(七年级讲义)相交线与角度计算
初一第1讲相交线.docx
相交线1、邻补角：两个角有一个公共边，他们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的的两个角互为邻补角。
Z1和Z2有一条公共边0A,它们的另一边互为反向延长线（Z1和Z2互补），具有这种关系的两个角，互为邻补角.Z1 + Z2二1802、对顶角：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。
Z1和Z3有一个公共顶点0,并且Z1的两边互为对顶角。
Z1=Z33、垂直：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，叫做这两条直线互相垂直。
两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
如图，AB丄CD,垂足为0；记作：AB丄CD于点0。
人符号语言：因为AB丄CD,所以ZA0C=90°。
厂_______ 匚 ________ 门反Z,因为ZA00900 ,所以ABICD。
B性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简单说成：垂线段最短。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。
4、同位角：如图，像Z1和Z5,两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧.具有这种位置关系的一对角叫做同位角。
5、内错角：如图，像Z3和Z5,两个角都在直线AB、CD 之间，并且分别在直线EF两侧.具有这种位置关系的一对角叫做内错角。
6、同旁内角：如图，像Z3和Z6,两个角都在直线AB、CD之间，并且都在直线EF的同一旁.具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角。
五、练习1.已知：如图，AB1CD,垂足为0, EF为过点0的一条直线，则Z1与Z2的关系一定成立的是（）2.如图，CA丄BE于A, AD丄BF于D,下列说法正确的是（A・Q的余角只有ZBB・a的邻补角是ZDACC・ZACF是a的余角D・a与ZACF互补6.______________________________ 如上图，ZA的同位角是___________________________Z1的内错角是___________ ,Z2的同旁内角是_____________7.在直线AB上任取一点0,过点0作射线0C, 0D,使0C丄0D,当ZA0C二30°时，ZB0D的度数是BDA.相等B.互余C.互补D.互为对顶角3. 如图，在AABC中, AC丄BC, CD丄AB,则图中能表示点到直线（或线段）的距离的线段有条条条条2345••••B4.如图，属于内错角的是（A. Z1 和Z2B. Z2 和Z3 C・ Z1 和Z4 D. Z3 和Z45•下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离是（B D CF8•如图，CD丄AB,垂足为C, Zl=130°,则Z2二_________________________________________________D^7^F D 9•如图，直线肋、〃相交于点0,创平分AE0C.(1)若ZF0070。
人教版七年级数学下册期末复习第一讲 相交线与平行线中的角度计算(PPT课件ppt)
∴∠DOE=∠EOA+∠AOD=90°+55°=145°．
2.如图，已知CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝48°， ∠BDC＝82°，DE∥BC. 求：(1)∠EDC的度数；(2)∠B的度数．
解：（1）∵CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝48°， ∴∠BCD＝ 1 ∠ACB＝24°.
识
（一）选择题 1.如图,直线相交于点O,则∠1+∠2+∠3等于( C ) A. 90° B. 120° C. 180° D. 360° 2.如图，直线a，b相交于点O，若∠1等于40°，则∠2等于（A ） A. 140° B. 120° C. 60° D. 50°
3.如图,直线AB与直线CD相交于点O,已OE⊥AB,∠BOD=45°, 则∠COE的度数是（ D） A. 125° B. 155° C. 145° D. 135° 4．已知：OA⊥OC，∠AOB∶∠AOC＝2∶3，则∠BOC的度 数为( D)． A. 30° B. 60° C. 150° D. 30°或150°
4
故∠4=36°.
例7 两个角的两边分别平行，若其中一个角比另一个角的 2倍少30°，则这两个角的度数分别为_______． 解：如图1，AB//DE，BC//EF, 假设∠B为x°，则∠E=2x°-30°， ∵AB//DE， ∴∠1=∠B=x°，又∠1=∠2，∴∠1=∠2=x°， 又∵BC//EF， ∴∠2+∠E=180°， ∴ x+2x-30=180，解得x=70， ∴∠B=70°，∠E=2×70°-30°=110°.
例4 如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，点 G是AB上一点，GO⊥EF于点O，∠1=60°，求∠2的度数．
解析：∵OG⊥EF， ∴∠EOG=90°， ∴∠2+∠GEO=90°． 又∵AB∥CD， ∴∠GEF=∠1=60°． ∴∠2=90°-60°=30°．
七年级数学人教版下册第五章5.3相交线、平行线中角的计算的四种常见题型课件(共25张PPT)
解：∵在三角形EFG中，∠EFG＝90°，∠E＝35°，
∴∠EGF＝180°－90°－35°＝55°.
∴∠AOE＝2∠BOD＝2x°，
题型 2 利用垂线求角 ∴∠BOC＝
×180°＝35°，
(4)由(3)可知∠BOC＋∠AOD＝180°，
∴∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝90°－∠BOC＋90°＝180°－∠BOC.
再见
∴∠EFB＝∠EHB－∠E＝55°－35°＝20°.
∴∠EGF＝∠EGD＝55°.
(4)由(3)可知∠BOC＋∠AOD＝180°，
(3)∠AOD与∠BOC互补．理由如下：
(3)根据(1)(2)的结果猜想∠AOD与∠BOC有怎样的关系，并 根据图①说明理由；
(4) 如 图 ② ， 若 ∠ BOC ∶ ∠ AOD ＝ 7 ∶ 29 ， 求 ∠ BOC 和 ∠AOD的度数.
人教版数学七年级下册
第五章
5.3.4 相交线、平行线中角的四种常见题型
合作探究 题型 1 利用余角、平角、对顶角转换求角
1．如图，三条直线AB，CD，EF相交于同一点O.若∠AOE ＝2∠BOD，∠COF比∠AOE大30°，求∠AOC的度数.
解：设∠AOC＝x°，则∠BOD＝∠AOC＝x°. ∴∠AOE＝2∠BOD＝2x°， ∠COF＝∠AOE＋30°＝2x°＋30°. ∵∠AOE＋∠AOC＋∠COF＝180°， ∴2x＋x＋2x＋30＝180，解得x＝30. ∴∠AOC＝30°.
