离散数学(软件)课程第9章
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∘ 012345 0 000000 1 012012 2 021021 3 000000 4 012012 5 021021
8
3、二元运算的性质
定义 设 ∘和 ∗ 均为集合 S 上的二元运算， (1) x, y S ，有 x ∘ y = y ∘ x, 则称运算∘在 S 上满足交换律.
(2) x, y, z ∈S ，有 (x ∘ y) ∘ z = x ∘ (y ∘ z),
还可验证：b∘(a∗a), b∘(a∗b), b∘(b∗a), b∘(b∗b)
∴ ∘对 ∗运算是可分配的(由于∘运算满足交换律， 因此右分配律也成立)。
由于 b∗(a∘b)=b∗a=b ≠ (b∗a) ∘(b∗b)=b∘a=a
∴ ∗对∘运算是不可分配的。
③ 可以验证， ∘和 ∗运算满足吸收律。
④ 由运算表可知，∘满足幂等律，∗不满足幂等律。
13
（2）零元
定义 P169 左零元 θl ∘ x =θl 右零元 x ∘θr =θr
零元 θl =θr =θ 如例8 要强调零元是针对哪个运算的。
零元的唯一性：定理9.2 —— P170 性质：定理9.3 —— P170 即：当 |S| 2，单位元与零元是不同的； 当 |S| = 1 时，这个元素既是单位元也是零元。
例6 在集合A的幂集P(A)上，二元运算∪，∩满足 交换律、结合律、吸收律、幂等律且彼此满足分配 律。
例7 设S={a, b}，S上 的运算∘和 ∗分别如右 表所示。
∗ ab
a ab b ba
∘ ab
a aa b ab
10
解：① 可验证，运算∘和 ∗是可交换的、可结合的。
② ∵ a∘(a∗a)=a∘a=a ＝ (a∘a) ∗(a∘a)=a∗a=a a∘(a∗b)=a∘b=a ＝ (a∘a) ∗(a∘b)=a∗a=a a∘(b∗a)=a∘b=a ＝ (a∘b) ∗(a∘a)=a∗a=a a∘(b∗b)=a∘a=a ＝ (a∘b) ∗(a∘b)=a∗a=a
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4、二元运算的特异元素
（1）单位元(幺元)
定义 设∘为S上的二元运算，x∈S， ①若elS，都有 el ∘ x = x，称 el —左单位元。 ②若erS，都有 x ∘ er = x，称 er —右单位元。 ③若e∈S，e 关于∘运算既是左单位元又是右单 位元，则称e为S上关于∘运算的单位元(或幺元)。
判断某个运算是否为S上的二元运算： ① S中的任何元素都可参与运算，且结果是唯一的； ② 运算结果都属于S，即运算是封闭的。
4
2、二元运算的表示法
（1）算符：常用 ∘, ∗, ·, , , △, □ 等符号表示 二元或一元运算。
如 f：Z×Z→Z 上的加法，可表示为
x, y∈Z，f(<x, y>) = x+y
2
(5) 设 Mn(R) 表示所有 n 阶 (n≥2) 实矩阵的集 合，即
M
n
(R)
a11 a21 an1
a12 a22 an2
a1n a2n
ann
aij R, i, j 1,2,...,n
来自百度文库
矩阵加法和乘法都是 Mn(R) 上的二元运算。 (6) 幂集 P(S) 上的二元运算：∪,∩,－, 。
则称运算∘在 S 上满足结合律. (3) x∈S，有 x ∘ x = x，则称运算∘满足幂等律.
