第三章 系统频率特性

第三章 系统频率特性系统的时域分析是分析系统的直接方法，比较直观，但离开计算机仿真，分析高阶系统是困难的。

系统频域分析是工程广为应用的系统分析和综合的间接方法。

频率分析不仅可以了解系统频率特性，如截止频率、谐振频率等，而且可以间接了解系统时域特性，如快速性，稳定性等，为分析和设计系统提供更简便更可靠的方法。

本章首先阐明频率响应的特点，给出计算频率响应的方法，接着介绍Nyquist 图和Bode 图的绘制方法、系统的稳定裕度及系统时域性能指标计算。

3.1 频率响应和频率特性3.1.1 一般概念频率响应是指系统对正弦输入的稳态响应。

考虑传递函数为G(s)的线性系统，若输入正弦信号t X t x i i ωsin )(= (3.1-1)根据微分方程解的理论，系统的稳态输出仍然为与输入信号同频率的正弦信号，只是其幅值和相位发生了变化。

输出幅值正比于输入的幅值i X ，而且是输入正弦频率ω的函数。

输出的相位与i X 无关，只与输入信号产生一个相位差ϕ，且也是输入信号频率ω的函数。

即线性系统的稳态输出为)](sin[)()(00ωϕωω+=t X t x (3.1-2)由此可知，输出信号与输入信号的幅值比是ω的函数，称为系统的幅频特性，记为)(ωA 。

输出信号与输入信号相位差也是ω的函数，称为系统的相频特性，记为)(ωϕ。

幅频特性：)()()(0ωωωi X X A = (3.1-3)相频特性：)()()(0ωϕωϕωϕi -= (3.1-4)频率特性是指系统在正弦信号作用下，稳态输出与输入之比对频率的关系特性，可表示为：)()()(0ωωωj X j X j G i = (3.1-5)频率特性)(ωj G 是传递函数)(s G 的一种特殊形式。

任何线性连续时间系统的频率特性都可由系统传递函数中的s 以ωj 代替而求得。

)(ωj G 有三种表示方法：)()()(ωϕωωj e A j G = (3.1-6))()()(ωωωjV U j G += (3.1-7))(sin )()cos()()(ωϕωωωωjA A j G +=(3.1-8) 式中，实频特性：)(cos )()(ωϕωωA U =虚频特性：)()(arctan )()()()()(sin )()(22ωωωϕωωωωϕωωU V V U A A V =+==一般在分析系统的结构及参数变化对系统性能的影响时，频域分析比时域分析要容易些。

根据频率特性，可以较方便地判别系统的稳定性和稳定裕度，并可通过频率特性选择系统参数或对系统进行校正，使系统性能达到预期的性能指标。

同时，由频率特性易于选择系统工作频率范围，或根据工作频率要求，设计具有合适的频率特性的系统。

频率特性物理意义明确并且可以用实验的方法测定出来。

控制系统的频率特性与其动态特性和静态性能之间存在着定性和定量的关系，因此，可以利用图表、曲线和经验公式作为辅助工具来分析和设计系统。

3.1.2 频率响应的计算一、连续时间系统频率响应的计算011011)()()(a s a s a b s b s b s U s Y s G n n n n m m m m ++++++==---- (3.1-9)则系统的频率响应可以由：011011)()()()()(a j a j a b j b j b j G n n n n m m m m ++++++=---- ωωωωω (3.1-10)直接求出。

又设已知系统的状态方程模型为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=DU CX Y BU AX X . （3.1-11）则系统的频率响应可以由下式直接求出：D B A I j C j G +-=-1)()(ωω (3.1-12)二、离散时间系统频率响应的计算若离散系统的状态空间模型为(F,G ,C,D)，则此系统的频率响应为：D G F I e C T j G T j +-=--1)()(ωω (3.1-13)如离散系统以传递函数模型表示，将T j e z ω=代入，则系统的频率响应为：11211121)()()()()(+-+-++++++++=n T j n n T j n T j m T j m m T j m T j T j b e b e b e a b e b e b e b e G ωωωωωωω (3.2-14)式中，T 为采样周期。

应注意，离散时间系统的采样频率T s πω2=，而系统的频率范围应在2~0sω之间。

三、频率响应计算函数MATLAB 控制工具箱中，函数FREQRESP 用于计算LTI 系统的频率响应，它既适用于连续时间系统，也适用于离散时间系统；既适用于SISO 系统，也适用于MIMO 系统。

函数调用格式为：),(ωsys freqresp H =其中，sys 为系统模型；ω为指定的实频率向量，单位为rad/s; 返回值H 是系统的频率响应。

它是一个三维数组。

例如，SISO 系统，H(1,1,5)表示频率点)5(ω所对应响应值；对于MIMO系统，H(1,2,5)表示第1个输出和第2个输入之间在)5(ω频率点的响应值。

频率响应H 为复变量。

为了说明函数FREQRESP 所采用的计算方法，下面程序用两种方法计算一个离散的频率响应：1.采用变换T j e z ω=；2.直接用函数FREQRESP 。

[例3-1]已知离散系统传递函数为：9048.081.10464.00478.0)(2+-+=z z z z G ，采样周期s T s 1.0=，试计算它的频率响应并绘制其幅频图和相频图,amp301.m 。

