四边形之存在性问题(二)(讲义及答案)
四边形存在性问题
四边形之存在性问题（一）平移法解决两定两动型平行四边形的存在性问题两定两动型的平行四边形存在性问题是9年级常见的试题，也是中考的热点题型，所以此类问题一定要重视。
平行四边形存在性问题最终就是求某点的坐标，传统的方法一般是把直线和抛物线的解析式联立成方程组，求出方程组的解就可以得到点的坐标，这种方法往往涉及到繁复的计算。
而用平移法解决此类问题，构思巧妙，思路简洁流畅，计算量小，对一般学生都能够很轻松的接受。
平行四边形的平移，如下图，平行四边形ABCD在坐标系中，点A和B的坐标分别为,(ma、)b，根据平行四边形的性质和平移原理，B点怎么移动到A点，C点就怎么移),(n动到D点，比如若点B先向右平移7个单位，再向下平移5个单位得到点A，那么同样的把点C的“横坐标+7”“纵坐标-5”即可到点D的坐标。
这个方法可以在坐标系中求解有关平行四边形的坐标问题，很实用，下面就要用到。
【解题思路】1.存在性问题处理框架：①研究背景图形；②根据不变特征，确定分类标准；③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解；④结果验证；2.平行四边形存在性问题特征举例：（1）分析定点、动点；（2）①边或对角线，利用平移确定点的坐标；②两定两动，连接定线段，若定线段作为平行四边形的边，则通过平移确定点的坐标；若定线段作为平行四边形的对角线，则定线段绕中点旋转，利用中点坐标公式确定点的坐标；（3）结合图形进行验证；附：（线段的中点坐标公式课本上没有，但对于9年级学生来说在刷题时要经常用到，所以必须熟记).）如果线段AB 的两个端点坐标分别为),(),,(2211y x y x ， 中点M 的坐标记作),(y x ,则221x x x +=，221y y y += 即中点坐标M )2,2(2121y y x x ++【典型例题】【例1】 如图，在平面直角坐标系中，过点(2，3)的直线y ＝kx ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将此直线向下平移3个单位，所得到的直线l 与x 轴交于点C ． （1）求直线l 的表达式；（2）点D 为该平面直角坐标系内的点，如果以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标．【分析】以AC 为边时，可作1ACBD 与B ACD 3；以AC 为对角线时，可作2ABCD ;故一共3个点；【解答】（1）将（2，3）代入2+=kx y221+=∴x y ， )2,0(),0,4(B A -∴,向下平移3个单位，得121-=x y ，∴直线l 的表达式为121-=x y ； （2）121-=x y∴C 点坐标为（2，0），当AB 为对角线时，D 点坐标为（-6，2）， 当AC 为对角线时，D 点坐标为（-2，-2）， 当BC 为对角线时，D 点坐标为（6，2）；【例2】 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为A (3，0)，点B 的坐标为A (0， 4)．（1）求直线AB 的解析式；（2）点C 是线段AB 上一点，点O 为坐标原点，点D 在第二象限，且四边形BCOD 为菱形，求点D 坐标； （3）在（2）的条件下，点E 在x 轴上，点P 在直线AB 上，且以B 、D 、E 、P 为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有满足条件的点P 的坐标．【分析】（1）直线AB 的解析式只要将点代入b kx y +=即可； （2）这是两定两动的题型，利用菱形的对角线垂直平分画图进行解决；（3）两定两动的题型，分别以BD 为边与对角线进行作图，以BD 为边作图，再以平移求点即可，以BD 为对角线作图，求点时需要运用中点公式进行求解比较方便； 【解答】（1）,AB y kx b =+设直线的解析式为3044344- 4.3k b b k b AB y x +=⎧∴⎨=⎩⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩∴=+直线的解析式为（2）,BCOD 四边形是菱形 ,,(0,2),2,4324,,323(,2),23(-,2).2OB CD OB CD OB C y y x x C D ∴⊥∴==-+=∴∴且与互相平分的中点坐标为点的纵坐标是把代入得点坐标为点坐标为（3）339(6)(,2)(,2).222P --点的坐标为，或或【例3】如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝2x ＋12的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点．过点A 的直线交y 轴正半轴于点C ，且点C 为线段OB 的中点． （1）求直线AC 的表达式；（2）如果四边形ACPB 是平行四边形，求点P 的坐标． 【拓展】如果以A 、C 、P 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．【分析】（1）以C 为线段的中点，求解点C 的坐标，再由点A 的坐标两个点求出函数解析式；（2）四边形ACPB 为平行四边形，ACPB 顺次联结，故只有一种情况AC//BP,AB//CP,利用平移求解点P 的坐标；（3）三定一动的题型，利用已知定线段作为边或者对角线时，利用平移的方法求解点P 的坐标；【解答】（1）212,y x =+函数的解析式为6,00,120,6,6061,6,6;A B OB C AC y kx b b k b k b AM y x ∴-∴=+=⎧∴⎨=-+⎩∴==∴=+（）,（）,点C 为线段的中点,（）,设直线的解析式为：直线的解析式为： （2）,ACPB 四边形是平行四边形 ,,,,,6,6,18,6,18;PC AB PC AB PB AC PB AC P y Q PQB AOC PQ AO BQ CO QO QB OB P ∴==∆≅∆∴====∴=+=∴且∥且∥如图过点作轴的垂线，垂足为可证（）（3）,BC 当为对角线时(6,18),,(6,6),,(0,6),(6,18)(6,6)(6,6).P AB P AC P P --∴---点坐标为当为对角线时点坐标为当为对角线时点坐标为点坐标为或或。
八年级(下)数学 同步讲义 四边形的存在性
四边形的存在性内容分析本节包含两部分，平行四边形的存在性及梯形的存在性，常见题型是存在菱形和正方形，根据题目中的条件及特殊的平行四边形的性质构造等量关系，求出相应的点的坐标；常见的梯形的问题中，经常需要添加辅助线，考察学生的分类讨论思想及逻辑思维能力．知识结构模块一平行四边形的存在性知识精讲平行四边形的问题是近几年来考试的热点，考察学生的分类讨论的思想．常见的题型是在平面直角坐标系中已知三点和第四点构成平行四边形，求第四点；或者已知两点，另外两点在某函数图像上，四点构成平行四边形；利用两点间的距离公式和平移的思想，结合题目中的条件构造等量关系进行求解即可．在几何中，平行四边形的判定方法有如下几条：①两组对边互相平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分；⑤两组对角相等。
在压轴题中，往往与函数（坐标轴）结合在一起，运用到④⑤的情况较少，更多的是从边的平行、相等角度来得到平行四边形．- 2 -ABCM 1M 2M 31、 知识内容：已知三点后，其实已经固定了一个三角形（平行四边形的一半），如图ABC ．第四个点M 则有3种取法，过3个顶点作对边的平行线且取相等长度即可（如图中3个M 点）．2、 解题思路：（1） 根据题目条件，求出已知3个点的坐标； （2） 用一点及其对边两点的关系，求出一个可能点； （3） 更换顶点，求出所有可能的点；（4） 根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．【例1】 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AD =24 cm ，BC =26 cm ，动点P 从点A 出发沿AD 方向向点D 以1cm /s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿着CB 方向向点B 以3cm /s 的速度运动．点P 、Q 分别从点A 和点C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．（1）经过多长时间，四边形PQCD 是平行四边形； （2）经过多长时间，四边形PQBA 是矩形．例题解析思路剖析【例2】 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为A (3， 0)，点B 的坐标为B (0， 4)．（1）求直线AB 的解析式；（2）点C 是线段AB 上一点，点O 为坐标原点，点D 在第二象限，且四边形BCOD 为菱形，求点D 坐标；（3）在（2）的条件下，点E 在x 轴上，点P 在直线AB 上，且以B 、D 、E 、P 为顶点 的四边形是平行四边形，请写出所有满足条件的点P 的坐标．【例3】 如图，在平面直角坐标系中，过点(2，3)的直线y ＝kx ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将此直线向下平移3个单位，所得到的直线l 与x 轴交于点C ． （1）求直线l 的表达式；（2）点D 为该平面直角坐标系内的点，如果以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行 四边形，求点D 的坐标．ABOxyAB Oxy【例4】如图，已知直线l1经过点A(－5，－6)且与直线l2：362y x=-+平行，直线l 2与x轴、y轴分别交于点B、C．（1）求直线l1的表达式及其与x轴的交点D的坐标；（2）判断四边形ABCD是什么四边形．并证明你的结论；（3）若点E是直线AB上一点，平面内存在一点F，使得四边形CBEF是正方形，求点E的坐标，请直接写出答案．【例5】直线364y x=-+与坐标轴分别交与点A、B两点，点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿O B A→→运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．（3）当485S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．xOy- 4 -【例6】 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，∠B 是锐角，AF ⊥BC 于点F ， CH ⊥AD 于点H ， 在AB 边上取点E ，使得AE ＝AH ，在CD 边上取点G ，使得CG ＝CF ．联结EF 、FG 、GH 、HE ．（1）求证：四边形EFGH 是矩形；（2）当∠B 为多少度时，四边形EFGH 是正方形．并证明．【例7】 如图所示，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，正比例函数y =kx （x 为自变量）的图像与双曲线2y x=-交于点A ，且点A 的横坐标为2-．（1）求k 的值；（2）将直线y =kx （x 为自变量）向上平移4个单位得到直线BC ，直线BC 分别交x 轴、y 轴于B 、C ，如点D 在直线BC 上，在平面直角坐标系中求一点，使以O 、B 、D 、P 为顶点的四边形是菱形．ABC OxyABCDEFGH- 6 -【例8】 在直角△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB =4，将一个30°角的顶点P 放在AB边上滑动，保持30°角的一边平行于BC ，且交边AC 于点E ，30°的另一边交射线BC 于点D ，连ED ．（1）如图，当四边形PBDE 为等腰梯形时，求AP 长；（2）四边形PBDE 有可能为平行四边形吗．若可能，求出PBDE 为平行四边形时，AP 的长，若不可能，说明理由；（3）若点D 在BC 边上（不与B 、C 重合），试写出线段AP 的取值范围．ABCDE P梯形的分类讨论题多见于各类压轴题中，由于这类题目都与图形的运动有关，需要学生有一定的想象力、分析力和运算力．梯形的主要特征是两底平行，特殊梯形又可分为等腰梯形和直角梯形两大类．常见题型为在直角坐标平面内已知三点求第四点，抓住梯形两底平行的特征，对应的一次函数的解析式的k 相等而b 不相等．若是等腰梯形，常需添设辅助线，过上底的两个顶点作下底的垂线，构造两个全等的直角三角形．若是直角梯形，则需连接对角线或过上底的一顶点作下底的高构造直角三角形．【例9】 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =12cm ，DC =8cm ，且∠C =60°，动点P 以1cm/s的速度从点A 出发，沿AD 方向向点D 移动，同时，动点Q 以2cm /s 的速度从点C 出发，沿C 出发，沿CB 方向向点B 移动，连接PQ ，（1）得四边形ABQP 和四边形PQCD .若设移动的时间为t 秒（0＜t ＜7），四边形PQCD 的面积为ycm ²，求y 与t 的函数关系式；（2）当t 为何值时，四边形QPCD 是等腰梯形．说明理由； （3）当t 为何值时，四边形PQCD 是直角梯形．模块二 梯形的存在性知识精讲例题解析QPBCDA- 8 -【例10】 如图，一次函数33y x b =+的图像与x 轴相交于点A (53，0)、与y 轴相交于点B ． （1）求点B 的坐标及∠ABO 的度数；（2）如果点C 的坐标为（0，3），四边形ABCD 是直角梯形，求点D 的坐标【例11】 如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，点G 为BC 的中点，点E 为线段BC 延长线上的一点，且CE ＝12BC ，过点E 作EF //CA ，交CD 于点F ，联结OF ．（1）求证：OF //BC ；（2）如果四边形OBEF 是等腰梯形，判断四边形ABCD 的形状，并给出证明．【例12】 如图，在平面直角坐标系中，直线l 1经过O 、A (1，2)两点，将直线l 1向下平移6AB C OxyABCDEFGO个单位得到直线l 2，交x 轴于点C ，B 是直线l 2上一点，且四边形ABCO 是平行四边形．（1）求直线l 2的表达式及点B 的坐标；（2）若D 是平面直角坐标系内的一点，且以O 、A 、C 、D 四个点为顶点的四边形是等腰梯形，求点D 的坐标．【例13】 已知一次函数142y x =-+的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，梯形AOBC 的边AC =5．（1） 求点C 的坐标；（2） 如果点A 、C 在一次函数y =kx +b （k 、b 为常数，且k <0）的图像上，求这个一次 函数的解析式【例14】 如图1，在平面直角坐标系中，已知点A (0，2)，点P 是x 轴上一动点，以线段APAOC xy为一边，在其一侧作等边三角形APQ．当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B．（1）求点B的坐标；（2）当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，求证：∠ABQ＝90°；（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．ABOPQ xyABO xy图1备用图- 10 -【例15】 在直角平面内，O 为原点，点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，4），直线CM ∥x 轴（如图所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y =x +b （b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，连接OD ． （1）求b 的值和点D 的坐标；（2）设点P 在x 轴的正半轴上，若△POD 是等腰三角形，求点P 的坐标；（3）若动点P 在x 轴的正半轴上，以每秒2个单位长的速度向右运动；动点Q 在射线CM 上，且以每秒1个单位长的速度向右运动，若P 、Q 分别由O 点、C 点同时出发，问几秒后，以P 、Q 、O 、D 为顶点的四边形可以成为平行四边形；以P 、Q 、O 、D 为顶点的四边形是否可以成为等腰梯形．写出理由．1AO4CxMy- 12 -【习题1】 如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝2x ＋12的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B两点．过点A 的直线交y 轴正半轴于点C ，且点C 为线段OB 的中点． （1）求直线AC 的表达式；（2）如果四边形ACPB 是平行四边形，求点P 的坐标．【拓展】如果以A 、C 、P 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．【习题2】 如图，在平面直角坐标系中，直线162y x =-+与y 轴交于点A ，与直线12y x =相交于点B ，点C 是线段OB 上的点，且△AOC 的面积为12． （1）求直线AC 的表达式；（2）设点P 为直线AC 上的一点，在平面内是否存在点Q ，使四边形OAPQ 为菱形， 若存在，求点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．随堂检测ABCOxy ABO xy【习题3】 如图，已知在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B ＝90°，AD ＝24cm ，AB ＝8cm ，BC ＝26cm ，动点P 从A 点开始沿AD 边以1cm /s 的速度向D 运动，动点Q 从C 点开始沿CB 边以3 cm /s 的速度向B 运动，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为t 秒，当t 为何值时，线段PQ ＝CD ．【作业1】 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于A 、B两点，点A 的坐标为(2，3)，点B 的横坐标为6． （1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）如果点C 、D 分别在x 轴、y 轴上，四边形ABCD 是平行四边形，求直线CD 的表达式．课后作业ABCDQPAB CDABOxy【作业2】已知一条直线y=kx+b在y轴上的截距为2，它与x轴、y轴的交点分别为A、B，且△ABO的面积为4．（1）求点A的坐标；（2）若k<0，在直角坐标平面内有一点D，使四边形ABOD是一个梯形，且AD∥BO，其面积又等于20，试求点D的坐标．【作业3】定义[p，q]为一次函数y＝px＋q的特征数．（1）若特征数为[3，k－1]的一次函数为正比例函数，求k的值；（2）一次函数y＝kx＋b的图像与x轴交于点A(3-，0)，与y轴交于点B，且与正比例函数43y x=的图像的交点为C (m，4)．求过A、B两点的一次函数的特征数；（3）在（2）的条件下，若点D与A、O、C构成的四边形为平行四边形，直接．．写出所有符合条件的点D的坐标．A BCO x y- 14 -【作业4】 如图所示，直线y =-2x +12，分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，点C 是线段AB 的中点，点D 在线段OC 上，点D 的纵坐标是4． （1） 求点C 的坐标和直线AD 的解析式；（2） P 是直线AD 上的点，请你找出一点Q ，使得以O 、A 、P 、Q 这四个点为顶点的 四边形是菱形，写出所有满足条件的Q 的坐标．BA Cyx。
