偏导数与全微分各类题目举例
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22
sin( x2 + 2xy + y2 −1) 解 lim 11 x + y −1 ( x, y)→( , )
22
2 ( x + y −1)( x + y + 1) ( x + y）− 1 = lim = lim 11 11 x + y −1 ( x, y)→( , ) ( x, y)→( , ) x + y − 1 22
x2 y x2 + y2 ≠ 0 4 1.例 , 1.例 已知f ( x, y) = x + 3 y2 0 x2 + y2 = 0 讨论 lim f ( x, y)是否存在？
( x, y)→(0， 0)
当点(x,y)沿x轴(y=0)趋于 趋于(0,0)时,得 解 当点 沿 轴 趋于 时得 x2 y lim f ( x, y) = lim f ( x,0) = lim 4 = lim0 = 0； x→0 x + 3 y2 ( x, y)→(0， 0) x→0 x→0 → 但当点(x,y)沿抛物线 y = x2趋于 沿抛物线 趋于(0,0)时,却得 但当点 时 却得
22
=
11 ( x, y)→( , ) 22
lim ( x + y + 1)
=2
3. z = x ln( x + y)，求z的所有二阶偏导数. 4. z = f ( x, xy)，求z的二阶混合偏导数.
∂2z . 5. z = f ( x , y )是由yz 3 − x 2 z − x = 0确定的隐函数, 求 ∂x ∂y 1 2 2 2 6. 交换积分次序 ∫ 1 dy ∫ 1 f ( x , y )dx + ∫ dy ∫ f ( x , y )dx
2 y 1 y
x dxdy , 其 中 D : xy = 1, y = x , x = 2所 围 图 形 . 7. 求 ∫∫ 1+ y D
8. 计算 ∫∫ ln( x 2 + y 2 + 1)dxdy , D是x 2 + y 2 ≤ 1的第一象限部分.
D
x4 1 lim f ( x, y) = lim f ( x, y) = lim 4 = ; x→0 ( x, y)→(0， 0) x→0 x + 3x4 4 2
y= x
⇒ lim
( x, y)→(0， 0)
f ( x, y)不存在 .
sin( x2 + 2xy + y2 − Baidu Nhomakorabea) 2. lim . 11 x + y −1 ( x, y)→( , )
sin( x2 + 2xy + y2 −1) 解 lim 11 x + y −1 ( x, y)→( , )
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2 ( x + y −1)( x + y + 1) ( x + y）− 1 = lim = lim 11 11 x + y −1 ( x, y)→( , ) ( x, y)→( , ) x + y − 1 22
x2 y x2 + y2 ≠ 0 4 1.例 , 1.例 已知f ( x, y) = x + 3 y2 0 x2 + y2 = 0 讨论 lim f ( x, y)是否存在？
( x, y)→(0， 0)
当点(x,y)沿x轴(y=0)趋于 趋于(0,0)时,得 解 当点 沿 轴 趋于 时得 x2 y lim f ( x, y) = lim f ( x,0) = lim 4 = lim0 = 0； x→0 x + 3 y2 ( x, y)→(0， 0) x→0 x→0 → 但当点(x,y)沿抛物线 y = x2趋于 沿抛物线 趋于(0,0)时,却得 但当点 时 却得
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=
11 ( x, y)→( , ) 22
lim ( x + y + 1)
=2
3. z = x ln( x + y)，求z的所有二阶偏导数. 4. z = f ( x, xy)，求z的二阶混合偏导数.
∂2z . 5. z = f ( x , y )是由yz 3 − x 2 z − x = 0确定的隐函数, 求 ∂x ∂y 1 2 2 2 6. 交换积分次序 ∫ 1 dy ∫ 1 f ( x , y )dx + ∫ dy ∫ f ( x , y )dx
2 y 1 y
x dxdy , 其 中 D : xy = 1, y = x , x = 2所 围 图 形 . 7. 求 ∫∫ 1+ y D
8. 计算 ∫∫ ln( x 2 + y 2 + 1)dxdy , D是x 2 + y 2 ≤ 1的第一象限部分.
D
x4 1 lim f ( x, y) = lim f ( x, y) = lim 4 = ; x→0 ( x, y)→(0， 0) x→0 x + 3x4 4 2
y= x
⇒ lim
( x, y)→(0， 0)
f ( x, y)不存在 .
sin( x2 + 2xy + y2 − Baidu Nhomakorabea) 2. lim . 11 x + y −1 ( x, y)→( , )