沪教版八年级数学四边形动点专项练习

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八年级数学四边形动点问题练习

中考数教动面博题之阳早格格创做所谓“动面型问题”是指题设图形中存留一个或者多个动面,它们正在线段、射线或者弧线上疏通的一类启搁性题目.办理那类问题的闭键是动中供静,机动使用有闭数教知识办理问题.闭键:动中供静.数教思维：分类思维函数思维圆程思维数形分离思维转移思维注沉对付几许图形疏通变更本领的考查从变更的角度战疏通变更去钻研三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对付称、动面的疏通”等钻研脚法战要领，去探索与创造图形本量及图形变更，正在解题历程中渗透空间概念战合情推理.采用基础的几许图形，让教死经历探索的历程，以本领坐意，考查教死的自决商量本领，促进培植教死办理问题的本领．图形正在动面的疏通历程中瞅察图形的变更情况，需要明白图形正在分歧位子的情况，才搞搞佳预计推理的历程.正在变更中找到没有变的本量是办理数教“动面”商量题的基础思路,那也是动背几许数教问题中最核心的数教真量.二期课改后数教卷中的数教压轴性题正逐步转背数形分离、动背几许、动脚支配、真验商量等目标死少．那些压轴题题型繁琐、题意革新，脚法是观察教死的分解问题、办理问题的本领，真量包罗空间概念、应蓄意识、推理本领等．从数教思维的层里上道：（1）疏通瞅面；（2）圆程思维；（3）数形分离思维；（4）分类思维；（5）转移思维等．1、已知：等边三角形的边少为4厘米，少为1厘米的线段正在的边上沿目标以1厘米/秒的速度背面疏通（疏通启初时，面与面沉合，面到达面时疏通末止），过面分别做边的垂线，与的其余边接于二面，线段疏通的时间为秒．(1)、线段正在疏通的历程中，为何值时，四边形恰为矩形？并供出该矩形的里积；(2）线段正在疏通的历程中，四边形的里积为，疏通的时间为．供四边形的里积随疏通时间变更的函数闭系式，并写出自变C量的与值范畴．Q2.梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，PBA M NBC=26cm ，动面P 从面A 启初，沿AD 边，以1厘米/秒的速度背面D 疏通；动面Q 从面C 启初，沿CB 边，以3厘米/秒的速度背B 面疏通. 已知P 、Q 二面分别从A 、C 共时出收，，当其中一面到达端面时，另一面也随之停止疏通.假设疏通时间为t 秒，问：（1）t 为何值时，四边形PQCD 是仄止四边形？（2）正在某个时刻，四边形PQCD 大概是菱形吗？为什么？（3）t 为何值时，四边形PQCD 是曲角梯形？（4）t 为何值时，四边形PQCD 是等腰梯形？3.如左图，正在矩形ABCD 中，AB=20cm ，BC=4cm ，面P 从A 启初沿合线A —B —C —D 以4cm/s 的速度疏通，面Q 从C 启初沿CD 边1cm/s 的速度移动，如果面P 、Q 分别从A 、C 共时出收，当其中一面到达面D 时，另一面也随之停止疏通，设疏通时间为t(s)，t 为何值时，四边形APQD 也为矩形？4.如图，正在等腰梯形中，∥，,AB=12 cm,CD=6cm , 面从启初沿边背从（）供证：当t ??时，四边形是仄止四边形；（2）若△DPQ 是以PQ 为腰的等腰三角形，供t 的值.5. 4. 如图所示，△ABC 中，面O是AC 边上的一个动面，过O 做曲线MN//BC ，设MN 接的仄分线于面E ，接的中角仄分线于F.（1）供让：；（2）当面O 疏通到那边时，四边形AECF 是矩形？并道明您的论断. B C D Q P3、如图，正在仄里曲角坐标系中，四边形OABC 是梯形，OA ∥BC ，面A 的坐标为(6，0)，面B 的坐标为(4，3)，面C 正在y 轴的正半轴上．动面M 正在OA 上疏通，从O 面出收到A 面；动面N 正在AB 上疏通，从A 面出收到B 面．二个动面共时出收，速度皆是每秒1个单位少度，当其中一个面到达末面时，另一个面也随即停止，设二个面的疏通时间为t(秒)．(1)供线段AB 的少；当t 为何值时，MN ∥OC ？(2)设△CMN 的里积为S ，供S 与t 并指出自变量t 的与值范畴；S 若有最小值，最小值是几？(3)对接AC ，那么是可存留那样的t ，使MN 若存留，供出那时的t 2、（河北卷）如图，正在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动面P 从面A 出收沿AC 边背面C 以每秒3个单位少的速度疏通，动面Q 从面C 出收沿CB 边背面B 以每秒4个单位少的速度疏通．P ，Q 分别从面A ，C 共时出收，当其中一面到达端面时，另一面也随之停止疏通．正在疏通历程中，△PCQ 闭于曲线PQ 对付称的图形是△PDQ ．设疏通时间为t （秒）．（1）设四边形PCQD 的里积为y ，供y 与t 的函数闭系式；（2）t 为何值时，四边形PQBA 是梯形？（3）是可存留时刻t ，使得PD ∥AB ？若存留，供出t 的值；若没有存留，请道明缘由；（4）通过瞅察、绘图或者合纸等要领，预测是可存留时刻t ，使得PD ⊥AB ？若存留，请预计t 的值正在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若没有存留，请简要道明缘由．3、（山东济宁）如图，A 、B 分别为x 轴战y 轴正半轴上的面.OA 、OB 的少分别是圆程x2－14x ＋48＝0的二根(OA ＞OB)，曲线BC 仄分∠ABO 接x 轴于C 面，P 为BC上一动面，P 面以每秒1个单位的速度从B 面启初沿BC 目标移动.(1)设△APB 战△OPB 的里积分别为S1、S2，供S1∶S2的值；(2)供曲线BC 的剖析式；(3)设PA －PO ＝m ，P 面的移动时间为t.①当0＜t≤时，试供出m 的与值范畴； ②当t ＞时，您认为m 的与值范畴怎么样(只央供写出论断)？4、正在中，现有二个动面P 、Q 分别从面A 战面B 共时出收，其中面P 以1cm/s 的速度，沿AC 背末面C 移动；面Q 以1.25cm/s 的速度沿BC 背末面C 移动.过面P 做PE ∥BC 接AD 于面E ，连结EQ.设动面疏通时间为x 秒.（1）用含x 的代数式表示AE 、DE 的少度；（2）当面Q 正在BD （没有包罗面B 、D ）上移动时，设的里积为，供与月份的函数闭系式，并写出自变量的与值范畴；（3）当为何值时，为曲角三角形.5、（杭州）正在曲角梯形中，，下（如图1）.动面共时从面出收，面沿疏通到面停止，面沿疏通到面停止，二面疏通时的速度皆是.而当面到达面时，面正佳到达面.设共时从面出收，通过的时间为时，的里积为（如图2）.分别以为横、纵坐标修坐曲角A P C QB D O AB C P x y坐标系，已知面正在边上从到疏通时，与的函数图象是图3中的线段. （1）分别供出梯形中的少度；（2）写出图3中二面的坐标；（3）分别写出面正在边上战边上疏通时，与的函数闭系式（证明自变量的与值范畴），并正在图3中补齐所有疏通中闭于的函数闭系的大概图象.6、（金华）如图1，正在仄里曲角坐标系中，已知面，面正在正半轴上，且．动面正在线段上从面背面以每秒个单位的速度疏通，设疏通时间为秒．正在轴上与二面做等边．（1）供曲线的剖析式；（2）供等边的边少（用的代数式表示），并供出当等边的顶面疏通到与本面沉适时的值；（3）如果与的中面，以为边正在里里做如图2所示的矩形，面正在线段上．设等边战矩形沉叠部分的里积为，哀供出当秒时与的函数闭系式，并供出的最大值． 7、二块真足相共的曲角三角板ABC 战DEF 如图1所示搁置，面C 、F 沉合，且BC 、DF 正在一条曲线上，其中AC=DF=4，BC=EF=3．牢固Rt △ABC 没有动，让Rt △DEF 沿CB 背左仄移，曲到面F 战面B 沉合为止．设FC=x ，二个三角形沉叠阳影部分的里积为y ．（1）如图2，供当x=时，y 的值是几？（图1）（图2）（图3）（图1）（图2）（2）如图3，当面E 移动到AB 上时，供x 、y 的值；（3）供y 与x 之间的函数闭系式；战二个三角形（如图2所示）.将纸片沿曲线（AB ）目标仄移（面末究正在共背去线上），当面于面B 沉适时，停止仄移.正在仄移历程中，与接于面E,与分别接于面F 、P.（1）当仄移到如图3所示的位子时，预测图中的与的数量闭系，并道明您的预测；（2）设仄移距离为，与沉叠部分里积为，请写出与的函数闭系式，以及自变量的与值范畴；（3）对付于（2）中的论断是可存留那样的的值；使得沉叠部分的里积等于本里积的？若没有存留，请道明缘由.4. 如图所示，△ABC 中，面O 是AC 边上的一个动面，过O 做曲线MN//BC ，设MN 接的仄分线于面E ，接的中角仄分线于F. （1）供让：；（2）当面O 疏通到那边时，四边形AECF 是矩形？并道明您的论断.（3）若AC 边上存留面O ，使四边形AECF 是正圆形，且AE BC =62，供的大小.5.如图，矩形ABCD 中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC 合叠，面D 降正在面D’处，供沉叠部分⊿AFC 的里积.6. 如图所示，有四个动面P 、Q 、E 、F 分别从正圆形ABCD 的四个顶面出收，沿着AB 、BC 、CD 、DA 以共样的速度背B 、C 、D 、A 各面移动.（1）试推断四边形PQEF 是正圆形并道明.（2）PE 是可总过某一定面，并道明缘由.图1 图3图2（3）四边形PQEF的顶面位于那边时，其里积最小，最大？各是几？7. 已知正在梯形ABCD中，AD∥BC，AB =DC，对付角线AC战BD相接于面O，E是BC边上一个动面（E面没有与B、C二面沉合），EF∥BD接AC于面F，EG∥AC接BD于面G.⑴供证：四边形EFOG的周少等于2OB；⑵请您将上述题脚法条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB =DC”改为另一种四边形，其余条件没有变，使得论断“四边形EFOG的周少等于2OB”仍创造，并将改编后的题目绘出图形，写出已知、供证、没有必道明.9、（山东青岛课改卷）如图①，有二个形状真足相共的曲角三角形ABC战EFG叠搁正在所有（面A与面E沉合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O 是△EFG斜边上的中面．如图②，若所有△EFG从图①的位子出收，以1cm/s 的速度沿射线AB目标仄移，正在△EFG 仄移的共时，面P从△EFG的顶面G出收，以1cm/s 的速度正在曲角边GF上背面F疏通，当面P到达面F时，面P 停止疏通，△EFG也随之停止仄移．设疏通时间为x（s），FG的延少线接AC于H，四边形OAHP的里积为y（cm2)（没有思量面P与G、F沉合的情况）．（1）当x为何值时，OP∥AC ?（2）供y与x 之间的函数闭系式，并决定自变量x的与值范畴．（3）是可存留某一时刻，使四边形OAHP里积与△ABC里积的比为13∶24？若存留，供出x的值；若没有存留，道明缘由．（参照数据：1142 ＝12996，1152 ＝13225，1162 ＝13456或者4.42 ＝19.36，4.52 ＝20.25，4.62 ＝21.16）10、已知：如图，△ABC是边少3cm的等边三角形，动面P、Q共时从A、B二面出收，分别沿AB、BC目标匀速移动，它们的速度皆是1cm/s，当面P到达面B时，P、Q二面停止疏通．设面P的疏通时间为t（s），解问下列问题：（1）当t为何值时，△PBQ是曲角三角形?（2）设四边形APQC的里积为y（cm2），供y与t的闭系式；是可存留某一时刻t，使四边形APQC的里积是△ABC里积的三分之二？如果存留，供出相映的t值；没有存留，道明缘由；。

