2.3数学归纳法

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2.3 数学归纳法

个交点将新圆分成2k段弧这2k个交点将新圆分成段弧,这2k段弧个交点将新圆分成段弧, 段弧将所经过的区域一分为二,因此新增2k个区将所经过的区域一分为二,因此新增个区这样k+1个圆最多把平面分成域,这样个圆最多把平面分成 (k2-k+2) +2k=(k+1)2-(k+1)+2个区域, 个区域, 个区域这就是说, 这就是说,当n=k+1时,结论也正确, 时结论也正确, 由(1)和(2)可以断定,结论对任何 ) )可以断定, n∈N+都正确. ∈ 都正确.
用框图表示为: 用框图表示为:
验证n= 验证 =n0时命题成立. 命题成立. 时命题成立, 若n = k ( k ≥ n0 ) 时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立. 时命题也成立. 证明当时命题也成立
归纳奠基归纳递推
命题对从n 命题对从 0开始的所有的自然数n都成立都成立. 的自然数都成立.
2.3 数学归纳法
从前,有个小孩叫万百千,他开始上学识字. 从前,有个小孩叫万百千,他开始上学识字.第一天先生教他个" 一天先生教他个"一"字.第二天先生又教了个第三天,他想先生一定是教" "二"字.第三天,他想先生一定是教"三"字并预先在纸上划了三横. 了,并预先在纸上划了三横.果然这天教了个于是他得了一个结论: "三"字.于是他得了一个结论:"四"一定是四横, 一定是五横,以此类推, 从此从此, 四横,"五"一定是五横,以此类推,…从此, 他不再去上学,家长发现问他为何不去上学, 他不再去上学,家长发现问他为何不去上学,他自豪地说: 我都会了" 自豪地说:"我都会了".家长要他写出自己的名字, 万百千"写名字结果可想而知. 名字,"万百千"写名字结果可想而知."

课件12：2.3 数学归纳法

则当 n＝k＋1 时， 1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k＋2k＋1 1－2k＋1 2 ＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k＋1 1－2k＋1 2 ＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋2k＋1 1＋2k＋1 2. 即当 n＝k＋1 时，等式也成立．综合(1)、(2)可知，对一切 n∈N*，等式成立．
3．用数学归纳法证明不等式 1＋12＋14＋…＋2n1－1>16247成立时，
起始值 n 至少应取为( )
A．7
B．8
C．9
D．10
【解析】∵1＋12＋14＋…＋271－1＝11－－12127 ＝2－216＝272－6 1＝16247，而 1＋12＋14＋…＋281－1>16247，故选 B.
方法规律总结：用数学归纳法证明整除问题时，首先从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除．其中的关键是“凑项”，可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法分析出因子，从而利用归纳假设使问题得到解决．
利用数学归纳法证明整除问题，由归纳假设P(k)能被p整除，证P(k＋1)能被p整除，也可运用结论：若P(k＋1)－P(k)能被p 整除⇒P(k＋1)能被p整除．或利用“∵P(k)能被P整除，∴存在整式q(k)，使P(k)＝P·q(k)”，将P(k＋1)变形转化分解因式产生因式p.
命题方向3：用数学归纳法证明整除问题例3：求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1 ＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1 ＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1. 由归纳假设知，上式能被a2＋a＋1整除，故当n＝k＋1时命题也成立．由(1)、(2)知，对一切n∈N*，命题都成立．

2.3数学归纳法13

对一切正整数n都成立,并证明你的结论.
3a b 1 a 1 解:令n=1,2,并整理得{10a 3b 2 {b 4 .
以下用数学归纳法证明:
12 22 n2 n2 n (n N * ). 1 3 3 5 (2n 1)(2n 1) 4n 2
多米诺骨牌倒下的条件?
数学归纳法的步骤可用框图表示为：
验证n=n0时命题成立归纳奠基若n=k(k≥n0)时命题成立,
证明n=k+1时命题也成立.
归纳推理
命题对从n0开始所有的正整数n都成立
注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可.
2. (1)(归纳奠基)是递推的基础
2.3数学归纳法
一.由系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫归纳法.
归纳法
完全归纳法不完全归纳法
举例说明: 等差数列通项的推导;
a2=a1+d a3=a1+2d a4=a1+3d
……
an=a1+(n-1)d
二、数学归纳法的概念：
一般地，证明一个与正整数n有关的命题, 可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)验证当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立 (2)(归纳递推)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立只要完成这两步，就可以断定命题对从n0 开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。
评注：归纳假设运用后按所证结果进行“拼凑” 是可以的，但不能出现错误的推理.
案例三(未用归纳假设) 设n∈N+，求证：2+4+6+· · · +2n=n2+n 证明: (1)当n=1时,左边=2,右边=12+1=2,等式成立. (2) 假设当n=k时等式成立，即 2+4+6+· · · +2k=k2+k+1, 那么,当n=k+1时，有 2+4+6+· · · +2k+2(k+1) (k+1)[2+2(k+1)] = =(k+1)2+(k+1)+1, 2 这就是说，当n=k+1时等式也成立. 所以，对一切n∈N+等式都成立. 评注：证明递推步时一定要用到归纳假设，否则递推关系不能成立.

