2.3数学归纳法
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结论也正确. 3.数学归纳法证明命题最关键步骤是哪一步？
在第二步推导中归纳假设要用到。
4.本节课我们经历了什么样的学习过程？
6.课堂小结
我们的学习过程经历了“发现问题、提 出问题、分析问题、解决问题、形成方 法、应用方法”的科学探究过程，这是 对数学研究的一般科学方法。
谢 谢！
n=1 命 题成立
n=2 命 题成立
n=3 命 题成立
n=4 命 题成立
n=5 命 题成立
……
反思:第（2）步实质的作用是什么？
第（2）步证明的是递推关系
4.分析概念、形成方法
数学归纳法
多米诺骨牌原理
任意正整数n命题成立
（1）第1张骨牌倒下
（1）n=1时命题成立
（2）第k张骨牌倒下 导致第k+1张股骨牌倒下
（2）假设n=k时命题成立 验证n=k+1时命题成立
由（1）（2）可得，命题对 于任意正整数n成立
n=1 命 题成立
n=2 命 题成立
n=3 命 题成立
n=4 命 题成立
n=5 命 题成立
……
(1)证明起点
(2)证明递推关系
应用方法 5.例题呈现、巩固知识
例：运用数学归纳法证明：
12 22 32 n2 1 nn 12n 1对任意正整数n成立．
……
由归纳推理，猜测 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×(n＋1) =
1.创设情境、引入新课 对任意的正整数 n，均有 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n＋1)＝13n×(n＋1)×(n＋2)
这个归纳推理所得结论正确吗？
提出问题：有没有一种数学方法能通过有限步来证 明此类无限的问题？
为了回答这个问题，我们先来做个著名游戏，看能不 能从中受到启发
（2）第k张骨牌倒下 导致第k+1张骨牌倒下
类比
（2）n=k时等式成立 推出n=k+1时等式成立
解决问题
4.分析概念、形成方法
数学归纳法
多米诺骨牌原理
任意正整数n命题成立
（1）第1张骨牌倒下
ຫໍສະໝຸດ Baidu
（1）n=1时命题成立
（2）第k张骨牌倒下
形成方法 导致第k+1张股骨牌倒下
（2）假设n=k时命题成立
推出n=k+1时命题成立 由（1）（2）可得，命题对 于任意正整数n成立
同学们你知道他是怎么写“万”字的吗？
请问：他应用了什么数学推理？
归纳推理
1.创设情境、引入新课
12 － 1＋11＝11， 22 － 2＋11＝13，
猜想对吗？
32 － 3＋11＝17
因为n＝11时，
42 － 4＋11＝23
n2－ n＋11＝112－ 11＋11
52 － 5＋11＝31
＝121是一个合数
都是质数，于是有人用归纳推理提出猜想：
任何形如n2 － n＋11(n∈N*)的数都是质数
发现问题：由归纳推理得到的结论不一定正确
1.创设情境、引入新课
1 1×2=3×1×2×3, 1×2＋2×3=13×2×3×4, 1×2＋2×3＋3×4=13×3×4×5, 1×2＋2×3＋3×4＋4×5=13×4×5×6,
2.活动体验、探究原理
多米诺骨牌游戏 • 游戏判定：所有骨牌倒下即为成功．
2.活动体验、探究原理
请结合刚才的游戏体验，思考并讨论下列问题： 任给n张骨牌排成一列，要保证所有骨牌全部 倒下(即游戏成功)，需要满足哪些条件？
结论： “任给n张骨牌倒下”的条件： （1）保证第1张骨牌倒下 （2）第k张骨牌倒下导致第k+1张骨牌倒下
6
思考1
错解！ 用数学归纳法证明：
1 2 22 2n1 2n 1 (nN*)
证明：（1）当n=1时，左边＝1，右边＝1，等式成立。 （2）假设当n＝k (kN*)时，等式成立，即
1 2 22 2k1 2k 1
当n=k+1时 等比数列求和！
左边= 1 2 22 2k1 2k
1 (1 2k1) 2k1 1 =右边，
1 2
错因:没有用到假设！ 即当n=k+1时等式也成立。 根据(1)和(2)可知，等式对任何nN*成立。