图3-1 系统的频率响应3.2 频率特性图示法在经典控制论中，常用图示法来描述系统的频率特性，它们是：（1）幅相频特性—Nyquist 图，ω由∞→0表示极坐标上的)(ωj G 的幅值和相角关系。

（2）对数幅相特性—Bode 图，它由两个图组成：对数幅频特性图和对数相频特性图。

纵坐标分别是：幅值)(lg 20)(ωωA L =，以dB 表示；相角)(ωϕ，以度表示。

横坐标为频率，采用对数分度。

（3）对数幅相特性—Nichols 图，它是以ω为参变量来表示对数幅值和相角关系图。

MATLAB 控制工具箱中，有专用的函数可方便地实现这三个图形的绘制。

3.2.1 Nyfquist 图的绘制频率特性)(ωj G 是频率ω的复变函数，可以在复平面上用一个矢量来表示。

该矢量的幅值)()(ωωj G A =，相角)()(ωωϕj G ∠=。

当频率ω从∞→0变化时，)(ωj G 矢端的轨迹即为频率特性。

因此，把频率特性在复平面上用极坐标表示的几何图形，称为频率特性的极坐标图，或称为Nyquist 图。

Nyquist 图不便于分析频率特性中某个环节对频率特性的影响。

MATLAB 控制工具箱中有绘制Nyquist 图的函数NYQUIST ，调用格式为：)()Im,[Re,),,,2,1(),,2,1(),()(sys nyquist sysN sys sys nyquist sysN sys sys nyquist sys nyquist sys nyquist =ωωω其中，sys 为系统模型；ω频率向量；Re 为频率响应实部；Im 频率响应虚部。

MATLAB 中，频率范围ω可由两个函数给定：),,(log 21N space ωω产生频率在1ω和2ω之间N 个对数分布频率点；),,(21N linspace ωω产生频率在1ω和2ω之间N 个线性分布的频率点；N 可以缺省。

函数NYQUIST 用于计算LTI 系统的Nyquist 频率响应。

调用时，若不包含左边输出变量，函数NYQUIST 绘制系统的Nyquist 图；调用时，若包含左边输出变量，则不绘图，只输出变量的向量，这常用于分析系统频率特性。

同时，MATLAB 控制工具箱中还有绘制Nichols 图的函数NICHOLS ，其调用格式为：)(],,[),,,2,1(),,2,1(),()(sys nichols phase mag sysN sys sys nichols sysN sys sys nichols sys nichols sys nichols =ωωω函数nichols(sys)用来计算LTI 系统的频率响应并绘制Nichols 图，分析系统的开环和闭环特性。

[例3-2]绘制系统32152)(22++++=s s s s s G k 的Nyquist 图和Nichols 图，amp302.m 。

图3-2 Nyquist 图由图3.2可见，该系统的开环Nyquist 曲线不包围)0,1(j -点，故闭环是稳定的。

3.2.2 Bode 图的绘制Bode 图是由两幅图组成，分别称为对数幅频特性和对数相频特性。

它在频率响应法中应用最为广泛。

它的横坐标是频率)/(s rad ω，对数幅频特性的纵坐标是幅值)(lg 20ωj G ，单位dB ；对数相频特性的纵坐标为)(ωϕ，单位deg 。

Bode 图便于对系统中不同环节的作用以及整个系统进行分析。

MATLAB 控制系统工具箱中，用于Bode 图绘制的函数是BODE 。

函数BODE 用于计算线性时不变系统（LTI ）的频率响应、幅值和相位，绘制Bode 图，调用方式为：)(],,[),,,2,1(),,2,1(),()(sys bode phase mag sysN sys sys bode sysN sys sys bode sys bode sys bode =ωωω其中，sys 为系统模型；mag 为幅值；phase 为相位；ω频率范围。

函数BODE 可用于任意LTI 系统，即单输入单输出(SISO)系统，多输入多输出(MIMO)系统 ，连续时间系统，离散时间系统。

用函数)(sys bode 绘制系统的Bode 图时，频率范围将根据系统零极点自动确定。

),(ωsys bode 是根据给定的频率范围ω绘制系统sys 的频率特性曲线。

),,,2,1(ωsysN sys sys bode 是根据给定的频率范围ω绘制多个系统的频率特性曲线。

当函数调用带有左边输出变量时，函数将返回频率响应的幅值mag ，相位phase 和频率值ω。

[例3-3]例3-1系统，试绘制其Bode 图，amp303.m 。

图3-3 Bode 图比较图3-3和图3-1可知，在MATLAB 中，可用不同方法求得系统的频率响应特性，函数BODE 完成例3-1程序的所有计算。

3.3 稳定裕度由Nyquist 稳定判据可知，若系统开环的Nyquist 轨迹不包围)0,1(j -点，闭环系统是稳定的。

当系统开环Nyquist 轨迹离点)0,1(j -越远，闭环系统的稳定程度越高；开环Nyquist 轨迹离点)0,1(j -越近，则其闭环系统的稳定程度越低。