边形GEHD 是平行四边形即可解决问题．【详解】（1）如图1中，∵AD ⊥BC ，∠ABC=45°，∴∠BAD=45°，∴AD=BD ，∵DF 平分∠ADB ，∴∠1=∠2，在△ADF 和△BDF 中，12AD BD DF DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADF ≌△BDF ．∴AF=BF ，∴∠FAB=∠FBA ．（2）①补全图形如图2中所示，②数量关系是：GD+AE=BE ．理由：过点D 作DH ⊥DE 交BE 于点H∴∠ADE+∠ADH=90°，∵AD ⊥BC ，∴∠BDH+∠ADH=90°，∴∠ADE=∠BDH ，∵AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，∠AKE=∠BKD ，∴∠DAE=∠DBH ，在△ADE 和△BDH 中，DAE DBH AD BDADE BDH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△ADE ≌△BDH ．∴DE=DH ，AE=BH ，∵DH ⊥DE ，∴∠DEH=∠DHE=45°，∵BE ⊥AC ，∴∠DEC=45°，∵点G 与点D 关于直线AC 对称，∴AC 垂直平分GD ，∴GD ∥BE ，∠GEC=∠DEC=45°，∴∠GED=∠EDH=90°，∴GE ∥DH ，∴四边形GEHD 是平行四边形∴GD=EH ，∴GD+AE=BE ．【点睛】此题考查三角形综合题，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练正确全等三角形判定方法，学会添加常用辅助线，构造全等三角形以及特殊四边形解决问题．28．（1）见解析；（2）t 的值为≤t；（3）k 的值为或．【分析】（1）如图1中，作OH ⊥AB 于H ．求出OH 即可解决问题．（2）如图2中，作TH ⊥AB 于H ，交⊙T 于D ．分两种情形求出d （⊙T ，直线AB ）=1时，点T 的坐标即可．（3）当直线经过点D （，0）与直线AB 平行时，此时两直线之间的距离为1，该直线的解析式为，求出直线y=kx 经过点E ，点F 时，k 的值即可．【详解】（1）如图1中，作OH⊥AB于H．∵A（2，0），B（0，2），∴OA=OB=2，，∵12×OA×OB=12×AB×OH，∴，∴d（点O，直线AB）；（2）如图2中，作TH⊥AB于H，交⊙T于D．当d（⊙T，直线AB）=1时，DH=1，∴TH=2，，∴-2，∴T（2-2，0），根据对称性可知，当⊙T在直线AB的右边，满足d（⊙T，直线AB）=1时，T（，0），∴满足条件的t的值为．（3）如图3中，当直线经过点D（，0）与直线AB平行时，此时两直线之间的距离为1，该直线的解析式为，当直线y=kx经过E（1，）时，，当直线y=kx经过F（-1，），，综上所述，满足条件的k的值为或．【点睛】此题考查圆的综合题，直线与圆的位置关系，图形P和直线AB之间的“确定距离”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．。
北京师范大学附属实验中学2020-2021 学年度第一学期初三数学阶段检测试卷答案
北京师范大学附属实验中学2020－2021学年度第一学期初三年级数学月考试卷一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1．二次函数2(1)2y x =−+−的顶点坐标为A ．(12)−，B ．(12)，-C ．(12)−，-D ．(12)，2．在Rt ABC 中，90C =，5AB =，4BC =，则sin B 的值是 A ．54 B ．53 C ．453．对于函数xm y 4−=，当0x 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是 A ．4 m B ．4 m C ．4− m D ．4− m4.如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠ABC ＝35°，则∠AOC 的度数为A ．20°B ．40°C ．60°D ．70°5．如图，在平面直角坐标系中，以(46)P ，为位似中心，把△ABC 缩小得到△DEF ，若变换后，点A 、B的对应点分别为点D 、E ，则点C的对应点F 的坐标应为A.(42)，B.(44)，C. (45)，D.(54)，6. 如图，等边△ ABC 的边长为6，内切⊙ O 切BC 边于D 点，则图中阴影部分的周长为A ．3B ． 73D ．7. 某小区2019年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2021年屋顶绿化面积要达到2880平方米．若设屋顶绿化面积的年平均增长率为x ，则依题意所列方程是 A ．2880)21（20002=+x B ．2880)-1（20002=x C ．2880)1（20002=+x D ． 288020002=x8. 如图，抛物线2y ax =与直线y ＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为()2,4A −，()1,1B ，则关于x 的不等式20−− ax bx c 的解集为 A. 21− x B. 21，或 − x xC. 14 xD. 1，或4 x xACDB二、填空题（本题共24分，每小题3分）9. 已知α为锐角，且2sin(α－10°)＝3，则α等于 .10．如图，小东用长为3.2米的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿和旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8米，与旗杆 相距22米，则旗杆的高为 米.11.如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是 .12.请你任写一个顶点在x 轴上（不在原点）的抛物线的解析式 .13.如图，点A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点C 、D在x 轴上，且BC ∥AD ，四边形ABCD 的面积为3，则这个反比例函数的解析式为 ．13题图 15题图 16题图14. 正方形边长为3，若边长增加x ，则面积增加y ，y 与x 的函数关系式为 ． 15.抛物线y =−x 2+bx +c 的部分图象如图所示，若y >0，则x 的取值范围是 .xy PABO16.如图，已知A 、B 两点的坐标分别为()，(0,2)，P 是△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP =45°，则点P 的坐标为______________.三、解答题（本题共52分，第17题5分，第18题6分，第19，20，21，22题每小题5分，第23，24，25题每小题7分）17．已知关于x 的方程ax 2+2x ﹣3＝0有两个不相等的实数根． （1）求a 的取值范围；（2）若此方程的一个实数根为1，求a 的值及方程的另一个实数根．18.