解：∠AOD 与∠BOC 互补．理由如下： ∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°. ∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝90°－∠BOC. ∵OC⊥OD， ∴∠COD＝90°. ∴∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝90°－∠BOC＋ 90°＝180°－∠BOC. ∴∠AOD＋∠BOC＝180°，即∠AOD 与∠BOC 互补．
湘教版七年级数学下册第四章《4.1.2 相交直线所成的角》优课件
判断下列各图中∠1和∠2是否为对顶角，并说明理由？
1
2 （1）
1
（2）
2
1
2
（3）
1 2 （5）
12
（4）
1
2
（6）
请你猜一猜，剪刀剪东西的过程中，∠AOC和 ∠BOD这两个角的大小保持怎样的关系？
开动你的脑筋 吧！你一定行！
1、你能举出生活中包含对顶角的例子吗?
2、如图所示，有一个破损的
扇形零件，怎样用量角器量
4 13
2
5
6
4 13
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6
4 13
2
5
6
你会找朋友了吗？你能找出图
中所有的同位角、内错角、同
旁内角吗？
A
B
23 6 7
14
58
C
本课小结： 1、自由交流本节课的收获及体会； 2、你认为本节课的重点是什么？ 3、你还有什么困惑或问题吗？
剪刀剪东西的过程中，∠AOC和 ∠BOD这两个角的位置保持怎样的 关系？
∠AOC和∠BOD有公共顶点，且 ∠AOC的两边分别是∠BOD两边 的反向延长线.
对顶角：
如图直线AB与CD相交于点O，∠1 和∠3有公共顶点O，并且它们的两 边互为反向延长线，这样的两个角 叫做对顶角.
图中还有其他角能构成对顶角吗？ ∠2和∠4也是一对对顶角.
出这个扇形零件的圆心角的
度数。
C
O
A D
B
三条直线AB、CD、EF相交于点O，问图中 有哪几对对顶角？
人教版七年级下册数学第5章《相交线》图文讲解课件
知2－讲
∠1=∠3 （或 ∠2=∠4）
解：直线AB与CD相交于O点 由邻补角的定义，可得 ∠1+∠2=180° ∠2+∠3=180 所以：∠1=∠3 同样的道理 ∠2=∠4
C 2O
B
1 （ （ ）3 ）
4 A
D
例2 如图，∠1与∠2是对顶角的是( C )
知2－讲
导引：判断两个角是不是对顶角，要紧扣对顶角的定义， A图中∠1和∠2的顶点不同；B图中∠1和∠2的两 边都不是互为反向延长线；C图中的∠1和∠2符合 定义；D图中∠1和∠2有一条公共边．
总结
知2－讲
判断两个角是否互为对顶角的方法： 一看它们有没有公共顶点； 二看这两个角的两边是否互为反向延长线，实质就 是看这两个角是否是两条直线相交所成的没有公共 边的两个角．
知2－讲
例3 如图，直线a, b相交，∠1 = 40°， 求∠2, ∠3, ∠4的度数.
解：由邻补角的定义，得 ∠2 = 180°-∠1 = 180°-40°=140°； 由对顶角相等，得 ∠3= ∠1=40° ， ∠4= ∠2 = 140°.
角
个公共顶点③有 一条公共边
互补 成对出现.
两个.
2 易错小结
如图，点O是直线AB上的任意一点，OC，OD，OE是过点O 的三条射线，若∠AOD＝∠COE＝90°，则下列说法：①与 ∠AOC互为邻补角的角只有一个；②与∠AOC互为补角的角 只有一个；③与∠AOC互为邻补角的角有两个；④与∠AOC 互为补角的角有两个．其中正确的是( D )
（来自《典中点》）
知识点 2 对顶角的定义及性质
知2－讲
对顶角：有一个公共顶点一 个角的两边是另一个角的 两边的反向延长线，那么 这两个角互为对顶角.
七年级下册数学精品课件4.1.2 相交直线所成的角
∵ ∠1与∠3, ∠2与∠4分别是对顶角，（已知）
∴ ∠3=∠1=30°， (对顶角相等)
∠4=∠2=150°. (对顶角相等)
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10
三 同位角、内错角、同旁内角
如图，直线AB、CD与EF相交，我们就称为直线AB、CD被
直线EF所截.三条直线相交构成如图的8个角.其中AB、CD叫
做被截线，EF叫做截线.
1
1
2
2
12
12
图形特征：在形如“U”的图形中有同旁内角.
17
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总结归纳
截线 被截线
同位角 同旁 内错角 两旁 同旁内角 同旁
同侧 之间 之间
结构 特征
F Z U
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典例精析
例2 如图，直线DE截AB ，AC，构成8个角，指出所有的同位
角,内错角,同旁内角.
解：两条直线是AB，AC，截线是DE，
2
1
12
1
12
2
图形特征：在形如字母“F”的图形中有同位角.
13
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活动2 观察∠3与∠5的位置关系：
①在直线EF的两侧
②在直线AB、CD的之间
E
1
B
2
A
34
65
C
78 D
F
图中的内错角还有哪些？
14
内错角 3
∠4和∠6
5
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变式图形：图中的∠1与∠2都是内错角.
