股票指数期权外汇期权和期货期权

股票指数期权、外汇期权和期货期权

【学习目标】本章的主要学习目标是掌握股票指数期权、外汇期权和期货期权的定价原理。我们把这三种期权放在一起讨论是因为它们的定价原理相同，三种期权的标的资产都可以看成是支付连续红利的资产。对股票指数而言，它的红利是指数所含股票的红利总和，对外汇而言，可以把外汇的利率看成红利，而对期货而言，可以将融资成本和标的资产的储存成本看成红利。

我们还要深入理解各种期权定价模型在本章中的运用。因为股票指数期权、外汇期权和期货期权的标的资产都可以看成是支付连续红利的资产，因此可以用默顿（Merton ）模型直接为这三种资产的欧式期权定价。同样，二叉树模型也可以直接应用，二叉树模型还可以直接用来为美式期权定价。

第一节 欧式股票指数期权、外汇期权和期货期权的定价 默顿（Merton ）模型是B-S （Black-Scholes ）模型的扩展，可以用来为支付连续复利红利的资产的欧式期权定价。

一、默顿模型

默顿模型通过将股票所支付的连续复利的红利看成负的利率来扩展B-S 模型。在前面的章节里，我们证明了红利的支付会降低看涨期权的价值，因为红利会降低期权标的股票的价值。实际上，连续红利支付意味着股票价值的连续漏损，令q 表示漏损率，它等于红利的支付率。因此，我们只要将)(t T q Se --代替式（11.2）和（11.3）中的S 就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格。根据默顿模型，标的股票支付连续红利的欧式看涨期权的价值为

()()()()12q T t r T t c Se

N d Xe N d ----=-

由于 ()()ln ln q T t Se S q T t X X --⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭

因此，1d 、2d 分别为：

21221d d d σ===- （13.1） 从中可以看出，默顿模型将标准的B-S 模型中的S 换成了

)(t T q Se -- （13.2）

依据默顿模型得出的欧式看跌期权价值为

()()()()21r T t q T t p Xe N d Se N d ----=--- （13.3）

当q ＝0时，默顿模型就转化为B-S 模型。

二、股票指数期权

默顿模型也可以用来给股票指数期权定价。股票指数综合反映了一系列股票的表现，我们可以将股票指数看成是一个股票组合，每期都可能有一部分股票支付红利。因为我们是给以一个组合为标的的期权定价，所以我们关心的只是组合的红利支付，几乎所有的股票都只是按期支付离散的红利，不过股票指数中包含了众多的股票，因此假设股票指数支付连续红利是比较接近现实的，而且指数所含股票越多，这个假设就越合理。

为了解释默顿模型在股票指数期权定价上的运用，我们用一个例子来进行说明。

例13.1 假设现在有一价值为350.00的股票指数，指数收益的标准差是0.2，无风险利率是8％，指数的连续红利支付率是4％。该指数的有效期为150天的欧式看涨期权和看跌期权的执行价格为340.00，那么，q ＝4％，S =350.00。

()(

)12350150ln 0.080.040.50.20.20.0289880.0246580.4184130.128212

0.4184130.290201d d ⎛⎫⎛⎫+-+⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦=+===-=

从而 ()()()()()()()()12120.418410.662177;0.2902010.614169;

0.418410.337823;0.2902010.385831.

N d N N d N N d N N d N ====-=-=-=-=

因此，期权价值为

三、外汇期权

我们现在考察默顿模型在外汇期权定价中的运用，我们站在美国期权交易者的角度来看这个问题，此时外汇汇率（直接标价）成了S ，外汇的利息可以看成红利，公式中的标准差是标的资产价格即外汇汇率的标准差。

例13.2 考虑一个英镑的欧式看涨期权和欧式看跌期权。英镑目前的汇率是$1.40，标准差是0.5，英国目前的无风险利率为12％，而美国的是8％，看涨期权和看跌期权的执行价价格都为$1.50，有效期都是200天。

根据默顿模型，可以计算得到看涨期权价值为$0.1452，看跌期权价值为$0.2700。

四、期货期权

假设有一种类似黄金的资产，这种资产的存货相对于消费很大，而且容易保存，该资产生产的季节性不明显，消费的季节性也不明显，而且这种资产可以卖空。当这些条件都满足时，以该资产为标的的期货的理论价格为

()r T t F Se -= （13.4）

如果这个等式不成立，就会有无风险的套利机会存在。一般而言，所有的贵金属（金、银和铂等）和所有的金融工具（股票和债券等）都满足这个关系。

从默顿模型的角度来看，资产即期价格的增长率r ，取代了q ,期货价格取代了（13.1）

中的股票价格。也就是说，对于可以纳入持有成本模型的资产，它的期权定价可以将默顿模型中的q 用r 来取代进行，即令q ＝r 即可，这样处理使得期货期权的定价十分简单。因此，欧式期货看涨期权和欧式期货看跌期权的价值分别为

)]()([21)(d XN d FN e c t T r -=--

)]()([12)(d FN d XN e p t T r ---=--

其中，

21221d d d σ===- （13.5） 式（13.5）中的标准差是指期货价格的标准差。

例13.3 假设有一个有效期为一年的股票指数期货的欧式期权，指数现在为480.00，无风险利率为7％，因此，根据持有成本模型，期货价格应该为：

()0.07365480$514.80F e ⨯=⨯=

设以该期货为标的的欧式期权的执行价格为500.00，期货价格的标准差为0.2，那么

12514.80ln 0.50.20.2500.000.2458520.2

0.2458520.20.045852

d d ⎛⎫+⨯⨯ ⎪⎝⎭===-= ()()120.597102;0.518286.N d N d ==

因此，期权价格为

[][]0.070.07514.800.597102500.000.518286$44.98

500.000.481714514.800.402898$31.18c e p e --=⨯⨯-⨯==⨯⨯-⨯=

五、期货期权和现货期权

有些资产，例如外汇，既有以它的现货为标的的期权交易，同时也有它的期货为标的的期权交易，这两种期权的区别关键取决于期权是欧式的还是美式的。

在期货合约到期的时候，期货价格必须与现货价格相等，只有这样市场上才不会存在套利机会。例如，在黄金市场上，如果现货价格为$400/盎司，而且期货即将到期，那么期货价格的合约也必须为$400/盎司，否则就有套利机会，如果期货价格超过了现货价格，那么投资者在现货市场买入，在期货市场上交割就可以获利；反过来，如果期货价格低于现货价格，那么投资者只要买入期货，等待交割，然后卖出现货就可以获利。总之，在期货合约到期时期货价格必须等于现货价格，否则就会存在上述套利机会。

无套利条件对欧式期货期权的定价意义重大，因为欧式期权只有在到期时才能交割，所以交割时期货价格和现货价格一定相等。也就是说欧式期货期权和现货期权的损益是相同的。因此，欧式期货期权和欧式现货期权的价格必须相等。（注意，这里欧式期货期权的到期日与其标的期货的到期日是相同的。）

美式期货期权和美式现货期权的关系比较复杂，因为美式期权可以在到期日之前的任意时刻交割。美式期货期权和美式现货期权的关系取决于一定期限内现货价格和期货价格之间