专题1.5 四边形存在性问题(强化)(解析版)
专题1.5 四边形存在性问题【例题精讲】【例1】如图，以ABC D 的各边，在边BC 的同侧分别作三个正方形ABDI ，BCFE ，ACHG ．（1）求证：BDE BAC D @D ；（2）求证：四边形ADEG 是平行四边形．（3）直接回答下面两个问题，不必证明：①当ABC D 满足什么条件时，四边形ADEG 是矩形？②当ABC D 满足什么条件时，四边形ADEG 是正方形？【解答】（1）证明：Q 四边形ABDI 、四边形BCFE 、四边形ACHG 都是正方形，AC AG \=，AB BD =，BC BE =，90GAC EBC DBA Ð=Ð=Ð=°．ABC EBD \Ð=Ð（同为EBA Ð的余角）．在BDE D 和BAC D 中，BD BA DBE ABC BE BC =ìïÐ=Ðíï=î，()BDE BAC SAS \D @D ，（2）BDE BAC D @D Q ，DE AC AG \==，BAC BDE Ð=Ð．AD Q 是正方形ABDI 的对角线，45BDA BAD \Ð=Ð=°．45EDA BDE BDA BDE Ð=Ð-Ð=Ð-°Q ，360DAG GAC BAC BADÐ=°-Ð-Ð-Ð3609045BAC =°-°-Ð-°225BAC=°-Ð45225180EDA DAG BDE BAC \Ð+Ð=Ð-°+°-Ð=°//DE AG \，\四边形ADEG 是平行四边形（一组对边平行且相等）．（3）①当四边形ADEG 是矩形时，90DAG Ð=°．则360360459090135BAC BAD DAG GAC Ð=°-Ð-Ð-Ð=°-°-°-°=°，即当135BAC Ð=°时，平行四边形ADEG 是矩形；②当四边形ADEG 是正方形时，90DAG Ð=°，且AG AD =．由①知，当90DAG Ð=°时，135BAC Ð=°．Q 四边形ABDI 是正方形，AD \=．又Q 四边形ACHG 是正方形，AC AG \=，AC \=．\当135BAC Ð=°且AC =时，四边形ADEG 是正方形．【题组训练】菱形存在性1．在ABC D 中，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作//AF BC 交BE 的延长线于点F ．（1）求证：AEF DEB D @D ；（2）当ABC D 满足什么条件时，四边形ADCF 是菱形，并证明．【解答】（1）证明：E Q 是AD 的中点，AE DE \=，//AF BC Q ，在AEF D 和DEB D 中，EAF EDB AE DE AEF DEB Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()AEF DEB ASA \D @D ；（2）解：90BAC Ð=°时，四边形ADCF 是菱形．理由如下：AEF DEB D @D Q ，AF BD \=，90BAC Ð=°Q ，D 是BC 的中点，AD BD CD \==，AF CD \=，//AF BC Q ，\四边形ADCF 是平行四边形，又AD CD =Q ，\四边形ADCF 是菱形．2．如图，在ABCD Y 中，E 是AD 边上的中点，连接BE ，并延长BE 交CD 的延长线于点F ．（1）求证：ABE DFE D @D ；（2）连接BD 、AF ，当BE 平分ABD Ð时，求证：四边形ABDF 是菱形．【解答】（1）证明：Q 四边形ABCD 为平行四边形，//AB CD \．Q 点F 在CD 的延长线上，//FD AB \．E Q 是AD 中点，AE DE \=．在ABE D 和DFE D 中，ABE DFE BEA DEFAE DE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()ABE DFE AAS \D @D ；（2）证明：ABE DFE D @D Q ，AB DF \=．//AB DF Q ，AB DF =，\四边形ABDF 是平行四边形．BF Q 平分ABD Ð，ABF DBF \Ð=Ð．//AB DF Q ，ABF DFB \Ð=Ð，DBF DFB \Ð=Ð．DB DF \=．\四边形ABDF 是菱形．3．已知：如图，在ABC D 中，90ACB Ð=°，AD 平分CAB Ð，DE AB ^，垂足为E ，CD ED =．连接CE ，交AD 于点H ．（1）求证：ACD AED D @D ；（2）点F 在AD 上，连接CF ，EF ．现有三个论断：①//EF BC ；②EF FC =；③CE AD ^．请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明四边形CDEF 是菱形．【解答】（1）证明：90ACB Ð=°Q ，CAB Ð的平分线交BC 于D ，DE AB ^，CD DE \=，在Rt ACDD和Rt AEDD中，AD AD CD DE=ìí=î，()ACD AED HL\D@D；（2）选择①//EF BC．证明如下：ACD AEDD@DQ，AC AE\=，ADQ平分CABÐ，AD\垂直平分CE，FC FE\=，DC DE=，CED ECD\Ð=Ð，//EF BCQ，FEC ECD\Ð=Ð，CED FEC\Ð=Ð，EFD EDF\Ð=Ð，EF ED\=，FC FE DC DE\===，\四边形FCDE为菱形．4．如图，已知BE AD^，CF AD^，且BE CF=．（1）请你判断AD是ABCD的中线还是角平分线？请证明你的结论；（2）连接BF，CE，是否可以在ABCD中添加一个条件，使四边形BFCE是菱形？如果可以，试写出这个条件；若不可以，请说明理由．【解答】解：（1）AD是ABCD的中线．（1分）理由如下：BE AD^Q，CF AD^，90BED CFD \Ð=Ð=°（1分）又BE CF =Q ，BDE CDF Ð=Ð，()BDE CFD AAS \D @D ．（2分）BD CD \=，即AD 为ABC D 的中线；（2）不可以．若四边形BFCE 是菱形，则BF BE =，与垂线段最短矛盾，故不可能是菱形．矩形存在性5．如图，ABC D 中，点D 是边AC 的中点，过D 作直线//PQ BC ，BCA Ð的平分线交直线PQ 于点E ，点G 是ABC D 的边BC 延长线上的点，ACG Ð的平分线交直线PQ 于点F ．求证：四边形AECF 是矩形．【解答】证明：//PQ BC Q ，DEC BCE \Ð=Ð，DFC GCF Ð=Ð，CE Q 平分BCA Ð，CF 平分ACG Ð，BCE DCE \Ð=Ð，DCF GCF Ð=Ð，DEC DCE \Ð=Ð，DFC DCF Ð=Ð，DE DC \=，DF DC =，DE DF \=，Q 点D 是边AC 的中点，AD CD \=，\四边形AECF 是平行四边形，180BCA ACG Ð+Ð=°Q ，1180902ECF DCE DCF \Ð=Ð+Ð=´°=°，\平行四边形AECF 是矩形．6．已知：如图，ABC D 中，BD 平分ABC Ð交AC 于点D ，E 为AB 中点，过点A 作//AF BD ，交DE 延长线于点F ．（1）求证：AF BD =；（2）当ABC D 满足什么条件时，四边形AFBD 是矩形？请证明你的结论．【解答】（1）证明：//AF BD Q ，FAE DBE \Ð=Ð，E Q 为AB 的中点，EA EB \=，在AEF D 和BED D 中，FAE DBE AE BEAEF BED Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()AEF BED ASA \D @D ，AF BD \=；（2）解：当ABC D 满足AB CB =时，四边形AFBD 是矩形，理由如下：由（1）可知，AF BD =，//AF BD Q ，\四边形AFBD 是平行四边形，AB CB =Q ，BD 平分ABC Ð，BD AC \^，90BDA \Ð=°，\平行四边形AFBD 是矩形．7．已知在四边形ABCD 中，作//AE BC 交BD 于O 点且OB OD =，交DC 于点E ，连接BE ，ABD EAB Ð=Ð，DBE EBC Ð=Ð．求证：四边形ABED为矩形．【解答】证明：ABD EABÐ=ÐQ，OA OB\=，//AE BCQ，AEB EBC\Ð=Ð，DBE EBCÐ=ÐQ，AEB DBE\Ð=Ð，OE OB\=，OA OE\=，OB OD=Q，\四边形ABED是平行四边形，OA OB=Q，OA OE=，OA OE OB OD\===，AE BD\=，\平行四边形ABED为矩形．8．如图，//AB DE，且12AB DE=，C是DE的中点，线段AE和BC相交于F点（1）求证：BC AD=；（2）连接AC、BE，若要使四边形ABEC是矩形，则需要给ADED添加什么条件，请说明理由．【解答】（1）证明：12AB DE=Q，C是DE的中点，//AB DE Q ，\四边形ABCD 是平行四边形，BC AD \=；（2）解：要使四边形ABEC 是矩形，添加条件ADE D 是等腰三角形，AD AE =，理由如下：12AB DE =Q ，C 是DE 的中点，AB CE \=，//AB DE Q ，\四边形ABEC 是平行四边形AD AE =Q ，C 是DE 的中点，AC DE \^，90ACE \Ð=°，\四边形ABEC 是矩形．9．如图，在ABC D 中，点O 是边AC 上一个动点，过点O 作直线//EF BC 分别交ACB Ð、外角ACD Ð的平分线于点E 、F ．（1）若8CE =，4CF =，求OC 的长；（2）连接AE 、AF ．问：当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．【解答】解：（1）CE Q 平分ACB Ð，12ACE ECB ACB \Ð=Ð=Ð，CF Q 平分ACD Ð，12ACF FCD ACD \Ð=Ð=Ð，11118090222ECF ACB ACD \Ð=Ð+Ð=´°=°，在Rt ECF D 中，EF ===，ACE ECB FEC \Ð=Ð=Ð，OE OC \=，同理OC OF =，12OC OE OF EF \====；（2）当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形．理由如下：连接AE 、AF ，如图所示：当O 为AC 的中点时，AO CO =，EO FO =Q ，\四边形AECF 是平行四边形，90ECF Ð=°Q ，\平行四边形AECF 是矩形．10．如图，在ABC D 中，O 是边AC 上的一个动点，过点O 作直线MN ，交ACB Ð的平分线于点E ，交ABC D 的外角ACD Ð的平分线于点F ．给出下列信息：①//MN BC ；②OE OC =；③OF OC =．（1）请在上述3条信息中选择其中一条作为条件，证明：OE OF =；（2）在（1）的条件下，连接AE 、AF ，当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？请说明理由．【解答】解：（1）选择//MN BC ，理由如下：//MN BC Q ，OEC BCE \Ð=Ð，OFC DCF Ð=Ð，CE Q 平分ACB Ð，CF 平分ACD Ð，BCE ACE \Ð=Ð，DCF ACF Ð=Ð，OEC ACE \Ð=Ð，OFC ACF Ð=Ð，OE OC \=，OF OC =，OE OF \=；（2）当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形，理由如下：当O 为AC 的中点时，AO CO =，由（1）可知，OE OF =，\四边形AECF 是平行四边形，CE Q 平分ACB Ð，CF 平分ACD Ð，ACE BCE \Ð=Ð，ACF DCF Ð=Ð，1180902ACE ACF \Ð+Ð=´°=°，即90ECF Ð=°，\平行四边形AECF 是矩形．11．如图，ABC D 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线//MN BC ．设MN 交ACB Ð的平分线于点E ，交ACB Ð的外角平分线于点F ．（1）求证：OE OF =；（2）若8CE =，6CF =，求OC 的长；（3）当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．【解答】（1）证明：MN Q 交ACB Ð的平分线于点E ，交ACB Ð的外角平分线于点F ，25\Ð=Ð，46Ð=Ð，//MN BC Q ，15\Ð=Ð，36Ð=Ð，12\Ð=Ð，34Ð=Ð，EO CO \=，FO CO =，OE OF \=；（2）解：25Ð=ÐQ ，46Ð=Ð，245690\Ð+Ð=Ð+Ð=°，8CE =Q ，6CF =，10EF \==，152OC EF \==；（3）答：当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形．证明：当O 为AC 的中点时，AO CO =，EO FO =Q ，\四边形AECF 是平行四边形，90ECF Ð=°Q ，\平行四边形AECF 是矩形．12．如图，在矩形ABCD 中，8AB cm =，16BC cm =，点P 从点D 出发向点A 运动，运动到点A 停止，同时，点Q 从点B 出发向点C 运动，运动到点C 即停止，点P 、Q 的速度都是1/cm s ．连接PQ 、AQ 、CP ．设点P 、Q 运动的时间为t s ．（1）当t 为何值时，四边形ABQP 是矩形；（2）当t 为何值时，四边形AQCP 是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP 的周长和面积．【解答】解：（1）Q 在矩形ABCD 中，8AB cm =，16BC cm =，16BC AD cm \==，8AB CD cm ==，由已知可得，BQ DP tcm ==，(16)AP CQ t cm ==-，在矩形ABCD 中，90B Ð=°，//AD BC ，当BQ AP =时，四边形ABQP 为矩形，16t t \=-，得8t =，故当8t s =时，四边形ABQP 为矩形；（2）AP CQ =Q ，//AP CQ ，\四边形AQCP 为平行四边形，\当AQ CQ =时，四边形AQCP 为菱形16t =-时，四边形AQCP 为菱形，解得6t =，故当6t s =时，四边形AQCP 为菱形；（3）当6t s =时，16610AQ CQ CP AP cm ====-=，则周长为41040cm cm ´=；面积为210880cm cm cm ´=．正方形存在性13．如图，ABC D 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线//MN BC ，设MN 交BCA Ð的平分线于点E ，交BCA Ð的外角平分线于点F ．（1）探究：线段OE 与OF 的数量关系并加以证明；（2）当点O 在边AC 上运动时，四边形BCFE 会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由；（3）当点O 运动到何处，且ABC D 满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？【解答】解：（1）OE OF =．证明如下：CE Q 是ACB Ð的平分线，12\Ð=Ð．//MN BC Q ，13\Ð=Ð．23\Ð=Ð．OE OC \=．同理可证OC OF =．OE OF \=．（2）四边形BCFE 不可能是菱形，若四边形BCFE 为菱形，则BF EC ^，而由（1）可知FC EC ^，在平面内过同一点F 不可能有两条直线同垂直于一条直线．（3）当点O 运动到AC 中点时，且ABC D 是直角三角形(90)ACB Ð=°时，四边形AECF 是正方形．理由如下：O Q 为AC 中点，OA OC \=，Q 由（1）知OE OF =，\四边形AECF 为平行四边形；12Ð=ÐQ ，45Ð=Ð，1245180Ð+Ð+Ð+Ð=°，2590\Ð+Ð=°，即90ECF Ð=°，AECF \Y 为矩形，又//MN BC Q ，90ACB Ð=°，90AOM \Ð=°，AC EF \^．AECF \Y 是正方形．\当点O 为AC 中点且ABC D 是以ACB Ð为直角三角形时，四边形AECF 是正方形．14．如图，ABCÐ的平分线分别交MN于E、Ð、ACDD中，//MN BD交AC于P，ACBF．（1）求证：PE PF=；（2）当MN与AC的交点P在什么位置时，四边形AECF是矩形，说明理由；（3）在（2）条件中，当ABCD满足什么条件时，四边形AECF是正方形．（不需要证明）【解答】证明：（1）CEQ平分ACBÐ，\Ð=Ð．ACE BCEQ，MN BC//\Ð=Ð．PEC BCE=．\Ð=Ð，PE PCACE PEC同理：PF PC=．PE PF\=．（2）当P是AC中点时四边形AECF是矩形，=，Q，PF PE=PA PC\四边形AECF是平行四边形．=Q，PE PC\=，四边形AECF是矩形．AC EF（3）当90Ð=°时，四边形AECF是正方形．ACB15．如图，在ABCMN BC，设MN交D中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线//Ð的外角平分线于点F．BCAÐ的角平分线于点E，交BCA（1）求证：EO FO=；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．（3）当点O运动到何处，且ABCD满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．【解答】解：（1）Q，MN BC//\Ð=Ð，32又CFÐ，Q平分GCO12\Ð=Ð，\Ð=Ð，13FO CO\=，同理：EO CO=，EO FO\=．（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．Q当点O运动到AC的中点时，AO CO=，又EO FOQ，=\四边形AECF是平行四边形，由（1）可知，FO CO=，\===，AO CO EO FO=，\+=+，即AC EFAO CO EO FO\四边形AECF是矩形．（3）当点O运动到AC的中点时，且ABCACBÐ=°的直角三角形时，四边形AECFD满足90是正方形．Q由（2）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，Q，MN BC//\Ð=ÐAOE ACBQ，Ð=°ACB90\Ð=°，AOE90\^，AC EF\四边形AECF是正方形．16．如图，在ABCÐ的D外角CAM D中，AB AC^，垂足为点D，AN是ABC=，AD BC平分线，CE AN^，垂足为点E，连接DE交AC于点F．（1）DANÐ= 90° ．（2）求证：四边形ADCE是一个矩形．（3）当ABCD满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？请给出证明．【解答】（1）解：如图1，AB AC =Q ，AD BC ^，垂足为D ，12CAD BAC \Ð=Ð．AN Q 是ABC D 外角的平分线，12CAE CAM \Ð=Ð，BAC ÐQ 与CAM Ð是邻补角，180BAC CAM \Ð+Ð=°，1()902DAN CAD CAE BAC CAM \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°，故答案为：90°（2）AD BC ^Q ，CE AN ^，90DAN Ð=°，90ADC CEA DAN \Ð=Ð=Ð=°，\四边形ADCE 为矩形．（3）如图2，当ABC D 是等腰直角三角形时，四边形ADCE 是一个正方形．90BAC Ð=°Q ，且AB AC =，AD BC ^，1452CAD BAC \Ð=Ð=°，90ADC Ð=°，45ACD CAD \Ð=Ð=°，AD AC \=．Q 四边形ADCE 为矩形，\四边形ADCE 为正方形．17．如图，AD 是等腰ABC D 底边BC 上的高，点O 是AC 中点，延长DO 到E ，使//AE BC ，连接AE ．（1）求证：四边形ADCE 是矩形；（2）①若17AB =，16BC =，则四边形ADCE 的面积= 120 ．②若10AB =，则BC = 时，四边形ADCE 是正方形．【解答】（1）证明：Q 点O 是AC 中点，AO OC \=，//AE BC Q ，AEO ODC \Ð=Ð，EAO OCD Ð=Ð，()AOE COD AAS \D @D ，OE OD \=，\四边形ADCE 是平行四边形，AD Q 是等腰ABC D 底边BC 上的高，90ADC \Ð=°，\四边形ADCE 是矩形；（2）①AD Q 是等腰ABC D 底边BC 上的高，16BC =，17AB =，8BD CD \==，17AB AC ==，90ADC Ð=°，由勾股定理得：15AD ===，\四边形ADCE 的面积是158120AD DC ´=´=．②当10AB =，BC =ADCE 是正方形，理由如下：Q，BC===AB AC10AD DC \====，Q，^AD BC\四边形ADCE是正方形；故答案为：120；。