1
1
①对顶角相等
B
②相等的角是对顶角
③不是对顶角的两个角就不相等
④不相等的角不是对顶角
A．1个 B．2个 C．3个
湘教版七年级下册4.相交直线所成的角(第1课时)课件
第1课时
1．创设情境，导入新知 从下面这几幅图片中，你发现了直线与直线 有哪几种位置关系？
相交、平行
A
C
D
B
如果把剪子的构造抽象成一个几何图形，会是 什么样的图形？
2．细心视察，归纳定义
仔细视察你所画的图形，当 A 2 C
两条直线相交时，所形成的 四个角中，∠1与∠2，∠3 与∠4有怎样的位置关系？
你是怎样得到的？
C
相等
23
A
1 4O
B
D
你能说出∠1=∠3的道理吗？
请你用数学的语言写出这个过程．
C
因为 ∠1与∠2 互补， A ∠3与∠2 互补
23
1 4O
B
（邻补角的定义），
D
所以 ∠1=∠3（同角的补角相等），
同理 ∠2=∠4 ．
4．动脑思考，例题解析
例1 如图，直线a，b相交于点O，∠1=40°， 求∠2 ，∠3 ，∠4 的度数．
解：由邻补角定义，可得
2=180 1 180 40 1 4 0 ；
b
1 O2
a
43
由对顶角相等，可得
3 = 1 4 0 ， 4 = 2 1 4 0 ．
5．动脑思考，变式训练
Hale Waihona Puke 例2 如图，直线a，b相交于点O，∠1 =4 0 ， 求∠2 ，∠3 ，∠4 的度数．
变式1 若∠1+∠3= 80º，
C
图中还有哪些邻补角？ A
23
1 4O
B
D
1.下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（D ）
1
2
A
1
2
B
1 2
新七年级数学PPT 相交线中的角课件
同位角
被截线
21
a
4 3
5 6
b
77 8
l 截线
达标练习
1、如图：找出图中的同位角。
C
E
A
12
34
B
D
56
F
∠1与 ∠3， ∠2与 ∠4
内错角
被截线
21
a
4 3
5 6
78
l
b 截线
达标练习
2、如图：找出图中的内错角。
C
E
12
34
A
D
56
B
∠2与 ∠5F
同旁内角
被截线
21
a
4 3
5 6
b
78
AA 11 BB 2
D 33 444 DD
CCC ∠∠21和和∠∠344是是内同内错 旁错角 内角， 角，是 ，是由 是由直 由直直 线线ABADCB，，BDCCDC与
DE被直线FC所截的同位角，（ ∠1 ）
与（∠3 ）是直线AB与FC被直线DE
所截得的内错角，∠c与∠B是直
线AB与FC被直线（ BC ）所截得
的同旁内角。
A F
D1
2E
3
思考题
B
C
把握今天 成就未来
谢谢
作业布置
1、P165练习题1
2、思考题。如图：三直线
两两相交，共有多少对同
a
位角、内错角及同旁内角？
b
a
c
∠1与 ∠6 是同位角；
∠5与 ∠3，∠5与∠4 是同旁内角；
∠2与
是内错角。 ∠1
a
c
d 27
13
b
45
6
七年级数学上册 5.1 相交线—相交线中的角教学课件 (
内错角
位置相同 在两被截直线的内部 在截线的两侧 内部交错
在两被截直线的内部 同旁内角 截线的同侧(内部同侧）
F
同位角模型
Z
内错角模型
U
同旁内角模 型
注意：要成功寻找出以上三种特殊角的前 提是必须准确判断出被截直线与所截直线。
作业:教材p 156
试一试
练习第1、2题
P166 习题4.7 第2、3题
a b
a b
c
(1) c d 是
(2) 不是
∠4与∠5，∠3与∠6有何特征？
m
12
a b
内部4 5 3 8
6 7
m
12
a
43
b
56 87
如图：∠1与∠2是同旁内角吗？
a
b
a
c
b c
是（1）
d 不是（2）
E
B
A
23 5
17 C4
F
66 D
1、填空。
(1) ∠2与∠5是 同位 角， ∠4与∠6是 内错 角
直线AD、BC被直线BD所截而成的内错角是 ∠3与∠6 。 ∠A与∠ CDA是直线CD、AE被直线AD所截而成的 同旁内角
1
（1）
3、如图（1）：
与∠1是内错角关系的角有 2 个。
E
A
B
G 4、如图（2）：图中同位角有 4 对
C
D
F （2）
民 主 路
东
街
位置关系
基本模型
在两被截直线的同一方
如图中∠1与∠5的位置有什么关系呢？
m
∠1与∠5都处于截线m的 左. 侧（同侧）
12
∠1与∠5都处于被截线a与b的 上.方（同方）
人教版初中数学同步讲义七年级下册第01讲 相交线(解析版)
第01讲相交线（2知识点+5类热点题型练习）课程标准学习目标①邻补角及其性质②对顶角及其性质 1.掌握邻补角与对顶角的定义，能够准确的判断邻补角与对顶角。
2.掌握邻补角与对顶角的性质，能够熟练的运用性质进行计算。
知识点01邻补角及其性质1.邻补角的概念：如图：像∠AOC 与∠AOD 这样，有一条公共边，另一边互为反向延长线，具有这样关系的两个角是邻补角。
2.邻角的性子：互为邻补角的两个角之和等于180°，即邻补角互补。
【即学即练1】1．（2023春•铁西区期末）下列图形中，∠1和∠2是邻补角的是（）A ．B ．C．D．【分析】根据邻补角的概念进行判定即可得出答案．【解答】解：A．∠1与∠2是对顶角，故A选项不符合题意；B．∠1与∠2是邻补角，故B选项符合题意；C．∠1与∠2不存在公共边，不是邻补角，故C选项不符合题意；D..∠1与∠2是同旁内角，故D选项不符合题意；故选：B．【即学即练2】2．（2023•青海）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝140°，则∠AOC的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】由邻补角的性质：邻补角互补，即可求解．【解答】解：∵∠AOD+∠AOC＝180°，∠AOD＝140°，∴∠AOC＝180°﹣∠AOD＝40°．故选：A．知识点02对顶角及其性质1.对顶角的概念：如图：像∠AOC与∠BOD这样，有公共顶点，且一个角的两边两边均与另一个角的两边互为反向延长线，具有这样关系的两个角是对顶角。
2.对顶角的性质：互为对顶角的两个角相等。
即对顶角相等。