若x∈S，满足 x ∘ x = x， 则称 x 为运算∘的幂等元。
若S上的二元运算适合幂等律，则S中的所有元素 都是幂等元。
9
(4) 定义9.6 P168 —— 分配律（∘ 对 ∗ ） (5) 定义9.7 P168 —— 吸收律 (6) 定义9.11 P171 —— 消去律
那么 3 ∗ 4 = 3 0.5 ∗ (-3) = 0.5
表示二元或一元运算的方法： 公式、 运算表 以上例题是公式表示（解析表达式）。
注意：在同一问题中不同的运算使用不同的算符。
6
（2）运算表（表示有穷集上的一元和二元运算）
一般形式：——P167 表 9.1和表 9.2
例4 设A = P({a, b}), , ∼分别为对称差和绝对补运
算{a,b}为全集）
的运算表
∼ 的运算表
{a} {b} {a,b}
X ∼X
{a} {b} {a,b} {a} {a} {a.b} {b} {b} {b} {a,b} {a} {a,b} {a,b} {b} {a}
{a,b} {a} {b} {b} {a} {a,b}
7
例5 设S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, 定义S上的二元运算∘ 如下： x, y∈S， x∘y = (xy)mod 3，求运算∘的运 算表。
第九章 代数系统
9.1 二元运算及其性质
二元运算定义及其实例 运算的表示 二元运算的性质 二元运算的特异元素
单位元、零元、逆元
1
1、二元运算
定义 设 S 为集合，函数 f：S×S→S 称为 S 上的二 元运算，简称为二元运算。也称 S 对 f 封闭。
例1 (1) N 上的二元运算：＋、 ×。 (2) Z 上的二元运算：＋、－、 ×。 (3) R* =R－{ 0 }上的二元运算：×、÷。 (4) 设 S = { a1, a2, … , an}，ai ∘aj = ai ， ∘为 S 上二 元运算.
单位元的唯一性：定理9.1 —— P169
12
例8
在R中，加法＋运算 在R中，乘法×运算 对于全集E的子集的并∪运算 对于全集E的子集的交∩运算 在命题集合中，∨运算 在命题集合中，∧运算 在关系集合中，复合 ∘运算
单位元 零元
0
无
1
0
E
E
矛盾式 重言式
重言式 矛盾式
IA
强调：单位元是针对哪个运算的。
也可表示为 x, y∈Z， x∘y = x+y
如 2∘3 = 2+3 = 5 .
又如表达式：
∘(x1, x2, … , xn) = y x1∘x2 = y x △ y = z
x∘y = x+y-2xy
AB=(A-B)∪(B-A)
5
例3 设 R 为实数集合，如下定义R上的二元运算 ∗： x, y∈R, x ∗ y = x.
3
定义 设 S 为集合，函数 f：S→S 称为 S 上的一元 运算，简称为一元运算. 例2 (1) Z, Q 和 R 上的一元运算：求相反数。 (2) Q*、R*上的一元运算：求倒数。 (3) 幂集 P(S) 上, 全集为 S：求绝对补运算~ 。 (4) 在 Mn(R) ( n≥2 )上，求转置矩阵。
8
3、二元运算的性质
定义 设 ∘和 ∗ 均为集合 S 上的二元运算， (1) x, y S ，有 x ∘ y = y ∘ x, 则称运算∘在 S 上满足交换律.
(2) x, y, z ∈S ，有 (x ∘ y) ∘ z = x ∘ (y ∘ z),
还可验证：b∘(a∗a), b∘(a∗b), b∘(b∗a), b∘(b∗b)
∴ ∘对 ∗运算是可分配的(由于∘运算满足交换律， 因此右分配律也成立)。
由于 b∗(a∘b)=b∗a=b ≠ (b∗a) ∘(b∗b)=b∘a=a
∴ ∗对∘运算是不可分配的。
③ 可以验证， ∘和 ∗运算满足吸收律。
④ 由运算表可知，∘满足幂等律，∗不满足幂等律。
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（2）零元
定义 P169 左零元 θl ∘ x =θl 右零元 x ∘θr =θr
零元 θl =θr =θ 如例8 要强调零元是针对哪个运算的。
零元的唯一性：定理9.2 —— P170 性质：定理9.3 —— P170 即：当 |S| 2，单位元与零元是不同的； 当 |S| = 1 时，这个元素既是单位元也是零元。
例6 在集合A的幂集P(A)上，二元运算∪，∩满足 交换律、结合律、吸收律、幂等律且彼此满足分配 律。
例7 设S={a, b}，S上 的运算∘和 ∗分别如右 表所示。
∗ ab
a ab b ba
∘ ab
a aa b ab
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解：① 可验证，运算∘和 ∗是可交换的、可结合的。
② ∵ a∘(a∗a)=a∘a=a ＝ (a∘a) ∗(a∘a)=a∗a=a a∘(a∗b)=a∘b=a ＝ (a∘a) ∗(a∘b)=a∗a=a a∘(b∗a)=a∘b=a ＝ (a∘b) ∗(a∘a)=a∗a=a a∘(b∗b)=a∘a=a ＝ (a∘b) ∗(a∘b)=a∗a=a
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4、二元运算的特异元素
（1）单位元(幺元)
定义 设∘为S上的二元运算，x∈S， ①若elS，都有 el ∘ x = x，称 el —左单位元。 ②若erS，都有 x ∘ er = x，称 er —右单位元。 ③若e∈S，e 关于∘运算既是左单位元又是右单 位元，则称e为S上关于∘运算的单位元(或幺元)。
判断某个运算是否为S上的二元运算： ① S中的任何元素都可参与运算，且结果是唯一的； ② 运算结果都属于S，即运算是封闭的。
4
2、二元运算的表示法
（1）算符：常用 ∘, ∗, ·, , , △, □ 等符号表示 二元或一元运算。
如 f：Z×Z→Z 上的加法，可表示为
x, y∈Z，f(<x, y>) = x+y
2
(5) 设 Mn(R) 表示所有 n 阶 (n≥2) 实矩阵的集 合，即
M
n
(R)
a11 a21 an1
a12 a22 an2
a1n a2n
ann
aij R, i, j 1,2,...,n
来自百度文库
矩阵加法和乘法都是 Mn(R) 上的二元运算。 (6) 幂集 P(S) 上的二元运算：∪,∩,－, 。
则称运算∘在 S 上满足结合律. (3) x∈S，有 x ∘ x = x，则称运算∘满足幂等律.