已知二次函数243y x x =−+.（1）将243y x x =−+化成2()y a x h k =−+的形式； （2）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （3）当x 取何值时，0y . 19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数1my x=的图象与一次函 数y 2=kx +b 的图象交于点A （-4，-1（1）求这两个函数的表达式； （2）观察图象，当y 1＞y 2（3）如果点C 与点A 关于y20．如图，已知AB 是⊙O 的直径，过O 点作OP ⊥AB ，交弦AC 于点D ，交 ⊙O 于点E ，且使∠PCA =∠ABC ． (1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)若∠P =60°，PC =2，求PE 的长．21. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为2千元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于2千元且不高于2.8千元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y （本）与每本纪念册的售价x （千元）之间满足一次函数关系：当销售单价为2.2千元时，销售量为36本；当销售单价为2.4千元时，销售量为32本．（1）求出y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w 千元，将该纪念册销售单价定为多少千元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少千元？22.如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，E 是AC 边的中点，41312sin 5，， ===BC AD B .（1）求线段CD 的长； （2）求tan 2 ADE 的值.DECBA23．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线G ：2240)y ax ax a =−+ （. （1）当a =1时， ①抛物线G 的对称轴为x =____________；②若在抛物线G 上有两点12(2,),(,)y m y ，且21y y ，则m 的取值范围是_____；（2）抛物线G 的对称轴与x 轴交于点M ，点M 与点A 关于y 轴对称，将点 M 向右平移3个单位得到点B ，若抛物线G 与线段AB 恰有一个公共点，24. 已知△OAB 和△ODC 有公共顶点O ，30OBA OCD = = ，60OAB ODC = = ，连接AD ，BC ，取AD 的中点M 并连接OM ．(1) 如图1，若点D 位于线段OA 上，则_______=BCOM ．（直接写出答案） (2) 如图2，若点D 位于线段OB 上，① 不添加其它字母和连线，直接写出图中除△AOB ∽△DOC 外的另一组相似三角形；② 猜想OM 与BC 的位置关系，并证明你的结论；(3) 当点D 运动到图3所示位置时，线段OM ，BC 之间的数量关系和位置关系是否发生变化？并证明你的结论．图1图2图3B BB25．在平面直角坐标系xOy 中，若将点P 沿x 轴折叠得到点1P ，再将点1P 绕点R 顺时针旋转90°得到点P ′，则称点P ′是点P 关于x 轴-点R 的折旋点. 例如：点Q （0，1）关于x 轴-点O 的折旋点是点Q ′（-1，0）. （1）如图1，点A (0，-1)． ①若点B 是点A 关于x 轴-点C （√3，0）的折旋点，则点B 的坐标为 ；②若点D (-4，1)是点A 关于x 轴-点E 的折旋点，则点E ； （2）如图2，⨀O 的半径为2．若⨀O 上存在点M ，使得点M ′是点M 关于x 轴-点S （4，0）的折旋点，且点M ′在直线y =x+b 上，求b 的取值范围； （3）E (0,t )是y 轴上的动点，⨀E 的半径为2，若⨀E 上存在点N ，使得点N ′是点N 关于x 轴-点S （4，0）的折旋点，且点N ′在直线x y 33=上，直接 图1 图2。
2020北京首师大附中初三一模数学含答案
2020北京首师大附中初三一模数学一、选择题1．若一个数的绝对值是5，则这个数是（）A．5 B．﹣5 C．±5 D．0或52．2017年我省粮食总产量695.2亿斤，居历史第二高位，695.2亿用科学记数法表示为（）A．695.2×108B．6.952×109C．6.952×1010D．6.952×10113．下列运算正确的是（）A．2a2•a3＝2a6B．（3ab）2＝6a2b2C．2abc+ab＝2 D．3a2b+ba2＝4a2b4．已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．如图，M、N、P、Q是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示﹣1的点是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q6．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（）A．B．C．D．7．已知点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，则y x的值是（）A．2 B．C．4 D．88．黄山市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则企业停产的月份为（）A．2月和12月B．2月至12月C．1月D．1月、2月和12月9．如图，将北京市地铁部分线路图置于正方形网格中，若设定崇文门站的坐标为（0，﹣1），雍和宫站的坐标为（0，4），则西单站的坐标为（）A．（0，5）B．（5，0）C．（0，﹣5）D．（﹣5，0）10．关于x的方程x2﹣x+a﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数a的值可能为（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.511．把直线y＝﹣2x向上平移后得到直线AB，若直线AB经过点（m，n），且2m+n＝8，则直线AB的表达式为（）A．y＝﹣2x+4 B．y＝﹣2x+8 C．y＝﹣2x﹣4 D．y＝﹣2x﹣812．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．413．将抛物线y＝x2﹣4x+1向左平移至顶点落在y轴上，如图所示，则两条抛物线、直线y＝﹣3和x轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（）A．5 B．6 C．7 D．814．北京地铁票价计费标准如表所示：乘车距离x（公里）x≤6 6＜x≤12 12＜x≤22 22＜x≤32 x＞32 票价（元） 3 4 5 6 每增加1元可乘坐20公里另外，使用市政交通一卡通，每个自然月每张卡片支出累计满100元后，超出部分打8折；满150元后，超出部分打5折；支出累计达400元后，不再打折．