【即学即练1】3．（2023春•阿荣旗期末）在下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（）A．B．C．D．【分析】根据对顶角的概念判断即可．【解答】解：A、∠1与∠2不是对顶角；B、∠1与∠2是对顶角；C、∠1与∠2不是对顶角；D、∠1与∠2不是对顶角；故选：B．【即学即练2】4．（2023春•白银期末）如图，若∠1＝35°，则∠2的度数是（）A．35°B．40°C．45°D．145°【分析】根据对顶角相等求解即可．【解答】解：∵∠1＝35°，∠1和∠2是对顶角，∴∠2＝∠1＝35°．故选：A．题型01邻补角的认识【典例1】（2023春•路北区期中）下面四个图形中，∠1与∠2是邻补角的是（）A．B．C．D．【分析】根据邻补角的定义作答即可．【解答】解：由题意知，C中∠1与∠2是邻补角，故选：C．【变式1】（2023春•闽侯县期末）如所示四个图形中，∠1和∠2是邻补角的是（）A．B．C．D．【分析】只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，由此即可判断．【解答】解：A、∠1和∠2是对顶角，故A不符合题意；B、∠1和∠2是邻补角，故B符合题意；C、∠1和∠2没有公共顶点，故C不符合题意；D、∠1和∠2是同旁内角，故D不符合题意．故选：B．【变式2】（2023春•晋江市校级期中）下列图形中，∠1与∠2是邻补角的是（）A．B．C．D．题型02利用邻补角的性质计算【典例1】（2023春•夏邑县期中）已知∠1＝60°，∠1与∠2是邻补角，则∠2＝120°．【分析】根据邻补角的定义求解即可．【解答】解：∵∠1＝60°，∠1与∠2是邻补角，∴∠2＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120°．【变式1】9．（2023•河南）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝80°，∠2＝30°，则∠AOE的度数为（）A．30°B．50°C．60°D．80°【分析】由对顶角的性质得到∠AOD＝∠1＝80°，即可求出∠AOE的度数．【解答】解：∵∠AOD＝∠1＝80°，∴∠AOE＝∠AOD﹣∠2＝80°﹣30°＝50°．故选：B．【变式2】10．（2023春•云浮期末）如图，直线AB与CD相交于点O，若∠AOD＝3∠AOC，则∠BOD的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【分析】由题意求得∠AOC的度数，继而求得∠BOD的度数．【解答】解：∵∠AOD＝3∠AOC，∠AOC+∠AOD＝180°，∴4∠AOC＝180°，∴∠AOC＝45°，∴∠BOD＝∠AOC＝45°，故选：D．题型03对顶角的认识【典例1】11．（2023春•莲池区期末）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（）A．B．C．D．【分析】有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，由此即可判断．【解答】解：A、∠1与∠2没有公共顶点，∠1与∠2不是对顶角，故A不符合题意；B、∠1与∠2是对顶角，故B符合题意；C、∠1与∠2没有公共顶点，∠1与∠2不是对顶角，故C不符合题意；D、∠1与∠2的两边不互为反向延长线，∠1与∠2不是对顶角，故D不符合题意；故选：B．【变式1】12．（2023春•谷城县期末）下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（）A．B．C．D．【分析】根据对顶角的定义，结合各个选项中的图形中的∠1、∠2，进行判断即可．【解答】解：由对顶角的定义可知，选项B图形中的∠1与∠2是对顶角，故选：B．【变式2】13．（2022秋•社旗县期末）下列选项中，∠1和∠2是对顶角的是（）A．B．C．D．【分析】判断对顶角需要满足的两个条件，一是有公共顶点，二是一个角的两边是另一个角的反向延长线，逐项进行观察判断即可．【解答】解：对顶角的定义：两条直线相交后所得，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，观察选项，只有D选项符合，故选：D．题型04利用对顶角的性质计算【典例1】14．（2023秋•南岗区校级期中）如图，两条直线相交于点O，若∠1+∠2＝60°，则∠2＝30度．【分析】根据对顶角相等结合题意计算即可．【解答】解：∵∠1和∠2是对顶角，∴∠1＝∠2，∵∠1+∠2＝60°，∴∠2＝30°，故答案为：30．【变式1】15．（2023秋•南岗区校级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠AOD＝100°，则∠BOE＝（）A．60°B．50°C．40°D．30°【分析】根据邻补角的性质以及角平分线的定义即可解决问题；【解答】解：∵∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣100°＝80°，又∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠BOD＝40°，故选：C．【变式2】16．（2023春•阜南县校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC增大12°27′，则∠BOD的大小变化是（）A．减少12°27′B．增大167°33′C．不变D．增大12°27′【分析】根据对顶角相等解答即可．【解答】解：∵线AB，CD相交于点O，若∠AOC增大12°27′，∴∠BOD的大小变化是12°27′，故选：D．题型05利用邻补角与对顶角的性质综合计算【典例1】17．（2022秋•秀英区校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE＝2∠AOC，若∠1＝38°，则∠DOE等于（）A．66°B．76°C．90°D．144°【分析】根据条件∠AOE＝2∠AOC、对顶角相等和补角的定义可得答案．【解答】解：如图，∠1＝∠AOC＝38°．∵∠AOE＝2∠AOC，∴∠AOE＝76°．∴∠DOE＝180°﹣∠AOC﹣∠AOE＝180°﹣38°﹣76°＝66°．故选：A．【变式1】18．（2023春•陈仓区期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠COB＝110°，则∠BOE的度数是（）A．