理论力学第九章刚体的平面运动

刚体在运动过程中，其上任意一点到某一固定 平面的距离始终保持不变，即刚体上任一点都始终 保持在与这一固定面平行的某一平面内运动，刚体 的这种运动称为平面运动。
5
下面研究任意刚体的平面运动，设平面运动 刚体如图所示。 固定平面 L0 , L L0 截得平面S，当刚体运 动时，S平面在L上运动
在刚体内作垂直L平面的直线 A1A2，与S交于A，刚体作平面 运动时，A1A2作平移。则A点 与A1A2上所有点运动相同。
O 基点
转角
基点的选取是任意的，平面图形的位置可由O’点 坐标及直线O’M与x’的夹角φ 完全确定。 基点的选择不同，其运动方程9-1a不同，平面图形随基 点平移的速度和加速度也不同。但平面图形绕不同基 点转动的角速度和角加速度却完全相同。证明如下
f (t ) f (t ) 3 3
AB
vA vA AC l sin
vB AB BC vA cot
vA l vA vD AB DC 2 l sin 2sin
29
例9-8(讲) 矿石轧碎机的活动夹板长600mm ，由曲柄 OE借连杆组带动，使它绕A轴摆动，如图所示。曲 柄OE长100 mm，角速度为10rad/s。连杆组由杆BG， GD和GE组成，杆BG和GD各长500mm。 求：当机构在图示位置时，夹板AB的角速度。
41
解: 1 车轮作平面运动,速度瞬心 为 C
vO 2 R d 1 dvO aO dt R dt R
3 选Ｏ为基点 t n aC aO aCO aCO
t 其中：aCO R n aCO R 2


a
n CO
a
t CO
aO
在 轴上投影
aC a
n CO
19
例9-5 (讲)图所示的平面机构中，曲柄OA长100mm， 以角速度ω=2rad/s转动。连杆AB带动摇杆CD，并 拖动轮E沿水平面纯滚动。 已知：CD=3CB，图示位置时A，B，E三点恰在一 水平线上，且CD⊥ED。 求：此瞬时点E的速度。
20
解： 1、AB作平面运动，应用速度投影定理
vB cos30 OA
21
3 DE作平面运动，应用速度投影定理
§ 9-3 求平面图形内各点的瞬心法
一般情况下，在每一瞬时，平面图形上都唯一地 存在一个速度为零的点。称这样的点为速度瞬心。
基点A，速度vA，过A作垂直vA的直线 AN，则其上存在一点C，即瞬心。
vM vA vMA vM vA AM
vC 0 AC vA
34
解: 1、轮Ⅱ作平面运动, 基点：D 2、 vD 0 , vA 1 r1 r2 基点法
B D
vB
A
C
vAD vA 1 r1 r2
r1 vAD vA 2 1 1 AD r2 r2
同理应用基点法 vB 或瞬心法
BD
vCB
vC vB vCB
vCB l DB 0.75m/s 2
2 B 2 CB
vC
vDB
vD
DE
vC v v 2vB vCB cos 60 1.299 m
vC 与vCB的夹角θ
90
2 2 vC vCB vB 2 cos 0 2vC vCB
t A n A t CA n CA
t aCA 2 r2 aCA 2 r2
2 2 1 (r1 r2 ) r2 n 2
2 1
r1 r2 a
t A
1 r1 r2
B D
a
n CA
Cy
t aCA
1 1 O
aA
Aa t n
A
x
36
aCy a a 2 2 (r1 r2 )1 r22
0 vB 0
vB vA r , vBA 0
18
90

2、速度投影定理
由 vB vA vBA
沿AB连线方向上投影
vB AB = vA AB
结 论
速度投影定理：平面图形上任意两点的速 度在其连线上的投影相等。它反映了刚体 上任意两点间的距离保持不变这一特性。
30
解: 1 杆DE作平面运动,瞬心为 C1
OG 800mm 500mm sin15 929.4mm EC1 OC1 OE 3369mm OG 3591mm GC 1 0 sin 15

GE
vE OE 0.2968 rad s EC1 EC1
vG GE GC1 1.066 m s
12
解：1 AB作平面运动，基点: A 2、速度矢量图
vB vA vBA vB vA cot vA vBA sin
vB
vBA
AB
vBA vA l l sin
13
例9-2(讲) 图所示平面机构中，AB=BD=l=300mm。 在图示位置时，BD∥AE，杆AB的角速度为 ω=5rad/s。 求：此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C的速度。
9
结 论
§9-2 求平面图形内各点速度的基点法
1、基点法（合成法） 动点：M 动系 ：Oxy(平移坐标系) 绝对运动 ： 待求 相对运动 ：绕 O点的圆周运动 牵连运动 ： 平移
vM ve vr vO OM 任意A,B两点 vB vA vBA vA AB
38
解: 1、 AB作平面运动, 瞬心为 C
AB
vD l CD l
39
2 选D为基点 t n aA aD a AD a AD n 其中：aD l 2 aAD l 2
分别沿 轴和 轴投影
n aA cos aD cos 2 aAD
R
2
42
§9-5
第九章 刚体的平面运动
本章重点：刚体平面运动的基本概念，求平面图形上各 点的速度与加速度的基点法，以及求速度的 速度投影法和瞬心法，运动学的综合应用。
1
刚体平面运动举例：行星齿轮中小齿轮运动情况
2
车轮运动情况
3
观察曲柄滑块机构中连杆AB的运动情况
4
§ 9-1
1、概念
刚体平面运动的概述和运动分解

vB AB = vA
OA

vD
vB
vB
cos30 2 CD作定轴转动（C）
0.2309 m s
vE
vA
vB vD CD 3vB 0.6928 m s CB

vD vE DE = vD ,vE cos 30 vD , vE cos 30 0.8 m s
14
解：1、BD作平面运动，基点：B
2、求ω DE , 速度矢量图
vD vB vDB vD vDB vB l
DE
v D vB DE l 5 rad
BD
vDB
vD
DE
BD
s vDB vB 5 rad s BD l
15
3、求vC , 速度矢量图