小红妈妈上班时，需要乘坐地铁15公里到达公司，每天上下班共乘坐两次，如果每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么每月第21次乘坐地铁上下班时，她刷卡支出的费用是（）A．2.5元B．3元C．4元D．5元15．二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（）A．0＜t＜5 B．﹣4≤t＜5 C．﹣4≤t＜0 D．t≥﹣4二、填空题16．代数式有意义时，x应满足的条件是．17．计算：＝．18．分解因式：4a2b﹣b＝．19．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，2）．若线段AB∥x轴，且AB的长为4，则点B的坐标为．20．关于x的不等式组的解集为1＜x＜4，则a的值为．21．若a2﹣2a﹣3＝0，代数式的值是．22．若函数y＝的函数值y＝6，则自变量x的值为．23．已知P＝﹣（a≠±b），若点（a，b）在一次函数y＝x﹣1的图象上，则P的值为．24．计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数y＝x2（x﹣3）和y＝x﹣3的图象如图所示．根据图象可知方程x2（x﹣3）＝x﹣3的解的个数为；若m，n分别为方程x2（x﹣3）＝1和x﹣3＝1的解，则m，n的大小关系是．25．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是．三、解答题（第1题7分，第2题8分，第3题10分，共25分）26．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b（k＜0），经过点（6，0），且与坐标轴围成的三角形的面积是9，与函数y＝（x＞0）的图象G交于A，B两点．（1）求直线的表达式；（2）横、纵坐标都是整数的点叫作整点．记图象G在点A、B之间的部分与线段AB围成的区域（不含边界）为W．①当m＝2时，直接写出区域W内的整点的坐标；②若区域W内恰有3个整数点，结合函数图象，求m的取值范围．27．已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y 与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．28．给出如下定义：对于⊙O的弦MN和⊙O外一点P（M，O，N三点不共线，且点P，O在直线MN的异侧），当∠MPN+∠MON＝180°时，则称点P是线段MN关于点O的关联点．图1是点P为线段MN关于点O的关联点的示意图．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．（1）如图2，已知M（，），N（，﹣），在A（1，0），B（1，1），C（，0）三点中，是线段MN关于点O的关联点的是；（2）如图3，M（0，1），N（，﹣），点D是线段MN关于点O的关联点．①∠MDN的大小为；②在第一象限内有一点E（m，m），点E是线段MN关于点O的关联点，判断△MNE的形状，并直接写出点E的坐标；③点F在直线y＝﹣x+2上，当∠MFN≥∠MDN时，求点F的横坐标x的取值范围．2020北京首师大附中初三一模数学参考答案一、选择题（每小题3分，共45分）1．【分析】当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；所以若一个数的绝对值是5，则这个数是±5，据此判定即可．解：若一个数的绝对值是5，则这个数是±5．故选：C．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：695.2亿＝6.952×1010．故选：C．3．【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．解：（A）原式＝2a5，故A错误；（B）原式＝9a2b2，故B错误；（C）2abc与ab不是同类项，故C错误；故选：D．4．【分析】求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，再在数轴上把不等式组的解集表示出来，即可得出选项．解：∵解不等式①得：x＞3，解不等式②得：x≥﹣1，∴不等式组的解集为：x＞3，在数轴上表示不等式组的解集为：故选：B．5．【分析】先求出的范围，再求出﹣1的范围，即可得出答案．解：∵3.5＜＜4，∴2.5＜﹣1＜3，∴表示﹣1的点是Q点，故选：D．6．【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量＝11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）﹣（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）＝13两，根据等量关系列出方程组即可．解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：，故选：D．7．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出x，y的值进而得出答案．解：∵点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，∴x﹣2+x+4＝0，y﹣5＝﹣3，解得：x＝﹣1，y＝2，则y x＝2﹣1＝．故选：B．8．【分析】根据题意可知停产时，利润为0和小于0的月份都不合适，从而可以解答本题．解：∵y＝﹣n2+14n﹣24＝﹣（n﹣2）（n﹣12），1≤n≤12且n为整数，∴当y＝0时，n＝2或n＝12，当y＜0时，n＝1，故选：D．9．【分析】首先利用已知点确定原点位置，进而得出答案．解：如图所示：西单站的坐标为：（﹣5，0）．故选：D．10．【分析】根据判别式的意义得到△＝12﹣4×（a﹣2）＞0，然后解不等式即可．解：∵关于x的方程x2﹣x+a﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝12﹣4×（a﹣2）＞0，解得a＜．观察选项，只有A选项符合题意．故选：A．11．【分析】由题意知，直线AB的斜率，又已知直线AB上的一点（m，n），所以用直线的点斜式方程y﹣y0＝k （x﹣x0）求得解析式即可．解：∵直线AB是直线y＝﹣2x平移后得到的，∴直线AB的k是﹣2（直线平移后，其斜率不变）∴设直线AB的方程为y﹣y0＝﹣2（x﹣x0）①把点（m，n）代入①并整理，得y＝﹣2x+（2m+n）②∵2m+n＝8 ③把③代入②，解得y＝﹣2x+8，即直线AB的解析式为y＝﹣2x+8．故选：B．12．【分析】根据（﹣2，n）和（4，n）可以确定函数的对称轴x＝1，再由对称轴的x＝即可求解；解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，可知函数的对称轴x＝1，∴＝1，∴b＝2；∴y＝﹣x2+2x+4，将点（﹣2，n）代入函数解析式，可得n＝﹣4；故选：B．