55°B．70°C．125°D．145°【分析】由角平分线定义得到∠AOE＝∠AOD，由对顶角的性质得到∠AOD＝∠BOC＝110°，因此∠AOE＝55°，由邻补角的性质得到∠BOE＝180°﹣∠AOE＝125°．【解答】解：∵OE平分∠AOD，∴∠AOE＝∠AOD，∵∠AOD＝∠BOC＝110°，∴∠AOE＝55°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝125°．故选：C．【变式2】19．（2023秋•香坊区校级期中）如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠EOF＝90°，∠AOD＝80°，且∠FOC＝2∠EOC，求∠EOB的度数．【分析】根据∠EOF＝90°，∠FOC＝2∠EOC，求出∠EOC30°，根据对顶角的性质得∠BOC＝∠AOD ＝80°，即可求出∠EOB的度数．【解答】解：∵∠EOF＝90°，∠FOC＝2∠EOC，∴∠EOC＝×90°＝30°，∵∠AOD＝80°，∴∠BOC＝∠AOD＝80°，∴∠EOB＝∠EOC+∠BOC＝30°+80°＝110°．【变式3】20．（2022秋•金凤区校级期末）已知：∠EOC是直角，直线AE、BF、DG交于点O，OD平分∠EOC，∠AOB＝40°，求：∠1和∠BOD、∠EOG的度数．【分析】利用角平分线的定义可得∠DOE＝∠EOC＝45°，从而利用对顶角相等可得∠1＝∠DOE＝45°，然后再利用平角定义求出∠BOD和∠EOG的度数，即可解答．【解答】解：∵∠EOC＝90°，OD平分∠EOC，∴∠DOE＝∠EOC＝45°，∴∠1＝∠DOE＝45°，∴∠EOG＝180°﹣∠1＝135°，∵∠AOB＝40°，∴∠BOD＝180°﹣∠DOE﹣∠AOB＝95°，∴∠1的度数为45°，∠BOD的度数为95°，∠EOG的度数为135°．1．（2023秋•道里区校级期中）在下列图中，∠1与∠2属于对顶角的是（）A．B．C．D．【分析】根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，可得结论．【解答】解：在选项A、C、D中，∠1与∠2的两边都不互为反向延长线，所以不是对顶角，是对顶角的只有选项B．故选：B．2．（2023秋•珠海校级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠AOC＝40°，则∠COE的度数为（）A．145°B．150°C．155°D．160°【分析】首先根据对顶角相等和角平分线的概念得到，然后根据平角的概念求解即可．【解答】解：∵∠AOC＝40°，∴∠BOD＝∠AOC＝40°，∵OE平分∠BOD，∴，∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝160°．故选：D．3．（2023春•招远市期末）泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是（）A．同角的余角相等B．同角的补角相等C．等角的余角相等D．等角的补角相等【分析】由补角的性质：同角的补角相等，即可判断．【解答】解：论证“对顶角相等”使用的依据是：同角的补角相等．故选：B．4．（2023春•茶陵县期末）如图，直线a、b相交，∠1＝130°，则∠2+∠3＝（）A．50°B．100°C．130°D．180°【分析】根据图形及∠1＝130°可求出∠2和∠3的值，进而能得出∠2+∠3的值．【解答】解：由图形可得：∠2＝∠3＝180°﹣∠1＝50°，∴∠2+∠3＝100°．故选：B．5．（2023春•威县校级期末）如图，直线a，b相交，∠1：∠2＝2：7，则∠3的度数是（）A．20°B．40°C．45°D．60°【分析】根据∠1+∠2＝180°，∠1：∠2＝2：7，即可求出∠1的度数，再根据对顶角相等即可得出∠3的度数．【解答】解：∵∠1：∠2＝2：7，∴设∠1＝2x，∠2＝7x，∵∠1+∠2＝180°，∴2x+7x＝180°，∴x＝20°，∴∠1＝40°，∴∠3＝∠1＝40°，故选：B．6．（2023春•泾阳县期中）如图，直线AB、CD交于点O，OE平分∠AOD，若∠1＝36°，则∠COE等于（）A．72°B．90°C．108°D．144°【分析】根据邻补角的概念求出∠AOD，根据角平分线的定义求出∠DOE，再根据邻补角的概念计算，得到答案．【解答】解：∵∠1＝36°，∴∠AOD＝180°﹣∠1＝144°，∵OE平分∠AOD，∴∠DOE＝∠AOD＝72°，∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝108°，故选：C．7．（2023•江油市开学）光线从空气射入水中会发生折射现象，如图①所示．小华为了观察光线的折射现象，设计了图②所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块．图③是实验的示意图，点A，C，B在同一直线上，下列各角中，∠PDM的对顶角是（）A．∠BCD B．∠FDB C．∠BDN D．∠CDB【分析】对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．依此即可求解．【解答】解：观察图形可知，∠PDM的对顶角是∠BDN．故选：C．8．（2023春•和平区校级月考）如图，一把张开的剪刀，给我们两条直线相交的形象，则图中∠1，∠2，∠3之间的关系不一定成立的是（）A．∠1+∠2＝180°B．∠1﹣∠3＝90°C．∠2＝∠3D．∠3+∠1＝180°【分析】根据邻补角的定义和对顶角的性质分别判断即可．【解答】解：由图可知：∠1和∠2为邻补角，∠1和∠3为邻补角，∠2和∠3为对顶角，∴∠1+∠2＝180°，∠3+∠1＝180°，∠2＝∠3，∴选项A，C，D成立，选项B不一定成立．故选：B．9．（2023春•川汇区期中）如图，直线BD，CE相交于点O，OB平分∠AOC，若∠AOE＝112°，则∠DOE ＝（）A．34°B．35°C．36°D．39°【分析】先根据平角的定义求出∠AOB，然后根据角平分线的定义求出∠BOC，再根据对顶角相等求出∠DOE即可．【解答】解：∵∠AOE＝112°，∴∠AOC＝68°，∵OE平分∠AOC，∴∠BOC＝34°，∴∠DOE＝∠BOC＝34°．故选：A．