二次函数与平行四边形存在性问题专题讲义(对点法——一招制胜)
二次函数与平行四边形存在性问题专题讲义一、知识链接：1.坐标系中的点的平移点P(x,y)的平移方式平移后点的坐标规律沿x轴平移向右平移a个单位长度(x+a,y)左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变向左平移a个单位长度(x-a,y)沿y轴平移向上平移b个单位长度(x,y+b)上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减向下平移b个单位长度(x,y-b)2.图形的平移：从本质上讲就是图形上点的平移例1：如下图，线段AB平移得到线段AB',已知A(-2,2),B(-3,-1)B'(3,1)则:向右平移6个单位长度芳V1)向上平移2个单位长度例2•在平行四边形ABCD中，其中已知A(-1，0)，B(1，-2),C(3，1)，则D点坐标?向右2个单位长度(仁-2)C(31)向上3个单位长度向右2个单位长度(-1,0)D(?,?)向上3个单位长度二、知识迁移例3：如图，在平面直角坐标系中，口ABCD的顶点坐标分别为A(x,y)、B(x,y)、1122点A的坐标是三、对点法①若点A 与点B 相对，则点D 与点C 相对 ②若点A 与点D 相对，则点B 与点C 相对 ③若点A 与点C 相对，则点B 与点D 相对四、典型例题学习五、小试牛刀1. 抛物线中的平行四边形存在性问题(“三定一动”)•.•AB〃CD,AB=CD.•.边CD 可看成由边BA 向右、向上平移n 个单位长度得丿|什平移(爲"牛单位矗U I 兀4J 4RfV1,、|；RT 书乐-叩个单位中厂V”"\ £>1不2」2丿向计移(旳-忖个单位蟲/即：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐⑶4,>+4)例4.如图,平面直角坐标系中，已知A(-l,0),B(l,-2),C(3,l)点D 是平面内一动点,若以点 A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，则点D 的坐标是思路点拨：先求出A(-1,0)B(2,0)C(0,2)设点M(x,y)①点A与点B相对②点A与点C相对③点A与点M相对—1+2二x二0+0二2+y=—1+0二x=30+2二0+、二—1+x二x二0+y二0+7二例5.已知,抛物线y二-X2+x+2与X轴的交点为A、B,与y轴的交点为C,点M是平面内一点，判断有几个位置能使以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出相应的坐•••M(1，-2)或(-3,2)或(3,2)2.抛物线中的平行四边形存在性问题(“两定两动”)1例6•如图，平面直角坐标系中，y=—-x2+x与x轴相交于点B(4,0),点Q在抛物线的对称4轴上，点P在抛物线上,且以点0、B、Q、P为顶点的四边形是平行四边形,写出相应的点P 的坐标.线上的动点，点Q是直线y二-x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点变试题:2.如图，平面直角坐标中，y二X2-2x-3与X轴相交于点A(-1,O),点C的坐标是(2,-3),点P抛物线上的动点，点Q是x轴上的动点，判断有几个位置能使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形,写出相应的点Q的坐标.六、方法分享二次函数综合问题中，平行四边形的存在性问题，无论是“三定一动”，还是“两定两动”，甚至是“四动”问题，能够一招制胜的方法就是“对点法”，需要分三种情况，得出三个方程组求解。
39 四边形的存在性问题
四边形的存在性问题例题精讲【例1】如图1，四边形ABC D 中，//AD BC ，90AD C ∠=︒，8AD =，6BC =，点M 从点D 出发，以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，同时，点N 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP AD ⊥于点P ，连接AC 交NP 于点Q ，连接MQ ．设运动时间为t 秒．（1）A M =，A P =．（用含t 的代数式表示）（2）当四边形AN C P 为平行四边形时，求t 的值（3）如图2，将AQM ∆沿A D 翻折，得A K M ∆，是否存在某时刻t ，①使四边形AQMK 为为菱形，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由②使四边形AQMK 为正方形，则A C =．【解答】解：（1）如图1．82AM AD D M t ∴=-=-．在直角梯形ABC D 中，//AD BC ，90AD C ∠=︒，NP AD ⊥于点P ，∴四边形C N PD 为矩形，6DP CN BC BN t ∴==-=-，8(6)2AP AD DP t t ∴=-=--=+；故答案为：82t -，2t +．（2）四边形AN C P 为平行四边形时，C N A P =，68(6)t t ∴-=--，解得：2t =，（3）①存在时刻1t =，使四边形AQMK 为菱形．理由如下：N P A D ⊥，QP PK =，∴当P M P A =时有四边形AQMK 为菱形，628(6)t t t ∴--=--，解得1t =，②要使四边形AQMK 为正方形．90AD C ∠=︒，45C AD ∴∠=︒．∴四边形AQMK 为正方形，则CD AD =，8A D =，AC ∴=．故答案为：．【变式训练1】在矩形ABC D 中，3A B =，4BC =，E 、F 是对角线AC 上的两个动点，分别从A ，C 同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒，其中05t ．（1）若G ，H 分别是A B ，DC 中点，求证：四边形E G F H 是平行四边形(E 、F 相遇时除外）．（2）在（1）条件下，若四边形E G F H 为矩形，求t 的值．（3）若G ，H 分别是折线A B C --，C D A --上的动点，与E ，F 相同的速度同时出发，若四边形E G F H 为菱形，求t 的值．【解答】（1）证明：四边形ABC D 是矩形，AB CD ∴=，//AB CD ，//AD BC ，90B ∠=︒，5AC ∴==，G A F H C E ∠=∠，G ，H 分别是A B ，DC 中点，A GB G ∴=，CH D H =，AG CH ∴=，AE CF =，AF CE ∴=，在A F G ∆和C E H ∆中，AG CH GAF HCE AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AFG CEH SAS ∴∆≅∆，G F H E ∴=，同理：GE HF =，∴四边形E G F H 是平行四边形；（2）解：由（1）得：BG CH =，//BG CH ，∴四边形B C H G 是平行四边形，4G H BC ∴==，当4EF GH ==时，平行四边形E G F H 是矩形，分两种情况：①AE CF t ==，524E F t =-=，解得：0.5t =；②AE CF t ==，52(5)4EF t =--=，解得： 4.5t =；综上所述：当t 为0.5s 或4.5s 时，四边形E G F H 为矩形；（3）解：连接AG 、CH ，如图所示：四边形E G F H 为菱形，GH EF ∴⊥，OG OH =，O E O F =，O A O C ∴=，AG AH =，∴四边形AGCH 是菱形，A G C G ∴=，设AG CG x ==，则4BG x =-，由勾股定理得：222AB BG AG +=，即2223(4)x x +-=，解得，258x =，257488BG ∴=-=，731388AB BG ∴+=+=，t ∴为318时，四边形E G F H 为菱形．【变式训练2】在矩形ABC D 中，6A B =，8B C =，点E 为BC 延长线上一点，且B D B E =，连接D E ，Q 为D E 的中点，有一动点P 从B 点出发，沿BC 以每秒1个单位的速度向E 点运动，运动时间为t 秒．（1）如图1，连接D P 、PQ ，则DPQ S ∆=（用含t 的式子表示）；（2）如图2，M 、N 分别为A B 、A D 的中点，当t 为何值时，四边形MNQP 为平行四边形？请说明理由；【解答】解：（1）四边形ABC D 是矩形，6A B =，8B C =，8B C ∴=，6CD =，10BD ∴==10BD BE ∴==Q 为D E 的中点，12DPQ DPE S S ∆∆∴=，11113()(6106)1522222DPQ BED BDP S S S t t ∆∆∆∴=-=⨯⨯-⨯⨯=-故答案为：3152t-（2）当5t =时，四边形MNQP 为平行四边形，理由如下：M 、N 分别为A B 、A D 的中点，//MN BD ∴，152MN BD ==，5t =时，152BP BE ∴==，且点Q 是D E 的中点，//PQ BD ∴，152PQ BD ==//MN PQ ∴，MN PQ=∴四边形MNQP 是平行四边形最新模拟题1.如图，在矩形ABCD 中，3CD cm =，4BC cm =，连接BD ，并过点C 作CN BD ⊥，垂足为N ，直线l 垂直BC ，分别交BD 、BC 于点P 、Q ．直线l 从AB 出发，以每秒1cm 的速度沿BC 方向匀速运动到CD 为止；点M 沿线段DA 以每秒1cm 的速度由点D 向点A 匀速运动，到点A 为止，直线1与点M 同时出发，设运动时间为t 秒(0)t >．（1）线段CN =125；（2）连接PM 和QN ，当四边形MPQN 为平行四边形时，求t 的值；（3）在整个运动过程中，当t 为何值时PMN ∆的面积取得最大值，最大值是多少？【解答】解：（1）四边形ABCD 是矩形4BC AD cm ∴==，90BCD A ∠=︒=∠，225BD BC CD cm ∴=+，1122BCD S BC CD BD CN ∆=⨯=⨯⨯125CN ∴=故答案为：125（2）在Rt CDN ∆中，2295DN CD CN =-四边形MPQN 为平行四边形时//PQ MN ∴，且PQ BC ⊥，//AD BCMN AD∴⊥//MN AB∴DMN DAB∴∆∆∽∴DM DN AD BD=即9545DM =3625DM cm ∴=3625t s ∴=（3）5BD =，95DN =165BN ∴=如图，过点M 作MH BD ⊥于点H ，sin sin AB MH MDH BDA BD MD ∠=∠==∴35MD t =35MH t ∴=当64025t <<BQ t =，45BP t ∴=，9416555554PN BD BP DN t t ∴=--=--=-2113165324()22554825PMN S PN MH t t t t ∆∴=⨯⨯=⨯⨯-=-+∴当3225t s =时，PMN S ∆有最大值，且最大值为384625，当6425t s =时，点P 与点N 重合，点P ，点N ，点M 不构成三角形；当64425t < 时，如图，51645PN BP BN t ∴=-=-2113516324()22545825PMN S PN MH t t t t ∆∴=⨯⨯=⨯⨯-=-当64425t < 时，PMN S ∆随t 的增大而增大，∴当4t =时，PMN S ∆最大值为5425，5438425625>∴综上所述：4t =时，PMN ∆的面积取得最大值，最大值为5425．2.如图，平行四边形ABCD 中，8AB cm =，12BC cm =，60B ∠=︒，G 是CD 的中点，E是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ．（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2）①AE =cm 时，四边形CEDF 是矩形，请写出判定矩形的依据（一条即可）；②AE =cm 时，四边形CEDF 是菱形，请写出判定菱形的依据（一条即可）．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，DEG CFG ∴∠=∠，GDE GCF ∠=∠．G 是CD 的中点，DG CG ∴=，在EDG ∆和FCG ∆中，DEG CFG GDE GCF DG CG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EDG FCG AAS ∴∆≅∆．ED FC ∴=．//ED CF ，∴四边形CEDF 是平行四边形．（2）解：①当8AE cm =时，四边形CEDF 是矩形．理由如下：作AP BC ⊥于P ，如图所示：8AB cm =，60B ∠=︒，30BAP ∴∠=︒，142BP AB cm ∴==，四边形ABCD 是平行四边形，60CDE B ∴∠=∠=︒，8DC AB cm ==，12AD BC cm ==，8AE cm =，4DE cm BP ∴==，在ABP ∆和CDE ∆中，AB CD B CDE BP DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABP CDE SAS ∴∆≅∆，90CED APB ∴∠=∠=︒，∴平行四边形CEDF 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），故当8AE cm =时，四边形CEDF 是矩形；故答案为：8．②当4AE cm =时，四边形CEDF 是菱形．理由如下：4AE cm =，12AD cm =．8DE cm ∴=．8DC cm =，60CDE B ∠=∠=︒．CDE ∴∆是等边三角形．DE CE ∴=．∴平行四边形CEDF 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．故当4AE cm =时，四边形CEDF 是菱形；故答案为：4．3.如图，在ABC ∆中，点O 是边AC 上一个动点，过点O 作直线//EF BC 分别交ACB ∠、外角ACD ∠的平分线于点E 、F ．（1）猜想与证明，试猜想线段OE 与OF 的关系，并说明理由．（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．（3）若AC边上存在一点O，使四边形AECF是正方形，猜想ABC∆的形状并证明你的结论．【解答】（1）证明：CE平分ACB∠，∠，CF平分ACD∠=∠，ACE ECB∴∠=∠，ACF DCFEF BC，//∠=∠，∴∠=∠，F DCFECB OEC∴∠=∠，ACF F∠=∠，ACE OEC∴=，OC OF=，OE OC∴=；OE OF（2）解：如图，当O在AC的中点时，四边形AECF是矩形，理由如下：当O为AC中点时，则有OA OC OE OF===，=，∴四边形AECF为平行四边形，AC EF∴四边形AECF为矩形．（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，使四边形AECF是正方形，ABC∆是直角三角形(90)∠=︒．理由如下：ACB由（2）可得点O在边AC上运动到AC中点时，平行四边形AECF是矩形，∠=︒，ACB90∴∠=︒ACE45平行四边形AECF是矩形，∴=，EO COOEC ACE∴∠=∠=︒，45EOC∴∠=︒，90∴⊥，AC EF∴四边形AECF是正方形．4.如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上的一个动点，O 为BD 的中点，PO 的延长线交BC 于Q ．（1）求证：OP OQ =；（2）若8AD cm =，6AB cm =，点P 从点A 出发，以1/cm s 的速度向点D 运动（不与D 重合）．设点P 运动的时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；（3）当t 为何值时，四边形PBQD是菱形？【解答】解：（1）四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，PDO QBO ∴∠=∠，O 为BD 的中点，DO BO ∴=，在PDO ∆和QBO ∆中，PDO QBO DO BO POD QOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()PDO QBO ASA ∴∆≅∆，OP OQ ∴=；（2）由题意知：8AD cm =，AP tcm =，8PD t ∴=-，（3）PB PD =，22PB PD ∴=，即222AB AP PD +=，2226(8)t t ∴+=-，解得74t =，∴当74t =时，PB PD =．。
2024年九年级中考数学专题+课件-+：二次函数平行四边形存在性问题
五
三
一
学 四例 二平
目
以 致 用
方 法 归
题 解 析
纳
中 点 坐 标 公 式
行 四 边 形 性 质
录
+
判
定
一、平行四边形性质+判定
一、平行四边形性质
1、边：对边平行且相等 2、角：对角相等，邻角互补 3、对角线：对角线互相平分
二、平行四边形判定
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4、对角线互相平分的四边形是平行四边形
边形是平行四边形？若存在，请求出所有
满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明
理由．
谢
谢
与x轴相交于A、B两点，顶点为P.
