偏导数与全微分各类题目举例
高等数学偏导数部分的知识点及习题
= 。
−
例1、设 = ⅇ , sin
ⅆ
，具有连续导数，求 。
ⅆ
例2、设 = 2 − 2 , sin ，求 ， 。
例3、设 =
例4、设 =
, ⅇ− , 2
+ 3
，f具有连续导数，求 ， 。
方向导数的计算
= cos + cos ，，分别为与x轴y轴的正向相交的夹角。
例1、求 = ⅇ2 在点 1,0 处从点 1,0 到 2, −1 的方向导数。
推广：在(, , )中，
=
例2、已知两点 1,1,1 ， 5,7,3 ，求 =
量方向的方向导数。
cos 2
1
+
cos
1
2
+
cos
6 2 + 8 2 在P点沿向
五、梯度
定义函数 = , 在点 , 的梯度，记为graⅆ , = ∇ , = Ԧ + Ԧ。
性质：
1、梯度是一个向量。
2、沿梯度方向的导数达到最大。
2、 = , ，其中 = , , ， = , , 。
=
+
=
+
=
+
3、 = f , ，其中 = ， = 。
=
⋅
+
偏导数和全微分共52页
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
28.2 偏导数与全微分
∆������������ = ������ ������������ + ∆������, ������������ − ������ ������������, ������������
如 果
lim f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )
x0
x
存在，则称此极限为函数������ = ������ ������, ������ 在点 （������������, ������������）处对������的偏导数 ，记作
y0
y
z f
记 y
x x0
, y
x x0
, zy
作 y y0
y y0
xx0 或f y (x0, y0 )
y y0
1.偏导数
如果函数������ = ������ ������, ������ 在区域D内每一点（������������, ������������） 处对������的偏导数都存在,那么这个偏导数就是关
习惯上，自变量的增量∆������ 和∆������常写成������������和������������,
并分别称为自变量������、������的微分，所以也常记作 ������������ = ������������′ ������0, ������0 ������������ + ������������′ ������0, ������0 ������������
作为整体记号来看待，其中的横线没有相
除的意义，横线上下并未赋予相互独立的
含义。
➢ 一元函数在某一点可导，那么函数在该点 一定连续。但是，对于二元函数来说，函 数在某一点存在偏导数，并不能保证它在 该点连续。
(完整版)偏导数与全微分
第十章
偏导数与全微分
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数 三、全微分
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一、 偏导数定义及其计算法
引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是
将振幅
中的 x 固定于 x0 处, 求
关于 t 的
一阶导数与二阶导数.
u u(x0 , t ) u(x, t)
注意: f x (x0 , y0 ) lim f x0 x, y0 f x0, y0
f
(x0 )
lim
x 0
f
(x0x0 x)
x
f
(x0 )
xd y
dx
x x0
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同样可定义对 y 的偏导数
f y (x0 , y0 ) lim f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 )
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例如, f (x, y)
xy
x2 x2
y2 y2
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
fx (x, y)
y
x4
4x2 (x2
y2 y2 )2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
f y (x, y)
x
x4
4x2y2 (x2 y2)2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
f xy (0,0)
lim
y 0
f x (0,
y) y
f x (0, 0)
lim y y0 y
1
二 者
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的
第五章多元函数微分学课题二十二多元函数的偏导数与全微分
第五章 多元 函数微分学
课题二十二 多元函数的偏导数与全微分
【授课时数】 总时数：6 学时. 【学习目标】 1、知道多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元 函数的极限和连续性的概念，多元函数偏导数和全微分的概 念，全微分存在的充分条件和必要条件； 2、会求多元函数的偏导数和全微分。
【重、难点】 重点：多元函数，偏导数，全微分概念，由一元函数及 导数和微分引出。 难点：偏导数和全微分的求法，由实例讲解方法。
1. 解 图形如右上图所示. 2. 解
D {( x , y ) x y a }.
2 2 2
z
2 2 2 z a x y 单值分支:
o
x
y
z a2 x2 y2 .
图形是球面,如右下图所示.