【新课标】最新沪教版(五四制)八年级数学下册《四边形中的动点问题》专项练习题

2017-2018学年（新课标）沪教版五四制八年级下册四边形中的动点问题动点问题是近几年中考的热点，解此类题型的关键是“化动为静”——寻找运动中的不变量，根据不变量与变量的关系，列出关系式。

在解决动点问题时，经常需要多画一些图形，通常一种情况画一个图形，方便把动点转化成一般的几何问题来解决。

点的运动问题通常是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上设计一个或两个动点，并对这些动点在运动变化过程中随之产生的等量关系、变量关系，图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究。

1、如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABOC 是平行四边形，点A的坐标为（2,4），点C的坐标为（5,0）直线BC交y轴于点D，边AB交y轴于点E。

（1）求点B、D的坐标；（2）联接AD，动点P从点B出发，沿折线BAC以2个点位/秒的速度向点C匀速运动，△PDA的面积为S，点P的运动时间为t秒。

①当点P在边AB上时，求S与t的函数关系式（写出自变量t 的取值范围）；②当点P在边AC上时，求S与t的函数关系式（写出自变量t的取值范围）。

BE ADO C2、如图所示，在直角梯形ABCD中，︒B，AD=24cm，AB=8cm，=∠90BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，则当t为和值时，四边形PQCD为平行四边形？等腰梯形？直角梯形？A PDB Q C3、如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=20cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到点D即停止。

点Q自点C向B以2cm/s 的速度运动，到点B即停止，直线PQ截梯形为两个四边形。

问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？AP DB Q C4、如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB=6cm ，AD=10cm ，︒=∠60A ，点P 从A 向D 运动，点Q 从C 向B 运动，P 、Q 运动速度都为1cm/s ，设运动时间为t 。

八年级数学动点问题专题

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解决动点问题的主要步骤
认真审题作出图形，如果涉及特定的时刻，
化动为静
就作出特定时刻的图形
利用题目中的几何条件，建立几何等量关系
用s=vt表示所需要的线段长
列出方程或函数表达式
对号入座，代入几何等量关系
17
4、△ABC中，∠B=90°,AB=5cm, BC=7cm,P从A沿AB向B以1cm/s的速度移动，Q从B沿BC向C以2cm/s的速度移动。 (1)如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△PBQ的面积等于4cm2； C
当点P在CD上运动时，设运动时间为t，求AP、DP和CP的长
B
C
P
A
D
3
如图：梯形ABCD中，AD//BC， AD=9cm,BC=6cm，点P从点A出发，沿着AD的方向向终点D以每秒一个单位的速度运动，当点P在AD上运动时，设运动时间为t，求当t为何值时，四边形APCB为平行四边形
B
C
A
A.10
B.12
C.14
D.16
D
C
P
A
B
练习2、如图已知 ABCD中，AB=7，BC=4， ∠A=30°
(1)点P从点A沿AB边向点B运动，速度为1cm/s。
若设运动时间为t(s)，连接PC,当t为何值时， △PBC为等腰三角形？
D
A 30° 7P
若△PBC为等腰三角形
C
则PB=BC
4 B
∴7-t=4
5
变式1：如图：梯形ABCD中，AD//BC，
AD=9cm,BC=6cm，梯形的高为5cm.点P
从点A出发，沿着AD的方向向终点D以每
秒一个单位的速度运动，当点P在AD上运

八年级数学四边形动点问题练习.doc

中考数学动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点 , 它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目 . 解决这类问题的关键是动中求静 , 灵活运用有关数学知识解决问题 .关键 : 动中求静 .数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路 , 这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（ 1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．1、已知：等边三角形 ABC 的边长为 4 厘米，长为 1 厘米的线段 MN 在△ ABC 的边 AB 上沿 AB 方向以 1 厘米 / 秒的速度向 B 点运动（运动开始时，点 M 与点 A 重合，点 N 到达点 B 时运动终止），过点 M 、N 分别作 AB 边的垂线，与△ ABC 的其它边交于P、Q两点，线段 MN 运动的时间为 t 秒．(1)、线段 MN 在运动的过程中， t 为何值时，四边形MNQP恰为矩形并求出该矩形的面积；(2 ）线段 MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S，运动的时间为t．求四边形 MNQP 的面积 S 随运动时间 t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．CQPA M N B2.梯形 ABCD中， AD∥BC，∠ B=90°， AD=24cm， AB=8cm，BC=26cm，动点 P 从点 A 开始，沿AD边，以 1 厘米 / 秒的速度向点 D运动；动点 Q从点 C开始，沿 CB边，以 3 厘米 / 秒的速度向 B 点运动。

初二平行四边形动点练习题

初二平行四边形动点练习题平行四边形是初中数学中的重要概念之一，对于初二学生来说，掌握平行四边形的性质和相关定理是非常重要的。

本文将介绍一些初二平行四边形的动点练习题，帮助同学们巩固对平行四边形的理解和运用。

题一：在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE交AC于点F，若AB＝6cm，BC＝8cm，则证明DE＝2cm。

解答：首先，根据平行四边形的性质，我们知道对角线互相平分。

可以观察到平行四边形的一条对角线AD被点E平分，即AE＝ED。

我们需要证明DE＝2cm。

由于平行四边形ABCD的对角线互相平分，所以线段BF也被点E 平分，即BE＝EF。

根据题意可知，AB＝6cm，BC＝8cm，因此AC＝AB＋BC＝6cm＋8cm＝14cm。

根据线段等分定理可得：EF：FC＝EA：AC代入已知长度得：EF：FC＝AE：AC3：FC＝3：14根据比例关系可以得出FC＝14/3 cm。

又因为BE＝EF，所以线段BE的长度也为14/3 cm。

根据平行四边形的性质，DE＝BA＝BE－AE。

代入已知长度得：DE＝14/3 cm－6cmDE＝2cm故证明了DE＝2cm。

题二：在平行四边形ABCD中，E为AD上任意一点，F为BC上任意一点。

连接CF交BE于点G，若BE＝2x，EG＝x+3，CF＝x+4，证明AD＝3x+7。

解答：在平行四边形ABCD中，我们要证明AD＝3x+7。

首先，我们需要找到平行四边形内部的有关线段长度。

通过观察，我们可以看出线段BE和线段EG之间存在特定关系。

根据题意，我们知道BE＝2x，EG＝x+3，代入得：BG＝BE－EG＝2x－(x+3)＝x－3。

同理，我们可以确定线段CF和线段FG之间的关系。

根据题意，我们知道CF＝x+4，代入得：CG＝CF－FG＝x+4－(x－3)＝7。

现在我们需要确定线段AD的长度。

由于平行四边形ABCD的对角线互相平分，所以线段BE也被点G 平分，即BG＝1/2BE＝x－3/2。

八年级数学平行四边形中的动点问题专题练习

八年级数学平行四边形中的动点问题专题练习1.如图, 在边长为4的菱形ABCD中, BD=4, E、F分别是AD.CD上的动点（包含端点）, 且AE+CF=4, 连接BE、EF、FB.（1）试探究BE与BF的数量关系, 并证明你的结论；（2）求EF的最大值与最小值.2.在四边形ABCD中, AD∥BC, ∠B=90°, AD=24cm, AB=8cm, BC=26cm, 动点P从点A开始, 沿AD边, 以1cm/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始, 沿CB边, 以3cm/秒的速度向B点运动。

已知P、Q两点分别从A.C同时出发, , 当其中一点到达端点时, 另一点也随之停止运动。

假设运动时间为t秒, 问: （1）t为何值时, 四边形PQCD是平行四边形？（2）在某个时刻, 四边形PQCD可能是菱形吗？为什么？,3.如右图, 在矩形ABCD中, AB=20cm, BC=4cm, 点P从A开始沿折线A—B—C—D以4cm/s的速度运动, 点Q从C开始沿CD边1cm/s的速度移动, 如果点P、Q分别从A.C同时出发, 当其中一点到达点D时, 另一点也随之停止运动, 设运动时间为t(s), t为何值时, 四边形APQD也为矩形？4.如图所示, △ABC中, 点O是AC边上的一个动点, 过O作直线MN//BC, 设MN交的平分线于点E, 交的外角平分线于F。