10．（2023春•威县期末）如图，为测量古塔的外墙底角∠AOB的度数，甲、乙两人的测量方案如表：方案一方案二甲：分别作AO，BO的延长线OC，OD，量出∠COD的度数，就得到∠AOB的度数．乙：作BO的延长线OD，量出∠AOD的度数后可通过180°﹣∠AOD得到∠AOB的度数．下列判断正确的是（）A．甲能得到∠AOB的度数，乙不能B．乙能得到∠AOB的度数，甲不能C．甲、乙都能得到∠AOB的度数D．甲、乙都不能得到∠AOB的度数【分析】根据对顶角相等，邻补角互补，进行判断作答即可．【解答】解：由题意知，方案一，由对顶角相等可得∠AOB＝∠COD，甲能得到∠AOB的度数；方案二，由邻补角互补可得，∠AOB＝180°﹣∠AOD，乙能得到∠AOB的度数；故选：C．11．（2023•高台县开学）两直线相交，若∠1和∠2是一对对顶角，且∠1+∠2＝280°，则∠2＝140度．【分析】根据对顶角相等进行计算即可．【解答】解：∵∠1和∠2是一对对顶角，∴∠1＝∠2，又∵∠1+∠2＝280°，∴∠2＝，故答案为：140．12．（2023春•鄄城县期中）如图是一把剪刀示意图，∠AOB+∠COD＝80°，∠AOC＝140°．【分析】由对顶角，邻补角的性质，即可计算．【解答】解：∵∠AOB+∠COD＝80°，∠AOB＝∠COD，∴∠AOB＝40°，∵∠AOC+∠AOB＝180°，∴∠AOC＝140°，故答案为：140°．13．（2023•南岗区校级开学）如图，直线AB和CD相交于O，OA平分∠COE，∠COE：∠BOE＝2：5，则∠EOD的度数为120°．【分析】根据已知∠COE：∠BOE＝2：5，从而根据∠COE和∠DOE为邻补角即可求出两角的度数；要求∠BOD的度数，结合对顶角相等可知直线求出∠AOC的度数，则此时结合上述所求，根据角平分线的定义即可解答．【解答】解：∵∠COE：∠BOE＝2：5，∴设∠COE＝2x，∠BOE＝5x，∵OA平分∠COE，∴∠AOE＝∠AOC＝x，∵∠AOE+∠BOE＝180°，∴x+5x＝180°，∴x＝30°，∴∠BOE＝5x＝150°，∵∠BOD＝∠AOC＝30°，∴∠EOD＝120°，故答案为：120°．14．（2023春•泗水县期中）如图，直线AC和直线BD相交于点O，若∠1+∠2＝∠BOC，∠AOD的度数是135°．【分析】设∠1＝∠2＝x，根据得出∠BOC＝3x，根据∠1+∠BOC＝180°列出关于x 的方程，解方程即可．【解答】解：设∠1＝∠2＝x，∵，∴，∴∠BOC＝3x，∵∠1+∠BOC＝180°，∴x+3x＝180°，解得：x＝45°，则∠BOC＝3x＝135°．故答案为：135°．15．（2023春•遵义期末）如图①，两条直线a，b相交于一点，有4组不重复的邻补角；如图②，三条直线a，b，c相交于一点，有12组不重复的邻补角；如图③，四条直线a，b，c，d相交于一点，有24组不重复的邻补角；则n条直线相交于一点，有2n（n﹣1）组不重复的邻补角．【分析】结合已知条件及图形总结规律即可．【解答】解：由①得4＝2×1×2，由②可得12＝3×2×2，由③可得24＝4×3×2，那么n条直线相交于一点，不重复的邻补角共有2n（n﹣1）组，故答案为：2n（n﹣1）．16．（2023春•榆林期末）如图，直线AB和CD交于点O，OE平分∠AOD，若∠1+∠2＝80°，求∠AOE 的度数．【分析】根据∠1+∠2＝80°，∠1＝∠2（对顶角相等）得出∠1＝∠2＝40°，进而求出∠AOD＝140°，再利用角平分线的定义求解即可．【解答】解：∵∠1+∠2＝80°，∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝40°，∴∠AOD＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，∵OE平分∠AOD，∴．17．（2023春•渭南期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE：∠DOE ＝2：3，若∠AOC＝70°，求∠AOE的度数．【分析】根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据∠BOE：∠EOD＝2：3求出∠BOE的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠AOE的度数．【解答】解：∵∠AOC＝70°，∴∠BOD＝∠AOC＝70°，∵∠BOE：∠EOD＝2：3，∴∠BOE＝×70°＝28°，∴∠AOE＝180°﹣28°＝152°．18．（2023春•南丹县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠EOD．（1）若∠EOC＝110°，求∠BOD的度数；（2）若∠BOE：∠EOC＝1：3，求∠AOC的度数．【分析】（1）根据补角的定义可以求出∠EOD，再根据角平分线的性质即可求解；（2）根据平角的定义和题中角的比可求出∠BOD，再根据对顶角相等即可求解．【解答】解：（1）∵∠EOC＝110°，∴∠EOD＝180°﹣∠EOC＝70°，∵OB平分∠EOD，∴；（2）∵OB平分∠EOD，∴，∵∠BOE：∠EOC＝1：3，∴∠EOC＝3∠BOE＝3∠BOD，∵∠EOC+∠DOE＝180°，∴3∠BOD+2∠BOD＝180°，解得：∠BOD＝36°，∴∠AOC＝∠BOD＝36°．19．（2022秋•宁波期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE．（1）求∠DOF的度数；（2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．【分析】（1）由角平分线定义得到∠DOF＝∠AOB，即可得到答案；（2）由平角定义得到∠AOC＝30°，由对顶角的性质得到∠BOD＝30°，而∠DOF＝90°，即可求出∠EOF的度数．【解答】解：（1）∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，∴∠EOD＝∠BOE，∠EOF＝∠AOE，∴∠EOD+∠EOF＝（∠BOE+∠AOE），∴∠DOF＝∠AOB＝×180°＝90°；（2）∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∠AOC+∠AOD＝180°，∴∠AOC＝30°，∴∠BOD＝∠AOC＝30°，∵OD平分∠BOE，∴∠EOD＝∠BOD＝30°，∴∠EOF＝∠DOF﹣∠EOD＝90°﹣30°＝60°．