(1)求点A、B的坐标；
(2)坐标平面内是否存在点F,使得以A、B、P、F为顶点的四边
形为平行四边形?直接写出所有符合条件的点F的坐标。
2.已知抛物线L：y=-x2+bx+c经过点O(0,0)、A(4,0)，L关于 x轴对称的抛物线为L′，点B的坐标为（0,8）. （1）求抛物线L和L′的函数表达式。 （2）点M在抛物线L的对称轴上，点P在抛物线L′上，是否 存在这样的点M与点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是平 行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明 理由。
3.如图,抛物线
与x轴交于点A、
B 两点，抛物线的对称轴为直线x=1,
(1)求m的值及抛物线的解析式；
(2)过A的直线与抛物线的另一交点C的横 坐标为2. 直线AC的解析式；
3.如图,抛物线
中考压轴题全面突破之五四边形的存在性(含答案)
秒．过点 P 作 PE⊥AB交 AC于点 E．
（ 1）求点 A 的坐标及抛物线的解析式．
（ 2）过点 E 作 EF⊥ AD于 F，交抛物线于点 G，当 t 为何值时，△ ACG的面积最
大？最大值为多少？
（ 3）在动点 P， Q运动的过程中，当 t 为何值时，在矩形 ABCD内（包括边界）
存在点 H，使以 C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？求出 t 的值．
难点拆解 ①平行四边形存在性，由定线分别作边、对角线分类，通过平移或旋转
画图，借助坐标间关系及中点坐标公式建等式求解． ②菱形存在性可转化为等腰三角形存在性处理． ③等腰梯形存在性通常直接表达两腰长，利用两腰相等建等式；两腰不 易表达，借助对称性和中点坐标公式联立求解． ④直角梯形存在性关键是利用好直角．
C时，两点同时停止运动．设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，以 P， Q， C为顶点
的三角形与△ ADE相似？
（ 3）点 N 在抛物线对称轴上，点 M在抛物线上，是否存在这样的点 M与点 N，
使以 M，N，C，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 M与点 N
的坐标；若不存在，请说明理由．
1. （ 2012 湖北孝感） 如图，抛物线 0) ，B(3 ，0) ，与 y 轴交于点 C(0 ，3) ． （ 1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标．
( a≠ 0) 与 x 轴交于点 A(-1 ，
（ 2） P 为线段 BD上的一个动点，过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M，求四边形 PMAC面 积的最大值和此时点 P 的坐标．
中考数学压轴题全面突破之五
? 四边形的存在性
题型特点
四边形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊 四边形的问题，如：平行四边形、菱形、梯形的存在性等，往往结合动 点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算等．
二次函数中特殊四边形存在性问题(解析版)(北师大版)
专题06二次函数中特殊四边形存在性问题类型一、平行四边形存在性问题(1)求抛物线的函数表达式；(2)当PQ OQ 的值最大时，求点P 的坐标和PQ OQ的最大值；(3)把抛物线212y x bx c =-++沿射线AC 方向平移5个单位得新抛物线抛物线对称轴上一点，当以M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出其中一个N 点坐标的过程写出来．1（3）如图2，沿射线AC方向平移∴新的物线解析式为12 y'=-【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，抛物线的平移，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握铅锤法、中点坐标公式，运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键．(1)A点坐标是______；B点坐标是(2)求抛物线的解析式和顶点坐标；(3)探究1：在抛物线上直线不存在，请说明理由；(4)探究2：在（3）的条件下，则E 点坐标为1,22x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1114222ABP S OA PE ⎛∴=⋅=⨯⨯ ⎝ 10a =-< ，∴当2x =时，ABP S △有最大值，此时402023m n +=+⎧⎨-=-⎩，21m n =⎧∴⎨=⎩，()12,1M ∴，如图，当AM 为平行四边形的对角线时，402023m n +=+⎧⎨+=--⎩，25m n =-⎧∴⎨=-⎩，()22,5M ∴--，如图，当AP 为平行四边形的对角线时，420032m n +=+⎧⎨-=-+⎩，61m n =⎧∴⎨=-⎩，()36,1M ∴-，综上所述，M 点的坐标为()2,1或()2,5--或()6,1-．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，灵活应用平行四边形的性质是解题的关键．(1)填空：抛物线的顶点坐标是（(2)已知y 轴上一点02A （，），点点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，点M 在直线满足条件的点N 的坐标；若不存在请说明理由∵PAB 是等边三角形，∴906030ABO ∠=︒-︒=︒．∵四边形OAMN 为菱形，∴2AM AO ==，∴在直角三角形AMQ 中，∵OA MN =，∴2MN =，又∵M 点坐标为()3,3，∴N 点坐标为()3,1，即N 当N 在右图2位置时，∵2MN OA ==，M 点坐标为∴N 点坐标为()3,1--，即当P 点在抛物线的左支上时，同理可求∴存在()13,1N ，(23N -(1)求该抛物线的解析式；(2)已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第三象限内，连接四边形OAMB 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出(3)若点C 在直线AB 上，抛物线上是否存在点D 使得以在，请直接写出点D 的坐标．【答案】(1)该抛物线的解析式为223y x x =+-537设点()2,23M m m m +-，∵()1,0A -，()0,3B -，∴1,03OA B ==，则AOM BOMS S S =+△△1122M M OA y OB x =⋅+⋅，(1)求抛物线的解析式；∴点O 的对应点P 的坐标为(当点P 在点Q 下方时，PQ =221n ∴-+=，解得，1n =±∴点P 的坐标为(1,1)--或(1,1)当点P 在点Q 上方时，PQ =当BD EF =时，四边形BDEF 为平行四边形，此时点 ()0,2D -，∴设(),2F x ，则222x x =-++，解得：0x =或1x =，∴()0,2F 或()1,2F '，类型二、菱形存在性问题(1)求抛物线的表达式；(2)直线3944y x =+与直线BC 交于点E ．点(,0)M m 是线段AB 上的动点，过点M 作x 轴的垂线，交直线于点G ，交抛物线于点F ，交直线BC 于点H ．①若点F 在第二象限，且2227EFG OEG S S = ，求m 的值；②在平面内是否存在点P ，使得以点E 、F 、H 、P 为顶点的四边形是正方形？若存在，坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)211433y x x =-++设直线AD 与y 轴交点为N ．(,0)M m Q ，直线FG x ⊥轴，39,44G m m ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭，211,433F m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭2113943344FG m m m ⎛⎫∴=-++-+ ⎪⎝⎭13m =-由一次函数3944y x =+，当0x =时，y =在Rt AON △中，3OA =，94ON =，22154AN OA ON ∴=+=，(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 为直线BC 上方抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标大？并求出这个面积的最大值；(3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线1y a x =原抛物线相交于点D ，点M 为直线BC 上的一点，点N 是平面坐标系内一点，是否存在点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M在抛物线223y x x =--+，令0x =，可得3y =，∴(0,3)C ，设BC 为y kx t =+，将(3,0)B -，(0,3)C 代入得03=-⎧⎨⎩(1)判断ABC 的形状，并说明理由．(2)设点(,)P m n 是抛物线在第一象限部分上的点，过点的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求使(3)在（2）的条件下，点N 是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点为顶点的四边形是菱形，若存在，写出点M 的坐标，并选择一个点写出过程，若不存在，请说明理由．【答案】(1)ABC 是直角三角形，理由见解析(2)()224428S m m m =-++=--+()04m <<，即点(3)存在，3651,M ⎛⎫+ ⎪或3651,M ⎛⎫- ⎪或M(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P在线段AO上运动（点的坐标．(3)若点P在x轴上运动，则在请求出所有满足条件的点2（3）存在，∵()30A -,，()0,3C -，∴直线AC 的解析式为设(,0)P m ，则(M m m -，∴MN CQ 、是以M 、N 、C 、Q 为顶点的菱形的边；如图3-1所示，当MC 为对角线时，∵3OA OC ==，∴AOC 是等腰直角三角形，∴45ACO ∠=︒，∵QM QC =，∴45QMC QCM ∠=∠=︒，∴90MQC ∠=︒，∴MQ y ^轴，∴NC y ⊥轴，即NC x ∥轴，∴点C 与点N 关于抛物线对称轴对称，∴点N 的坐标为()2,3--，∴2CQ CN ==，∴(01)Q -，；如图3-2所示，当MC 为边时，则MN CM =，同理可得2CM m =-，232m m m -=-，23m =-或0m =（舍去）232CQ CM m ==-=-)0132(--，；3-4所示，当MC 为边时，则同理可得232m m m +=解得23m =-（舍去）或∴45MCQ ACO ==∠∠∵CQ MQ =，∴45QCM QMC ==∠∠∴90MQC ∠=︒，∴MQ y ^轴，∴NC y ⊥轴，这与题意相矛盾，∵MN y ∥轴，∴180NMC MCO ∠=︒-∠∵NQ CM ⊥，∴NSM ∠∴此种情况不存在；综上所述，(01)Q -，或(Q 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．类型三、矩形存在性问题(1)求该抛物线的函数表达式；(2)P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，过点E 作EF y ⊥轴于点F ，求出PD EF +的最大值及此时点(3)如图2，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．且由题可知，PDE △为等腰直角三角形，由”三线合一“知，12EG PD =232EF G E m m G m F -∴=-=---2232m m PD EF m m +∴+=--+由二次函数的性质可得，当210AM ∴=，()()21[12MN =---22211AM MN AN += ，()()()(22110[12]3[1y ∴+---+-=-解得183y =，即181,3N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时设()111,H p q ，由A 、M 、()()()13222233AM AN MN =+ ，(10[∴=-解得31y =，42y =，即(3N -此时设()333,H p q ，由A 、M ()()()33321301p q ⎧-+-=-+⎨+=+⎩，解得：设(),H p q ，由A 、M 、N (1)求抛物线的表达式；设直线AD与y轴交点为N．Q，直线FG xM m(,0)⊥轴，B （4,0），C （0,4），∴直线BC 的解析式为：4y x =-+，联立直线AD 与直线BC 的方程得：34x 解得1x =，∴E （1,3）．若四边形EFHP 是正方形，则3F E y y ==，2114333x x ∴-++=，解得1132x ±=，1113,32F ⎛⎫-∴ ⎪⎝⎭，2113,32F ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 1113113122EF -+=-=，111132EP EF +∴==，1113713322P y ++∴=+=．17131,2P ⎛⎫+∴ ⎪ ⎪⎝⎭，同理可得：2113131122EF +-=-=，221312EP EF -∴==，2131713322P y --∴=-=(1)求抛物线的函数表达式；(2)试在线段AD下方的抛物线上求一点E，使得ADEV的面积最大，并求出最大面积；(3)点F为抛物线对称轴上的一个动点，在平面内是否存在点矩形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．15（3）解：∵抛物线的对称轴为直线∴点F 横坐标为52，设(),G x y ，②当AF 为矩形的对角线时，5352x -=+，解得：112x =-，∵四边形ADFG 为矩形，∴90GAD ∠=︒，∴222AG AD DG +=，③当AG 为矩形对角线时，5532x +=-，解得：212x =，∵四边形ADGF 为矩形，∴90ADG ∠=︒，∴222DG AD AG +=，综上：存在，171,22G ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或171,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数表达式的方法和步骤，以及二次函数的最值求法，具有分类讨论的思想．【变式训练3】．如图，二次函数2y ax bx =+(1)求抛物线的解析式．(2)点P 是直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作PM BC ⊥于点M ，交x 轴于点交BC 于点Q ，求255PQ PN +的最大值及此时P 点坐标．(3)将抛物线24y ax bx =++沿射线CB 平移25个单位，平移后得到新抛物线y '．∵PM BC⊥∴90PMQ PHB ∠=∠=︒又∵PQM BQH∠=∠∴NPH OBC∠=∠设直线BC ：y k t=+(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线上一动点．①当45PCA ∠=︒时，求点P 坐标；②如图2，当点P 运动到抛物线的顶点时，作PD AB ⊥于点D ，点M 在直线B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是矩形，请直接写出点M 的坐标．②设()1M m ，，当190M CB ∠=︒时，∵45BCO ∠=︒，∴1C M 与y 轴的夹角为45︒∴314m =+=，∴()11M ，4当290CM B ∠=︒时，∴M 点坐标为()1,4或()1,2-或【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合应用、矩形的性质，三角函数综合，三角形的相似，掌握相关知识根据题意分析出所有情况是解题的关键．。
四边形的存在性(讲义及答案).