（1）求证: ；AM O F N EB C D（2）当点O 运动到何处时, 四边形AECF 是矩形？并证明你的结论。

5.（1）如图1, 纸片□ABCD 中, AD ＝5, S □ABCD ＝15, 过点A 作AE ⊥BC, 垂足为E, 沿AE 剪下△ABE, 将它平移至△DCE'的位置, 拼成四边形AEE'D, 则四边形AEE'D 的形状为（）A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形（2）如图2, 在（1）中的四边形纸片AEE'D 中, 在EE'上取一点F, 使EF ＝4, 剪下△AEF, 剪下△AEF, 将它平移至△DE'F'的位置, 拼成四边形AFF'D ．①求证: 四边形AFF'D 是菱形；②求四边形AFF'D 的两条对角线的长。

(word版)八年级数学四边形动点问题练习

中考数学动点专题所谓“动点型问题〞是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动〞等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择根本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点〞探究题的根本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向开展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：〔1〕运动观点；〔2〕方程思想；〔3〕数形结合思想；〔4〕分类思想；〔5〕转化思想等．1、：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动〔运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止〕，过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒．、线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；(2〕线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．CQPA M N B2.梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从点A开始，沿AD边，以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿CB边，以3厘米/秒的速度向B点运动。

2022年强化训练沪教版(上海)八年级数学第二学期第二十二章四边形专题测试试卷(含答案解析)

