流体力学-相似原理与量纲分析

流 体 力 2学
由于
u t x y z p u , t , l , p , , u t x y z p g 在重力场下 Z g , Z g , g g 9
流 体 2 p 1 p u uz u u z u z u z 力 (ux uy uz ) g g t t t x y z l z 学 u 2uz 2uz 2uz ( 2 2 2) 2 l x y z
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三、量纲分析法
量纲分析的基础是量纲和谐定理： 凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的 量纲一定是一致的。
流 体 力 学
结论：
1.凡正确反映客观规律的物理方程，均可表示成由无 量纲项组成的无量纲方程，而保持原方程的性质。
p v2 z C g 2g

p v2 1 C gz 2 gz
解：此系统中流动的主要作用力是黏性力和压力，因此 主要准则是Re准则，辅助性准则是Eu准则。
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(1) 由Rem=Ren，则
Re
0.045 v 1.5 l 0.01 3
流 体 Q νl2 1.5 32 13.5 力 学
vd
100 Qm 7.4 l/s Q 13.5
中南大学
量纲分析与相似理论
第一节 力学相似原理 第二节 相似准数 第三节 模型律
第四节 量纲分析法
1
第一节 力学相似原理
一、力学相似及相似比例常数
1. 几何相似： 任何线段方位相同，数值成一比例
n 为原型，m 为模型
ln l lm
线性比例常数
2 An ln A 2 l2 Am lm
流 体 力 学
要保证两个流动问题的力学相似，必须是 两个流动几何相似，运动相似，动力相似，以 及两个流动的边界条件和起始条件相似。
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第二节 相似准数（准则）
实现两个流动的相似，首先要满足几何相似，其 次是要实现运动相似和动力相似，但前述各项比例常 数之间必须复合一定的约束条件。这种约束关系即为 相似准则。相似准则可由三种途径获得： 1. 由运动微分方程（N-S方程）推导； 2. 由动力相似的定义推导； 3. 由量纲分析法推导（见后量纲分析法）。
l v t
l l t
则
t l
20
12.4 Tm 2.77h t 20
Tn
例
流 在设计高度为1.5m，最大车速为108km/h的汽车时， 体 需确定其正面阻力，拟在风洞中用模型进行试验，①如 力 风洞中最大分数为45m/s，求模型高度；②在①条件下， 学
测出模型正面风阻为1.5kN ，求原型在最大车速时的正 面风阻。
解：采用相同流体试验，所以 1, 1
(1) 由Re相似
vl / 1
vn 108 103 v 0.67 vm 45 60 60
l 1/ v 1.5
(2) 由动力相似
Hm Hn / l 1.5/1.5 1m
2.该原理规定了一个物理过程有关物理量之间的关系， 英尺可按量纲之间的这一规律建立表征物理过程的方 程。 ——— 量纲分析法即以此为根本
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雷利分析法
某物理现象的影响因素设为 x1，x2，…，xn。
则令
a2 an xn kx1a1 x2 xn
流 体 力 学
3 Vn ln V 3 l3 Vm lm
面积比例常数
体积比例常数
指两个流动（原型与模型）流场的几何形状相似
2
流 体 力 学
几何相似
3
2. 运动相似：
tn t tm un l u um t an l a 2 am t
时间比例常数 速度比例常数
流 体 力 学
0 , 0 , 0
1 1 运动粘性系数 [ ] [ L2T 1 ] 动力粘性系数 [ ] [ L T M ]
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二、无量纲量
即不具量纲的量，为纯数。 1.两个具有相同量纲的物理量的比值 如圆周率π，角度，三角函数
流 体 力 学
பைடு நூலகம்
2.几个有量纲量乘除组合而成
如线应变，Re数，Fr数等 无量纲量特点： 客观性，不受运动规模影响，可进行超越函数运算。
同理可得
p Eu 2 v F Ne 2 2 l v
流 体 力 学
----- 欧拉准数
----- 牛顿准数
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第三节 模型律
一、模型实验
在什么条件 下进行实验? 在相似的条件下进行实验 应该测量实验结果无量纲表达 式包含的所有物理量 实验结果应整理成以相似准数和 其它无量纲量来表示的函数关系 式或绘制成曲线；实验结果只能 应用于相似现象之间。
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一般物理量可写为：
[q] [ L T M ]
即q的性质由量纲指数 , , 决定
0, 0, 0
流 体 力 学
则 q 为几何学的量 则 q 为运动学的量
0, 0, 0
0, 0, 0
则 q 为动力学的量
则 q（[q=1]）为无量纲量
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1. 由运动微分方程（N-S方程）推导
以 N-S 方程的 z 轴为例：u为模型，u’为原型
uz uz uz uz 2u z 2u z u z 1 p ux uy uz Z ( 2 2 2 ) t x y z z x y z