四边形的存在性（讲义）知识点睛1.存在性问题的处理思路①分析不变特征分析背景图形中的定点，定线，定角等不变特征．②分类、画图结合图形形成因素（判定，定义等）考虑分类，画出符合题意的图形．通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形．③求解、验证围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解；验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意．注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点，线，角；函数背景研究点坐标，表达式等．2.平行四边形的存在性不变特征及特征下操作要点举例：①三定一动连接三个定点，得确定的三角形；由该三角形补全平行四边形，一般以三角形的三边分别为对角线进行分类，通常借助坐标的平移进行求解．②两定两动连接两个定点得定线段，以定线段在平行四边形中作边或对角线进行分类，通常借助对应边相等，坐标的平移或者中点坐标公式进行求解（设—传—代）．③三动点或四动点无确定的线段，但往往有不变特征，如两边始终平行，只需满足边相等即可，通常借助坐标的平移进行求解（设—传—代）．3.菱形存在性问题通常转化为等腰三角形存在性处理．4.正方形存在性问题通常转化为等腰直角三角形存在性处理．精讲精练1.如图，抛物线y =ax 2+6x +c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线y =x -5经过点B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．当AM ⊥BC 时，过抛物线上一动点P （不与点B ，C 重合），作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标．2.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴．（2）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图1，在平面直角坐标系中，一次函数334y x =-+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线y =-x 2+bx +c 经过A ，B 两点，在第一象限的抛物线上取一点D ，过点D 作DC ⊥x 轴于点C ，交直线AB 于点E ．（1）该抛物线的函数表达式．（2）如图2，F 是第一象限内抛物线上的动点（不与点D 重合），点G 是线段AB 上的动点．连接DF ，FG ，当四边形DEGF 是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G 的坐标．4.如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(-3，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）此抛物线的表达式为___________．（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．点E是坐标系平面内一点，试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q，E为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，已知直线l 的函数表达式为364y x =-+，且l 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，动点Q 从B 点开始在线段BA 上以每秒2个单位的速度向点A 移动，同时动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位的速度向O 点移动．设点Q ，P 移动时间为t 秒．（1）求点A ，B 的坐标；（2）点C 是坐标平面内一动点，当以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形时，t 的值为_____________．6.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3过点A(-1，0)，B(3，0)，点M，N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）过点N作NF⊥x轴，垂足为点F，若四边形MNFE为正方形（此处限定点M在对称轴的右侧），求该正方形的面积．7.如图1，若直线l：y=-2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD．过点A，B，D的抛物线h：y=ax2+bx+4．（1）求抛物线h的表达式；（2）如图2，点E为抛物线h的顶点，点P是抛物线h在第二象限上的一动点（不与点D，B重合），连接PE，以PE为边作图示一侧的正方形PEFG，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．8.如果抛物线C 1的顶点在拋物线C 2上，抛物线C 2的顶点也在拋物线C 1上时，那么我们称抛物线C 1与C 2“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C 1：2114y x x =+与C 2：y 2=ax 2+x +c 是“互为关联”的拋物线，点A ，B 分别是抛物线C 1，C 2的顶点，抛物线C 2经过点D (6，-1)．（1）直接写出A ，B 的坐标和抛物线C 2的解析式．（2）点F 是坐标平面内任意一点，抛物线C 2上是否存在点E ，使得四边形ABEF 是矩形？如果存在，请直接写出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由．【参考答案】1.（1）y =-x 2+6x -5；（2）点P 的横坐标为5412+，5412-或4．2.（1）抛物线解析式为224233y x x =-++；对称轴直线x =1；（2）点M 的坐标为(4，103-)，(-2，103-)或(2，2)．3.（1）21334y x x =-++；（2）点G 的坐标为(134，916)或(34，3916)．4.（1）211433y x x =-++；（2）点Q 的坐标为(1，3)或(522，5242-)．5.（1）A (8，0)；B (0，6)；（2）103，259或8021．6.（1）抛物线的表达式为y =-x 2+2x +3；（2）正方形的面积为2485-或2485+．7.（1）抛物线h 的表达式为2142y x x =--+；（2）点P 的坐标为(23-+，5232+)，(23--，5232-)或(12--，72)．8.（1）A (-2，-1)；B (2，3)；22124y x x =-++；（2）点E 的坐标为(10，-13)或(6，-1)．。
平行四边形,矩形,菱形的存在性问题(有答案)
平行四边形，矩形，菱形的存在性问题一、平行四边形存在性问题1．在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是A（﹣1，3），B（﹣5，﹣3），C（1，﹣3），在平面内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标是．2．已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于平面直角坐标系中的原点O，点A（﹣1，3），B（1，2），则点C，D的坐标分别为．3．在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，2），点M在x轴上，点N 在y轴上．如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，那么符合条件的点M 有个．4．如图，在平面直角坐标系中，AD∥BC，AD＝5，B（﹣3，0），C（9，0），E是BC的中点，P是线段BC上一动点，当PB＝时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形．第4题第5题第6题5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y 的正半轴上，且OB＝2OC，在直角坐标平面内确定点D，使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D的坐标为．6．如图，已知A（1，0）、C（0，1）、B（m，0）且m＞1，在平面内求一点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为．7．已知点A（4，0），B（0，﹣2），C（a，a）及点D是一个平行四边形的四个顶点，则线段CD长的最小值为．8．（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图），图1，2，3中的顶点C的坐标分别是，，；（2）在图4中，若平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别为（4，1）、（3，4）、（6，4），则顶点C的坐标为；（3）在图4中，平行四边形ABCD顶点坐标分别为A（a，b）、B（c，d）、C（m，n）、D（e，f），则其横坐标a，c，m，e之间的等量关系为；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为．9．如图，矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是（6，8），将矩形OABC沿直线BD折叠，使得点C恰好落在对角线OB上的点E处，折痕所在直线与y 轴、x轴分别交于点D、F．（1）请直接写出线段BO的长；（2）求折痕所在直线BD的解析式；（3）若点M在直线y＝﹣x上，则在直线BD上是否存在点P，使以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；否则，请说明理由．二、矩形存在性问题10．在平面直角坐标系中，已知点A（0，0），B（2，﹣2），C（4，0），D（2，2），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．梯形D．正方形11．如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∥BCD＝90°，AB＝AD＝10cm，BC＝8cm．点P 从点A出发，以每秒3cm的速度沿线段AB方向向B运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时出发，当点P运动到点B 时，P、Q同时运动停止，设运动时间为t秒．（1）求CD的长；（2）当t为何值时，四边形PBQD为平行四边形？（3）在运动过程中，是否存在四边形BCQP是矩形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．12．平行四边形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图（1）．（1）写出点C的坐标；（2）在图（1）中，连接AB，OC得到图（2），求AB与OC的交点M点的坐标；（3）将图（2）中的线段BC向两方延长得到图（3），若点D，E为直线BC上不与B，C重合的动点，是否存在这样的D，E点，使得四边形OADE为矩形？若存在，请在图中画出矩形，并求出矩形OADE的面积和点D，E的坐标，若不存在，请说明理由．三、菱形存在性问题13．在直角坐标系中，A，B，C，D四个点的坐标依次为（﹣1，0），（x，y），（﹣1，5），（﹣5，z），若这四个点构成的四边形是菱形，则满足条件的z的值有（）A．1个B．3个C．4个D．5个14．如图1，直线l1：y＝﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，与直线l2：y＝x交于点C．（1）求A，B两点的坐标；（2）求∥BOC的面积；（3）如图2，若有一条垂直于x轴的直线l以每秒1个单位的速度从点A出发沿射线AO 方向作匀速滑动，分别交直线l1，l2及x轴于点M，N和Q．设运动时间为t（s），连接CQ．∥当OA＝3MN时，求t的值；∥试探究在坐标平面内是否存在点P，使得以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案1.根据题意得：D点的纵坐标一定是3；又由C点相对于B点横坐标移动了1﹣（﹣5）＝6，故可得点D横坐标为﹣1+6＝5，即顶点D的坐标为（5，3）．2．由题意知：点A与点C、点B与点D关于原点对称，∥点A，B的坐标分别为（﹣1，3），（1，2），∥点C，D的坐标分别是（1，﹣3），（﹣1，﹣2），3．有3个点．4．解：∥B（﹣3，0），C（9，0），∥OB＝3，OC＝9，∥BC＝OB+OC＝12，∥E是BC的中点，∥BE＝CE＝BC＝6，分为两种情况：∥当P在E的左边时，∥AD＝PE＝5，CE＝6，∥BP＝12﹣6﹣5＝1；∥当P在E的右边时，∥AD＝EP＝5，∥BP＝BE+EP＝6+5＝11；即当BP为1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；故答案为：1或11．5．如图，∥当BC为对角线时，易求M1（3，2）；∥当AC为对角线时，CM∥AB，且CM＝AB．所以M2（﹣3，2）；∥当AB为对角线时，AC∥BM，且AC＝BM．则|M y|＝OC＝2，|M x|＝OB+OA＝5，所以M3（5，﹣2）．综上所述，符合条件的点D的坐标是M1（3，2），M2（﹣3，2），M3（5，﹣2）．6．根据题意得：OA＝OC＝1，OB＝m，∥AB＝m﹣1，分三种情况：如图所示，∥以BC为对角线时，点P的坐标为（m﹣1，1）；∥以AC为对角线时，点P的坐标为（1﹣m，1）；∥以AB为对角线时，点P的坐标为（m+1，1）；综上所述：点P的坐标为（m﹣1，1）或（1﹣m，1）或（m+1，﹣1）；故答案为：（m﹣1，1）或（1﹣m，1）或（m+1，﹣1）．7．如图，由题意得：点C在直线y＝x上，∥如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC∥直线y＝x时，CD最小，易知直线AB为y＝x﹣2，∥AF＝FB，∥点F坐标为（2，﹣1），∥CF∥直线y＝x，设直线CF为y＝﹣x+b′，F（2，﹣1）代入得b′＝1，∥直线CF为y＝﹣x+1，由，解得：，∥点C坐标（，）．∥CD＝2CF＝2×＝3．∥如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝＝2＞3，∥CD的最小值为3．故答案为：3．8.（1）利用平行四边形的性质：对边平行且相等，得出图1，2，3中顶点C的坐标分别是：（5，2）、（e+c，d），（c+e﹣a，d）．故答案为：（5，2）（e+c，d），（c+e﹣a，d）．（2）若平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别为（4，1）、（3，4）、（6，4），则顶点C的坐标为（5，7）；故答案为：（5，7）；（3）如图4中，分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，分别过A，D作AE∥BB1于E，DF∥CC1于点F．在平行四边形ABCD中，CD＝BA，又∥BB1∥CC1，∥∥EBA+∥ABC+∥BCF＝∥ABC+∥BCF+∥FCD＝180°．∥∥EBA＝∥FCD．在∥BEA∥∥CFD中，，∥∥BEA∥∥CFD（AAS），∥AE＝DF＝a﹣c，BE＝CF＝d﹣b．设C（x，y）．由e﹣x＝a﹣c，得x＝e+c﹣a．由y﹣f＝d﹣b，得y＝f+d﹣b．∥C（e+c﹣a，f+d﹣b），∥m＝e+c﹣a，n＝f+d﹣b，∥m+a＝e+c，n+b＝d+f．故答案为：m+a＝e+c，n+b＝d+f．9.解：（1）∥矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是（6，8），∥OA＝6，AB＝8，∥OAB＝90°，∥OB＝＝10，即线段BO的长是10；（2）设点D的坐标为（0，d），则OD＝d，CD＝8﹣d，∥BC＝6，CD＝DE，OB＝10，，∥，得d＝5，即点D的坐标为（0，5），设折痕所在直线BD的解析式为y＝kx+b，∥点D（0，5），点B（6，8）在直线BD上，∥，得，即折痕所在直线BD的解析式是y＝0.5x+5；（3）在直线BD上存在点P，使以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为（﹣2，4）或（﹣8，1）；理由：∥点C（0，8），点D（0，5），∥OC＝8，OD＝5，∥CD＝3，∥以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形，点M在直线y＝﹣x上，点P在直线BD上，∥CD＝MP，CD∥MP，或CD为平行四边形的对角线，当CD＝MP，CD∥MP时，设点M的坐标为（m，﹣0.5m），则P的坐标为（m，0.5m+5），则|（0.5m+5）﹣（﹣0.5m）|＝3，解得，m1＝﹣2，m2＝﹣8，当m＝﹣2时，点P的坐标为（﹣2，4），当m＝﹣8时，点P的坐标为（﹣8，1），当CD为平行四边形的对角线时，则点C和点D中点的坐标为（0，6.5），设点M的坐标为（m，﹣0.5m），则点P的坐标为（﹣m，13+0.5m），∥点P在直线BD上，直线BD的解析式是y＝0.5x+5，∥13+0.5m＝﹣0.5m+5，得m＝﹣8，∥点P的坐标为（8，9），由上可得，点P的坐标为（﹣2，4）、（﹣8，1）或（8，9）．10．D11．解：（1）过点A作AM∥CD于M，根据勾股定理，AD＝10，AM＝BC＝8，∥DM＝＝6，∥CD＝16；（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，如图1，由题知：BP＝10﹣3t，DQ＝2t ∥10﹣3t＝2t，解得t＝2；（3）在运动过程中，不存在四边形BCQP是矩形，理由如下：∥AB∥CD，∥BCD＝90°，∥∥C＝90°，若要四边形BCQP是矩形，则当PB＝CQ时即10﹣3t＝16﹣2t，解得：t＝﹣6＜0，∥不存在．12.解：（1）∥四边形OACB是平行四边形，∥AC＝OB，∥A（1，3）、B（4，0），∥C（5，3）；（2）如图（2），设AB所在的直线的解析式为y＝kx+b，∥直线AB经过点A（1，3）、B（4，0），∥，∥AB所在直线的解析式为y＝﹣4x+4，由于OC所在直线的表达式为y＝x，联立方程解得：即M的坐标是（2.5，1.5）；（3）存在这样的D、E，使得四边形AOED是矩形．分别过点A、O作AD∥BC于点D，OE∥BC于点E，过E、D分别作x轴的垂线，垂足分别为F、G，∥四边形AOBC是平行四边形，∥AO∥BC，∥AD∥AO，∥四边形AOED是矩形，且与平行四边形AOBC面积相等，∥平行四边形AOBC的面积为12，∥矩形AOED的面积为12，由勾股定理知AO＝，∥OE＝，EB＝，∥EF＝＝＝1.2，OF＝＝＝3.6，∥点E的坐标为（3.6，﹣1.2），∥点D的坐标为（4.6，1.8）．13．如图，∥A（﹣1，0），C（﹣1，5），∥AC∥x轴，且AC＝5﹣0＝5，过点D（﹣5，z）作作x轴的垂线，则z的数值就在直线x＝﹣5上，；∥A、B、C、D四个点构成的四边形是菱形，∥当DC＝DA，z有1个值，当DC＝AC，则42+（5﹣z）2＝52，z有两个值，当AD＝AC，则42+z2＝52，则z有两个值，综上所知，符合条件的z的值有5个．故选：D．14.解：（1）对于直线y＝﹣x+3，令x＝0得到y＝3，令y＝0，得到x＝6，A（6，0）B（0，3）．（2）由，解得，∥C（2，2），∥S∥OBC＝×3×2＝3（3）∥∥M（6﹣t，﹣（6﹣t）+3），N（6﹣t，6﹣t），∥MN＝|﹣（6﹣t）+3﹣（6﹣t）|＝|t﹣6|，∥OA＝3MN，∥6＝3|t﹣6|，解得t＝或∥如图3中，由题意OC＝2，当OC为菱形的边时，可得Q1（﹣2，0），Q2（2，0），Q4（4，0）；当OC为菱形的对角线时，Q3（2，0），∥t＝（6+2）s或（6﹣2）s或2s或4s时，以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形．。
(完整word版)平行四边形之存在性问题
中考数学压轴题解题策略综合题之平行四边形存在性问题专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便． 根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．例题解析例1、 如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为P ，如果以点P 、A 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标．图1-1【解析】P 、A 、C 三点是确定的，过△P AC 的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D （如图1-2）．由y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，得A (－3,0)，C (0, 3)，P (－1, 4)．由于A (－3,0)33u u u u u u u u u u u u u u r 右，上 C (0, 3)，所以P (－1, 4)33u u u u u u u u u u u u u u r 右，上 D 1(2, 7)．由于C (0, 3)33u u u u u u u u u u u u u u r 下，左 A (－3,0)，所以P (－1, 4)33u u u u u u u u u u u u u u r 下，左 D 2(－4, 1)．由于P (－1, 4)11u u u u u u u u u u u u u r 右，下 C (0, 3)，所以A (－3,0)11u u u u u u u u u u u u u r 右，下 D 3(－2, －1)．我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了．图1-2例2、如图2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．图2-1【解析】在P、M、A、B四个点中，A、B是确定的，以AB为分类标准．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)．①如图2-2，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P 关于AB的中点（1,0）对称，所以点M的横坐标为2．此时M(2，3)．②如图2-3，图2-4，当AB是平行四边形的边时，PM//AB，PM＝AB＝4．所以点M的横坐标为4或－4．所以M (4,－5)或(－4,－21)．我们看到，因为点P的横坐标是确定的，在解图2-2时，根据对称性先确定了点M的横坐标；在解图2-3和图2-4时，根据平移先确定了点M的横坐标．图2-2 图2-3 图2-4 例3、如图3-1，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求一点D，使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形．图3-1【解析】由y＝－x＋4，得A(4, 0)，直线AB与坐标轴的夹角为45°．在O、A、C、D四个点中，O、A是确定的，以线段OA为分类标准．如图3-2，如果OA是菱形的对角线，那么点C在OA的垂直平分线上，点C(2,2)关于OA的对称点D的坐标为(2,－2)．如果OA是菱形的边，那么又存在两种情况：如图3-3，以O为圆心，OA为半径的圆与直线AB的交点恰好为点B(0, 4)，那么正方形AOCD的顶点D的坐标为(4, 4)．如图3-4，以A 为圆心，AO 为半径的圆与直线AB 有两个交点C (422,22)-和C ′(422,22)+-，点C 和C ′向左平移4个单位得到点D (22,22)-和D ′(22,22)-．图3-2 图3-3 图3-4例4、如图4-1，已知抛物线241633y x x =+与x 轴的负半轴交于点C ，点E 的坐标为(0,－3)，点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 、N ，使得以M 、N 、C 、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图4-1【解析】C (－4,0)、E (0,－3)两点是确定的，点N 的横坐标－2也是确定的．以CE 为分类标准，分两种情况讨论平行四边形：①如图4-2，当CE 为平行四边形的边时，由于C 、E 两点间的水平距离为4，所以M 、N 两点间的水平距离也为4，因此点M 的横坐标为－6或2．将x ＝－6和x ＝2分别代入抛物线的解析式，得M (－6,16)或(2, 16)．②如图4-3，当CE 为平行四边形的对角线时，M 为抛物线的顶点，所以M 16(2,)3--．图4-2 图4-3例5、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点D 是第四象限内抛物线上的一点，直线AD 与y 轴负半轴交于点C ，且CD ＝4AC ．设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．图5-1【解析】由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1, 0)．由CD＝4AC，得x D＝4．所以D(4, 5a)．已知A(－1, 0)、D(4, 5a)，x P＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：①如图5-2，如果AD为矩形的边，我们根据AD//QP，AD＝QP来两次平移坐标．由于A、D两点间的水平距离为5，所以点Q的横坐标为－4．所以Q(－4,21a)．由于A、D两点间的竖直距离为－5a，所以点P的纵坐标为26a．所以P(1, 26a)．根据矩形的对角线相等，得AP2＝QD2．所以22＋(26a)2＝82＋(16a)2．整理，得7a2＝1．所以77a=-．此时P267(1)7-，．②如图5-3，如果AD为矩形的对角线，我们根据AP//QD，AP＝QD来两次平移坐标．由于A、P两点间的水平距离为2，所以点Q的横坐标为2．所以Q(2,－3a)．由于Q、D两点间的竖直距离为－8a，所以点P的纵坐标为8a．所以P(1, 8a)．再根据AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．整理，得4a2＝1．所以12a=-．此时P(14)-，．我们从图形中可以看到，像“勾股图”那样构造矩形的外接矩形，使得外接矩形的边与坐标轴平行，那么线段的等量关系就可以转化为坐标间的关系．上面我们根据“对角线相等的平行四边形是矩形”列方程，还可以根据定义“有一个角是直角的平行四边形叫矩形”来列方程．如图5-2，如果∠ADP＝90°，那么MA NDMD NP=；如图5-3，如果∠QAP＝90°，那么GQ KAGA KP=．图5-2 图5-3例6、如图6-1，将抛物线c 1：233y x =-+沿x 轴翻折，得到抛物线c 2．现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ；将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D 、E ．在平移过程中，是否存在以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．图6-1【解析】没有人能精确画好抛物线，又怎么平移抛物线呢？我们去伪存真，将A 、B 、D 、E 、M 、N 六个点及它们的坐标在图中都标注出来（如图6-2），如果您看到了△MAB 和△NED 是边长为2的等边三角形，那么平移就简单了．如图6-3，在两个等边三角形平移的过程中，AM 与EN 保持平行且相等，所以四边形ANEM 保持平行四边形的形状，点O 为对称中心．【解法一】如果∠ANE ＝90°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AE ＝2EN ＝4．而AE ＝AO ＋OE ＝2AO ，所以AO ＝2．已知AB ＝2，此时B 、O 重合（如图6-4），所以m ＝BO ＝1．【解法二】如果对角线MN ＝AE ，那么OM ＝OA ，此时△MAO 是等边三角形．所以等边三角形MAB 与△MAO 重合．因此B 、O 重合，m ＝BO ＝1．【解法三】在平移的过程中，(1,0)A m --、(1,0)B m -，M (,3)m -，根据OA 2＝OM 2列方程(1＋m )2＝m 2＋3．解得m ＝1．图6-2 图6-3 图6-4。
中考数学专题复习课件：特殊四边形存在性问题
典例精析
例 如图，抛物线y＝x2＋6x＋5与x轴交于A，B 两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为 M，对称轴l与x轴交于点D，与直线AC交于点E.