八年级数学第二学期第二十二章四边形专题测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90°B．当▱ABCD是菱形时，AC⊥BDC．当▱ABCD是正方形时，AC＝BD D．当▱ABCD是菱形时，AB＝AC2、在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（）A．22 B．24 C．48 D．443、如图，已知E为邻边相等的平行四边形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80º，那么∠CDE的度数为（）A ．20ºB ．25ºC ．30ºD ．35º4、如图，平行四边形ABCD 的周长为36，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是CD 的中点，BD ＝12，则△DOE 的周长是（）A ．12B ．15C ．18D ．245、平行四边形ABCD 中，60A ∠=︒，则C ∠的度数是（）A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒6、如图，以O 为圆心，OA 长为半径画弧别交OM ON 、于A 、B 两点，再分别以A 、B 为圆心，以OA 长为半径画弧，两弧交于点C ，分别连接AC 、BC ，则四边形OACB 一定是（）A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形7、多边形每一个内角都等于150°，则从该多边形一个顶点出发，可引出对角线的条数为（）A ．9条B ．8条C ．7条D ．6条 8、如图，函数()20y x x=-<的图象经过Rt ABO △斜边OB 的中点C ，连结AC ．如果3AC =，那么ABO的周长为（）．A．6+B．6+C．6+D．6+9、已知正多边形的一个外角等于45°，则该正多边形的内角和为（）A．135°B．360°C．1080°D．1440°10、一个多边形纸片剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（）A．14或15或16 B．15或16或17 C．15或16 D．16或17第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如果一个多边形的内角和等于外角和的2倍，那么这个多边形的边数n=____2、一个正多边形的每一个内角比每一个外角的5倍还小60°，则这个正多边形的边数为__________．3、点D、E、F分别是△ABC三边的中点，△ABC的周长为24，则△DEF的周长为______．4、已知正方形ABCD的一条对角线长为______．5、如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝E为BC边上一动点，F、G为AD边上两个动点，且∠FEG＝30°，则线段FG的长度最大值为 _____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，点M ，N 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，且∠MAN ＝45°．把△ADN 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABE ．（1）求证：△AEM ≌△ANM ．（2）若BM ＝3，DN ＝2，求正方形ABCD 的边长．2、如图，□ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且BE ＝DF ．求证：AF ＝EC ．3、已知：在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，AD 平分CAB ∠．延长DB 到E ，使BD BE =，O 为AC 中点，连接EO ，过A 作BC 的平行线与EO 延长线交于点F ，连接DF ，交AC 于点G ．（1）补全图形；（2）用等式表示线段AF ，CD 与DE 的数量关系并证明；（3）若45C ∠=︒，用等式表示线段CG 与BD 的数量关系并证明．4、已知长方形ABCO ，O 为坐标原点，B 的坐标为（8，6），点A ，C 分别在坐标轴上，P 是线段BC 上的动点，设PC ＝m ．（1）已知点D 在第一象限且是直线y ＝2x ＋6上的一点，设D 点横坐标为n ，则D 点纵坐标可用含n 的代数式表示为，此时若△APD 是等腰直角三角形，求点D 的坐标；（2）直线y ＝2x ＋b 过点（3，0），请问在该直线上，是否存在第一象限的点D 使△APD 是等腰直角三角形？若存在，请直接写出这些点的坐标，若不存在，请说明理由．5、如图， ABCD 的对角线AC 、 BD 相交于点O ，BD =12cm ，AC =6cm ，点E 在线段BO 上从点B 以1cm/s 的速度向点O 运动，点F 在线段OD 上从点O 以2cm /s 的速度向点D 运动．（1）若点E、F同时运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形．（2）在（1）的条件下，当AB为何值时， AECF是菱形；（3）求（2）中菱形AECF的面积．-参考答案-一、单选题1、D【分析】由矩形的四个角是直角可判断A，由菱形的对角线互相垂直可判断B，由正方形的对角线相等可判断C，由菱形的四条边相等可判断D，从而可得答案.【详解】解：当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90°，正确，故A不符合题意；当▱ABCD是菱形时，AC⊥BD，正确，故B不符合题意；当▱ABCD是正方形时，AC＝BD，正确，故C不符合题意；当▱ABCD是菱形时，AB＝BC，故D符合题意；故选D【点睛】本题考查的是矩形，菱形，正方形的性质，熟练的记忆矩形，菱形，正方形的性质是解本题的关键.2、B【分析】先判断出四边形ACED是平行四边形，从而得出DE的长度，根据菱形的性质求出BD的长度，利用勾股定理的逆定理可得出△BDE是直角三角形，计算出面积即可．【详解】解：菱形ABCD ，6,AC =,3,2,5,,AD BC OA OC BD BO AB BC AD AC BD ∥在Rt △BCO 中，224,BOBC OC 即可得BD =8，,AC DE ∥ ∴四边形ACED 是平行四边形，∴AC =DE =6，5,CE AD∴ BE =BC +CE =10，222100,BE BD DE∴△BDE 是直角三角形，90,BDE ∠=︒∴S △BDE =12DE •BD =24．故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理的逆定理及三角形的面积，平行四边形的判定与性质，求出BD 的长度，判断△BDE 是直角三角形，是解答本题的关键．3、C【分析】依题意得出AE =AB =AD ，∠ADE =50°，又因为∠B =80°故可推出∠ADC =80°，∠CDE =∠ADC -∠ADE ，从而求解．【详解】∵AD ∥BC ，∴∠AEB =∠DAE =∠B =80°，∴AE =AB =AD ，在三角形AED中，AE=AD，∠DAE=80°，∴∠ADE=50°，又∵∠B=80°，∴∠ADC=80°，∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°．故选：C．【点睛】考查菱形的边的性质，同时综合利用三角形的内角和及等腰三角形的性质，解题关键是利用等腰三角形的性质求得∠ADE的度数．4、B【分析】根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB＝OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是BC，所以易求△DOE的周长．△BCD的中位线，可得OE＝12【详解】解：∵▱ABCD的周长为36，∴2（BC＋CD）＝36，则BC＋CD＝18．∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD＝12，BD＝6．∴OD＝OB＝12又∵点E是CD的中点，CD，∴OE是△BCD的中位线，DE＝12BC，∴OE＝12∴△DOE 的周长＝OD ＋OE ＋DE ＝12BD ＋12（BC ＋CD ）＝6＋9＝15，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质．解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质．5、B【分析】根据平行四边形对角相等，即可求出C ∠的度数．【详解】解：如图所示，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴A C ∠=∠，∴60A ∠=︒，∴60C ∠=°．故：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质．6、B【分析】根据题意得到OA OB AC BC ===，然后根据菱形的判定方法求解即可．【详解】解：由题意可得：OA OB AC BC ===，∴四边形OACB 是菱形．故选：B ．【点睛】此题考查了菱形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．菱形的判定定理：①四条边都相等四边形是菱形；②一组邻边相等的平行四边形是菱形；③对角线垂直的平行四边形是菱形．7、A【分析】多边形从一个顶点出发的对角线共有（n-3）条．多边形的每一个内角都等于150°，多边形的内角与外角互为邻补角，则每个外角是30度，而任何多边形的外角是360°，则求得多边形的边数；再根据不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有（n-3）条，即可求得对角线的条数．【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于150°，∴每个外角是30°，∴多边形边数是360°÷30°=12，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有12-3=9条．故选A ．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．8、D【分析】过点C 作CE AO ⊥于E ，由直角三角形的性质可得6BO =，由三角形中位线性质可得2AB CE =，2AO EO =，由勾股定理可求AB AO +，即可求解．【详解】解：如图，过点C 作CE AO ⊥于E ，∵点C 是BO 的中点，∴3AC BC CO ===，∴6BO =，∵CE AO ⊥，AB AO ⊥，∴AB CE ∥，∴CE 是ABO ∆的中位线,∴2AB CE =，2AO EO =，∵点C 在()20y x x=-<上， ∴2CE EO ⨯=，∴228AB AO CE EO ⨯=⨯=，∵22236AB AO OB +==，∴()23616AB AO +=+，∴AB AO +=∴ABO的周长为：6AO BO AB++=+故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，直角三角形斜边中线的性质，中位线的性质及判断，勾股定理，灵活运用这些性质是解题的关键．9、C【分析】先利用正多边形的每一个外角为45︒,求解正多边形的边数，再利用正多边形的内角和公式可得答案. 【详解】解：正多边形的一个外角等于45°，∴这个正多边形的边数为：3608, 45∴这个多边形的内角和为：821801080,故选C【点睛】本题考查的是正多边形内角和与外角和的综合，熟练的利用正多边形的外角的度数求解正多边形的边数是解本题的关键.10、A【分析】由题意先根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论即可．【详解】解：设新多边形的边数为n，则（n-2）•180°=2340°，解得：n=15，①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为14，②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为15，③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为16，所以多边形的边数可以为14，15或16．故选：A．【点睛】本题考查多边形内角与外角，熟练掌握多边形的内角和公式（n-2）•180°（n为边数）是解题的关键．二、填空题1、6【分析】根据多边形内角和公式（n-2）×180°及多边形外角和始终为360°可列出方程求解问题．【详解】解：由题意得：（n-2）×180°=360°×2，解得：n=6；故答案为6．【点睛】本题主要考查多边形内角和及外角和，熟练掌握多边形的内角和公式及外角和是解题的关键．2、9【分析】设正多边形的外角为x 度，则可用代数式表示出内角，再由内角与外角互补的关系得到方程，解方程即可求得每一个外角，再根据多边形的外角和为360度即可求得正多边形的边数．【详解】设正多边形的外角为x 度，则内角为(5x −60)度由题意得：560180x x +-=解得：40x =则正多边形的边数为：360÷40=9即这个正多边形的边数为9故答案为：9【点睛】本题考查了正多边形的内角与外角，关键是运用方程求得正多边形的外角．3、12【分析】据D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，可以判断DF 、FE 、DE 为三角形中位线，利用中位线定理求出DF 、FE 、DE 与AB 、BC 、CA 的长度关系即可解答．