第五章 多元 函数微分学
课题二十二 多元函数的偏导数与全微分
6. 多元函数的极限
第五章 多元 函数微分学
课题二十二 多元函数的偏导数与全微分
x3 y [例4] 讨论 lim 6 不存在． 2 x 0 x y y 0
解
3 取 y kx ,
x3 y x 3 kx 3 k lim 6 lim 6 , 2 2 2 6 x 0 x y x 0 x k x 1 k 3 y0
第十四.偏导数和全微分
第十四章 偏导数与全微分§1. 偏导数与全微分的概念1．求下列函数的偏导数： (1) 222ln()u x x y =+； (2) ()cos()u x y xy =+； (3) arctanx u y=； (4) x u xy y=+； (5) sin()xy u xye=；(6) yxu x y =+. 2．设2222221sin , 0,(,)0, 0.y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩考察函数在(0,0)点的偏导数.3．证明函数u =(0,0)点连续但偏导数不存在. 4．求下列函数的全微分：(1) u = (2) yzxu xe ey -=++.5．求下列函数在给定点的全微分：(1) u =(1,0)和(0,1)；(2 ) 2ln()u x y =+在点(0,1)和(1,1)；(3) u =在点(1,1,1)；(4) (u x y =+-在点（0，1）. 6．考察函数(,)f x y 在(0,0)点的可微性，其中2222221sin , 0,(,)0, 0.xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩7．证明函数2222222, 0,(,) 0, 0.x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩在(0,0)点连续且偏导数存在，但在此点不可微。
8．证明函数222222221()sin , 0,(,) 0, 0.x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩的偏导数存在，但偏导数在(0,0)点不连续，且在(0,0)点的任何邻域中无界，而f 在原点(0,0)可微。
9．设22222222, 0,(,) 0, 0.x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩证明f x ∂∂和f y∂∂在(0,0)点连续.10．设22()2222221, 0,(,) 0, 0.x x y e x y f x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨⎪+=⎩证明(,)f x y 在(0,0)点可微，并求(0,0)df .11．设3222222, 0,(,) 0, 0.x x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩(1) (),()x x t y y t ==是通过原点的任意可微曲线（即22(0)(0)0;0x y t +=≠时，22()()0,()x t y t x t +≠、()y t 可微）.求证((),())f x t y t 可微.(2) (,)f x y 在(0,0)不可微.12．设,x y 很小，利用全微分推出下列各式的近似公式： (1) (1)(1);mnx y ++ (2) arctan1x yxy++. 13．设(,)u f x y =在矩形：,a x b c y d <<<<内可微，且全微分du 恒为零，问(,)f x y 在该矩形内是否应取常数值？证明你的结论.14．设fx∂∂在00(,)x y 存在，f y ∂∂在00(,)x y 连续，求证(,)f x y 在00(,)x y 可微.15．求下列函数的所有二阶偏导数：(1) u = (2) yu xy x=+；(3) sin()cos()u x x y y x y =+++； (3) xyu e =.16．求下列函数指定阶的偏导数：(1) 33sin sin u x y y x =+,求633ux y∂∂∂；(2) arctan1x yu xy+=-，求所有三阶偏导数； (3) 22sin()u x y =+,求33u x∂∂，33uy ∂∂；(4) x y zu xyze++=,求p q r p q r ux y z++∂∂∂∂； (5) x yu x y +=- ()x y ≠，求m n m n u x y +∂∂∂；(6) ln()u ax by =+,求m n m n ux y+∂∂∂.17．验证下列函数满足22220u ux y ∂∂+=∂∂. (1) 22ln()u x y =+； (2) 22u x y =-； (3) cos x u e y =； (4) arctany u x=. 18．设函数(())u x y ϕψ=+，证明222u u u ux x y y x ∂∂∂∂=∂∂∂∂∂.19．设,x y f f 在点00(,)x y 的某邻域内存在且在点00(,)x y 可微，则有0000(,)(,)xy yx f x y f x y =.§2. 求复合函数偏导数的链式法则1．求下列函数的所有二阶偏导数： (1) (,)u f ax by =； (2) (,)u f x y x y =+-； (3) 22(,)u f xy x y =； (4) (,)x y u f y z=；(5) 222()u f x y z =++； (6) (,,)x u f x y xy y=+.2．设22()yz f x y =-，其中f 是可微函数，验证 211z z zx x y y y∂∂+=∂∂.3．设1()rv g t r c=-，c 为常数，函数g 二阶可导，r = 证明 2222222221v v v v x y z c t∂∂∂∂++=∂∂∂∂.4．