思考2：试问等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立吗？某同学用
错解！ 数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正
确吗？
解:设n＝k时成立，即 2+4+6+…+2k＝k2+k+1 则当n=k+1时, 2+4+6+…+2k+2(k+1) ＝k2+k+1+2k+2 ＝(k+1)2+(k+1)+1
这就是说，n＝k+1时也成立 所以等式对任何n∈N*都成立
该同学在没有证明当n=1时，等式是否成立的前提下，就 断言等式对任何n∈N*都成立，为时尚早
事实上，当n＝1时，左边＝2，右边＝3 左边≠右边，等式不成立
6.课堂小结
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？ 用于证明某些与正整数有关的数学命题。
2.数学归纳法证明命题的步骤？ (1)证明当n取第一个值(初始值)时结论正确； (2)假设当n取k时结论正确，推导n取k+1时
应用上述原理，尝试证明：对任意的正整数 n，均有 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n＋1)＝13n×(n＋1)×(n＋2)
3.类比抽象、形成概念
证明：对于任意的正整数 n
1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×(n＋1)
1 =3×n×(n+1)×(n+2)
多米诺骨牌原理
任意正整数n等式成立
（1）保证第1张骨牌倒下 类比 （1）n=1时等式成立
南航附中 朱婷婷
1.创设情境、引入新课
从前有个财主，请来一位先生教儿子识字。先生 写一横，告诉他的儿子是“一”字；写两横，告诉是 个“二”字；写三横，告诉是个“三”字。学到这里, 儿子就告诉父亲说：“我已经会了，不用先生再教 了。”财主很高兴，就把先生给辞退了。有一天，财 主要请一位姓万的朋友，叫儿子写请帖……
在第二步推导中归纳假设要用到。
4.本节课我们经历了什么样的学习过程？
6.课堂小结
我们的学习过程经历了“发现问题、提 出问题、分析问题、解决问题、形成方 法、应用方法”的科学探究过程，这是 对数学研究的一般科学方法。
谢 谢！
n=1 命 题成立
n=2 命 题成立
n=3 命 题成立
n=4 命 题成立
n=5 命 题成立
……
反思:第（2）步实质的作用是什么？
第（2）步证明的是递推关系
4.分析概念、形成方法
数学归纳法
多米诺骨牌原理
任意正整数n命题成立
（1）第1张骨牌倒下
（1）n=1时命题成立
（2）第k张骨牌倒下 导致第k+1张股骨牌倒下
（2）假设n=k时命题成立 验证n=k+1时命题成立
由（1）（2）可得，命题对 于任意正整数n成立
n=1 命 题成立
n=2 命 题成立
n=3 命 题成立
n=4 命 题成立
n=5 命 题成立
……
(1)证明起点
(2)证明递推关系
应用方法 5.例题呈现、巩固知识
例：运用数学归纳法证明：
12 22 32 n2 1 nn 12n 1对任意正整数n成立．
……
由归纳推理，猜测 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×(n＋1) =
1.创设情境、引入新课 对任意的正整数 n，均有 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n＋1)＝13n×(n＋1)×(n＋2)
这个归纳推理所得结论正确吗？
提出问题：有没有一种数学方法能通过有限步来证 明此类无限的问题？
为了回答这个问题，我们先来做个著名游戏，看能不 能从中受到启发
（2）第k张骨牌倒下 导致第k+1张骨牌倒下
类比
（2）n=k时等式成立 推出n=k+1时等式成立
解决问题
4.分析概念、形成方法
数学归纳法
多米诺骨牌原理
任意正整数n命题成立