【详解】解：∵如图所示，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，∴ED 、FE 、DF 为△ABC 中位线，∴DF 12=BC ，FE 12=AB ，DE 12=AC ， ∴△DEF 的周长=DF +FE +DE 12=BC 12+AB 12+AC 12=（AB +BC +CA ）12=⨯24＝12．故答案为：12．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，根据中点判断出中位线，再利用中位线定理是解题的基本思路． 4、6【分析】正方形的面积：边长的平方或两条对角线之积的一半，根据公式直接计算即可.【详解】解：正方形ABCD 的一条对角线长为 123236,2S故答案为：6.【点睛】本题考查的是正方形的性质，掌握“正方形的面积等于两条对角线之积的一半”是解题的关键.5【分析】如图所示，在FEG 中，FG 边的高为AB =2，∠FEG =30°，为定角定高的三角形，故当E 与B 点或C点重合，G 与D 点重合或F 与A 点重合时，FG 的长度最大，则由矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝知，∠ABD =60°，故∠ABF =60°-30°=30°，则AF =tan 60AB =︒，则FG=AD-AF== 【详解】如图所示，在FEG 中，FG 边的高为AB =2，∠FEG =30°，FEG 为定角定高的三角形故当E 与B 点或C 点重合，G 与D 点重合或F 与A 点重合时，FG 的长度最大∵矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝∴∠ABD =60°∴∠ABF =60°-30°=30°∴AF =tan 60AB =︒∴FG=AD-AF==【点睛】本题考查了四边形中动点问题，图解法数学思想依据是数形结合思想．它的应用能使复杂问题简单化、抽象问题具体化．特殊四边形的几何问题，很多困难源于问题中的可动点．如何合理运用各动点之间的关系，同学们往往缺乏思路，常常导致思维混乱．实际上求解特殊四边形的动点问题，关键是是利用图解法抓住它运动中的某一瞬间，寻找合理的代数关系式，确定运动变化过程中的数量关系，图形位置关系，分类画出符合题设条件的图形进行讨论，就能找到解决的途径，有效避免思维混乱．三、解答题1、（1）见详解；（2）正方形ABCD 的边长为6．【分析】（1）由旋转的性质可证明△ADN ≌△ABE ，进一步证明点E ，点B ，点C 三点共线，再根据SAS 证明三角形全等即可；（2）设CD =BC =x ，则CM =x -3，CN =x -2，在Rt △MCN 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】解：（1）证明：由旋转的性质得，△ADN ≌△ABE ，∴∠DAN =∠BAE ，AE =AN ，∠D =∠ABE =90°，∴∠ABC +∠ABE =180°，∴点E ，点B ，点C 三点共线，∵∠DAB =90°，∠MAN =45°，∴∠DAN +∠BAM =90°-∠MAN =90°-45°=45°，∴∠EAM =∠BAE +∠BAM =∠DAN +∠BAM =45°，在△AEM 和△ANM 中，AE AN EAM NAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEM ≌△ANM （SAS ）．（2）解：设CD =BC =x ，则CM =x -3，CN =x -2，∵△AEM ≌△ANM ，∴EM =MN ，∵BE =DN ，∴MN =BM +DN =5，∵∠C =90°，∴MN 2=CM 2+CN 2，∴25=（x -2）2+（x -3）2，整理得2560x x --=解得，x =6或-1（舍去），∴正方形ABCD 的边长为6．【点睛】本题考查旋转变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程解法等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．2、证明见解析【分析】先证明,,AB CD AB CD ∥再证明,AE CF =可得四边形AECF 是平行四边形，于是可得结论.【详解】解： □ABCD ，,,AB CD AB CD ∥BE ＝DF ，,AE CF ∴=∴AE =CF ，AE //CF∴ 四边形AECF 是平行四边形，∴=AF CE.【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”是解本题的关键.3、（1）见解析（2）AF=CD+DE，见解析；（3）CG=BD，见解析【分析】（1）根据题意不全图形即可；（2）根据“AAS”证明△AOF≌△COE即可；（3）连接CF，AE，先证明先证明AD=AE，再四边形AECF是平行四边形，然后证明，△ACD≌△FDC，可得∠CDG=∠DCG，然后可证结论成立．（1）解：如图所示，（2）AF=CD+DE，理由：∵AF//BC，∴∠CAF=∠ACE，∵O 为AC 中点，∴AO =CO ．在△AOF 和△COE 中CAF ACE AOF COE AO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AOF ≌△COE ，∴AF =CE ．∵CE =CD +DE ，∴AF =CD +DE ；（3）CG =BD ，理由：连接CF ，AE ，∵90ABC ∠=︒，DB =BE ， ∴AB 垂直平分DE ，∴AD =AE ．∵AF //CE ，AF =CE ，∴四边形AECF 是平行四边形， ∴CF =AE ，∴CF =AD ，作FH ⊥BC ，交BC 的延长线于点H ， ∵AF //CE ，∴FH =AB ．在△FHC 和△ABD 中FH AB CF AD=⎧⎨=⎩， ∴△FHC ≌△ABD ，∴∠FCH =∠ADB ，∴∠FCD =∠ADC ．在△ACD 和△FDC 中AD FC ADC FCD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACD ≌△FDC ，∴∠FDC =∠ACD =45°，∴∠CGD =90°，CG =DG ．∵90ABC ∠=︒，AD 平分CAB ∠，∴DG =DB ，∴CG =DB ．【点睛】本题考查了复杂作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定与性质，以及平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．4、（1）点D （4,14）；（2）存在第一象限的点D 使△APD 是等腰直角三角形，点D 的坐标202233，⎛⎫ ⎪⎝⎭或283833⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【分析】（1）过点D 作DE ⊥y 轴于E ，PF ⊥y 轴于F ，设D 点横坐标为n ，点D 在第一象限且是直线y ＝2x ＋6上的一点，可得点D （n ,2n +6）,根据△APD 是等腰直角三角形，可得∠EDA =∠FAP ，可证△EDA ≌△FAP （AAS ），可得AE =PF ，ED =FA ，再证四边形AFPB 为矩形，得出点D （n ，14），根据点D 在直线y ＝2x ＋6上，求出n =4即可；（2）直线y ＝2x ＋b 过点（3，0），求出b =-6，设点D （x , 2x -6），分三种情况当∠ADP =90°，AD =DP ，△ADP 为等腰直角三角形，证明△EDA ≌△FPD （AAS ），再证四边形OCFE 为矩形，EF =OC =8，得出DE +DF =x+2x-14=8；当∠APD =90°，AP =DP ，△ADP 为等腰直角三角形，先证△ABP ≌△PFD（AAS ），得出CF =CB +PF -PB =6+8-（x -8）=22-x =2x -6；当∠PAD =90°，AP =AD ，△ADP 为等腰直角三角形，先证四边形AFPB 为矩形，得出PF =AB =8，再证△APF ≌△DAE （AAS ），得出2614x -=求解方程即可【详解】解：（1）过点D 作DE ⊥y 轴于E ，PF ⊥y 轴于F ，设D 点横坐标为n ，点D 在第一象限且是直线y ＝2x ＋6上的一点，∴x =n ，y ＝2n ＋6，∴点D （n ,2n +6）,∵△APD 是等腰直角三角形，∴DA =AP ，∠DAP =90°，∴∠DAE +∠FAP =180°-∠DAP =90°，∵DE ⊥y 轴，PF ⊥y 轴，∴∠DEA =∠AFP =90°，∴∠EDA +∠DAE =90°，∴∠EDA =∠FAP ，在△EDA 和△FAP 中，DEA AFP EDA FAP DA AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EDA ≌△FAP （AAS ），∴AE =PF ，ED =FA ，∵四边形OABC 为矩形，B 的坐标为（8，6），∴AB =OC =8，OA =BC =6，∠FAB =∠ABP =90°，∵∠AFP =90°，∴四边形AFPB 为矩形，∴PF =AB =8，∴EA =FP =8，∴OE =OA +AE =6+8=14，∴点D （n ，14），∵点D 在直线y ＝2x ＋6上，∴14＝2n ＋6,，∴n =4，∴点D （4,14）；（2）直线y ＝2x ＋b 过点（3，0），∴0＝6＋b ，∴b =-6，∴直线y ＝2x -6，设点D （x , 2x -6），过点D 作EF ⊥y 轴，交y 轴于E ，交CB 延长线于F ，要使△ADP 为等腰直角三角形，当∠ADP =90°，AD =DP ，△ADP 为等腰直角三角形，∴∠ADE +∠FDP =180°-∠ADP =90°，∵DE ⊥y 轴，PF ⊥y 轴，∴∠DEA =∠AFP =90°，∴∠EDA +∠DAE =90°，∴∠EAD =∠FDP ，在△EDA 和△FPD 中，DEA PDF EAD FDP DA PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EDA≌△FPD（AAS），∴AE=DF=2x-6-8=2x-14，ED=FP=x，∵四边形OABC为矩形，AB=OC=8，OA=BC=6，∴∠OCF=90°，∴四边形OCFE为矩形，EF=OC=8，∴DE+DF=x+2x-14=8，解得x=223，∴2226 262633x-=⨯-=，∴点D222633⎛⎫⎪⎝⎭，；当∠APD=90°，AP=DP，△ADP为等腰直角三角形，∴∠APB+∠DPF=90°，过D作DF⊥射线CB于F，∴∠DFP=90°，∵四边形OABC 为矩形，∴AB =OC =8，OA =CB =6，∠ABP =90°，∴∠BAP +∠APB =90°，∴∠BAP =∠FPD ，在△ABP 和△PFD 中，ABP PFD BAP FPD AP PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABP ≌△PFD （AAS ），∴BP =FD =x -8,AB =PF =8，∴CF =CB +PF -PB =6+8-（x -8）=22-x =2x -6，解得x =283， ∴2838262633x -=⨯-=， ∴点D 283833⎛⎫ ⎪⎝⎭，；当∠PAD =90°，AP =AD ，△ADP 为等腰直角三角形，∴∠EAD +∠PAF =90°，过D 作DE ⊥y 轴于E ，过P 作PF ⊥y 轴于F ，∴∠DEA =∠PFA =90°，∴∠FAP +∠FPA =90°，∴∠FPA =∠EAD ，∵四边形OABC 为矩形，∴AB =OC =8，OA =CB =6，∠ABP =∠BAO =90°，∵∠PFA =90°，∴四边形AFPB 为矩形，∴PF =AB =8，在△APF 和△DAE 中，APF DAE AFP DEA AP DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APF≌△DAE（AAS），∴FP=AE=8，AF=DE=6-m，∴OE=OA+AE=6+8=14，∴2614x-=，解得：10x=，∵PC＝m≥0，∴AF=6-m≤6＜10，∴此种情况不成立；综合存在第一象限的点D使△APD是等腰直角三角形，点D的坐标222633⎛⎫⎪⎝⎭，或283833⎛⎫⎪⎝⎭，．【点睛】本题考查等腰直角三角形先证，三角形全等判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，分类讨论思想，一次函数图像上点的特征，矩形的判定与性质，掌握等腰直角三角形先证，三角形全等判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，分类讨论思想，一次函数图像上点的特征，矩形的判定与性质是解题关键．5、（1）t＝2s；（2）AB=（3）24（1）若是平行四边形，所以BD =12cm ，则BO =DO =6cm ，故有6-t=2t ，即可求得t 值；（2）若是菱形，则AC 垂直于BD ，即有222AO BO AB +=，故AB 可求；（3）根据四边形AECF 是菱形，求得BO AC OE OF ⊥=，，根据平行四边形的性质得到BO =OD ，求得BE =DF ，列方程到底BE =DF =2，求得EF =8，于是得到结论．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AO ＝OC ，EO ＝OF ，∵BO ＝OD ＝6cm ，∴62EO t OF t -＝，＝，∴62t t -＝，∴2t s ＝，∴当t 为2秒时，四边形AECF 是平行四边形；（2）若四边形AECF 是菱形，则AC BD ⊥，222AO BO AB ∴＋＝，B A ==∴当AB 为AECF 是菱形；（3）由（1）（2）可知当t ＝2s ，AB =AECF 是菱形，∴EO ＝6−t =4，∴EF =8，∴菱形AECF 的面积＝11682422AC EF ⋅=⨯⨯=．本题考查了平行四边形的判定和性质和菱形的判定和性质，勾股定理，菱形的面积的计算．。