若函数(,,)f x y z 对任意正实数t 满足关系(,,)(,,)n f tx ty tz t f x y z =，则称(,,)f x y z 为n 次齐次函数.设(,,)f x y z 可微，试证明(,,)f x y z 为n 次齐次函数的充要条件是(,,)f f f xy z nf x y z x y z∂∂∂++=∂∂∂. 5．验证下列各式： (1) 22()u x y ϕ=+,则0u uyx x y ∂∂-=∂∂； (2) 22()u y x y ϕ=-,则u u xuyx x y y∂∂+=∂∂； (3) ()()u x x y y x y ϕψ=+++,则2222220u u ux x y y∂∂∂-+=∂∂∂∂； (4) ()()y y u x x xϕψ=+,则222222220u u u xxy y x x y y ∂∂∂++=∂∂∂∂. 6．设(,)u f x y =可微，在极坐标变换cos x r θ=，sin y r θ= 下，证明2222()()()()z z z zx y u v∂∂∂∂+=+∂∂∂∂. 这时称22()()z z x y∂∂+∂∂是一个形式不变量. 8．设函数(,)u f x y =满足拉普拉斯方程22220u ux y ∂∂+=∂∂，证明在下列变换下形状保持不变，即仍有22220u us t∂∂+=∂∂.(1) 22s x s t =+,22ty s t=+； (2) cos ,sin ssx e t y e t ==； (3) (,),(,)x s t y s t ϕψ==满足,s t t sϕψϕψ∂∂∂∂==-∂∂∂∂.这组方程称为柯西－黎曼方程. 9．作自变量的变换，取,,ξηζ为新自变量： (1) 22,x x y ξη==+,变换方程0z zyx x y∂∂-=∂∂； (2) ,,x y x z x ξηζ==-=-,变换方程0u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂. 10．作自变量和因变量的变换，取,u v 为新的自变量，(,)w w u v =为新的因变量： (1) 设,,y zu x y v w x x=+==，变换方程 2222220z z zx x y y∂∂∂-+=∂∂∂∂； (2) 设,,xu v x w xz y y===-，变换方程 2222z z y y y x∂∂+=∂∂. 11．求下列方程所确定的函数(,)z f x y =的一阶和二阶偏导数： (1) 20xyx ez e --+=；(2) x y zx y z e++++=；(3) xyz x y z =++；(4) 22222450x y z x y z ++-+--=. 12．求由下列方程所确定的函数的全微分dz ； (1) (,)z f xz z y =-； (2) (,,)0F x y y z z x ---=； (3) 222(,)0f x y z x y z ++++=； (4) (,)(,)0f x y g y z +=.13．设(,)z z x y =由方程222()z x y z yf y++=所确定，证明222()22z z x y z xy xz x y∂∂--+=∂∂。
第一节 偏导数与全微分
第一节偏导数与全微分一、单项选择题()()()()()00001.lim 11.0 . . .222.,,. . . .3.,x y A B C D z z z f x y x y x y A B C D f x y →→=-+∞∂∂=∂∂函数在点处的两个偏导数和存在是它在该点处可微的充分条件必要条件充要条件无关条件关于函数()()()()()()()()()222222, 00, 0.,0,0 .0,00.0,00 .,0,04.,1tan x y xy x y x y x y A f x y B f C f D f x y f x y xy x ⎧⎫+≠⎪⎪+=⎨⎬⎪⎪+=⎩⎭===+-下列表述错误的是在点处连续在点处不可微设函数则()()()()22221,0.0 .1 .2 .5.3,.6 .6 .3 .36.sin ,.2sin .cos y f A B C D z z x y y A y B xy C x D x z z x y x y xA xy yB x x y =∂==∂∂=+=∂++不存在设函数则设二元函数则()2222222.2sin .sin 7.1.1 .2 . .C xy x y D x y yz z z x y A B C x y D x y ++⎛⎫∂∂⎛⎫=+= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭++设二元函数则()()()()()20,1228.,|.0 .1 .2 .1,9.,,.2 .2 .2 .221x yz z xy e x A B C D f x y f xy x y x y x A B x C y D x y ∂=+=∂-∂-=+=∂+设函数则已知则()()()()()()()()331,12222220.ln ,|1. .33. .22 0,11.,0, z x y dz A dx dy B dx dy C dx dy D dx dy x y x y z f x y x y =+=++++++≠==+设则设()()()()()()()()()()0,(,)0,0;0,00,0,,,0,0 ,0,0.1 .2 .3 .412.,,lim x y x y f x y f f f x y f x y f x y A B C D f x y a b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪=⎩⎭''''则下列四个结论中，①在处连续②，存在；③在处连续；④在处可微.正确结论的个数为设在点处有偏导数，则()()()()()()()()()02222,,.0 .2, ., .,13.