13．【分析】B，C分别是顶点，A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，阴影部分的面积就是平行四边形ABCO的面积，解：B，C分别是顶点，A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，如图，阴影部分的面积就是平行四边形ABCO的面积，S＝2×3＝6；故选：B．14．【分析】根据优惠方案，分别计算每次乘车的费用，进行累计即可．解：小红妈妈每天的上下班的费用分别为5元，即每天10元，10天后花费100元，第21次乘坐地铁时，价格给予8折优惠，此时花费5×0.8＝4元，故选：C．15．【分析】先求出b，确定二次函数解析式，关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，﹣1＜x＜4时﹣4≤y＜5，进而求解；解：∵对称轴为直线x＝2，∴b＝﹣4，∴y＝x2﹣4x，关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，∵﹣1＜x＜4，∴二次函数y的取值为﹣4≤y＜5，∴﹣4≤t＜5；故选：B．二、填空题（每小题3分，共30分）16．【分析】直接利用分式、二次根式的定义求出x的取值范围．解：代数式有意义时，x﹣8＞0，解得：x＞8．故答案为：x＞8．17．【分析】本题涉及有理数的乘方、算术平方根、特殊角三角函数3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解：原式＝3+（﹣1）﹣2×＝3﹣1﹣1＝1故答案为1．18．【分析】原式提取b，再利用平方差公式分解即可．解：原式＝b（4a2﹣1）＝b（2a+1）（2a﹣1），故答案为：b（2a+1）（2a﹣1）19．【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同求出点B的纵坐标，再分点B在点A的左边与右边两种情况列式求出点B的横坐标，即可得解．解：∵点A的坐标为（﹣3，2），线段AB∥x轴，∴点B的纵坐标为2，若点B在点A的左边，则点A的横坐标为﹣3﹣4＝﹣7，若点B在点A的右边，则点A的横坐标为﹣3+4＝1，∴点B的坐标为（﹣7，2）或（1，2）．故答案为：（﹣7，2）或（1，2）．20．【分析】分贝求出不等式组中两个不等式的解集，根据题意得到关于a的方程，解之可得．解：解不等式2x+1＞3，得：x＞1，解不等式a﹣x＞1，得：x＜a﹣1，∵不等式组的解集为1＜x＜4，∴a﹣1＝4，即a＝5，故答案为：5．21．【分析】由a2﹣2a﹣3＝0可得a2﹣2a＝3，根据整体代入，可得答案．解：∵a2﹣2a﹣3＝0，∴a2﹣2a＝3．∴＝＝．故答案为：．22．【分析】把y＝6直接代入函数y＝即可求出自变量的值．解：把y＝6代入函数y＝，先代入上边的方程得x＝±2，再代入下边的方程x＝3，故x＝2或﹣2或3，故答案为x＝2或﹣2或3．23．【分析】根据分式的减法可以化简P，然后根据点（a，b）在一次函数y＝x﹣1的图象上，可以得到a﹣b的值，然后代入化简后的P，即可求得P的值．解：P＝﹣＝＝＝＝，∵点（a，b）在一次函数y＝x﹣1的图象上，∴b＝a﹣1，得a﹣b＝1，∴当a﹣b＝1时，原式＝＝1，故答案为：1．24．【分析】利用图象，通过函数y＝x2（x﹣3）的图象与函数y＝x﹣3的图象的交点个数判断方程x2（x﹣3）＝x ﹣3的解的个数；利用函数y＝x2（x﹣3）和y＝x﹣3的图象与直线y＝1的交点位置可判断m、n的大小关系．解：函数y＝x2（x﹣3）的图象与函数y＝x﹣3的图象有3个交点，则方程x2（x﹣3）＝x﹣3的解有3个；方程x2（x﹣3）＝1的解为函数图象与直线y＝1的交点的横坐标，x﹣3＝1的解为一次函数y＝x﹣3与直线y ＝1的交点的横坐标，如图，由图象得m＜n．故答案为3，m＜n．25．【分析】根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，而从C向A运动时，BP先变小后变大，从而可求出BC与AC的长度．解：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最大值为5，即BC＝5，由于M是曲线部分的最低点，∴此时BP最小，即BP⊥AC，BP＝4，∴由勾股定理可知：PC＝3，由于图象的曲线部分是轴对称图形，∵图象右端点函数值为5，∴AB＝BC＝5∴PA＝3，AP＝PC＝3，∴AC＝6，∴△ABC的面积为：×4×6＝12故答案为：12三、解答题（第1题7分，第2题8分，第3题10分，共25分）26．【分析】（1）借助直线与x轴、y轴的交点坐标表示出直线与坐标轴围成的三角形的两条直角边长，利用面积是9，求出直线与y轴的交点为C（0，3），利用待定系数法求出直线的表达式；（2）①先求出当m＝2时，两函数图象的交点坐标，再结合图象找到区域W内的整点的坐标；②利用特殊值法求出图象经过点（1，1）、（2，1）时，反比例函数中m的值，结合图象得到在此范围内区域W内整点有3个，从而确定m的取值范围为1≤m＜2．解：如图：（1）设直线与y轴的交点为C（0，b），∵直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 9∴×6⋅|b|＝9，b＝±3．∵k＜0，∴b＝3．∵直线y＝kx+b经过点（6，0）和（0，3），∴直线的表达式为y＝﹣x+3；（2）①当m＝2时，两函数图象的交点坐标为方程组的解，∴A（3﹣，），B（3+，），观察图象可得区域W内的整点的坐标为（3，1）；②当y＝图象经过点（1，1）时，则m＝1．当y＝图象经过点（2，1）时，则m＝2．∴观察图象可得区域W内的整点有3个时1≤m＜2．27．【分析】（1）抛物线有最低点即开口向上，m＞0，用配方法或公式法求得对称轴和函数最小值．（2）写出抛物线G的顶点式，根据平移规律即得到抛物线G1的顶点式，进而得到抛物线G1顶点坐标（m+1，﹣m﹣3），即x＝m+1，y＝﹣m﹣3，x+y＝﹣2即消去m，得到y与x的函数关系式．再由m＞0，即求得x的取值范围．（3）法一：求出抛物线恒过点B（2，﹣4），函数H图象恒过点A（2，﹣3），由图象可知两图象交点P应在点A、B之间，即点P纵坐标在A、B纵坐标之间．法二：联立函数H解析式与抛物线解析式组成方程组，整理得到用x表示m的式子．由x与m的范围讨论x的具体范围，即求得函数H对应的交点P纵坐标的范围．