初二数学《平行四边形中的动点问题》(附练习及答案)

四边形中的动点问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或直线上运动的一类开放性题目。

解决这类问题关键是动中求静,灵活运用有关数学知识。

数学思想：分类思想、函数思想、方程思想、数形结合思想、转化思想，其注重对几何图形运动变化能力的考查。

这类类问题从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力。

解决这类问题首先要在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要画出图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程；其次在变化中找到不变量的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

动点问题题型方法归纳：动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就四边形中的动点问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

1、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB ＝60°，则矩形ABCD的面积是_____________2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH 的面积为________（第1题）（第2题）（第3题）3、如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为____________4、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(0 < t ≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.(1)求证：AE＝DF；(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s 的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）；（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）求当t为何值时，四边形ACFE是菱形；（3）是否存在某一时刻t，使以A、F、C、E为顶点的四边形内角出现直角？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．6、在菱形ABCD中，∠B=60°，点E在射线BC上运动，∠EAF=60°，点F在射线CD上（1）当点E在线段BC上时（如图1），（1）求证：EC+CF=AB；（2）当点E在BC的延长线上时（如图2），线段EC、CF、AB有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明7、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为______时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为______时，四边形AMDN是菱形．8、如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．9、如图，已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．（1）BD的长是______；（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB的长是______（第9题）（第10题）10、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为______．11、如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD 的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求AP的长；若不可能，请说明理由．12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F 是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm／s。

沪教版八年级四边形综合题型

四边形综合题型1. 如图，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，，求y 与x 的函数关系式；（3）在（2）中：①当动点P 、Q 运动到何处时，以点P 、M 和点A 、B 、C 、D 中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；②当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．ADCBP MQ60°2. 已知：如图， AF 平分∠BAC ，BC ⊥AF ，垂足为E ，点D 与点A 关于点E 对称，PB 分别与线段CF ， AF 相交于P ，M ．（1）求证：AB =CD ；（2）若∠BAC =2∠MPC ，请你判断∠F 与∠MCD 的数量关系，并说明理由．FM PE D CB A3. 如图，将矩形纸片ABCD 沿其对角线AC 折叠，使点B 落到点B '的位置，AB '与CD 交于点E ．（1）试找出一个与AED △全等的三角形，并加以证明；（2）若83AB DE P ==，，为线段AC 上任意一点，PG AE ⊥于G ，PH EC ⊥于H ．试求PG PH +的值，并说明理由．A BCDPGHE B ′4. 如图1，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE EF ⊥，2BE =. （1）求EC ∶CF 的值；（2）延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点（如图2），试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由；（3）在图2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．1ADCBE 2BCEDAF PF5. 如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为；②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为；（2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．OE CBDAlOC BA（备用图）6. 将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB =∠DEB =90°，∠A =∠D =30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F ．（1）求证： AF +EF =DE ；（2）若将图①中的DBE △绕点B 按顺时针方向旋转角α，且060α<<°°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在⑴中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图①中的DBE △绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60180β<<°°，其它条件不变，如图③．你认为⑴中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由．7、已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）求证：EG =CG ；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）FBADCEG第23题图① FBADCEG第23题图②FACE第23题图③8、已知边长为1的正方形ABCD 中， P 是对角线AC 上的一个动点（与点A 、C 不重合），过点P 作 PE ⊥PB ，PE 交射线DC 于点E ，过点E 作EF ⊥AC ，垂足为点F . （1）当点E 落在线段CD 上时（如图10）， ① 求证：PB=PE ；② 在点P 的运动过程中，PF 的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；（2）当点E 落在线段DC 的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；（3）在点P 的运动过程中，⊿PEC 能否为等腰三角形？如果能，试求出AP 的长，如果不能，试说明理由．D CBAEP 。

沪科版八年级数学下册专题：特殊四边形动点问题课件

中点，点F为EC上一个动点，点P为DF的中点，连接PB.
D. 3 2
11
引导探究
9.在平面直角坐标系中，O为原点，点A(6，0)，点B在y 轴的正半轴上，∠ABO=30°,矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上,OD=2.将矩形CODE沿x轴向右平移,当矩形CODE与△ABO重叠部分的面积为 6 3 时,矩形CODE向
右平移的距离为 2 .
ON上，矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，则线段OC长的最
大值是（ B ）
A．10
B．8 C．6
D．5
15
引导探究
类型四：动点求最值---中位线
13.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接 GH．若∠B=45°，BC=2 3 ，则GH的最小值为_______．
D
C
F
O
E A
B
5
引导探究
3.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A 出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t>0）．过点D作DF⊥BC交AC于点F，连接DE、EF．（1）求证AE=DF；（2）四边形AEDF能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
EC+GC的最小值为
.
20
引导探究
类型四：动点求最值---垂线段最短
18.如图,在矩形ABCD中,BC=10,∠ABD=30°,若M,N分别是线段BD,AB上的两个动点,则AM+MN的最小值

初二数学动点问题练习(含答案)

动态问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想1、如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。