2.3数学归纳法

归纳法的分类：
对考察对象一一考察后得出结论
不完全归纳法
某些与自然数有关的数学命题
数学归纳法
完全归纳法
祝同学们学习快乐。 4.两个步骤、一个结论缺一不可,否则结论不能
成立；长风递推基础不可少，破两个步骤一结论；浪归纳假设要用到，递推基础不可少；会结论写明莫忘掉 . 归纳假设要用到；有时结论写明莫忘掉。直挂云帆济沧海
对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性： 1.证明当n取第一个值n0时命题成立； 2. 假设当 n=k(k≥n0, kN*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 那么,命题对于从n0开始的所有正整数n都成立,
数学归纳法这种证明方法就叫做______________.
(n=1, 2,…), 试归纳出这个数列的通项公式.
1 a ( n N ). 由此猜想: n n 但如何证明推理得到的结论呢？
an an 1
问题1：有一台晚会，若知道晚会的第一个节目是唱歌，第二个节目是唱歌、第三个节目也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？
问题2：有一台晚会，若知道唱歌的节目后面一定是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？问题3：有一台晚会，若知道第一个节目是唱歌，如果一个节目是唱歌则它后面的节目也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？
思考1:某人姓王，其子子孙孙都姓王吗？某家族所有男人世代都姓王的条件是什么？（1）始祖姓王；（第1代姓王）（2）子随父姓. （如果第k代姓王，则第k+1代也姓王）
思考2？有若干块骨牌竖直摆放，若将它们全部推倒，有什么办法？一般地，多米诺骨牌游戏的原理是什么？(条件是什么）

2.3数学归纳法

创设问题情境
an =1，+1 an = 1 + an
情景2：数列{an},已知a1
(n ∈ N )
∗
通过对 n = 1,2,3,4 前4项归纳，得出:
a1 = 1
1 a2 = 2 1 a3 = 3 1 a4 = 4
猜想出:
1 an = n
问题探究
“多米诺骨牌”效应所要具备的条件：
（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定能导致后一块倒下。
1 1 1 1 , , L L 3.已知数列 1 × 4 4 × 7 7 × 10 , (3n − 2)(3n + 1) , , 设Sn为数列前n项和，计算S1, S2 ,S3 ,S4,根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明。
解：
1 1 = S1= 1× 4 4 1 1 2 + = S2= 4 4 × 7 7 2 1 3 + = S3= 7 7 × 10 10
(
) 1 1 B. ＋ k(k＋ 1) (k＋ 1)(k＋ 2) 1 D. (k＋ 1)(k＋ 2)
[解析 ] 1 ＋ k(k＋ 1)
1 1 当 n＝ k 时，式左边＝等＋＋… 1· 2 2· 3
1 1 当 n＝ k＋ 1 时，等式左边＝＋＋…＋ 1· 2 2· 3 1 1 ＋ k(k＋ 1) (k＋ 1)(k＋ 2) 1 两者比较需添加的项为 . ( k＋ 1)( k＋ 2) 故应选 D.
= k 2 − 1 + 2(k + 1) = (k + 1)[(k − 1) + 2] = (k + 1) 2 = 右边即当n=k+1时等式也成立。

2.3数学归纳法(第一课时)

