中考数学压轴题的命题研究和反思

中考数学压轴题的命题研究与反思

一.中考数学压轴题的功能与定位

目前福建省中考数学试卷都是毕业、升学两考合一试卷，兼顾学生的基础性和发展性，考试具有评价、选拨功能。压轴题的目标是选拔功能,意图通过压轴题考查学生的综合素质，尤其是分析问题、解决问题的能力，发现挖掘学生继续升学的潜力,同时也为初中教学指明方向。压轴题设置常见有探究型问题、开放型问题、运动变化型问题、操作型问题、应用型问题等。压轴题常以支撑整个初中数学的核心知识与重要思想方法为载体, 突出能力考查，对学生的阅读能力、计算能力、理解能力、思维能力有较高的要求；压轴题突出了对数形结合、归纳概括、转化化归、分类讨论、函数与方程、演绎推理等主要数学思想方法的考查。因此压轴题是区分度和综合性的集中体现,也渗透了命题者对中考方向的理解。

二.中考数学压轴题的内容与形式

研究近几年全国中考数学压轴题考查的内容,大都可分成以下两类:

1.以几何为载体考查函数或几何.

2.以函数为载体考查函数或几何

其中函数的载体有一次函数、二次函数、反比例函数，其中以二次函数为重点。函数考查的内容有求函数的解析式、求相关点的坐标、求函数的最值、研究函数的图象、函数的性质等。代数方面涉及的知识主要有方程、函数、不等式、坐标、和解直角三角形（三角函数）等。

几何的载体有三角形、四边形、圆等，其中以三角形、四边形为重点。几何考查的内容有图形形状的判定、图形的大小（线段的长度、图形的面积的大小或最值等）计算、图形的关系（相似或全等）判定、图形的运动等。图形就运动对

象而言有点动（点在线段或线上运动），线动（直线或线段的平移、旋转）和面动（部分图形的平移、旋转、翻折）等。

几何中考查代数，代数中考查几何，代数与几何融为一体，是数形结合的完

美体现，试题具有较强的综合性、灵活性、和开放性。

三．中考数学压轴题的评析与反思

现以笔者所参加的莆田市近几年的中考和质检命题为范例作说明

1．以几何为载体考查几何

例1．（2008年莆田市初三质检第25题）

（1）探究：如图1，E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，且∠EAF

＝45，请猜测并写出线段DF 、BE 、DF 之间的等量关系（不必证明）.

（2）变式：如图2，E 、F 分别在四边形ABCD 的边BC 、CD 上，∠B ＋∠D

＝180，AB ＝AD ，∠EAF ＝

12∠BAD ，则线段BE 、EF 、FD 的等量关系又如何？请加以证明.

（3）应用：在条件（2）中，若∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1，BC ＝CD （如

图3

的周长.

图1

图1

[试题评析]试题通过先研究简单图形---正方形的线段的等量关系和证明方

C D F

图 3图 2F E D C

A G F E

D C B A

法，从中掌握分析问题的思路和解决问题的方法步骤，然后引申、拓展，提示规律，从而解决了一般图形---四边形的类似问题，最后又在一个隐蔽的背景中考查规律的应用。需要学生掌握通过观察、实验、归纳、类比等获得的数学猜想正确与否的原理、策略与方法，以及结合演绎推理与合情推理发展推理能力。本题就改变了传统几何证明题的模式（已知，求证，证明），将合情推理与演绎推理有机融合在一起，解题过程体现了从特殊到一般的数学思想，这有助于学生加深对问题的理解，提高综合解题能力，形成创新意识，体现课改理念，对教学具有积极的导向作用．

[命题反思]几何考查体现出降低严格逻辑证明的要求，不是简单化地降低

几何题目的难度，而是按照课程标准的要求，注重探究、重视重要的数学思想方法考查，从加强与代数内容的联系角度合理设计几何题目的难度；加强对实验操作、读图作图、合情推理等能力的要求，强化图形变换的应用，侧重考查数学思想方法以及运用几何知识解决实际问题能力等特点．命题中对几何基本图形进行改编常用的策略有：原题条件的弱化或强化、结论的延伸与拓展、条件与结论的互换；或对图形进行平移、翻折、旋转等操作，使之形成一系列的变式与拓展问题。

2．以几何为载体考查函数

例2．（2008年莆田市中考25题）

阅读理解：如图1，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=900

,

点P 在BC 边上，当∠APD=900时，易证△ABP ∽△PCD ，从而得到 CD AB PC BP ⋅=⋅.解答下列问题：

（1） 模型探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 在BC 边上，当∠B=

∠C=∠APD 时，

求证：CD AB PC BP ⋅=⋅；

（2） 拓展应用：如图3，在四边形ABCD 中，AB=4，BC=10，CD=6，∠B=∠C=600，

AO ⊥BC 于点O ，以O 为原点，以BC 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，点P 为线段

OC 上一动点（不与端点O 、C 重合）．

① 当∠APD=600时，求点P 的坐标；

② 过点P 作PE ⊥PD ，交y 轴于点E ，设OP=x ，OE=y ，求y 与x 的函数关系式，并

写出自变量x 的取值范围．

[试题评析]本题通过“阅读理解—模型探究—拓展应用”三环节问题设置，

实际上向学生展示了一个研究具有一般性问题的较完整的过程：先从这个一般性问题的“特殊”（图1为直角情形）入手，到“一般”（图2为非直角情形）；再从“一般”（问题（2）①）上升到新背景中的“特殊”（问题（2）②），使学生经历了“特殊—一般—特殊”由浅入深、归纳与演绎交替变化的思维过程.试题在第一环节中提供了 “易证, △ABP ∽△PCD ”的启示，学生在解破“易证”中的具有广泛意义的思考或研究方法（即所谓“一般性方法”）后，就能类比解决后续的各个问题.考查学生利用类比方法进行自主探究学习的能力.本题的价值不仅在于环环相扣、层层推进的精彩设置，更在于其本身突出地展示着“一般性方法”的深刻含义和普遍适用性，能掌握并善于运用一般性方法，就显示出较高的数学学习能力.（以上是2008年福建省中考数学评价组的评析）

（第25 题图）图 2图 1P D C B A P D C B A