数学建模实验一

实验一、汽车刹车距离问题的曲线拟合

一、问题

美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：正常驾驶条件下, 车速每增10英里/小时，后车与前车的距离应增一个车身的长度。实现这个规则的简便办法是 “2秒准则” ：后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒钟后到达同一标志。但事实上，刹车距离与车速有关10英里/小时(≈16公里/小时)车速下2秒钟行驶29英尺(≈9米)>>车身的平均长度15英尺(=4.6米)“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同。于是通过如下假设，建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。

(1) 刹车距离 d 等于反应距离 d 1 与制动距离d 2 之和，即 21d d d +=； (2) 反应距离 d 1与车速 v 成正比，即v t d 11=，其中t 1为反应时间；

(3) 刹车时使用最大制动力F ，F 作功等于汽车动能的改变，即F d 2= m v 2/2，并且我们知道F 与车的质量m 成正比，于是，得到2

2kv d =

综上，得到车速v 与刹车距离d 之间关系的数学模型为2

1kv v t d +=. 跟据经验， t 1

的估计值一般为0.75秒。下面，利用交通部门提供的如下一组实际数据拟合k.

下表第三列括号外的数值是平均距离、括号里的数值是刹车最大距离 。

表1 交通部门统计的车速与实际刹车距离之间的关系

二、实验要求

1、整理交通部门的数据成为Matlab 可以直接编程做拟合用的数据。数据的整理，一是车速

选“英里/小时”而刹车距离用“英里”的“平均距离”或“最大距离”；二是车速选“英尺/秒”而刹车距离用“英尺”的“平均距离”或“最大距离”；三是将这些数据换算成中国常用的方式，即车速用“公里/小时”而刹车距离用“米”的平均距离和最大距离。 2、根据上面整理出来的拟合数据，编程拟合出模型中的k 值，拟合的方法请自行查阅。 3、得到k 值以后，根据表1中的车速带入模型2

1kv v t d +=算出刹车距离；再用该刹车距离除以车速，得到刹车时间，从而修改“2秒规则”。

4、写出实验报告，注意文字描述、数据列表、实验过程贴图等。

三、实验内容

1、首先对所给的数据进行单位换算。已知1英里=1.609344千米 1英尺=0.3048米 1英里=5 280英尺 数据整理后得表1

表1

若用平均刹车距离计算，则车辆仍有可能相撞，为确保其安全性，取最大刹车距离进行分析，从而计算出二车间安全距离。

车速v 与刹车距离d 之间关系的数学模型为d =t 1v +kv 2，由题已知75.01=t 秒，所求为k ，令y =d −t 1v ，x =v 2，从而将模型转化为一元模型进行分析，带入数据得表2

表2

根据表2利用matlab进行绘图，如下所示

图1

图1中蓝色散点为真实数据，红色直线为拟合直线。通过图像可以看出，x和y基本可以认为是一元线性关系，继而进行一元线性回归分析。

图2

如图2所示，做出x，y直线，可以判断为线性关系。图中蓝线由真实数据所做成的曲线，红线为拟合直线。

图3 模型线性回归分析

分析结果如图3所示，k≈0.0931，故模型方程为d=0.75v+0.0931v2，其模型图像如下图所示：

图4 模型拟合曲线

又由物理公式d=d1+d2

d1=vt1

d2=0.5at22

v=at2

得d=vt1+v2/2a，与模型方程连立得到a=1/(2k)

，利用

=2kv)。

a计算理论刹车时间(t2=v

a

表3 刹车时间表

所求得的时间为总刹车时间，不受单位限制（只要保证方程左右单位统一即可），从而可以根据上表进行修改“两秒准则”。

对于所给数据进行一元线性回归分析时，残差图在车速为80英里/小时时，不在置信区间内，于是尝试将最后一组数据删掉重新进行一元线性回归分析。

图5 残差分析图

第二次分析发现，在新的残差图中，最后一组数据（原倒数第二组数据）不在置信区间内，若再删去最后一组数据进行分析依旧发现最后一组数据不在置信区间内，而实验数据样本原本就少，所以最初不应将最后一组数据删除。现得到的已是最佳结果。

图6 第二次残差分析图

实验二、划艇比赛的成绩与人数问题的函数拟合

一、问题

赛艇是一种靠桨手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。各种

艇虽大小不同，但形状相似。 现在考虑八人艇分重量级组（桨手体重不超过86kg ）和轻量级组（桨手体重不超过73kg ），建立模型说明重量级组的成绩比轻量级组大约好5%. T.A.McMathon 比较了各种赛艇1964—1970年四次2000m 比赛的最好成绩（包括1964年和1968年的两次奥运会和两次世界锦标赛），见表2第1至第6列，发现它们之间有相当一致

数为 n ， 桨手功率 p ， 桨手体重 w ， 艇重 W 。 (2) 艇形状相同(l /b 为常数)，w 0与n 成正比。

(3) v 是常数，阻力 f 与 sv 2成正比。 (4) w 相同，p 不变，p 与w 成正比。

通过推导，发现比赛成绩 t 与将手数n 的关系为：t ∝ n – 1/9.

二、实验要求

1、根据以上分析，设比赛成绩t 与桨手数n 之间的关系为b

an t ，请从出表2中整理出能用于拟合出这里的参数a 和b 的数据，并用Matlab 做拟合从而得到参数a 和b ，并写出拟合后的数学模型；

2、用拟合后的数学模型，结合桨手数计算出相应的比赛成绩，并画出实际桨手数-比赛成绩

图、以及拟合后的桨手数-比赛成绩图，将二者放在同一个图里做比较并用文字说明，比较要以拟合出的比赛成绩与实际成绩之差来说明。

3、写出实验报告。注意实验过程的详细文字描述，并插入适当的记录实验过程的截图、数据表及其他图表等。

三、实验内容

比赛成绩t与浆手数n之间的关系为t=an b,两边取对数得ln t=ln a+b∗ln(n)，令y=ln⁡(t)，x=ln⁡(n)，A=ln⁡(a)，可简化原模型为y=A+bx。根据已知数据做出下表

图1 x 与y散点图

由表1数据用matlab进行绘图得到图1，蓝点为真实数据点，红线为拟合直线，观察图像可以发现，x与y基本可以认为是一元线性关系，可以进行一元线性回归分析