2+4+6+8+„+2k+2（k+1) =k2+k+1+2(k+1)
=(k+1)2+(k+1)+1 ,
因此，对于任何nN*等式都成立。
1 1 (2) 1 2 2 3
1 n (n N * ) n (n 1) n 1 没有用上“假 1 1 证明 ①当n=1时,左边= 1 2 2 , 设”，故此法不是数学归纳 1 1 右边= = 法 1+1 2 此时，原等式成立。
(k 1)[(k 1) 1][2(k 1) 1] 目标： 1 2 3 4 k (k 1) * 综上①②可知，对任何nN 等式都成立。 6
2 2 2
即当n=k+1时,等式也成立。
凑结论
变式训练1：2+4+6+8+…+2n=n2+n+1(nN*) 证明：假设当n=k时等式成立，即
2+4+6+8+„+2k=k2+k+1(kN*) 那么，当n=k+1时，有
缺乏“递推基础”
事实上，我们可以用等差数列求和公式验证原等式是不成立的！
2+4+6+8+„+2k+2（k+1) =k2+k+1+2(k+1)
=(k+1)2+(k+1)+1 ,
因此，对于任何nN*等式都成立。
变式训练2：
例中发现一般规律
缺点：仅根据有限的特殊事例归纳得到的结论有时是不正确的

课件10：2.3 数学归纳法

第 k＋1 个圆与前 k 个圆产生 2k 个交点，第 k＋1 个圆被截为 2k 段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了 2k 个区域． ∴f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，
即 n＝k＋1 时命题成立，由(1)(2)知命题成立．
课堂小结 1．数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等． 2．证明问题的初始值n0不一定，可根据题目要求和问题实际确定n0. 3．从n＝k到n＝k＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子；一定要用到归纳假设．
例 3 平面内有 n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数 f(n)＝n(n2－1). 证明：(1)当 n＝2 时，两条直线的交点只有一个，又 f(2)＝12×2×(2－1)＝1， ∴当 n＝2 时，命题成立．
(2)假设 n＝k(k>2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何 k 条直线交点个数 f(k)＝21k(k－1)，那么，当 n＝k＋1 时，任取一条直线 l，除 l 以外其他 k 条直线交点个数为 f(k) ＝12k(k－1)，

即b1b＋1 1·b2b＋2 1·…·bkb＋k 1＝32·54·67·…·2k2＋k 1> k＋1成立．则当 n＝k＋1 时，左边＝b1b＋1 1·b2b＋2 1·…·bkb＋k 1·bkb＋k1＋＋1 1 ＝32·54·76·…·2k2＋k 1·22kk＋＋32
> k＋1·22kk＋＋32＝
ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1 ＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1 ＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1. 由归纳假设，上式中的两项均能被 a2＋a＋1 整除，故 n＝k＋1 时命题成立．由(1)(2)知，对任意 n∈N*，命题成立．

课件2 ：2.3 数学归纳法

1 +
猜想其通项公式
1
a1
1
1
a2
2
1
an
n
1
a3
3
…
不完全归纳法
归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法
归纳法分为
完全归纳法
和
不完全归纳法
考察全体对象,得到一
般结论的推理方法
考察部分对象,得到一
般结论的推理方法
结论一定可靠
结论不一定可靠
问题情境二
如何解决不完全归纳法存在的问题呢？
即当 = + 1时等式也成立
由（1）和（2）可知等式对任何 ∈ ∗ 都成立
课堂练习：
1.用数学归纳法证明等式
+ + + ⋯ ( + ) = ( + )( + )时，
当＝时，左边所得项是 1+2+3
；
当＝时，左边所得项是1+2+3+4+5 ；
1−+2
+ + + ⋯ … + ( − ) = ，
当 = + 时：
+ + + ⋯ … + ( − ) + [( + ) − ] = + + = ( + )，
所以当 = + 时等式也成立。
由①和②可知，对n∈∗ ，原等式都成立。
（3）由（1）、（2）得出结论
写明结论
才算完整
用上假设
递推才真
2
+1
2.用数学归纳法证明 , ≠ 1 1 + + +⋯ +

课件9：2.3 数学归纳法

2．数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1? 提示：不一定．
题型探究题型一用数学归纳法证明恒等式
例 1 已知 n∈N*，证明：1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n ＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n.
证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1－12＝12，右边＝12，等式成立； (2)假设当 n＝k(k≥1，且 k∈N*)时等式成立，即 1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k. 则当 n＝k＋1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ时，左边＝1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k＋2(k＋11)－1－2(k＋1 1)
故结论成立． ②假设当n＝k(k≥1，且k∈N*)时，即42k＋1＋3k＋2能被13 整除，则当n＝k＋1时， [42(k＋1)＋1＋3k＋3]－(42k＋1＋3k＋2)＝(42k＋1·42＋3k＋2·3)－ (42k＋1＋3k＋2)＝42k＋1·13＋2·(42k＋1＋3k＋2)， ∵42k＋1·13能被13整除，42k＋1＋3k＋2能被13整除， ∴[42(k＋1)＋1＋3k＋3]－(42k＋1＋3k＋2)能被13整除， ∴42(k＋1)＋1＋3k＋3能被13整除．
即(1＋1)1＋14…1＋3k－1 21＋3(k＋11)－2＞3 3(k＋1)＋1成立．所以当 n＝k＋1 时，不等式也成立．
由(1)和(2)可得不等式恒成立．
名师点评用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标．在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法、放缩法都可选用．
跟踪训练 2．设 n≥2，且 n∈N*，证明： (1)1＋131＋151＋17…1＋2n1－1＞ 2n2＋1； (2)n＋1 1＋n＋1 2＋…＋31n＞56.

