第四章 连续时间系统的频域分析

ejt ， H(j)为加权函数。
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4.1 连续时间系统的频响函数H(j)
二、任意非周期信号通过连续系统的零状态响应(1)
e(t)
h(t)
r(t)
若信号e(t)的傅里叶变换E(j)存在，则可由虚指数信号
ejt(-<t<)的线性组合表示，即
e(t) 1 E( j)ejtd 2π -
4.2 利用频响函数H(j)求零状态响应
二、连续周期信号通过系统响应的频域分析（1）
1. 正弦信号通过系统的响应(1)
Signals and Systems
信号与系统
倪育德
中国民航大学
Signals and Systems
第4章 连续时间系统的频域分析
4.1 连续时间系统的频响函数H(j) 4.2 利用频响函数H(j) 求零状态响应
4.3 无失真传输 4.4 理想低通滤波器 4.5 调幅信号作用于带通系统
4.1 连续时间系统的频响函数H(j)
0 dt n
dt 1
n-1
dt n-1
n
d me(t)
d m-1e(t)
de(t)
E
E
E
E e(t)
0 dt m
dt 1
m-1
dt m-1
m
[C0 ( j)n C1( j)n-1 Cn-1( j) Cn ] R( j)
[E0 ( j)m E1( j)m-1 Em-1( j) Em ] E( j)
r(t) r(t)=e(t)h(t)，R(j)= H(j) E(j)
系统把频谱为E(j) 的输入改变成频谱为H(j) E(j) 的响 应，改变的规律完全由H(j) 决定。
✓ H(j)称为系统的频率响应，定义为
H ( j) e-jh( )d F[h(t)] 或 H ( j) R( j)
-
E( j)
RC
H(j)的波形见下，只画出了正频率部分。
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4.1 连续时间系统的频响函来自百度文库H(j)
j
低通滤波器
0
0
1/RC
2/RC
3/RC
4/RC
随着频率的增加，系统的幅频响应|H(j)|不断减小，说明
信号的频率越高，信号通过该系统的损耗也就越大。
由于|H(j(1/RC))|=0.707，所以把c=1/RC称为该系统的3dB截
r(t) F-1[R( j)]
✓ 系统的功能就是对激励信号的各频率分量进行加权:某些
频率分量被增强,而另一些频率分量则相对被削弱或不变。
✓激励信号的每个频率分量在通过系统时都产生各自的相移。
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4.2 利用频响函数H(j)求零状态响应
一、连续非周期信号通过系统响应的频域分析（2） ➢ 优点：求解系统的零状态响应时，可以直观地体现
H ( j)
R( j) E( j)
E0 ( j)m E1( j)m-1 C0 ( j)n C1( j)n-1
Em-1( j) Em Cn-1( j) Cn
系统的频响H(j)仅由系统本身的特性决定
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4.1 连续时间系统的频响函数H(j)
[例] 图示RC电路系统，激励电压源为e(t)，输出电压
-2 -1 1
2
-2 -1 1
2
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4.2 利用频响函数H(j)求零状态响应
一、连续非周期信号通过系统响应的频域分析（1）
e(t)
h(t)
r(t) R(j)= H(j) E(j)
H ( j) | H ( j) | e j()
E( j) | E( j) | e j ()
R( j) E( j) H( j) ej[() ()]
H ( j) | H ( j) | e j()
幅频响应
相频响应
✓ H(j)的物理意义： H(j)反映了系统对输入信号不同频
率分量的传输特性。
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4.1 连续时间系统的频响函数H(j)
三、频响函数H(j)的定义与物理意义(2)
也可以由系统的微分方程引出H(j)的定义
C dnr(t) (t) C dn-1r(t) C dr(t) C r(t)
为电容两端的电压vc(t)，电路的起始状态为零。求
系统的频率响应H(j)和冲激响应h(t)。
解： e(t)与vc(t)之间的微分方程为
R
d dt
vc (t)
1 RC
vc (t)
1 RC
e(t)
+ e (t)
-
H
(
j)
V c
(
j)
1/ RC
E( j) j 1/ RC
+ C vc(t)
-
h(t) F-1[H ( j)] 1 e-(1/ RC)tu(t)
信号通过系统后信号频谱的改变，解释激励与响应时 域波形的差异，物理概念清楚。
➢ 不足：
✓ 只能求解系统的零状态响应，系统的零输入响应 仍按时域方法求解。
✓ 若激励信号不存在傅里叶变换，则无法利用频域 分析法。
✓ 频域分析法中，傅立叶反变换常较复杂。
➢ 解决方法：采用拉普拉斯变换
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2π
2π
T{ 1 2π
-
E( j)ejtd}
1 2π
-
E( j)H ( j)ejtd
即
r(t) T[e(t)] 1 E( j)H ( j) ejtd 2π -
R(j)
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4.1 连续时间系统的频响函数H(j)
三、频响函数H(j)的定义与物理意义(1)
e(t)
h(t)
由系统的线性时不变特性，可推出信号e(t)作用于系 统的零状态响应r(t)。
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4.1 连续时间系统的频响函数H(j)
二、任意非周期信号通过连续系统的零状态响应(2)
T[e jt ] H ( j)e jt
由均匀性 由积分特性
T{ 1 E( j)ejt} 1 E( j)H ( j)ejt
频。
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4.1 连续时间系统的频响函数H(j)
四、系统频响的类型—滤波器
滤波器是指能使信号的一部分频率通过，而使另一部 分频率不通过或很少通过的系统。
|HLP(j)|
➢ 理想低通
|HHP(j)|
➢ 理想高通
-c
c
-c
c
|HBP(j)|
➢ 理想带通
➢ 理想带阻
|HBS(j)|
一、虚指数信号ejt(-<t<)通过连续系统的 零状态响应
e(t)=ejt h(t)
r(t)
r(t) e jt h(t) - e j(t- )h( )d
e jt - e- j h( )d e jt H ( j)
其中 H ( j) e-jh( )d F[h(t)] - 可见，ejt通过线性系统后响应随时间变化服从