=ln ,32,232.ln 32+ .ln 332h x x y f a h b f a h b hA B f a b C f a b D f a b x z z u v u v x y y x x x x A x y B x y x y y y →+--=∂==-=∂--设函数而则()()()()()()2222222232+ 322.ln 32+ .ln 32+3232x y x y yx x x x C x y D x y y x y y y x y y ------二、填空题()()()()()()()2221021.,ln ,1,1 .22.,4,, .23.,lim , .ln 34., .5.3, y x y x y x y y x f x y y f y f x y e xye f x y x y f x y f x y x y z x dz z x y dz --→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭+==+==--===+=设则已知函数则函数设则设则设函数则()()()()()()()()2221,1320 .6.,sin ,, .7., .8.1,| .9.2,sin ,,| .110.x y y t t f x y xy df x y z z f x y e y z z xy y du u x y xy x t y e dt f x z f xy yf x y x ===⎛⎫∂=+= ⎪ ⎪∂⎝⎭∂=+=∂=++===''=++设则设可微，则已知则设则设连续，2, .z x y∂=∂∂则2211., .12.ln = .x yz z e x yz z x y ∂==∂∂∂=∂∂设则设则二、计算题()()()2222220022222ln 1.,0,,2.arcsin .413.lim sin 4.sin ,,,.5.ln 6.,x y xxy y f x y x y x f x y x x y z x y x y z z z z x y ye x x x y z z z x y x yz z y x y→→⎛⎫+=-≠ ⎪⎝⎭+=+++∂∂∂=+∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂=∂∂设求求函数计算极限设函数求设求已知求()()()()()()()2222327.,.8.2sin 2323,,,.9.,,sin ,10.,,,00.11.,,,,.12.x x y x xy z z e dz z z x y z x y x z f x y x ydz z f x e x dxu f x y z y y x z z x e y e xz du dxy z z z z x f xy f x y y x y +=∂∂+-=+-=+∂∂====-=-=∂∂∂⎛⎫= ⎪∂∂∂∂⎝⎭设求设确定了函数求求设有连续偏导数和分别由方程和所确定，求设具有连续的二阶偏导数，求设()()()()()()()()()222222,cos ,sin ,,,.13.0+0.10;210,11,z z z u v uv u x y v x y x yz z f u z f x y f u f u uf f f u ∂∂=-==∂∂∂∂=+=∂∂'''+='==而求设函数在，∞内具有二阶导数，且满足等式验证若求函数的表达式.四、证明题()()()()()()()()()2221.,,.2.,,,0,.3.,,0.4.1ln ,x f f f x y x y x y x y x yz z z x y xy xf z y z xf z y z x z y f z x y z z z z z x y F x y x y z xy y x x yy z z xf x y x f x x x ϕϕϕ∂∂-+=-+=+∂∂∂∂''=++≠-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∂∂⎛⎫∂∂++=+=- ⎪∂∂⎝⎭∂⎛⎫=+- ⎪∂⎝⎭证明设是的函数且证明：设函数由方程所确定，证明：设其中是任意的二次可微函数，求证：()22221.z y x y y ∂-=+∂。
D3_2偏导数与全微分2
z dv z dw d z z du v d t w d t d t u d t
z
u v w
f1 u f 2 v f 3 w
t
t
dz . 例1.设 z u v sin t , u e , v cost , 求全导数 dt d z z du z 解: d t u d t t
z 2z z 2z ( ) f x y ( x, y ) ( ) 2 f x x ( x, y ); y x x y x x x
2 z 2z z z ( ) f y x ( x, y ); ( ) 2 f y y ( x, y ) x y y x y y y
偏导数连续可减弱为 可微，但减弱为偏导数存在, 则定理结论不一定成立. u 2v , u 2 v2 0 u 2 v2 例如: z f (u, v) 2 2 0, u v 0 u t , vt
易知:
z z lim , lim 不存在. u 0 u u 0 v
z y
f1 f 2 1 f2 2
v x
y
z f 不同, 注意: 这里 与 x x z f 表示固定 y 对 x 求导, 表示固定 v 对 x 求导 x x
口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
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r
2
定理. 若 f x y ( x,y) 和 f y x ( x,y) 都在点( x0 , y0 ) 连续, 则
f x y ( x0 , y0 ) f y x ( x0 , y0 )
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立. 例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有
偏导数与全微分
一、偏导数
注意
偏导数的记号 作分子分母之商.