高中数学 2.3 数学归纳法课件新人教A版选修221

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(1)(2013·合肥高二检测)用数学归纳法证明(n＋当
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1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1×3×…×(2n－1)(n∈N*)，“从 k 到
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方案
课 1.了解数学归纳法的原理．(难点、
堂双
设计
标易混点) 解 2.能用数学归纳法证明一些简单的
基达标
课前
读数学命题．(重点、难点)
自
课
主
时
导
作
学
业
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数学归纳法
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分
析
(1)数学归纳法的定义
教
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一般地，证明一个与正整数n

第二章 2.3 数学归纳法

§2.3 数学归纳法学习目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．知识点数学归纳法 (1)数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；②(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．(2)数学归纳法的框图表示思考数学归纳法的第一步n 0的初始值是否一定为1?答案不一定，如证明n 边形的内角和为(n －2)·180°时，第一个值n 0＝3.1．与正整数n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( × )2．在利用数学归纳法证明问题时，只要推理过程正确，也可以不用归纳假设．( × ) 3．用数学归纳法证明等式时，由n ＝k 到n ＝k ＋1，等式的项数不一定增加了一项．( √ ) 4．用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( × )一、用数学归纳法证明等式例1 用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ≥1，n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k .则当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2＝右边，即当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)知，对一切n ≥1，n ∈N *，等式均成立．反思感悟数学归纳法证明等式需要注意： (1)搞清n 取第一个值n 0时等式两端项的情况；(2)弄清从n ＝k 到n ＝k ＋1等式两端的项是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项； (3)证明n ＝k ＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向n ＝k ＋1时证明目标的表达式进行变形．跟踪训练1 用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1). 证明 (1)当n ＝1时，左边＝121×3，右边＝1×22×3，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)，则当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可得，对于任意的n ∈N *等式都成立．二、用数学归纳法证明不等式例2 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n ，不等式⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝⎛⎭⎫1＋12n －1>2n ＋12成立．证明 (1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43，右边＝52，左边>右边，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2且k ∈N *)时不等式成立，即⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1>2k ＋12. 则当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12(k ＋1)－1 >2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1>4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋32k ＋122k ＋1＝2(k ＋1)＋12，即当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)和(2)知，对一切大于1的自然数n ，不等式都成立．反思感悟用数学归纳法证明不等式需要注意(1)在应用归纳假设证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明．(2)在推证“n ＝k ＋1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，便于应用归纳假设，变换出要证明的结论．跟踪训练2 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋1n>2(n ＋1－1)(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，不等式显然成立， (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，1＋12＋ (1)>2(k ＋1－1)，则当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋1>2(k＋1－1)＋1k＋1，∵2(k＋2－1)－2(k＋1－1)－1k＋1＝2k＋2－2k＋1－1k＋1＝2(k＋1)(k＋2)－2(k＋1)－1k＋1＝2(k＋1)(k＋2)－2k－3k＋1＝4k2＋12k＋8－4k2＋12k＋9k＋1<0，∴2(k＋1－1)＋1k＋1>2(k＋2－1)，∴1＋12＋…＋1k＋1k＋1>2(k＋2－1)，∴当n＝k＋1时，不等式也成立，综上，对任意n∈N*，原不等式都成立．归纳—猜想—证明典例已知数列{a n}满足关系式a1＝a(a>0)，a n＝2a n－11＋a n－1(n≥2，n∈N*)，(1)用a表示a2，a3，a4；(2)猜想a n的表达式(用a和n表示)，并用数学归纳法证明．解(1)a2＝2a1＋a，a3＝2a21＋a2＝2×2a1＋a1＋2a1＋a＝4a1＋3a，a 4＝2a 31＋a 3＝2×4a 1＋3a 1＋4a 1＋3a ＝8a1＋7a.(2)因为a 1＝a ＝20a1＋(20－1)a ，a 2＝21a1＋(21－1)a ，…，猜想a n ＝2n －1a1＋(2n －1－1)a .