医用物理学陈仲本第五章课后习题答案

第五章 静电场

通过复习后,应该:

1、掌握电场强度、场强叠加原理、电势与电势差、场强与电势的关系、电势叠加原理、电偶极子的电势;

2、理解电场线与电通量、高斯定理及其应用、有导体存在时静电场的计算、电介质极化、能斯特方程、电容器、静电场的能量;

3、了解电偶层的电势、细胞膜静息电位、心电图与心向量图的电学原理。

5-1 点电荷q 与4q 相距l ,试问在什么地方放置什么样的电荷,可使这三个电荷达到受力平衡?

解:已知两个同号点电荷q 与4q 相距l ,在它们之间的连线上某处放置一个异号电荷,当它们满足一定的条件时,即可达到力的平衡。设这个异号电荷的电量为m q ,与q 相距x ,如本题附图所示。根据库仑定律22

1r

q q k

F =,分析力的平衡条件,电荷m q 分别与q 、4q 的引力相等,即 2

2224m x)(l mq k x q k -= (a) 电荷q 受4q 的斥力与m q 的引力相等,即 习题5-1附图

22

224x

mq k l q k = (b) 解(a)式得x=l /3,将其代入(b)式可得m=4/9。

从上面的计算结果可知,在q 与4q 之间,与电荷q 相距l /3处,放置一个4/9q 的异号电荷,可使三个电荷达到受力平衡。

5-2 两个点电荷分别带有+10C 与+40C 的电量,相距40cm,求场强为零的点的位置及该点处的电势。

解: ①求场强为零的位置: 只有在两电荷的连线中的某点P,才能使该处场强为零,即q 1 、q 2 在该点的场强E 1、E 2大小相等,方向相反,已知q 1 =10C,q 2 =40C,则根据点电荷场强公

式2r q k E =,有 2

2

2211r q k r q k =

由上式可得 2

14010212

1===

q q r r 习题5-2附图 又因r 1 + r 2 =40cm,由此可得r 1 =40/3cm=40/3×10-2 m; r 2 =80/3cm=80/3×10-2 m

②求电势: 设q 1 、q 2 在P 点产生的电势分别为U 1 、U 2,P 点电势U 为U 1 、U 2 之与,

即 V .V )(.r q k r q k U U U 122292

2112110032103

804010340101009⨯=⨯+⨯⨯=+=+=-- 5-3 两等值异号点电荷相距2、0m,q 1 =8、0×10-6 C,q 2 =-8、0×10-6 C 。求在两点电荷连线上电势为零的点的位置及该点处的场强。

q 1、q 2 连线上P 点处电势为零,

该点电势为q 1、q 2 分别产生的电势U 1、U 2 之代数与,由点电荷电场的电势r q k U =得 02

21121=+=+=r q k r q k U U U P 习题5-3附图 从上式可得 12

121=-=q q r r

＋q ＋4q

m q ＋q 1

2 E 1

＋q 2

2

1E 2

又r 1 + r 2 =2、0m,则r 1 = r 2 =1、0m,即电势为零的位置处于两点电荷连线的中点。

②求场强:设q 1、q 2 在P 处产生的场强分别为E 1、E 2,它们的方向一致,故P 点的场强为E 1与E 2的大小之与,方向由P 指向q 2

1

51

669

22221121104410110080110081009----⋅⨯=⋅⨯+⨯⨯⨯=+=+=C N .C N )....(.r q k r q k E E E 5-4 在一个边长为a 的正三角形的三个顶点放有量值相等的电荷Q,在以下两种情况下,

求三角形重心处的场强与电势:①三个顶点都带正电荷;②两个顶点带正电荷,一个顶点带负电荷。

习题5-4 附图(a) 习题5-4 附图(b)

解: 根据场强的叠加原理,可分别求出三个点电荷在重心的场强,再求出它们的矢量与。电势为标量,只需求出它们的代数与。

①当三个都为正电荷时,按附图(a)取坐标,坐标原点O 为三角形的重心,已知等边三角形的边长为a,则其重心到三个顶点的距离r 可由三角函数求出

a cos a r 3

330120=⋅=

由点电荷场强公式2

04r Q E πε=

可得,三个点电荷在重心O 的场强相等,即

2

02

0321434a Q

r Q E E E πεπε=

=

== (a)

方向如附图所示。设重心处的场强E 在Y 方向与X 方向的分量分别为E y 与E x ,则由附图(a)可得

E y =E 2 cos60°+ E 3 cos60°－E 1 = ½ E 2 + ½ E 3 －E 1 =0 E x =E 2 sin60°－E 3 sin60°=0 (因为E 2 =E 3 ) 故重心处的合场强E =0。

由点电荷的电势公式r

Q U 04πε=

与a r 33=可得 a

Q

U U U 032143πε=

==

根据电势叠加原理,重心处的电势U 为

＋

＋

a

Q

U U U U 0321433πε=

++=

②当两个顶点带正电荷,一个顶点带负电荷时,按本题附图(b)取坐标。参考前面的(a)式,由点电荷电场强度公式可得

2

032143a

Q

E E E πε=

== 方向如附图(b)所示。设重心处的场强E 在Y 方向与X 方向的分量分别为E y 与E x ,则由附图(b)可得

E y = E 1 + E 2 cos60°+ E 3 cos60°= E 1+ ½ E 2 + ½ E 3 =2 E 1 =2

023a Q

πε

E x =E 2 sin60°－E 3 sin60°=0 (因为E 2 =E 3 ) 故重心处的场强E 的大小为

2

023a Q

E E y πε=

=

其方向垂直向上。

由点电荷电势公式可得三个点电荷在重心的电势分别为

a Q r Q U 00434πε-

=πε-

=, a

Q

U U 03243πε-== 根据电势叠加原理,重心处的电势为

a

Q

U U U U 032143πε=

++=

5-5 均匀带电直线长2a,其线电荷密度为λ,求在带电直线垂直平分线上,且与带电直线相距为a 的点的场强与电势。

解: ①求场强:以带电直线为坐标轴,取直线中点为原点O,在直线上距O 点 x 处取一线元d x ,如本题附图所示,其电量d q =λd x ,此电荷元在所求点P 处产生的场强为

)

(222x a dx k r dq k

dE +==λ (a) 其方向沿d q 与P 点连线(图中为λ>0时的情况,若λ<0,

则反向),与X 轴线夹角为θ。

由于对称性,各电荷元的场强沿X 轴的分量d E ∥ 互相抵消,而垂直于X 轴的分量d E ⊥互相增强,因此

⎰⎰==⊥L

L

θsin dE dE E (b)

由附图可知,2

122/)

x (a a

r a sin +==θ,将(a)式与sin θ的表达式代入(b)式得E 的大小为 习题5-5附图