当t= 时，四边形是平行四边形；6当t= 时，四边形是等腰梯形. 82、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为 53、如图，在Rt ABC△中，9060ACB B∠=∠=°，°，2BC=．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE AB∥交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．（1）①当α=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为；②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为；（2）当90α=°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．解：（1）①30，1；②60，1.5；（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.∴AB=4,AC=23. ∴AO=12AC=3.在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵四边形EDBC是平行四边形，∴四边形EDBC是菱形4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.OE CDAαlOCA（备用图）CBAED图1NMA BCDEMACBEDNM图3(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD ＋BE ； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE ；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明. 解：（1）① ∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90° ∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC ≌△CEB② ∵△ADC ≌△CEB ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE (2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC ∴△ACD ≌△CBE ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE(3) 当MN 旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE ，BE=AD+DE 等) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE ，又∵AC=BC ， ∴△ACD ≌△CBE ， ∴AD=CE ，CD=BE ， ∴DE=CD-CE=BE-AD.5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．解：（1）正确．证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ． BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°． CF 是外角平分线，45DCF ∴∠=°，135ECF ∴∠=°． AME ECF ∴∠=∠． 90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°， ∴BAE CEF ∠=∠． AME BCF ∴△≌△（ASA ）． AE EF ∴=．（2）正确．证明：在BA 的延长线上取一点N ．使AN CE =，连接NE ．BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°．四边形ABCD 是正方形， AD BE ∴∥． DAE BEA ∴∠=∠． NAE CEF ∴∠=∠．ANE ECF ∴△≌△（ASA ）． AE EF ∴=．6、如图, 射线MB 上,MB=9,A 是射线MB 外一点,AB=5且A 到射线MB 的距离为3,动点P 从M 沿射线MB 方向以1个单位/秒的速度移动，设P 的运动时间为t. 求（1）△ PAB 为等腰三角形的t 值；（2）△ PAB 为直角三角形的t 值；（3）若AB=5且∠ABM=45 °，其他条件不变，直接写出△ PAB 为直角三角形的t 值AD FC G E B 图1 AD FG B 图3A D FC GE B 图2A D F C GB M A D FC G B N7、如图1，在等腰梯形ABCD中，AD BC∥，E是AB的中点，过点E作EF BC∥交CD于点F．46AB BC==，，60B=︒∠.求：（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM EF⊥交BC于点M，过M作MN AB∥交折线ADC 于点N，连结PN，设EP x=.①当点N在线段AD上时（如图2），PMN△的形状是否发生改变？若不变，求出PMN△的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使PMN△为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由解（1）如图1，过点E作EG BC⊥于点G．∵E为AB的中点，∴122BE AB==．在Rt EBG△中，60B=︒∠，∴30BEG=︒∠．∴22112132BG BE EG===-=，．A DEBFC图4（备用）A DEBFC图5（备用）A DEBFC图1 图2A DEBFCPNM图3A DEBFCPNM（第25题）即点E 到BC（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变． ∵PM EF EG EF ⊥⊥，， ∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥， ∴EP GM =，PM EG == 同理4MN AB ==．如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥，∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴12PH PM == ∴3cos302MH PM =︒=．则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=．②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形．当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =．∴23MN MR ==． ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=．当MP MN =时，如图4，这时MC MN MP ===此时，615x EP GM ===-= 当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠．则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =︒=．此时，6114x EP GM ===--=．综上所述，当2x =或4或(5-时，PMN △为等腰三角形．8、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．(1）如果点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动图3A D E BFCPN M 图4A D EBF CP MN 图5A DEBF （P ） CM NGGRG图1A D EBF CG 图2A D EBFCPNMG H①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =．又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ②∵P Qv v ≠， ∴BP CQ ≠，又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，，∴点P ，点Q 运动的时间433BP t ==秒， ∴515443Q CQ v t===厘米/秒。

上海市春沪教版数学八年级下册《四边形》练习题(有答案)

四边形证明题及综合题1已知：如图，在正方形 ABCDK 点E 、F 分别在边 BC 和CD 上，/ BAE =/ DAF (1) 求证：BE = DF ;(2) 联结AC 交EF 于点O 延长0C 至点M 使0M = OA 联结EM FM求证：四边形AEMF1菱形.2、如图8,已知梯形 ABCD 中，AD // BC ,1边 BC 上，且 BF (AD BC).(1) 求证：四边形 AEFG 是平行四边形； (2) 联结AF ,若AG 平分 FAD , 求证：四边形AEFG 是矩形.E 、G 分别是AB 、CD 的中点，点F 在A3、如图，在等腰梯形 ABCD 中，/ C =60° , AD// BC 且AD=AB=DC E 、F 分别在AD DC 的延长线上，且DE=CF AF BE 交于点P 。

(1) 求证：AF=BE(2) 请猜测/ BPF 的度数，并证明你的结论。

4、如图，在矩形 ABCDK BMLAC DNLAC M N 是垂足.(1) 求证：AN =CM(2) 如果AN =MN 2,求矩形 ABC 啲面积•DAEPC(第3题图)DE 、CB 的延长线相交于点 H ，点M 是CG 的中点.5.如图.在平行四边形 ABCD 中，0为对角线的交点，点 E 为线段BC 延长线上的一点,1 且CE BC .过点E 作EF // CA ，交CD 于点F ,联结OF .2 (1)求证：OF / BC ; (2)如果梯形OBEF 是等腰梯形，判断四边形并给出证明. (图5)6、如图，在正方形 ABCDK 点E 、F 分别是边 AB AD 的中点，DE 与CF 相交于 G DE CB的延长线相交于点 H 点M 是CG 的中点. 求证：(1) BM//GH J (2) BML CF. DC7.已知：如图， AE// BF, AC 平分/ BAD 交BF 于点C, BD 平分/ ABC 交AE 于点D 联结CD 求证：四边形 ABCD1菱形. 第21题图&如图，在正方形ABCD 中，点E 、 F 分别是边AB 、AD 的中点,DE 与CF 相交于G ,求证：(1) BM//GH (2) BM CF9.已知：如图，在梯形 ABCDK AD / BC AB=CQ 点 E 、F 在边 BC 上，BE =CF, EF =AD 求证：四边形AEFD 是矩形.且四边形AEFD 是平行四边形.(1) 试判断线段 AD 与 BC 的长度之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；(2) 现有三个论断：① AD = AB ②/ B +/C =90 °③/ B = 2 / C.请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明四边形AEFD 是菱形.10.如图，在口ABCDK E 、F 分别为边 ABCD 勺中点, 的延长线于点G. (1) 求证：DE// BF ；(2) 若/ 4 90，求证：四边形 DEBF 1菱形.BD 是对角线，过 A 点作AG / DB 交CB 11•已知：如图，在梯形 ABCD 中, AD / BC BC=2AD AC 丄AB 点E 是AC 的中点，DE 的延长线与边BC 相交于点F .求证：四边形AFCD1菱形.12.(本题共2小题，每小题6分，满分12分)已知：如图，在梯形 ABCDK AD /BC 点 E 、F 在边 BC 上, DE // AB A F //「CD（第 9 题）(第11题图)(第12题图)13•已知：如图，矩形纸片ABCD勺边AD=3, Ct=2，点P是边CD上的一个动点（不与点C 重合，把这张矩形纸片折叠，使点B落在点P的位置上，折痕交边AD与点M折痕交边BC 于点N .（1 ）写出图中的全等三角形•设CP=x，AM=y，写出y与x的函数关系式；（2）试判断/ BMP是否可能等于90° .如果可能，请求出此时CP的长；如果不可能，请说明理由•P14、已知边长为1的正方形ABCDh P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点P作PE丄PB , PE交射线DC于点E,过点E作EF丄AC垂足为点F.（1）当点E落在线段CD上时（如图10）,①求证：PB=PE②在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；（2）当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（1 ）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；（3）在点P的运动过程中，"PEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由.C（图1）15、如图，直线y 3x 4 3与x轴相交于点A，与直线y 、3x相交于点P .(1) 求点P的坐标.(2) 请判断△ OPA的形状并说明理由•(3) 动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O P A的路线向点A匀速运动(E不与点O、A重合)，过点E分别作EF x轴于F , EB y轴于B.设运动t秒时，矩形EBOF与厶OPA重叠部分的面积为S.求S与t之间的函数关系式16•已知：如图，梯形ABCD 中，AD // BC , A 90 , C 45 , AB AD 4. E是直线AD上一点，联结BE，过点E作EF BE交直线CD于点F •联结BF .(1)若点E是线段AD上一点(与点A、D不重合)，(如图1所示)①求证：BE EF .②设DE x, △ BEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域.(2)直线AD上是否存在一点E，使△ BEF是厶ABE面积的3倍，若存在，直接写出DE 的长，若不存在，请说明理由.17•已知：0为正方形 ABCD 寸角线的交点，点 E 在边CB 的延长线上，联结 EQ 0吐0E 交 BA 延长线于点F ,联结EF （如图4）。

沪教版(五四制)八年级数学下册第二十二章四边形中的动点问题讲义(无答案)

图形中的点、线的运动，构成了数学中的一个新问题——动态几何。

它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。

动态几何题已成为中考试题的一大热点题型，在近几年各地的中考试卷中，以动点问题、平面图形的平移、翻折、旋转、剪拼问题等为代表的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，考查同学们对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力。

这类题综合性强，能力要求高，在解这类题时，要充分发挥空间想象的能力，往往不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。

关键:动中求静.数学思想：分类思想、数形结合思想、转化思想。

寒假着重讲几何中的简单动点，本讲内容为三角形中的动点，下讲内容为四边形中的动点。

特殊四边形的存在问题【例题1】如图1，梯形ABCD 中，AD ∥ BC ，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P 从A 开始沿AD 边以1cm/秒的速度移动，点Q 从C 开始沿CB 向点B 以2 cm/秒的速度移动，如果P ，Q 分别从A ，C 同时出发，设移动时间为t 秒。

当t= 时，四边形PQCD 是平行四边形；当t=时，四边形PQCD 是等腰梯形.【例题2】如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒, 60B ∠=︒，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作//CE AB 交第十二讲四边形中的动点直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形E D B C 是等腰梯形，此时AD 的长为；②当α= 度时，四边形E D B C 是直角梯形，此时AD 的长为；（2）当90α=︒时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．【例题3】如图，在梯形ABCD 中，//,AD BC E 是BC的中点，5,12,45AD BC CD C ===∠=︒，点P 是BC 边上一点，设PB 的长为x 。

八年级数学下册四边形中动态问题课件 (新版)沪科版

D
C
D E
A
B C
B
典例精讲
解：∵绕顶点A顺时针旋转45°， ∴∠D′CE=45°， ∴CD′=D′E， ∵ED′⊥AC， ∴∠CD′E=90°，
AC 1212 2 CD 21
D
C
D
A
B C
∴正方形重叠部分的面积=△ABB C 的面积-△CD′E的面积=
1111 21 2121
22
课堂小结
初中数学知识点精讲课程
四边形中动态问题
解题步骤归纳
用点运动的时间t表示出线段的长根据旋转的性质求出线段的长
根据特殊四边形求解根据面积公式求出面积
典例精讲
类型一：图形中点的变化问题
如图，在矩形ABCD中，AB=20 cm，动点P从点A 开始沿AB边以4 cm/s的速度运动，动点Q从点C开始 D 沿CD边以1 cm/s的速度运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动点的运动时间为t s，则当t为何值时，四边形 A APQD为矩形？
Q C
P
B
典例精讲
解：由题意得：AP=4t，DQ=20-t； ∵四边形APQD是矩形， ∴AP=DQ，即4t=20-t，解得：t=4（s）．即当t=4s时，四边形APQD是矩形。
D
Q
C
A
P
B
典例精讲
类型二：图形平移旋转变化问题
如图,边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，求这两个正方形重叠部分的面积。