下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，因为a 1＝a ＝20a1＋(20－1)a ，所以当n ＝1时猜想成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立，即a k ＝2k －1a 1＋(2k －1－1)a，所以当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2a k1＋a k ＝2k a1＋(2k －1－1)a1＋2k －1a1＋(2k －1－1)a＝2k a1＋(2k －1－1)a ＋2k －1a ＝2k a1＋2×2k －1a －a ＝2(k ＋1)－1a1＋[2(k ＋1)－1－1]a，所以当n ＝k ＋1时猜想也成立．根据①与②可知，猜想对一切n ∈N *都成立． [素养提升] (1)“归纳—猜想—证明”的一般步骤(2)归纳—猜想—证明，就是先得出数学结论，再进行严格证明，让学生学会有逻辑地思考问题，形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，提升逻辑推理的数学核心素养．1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2B ．1＋12＋13<2C ．1＋12＋13<3D ．1＋12＋13＋14<4答案 B解析 ∵n ∈N *，n >1，∴n 所取的第一个正整数为2，故第一步应验证1＋12＋13<2.2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a(a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( ) A ．1＋a B ．1＋a ＋a 2 C ．1＋a ＋a 2＋a 3 D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4答案 C解析将n ＝1代入a 2n ＋1得a 3，故选C. 3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1(n ∈N *)时，等式左边应在n ＝k 的基础上加上( ) A ．k 2＋1 B ．(k ＋1)2 C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2 答案 D解析当n ＝k 时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2.4．用数学归纳法证明n 3＋5n 能被6整除的过程中，当n ＝k ＋1时，式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为____________．答案 (k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6解析 (k ＋1)3＋5(k ＋1)＝k 3＋1＋3k 2＋3k ＋5k ＋5＝(k 3＋5k )＋3k 2＋3k ＋6＝(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6.∵k (k ＋1)为偶数，∴3k (k ＋1)能被6整除， ∴(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6.5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下： (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由此可知对于任意n ∈N *，等式都成立．上述证明，错误是________．答案未用归纳假设解析本题在由n ＝k 成立的基础上证明n ＝k ＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符．1．知识清单：数学归纳法的定义，证题步骤．2．方法归纳：归纳猜想证明，数学归纳法． 3．常见误区：(1)证题时搞错n ＝n 0时的情况． (2)归纳假设没有使用．1．用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N *)，第一步验证( ) A ．n ＝1 B ．n ＝2 C ．n ＝3D ．n ＝42．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题成立，那么可推导出( ) A ．当n ＝6时命题不成立 B ．当n ＝6时命题成立 C ．当n ＝4时命题不成立 D ．当n ＝4时命题成立答案 B3．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时成立，则有n ＝k ＋1时命题也成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)成立，则有( ) A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确答案 C解析由已知得n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有n ＝n 0＋1时命题成立．在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，又可推得n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.4．用数学归纳法证明：对任意正偶数n ，均有1－12＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝2⎝⎛⎭⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n ，在验证n ＝2正确后，归纳假设应写成( ) A ．假设n ＝k (k ∈N *)时命题成立 B ．假设n ≥k (k ∈N *)时命题成立 C ．假设n ＝2k (k ∈N *)时命题成立 D ．假设n ＝2(k ＋1)(k ∈N *)时命题成立答案 C解析因为题目要求n 为正偶数，所以应假设n ＝2k (k ∈N *)时命题成立．5．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，第二步归纳假设应写成( )A ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N *)时正确，再推n ＝2k ＋3时正确B ．假设n ＝2k －1(k ∈N *)时正确，再推n ＝2k ＋1时正确C ．假设n ＝k (k ∈N *)时正确，再推n ＝k ＋1时正确D ．假设n ＝k (k ∈N *)时正确，再推n ＝k ＋2时正确解析 ∵n 为正奇数，∴在证明时，归纳假设应写成：假设当n ＝2k －1(k ∈N *)时正确，再推出当n ＝2k ＋1时正确，故选B.6．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步应验证n ＝________.答案 3解析由凸多边形的性质，应先验证三角形．7．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，n ∈N *，用数学归纳法证明f (2n )>n 2时，f (2n ＋1)－f (2n )＝________________________________________________________________________. 答案12n＋1＋12n ＋2＋…＋12n ＋1 8．