是一个整体的记号，不能看
一、偏导数
偏导数的概念还可推广到二元以上的函数.
设f(x,y,z)=xy2+yz2+zx2，求各二阶偏导数及fzzx(x,y,z). 解 因为
一、偏导数
引例说明由例2的结果 知，当单位体积空气中固体污染物的数量为1个单位， 气体污染物的数量为2个单位时，固体污染物每增加1 个单位时，大气污染指数将增大22个单位.同样，当气 体污染物的数量增加1个单位时，大气污染指数将增大 18个单位.
二、全微分
在第二章我们已经学习了一元函数y=f(x)微分的概念， 现在用类似的思想和方法，通过多元函数的全增量，把一元 函数微分的概念推广到多元函数．
在研究多元函数的偏导数时，只是某一个自变量变化， 而其他的自变量视为常量，但在实际问题中，往往是几个自 变量同时在变动，下面我们就来研究多元函数各个自变量同 时变化时函数的变化情形．以二元函数为例，为此，我们引 入二元函数全微分的概念．
偏导数与全 微分
一、偏导数
引例在报纸上经常会看到关于城市大气污染指数 P的数据，其常用的运算模型为 P=x2+2xy+4xy2，其 中x表示单位体积空气中固体污染物的数量，如粉尘； y表示单位体积空气中气体污染物的数量，如汽车尾气. 那么这些污染物在空气中含量的变化对指数的影响程 度如何呢？下面通过偏导数来进行分析.
所以
【例3】
求 解
一、偏导数
2[1].4全微分重要例题
![2[1].4全微分重要例题](https://img.taocdn.com/s3/m/9abfbb0703d8ce2f0066233e.png)
又由偏导数的定义可得,在点 又由偏导数的定义可得 在点( 0,0) 处有
f x (0,0) = f y (0,0) = 0
∆z − dz = ∆z − [ f
∆z − dz =
x
(0,0) ⋅ ∆x + f y (0,0) ⋅ ∆y ]
∆x 2 ⋅ ∆y 2 = , 2 2 3/ 2 [(∆x) + (∆y ) ]
ρ
1 ∆ x ⋅ ∆x = , 2 2 2 ( ∆x ) + ( ∆x )
说明： 说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在， 微分存在，要看 P69 例2.26
∆z − dz
ρ
→0 ?
多元函数连续、可导、 多元函数连续、可导、可微的关系 函数连续
函数可导
函数可微
偏导数连续
思考题 处可微的充分条件是: 函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处可微的充分条件是 处连续； （1） f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处连续； ） ′ ′ （2） f x ( x , y ) 、 f y ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的 ）
ρ
说明: 说明 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.
一元函数在某点的导数存在 多元函数的各偏导数存在
微分存在． 微分存在． 全微分存在． 全微分存在．
例如， 例如，
xy x2 y2 + f ( x, y) = 0
x2 + y2 ≠ 0 x2 + y2 = 0
.