（1）第1张骨牌倒下
ຫໍສະໝຸດ Baidu
（1）n=1时命题成立
（2）第k张骨牌倒下
形成方法 导致第k+1张股骨牌倒下
（2）假设n=k时命题成立
推出n=k+1时命题成立 由（1）（2）可得，命题对 于任意正整数n成立
同学们你知道他是怎么写“万”字的吗？
请问：他应用了什么数学推理？
归纳推理
1.创设情境、引入新课
12 － 1＋11＝11， 22 － 2＋11＝13，
猜想对吗？
32 － 3＋11＝17
因为n＝11时，
42 － 4＋11＝23
n2－ n＋11＝112－ 11＋11
52 － 5＋11＝31
＝121是一个合数
都是质数，于是有人用归纳推理提出猜想：
任何形如n2 － n＋11(n∈N*)的数都是质数
发现问题：由归纳推理得到的结论不一定正确
1.创设情境、引入新课
1 1×2=3×1×2×3, 1×2＋2×3=13×2×3×4, 1×2＋2×3＋3×4=13×3×4×5, 1×2＋2×3＋3×4＋4×5=13×4×5×6,
2.活动体验、探究原理
多米诺骨牌游戏 • 游戏判定：所有骨牌倒下即为成功．
2.活动体验、探究原理
请结合刚才的游戏体验，思考并讨论下列问题： 任给n张骨牌排成一列，要保证所有骨牌全部 倒下(即游戏成功)，需要满足哪些条件？
结论： “任给n张骨牌倒下”的条件： （1）保证第1张骨牌倒下 （2）第k张骨牌倒下导致第k+1张骨牌倒下
6
思考1
错解！ 用数学归纳法证明：
1 2 22 2n1 2n 1 (nN*)
证明：（1）当n=1时，左边＝1，右边＝1，等式成立。 （2）假设当n＝k (kN*)时，等式成立，即
1 2 22 2k1 2k 1
当n=k+1时 等比数列求和！
左边= 1 2 22 2k1 2k
1 (1 2k1) 2k1 1 =右边，
1 2
错因:没有用到假设！ 即当n=k+1时等式也成立。 根据(1)和(2)可知，等式对任何nN*成立。
思考2：试问等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立吗？某同学用
错解！ 数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正
确吗？
解:设n＝k时成立，即 2+4+6+…+2k＝k2+k+1 则当n=k+1时, 2+4+6+…+2k+2(k+1) ＝k2+k+1+2k+2 ＝(k+1)2+(k+1)+1
这就是说，n＝k+1时也成立 所以等式对任何n∈N*都成立
该同学在没有证明当n=1时，等式是否成立的前提下，就 断言等式对任何n∈N*都成立，为时尚早
事实上，当n＝1时，左边＝2，右边＝3 左边≠右边，等式不成立
6.课堂小结
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？ 用于证明某些与正整数有关的数学命题。
2.数学归纳法证明命题的步骤？ (1)证明当n取第一个值(初始值)时结论正确； (2)假设当n取k时结论正确，推导n取k+1时
应用上述原理，尝试证明：对任意的正整数 n，均有 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n＋1)＝13n×(n＋1)×(n＋2)
3.类比抽象、形成概念
证明：对于任意的正整数 n
1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×(n＋1)
1 =3×n×(n+1)×(n+2)
多米诺骨牌原理
任意正整数n等式成立
（1）保证第1张骨牌倒下 类比 （1）n=1时等式成立
南航附中 朱婷婷
1.创设情境、引入新课
从前有个财主，请来一位先生教儿子识字。先生 写一横，告诉他的儿子是“一”字；写两横，告诉是 个“二”字；写三横，告诉是个“三”字。学到这里, 儿子就告诉父亲说：“我已经会了，不用先生再教 了。”财主很高兴，就把先生给辞退了。有一天，财 主要请一位姓万的朋友，叫儿子写请帖……