例题图
(1)设点N是抛物线上一点，点S是x轴上一点，是否存在点N，使得以A， E，N，S为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若 不存在，请说明理由；
x1 y1
2 3
x2 y2
5 0
例题解图④
∵△AP1Q1是等腰直角三角形，Q1是x轴上一点，∴Q1(1，0)；当点P在x轴上
例题解图④
③当∠AQP＝90°时，∠QAP＝45°，∴点P的情况与②相同，如解图④，过 (1，0)或(5，0)或(－2，0)或(0，0).
例题解图④
针对训练
1.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，点B(－3，0)，且 OB＝OC.(1)求抛物线的解析式；
或(－3－ ，－2)； 6
6
6
6
2
2
∟
NG 例题图
(2)设点G是抛物线的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点 G，使得A，C，G，K为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点G的坐标； 若不存在，请说明理由；
【思维教练】要使以A，C，G，K为顶点的四边 形是矩形，只需△ACG是直角三角形即可，可分 为①∠ACG＝90°，②∠CAG＝90°，③∠CGA ＝90°三种情况，分别利用勾股定理列方程即可 求解．
，t4＝
∴P3(
9 ，33
4
)，9 4 33
P4(－
I
将点I的坐标代入，可得t＝－1，∴直线OI的解析式为y＝－x，
联立
y
专题七 二次函数特殊四边形的存在性问题 ppt课件
②当AB为平行四边形的对角线时，则MN与AB互相平分，如解图③，AB与
MN相交于点J，易得J(2，0)，易得AJ＝NJ＝BJ＝MJ，
设M(m，－m＋3)，N(n，n2－4n＋3)， 则有 m n ＝2，
2 －m＋3＋n2－4n＋3＝0，
整理，得n2－3n＋2＝0，
解得n1＝1(舍去)，n2＝2， ∴N点坐标为(2，－1)．
2
综上所述，存在这样的点G和H，使得以G，H，O，C为顶点的四边形是
平行四边形，点H的坐标为( 3 2 1 ，9 2 1 )或( 3 2 1 ，9 2 1 ) ；
2
2Hale Waihona Puke 22(4)如果点M在直线BC上，点N在抛物线上，是否存在这样的点M和N，使得
以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点N的坐
综上所述，点N的坐标为( 3 1 7 ，7 1 7
2
2
例题解图③
) ， ( 3 1 7 ，7 1 7 ) ，(2，－1)；
2
2
(5)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为K，点P是抛物线对称轴上一点， 点Q为y轴上一点，是否存在这样的点P和Q，使得四边形CKPQ是菱形？如 果存在，请求出点P的坐标；
①当AB为平行四边形的边时，需考虑点M和N的位置关系(即点M在点N的左
边还是右边)，如解图②，
(ⅰ)当点M在点N的左边时，设点N的坐标为(m，m2－4m＋3)，
则点M的坐标为(m－2，－m＋5)，∵四边形ABNM是平行四边形，
∴m2－4m＋3＝－m＋5，解得m＝ 3 1 7 ，
2
当m＝ 3 2 1 7 时，m2－4m＋3＝7 2 1 7 ；
(2)过点C作CD平行于x轴，交抛物线对称轴于点D，试判断四边形ABDC的 形状，并说明理由；
四边形存在性问题解析
四边形存在性问题解析1.如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的边OC 、OA 分别与x 轴、y 轴重合，AB∥OC ，∠AOC=90°，∠BCO=45°，，点C 的坐标为（－18，0）。
（1）求点B 的坐标；（2）若直线DE 交梯形对角线BO 于点D ，交y 轴于点E ，且OE=4，OD=2BD ，求直线DE 的解析式；（3）若点P 是（2）中直线DE 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q ，使以O 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
【考点】一次函数综合题，等腰直角三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，菱形的判定和性质。
【分析】（1）构造等腰直角三角形BCF ，求出BF 、CF 的长度，即可求出B 点坐标。
（2）已知E 点坐标，欲求直线DE 的解析式，需要求出D 点的坐标．构造△ODG∽△OBA ，由线段比例关系求出D 点坐标，从而可以求出直线DE 的解析式。
（3）如图所示，符合题意的点Q 有4个：设直线y=－x+4分别与x 轴、y 轴交于点E 、点F ，则E （0，4），F （4，0），OE=OF=4，。
①菱形OEP 1Q 1，此时OE 为菱形一边。
则有P 1E=P 1Q 1=OE=4，P 1F=EF －P 1－4。
易知△P 1NF 为等腰直角三角形，∴P 121F=4－设P 1Q 1交x 轴于点N ，则NQ 1=P 1Q 1－P 1N=4－（4－）。
又ON=OF－，∴Q1（，－）。
②菱形OEP2Q2，此时OE为菱形一边。
此时Q2与Q1关于原点对称，∴Q2（－2）。
③菱形OEQ3P3，此时OE为菱形一边。
此时P3与点F重合，菱形OEQ3P3为正方形，∴Q3（4，4）。
④菱形OP4EQ4，此时OE为菱形对角线。
由菱形性质可知，P4Q4为OE的垂直平分线，由OE=4，得P4纵坐标为2，代入直线解析式y=－x+4得横坐标为2，则P4（2，2）。
四边形之存在性问题(二)(讲义及答案)
四边形之存在性问题（二） 课前预习 一般悄况下我们如何处理存在性问题？（1） 研究背景图形坐标系背景下研究 ____________ 、 ______究 ___________ 、 ____________ 、 ______（2） 根据不变特征，确定分类标准 研究定点，动点，定线段，确定分类标准 不变特征举例：① 等腰三角形（两定一动）以定线段作为 ________或者—_______________ 确定点的位② 置.等腰直角三角形（两定一动）以 知识点睛存在性问题处理框架：① 研究背景图形.② 根据不变特征，确定分类标准.③ 分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解. ④ 结果验证.特殊平行四边形存在性问题不变特征举例：① 菱形存在性问题（两定两动）转化为等腰三角形存在性问题；以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定一 动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标.② 正方形存在性问题（两定两动）转化为等腰直角三角形存在性问题；根据直角顶点确定分类标准，利用两腰相等或者45。
角确定一 ;儿何图形研或者 来分类，利用 来分类，然后借助确定点的位置.（3） 分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解（4） 结果验证用铅笔做讲义第1, 2题，并将计算、演草保留在讲义上，先 看知识点睛，再做题，思路受阻时（某个点做了 2~3分钟）重 复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听.2. 2.动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标.＞精讲精练1如图，在平面直角坐标系X0V中，直线/： y = 2x-4与X轴交于点A,与y轴交于点B.(1)求点4, B的坐标.⑵ 若P是直线兀=-2上的一动点，则在坐标平面内是否存在点2,使得以A, B, P, Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点e的坐标；若不存在，请说明理由.2 如图，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的顶点A 在y轴正半轴上，顶点C的坐标为(-18, 0), AB//OC. ZOCB=45。
特殊平行四边形存在性(讲义)
特殊平行四边形存在性（讲义）➢课前预习1.一般情况下我们如何处理存在性问题？（1）研究背景图形坐标系背景下研究____________、____________；几何图形研究____________、____________、____________．（2）根据不变特征，确定分类标准研究定点，动点，定线段，确定分类标准不变特征举例：①等腰三角形（两定一动）以定线段作为_________或者___________来分类，利用_______________确定点的位置．②等腰直角三角形（两定一动）以________________来分类，然后借助_________或者___________确定点的位置．（3）分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解（4）结果验证2.用铅笔做讲义第1，2题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，再做题，思路受阻时（某个点做了2~3分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听．➢知识点睛1.存在性问题处理框架：①研究背景图形．②根据不变特征，确定分类标准．③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解．④结果验证．2.特殊平行四边形存在性问题不变特征举例：①菱形存在性问题（两定两动）转化为等腰三角形存在性问题；以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标．②正方形存在性问题（两定两动）转化为等腰直角三角形存在性问题；根据直角顶点确定分类标准，利用两腰相等或者45°角确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标．➢精讲精练1.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：24=-与x轴交于点A，与yy x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标．（2）若P是直线2x=-上的一动点，则在坐标平面内是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点C的坐标为(18-，0)，A B∥O C，∠OCB=45°，且BC=（1）求点B的坐标．（2）直线BE与线段OA交于点E，且OE=6．若P是直线BE上的一动点，则在坐标平面内是否存在点Q，使得以O，E，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，在平面直角坐标系xOy中，□ABCD的顶点A，B的坐标分别为以A，C，F，M为顶点的四边形是正方形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为A(9 ，0)，B(16，0)，C(0，12)，D是线段BC上的一动点（不与点B，C重合），过点D作直线DE⊥OB，垂足为点E．若M为坐标平面内一点，则在直线DE上是否存在点N，使得以C，B，M，N为顶点的四边形是正方形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】➢课前预习1．（1）坐标、表达式；边、角、形（2）①腰底两圆一线②直角顶点两腰相等45°角➢精讲精练1．（1）A(2，0)，B(0，-4)（2）存在，点Q的坐标为(0，4)，(-4，-2)，(-4，-6)或(4，7 2 -)2．（1）B(-6，12)（2）存在，点Q的坐标为(6，6)，(-，(-或(3-，3)3．存在，点F的坐标为(3，3，(3或)4．存在，点N的坐标为(12，28)，(4，16-)，(14，14)或(2，2-)特殊平行四边形存在性（随堂测试）1.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1与x轴、y轴分别交于点A，B，过原点O的直线l2与直线l1相交于点C，已知B(0，6)，C(4，2)．若P为直线l1上一点，则在坐标平面内是否存在点Q，使得以O，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．1．研究背景图形（请直接标注在图上）2．分析不变特征，确定分类标准3．分析形成因素，画图，求解①画图，找点（保留作图痕迹）②设计方案求解：4．结果验证根据计算结果，对应图形判断结果是否正确．总结，符合题意的点Q的坐标为_______________________．【参考答案】1．存在，点Q的坐标为(6，6)，(或(3-，3)。
专题1.5 四边形存在性问题(强化)(原卷版)
专题1.5 四边形存在性问题【例题精讲】D的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，【例1】如图，以ABCACHG．（1）求证：BDE BACD@D；（2）求证：四边形ADEG是平行四边形．（3）直接回答下面两个问题，不必证明：①当ABCD满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？②当ABCD满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？【题组训练】菱形存在性1．在ABCAF BC交BE的延长线于D中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作//点F．（1）求证：AEF DEBD@D；（2）当ABCD满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，并证明．2．如图，在ABCDY中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F．（1）求证：ABE DFED@D；（2）连接BD 、AF ，当BE 平分ABD Ð时，求证：四边形ABDF 是菱形．3．已知：如图，在ABC D 中，90ACB Ð=°，AD 平分CAB Ð，DE AB ^，垂足为E ，CD ED =．连接CE ，交AD 于点H ．（1）求证：ACD AED D @D ；（2）点F 在AD 上，连接CF ，EF ．现有三个论断：①//EF BC ；②EF FC =；③CE AD ^．请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明四边形CDEF 是菱形．4．如图，已知BE AD ^，CF AD ^，且BE CF =．（1）请你判断AD 是ABC D 的中线还是角平分线？请证明你的结论；（2）连接BF ，CE ，是否可以在ABC D 中添加一个条件，使四边形BFCE 是菱形？如果可以，试写出这个条件；若不可以，请说明理由．矩形存在性5．如图，ABC D 中，点D 是边AC 的中点，过D 作直线//PQ BC ，BCA Ð的平分线交直线PQ 于点E ，点G 是ABC D 的边BC 延长线上的点，ACG Ð的平分线交直线PQ 于点F ．求证：四边形AECF是矩形．6．已知：如图，ABCD中，BD平分ABCÐ交AC于点D，E为AB中点，过点A作//AF BD，交DE延长线于点F．（1）求证：AF BD=；（2）当ABCD满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请证明你的结论．7．已知在四边形ABCD中，作//AE BC交BD于O点且OB OD=，交DC于点E，连接BE，ABD EABÐ=Ð，DBE EBCÐ=Ð．求证：四边形ABED为矩形．8．如图，//AB DE，且12AB DE=，C是DE的中点，线段AE和BC相交于F点（1）求证：BC AD=；（2）连接AC、BE，若要使四边形ABEC是矩形，则需要给ADED添加什么条件，请说明理由．9．如图，在ABCEF BC分别交ACBÐ、D中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线//外角ACDÐ的平分线于点E、F．（1）若8CF=，求OC的长；CE=，4（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．10．如图，在ABCD中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN，交ACBÐ的平分线于点E，交ABC=；MN BC；②OE OC D的外角ACDÐ的平分线于点F．给出下列信息：①//③OF OC=．（1）请在上述3条信息中选择其中一条作为条件，证明：OE OF=；（2）在（1）的条件下，连接AE、AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．11．如图，ABCÐD中，点O是边AC上一个动点，过O作直线//MN BC．设MN交ACB的平分线于点E，交ACBÐ的外角平分线于点F．（1）求证：OE OF=；（2）若8CF=，求OC的长；CE=，6（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．12．如图，在矩形ABCD中，8BC cm=，点P从点D出发向点A运动，运动=，16AB cm到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1/cm s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t s．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．正方形存在性13．如图，ABCÐD中，点O是边AC上一个动点，过O作直线//MN BC，设MN交BCA 的平分线于点E，交BCAÐ的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由；（3）当点O运动到何处，且ABCD满足什么条件时，四边形AECF是正方形？14．如图，ABCÐ的平分线分别交MN于E、Ð、ACDD中，//MN BD交AC于P，ACBF．（1）求证：PE PF=；（2）当MN与AC的交点P在什么位置时，四边形AECF是矩形，说明理由；（3）在（2）条件中，当ABCD满足什么条件时，四边形AECF是正方形．（不需要证明）15．如图，在ABCMN BC，设MN交D中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线//Ð的外角平分线于点F．BCAÐ的角平分线于点E，交BCA（1）求证：EO FO=；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．（3）当点O运动到何处，且ABCD满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．16．如图，在ABC^，垂足为点D，AN是ABCÐ的D外角CAM=，AD BCD中，AB AC平分线，CE AN^，垂足为点E，连接DE交AC于点F．（1）DANÐ=．（2）求证：四边形ADCE是一个矩形．（3）当ABCD满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？请给出证明．17．如图，AD是等腰ABCD底边BC上的高，点O是AC中点，延长DO到E，使AE BC，连接AE．//（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）①若17BC=，则四边形ADCE的面积=．AB=，16②若10AB=，则BC=时，四边形ADCE是正方形．。
专题05 四边形存在性问题(解析版)