解：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3（2）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2∵m＞0，m＝x﹣1∴x﹣1＞0∴x＞1∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）（3）法一：如图，函数H：y＝﹣x﹣2（x＞1）图象为射线x＝1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3；x＝2时，y＝﹣2﹣2＝﹣4∴函数H的图象恒过点B（2，﹣4）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3x＝1时，y＝﹣m﹣3；x＝2时，y＝m﹣m﹣3＝﹣3∴抛物线G恒过点A（2，﹣3）由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则y B＜y P＜y A∴点P纵坐标的取值范围为﹣4＜y P＜﹣3法二：整理的：m（x2﹣2x）＝1﹣x∵x＞1，且x＝2时，方程为0＝﹣1不成立∴x≠2，即x2﹣2x＝x（x﹣2）≠0∴m＝＞0∵x＞1∴1﹣x＜0∴x（x﹣2）＜0∴x﹣2＜0∴x＜2即1＜x＜2∵y P＝﹣x﹣2∴﹣4＜y P＜﹣328．【分析】（1）由题意线段MN关于点O的关联点的是以线段MN的中点为圆心，为半径的圆上，所以点C满足条件；（2）①如图3﹣1中，作NH⊥x轴于H．求出∠MON的大小即可解决问题；②如图3﹣2中，结论：△MNE是等边三角形．由∠MON+∠MEN＝180°，推出M、O、N、E四点共圆，可得∠MNE＝∠MOE＝60°，由此即可解决问题；③如图3﹣3中，由②可知，△MNE是等边三角形，作△MNE的外接圆⊙O′，首先证明点E在直线y＝﹣x+2上，设直线交⊙O′于E、F，可得F（，），观察图形即可解决问题；解：（1）由题意线段MN关于点O的关联点的是以线段MN的中点为圆心，为半径的圆上，所以点C满足条件，故答案为C．（2）①如图3﹣1中，作NH⊥x轴于H．∵N（，﹣），∴tan∠NOH＝，∴∠NOH＝30°，∠MON＝90°+30°＝120°，∵点D是线段MN关于点O的关联点，∴∠MDN+∠MON＝180°，∴∠MDN＝60°．故答案为60°．②如图3﹣2中，结论：△MNE是等边三角形．理由：作EK⊥x轴于K．∵E（m，m），∴tan∠EOK＝，∴∠EOK＝30°，∴∠MOE＝60°，∵∠MON+∠MEN＝180°，∴M、O、N、E四点共圆，∴∠MNE＝∠MOE＝60°，∵∠MEN＝60°，∴∠MEN＝∠MNE＝∠NME＝60°，∴△MNE是等边三角形．③如图3﹣3中，由②可知，△MNE是等边三角形，作△MNE的外接圆⊙O′，易知E（，1），∴点E在直线y＝﹣x+2上，设直线交⊙O′于E、F，可得F（，），观察图象可知满足条件的点F的横坐标x的取值范围≤x F≤．。
北京市首都师范大学附属中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题
北京市首都师范大学附属中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．2R <6．如图，已知PA PB ，则ACB ∠等于（）A ．70︒B ．75︒7．如图，Rt ABC △与Rt EDC 中∠等于（）A ．3B ．48．小明在学习了一次函数、二次函数和反比例函数后，对从解析式的角度研究函数有了新的体会．现有函数2()xy x m =-面几个关于函数图象特征的结论，其中错误的是（A ．经过原点C ．关于直线x m =对称二、填空题9．点()()121,,2,A y B y 为反比例函数合条件的k 的值10．若将抛物线2y x =-为．12．若抛物线2y x =+13．如图，在矩形ABCD 4,3,1AB AD AE ===14．ABC 中，AB AC =边BC 有且仅有一个交点，则15．若抛物线2y x bx =+13x -<<，则m 的值为16．正方形ABCD 中，点边于点F ，若DG EF ⊥①点G 在ADE V 外接圆上；②当45DAG ∠>︒时，存在点③AG DG =；④当AG BG +取得最小值时，满足上述结论中，所有正确结论的序号是三、解答题17．解方程：2420x x -+=20．如图，⊙O 的直径AB 的长．21．已知关于x 的一元二次方程(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若此方程的一个根是另一个根的三倍，求整数22．已知二次函数y (1)将2=23y x x --化成(2)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；(3)当12x -<<时，结合图象，直接写出函数值23．如图，AB 为⊙324．平面直角坐标系xOy 中，点()2,A m 点．(1)求m 和k 的值；(2)已知点(),0P n ，过点P 作垂直于象于点C ．①当3n =时，求ACB ∠的度数；②若45ACB ∠>︒，结合图象，直接写出25．在学习《用频率估计概率》时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共4袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验，中摸出一个球是红球的结果．(1)根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是____________，其中红球的个数是____________；(2)如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列举法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率；(3)在袋中再放入n 个白球，那么（2）中的概率将变为____________（用26．在平面直角坐标系xOy 中，点()()1,,3,A m B n 在抛物线2y ax bx =+上．设抛物线的对称轴为直线x t =．(1)若1,3m n =-=，求t 的值；(1)若F为BD的中点，连接①补全图形；②判断,AF EF的位置关系和数量关系，并证明．(2)在（1）的条件下，点写出B E'的最小值．28．在平面直角坐标系图形M上的每一个点和点P关联．(1)点1,12P⎛⎫⎪⎝⎭，下列图形中与点①y轴；②直线12 x=；③半径为1的O；④线段HK，其中(H(2)点P在直线1y=上，点OAB与点P关联，求点(3)平面上一点C满足P在线段CC'上．点E出E的半径r的取值范围．。
2020-2021学年北京市首都师范大学附属实验学校九年级第一学期第二次月监测数学试卷(无答案)
（1）按要求画出图形 G；
A
（2）连接 CO，求证：∠AOB=∠COB=∠AOC.
4
B
C
24.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线与 x 轴的交点为 A,B.
(1)求抛物线的顶点坐标； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点. ①当 m＝1 时，求线段 AB 上整点的个数； ②若抛物线在点 A,B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域内（包括边 界）恰有 6 个整点，结合函数的图象，求 m 的取值范围.
首都师范大学附属实验学校 2020—2021 学年度第一学期第二次月监测
初三数学试卷 2020. 11
一、选择题（每题 3 分，共 30 分）
1．抛物线 y x 22 1的对称轴是直线
A． x 1
B． x 1
C． x 2
D． x 2