若x∈S，满足 x ∘ x = x， 则称 x 为运算∘的幂等元。
若S上的二元运算适合幂等律，则S中的所有元素 都是幂等元。
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(4) 定义9.6 P168 —— 分配律（∘ 对 ∗ ） (5) 定义9.7 P168 —— 吸收律 (6) 定义9.11 P171 —— 消去律
那么 3 ∗ 4 = 3 0.5 ∗ (-3) = 0.5
表示二元或一元运算的方法： 公式、 运算表 以上例题是公式表示（解析表达式）。
注意：在同一问题中不同的运算使用不同的算符。
6
（2）运算表（表示有穷集上的一元和二元运算）
一般形式：——P167 表 9.1和表 9.2
例4 设A = P({a, b}), , ∼分别为对称差和绝对补运
算{a,b}为全集）
的运算表
∼ 的运算表
{a} {b} {a,b}
X ∼X
{a} {b} {a,b} {a} {a} {a.b} {b} {b} {b} {a,b} {a} {a,b} {a,b} {b} {a}
{a,b} {a} {b} {b} {a} {a,b}
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例5 设S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, 定义S上的二元运算∘ 如下： x, y∈S， x∘y = (xy)mod 3，求运算∘的运 算表。
第九章 代数系统
9.1 二元运算及其性质
二元运算定义及其实例 运算的表示 二元运算的性质 二元运算的特异元素
单位元、零元、逆元
1
1、二元运算
定义 设 S 为集合，函数 f：S×S→S 称为 S 上的二 元运算，简称为二元运算。也称 S 对 f 封闭。
例1 (1) N 上的二元运算：＋、 ×。 (2) Z 上的二元运算：＋、－、 ×。 (3) R* =R－{ 0 }上的二元运算：×、÷。 (4) 设 S = { a1, a2, … , an}，ai ∘aj = ai ， ∘为 S 上二 元运算.
单位元的唯一性：定理9.1 —— P169
12
例8
在R中，加法＋运算 在R中，乘法×运算 对于全集E的子集的并∪运算 对于全集E的子集的交∩运算 在命题集合中，∨运算 在命题集合中，∧运算 在关系集合中，复合 ∘运算
单位元 零元
0
无
1
0
E
E
矛盾式 重言式
重言式 矛盾式
IA
强调：单位元是针对哪个运算的。
也可表示为 x, y∈Z， x∘y = x+y
如 2∘3 = 2+3 = 5 .
又如表达式：
∘(x1, x2, … , xn) = y x1∘x2 = y x △ y = z
x∘y = x+y-2xy
AB=(A-B)∪(B-A)
5
例3 设 R 为实数集合，如下定义R上的二元运算 ∗： x, y∈R, x ∗ y = x.
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定义 设 S 为集合，函数 f：S→S 称为 S 上的一元 运算，简称为一元运算. 例2 (1) Z, Q 和 R 上的一元运算：求相反数。 (2) Q*、R*上的一元运算：求倒数。 (3) 幂集 P(S) 上, 全集为 S：求绝对补运算~ 。 (4) 在 Mn(R) ( n≥2 )上，求转置矩阵。