二次函数恒成立问题

二次不等式恒成立问题

策略一：利用二次函数的判别式

对于一元二次函数),0(0)(2

R x a c bx ax x f ∈≠>++=有：

（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 例1.若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。

策略二:利用零点分布

例2.已知a ax x x f -++=3)(2，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围.

变式：设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。

策略三：分离参数

若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：

1）为参数）a a g x f )(()(<恒成立max )()(x f a g >⇔

2）为参数）a a g x f )(()(>恒成立max )()(x f a g <⇔

例3.函数),1[,2)(2+∞∈++=x x

a x x x f ，若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围。

变式：已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(

三、巩固练习

1.（1）若关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞，求实数a 的取值范围；（2）若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，求实数a 的取值范围．

2. 若函数y =R 上恒成立，求m 的取值范围。

3. 已知向量2

(,1),(1,),a x x b x t =+=-若函数()b a x f ⋅=在区间()1,1-上是增函数，求t 的取值范围.

4. 已知函数()()()331,5f x x ax g x f x ax '=+-=--，其中()'f x 是()f x 的导函数.对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，求实数x 的取值范围；

5. 若对任意的实数x ，2sin 2cos 220x k x k +--<恒成立，求k 的取值范围。

6. 已知函数2()10f x x ax =++≥对于一切1(0,]2

x ∈成立，求a 的取值范围。

7. 已知函数2()4f x x x m =-≥对于(0,1]x ∈恒成立，，求m 的取值范围。

8. 若不等式2296260x ax a a -+--≥在1133

x -≤≤内恒成立，求a 的取值范围。

9.已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

10.已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭

，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。

11.已知(],1x ∈-∞时，不等式()21240x x a a ++-⋅>恒成立，求a 的取值范围。