20．（2023春•通川区校级期末）如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．（1）图中∠BOD的邻补角为∠AOD，∠AOE的邻补角为∠BOE；（2）如果∠COD＝25°，那么∠BOE＝65°，如果∠COD＝60°，那么∠BOE＝30°；（3）试猜想∠COD与∠BOE具有怎样的数量关系，并说明理由．【分析】（1）直接利用邻补角的定义分析得出答案；（2）结合角平分线的定义利用已知分别得出各角度数即可；（3）利用角平分线的定义结合平角的定义分析得出答案．【解答】解：（1）如图所示：∠BOD的邻补角为：∠AOD，∠AOE的邻补角为：∠BOE；故答案为：∠AOD，∠BOE；（2）∵∠COD＝25°，∴∠AOC＝2×25°＝50°，∴∠BOC＝130°，∴∠BOE＝×130°＝65°，∵∠COD＝60°，∴∠AOC＝120°，∴∠BOC＝60°，∴∠BOE＝∠BOC＝30°，故答案为：65°，30°；（3）由题意可得：∠COD+∠BOE＝∠AOC+∠BOC＝（∠AOC+∠BOC）＝90°．。
5.1.1相交线-2020-2021学年人教版七年级数学下册课件
成为新一代强国。 中国共产主义青年团是中国共产党领 导的先 进青年 的群众 组织,是 党的可 靠又得 力的助 手和后 备军,也 是广大 青年在 实践中 学习 共产主义的学校。中国共产主义青年 团坚决 拥护中 国共产 党的纲 领,以马 克思列 宁主义 、毛泽 东思想 为行动 指南,用 建设有 中国 特色社会主义的理论武装全团,解放思 想,实事 求是, 团结全 国各族 青年,为 把我国 建设成 为社会 主义现 代化强 国,正因 为如此, 我感
新课导入
观察这些图片，你能否看到相交线、平行线？
入团申请：XX年初中生入团申请书参 考800字_1 入团申请:XX年初中生入团申请书800字
这篇关于《入团申请:XX年初中生入团 申请书 800字 》的文 章,是特 地,希望 对大家 有所帮 助! 敬爱的学校团委:
我通过班上团组织和团员同志的教育 和帮助, 又经过 上次的 团章学 习,我深 深地认 识到作 为一个 跨世纪 的青年 ,必须 积极争 取加入 青年的组织----中国共产主义青年团 。
C
∠1的邻补角是___∠_3_、__∠_A_O__D__，
∠2的邻补角是____∠_C__O_E_____。
E
1O 2
3
D
B
随堂测试
3、若∠1与∠2为对顶角，∠1与∠3互补，则∠2+∠3=_1_8_0_°
4、图中是对顶角量角器，你能说出 用它测量角的原理吗？
5.1.1相交线课件人教版数学七年级下册
例4 如图，直线 AB，CD，EF 两两相交，∠1＝2∠3，
∠2＝80°，求∠4 的度数． 解：因为∠1和∠2互为对顶角，
C
E4 A 31
B
所以∠1＝∠2＝80°．
D 2F
又因为∠1＝2∠3，所以∠3＝ 12∠1＝40°．
因为∠3和∠4互为邻补角，
所以∠4＝180°－∠3＝140°．
归纳
在运用邻补角及对顶角的概念和性质解决 问题时，要牢记邻补角互补，对顶角相等．
此处进一步将“对顶角相等”的说理过程写 成“因为……所以……”的形式，是为了逐步培 养学生规范的推理表达．
1．两条直线相交是形成对顶角的前提条件． 2．两直线相交，对顶角有 2 对．
C
B
2
1
3
O4
A
D
仔细观察下面的动图，感受“对顶角相等”．
仔细观察下面的动图，感受“对顶角相等”．
例1 如图，直线 AB，CD，EF 相交于一点 O ，请找出
人教版数学七年级下册
相交线
如图，观察剪刀剪开布片过程中有关角的变化．可以发现， 握紧剪刀的把手时，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃 之间的角也相应变小，直到剪开布片．如果把剪刀的构造看作 两条相交的直线，这就关系到两条相交直线所成的角的问题．
12 43
探究
如图，任意画两条相交的直线，形成四个角，∠1 和∠2 有
C
12 D
解析：选项A，D ：均有一边不互为反向延长线，故不是对顶角； 选项B ：有一边不互为反向延长线，且两角没有公共顶点，故不 是对顶角； 选项C ：符合对顶角的概念．
归纳
抓住两特征，判断两角是否互为对顶角 （1）两角有公共顶点； （2）两角的两边分别互为反向延长线． 同时具有以上两个特征的角互为对顶角，二者缺一不可．
人教版七年级数学下册课件相交线
你能根据这几对角的位置关系，对它们进行分类吗？
平面上三条直线交于一点，有几对对顶角？有几对邻补角？
变式1：若∠1= 32°20′，求∠2、∠3、∠4的度数。
1、借助两直线相交所形成的角初步理解邻补角、对顶角的概念；
∠2= 。
那么∠ 2 +∠1= ，
目 Contents 录
01 学习目标 02 旧知回顾
有丈志夫登 清山万顶里，无谁志能站扫山一脚室。
志志不不真 真则则心心不不热热，，心心不不热热则则如功功不不图贤贤。。，∠1与∠2有一条公共边OC，它们的另一 丈夫志气薄，儿女边安得互知?为反向延长线（ ∠1与∠2 互补），具有这种
位置关系的两个角，互为邻补角。
你能写出邻补角∠1和∠2的大小关系式吗？
o4
3
观有察志∠始1知和蓬∠2莱的近顶，点无和为两总边觉，咫有尺怎远样。的位置关系？
A (以1)天若下∠A为O己C+任∠B。OD=100°，求各角的度数。
D
那学么做∠任2何+事∠1得= 按部，就班，急不得。
∠鸭3仔=∠无1=娘40也°，长∠大4，=∠几2=多14白0°手也成家。
那丈么夫∠志2不+大∠1，= 何以，佐乾坤。
相交线
有∠2志=4不0°在年高∠，2=无60志°空活∠百2=岁50。°
丈如夫图志 ，气∠1薄与，∠2儿有女一安条得公知共?边OC，它们的另一边互为反向延长线（ ∠1与∠2 互补），具有这种位置关系的两个角，互为邻补角。
例3、1、如如图图两，堵直墙线围一a、个b角相交A，O∠B1，=4但0°人，不求能∠进2、入∠围3墙、，∠4我的们度如数何。去测量这个角的大小呢？
解:设∠1=x°，则∠2=3x°
你能动手画出两条相交直线吗？
角度计算 4初一上 相交线
角度计算4
1( 30 )如图，，平分，，试求的度
数．