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)的过程中，从n ＝k 到n ＝k ＋1左端需要增乘的代数式为________．答案 2(2k ＋1)解析当n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…[(k ＋1)＋(k －1)]·[(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )(2k ＋1)·2，∴应增乘2(2k ＋1)．9．用数学归纳法证明⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116·…·⎝⎛⎭⎫1－1n 2＝n ＋12n (n ≥2，n ∈N *)．证明 (1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，左边＝右边，所以当n ＝2时等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时等式成立，即⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116·…·⎝⎛⎭⎫1－1k 2＝k ＋12k ，则当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116·…·⎝⎛⎭⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(k ＋1)2＝k ＋12k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(1)(2)知，对任意n ≥2，n ∈N *，等式恒成立．10．用数学归纳法证明：122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n (n ≥2，n ∈N *)．证明 (1)当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12.因为14<12，所以不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k，则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<1－1k ＋1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<1－k (k ＋1)k (k ＋1)2＝1－1k ＋1.所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立．11．设S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ，则S k ＋1为( )A ．S k ＋12k ＋2B ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2C ．S k ＋12k ＋1－12k ＋2D ．S k ＋12k ＋2－12k ＋1答案 C 解析因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，① 得S k ＋1＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12(k ＋1).② 由②－①，得S k ＋1－S k ＝12k ＋1＋12(k ＋1)－1k ＋1＝12k ＋1－12(k ＋1). 故S k ＋1＝S k ＋12k ＋1－12(k ＋1). 12．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算a 2，a 3，a 4，归纳推测出a n 的通项表达式为( )A.24n －3B.26n －5C.24n ＋3D.22n －1答案 B解析结合题意，得a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，…，可推测a n ＝26n －5，故选B. 13．用数学归纳法证明：122＋132＋…＋1(n ＋1)2>12－1n ＋2(n ∈N *)．假设n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是____________________．答案 122＋132＋…＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3 解析当n ＝k ＋1时，目标不等式为：122＋132＋…＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3. 14．数学归纳法证明34n ＋2＋52n ＋1(n ∈N *)能被14整除的过程中，当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1应变形为______________________．答案 25(34k ＋2＋52k ＋1)＋56·34k ＋2解析当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1＝81·34k ＋2＋25·52k ＋1＝25(34k ＋2＋52k ＋1)＋56·34k ＋2.15．设平面内有n 条直线(n ≥3，n ∈N *)，其中有且仅有两条直线相互平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n >4时，f (n )－f (n －1)＝________(用含n 的数学表达式表示)．答案 5 n －1解析最初的三条直线产生2个交点，即f (3)＝2.每增加1条直线，与前面的每条直线都产生1个交点，故f (4)＝f (3)＋3＝5，故新增加的第n 条直线与前面的(n －1)条直线产生(n －1)个交点，即f (n )－f (n －1)＝n －1.16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a n ＝S n n (2n －1)，且a 1＝13. (1)求a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法加以证明．解 (1)a 2＝S 22×(2×2－1)＝a 1＋a 26，又a 1＝13，则a 2＝115，类似地，求得a 3＝135. (2)由a 1＝11×3，a 2＝13×5，a 3＝15×7，……，猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1). 用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，由(1)可知猜想成立．②假设当n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时猜想成立，即a k ＝1(2k －1)(2k ＋1). 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1(k ＋1)(2k ＋1)，∵S k＝k(2k－1)a k＝k(2k－1)1(2k－1)(2k＋1)＝k2k＋1，S k＋1＝(k＋1)(2k＋1)a k＋1，∴a k＋1＝S k＋1－S k＝(k＋1)(2k＋1)a k＋1－k2k＋1，∴k(2k＋3)a k＋1＝k2k＋1，∴a k＋1＝1(2k＋1)(2k＋3)＝1[2(k＋1)－1][2(k＋1)＋1].∴当n＝k＋1时猜想也成立．由①②可知，猜想对任意n∈N*都成立．∴{a n}的通项公式为a n＝1(2n－1)(2n＋1).。