专题05 四边形存在性问题平行四边形【例1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y ax x c =-+与直线y kx b =+都经过(0,3)A -、(3,0)B 两点，该抛物线的顶点为C ．（1）求此抛物线；（2）求直线AB 的解析式；（3）设直线AB 与该抛物线的对称轴交于点E ，在射线EB 上是否存在一点M ，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，使点M 、N 、C 、E 是平行四边形的四个顶点？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）抛物线22y ax x c =-+经过(0,3)A -、(3,0)B 两点，∴9603a c c -+=⎧⎨=-⎩，解得13a c =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为223y x x =--；（2）直线y x b =+经过(0,3)A -、(3,0)B 两点，∴303b b +=⎧⎨=-⎩，解得：13b =⎧⎨=-⎩， ∴直线AB 的解析式为3y x =-；（3）2223(1)4y x x x =--=--，∴抛物线的顶点C 的坐标为(1,4)-，//CE y 轴，(1,2)E ∴-，2CE ∴=，①如图1，连接CN ，若点M 在x 轴下方，四边形CEMN 为平行四边形，则CE MN =，设(,3)M a a -，则2(,23)N a a a --，223(23)3MN a a a a a ∴=----=-+，232a a ∴-+=，解得：2a =，1a =（舍去），(2,1)M ∴-，②如图2，连接EN ，CM ，MN ，若点M 在x 轴上方，四边形CENM 为平行四边形，则CE MN =，设(,3)M a a -，则2(,23)N a a a --，2223(3)3MN a a a a a ∴=----=-，232a a ∴-=，解得：a =（负值已舍去），M ∴，综上，M 点的坐标为(2,1)-或． 【变式训练1】如图，抛物线215222y x x =-++与x 轴相交于A ，B 两点，点B 在点A 的右侧，与y 轴相交于点C ．（1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA PC +的值最小，求点P 的坐标；（3）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当0x =时，则52y =， 5(0,)2C ∴， 当0y =时，2152022x x -++=， 化简，得2450x x --=，解得，1x =-或5x =，(1,0)A ∴-，(5,0)B ；（2）如图，连接BC ，交对称轴于点P ，连接AP ．点A 和点B 关于抛物线的对称轴对称，AP PB ∴=，要使PA PC +的值最小，则应使PB PC +的值最小，BC ∴与对称轴的交点，使得PA PC +的值最小．设BC 的解析式为y kx b =+．将(5,0)B ，5(0,)2C 代入y kx b =+， 得5250b k b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩， ∴1252k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线BC 的解析式为1522y x =-+ 抛物线的对称轴为直线22122x ==-⨯ 当2x =时，1532222y =-⨯+=， 3(2,)2P ∴；（3）设点(,0)M m ，215(,2)22N n n n -++， 由（1）知，(1,0)A -，5(0,)2C ， 当AC 与MN 是对角线时，AC ∴与MN 互相平分， ∴215115(0)(2)22222n n +=-++， 解得，0n =（舍)或4n =，5(4,)2N ∴， 当AM 与CN 是对角线时，AM 与AN 互相平分， ∴11(1)22m n -=，2111550(2)22222n n ⨯=-+++，解得，2n =(2N ∴5)2-或(2，5)2-， 当AN 与CM 是对角线时，AN 与CM 互相平分， ∴211515(2)(0)22222n n -++=⨯+，解得，0n =（舍)或4n =，5(4,)2N ∴， 即：以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形时，点N 的坐标为5(4,)2或(2，5)2-或(2，5)2-，【变式训练2】如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,4)-，且与直线112y x =-+相交于A ，B 两点，A 点在y 轴上，过点B 作BC x ⊥轴，垂足为点(3,0)C -．（1）求二次函数的表达式；（2）点N 是二次函数图象上一点（点N 在AB 上方），过N 作NP x ⊥轴，垂足为点P ，交AB 于点M ，求MN 的最大值；（3）在（2）的条件下，点N 在何位置时，四边形BCMN 是平行四边形？并求出满足条件的N 点的坐标．【解答】解：（1）由直线112y x =-+可知(0,1)A ，5(3,)2B -，又点(1,4)-经过二次函数的图象， 根据题意得：593241a b c a b c c ⎧-+=⎪⎪-+=⎨⎪=⎪⎩，∴541741a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩， 则二次函数的解析式是：2517144y x x =--+；（2）设2517(,1)44N x x x --+，则1(,1)2M x x -+，(,0)P x ， 则222517151553451(1)()442444216MN PN PM x x x x x x =-=--+--+=--=-++， 所以，当32x =-时，MN 的最大值为4516；（3）连接MC ，BN ，若BC MN =，则四边形BCMN 是平行四边形，25155442x x ∴--=， 解得_11x =-，_22x =-，故当(1,4)N -或(2,4.5)-时，四边形BCMN 是平行四边形．【变式训练3】如图，已知二次函数图象的顶点坐标为(1,0)C ，直线y x m =+的图象与该二次函数的图象交于A 、B 两点，其中A 点坐标为(3,4)，B 点在y 轴上．（1）求m 的值及这个二次函数的解析式；（2）若P 是线段AB 下方抛物线上一动点，当ABP ∆面积最大时，求P 点坐标以及ABP ∆面积最大值；（3）若D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，Q 为线段AB 之间的一个动点，过Q 作x 轴的垂线，与这个二次函数图象交于点E ，问是否存在这样的点Q ，使得四边形DCEQ 为平行四边形，若存在，请求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）点(3,4)A 在直线y x m =+上，43m ∴=+．1m ∴=．设所求二次函数的关系式为2(1)y a x =-．点(3,4)A 在二次函数2(1)y a x =-的图象上，24(31)a ∴=-，1a ∴=．∴所求二次函数的关系式为2(1)y x =-．即221y x x =-+；（2）过点P 作y 轴的平行线交AB 于点E ，则ABP ∆面积221139__(__)[(1)(21)]32222S PEA S PEB PE x A x B x x x x x =∆+∆=⋅-=⨯+--+⨯=-+， 302-<，故ABP ∆面积存在最大值，当32x =时，ABP ∆面积最大值为278， 此时点P 的坐标为3(2，1)4；（3）存在．理由：要使四边形DCEQ 是平行四边形，必需有QE DC =．点D 在直线1y x =+上，∴点D 的坐标为(1,2)，232x x ∴-+=．即2320x x -+=．解之，得_12x =，_21x =（不合题意，舍去）∴当Q 点的坐标为(2,3)时，四边形DCEQ 是平行四边形．【变式训练4】如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，过点A 的直线l 交抛物线于点(2,)C m ．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 是线段AC 上一个动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点E ，求线段PE 最大时点P 的坐标．（3）点F 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点D ，使得以点A ，C ，D ，F 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将(1,0)A -，(3,0)B 代入2y x bx c =++，得到10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩解得23b c =-⎧⎨=-⎩， 223y x x ∴=--．（2）将C 点的横坐标2x =代入223y x x =--，得3y =-，(2,3)C ∴-； ∴直线AC 的函数解析式是1y x =--．设P 点的横坐标为(12)x x -，则P 、E 的坐标分别为：(,1)P x x --，2(,23)E x x x --； P 点在E 点的上方，22(1)(23)2PE x x x x x =-----=-++，219()24x =--+， 10-<，∴当12x =时，PE 的最大值94=，此时1(2P ，3)2-． （3）存在．理由：如图，设抛物线与y 的交点为K ，由题意(0,3)K -，(2,3)C -，//CK x ∴轴，2CK =，当AC 是平行四边形11ACF D 的边时，可得1(3,0)D -．当AC 是平行四边形12AF CD 的对角线时，2AD CK =，可得2(1,0)D ， 当点F 在x 轴的上方时，令3y =，2323x x =--，解得1x =3(1F ∴-3)，4(1F 3)，由平移的性质可知3(4D -0)，4(4D +，0)．综上所述，满足条件的点D 的坐标为(3,0)-或(1,0)或(4-，0)或(4+0)．菱形【例1】如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴负半轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，与y 轴负半轴交于点C ，(4,0)A -，(1,0)B ，90ACB ∠=︒．（1）求点C 的坐标和抛物线的函数关系式；（2）点D 是OA 上一点（不与点A 、O 重合），过点D 作x 轴的垂线，交抛物线于点E ，交AC 于点F ，当13DF EF =时，求点E 的坐标； （3）设抛物线的对称轴l 交x 轴于点G ，在（2）的条件下，点M 是抛物线对称轴上一点，点N 是坐标平面内一点，是否存在点M 、N ，使以A 、E 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意，4OA =，1OB =，OC AB ⊥， 90ACB ∠=︒，AOC COB ∴∠=∠，90OCA OAC ∠+∠=︒，90OCA OCB ∠=∠=︒， OAC OCB ∴∠=∠， ~OAC OCB ∴∆∆，∴OC OBOA OC=，∴2OC ，(0,2)C ∴-，分别把(4,0)A -，(1,0)B ，(0,2)C -代入2y ax bx c =++得164002a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩解得122b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴213222y x x =+-；（2）设直线AC 函数关系式为y x b =+， 代入(4,0)A -，(0,2)C -得，402b b -+=⎧⎨=-⎩，解得，12=-，2b =-，∴122y x =--，设(,0)D m ，∴213_222y E m m =+-，1_22y F m =--，∴122DF m =+，21__22EF y F y E m m =-=--，由题意21112(2)232m m m +=--，解得，3m =-或4-（舍去）将3m =-代入213_222y E m m =+-，得213_2222y E m m =+-=-，(3,2)E ∴--；（3）存在，理由：当以A 、E 、M 、N 为顶点的四边形是菱形时，AEM ∆是等腰三角形． 由题意，1AD =，2DE =，322b a -=-，在Rt ADE ∆中，由勾股定理的，AE①AM AE =点A 到直线l 的距离是35(4)22---=>，∴此时点M 不存在．②EM AE ==过点E 作EH l ⊥于点H ，__2y H y E ∴==-，33(3)22EH =---=，在Rt EHM ∆中，由勾股定理得，MN ==∴_22y M =-+或22--，∴3_1(,22M --，3_2(,22M --；③当MA ME =时，22MA ME =， 即2222MG AG MH EH +=+，设3(,)2M n -，222253()(2)()22n n +=++，解得0n =， ∴3_3(,0)2M =-，综上，3_1(,22M --，3_2(,22M ---，3_3(2M -，0)，此时，5_1(2N -，5_2(,2N -，11_3(,2)2N --．【变式训练1】综合与探究已知：p ，q 是方程2650x x -+=的两个实数根，且p q <，抛物线2y x bx c =-++的图象经过点(,0)A p ，(0,)B q ． （1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C ，抛物线的顶点为D ，试求出点C ，D 的坐标和BCD ∆的面积；（3）P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH x ⊥轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把PCH ∆分成面积之比为2:3的两部分，请直接写出P 点的坐标 或 ； （4）若点M 在直线CB 上，点N 在平面上，直线CB 上是否存在点M ，使以点C 、点D 、点M 、点N 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M 的坐标：若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）解方程2650x x -+=， 得15x =，21x =，由p q <，则1p =，5q =，所以点A 、B 的坐标分别为(1,0)A ，(0,5)B ， 将(1,0)A ，(0,5)B 的坐标分别代入2y x bx c =-++， 得105b c c -++=⎧⎨=⎩，解这个方程组，得45b c =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为245y x x =--+；（2）由245y x x =--+，令0y =，得2450x x --+=， 解这个方程，得15x =-，21x =， C ∴点的坐标为(5,0)-，2245(2)9y x x x =--+=-++，∴顶点D 的坐标为(2,9)-， 过D 作x 轴的垂线交x 轴于M ，则1279(52)22DMC S ∆=⨯⨯-=，()1295142MDBO S =⨯⨯+=梯形，1255522BOC S ∆=⨯⨯=，2725141522BCD DMC BOC MDBO S S S S ∆∆∆∴=+-=+-=梯形； （3）设P 点的坐标为(,0)a ， 如图2，点(0,5)B ，点(5,0)C -，∴直线BC 的解析式为5y x =+，(,5)E a a ∴+，2(,45)H a a a ∴--+，由题意，得①32EH EP =， 即23(45)(5)(5)2a a a a --+-+=+，解这个方程，得32a =-或5a =-（舍去），②23EH EP =，即22(45)(5)(5)3a a a a --+-+=+， 解这个方程，得23a =-或5a =-（舍去），综上所述：P 点的坐标为3(2-，0)或2(3-，0)，故答案为3(2-，0)或2(3-，0)；（4）设点(,5)M m m +，点(5,0)C -，点(2,9)D -，CD ∴=当CD 与DM 是菱形的两边时，则CD DM =，∴ 15m ∴=-（不合题意舍去），27m =， ∴点(7,12)M ，当CD 与CM ''是菱形的两边时，则CD CM ''=，∴5m ∴=±，∴点5M ，或点(5M -，-； 当DM '与CM '是菱形的两边时，则CM DM ''=，∴ 54m ∴=-，∴点5(4M -，15)4，综上所述：点M 坐标为(7,12)或5，或点(5M -，-或5(4-，15)4．【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其中(1,0)A -，(4,0)B ． （1）求抛物线的解析式；（2）连接BC ，在直线BC 上方的抛物线上有一动点D ，连接AD ，与直线BC 相交于点E ，当:4:5DE AE =时，求tan DAB ∠的值；（3）点P 是直线BC 上一点，在平面内是否存在点Q ，使以点P ，Q ，C ，A 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：将(1,0)A -，(4,0)B 代入23y ax bx =++， 得3016430a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得3494a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴解析式为239344y x x =-++；（2）当0x =时，239344y x x =-++，(0,3)C ∴，设直线BC 的解析式为y kx b =+，将(4,0)B ，(0,3)C 分别代入得403k b c +=⎧⎨=⎩，解得：343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为：334y x =-+，过点D 作y 轴的平行线，交直线BC 与点F ，交x 轴于点H ， 过点A 作y 轴的平行线，交直线BC 与点G ，(1,0)A -，∴当1x =-时，315(1)344y =-⨯-+=，∴15(1,)4G -，154AG =， //AG y 轴//DF ， DEF AEG ∴∆∆∽，∴DE DFAE AG=， ∴41554DF =， 3DF ∴=，设239(,3)44D t t t -++，3(,3)4F t t -+，∴223933(3)(3)334444DF t t t t t =-++--+=-+=，解得：122t t ==， ∴9(2,)2D ，∴92DH =，123AH =+=， 在Rt ADH ∆中，932tan 32DH DAB AH ∠===； （3）存在，分三种情况：①如图2，四边形ACPQ 是菱形，则PC AC =，设3(,3)4P x x -+，(1,0)A -，(0,3)C ，∴22223(33)134x x +-+-=+，解得：x =当x =(P 3)+，(1Q ∴-，当x =P ，3)+，1Q ∴-，； ②如图3，四边形APCQ 是菱形，5BC AB ==，B ∴在AC 的垂直平分线上， P ∴与B 重合，(5,3)Q ∴-；③如图4，四边形ACQP 是菱形，同理得8(5P ，9)5，13(5Q ∴，24)5；综上，点Q 的坐标为(1-或1-，或(5,3)-或13(5，24)5． 【变式训练3】如图，直线3y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B ，点C ，经过B ，C 两点的抛物线2y x bx c =++与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ，点M 为抛物线的对称轴上的一个动点．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点M 在x 轴的上方时，求四边形COAM 周长的最小值；（3）在平面直角坐标系内是否存在点N ，使以C ，P ，M ，N 为顶点的四边形为菱形？若存在，请写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）直线3y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B ，点C ，∴点(3,0)B ，点(0,3)C ，抛物线2y x bx c =++经过B ，C 两点，∴9303b c c ++=⎧⎨=⎩，解得43b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为：243y x x =-+；（2）如图，连接AM ，2243(2)1y x x x =-+=--，∴抛物线的对称轴为直线2x =，点A 与点B 关于对称轴对称，AM BM ∴=，点(1,0)A ，点(0,3)C ，点(1,0)A ，点(3,0)B ，1OA ∴=，3OC =，3OB =，四边形COAM 周长OC OA AM CM =+++， ∴四边形COAM 周长4BM CM =++，∴当点B ，点M ，点C 三点共线时，BM CM +有最小值为BC 的长，∴四边形COAM 周长的最小值4BC =+，229932BC OC OB =++∴四边形COAM 周长的最小值432=+（3）2243(2)1y x x x =-+=--，∴顶点(2,1)P -，又点(0,3)C ，222(13)25PC ∴=+--=设点(2,)M t ，MC ∴|1|MP t =+，以C ，P ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，CPM ∴∆是等腰三角形，若MC MP =|1|t +，32t ∴=， ∴点3(2,)2M ；若MP PC =，则|1|t +，11t ∴=-+21t =--，∴点(2,1M -+或(2,1--；若MC PC ==解得：31t =-（不合题意舍去），47t =，∴点(2,7)M ；综上所述：点M 的坐标为3(2,)2或(2,7)或(2,1-+或(2,1--．