2．下面是同学们利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
20.解一元二次方程： x(x 4) 2x 3 .
21．二次函数图象上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的对应值如下表：
x … 3 2 1 0
1
2
…
y
…
0
3 4 3 m
5
…
（1）直接写出表格当中的 m 值：_____________
（2）求这个二次函数的表达式；
3
（3）在图中画出这个二次函数的图象．
22.如图，菱形 ABCD 对角线 AC，BD 相交于点 O ， E 是 AD 的中点，点 F,G 在 AB 上， EF AB，OG∥EF .
（1）求证：四边形 OEFG 是矩形； （2）若 AD 10, EF 4 ，求 OE 和 BG 的长.
北京市首都师范大学附属中学2021-2022学年九年级上学期12月月考数学试题 (2)
北京市首都师范大学附属中学2021-2022学年九年级上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．抛物线()213y x =-+的顶点坐标为( )A ．()1,3B ．()1,3-C ．()1,3--D ．()3,1 2．如果43x y =，那么下列结论正确的是( )A ．34x y = B ．43x y = C ．43x y = D ．4,3x y == 3．将抛物线2112y x =+绕顶点旋转180︒，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）A ．221y x =-+B ．221y x =--C ．2112y x =-+ D ．2112y x =-- 4．某个事件发生的概率是12，这意味着（ ） A ．在两次重复试验中该事件必有一次发生B ．在一次试验中没有发生，下次肯定发生C ．在一次试验中已经发生，下次肯定不发生D ．每次试验中事件发生的可能性是50％5．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）A ．点PB ．点DC ．点MD ．点N6．如图，在ABC 中，点P 在边AB 上，则在下列四个条件中：：ACP B ∠∠=①；APC ACB ∠∠=②；2AC AP AB =⋅③；AB CP AP CB ⋅=⋅④，能满足APC 与ACB 相似的条件是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（ ）A ．五丈B ．四丈五尺C ．一丈D ．五尺8．现有函数24()2()+<⎧=⎨-≥⎩x x a y x x x a 如果对于任意实数n ，都存在实数m ，使得x m =时，y n =，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．54-≤≤aB ．14a -≤≤C ．41≤≤aD ．45-≤≤a二、填空题 9．如图，PA 、PB 切O 于A 、B 两点，点C 在O 上，且∠=∠P C ，则AOB ∠=____________．10．如图所示，把一个直角三角尺ACB 绕30角的顶点B 顺时计旋转，使得点A 落在CB 的延长线上的点E 处，则BCD ∠的度数为______．11．如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于_____．12．如图，在ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，:4:25DEF ABF S S =，则:DE EC =___________．13．如图，点A ，B ，C ，D 在O 上，CB CD =，30CAD ∠=︒，50ACD ∠=︒，则ADB =∠________．14．若二次函数()2220y mx mx m =+-≠的图象满足：当12x <<时位于x 轴的上方，当32x -<<-时位于x 轴的下方，则m = _______________.15．抛物线2y ax bx c =++的顶点为(1,2)D -，与x 轴的一个交点A 在点(3,0)-和(2,0)-之间，其部分图象如图，则以下结论：①240b ac -<；①当1x >-，时y 随x 增大而减小；①0c >；①若方程20ax bx c m ++-=没有实数根，则2m >；①30a c +<．其中正确的结论是_______________．16．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔⋅卡西的计算方法是：当正整数n 充分大时，计算某个圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，再将它们的平均数作为2π的近似值．当n=1时，右图是①O及它的内接正六边形和外切正六边形．（1）若①O的半径为1，则①O的内接正六边形的边长是_______；（2）按照阿尔⋅卡西的方法，计算n=1时π的近似值是_______．（结果保留两位小数） 1.732≈）三、解答题17111(2021)2π-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭18．下面是小飞设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：P为①O外一点．求作：经过点P的①O的切线．作法：如图，①连接OP，作线段OP的垂直平分线交OP于点A；①以点A为圆心，OA的长为半径作圆，交①O于B，C两点；①作直线PB，PC．所以直线PB，PC就是所求作的切线．根据小飞设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明（说明：括号里填写推理的依据）．证明：连接OB ,OC ,①PO 为①A 的直径，①PBO PCO ∠=∠= （ ）．①PB OB ⊥,PC OC ⊥．①PB ,PC 为①O 的切线（ ）．19．已知：如图，在菱形ABCD 中，E 为BC 边上一点，①AED=①B ．（1）求证：①ABE①①DEA ；（2）若AB=4，求AE•DE 的值．20．关于x 的一元二次方程()23220x k x k -+++=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于1，求k 的取值范围．21．为了了解我市中学生参加“科普知识”竞赛成绩的情况，随机抽查了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的统计表和统计图，如图1所示．请根据图表信息解答下列问题：（1）在表中：m = ，n = ；（2）补全频数分布直方图；（3）小明的成绩是所有被抽查学生成绩的中位数，据此推断他的成绩在 组； （4）4个小组每组推荐1人，然后从4人中随机抽取2人参加颁奖典礼，恰好抽中A 、C 两组学生的概率是 ．22．如图，AB 与⊙O 相切于点A ，P 为OB 上一点，且BP ＝BA ，连接AP 并延长交⊙O 于点C ，连接OC ．（1）求证：OC ⊥OB ；（2）若⊙O 的半径为4，AB ＝3，求AP 的长．