22
平面图形内任意点的速度等于该点随图形 绕速度瞬心转动的速度。速度分布如图所示。
平面图形在某一瞬时的角速度不等于零，那 么平面图形上必存在一个速度瞬心。而且这个速 度瞬心是随时间变化的。
来自百度文库23
速度瞬心的确定方法
●
已知：vA , vB ,的方向, 且vA不平行于vB
24
●
v A // v B , 且vA AB
vA vD vAD
2 vC
1 1 O
vA
vC 2r22 21 r1 r2
2r22 21 r1 r2
35
3、用基点法求加速度，A为基点。思考：为何不以 D为基点?
a
n A
aC a a a a t t aCx a A aCA (r1 r2 )1 r2 2 2(r1 r2 )1
结 论
刚体的平面运动可以简化为平面图形S 在其自身平面L上的运动。
6
2、运动分析
思考
刚体平面运动是复杂运动，考虑是否可以用 简单运动合成来分析？
Oxy 平移坐标系(动系) 平面运动=随 Oxy 的平移+绕 O 点的转动
=
+
7
3 运动方程
xO f1 t 9-1a yO f 2 t f3 t 9-1b
t AD
0 aD sin a
解得
cos a sin
n AD
a A l 2 ,
a tAD 0
AB
a tAD 0 AD
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例9-11(讲)车轮沿直线滚动。已知车轮半径为R， 中心O的速度为 v ，加速度为 a ,车轮与地面接 O O 触无相对滑动。 求：车轮上速度瞬心的加速度。
31
2 杆BG作平面运动, 瞬心 为C2
BG
vG GC2
BC2 vB BG BC2 vG cos 60 GC2
AB
vG cos 60 vB 0.888 rad s AB AB
32
§9-4 用基点法求平面图形内各点的加速度
A ：基点 Ax’y’ ：平移动参考系 平面运动 = 随基点Ａ的平移 + 绕基点A的转动
8
如图， A、B为任取两个基 点，Ax’y’、Bx’’y’’为两个 平移动系 在图上任取一点M，有角
、、 、
其中 和 是常量
如图有
0 A B
平面图形绕基点转动的角速度和角速度 与基点的选择无关。
s
16
例9-3(自学)曲柄连杆机构如图所示，OA =r, AB= 3r。 如曲柄OA以匀角速度ω转动。
求：当 60，， 时点B的速度。 0 90
17
解：1、AB作平面运动,基点：A
2、速度矢量图
vB vA vBA 60
vB vA cos30 2 3r 3

aB ae a a
t r
n r
aA a a
t BA
n BA
2
a
t BA
AB , aBA AB
n
33
例9-4、9-9(讲) 图所示的行星轮系中，大齿轮Ⅰ固 定，半径为r1 ；行星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚不滑，半径 为r2。杆OA在图示位置时的角速度ω1、角加速度α1 求：轮Ⅱ的角速度ω2 ，其上B，C 两点的速度及C 点的加速度。
26
●
纯滚动(只滚不滑)
因为只滚不滑，所以有
vC vC 0
因此车轮上的C点是 速度瞬心，随着车轮的滚 动，车轮上不同的点与固 定轨道接触，其速度瞬心 在车轮上的位置也随时间 变化。
27
例9-7(自学) 用瞬心法解例9-1。
已知：vA , 求： AB , vB
AB l ,
28
解：AB作平面运动，速度瞬 心为点C。
结 论
平面图形上任意点的速度等于基点的速度 和该点绕基点转动速度的矢量和。
10
根据前式：
vM ve vr vO OM
得到O’M上各点的速度分布图
11
例9-1(讲) 椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运 动，如图所示，AB=l。 求：B端的速度以及尺AB的角速度。
vA vB BC
AC
25
●
vA // vB , 且不垂直于 AB
vB vA vAB vBA 0 AB 0 vB vA vM
瞬心在无穷远处，角速度为零这种状态称为瞬时 平移。瞬时平移与平移不同。瞬时平移平面图形 仅在这一瞬时它上面各点的速度相同，另一瞬时 则不同，而且在此瞬时各点的加速度不一定相同。 而平移在每一瞬时，刚体上各点的速度相同，加 速度也相同。
n A n CA
B D
(r1 r2 )(r1 2r2 ) 2 1 r2
a
n CA
Cy
t aCA
大小：
aC a a
2 Cy
2 Cx
1 1 O
aA
Aa t n
A
方向：由方向余弦确定
x
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例9-10(自学) 如图所示，在椭圆规机构中，曲柄 OD以匀角速度ω绕O 轴转动。OD=AD=BD=l。 求：当 60 时，尺AB的角加速度和点A的加速度。