矩形【例1】如图所示，二次函数22y x x m =-++的图象与x 轴的一个交点为(3,0)A ，另一交点为B ，且与y 轴交于点C ．（1）求m 的值；（2）求点B 的坐标；（3）该二次函数图象上有一点(,)D x y （其中0x >，0)y >，使ABD ABC S S ∆∆=，求点D 的坐标；（4）若点P 在直线AC 上，点Q 是平面上一点，是否存在点Q ，使以点A 、点B 、点P 、点Q 为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把(3,0)A 代入二次函数22y x x m =-++得：960m -++=，3m =；（2）由（1）可知，二次函数的解析式为：223y x x =-++；当0x =时，3y =，(0,3)C ∴，当0y =时，2230x x -++=，2230x x --=，(1)(3)0x x +-=，1x ∴=-或3，(1,0)B ∴-；（3）__S ABD S ABC ∆=∆，当3y =时，2233x x -++=，220x x -+=，220x x -=，(2)0x x -=，0x =或2，∴只有(2,3)符合题意．综上所述，点D 的坐标为(2,3)；（4）存在，理由：①当AB 是矩形的边时，此时，对应的矩形为ABP Q ''，3AO OC ==，故45PAB ∠=︒，∴矩形ABP Q ''为正方形，故点Q '的坐标为(3,4)；②当AB 是矩形的对角线时，此时，对应的矩形为APBQ ，同理可得，矩形APBQ 为正方形，故点Q 的坐标为(1,2)-，故点Q 的坐标为(3,4)或(1,2)-．【变式训练1】如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++<与x 轴交于点(2,0)A -、(4,0)B ，与y 轴交于点C ，且2OC OA =．.（1）该抛物线的解析式为 2142y x x =-++ ； （2）直线1(0)y kx k =+>与y 轴交于点D ，与直线BC 交于点M ，与抛物线上直线BC 上方部分交于点P ，设PM m DM=，求m 的最大值及此时点P 的坐标； （3）若点D 、P 为（2）中求出的点，点Q 为x 轴的一个动点，点N 为坐标平面内一点，当以点P 、D 、Q 、N 为顶点的四边形为矩形时，直接写出点N 的坐标．【解答】解：（1）因为抛物线2y ax bx c =++经过(2,0)A -、(4,0)B 两点，所以可以假设(2)(4)y a x x =+-，2OC OA =，2OA =，(0,4)C ∴，代入抛物线的解析式得到12a =-， 211(2)(4)422y x x x x ∴=-+-=-++， 故答案为：2142y x x =-++； （2）如图1中，由题意，点P 在y 轴的右侧，作PE x ⊥轴于E ，交BC 于F ．//CD PE ，CMD FMP ∴∆∆∽，PM PF m DM DC∴==， 直线1(0)y kx k =+>与y 轴交于点D ，则(0,1)D ， BC 的解析式为4y x =-+， 设21(,4)2P n n n -++，则(,4)F n n -+， 22114(4)(2)222PF n n n n ∴=-++--+=--+， 212(2)63PF m n CD ∴==--+， 106-<， ∴当2n =时，m 有最大值，最大值为23，此时(2,4)P ； （3）存在这样的点Q 、N ，使得以P 、D 、Q 、N 四点组成的四边形是矩形． ①当DP 是矩形的边时，有两种情形，a 、如图21-中，四边形DQNP 是矩形时，有（2）可知(2,4)P ，代入1y kx =+中，得到32k =， ∴直线DP 的解析式为312y x =+，可得(0,1)D ，2(3E -，0)， 由DOE QOD ∆∆∽可得OD OE OQ OD =， 2OD OE OQ ∴=，213OQ ∴=， 32OQ ∴=， 3(2Q ∴，0)． 根据矩形的性质，将点P 向右平移32个单位，向下平移1个单位得到点N ， 3(22N ∴+，41)-，即7(2N ，3) b 、如图22-中，四边形PDNQ 是矩形时，直线PD 的解析式为312y x =+，PQ PD ⊥， ∴直线PQ 的解析式为21633y x =-+，(8,0)Q ∴，根据矩形的性质可知，将点D 向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N ， (06,14)N ∴+-，即(6,3)N -．②当DP 是对角线时，设(,0)Q x ，则221QD x =+，222(2)4QP x =-+，213PD =， Q 是直角顶点，222QD QP PD ∴+=，221(2)1613x x ∴++-+=，整理得2240x x -+=，方程无解，此种情形不存在，综上所述，满足条件的点N 坐标为7(2，3)或(6,3)-． 【变式训练2】如图所示，平面直角坐标系中，直线3y x =-+交坐标轴与B 、C 两点，抛物线23y ax bx =++经过B 、C 两点，且交x 轴于另一点(1,0)A -．点D 为抛物线在第一象限内的一点，过点D 作//DQ CO ，DQ 交BC 于点P ，交x 轴于点Q ．（1）求抛物线解析式；（2）设点P 的横坐标为m ，在点D 的移动过程中，存在DCP ACO ∠=∠，求出m 值；（3）在抛物线取点E ，在坐标系内取点F ，问是否存在以C 、B 、E 、F 为顶点且以CB 为边的矩形？如果有请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）直线3y x =-+交坐标轴与B 、C 两点，∴点(3,0)B ，点(0,3)C ，抛物线23y ax bx =++经过B 、C 两点，且交x 轴于另一点(1,0)A -，∴030933a b a b =-+⎧⎨=++⎩解得：12a b =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为：223y x x =-++；（2）如图，过点D 作DH BC ⊥于H ，点(3,0)B ，点(0,3)C ，点(1,0)A -，3CO BO ∴==，1AO =，45BCO CBO ∴∠=∠=︒，BC =，DQ OB ⊥，45BPQ PBQ ∴∠=∠=︒，PQ QB ∴=，BP =，点P 的横坐标为m ，∴点(,3)P m m -+，点2(,23)D m m m -++，3PQ m ∴=-+，223DQ m m =-++，23DP m m ∴=-+，3)BP m =-+45DPH BPQ ∠=∠=︒，DH BC ⊥，45HDP DPH ∴∠=∠=︒，23)22DH PH DP m m ∴===-+，223)3)CH m m m ∴=-+--+=， DCP ACO ∠=∠，tan tan AO DH DCP ACO CO CH∴∠=∠==，∴23)13m m -+= 0m ∴=（舍去），52m =； （3）存在，若CE BC ⊥时， ∴直线CE 解析式为：3y x =+，∴2323y x y x x =+⎧⎨=-++⎩ ∴03x y =⎧⎨=⎩（舍去），14x y =⎧⎨=⎩∴点E 坐标(1,4)，若BE BC ⊥时，∴直线BE 解析式为：3y x =-，∴2323y x y x x =-⎧⎨=-++⎩∴30x y =⎧⎨=⎩（舍去），25x y =-⎧⎨=-⎩ ∴点E 坐标(2,5)--，综上所述：当点(1,4)E 或(2,5)--时，以C 、B 、E 、F 为顶点且以CB 为边的矩形．【变式训练3】如图所示，将二次函数221y x x =++的图象沿x 轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到二次函数2y ax bx c =++的图象．函数221y x x =++的图象的顶点为点A ．函数2y ax bx c =++的图象的顶点为点C ，两函数图象分别交于B 、D 两点．（1）求函数2y ax bx c =++的解析式；（2）如图2，连接AD 、CD 、BC 、AB ，判断四边形ABCD 的形状，并说明理由．（3）如图3，连接BD ，点M 是y 轴上的动点，在平面内是否存在一点N ，使以B 、D 、M 、N 为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）2221(1)y x x x =++=+，且将二次函数221y x x =++的图象沿x 轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移5个单位，22(11)55y x x ∴=-+-+=-+；（2）四边形ABCD 是平行四边形，理由如下：25y x =-+的顶点为点C ，；∴点(0,5)C ，函数221y x x =++的图象的顶点为点A ，∴点(1,0)A -，联立方程组可得：22215y x x y x ⎧=++⎨=-+⎩∴21x y =-⎧⎨=⎩ 或14x y =⎧⎨=⎩， ∴点(2,1)D -，点(1,4)B ，点(2,1)D -，点(1,4)B ，(1,0)A -，点(0,5)C ，AB ∴=，CD =AD =，BC =，AC BD =AB CD ∴=，AD BC =，∴四边形ABCD 是平行四边形；（3）存在，设点(,)N x y若BD 为矩形的边，四边形BDMN 是矩形时，点(2,1)D -，点(1,4)B ，∴直线BD 解析式为：3y x =+，∴直线DM 的解析式为1y x =--，∴点(0,1)M -， BM 与DN 互相平分， ∴10222x +-+=，14122y -++=， 3x ∴=，2y =，∴点(3,2)N ；若BD 为矩形的边，四边形BDNM 是矩形时，点(2,1)D -，点(1,4)B ，∴直线BD 解析式为：3y x =+，∴直线BM 的解析式为5y x =-+，∴点(0,5)M ， BN 与DM 互相平分， ∴12022x +-+=，15422y ++=， 3x ∴=-，2y =，∴点(3,2)N -；若BD 为对角线，点(2,1)D -，点(1,4)B ，点(,)N x y ，点M 的横坐标为0，1x ∴=-，点M 纵坐标为5y -，∴点(0,5)M y -BD MN =，∴y ∴，∴点(N -或，(-，综上所述：点N 坐标为(-或，(-或(3,2)或(3,2)-． 【变式训练4】如图，抛物线23(0)y ax bx a =++≠与x 轴，y 轴分别交于点(1,0)A -，(3,0)B ，点C 三点．（1）求抛物线的解析式；（2）x 轴上是否存在点P ，使12PC PB +最小？若存在，请求出点P 的坐标及12PC PB +的最小值；若不存在，请说明理由；（3）连接BC ，设E 为线段BC 中点．若M 是抛物线上一动点，将点M 绕点E 旋转180︒得到点N ，当以B 、C 、M 、N 为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N 的坐标．【解答】解：（1）抛物线23(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A -，(3,0)B ， ∴设抛物线的解析式为2(1)(3)23y a x x ax ax a =+-=--，33a ∴-=，1a ∴=-，∴抛物线的解析式为223y x x =-++；（2）如图，在x 轴下方作30ABD ∠=︒，交y 轴负半轴于D ，则2BD OD =，(3,0)B ，3OB ∴=，根据勾股定理得，2223BD OD -=，2249OD OD ∴-=，OD ∴BD =抛物线的解析式为223y x x =-++，(0,3)C ∴，3OC ∴=，3CD ∴=+，过点P 作PB BD '⊥于B '，在Rt △PB B '中，12PB PB '=， 12PC PB PC PB '∴+=+， 当点C ，P ，B 在同一条直线上时，12PC PB +最小，最小值为CB '， 1122BCD S CD OB BD CB ∆'==，(32CD OB CB BD +'∴===，即12PC PB +， 3OB OC ==，45OBC OCB ∴∠=∠=︒，453075DBC ∴∠=︒+︒=︒，907515BCP ∴∠=︒-︒=︒，30OCP ∴∠=︒，3OC =，OP ∴P ∴0)；（3）如备用图，设2(,23)M m m m -++，以B 、C 、M 、N 为顶点的四边形是矩形，90BMC ∴∠=︒，点A 在x 轴负半轴，且90BOC ∠=︒，∴点M 在x 轴上方的抛物线，过点M 作ME x ⊥轴于E ，作MF y ⊥轴于F ，90MEO MFO EOF ∴∠=∠=︒=∠，∴四边形OEMF 是矩形，90EMF ∴∠=︒，BME CMF ∴∠=∠，90BEM CFM ∠=∠=︒，BEM CFM ∴∆∆∽， ∴BE ME CF MF=， ∴22323233m m m m m m--++=-++-．m ∴，M ∴或， 点N 是点M 关于点3(2E ，3)2的对称点，N ∴或．【变式训练5】如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y ax ax a a =--<与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线:l y kx b =+与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且4CD AC =．（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k 、b 用含a 的式子表示）；（2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若ACE ∆的面积的最大值为54，求a 的值； （3）设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，当以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点P 的坐标．【解答】解：（1）当223(1)(3)y ax ax a a x x =--=+-，得(1,0)A -，(3,0)B ， 直线:l y kx b =+过(1,0)A -，0k b ∴=-+，即k b =，∴直线:l y kx k =+，抛物线与直线l 交于点A ，D ，223ax ax a kx k ∴--=+，即2(2)30ax a k x a k -+--=，4CD AC =，∴点D 的横坐标为4，314k a∴--=-⨯， k a ∴=，∴直线l 的函数表达式为y ax a =+；（2）如图1，过E 作//EF y 轴交直线l 于F ，设2(,23)E x ax ax a --，则(,)F x ax a +，222334EF ax ax a ax a ax ax a =----=--，22221111325(34)(1)(34)(34)()222228ACE AFE CEF S S S ax ax a x ax ax a x ax ax a a x a ∆∆∆∴=-=--+---=--=--，ACE ∴∆的面积的最大值258a ==， ACE ∆的面积的最大值为54， 25584a ∴-=， 解得25a =-；（3）以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能成为矩形，令223ax ax a ax a --=+，即2340ax ax a --=，解得：11x =-，24x =，(4,5)D a ∴，抛物线的对称轴为直线1x =，设(1,)P m ，①如图2，若AD 是矩形ADPQ 的一条边，则易得(4,21)Q a -，21526m a a a ∴=+=，则(1,26)P a ， 四边形ADPQ 是矩形，90ADP ∴∠=︒，222AD PD AP ∴+=，2222225(5)3(265)2(26)a a a a ∴+++-=+， 即217a =， 0a <，a ∴=(1,P ∴； ②如图3，若AD 是矩形APDQ 的对角线，则易得(2,3)Q a -，5(3)8m a a a ∴=--=，则(1,8)P a ，四边形APDQ 是矩形，90APD ∴∠=︒，222AP PD AD ∴+=，222222(11)(8)(14)(85)5(5)a a a a ∴--++-+-=+， 即214a =， 0a <，12a ∴=-， (1,4)P ∴-，综上所述，点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能成为矩形，点(1,P 或(1,4)-．。
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四边形之存在性问题（二）（讲义）
➢课前预习
1.一般情况下我们如何处理存在性问题？
（1）研究背景图形
坐标系背景下研究、；几何图形研究、、．
（2）根据不变特征，确定分类标准
研究定点，动点，定线段，确定分类标准
不变特征举例：
①等腰三角形（两定一动）
以定线段作为或者来分类，利用
确定点的位置．
②等腰直角三角形（两定一动）
以来分类，然后借助或者
确定点的位置．
（3）分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解（4）结果验证
2.用铅笔做讲义第1，2 题，并将计算、演草保留在讲义上，先
看知识点睛，再做题，思路受阻时（某个点做了2~3 分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听．
➢知识点睛
1.存在性问题处理框架：
①研究背景图形．
②根据不变特征，确定分类标准．
③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解．
④结果验证．
2.特殊平行四边形存在性问题不变特征举例：
①菱形存在性问题（两定两动）
转化为等腰三角形存在性问题；
以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标．
②正方形存在性问题（两定两动）转
化为等腰直角三角形存在性问题；
根据直角顶点确定分类标准，利用两腰相等或者45°角确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标．
➢精讲精练
1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l：y = 2x - 4 与x 轴交
于点A，与y 轴交于点B．
（1）求点A，B 的坐标．
（2）若P 是直线x =-2 上的一动点，则在坐标平面内是否存在点Q，使得以A，B，P，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
2 2.
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直角梯形 OABC 的顶点 A
在 y 轴正半轴上，顶点 C 的坐标为( 18 ，0)，AB ∥OC ， ∠OCB =45°，且 BC =12 ． （1）求点 B 的坐标．
（2）直线 BE 与线段 OA 交于点 E ，且 OE =6．若 P 是直线 BE 上的一动点，则在坐标平面内是否存在点 Q ，使得以 O ，E ， P ，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
y B
A
E C
O
x
y B
A
E C
O
x
3 3 3. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，□ABCD 的顶点 A ，B 的坐标分别为 A (0，3)，B (
，0)，顶点
C 在 x 轴正半轴上， 顶点
D 在第一象限，且 AD = 2 ．若 M 为坐标平面内一点， 则在第一象限内是否存在点 F ，使得以 A ，C ，F ，M 为顶点的四边形是正方形？若存在，求出点 F 的坐标；若不存在， 请说明理由．
y
A
D
B O
C x
y
A
D
B O
C x
4.如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B，C 的坐标分别为
A( 9 ，0)，B(16，0)，C(0，12)，D 是线段BC 上的一动点（不与点B，C 重合），过点D作直线DE⊥OB，垂足为点E．若M 为坐标平面内一点，则在直线DE 上是否存在点N，使得以C，B，M，N 为顶点的四边形是正方形？若存在，求出点N。