23．在平面直角坐标系xOy 中，抛物24(0)=-+≠y ax ax m a 与x 轴的交点为A 、B ，（点A 在点B 的左侧），且2AB =．（1）求抛物线的对称轴及m 的值（用含字母a 的代数式表示）；（2）若抛物线24(0)=-+≠y ax ax m a 与y 轴的交点在(0,1)-和(0,0)之间，求a 的取值范围；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）恰有5个整点，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围．24．在等腰直角①ABC中，AB＝AC， BAC＝90°，过点B作BC的垂线l．点P为直线AB上的一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转90°交直线l于点D．（1）如图1，点P在线段AB上，依题意补全图形；①求证：①BDP ＝①PCB；①用等式表示线段BC，BD，BP之间的数量关系，并证明．（2）点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．答案第1页，共1页 参考答案：1．A2．A3．C4．D5．A6．D7．B8．A9．120°10．15︒11．π12．2313．70°14．2315．①①①①16． 1 3.2317．18．（1）见解析；（2）90°，直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线19．（1）见解析；（2）1620．（1）见解析；（2）0k <21．（1）120，0.3；（2）图见解析；（3）C ；（4）16． 22．（1）详见解析；（2）AP． 23．（1）2,3x m a ==；（2）13-＜a ＜0；（3）2≤a ＜3或﹣3＜a ≤﹣2． 24．（1）见解析；①见解析；①BC -BD；见解析；（2）BD -BCBP。
2020-2021北京市首都师范大学附属中学初三数学上期中第一次模拟试题含答案
2020-2021北京市首都师范大学附属中学初三数学上期中第一次模拟试题含答案一、选择题1．如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是»BC上两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE ，如果40DOE ∠=︒，那么A ∠的度数为（ ）A ．35°B ．40°C ．60°D ．70°2．在平面直角坐标系中，二次函数y=x 2+2x ﹣3的图象如图所示，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x 1＜x 2≤0，则下列结论正确的是（ ）A ．y 1＜y 2B ．y 1＞y 2C ．y 的最小值是﹣3D ．y 的最小值是﹣4 3．下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，是两条互相垂直的街道，且A 到B ,C 的距离都是7 km ,现甲从B 地走向A 地，乙从A 地走向C 地，若两人同时出发且速度都是4km /h ，则两人之间的距离为5km 时，是甲出发后（ ）A ．1hB ．0.75hC ．1.2h 或0.75hD ．1h 或0.75h5．在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，:BC 23=AB ， 5AC =，则AB =（ ）．A ．52B 10C 5D 156．如图，图案由三个叶片组成，且其绕点O 旋转120°后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为12平方厘米，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积之和为（）平方厘米．A．2B．4C．6D．87．在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（）A．49B．13C．29D．198．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60︒，90︒，210︒．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是()A．16B．14C．13D．7129．如图，△ABC绕点A旋转一定角度后得到△ADE，若BC=4，AC=3，则下列说法正确的是（）A．DE=3 B．AE=4 C．∠ACB是旋转角D．∠CAE是旋转角10．山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列四幅剪纸图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．11．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．412．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10，»»»AC CDDB ==，点E 是点D 关于AB 的对称点，M 是AB 上的一动点，下列结论：①∠BOE ＝60°；②∠CED ＝12∠DOB ；③DM ⊥CE ；④CM ＋DM 的最小值是10，上述结论中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．圆锥的底面半径为14cm ，母线长为21cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为_____ 度．14．若圆锥的底面周长为4π，母线长为6，则圆锥的侧面积等于________．（结果保留π）15．在一个不透明的口袋中装有3个红球，1个白球，他们除了颜色外，其余均相同，若把它们搅匀后从中任意摸一个球，则摸到白球的可能性是 _________. 16．二次函数2y ax bx c =++的部分对应值如下表：利用二次函数的图象可知，当函数值y ＞0时，x 的取值范围是____________17．小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是____________．18．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠C ＝45°，AB ＝4，则⊙O 的半径为_____．19．若3是关于x 的方程x 2－x ＋c ＝0的一个根，则方程的另一个根等于____． 20．一元二次方程x 2=3x 的解是：________．三、解答题21．在硬地上抛掷一枚图钉，通常会出现两种情况：下面是小明和同学做“抛掷图钉实验”获得的数据：抛掷次数n1002003004005006007008009001000针尖不着地的频数m63120186252310360434488549610针尖不着地的频率mn0.630.600.630.600.620.610.61（1）填写表中的空格；（2）画出该实验中，抛掷图钉钉尖不着地频率的折线统计图；（3）根据“抛掷图钉实验”的结果，估计“钉尖着地”的概率为．