2.3数学归纳法(上课)

a1 a1 0d a2 a1 1d
a3 a2 d a4 a3 d
a3 a1 2d a4 a1 3d
a3 a2 d a4 a3 d
......
......
由a1 , a2 , a3 , a4的表达式, 我们得到 :
对一切n N , 都有
这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
数学归纳法的概念：
定义：对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：
1.先证明当n取第一个值n0 (n0 N*)时命题成立 (归纳奠基）； 2.然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，
当n k 1时，需要证明的式子是：
1+3+5+…+(2k-1)＝k2
那么当n＝k+1时，
需要证明的式子是?
1+3+5+…+(2k-1)+（2k+1）
＝k2+（2k+1）＝（k+1）2 这就是说，当n=k+1时，等式也成立
∴由①、② 可知对任何n∈N*时，等式都成立
例题3 用数学归纳法证明
（2）假设 n k ( k N 且k n0 ) 时命题成立证明 n k 1 时命题也成立递推依据
在完成了这两步骤以后，就可以断定命题对于从n0 开始的所有正整数n都成立 3. 数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷。
思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒下的条件是什么？

2.3数学归纳法课件人教新课标1

数学选修2-2
第二章推理与证明
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
2．3 数学归纳法
数学选修2-2
第二章推理与证明
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第二章推理与证明
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第二章推理与证明
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1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”
时，归纳奠基中n0的取值应为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3. 答案： C
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第二章推理与证明
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第二章推理与证明
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用数学归纳法证明等式或不等式
用
数
学
归
纳
法
证
明
：
1 2×4
＋
1 4×6
＋
1 6×8
＋
…
＋
2n×12n＋2＝4nn＋1. [思路点拨]
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2．证明 1＋12＋13＋14＋…＋2n－1 1>n2(n∈N*)，假设 n＝k 时

2.3数学归纳法课件

不完全归纳法解释：从一类对象中部分对象都具有某种性质推出这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法。又作不完全归纳推理。不完全归纳法是从一个或几个（但不是全部）特殊情况作出一般性结论的归纳推理.

2 1 5 2 2 1 17
2
21
2 1 257
23 24
(费马猜想 )
即n=k+1时等式成立. 由（1）（2）可知，对任意n∈N+等式均成立.
[变 1]
1 1 1 证明：＋＋„＋＝ 1×3 3×5 (2n－1)(2n＋1)
n .(n∈N*) 2n＋1
[分析]
第一步验证 n 取第一个正整数 1 时等式成
立，第二步假定 n＝k(k∈N*)时命题成立，即 1 1 1 k ＋＋„＋＝成立，并以 1×3 3×5 (2k－1)(2k＋1) 2k＋1 1 1 1 此作为条件来推证等式＋＋„＋ 1×3 3×5 (2k－1)(2k＋1) k＋1 1 ＋＝成立． (2k＋1)(2k＋3) 2(k＋1)＋1
－
－
故 n＝k＋1 时猜想也成立．由①②可知，对 n≥2，n∈N*，有 an＝5×2n 2. 所以数列{an}的通项公式为
5，n＝1， an＝－ 5×2n 2，n≥2.
－
完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法. 完全归纳法是一种在研究了事物的所有( 有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法

1 1 1 1 练习 2．用数学归纳法证明＋＋＋„＋ 1· 2· 3· 2 3 4 n(n＋1) n ＝ (n∈N*)，从“n＝k 到 n＝k＋1”时，等式左边需要增 n＋1 添的项是 1 A. k(k＋1) 1 1 B. ＋ k(k＋1) (k＋1)(k＋2) 1 C. k(k＋2) 1 D. (k＋1)(k＋2) ( )

2.3数学归纳法(5课时)

给出第1项；（1 ）
由第k项可推出第k＋1项. （2 ）
探究（二）：数学归纳法的基本原理
an 思考1：已知数列{an}满足 an + 1 = 1 + a n 1 ak = ，（n∈N*），假设当n＝k时，
k
则当n＝k＋1时，ak＋1等于什么？ 2 若假设ak = ，则ak＋1等于什么？ 2k - 1
例3 证明：
1 1 1 (1 + 1)(1 + )(1 + ) L (1 + )> 3 5 2n - 1 2n + 1
（n∈N*）.
（n∈N*）.
1 1 1 1+ 2 + 2 + L + 2 2 3 n
例4 证明：
3n 2n + 1
例5 证明： 1 1 1 5 + +L + > n+1 n+2 3n 6 （n∈N*，n≥2）.
3 2 an + 1 = an - an （n∈N*），求证： 2 1 对任意n∈N*都有 0 < an <
n+1
2.3 数学归纳法
问题提出
1 5730 p 2
t
1.归纳推理的基本特征是什么？
由个别事实概括出一般结论. 2.综合法，分析法和反证法的基本思想分别是什么？综合法：由已知推可知，逐步推出未知. 分析法：由未知探需知，逐步推向已知. 反证法：假设结论不成立，推出矛盾得证明.
3.归纳推理能帮助我们发现一般结论，但得出的结论不一定正确，即使正确也需要经过严格的证明才能肯定其真实性. 综合法，分析法和反证法虽可证明某些结论，但都有其局限性，因此，我们非常需要一个与归纳推理相匹配的证明方法，使之成为无与伦比的“黄金搭档”.