在点( 0,0)处有
f x (0,0) = f y (0,0) = 0
∆ z − [ f x ( 0, 0 )∆x + f y ( 0, 0 )∆ y] =
偏导数与全微分
z [ f x ( x, y ) x f y ( x, y ) y] 1x 2y
1 x 2 y 0 0, 1 2
故函数z f ( x , y ) 在点( x , y ) 处可微.
注
z z , 两个偏导数 在点 ( x , y ) 连续 x y 仅是函数 z f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 可微的充分
可微
可导 连续 有极限
对多元函数的极限、连续、可导、可微的关系： 偏导连续
可微 连续 有极限
有偏导
在点(0,0)处有
xy 2 2 f ( x, y) x y 0
x2 y2 0
.
x2 y2 0
x y , z [ f x (0,0) x f y (0,0) y] 2 2 ( x ) ( y )
x y ( x ) 2 ( y ) 2
f x ( x 1x, y y )x f x ( x, y )x 1x
由f x ( x, y )在点 ( x, y )连续.
(0 1 1)
令f x ( x 1x, y y ) f x ( x, y ) 1
其中 1 0 (x 0, y 0)
条件, 并非必要条件. 如 1 2 2 ( x y ) sin 2 2, 函数f ( x , y ) x y 0, 在原点(0,0)可微. 但是, 偏导数在原点(0,0)不连续.
x2 y2 0 x2 y2 0
全 微 分
选择题
考虑二元函数 f (x, y)的下面4条性质:
z f ( x x , y y ) f ( x , y ) [ f ( x x , y y ) f ( x , y y )]
7.5高阶偏导数与高阶全微分
′′ ′′ ′′ ′′ = ( f xx dx + f yx dy )dx + ( f xy dx + f yy dy )dy
2 2
′′ ′′ ′′ = f xx (dx) + 2 f xy dxdy + f yy (dy )
习惯上记(dx) = dx , (dy ) = dy
2 2 2 2
′′ ′′ ′′ ∴ d 2 z = f xx dx 2 + 2 f xy dxdy + f yy dy 2
∂z ∂f ∂u ∂f ∂v ∂u ∂v = • + • = f1′ + f 2′ = yf1′+ 2 xf 2′ ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂x ∂x
其中f1′, f 2′是关于u , v的函数
∂f1′ ∂u ∂f1′ ∂v Q ( yf1′)′x = y ( f1′)′x = y • + • ∂u ∂x ∂v ∂x
dx + 2dy + dz = e
x− y − z
(dx − dy − dz )
= ( x + 2 y + z )(dx − dy − dz )
x + 2 y + z −1 x + 2y + z + 2 ∴ dz = dx − dy 1+ x + 2 y + z 1+ x + 2 y + z
∂z x + 2 y + z − 1 2 ∴ = = 1− ∂x 1 + x + 2 y + z 1+ x + 2 y + z
′′ ′′ ′′ ′′ = f1′+ xyf11 − y f12 + 2 x f 21 − 4 xyf 22
同步练习8.2-偏导数全微分
不存在，函数f ( x, y)在(0,0)点不可微.
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8.2.三
y 1 z 1 z z , 其中 f ( u ) 可导 , 证明 : 2 2 2 f (x y ) x x y y y 证 设u x 2 y 2 , 则z y f (u) y z 2 xyf (u) 2 2 x f (u) f (u) x f 2 (u)
dx dy
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8.2.二
xy 2 2 , x y 0 2 2 9. 讨论函数f ( x, y ) x y 0, x2 y2 0 在点(0,0)的可微性.
f 解 x
f y
00 f (x,0) f (0,0) lim lim 0, x 0 x 0 x x ( 0,0 )
1
(1,1,1)
x x u ( )z ln( ) 0 z (1,1,1) y y (1,1,1)
u y
x z 1 x z( ) ( 2 ) 1 y y (1,1,1) (1,1,1)
u u u df (1,1,1) dx dy dz x (1,1,1) y (1,1,1) z (1,1,1)
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8.2.二
7. 设f (t )为连续函数，u xyz yz f (t )dt， 求du
u yz yf ( xy) 解 x
u xy yf ( yz) z
du u u u dx dy dz x y z u xz xf ( xy) zf ( yz) y
xy
( yz yf ( xy ))dx ( xz xf ( xy ) zf ( yz))dy ( xy yf ( yz))dz