22．小明和小亮进行摸牌游戏，如图，他们有四张除牌面数字不同外、其他地方完全相同的纸牌，牌面数字分别为4，5，6，7，他们把纸牌背面朝上，充分洗匀后，从这四张纸牌中摸出一张，记下数字放回后，再次重新洗匀，然后再摸出一张，再次记下数字，将两次数字之和做为对比结果．若两次数字之和大于11，则小明胜；若两次数字之和小于11，则小亮胜．（1）请你用列表法或树状图列出这个摸牌游戏中所有可能出现的结果．（2）这个游戏公平吗？请说明理由．23．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求点C和点D的坐标；（3）若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP=4S△COE，求P点坐标．24．三辆汽车经过某收费站下高速时，在2个收费通道A，B中，可随机选择其中的一个通过．（1）三辆汽车经过此收费站时，都选择A通道通过的概率是；（2）求三辆汽车经过此收费站时，至少有两辆汽车选择B通道通过的概率．25．已知关于x的方程x2+4x+3-a=0．（1）若此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；（2）在（1）的条件下，当a取满足条件的最小整数，求此时方程的解．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】连接CD，由圆周角定理得出∠BDC＝90°，求出∠DCE＝20°，再由直角三角形两锐角互余求解即可，【详解】解：连接CD，如图，∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∵∠DOE＝40°，∴∠DCE＝20°，∴∠A＝90°−∠DCE＝70°，故选：D ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．2．D解析：D 【解析】试题分析：抛物线y=x 2+2x ﹣3与x 轴的两交点横坐标分别是﹣3、1；抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），对称轴为x=﹣1．选项A ，无法确定点A 、B 离对称轴x=﹣1的远近，无法判断y 1与y 2的大小，该选项错误；选项B ，无法确定点A 、B 离对称轴x=﹣1的远近，无法判断y 1与y 2的大小，该选项错误；选项C ，y 的最小值是﹣4，该选项错误；选项D ，y 的最小值是﹣4，该选项正确．故答案选D.考点：二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．3．B解析：B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一判断即可得答案. 【详解】A.不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，B.是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意，C.不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，D.是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．D解析：D 【解析】 【分析】据题画出图形如图，设走了x 小时，则BF =AG =4x ，AF =7－4x ，根据勾股定理列出方程，解方程即得答案. 【详解】解：如图，设走了x 小时，根据题意可知：BF =AG =4x ，则AF =7－4x ，根据勾股定理，得()()2274425x x -+=，即24730x x -+=.解得：11x =，234x =.故选D. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用和一元二次方程的解法，弄清题意，根据勾股定理列出方程是解题的关键.5．B解析：B 【解析】 【分析】 依题意可设2=AB x ，3BC x =，根据勾股定理列出关于x 的方程，解方程求出x 的值，进而可得答案. 【详解】 解：如图，设2=AB x ，3BC x =，根据勾股定理，得：222325+=x x ，解得5x =，∴10AB =.故选B.【点睛】本题考查了勾股定理和简单的一元二次方程的解法，属于基础题型，熟练掌握勾股定理是解题的关键.6．B解析：B 【解析】 【分析】根据旋转的性质和图形的特点解答． 【详解】∵图案绕点O 旋转120°后可以和自身重合，∠AOB 为120° ∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的13， ∵图形的面积是12cm 2，∴图中阴影部分的面积之和为4cm2；故答案为B．【点睛】本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．7．A解析：A【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．【详解】画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果，∴两次都摸到黄球的概率为49，故选A．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．8．B解析：B【解析】【分析】求出黄区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率．【详解】∵黄扇形区域的圆心角为90°，所以黄区域所占的面积比例为901= 3604，即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是14，故选B．【点睛】本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．9．D解析：D【解析】【分析】根据旋转的定义和三角形的性质即可求解．【详解】∵△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE，BC=4，AC=3.∴DE=BC=4；AE=AC=3；∠CAE是旋转角.故答案选D.【点睛】本题考查的知识点是旋转的性质，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质.10．B解析：B【解析】【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、是中心对称图形，故本选项符合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选B．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．11．B解析：B【解析】分析：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4c＜0；故①错误。