2.3 数学归纳法

变式探究 2 (n≥2，n∈N*)．
1 1 1 1 1 用数学归纳法证明： 2 ＋ 2 ＋ 2 ＋„＋ 2 ＜ 1 － 2 3 4 n n
1 1 1 1 证明：(1)当 n＝2 时，左式＝22＝4，右式＝1－2＝2. 1 1 因为4＜2，所以不等式成立． (2)假设 n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立． 1 1 1 1 1 即22＋32＋42＋„＋k2＜1－k， 1 1 1 1 1 1 1 则当 n＝k＋1 时，＋＋＋„＋＋＜ 1 －＋ 22 32 42 k2 k＋12 k k＋12＝1 k2＋k＋1 kk＋1 1 －＜1－＝1－， kk＋12 kk＋12 k＋1 所以当 n＝k＋1 时，不等式也成立．综上所述，对任意 n≥2 的正整数，不等式都成立.
考点四用数学归纳法证明几何问题 1 例 4 证明凸 n 边形的对角线的条数 f(n)＝ n(n－3)(n≥4， n∈N*)． 2
1 解析：(1)当 n＝4 时，f(4)＝2×4×(4－3)＝2，凸四边形有两条对角线，命题成立． (2)假设 n＝k(k≥4 且 k∈N*)时命题成立．即凸 k 边形的对角线的 1 条数 f(k)＝2k(k－3)(k≥4)，当 n＝k＋1 时，凸(k＋1)边形是在 k 边形基础上增加了一边，增加了一个顶点，设为 Ak＋1，增加的对角线是顶点 Ak＋1 与不相邻顶点的连线再加上原 k 边形一边 AiAk，共增加了对角线的条数为 k－2＋1＝k－1. 1 1 2 1 ∴f(k＋1)＝2k(k－3)＋k－1＝2(k －k－2)＝2(k＋1)(k－2) 1 ＝ (k＋1)[(k＋1)－3] 2 故当 n＝k＋1 时命题成立．由(1)(2)知，对任意 n≥4，n∈N*，命题成立．
点评：本题考查观察、分析、归纳、发现规律的能力，考查数学归纳法在等式证明中的应用．这类题的基本思路是：在探讨某些问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，以形成解决问题的初步思路，然后用归纳的方法进行试探，提出猜想，最后用数学归纳法给出证明．

课件15：2.3 数学归纳法

Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－2k＋k 1. 因此，k(2k＋3)ak＋1＝2k＋k 1，所以 ak＋1＝(2k＋1)1(2k＋3)＝[2(k＋1)－1]1[2(k＋1)＋1]. 这就证明了当 n＝k＋1 时命题成立．由①②可知命题对任何 n∈N*都成立．
【解析】在 2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1 中用了 k2≥2k＋1，这是一个不确定的结论．如 k＝2 时，k2＜2k＋1. 【答案】 (2)
5．用数学归纳法证明：对于任意正整数 n，(n2－1)＋ 2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝n2(n－14)(n＋1). 证明：(1)当 n＝1 时，左边＝12－1＝0，右边＝12×(1－14)×(1＋1)＝0，所以等式成立． (2)假设当 n＝k(k∈N*)时等式成立，即(k2－1)＋2(k2－22) ＋…＋k(k2－k2)＝k2(k－14)(k＋1).
4．以下是用数学归纳法证明“n∈N*时，2n＞n2”的过程，证明： (1)当 n＝1 时，21＞12，不等式显然成立． (2)假设当 n＝k(k∈N*)时不等式成立，即 2k＞k2. 那么，当 n＝k＋1 时，2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1 ＝(k＋1)2.即当 n＝k＋1 时不等式也成立．根据(1)和(2)，可知对任何 n∈N*不等式都成立．其中错误的步骤为 ________(填序号)．
＝(k＋1)2[(k＋1)－4 1][(k＋1)＋1]. 所以当 n＝k＋1 时等式成立．由(1)(2)知，对任意 n∈N*等式成立．
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＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋k＋1 1－k＋1 1 ＝k＋1 1＋k＋1 2＋k＋1 3＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2－k＋1 1 >1234＋2k＋1 1＋2k＋1 2－k＋1 1＝1234＋2k＋1 1－2k＋1 2 ＝1234＋2(2k＋11)(k＋1)>1234.

2.3数学归纳法

2.3 数学归纳法

课件12：2.3 数学归纳法

2.3数学归纳法13

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2.3数学归纳法(第一课时)

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课件9：2.3 数学归纳法

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第二章 2.3 数学归纳法

2.3数学归纳法(上课)

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