2( 55;100 )如图，直线，相交于点，平分．
（1）若，，求的度数；（2）若平分，，设．①求证；②求的度数．
3( 30;30;70-2n)如图，已知∠AOB＝150º，∠AOC＝40º，OE是∠AOB内部的一条射线，OF平分∠AOE，且OF在OC的右侧．(1)若∠EOB＝10º，求∠COF的度数；(2)若∠COF＝20º，求∠EOB的度数；(3)若∠COF＝nº，求∠EOB的度数(用含n的式子表示)．
4(25;40 )如图所示，已知点在直线上，,是的平分
线，．求和
5(36;50 )如图，直线．相交于点，平分，，
（1）若，求的度数；（2）若，求的度数．
6( 32.5 )如图，为直线上一点，，，且平分，求
的度数．
7( 20;60 )如图，射线的端点O在直线上，于点O，且平分，平分，若，分别求与的度数．
8( 35; 0.5x )已知点是直线上的一点，，平分．（1）如图1，若，求的度数；（2）如图1中，若，直接写出的度数（用含的式子表示）；。
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七年级讲义：相交线与角度计算（1）
【知识提要】 1．相交线 解读：（1）两直线相交，只有一个交点；
（2）两条直线相交，产生4个小于平角的角。
2．对顶角 解读：（1）对顶角是两个角； （2）对顶角相等；
（3）对顶角是一种数量关系，也是一种位置关系。
3．邻补角 解读：（1）邻补角是两个角； （2）邻补角互补；
（3）邻补角是一种数量关系，也是一种位置关系。
4．垂直：两条直线相交所得的角中，有一个是直角，称这两条直线垂直。
解读：（1）垂直是一种特殊的相交；
（2）垂直的两条直线，产生的4个角均为直角。
（3）表示方法（如图）：BC AD ⊥于点D ，点D 称为垂足。
训练：
1．两条直线相交，产生_____个交点，_____对对顶角，_____对邻补角；
2．如图，三条直线AB 、CD 、EF 两两相交于点O 、M 、N ，则图中对顶角有_____对，邻补角有_____对；
【基础训练】
1．如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OE 平分AOD ∠，︒=∠100COB ，则
_____=∠AOE ，_____=∠EOC ；
2．如图，直线AB 与CD 相交于点O ，CD OE ⊥，︒=∠-∠50AOE DOB ，求：∠AOE 和∠AOC 的度数；
例 1.如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OF 平分AOD ∠，1:4:=∠∠BOE DOE ，︒-∠=∠15AOF AOC ，求FOE ∠的度数。
训练：
A
A
A
A B C
D E 1．如图，点O 在直线AC 上，OD 平分AOB ∠，BOE EOC ∠=∠2，
︒=∠72DOE ，求EOC ∠的度数。
2．如图，BD 平分ABC ∠，BE 分ABC ∠的二部分之比为4:3，若︒=∠8DBE ，求ABC ∠的度数。
例2：长方形如图折叠，D 点折叠到'D 的位置，已知︒=∠88'FC D ，则_____=∠FED ；
训练：
1．某测绘装置上一枚指针原来指向南偏西50°如图，把这枚指 针按逆时针方向旋转90°，则指针的指向为 （ ）
A 、南偏东50°
B 、西偏北50°
C 、南偏东40°
D 、东南方向
2．已知O 为直线AB 上的一点，∠COE 是直角， OF 平分∠AOE. （1）如图1，若︒=∠34COF ，则_______=∠BOE ；
若︒=∠m COF ，则_______=∠BOE ；BOE ∠与COF ∠的数量关系为__________；
（2）当射线OE 绕点O 逆时针旋转到如图2的位置时，（1）中BOE ∠与COF ∠的数量关系是否仍然成立？请说明理由。
（3）在图3中，若∠COF ＝65°，在∠BOE 的内部是否存在一条射线OD ，使
得2∠BOD 与∠AOF 的和等于
A
D C
B
F D'
A B C
H D E
F G ∠BOE 与∠BOD 的差的一半？若存在，请求出∠BOD 的度数；若不存在，请说明理由.
3．如图，在线段AB 之间加入5个点，可得多少条线段？
（1）若C 是直线外一点，将C 与直线上的点连结，则以C 为顶点有多少个角？
（2）当直线AB 上共有n 个点时，每个点与C 连结，则图中共有多少个角？多少条线段？
【课堂练习】
1、如图，O 为直线AB 上一点，OC 平分AOE ∠，DOE ∠=90º，则以下结论正确的是 （ ） ①AOD ∠与BOE ∠互为余角 ②COE AOD ∠=
∠2
1
③COD BOE ∠=∠2 ④若BOE ∠=57º50′,则COE ∠=61º5′ A 、①④ B 、①③④ C 、③④ D 、①②③④
2、如图，将两块直角三角尺的直角顶点C 叠放在一起， ①若︒=∠35DCE ，求ACB ∠的度数； ②若︒=∠140ACB ，求DCE ∠∠DCE 的度数； ③猜想ACB ∠与DCE ∠的数量关系，并说明理由，
3、如图，OB 、OC 是∠AOD 内部的两条射线，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠COD ，若∠AOD=84°，∠MON=68°，求∠BOC 的度数。
A
B
C D E O
A
E
D
4、已知，︒=∠90AOB ，︒=∠30BOC ，OM 平分AOC ∠，ON 平分BOC ∠。
（1）求MON ∠；
（2）如图，若︒=∠m BOC ，其他的条件不变，则MON ∠的度数是多少？
（3）如图，若OM 平分AOC ∠，ON 平分BOC ∠，且︒=∠45MON ，试判断OA 、OB 有何位置关系？
5．已知： ∠AOD ＝160°，OB 、OC 、OM 、ON 是 ∠AOD 内的射线。
（1）如图，若OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOD 。
当OB 绕点O 在∠AOD 内旋转时，求∠MON 的大小；
（2）如图，若∠BOC ＝20°，OM 平分∠AOC, ON 平分∠BOD. 当∠BOC 绕点O 在∠AOD 内旋转时求∠MON 的大小；
（3）在（2）的条件下，若∠AOB = 10°，当∠BOC 在∠AOD 内绕着点O 以2°/秒的速度逆时针旋转t 秒时，∠AOM ︰∠DON=2︰3，求t 的值.
A。