沪教版八年级数学下册四边形的动点问题-学生讲义

四边形的动点问题1、如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点.连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=12AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE=1nAD (2n)，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明．2、正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE＝1 2∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图①）．求证：△BOG≌△POE；（2）通过观察、测量、猜想：BFPE= ▲ ，并结合图②证明你的猜想；3．如同，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F。

（1）EF+0.5AC =AB；（2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与点A1运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动。

如图，AF1平分∠B A1 C1，交BD于F1，过F1作F1E1⊥A1 C1，垂足为E1，试猜想F1E1，0.5 A1 C1与AB之间的数量关系，并证明你的猜想。

（3）在（2）的条件下，当A1 C1=3，C1 E1=2时，求BD的长。

4.如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论.5、已知等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EF∥AB，分别交AC，BC于E，F点，作PM∥AC，交AB于M点，连接ME．（1）求证：四边形AEPM为菱形；（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？6、如图所示，四边形ABCD是直角梯形，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，点P从A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向B运动，其中一个动点到达端点时，另一动点也随之停止运动，从运动开始，经过多少时间，四边形PQCD成为等腰梯形？。

2022年最新沪教版(上海)八年级数学第二学期第二十二章四边形定向练习练习题(无超纲)

八年级数学第二学期第二十二章四边形定向练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，6BC =，BDC ∆面积为21，AB 的垂直平分线MN 分别交,AB AC 于点,M N ，若点P 和点Q 分别是线段MN 和BC 边上的动点，则PB PQ +的最小值为（）A ．5B ．6C ．7D ．82、平行四边形ABCD 中，60A ∠=︒，则C ∠的度数是（）A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒3、如图，矩形OABC 的边OA 长为2，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A ．2.5B ．CD 4、如图，在ABC 中，90C ∠=︒，点E ，F 分别是AC ，BC 上的点，16AE =，12BF =，点P ，Q ，D 分别是AF ，BE ，AB 的中点，则PQ 的长为（）．A ．4B ．10C ．6D ．85、如图，在△ABC 中，AC =BC =8，∠BCA =60°，直线AD ⊥BC 于点D ，E 是AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 按逆时针方向旋转60°得到FC ，连接DF ，则在点E 的运动过程中，DF 的最小值是（）A ．1B ．1.5C ．2D ．46、如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝8，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，则BE 的长为（）A．125B．245C．6 D．4857、如图，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转36°，再沿直线前进10米，再向左转36°……照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走的路程是（）A．180米B．110米C．120米D．100米8、一个多边形的每个内角都等于144°，则这个多边形有（）条对角线A．7 B．10 C．35 D．709、下列说法正确的有（）①有一组邻边相等的矩形是正方形②对角线互相垂直的矩形是正方形②有一个角是直角的菱形是正方形④对角线相等的菱形是正方形A．1个B．2个C．3个D．4个10、如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为顶点的正方形OBCD，其中点D（2，0），点B在y 轴上，点C在第一象限，以BC为边在正方形OBCD外作等边△ABC，若将△ABC与正方形OBCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2020次旋转结束时，点A的坐标为（）A．（1，B．（1）C．（﹣1，﹣2D．（﹣21）第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、过多边形的一个顶点作对角线，可将多边形分成5个三角形，则多边形的边数是______．2、一个矩形的两条对角线所夹的锐角是60°，这个角所对的边长为10cm，则该矩形的面积为_______．3、菱形的对角线之比为3：4，且面积为24，则它的对角线分别为________．4、在平行四边形ABCD中，若∠A=130°，则∠B=______，∠C=______，∠D=______．5、已知一个多边形内角和1800度，则这个多边形的边数_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知一个多边形的内角和是外角和的2倍，求这个多边形的边数．2、如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连结AG、DE．（1）猜想AG与DE的数量关系，请直接写出结论；（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到图2，请判断：（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）在正方形OEFG旋转过程中，请直接写出：①当α＝30°时，∠OAG的度数；②当△AEG的面积最小时，旋转角α的度数．3、问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图（1），在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM＝CN；②如图（2），在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图（3），在正五边形ABCDE 中，M 、N 分别是CD 、DE 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠BON ＝108°，则BM ＝CN ．任务要求：（1）请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；（2）请你继续完成下面的探索；①在正n （n ≥3）边形ABCDEF …中，M 、N 分别是CD 、DE 上的点，BM 与CN 相交于点O ，试问当∠BON 等于多少度时，结论BM ＝CN 成立（不要求证明）；②如图（4），在正五边形ABCDE 中，M 、N 分别是DE 、AE 上的点，BM 与CN 相交于点O ，∠BON ＝108°时，试问结论BM ＝CN 是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．4、如图，在正方形ABCD 中，E 是AD 上一点（E 与A 、D 不重合）．连接CE ，将CED 绕点D 顺时针旋转90°，得到AFD ．（1）求证：CE AF ⊥；（2）连接EF ，若30ECD ∠=︒，求AFE ∠的度数．5、如图，将菱形ABCD 的对角线AC 向两个方向延长，分别至点E 和点F ，且使AE ＝CF ．（1）求证：四边形EBFD 是菱形；（2）若菱形EBFD 的对角线BD ＝10，EF ＝24，求菱形EBFD 的面积．-参考答案-一、单选题1、C【分析】连接AQ ，过点D 作DH BC ⊥，根据垂直平分线的性质得到PA PB =，再根据PB PQ AP PQ AQ +=+≥计算即可；【详解】连接AQ ，过点D 作DH BC ⊥，∵6BC =，BDC ∆面积为21， ∴1212BC DH =， ∴7DH =，∵MN 垂直平分AB ，∴PA PB =，∴PB PQ AP PQ AQ +=+≥，∴当AQ 的值最小时，PB PQ +的值最小，根据垂线段最短可知，当AQ BC ⊥时，AQ 的值最小，∵AD BC ∥，∴7AQ DH ==，∴PB PQ +的值最小值为7；故选C ．【点睛】本题主要考查了四边形综合，垂直平分线的性质，准确分析计算是解题的关键．2、B【分析】根据平行四边形对角相等，即可求出C ∠的度数．【详解】解：如图所示，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴A C ∠=∠，∴60A ∠=︒，∴60C ∠=°．故：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质．3、D【分析】利用矩形的性质，求证明90OAB ∠=︒，进而在Rt AOB ∆中利用勾股定理求出OB 的长度，弧长就是OB 的长度，利用数轴上的点表示，求出弧与数轴交点表示的实数即可．【详解】解：四边形OABC 是矩形，∴90OAB ∠=︒，在Rt AOB ∆中，由勾股定理可知：222OB OA AB =+，OB ∴==∴故选：D ．【点睛】本题主要是考查了矩形的性质、勾股定理解三角形以及数轴上的点的表示，熟练利用矩形性质，得到直角三角形，然后通过勾股定理求边长，是解决该类问题的关键．4、B【分析】根据三角形中位线定理得到PD =12BF =6，PD ∥BC ，根据平行线的性质得到∠PDA =∠CBA ，同理得到∠PDQ =90°，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：∵∠C =90°，∴∠CAB +∠CBA =90°，∵点P ，D 分别是AF ，AB 的中点，∴PD =12BF =6，PD //BC ，∴∠PDA =∠CBA ，AE=8，∠QDB=∠CAB，同理，QD=12∴∠PDA+∠QDB=90°，即∠PDQ=90°，∴PQ，故选：B．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．5、C【分析】取线段AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出CD=CG以及∠FCD=∠ECG，由旋转的性质可得出EC=FC，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS证出△FCD≌△ECG，进而即可得出DF=GE，再根据点G为AC的中点，即可得出EG的最小值，此题得解．【详解】解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．∵AC=BC=8，∠BCA=60°，∴△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，AB=4，∠ACD=60°，∴CD=CG=12∵∠ECF =60°，∴∠FCD =∠ECG ，在△FCD 和△ECG 中，FC EC FCD ECG DC GC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△FCD ≌△ECG （SAS ），∴DF =GE ．当EG ∥BC 时，EG 最小，∵点G 为AC 的中点，∴此时EG =DF =12CD =14BC =2．故选：C ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出DF =GE ，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边是关键．6、B【分析】根据菱形的性质求得BD 的长，进而根据菱形的面积等于12AC BD CD BE ⋅=⋅，即可求得BE 的长【详解】解：如图，设,AC BD 的交点为O ，四边形ABCD 是菱形AC BD ∴⊥，142AO CO AC ===，DO BO =，5CD AB == 在Rt AOB 中，5AB =，4AO =3BO ∴26BD BO ∴== 菱形的面积等于12AC BD CD BE ⋅=⋅1168242255AC BD BE CD ⋅⨯∴==⨯= 故选B【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质，求得BD 的长是解题的关键．7、D【分析】根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以36°求出边数，然后再乘以10m 即可．【详解】解：∵每次小明都是沿直线前进10米后向左转36°，∴他走过的图形是正多边形，边数n =360°÷36°=10，∴他第一次回到出发点A时，一共走了10×10=100米．故选：D．【点睛】本题考查了多边形的边数的求法，根据题意判断出小亮走过的图形是正多边形是解题的关键．8、C【分析】先判断出多边形是十边形，再根据对角线公式计算即可．【详解】∵多边形的每个内角都等于144︒，∴每个外角是36︒，∴3603610︒÷︒=，即此多边形是十边形，∴十边形的对角线共有(3)10(103)3522n n-⨯-==（条）．故选：C．【点睛】本题主要考查了多边形的外角定理和对角线的求解，准确运用公式计算是解题的关键．9、D【分析】根据正方形的判定定理依次分析判断．【详解】解：①有一组邻边相等的矩形是正方形，故该项正确；②对角线互相垂直的矩形是正方形，故该项正确；②有一个角是直角的菱形是正方形，故该项正确；④对角线相等的菱形是正方形，故该项正确；故选：D ．【点睛】此题考查了正方形的判定定理，正确掌握正方形与矩形菱形的特殊关系及对应添加的条件证得正方形是解题的关键．10、A【分析】过点A 作AE x ⊥轴交于点E ，交BC 于点F ，根据正方形和等边三角形的性质求出点A 坐标，将ABC 与正方形OBCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转，每次旋转90︒，得出旋转4次为一个循环，20204505÷=，即可得出刚好循环了505次，从而得出第2020次旋转结束时，点A 的坐标．【详解】如图，过点A 作AE x ⊥轴交于点E ，交BC 于点F ，(2,0)D ，四边形OBCD 是正方形，2EF OB OD BC ∴====，BC OD ∥，(0,2)B ∴， ABC 等边三角形，AF BC ⊥，1BF ∴=，2AB BC ==，AF∴=AE2∴+，A(1,2将ABC与正方形OBCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90︒，∴旋转4次为一个循环，÷=，20204505∴刚好循环了505次，∴第2020次旋转结束时，点A的坐标为．故选：A．【点睛】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质，旋转的性质以及勾股定理，由题意找出规律是解题的关键．二、填空题1、7【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可组成（n﹣2）个三角形，依此可得n的值．【详解】解：设多边形的边数为n，由题意得，n﹣2＝5，解得：n＝7，即这个多边形是七边形．故答案为：7．本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n 的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n ．2、2【分析】先根据矩形的性质证明△ABC 是等边三角形，得到10cm AO AB ==，则20cm AC =，然后根据勾股定理求出BC ==，最后根据矩形面积公式求解即可．【详解】：如图所示，在矩形ABCD 中，∠AOB =60°，10cm AB =，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC =90°，1122OB OA AC BD ===， ∴△ABC 是等边三角形，∴10cm AO AB ==，∴20cm AC =，∴BC ==，∴2=ABCD S AB BC ⋅=，故答案为：2．本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握矩形的性质．3、6和8【分析】根据比例设两条对角线分别为3x、4x，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半列式求出x的值即可．【详解】解：设两条对角线分别为3x、4x，根据题意得，1×3x•4x=24，2解得x=2（负值舍去），⨯．∴菱形的两对角线的长分别为32=6⨯，42=8故答案为：6和8．【点睛】本题考查了菱形的面积，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，菱形的面积的求法，需熟记．4、50︒130︒50︒【分析】利用平行四边形的性质：邻角互补，对角相等，即可求得答案．【详解】解：在平行四边形ABCD中，B、D∠是A∠的对角，∠的邻角，C∠是A∴50B D，130∠=∠=︒∠=︒，C故答案为：50︒，130︒，50︒．本题主要是考查了平行四边形的性质：对角相等，邻角互补，熟练掌握平行四边形的性质，求解决本题的关键．5、12【分析】n-⨯︒=︒，然后解方程即可．设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到()21801800【详解】解：设这个多边形的边数是n，n-⨯︒=︒，依题意得()21801800n-=，∴210n=．∴12故答案为：12．【点睛】n-⨯︒解答．考查了多边形的内角和定理，关键是根据n边形的内角和为()2180三、解答题1、这个多边形的边数是6【分析】多边形的外角和是360°，内角和是它的外角和的2倍，则内角和为2×360=720度．n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个多边形的边数是n，即可得到方程，从而求出边数．【详解】解：设这个多边形的边数为n，由题意得：(n－2)×180°＝2×360°，∴这个多边形的边数是6．【点睛】此题主要考查了多边形的外角和，内角和公式，做题的关键是正确把握内角和公式为：（n -2）•180°，外角和为360°．2、（1）AG =DE ；（2）成立，理由见解析；（3）①90°，②135°【分析】（1）证明△AOG ≌△DOE （SAS ），得出AG =DE 即可；（2）先证明∠AOG =∠DOE ，再证明△AOG ≌△DOE （SAS ），得出AG =DE 即可；（3）①过点E 作EM ⊥AC 交AC 的延长线于点M ，证明△AOG ≌△DOE ，则可得出答案；②作AH ⊥GE 于H ，连接OH ，则当O 、A 、H 在同一直线上时OH 最小，然后根据旋转的性质可得出答案．【详解】（1）证明：∵点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，∴OA =OD ，OA ⊥OD ，∴∠AOG =∠DOE =90°，∵四边形OEFG 是正方形，∴OG =OE ，在△AOG 和△DOE 中OA OD AOG DOE OG OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AOG ≌△DOE （SAS ），∴AG =DE ；（2）成立，理由：∵点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，∴OA =OD ，OA ⊥OD ，∴∠AOD =∠DOC =90°，∵∠DOG =∠COE =α，∴∠AOG =∠DOE ，∵四边形OEFG 是正方形，∴OG =OE ，在△AOG 和△DOE 中OA OD AOG DOE OG OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AOG ≌△DOE （SAS ），∴AG =DE ；（3）①过点E 作EM ⊥AC 交AC 的延长线于点M ，则∠EMO =90°，由旋转的性质可知∠MOE =∠DOG =α=30°，∴∠MOE =90°-30°=60°，∵点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，∴OA ⊥OD ，∴∠AOG =90°-30°=60°，∴∠AOG =∠MOE ，在△AOG 和△DOE 中OA OD AOG DOE OG OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AOG ≌△DOE （SAS ），∴∠OAG =∠EMO =90°；②作AH ⊥GE 于H ，连接OH ，∵OG ＝2OD ，OE ＝2OC ，∴OG 、OE 为定值，∴GE∴当AH 最小时，△AEG 的面积最小，∵当O 、A 、H 在同一直线上时OH 最小，OA 为定值，∴此时AH 最小，即△AEG 的面积最小，此时的旋转角α=∠HOG +∠AOD =45°+90°=135°．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质等知识，熟练掌握旋转的性质及证明三角形全等是解决问题的关键．3、（1）选①或②或③，证明见详解；（2）①当2180()-∠︒=n BON n 时，结论BM CN =成立；②当108BON ∠=︒时，BM CN =还成立，证明见详解．【分析】（1）命题①，根据等边三角形的性质及各角之间的等量代换可得：13∠=∠，然后依据全等三角形的判定定理可得：BCM CAN ≌，再由全等三角形的性质即可证明；命题②，根据正方形的性质及各角之间的等量代换可得：13∠=∠，然后依据全等三角形的判定定理可得：BCM CDN ≌，再由全等三角形的性质即可证明；命题③，根据正五边形的性质及各角之间的等量代换可得：13∠=∠，然后依据全等三角形的判定定理可得：BCM CDN ≌，再由全等三角形的性质即可证明；（2）①根据（1）中三个命题的结果，得出相应规律，即可得解；②连接BD 、CE ，根据全等三角形的判定定理和性质可得：BCD CDE ≌， BD CE =，BDC CED ∠=∠，DBC ECD ∠=∠，利用各角之间的关系及等量代换可得：BDM CEN ∠=∠， DBM ECN ∠=∠，继续利用全等三角形的判定定理和性质即可得出证明．【详解】解：（1）如选命题①，证明：如图所示：∵ 60BON ∠=︒，∴ 1260∠+∠=︒，∵ 3260∠+∠=︒，在 BCM ∆与ΔΔΔΔ中，1360BC CA BCM CAN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴ BCM CAN ≌，∴ BM CN =；如选命题②，证明：如图所示：∵ 90BON ∠=︒，∴ 1290∠+∠=︒，∵ 3290∠+∠=︒，∴ 13∠=∠，在 BCM ∆与ΔΔΔΔ中，1390BC CD BCM CDN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴ BCM CDN ≌，如选命题③，证明：如图所示：∵ 108BON ∠=︒，∴ 12108∠+∠=︒，∵ 23108∠+∠=︒，∴ 13∠=∠，在 BCM ∆与ΔΔΔΔ中，13108BC CD BCM CDN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴ BCM CDN ≌，∴ BM CN =；（2）①根据（1）中规律可得：当2180()-∠︒=n BON n 时，结论BM CN =成立；②答：当108BON ∠=︒时，BM CN =成立．证明：如图所示，连接BD 、CE ，在BCD 和CDE 中，108BC CD BCD CDE CD DE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴ BCD CDE ≌，∴ BD CE =，BDC CED ∠=∠，DBC ECD ∠=∠，∵ 108CDE DEN ∠=∠=︒，∴ BDM CEN ∠=∠，∵ 108OBC OCB ∠+∠=︒，108OCB OCD ∠+∠=︒．∴ MBC NCD ∠=∠，又∵ 36DBC ECD ∠=∠=︒，∴ DBM ECN ∠=∠，在BDM 和CEN 中，BDM CEN BD CE DBM ECN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴ BDM CEN ≌，∴ BM CN =．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定定理和性质，正多边形的内角，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，理解题意，结合相应图形证明是解题关键．4、（1）见详解；（2）15°【分析】（1）延长CE ，交AF 于点H ，由题意得,DAF DCE DEC AEH ∠=∠∠=∠，然后问题可求证；（2）由旋转的性质可得60,DEC DFA DE DF ∠=∠=︒=，则有45DFE ∠=︒，然后问题可求解．【详解】（1）证明：延长CE ，交AF 于点H ，如图所示：由旋转的性质得：DAF DCE ∠=∠，∵四边形ABCD 是正方形，∴90ADC ∠=︒，∴90DCE DEC ∠+∠=︒，∵DEC AEH ∠=∠，∴90DAF AEH ∠+∠=︒，即90AHE =︒∠，∴CE AF ⊥；（2）解：∵90ADC EDF ∠=∠=︒，30ECD ∠=︒，∴60DEC ∠=︒，由旋转的性质得：60,DEC DFA DE DF ∠=∠=︒=，∴△DEF 是等腰直角三角形，∴45DFE ∠=︒，∴15AFE AFD DFE ∠=∠-∠=︒．【点睛】本题主要考查旋转的性质及正方形的性质，熟练掌握旋转的性质及正方形的性质是解题的关键．5、（1）见详解；（2）120【分析】（1）根据菱形的性质和菱形的判定解答即可；（2）根据菱形的性质以及面积公式解答即可．【详解】（1）证明：∵菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，∴OA =OC ，OB =OD ，AC ⊥BD ．∵AE =CF ，∴OA +AE =OC +CF ，即OE =OF ．∴四边形AECF 是平行四边形．∵AC ⊥EF ，∴四边形EBFD 是菱形．（2）解：菱形EBFD 的面积=11102412022BD EF =⨯⨯=．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，菱形的面积，正确掌所握菱形的判定和性质是解题的关键．。