2 2 2 u u u u u u u 1 p z z z z z z z u u u Z ( ) x y z 2 2 2 t x y z z x y z
流 体 力 学
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流 例 体 煤油管路上文丘里流量计直径d1=0.3m，喉部 力 d2=0.15m，在1:3的模型中用水作实验。已知煤油密度 学 3 2 2
0.82g/cm ，水、煤油的n值为0.01cm /s，0.045cm /s。 求： （1）若原型中煤油流量为100l/s，则模型中水的流 量应是多少？ （2）若模型中两断面间的测压管水头差 Δhm=1.05m， 求原型中的Δhn？
ln lm un t n um t m
2 2 vn vm g nln g mlm
令 St
l u t
St n St m
St —— 斯特罗哈数（非恒定流）
v2 令 Fr g l
令 Re
流 体 力 学
Frn Frm
Fr —— 弗劳德数
n vnln m vmlm 取 1 n m u l
----- 韦伯准数
F El 2
3
v2
l I l 2 l 2v2 ----- 马赫准数 t v FT l 2 lv ( Re)n ( Re)m Re l l ----- 雷诺准数 I l 3 2 l 2v 2 12 t
Mn Mm
2. 由动力相似定义推导
原型与模型要相似，则系数相等
原型可写为：
p u u u2 g t t l l2
u2 各项同除 t
g l p l 1 2 2 u t u u u l
10
l 1 取 u t
g l 取 1 2 u
vl Ren Rem
Re —— 雷诺数
p pn pm p 取 2 1 v 2 v 2 令 Eu v 2 Eu n Eu m n n m m u
Eu —— 欧拉数
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2. 由动力相似定义推导
In Im Gn Gm In Im Tn Tm In Im Fn Fm In Im FTn FTm
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应该测量哪 些物理量?
实验结果 如何应用?
在相似的条件下进行实验： 完全相似 例如 难于做到 严格地要求四个相似准数都相同
Frn Frm
g 相同
vn l n vm lm
vn lm vm ln
流 体 力 学
1
u l
Ren Rem
相同
u
l
可见粘性和重力相似条件产生矛盾，除非改变 g 和。但改 变 g 是不大可能的（由此可知为什么有些实验要在航天飞机上 做），改变 的可能性也不大，因为流体力学实验可供选择的 流体种类是很少的。通常我们只能抓主要矛盾，保证起决定作 用的那个相似准数相等，称为部分相似(局部相似)。
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二、主要相似准数
Re 准则（摩擦力）、 Fr 准则（重力）为独立准 则，其余为辅助性准则或导出准则。 Re准则适用范围：管流、液压技术、孔口出流、 水力机械、潜体流动等。 Fr准则适用范围：水工结构、明渠水流、波浪阻 力、闸孔出流、堰流等。 Eu准则适用范围：自模区管流、风洞实验、气体 绕流等。 局部相似是取主要作用力相似，满足其相似准数 相等来确定设计模型。
流 体 力 学
指两个流动相应点处质点受同名作用力，方向 相同，大小成比例 In FTn Im FTm Pm
6
Pn Gm
Gn
二、力学相似原理
几何相似是力学相似的前提；运动相似是模型实 验的目的；而动力相似是运动相似的保证。 如果两个同一类的物理现象，在对应的时空点， 各标量物理量的大小成比例，各向量物理量除大小成 比例外，且方向相同，则称两个现象是相似的。
p Eu 2 v
又 g 1
Qn
(2) 由Eum=Eun，则 由 p gh
p g h 1 2 2 v v
2 h 2 1 . 5 2.25 v
则 hn h hm 2.251.05 2.36m
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例
加速度比例常数 流量比例常数
Qn l3 Q Qm t
指两个流动相应点的速度等方向相同，大小成比例
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流 体 力 学
运动相似
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3. 动力相似：
Fn FTn Gn Pn pn In F Fm FTm Gm Pm pm Im
合 力 粘 性 力 重 力 总 压 力 压 力 差 惯 性 力
流 体 力 学
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三、自动模型化
当 Re 数增大到一定界限时，惯性力与粘性力之 比也大到一定程度。粘性力的影响相对减弱，此时 继续提高 Re 数，也不再对流动现象和流动性能发生 度和量的影响。这说明 Re 数虽不同，但粘性效果却 是一样的。 产生此现象的Re数范围称自动模型区， Re数处 在此区时， Re准则失去判别相似的作用。
G gl 3 3 l I l 2 l 2v 2 t T l
v2 Fr gl
流 体 ( Fr )n ( Fr )m 力 ----- 弗劳德准数 学
l I l 2 l 2v 2 t
3
(We)n (We)m We 2 lv
v2 M 2 E a
流 海港模型的几何比尺λl = 20，原型中潮汐周期为 体 12.4小时，求模型中的潮汐周期。 力 解：潮汐运动的主要作用力是重力，此外为非恒定周期 学
性过程，所以相似准数为Fr 数和St 数。 (1) 由Frm=Frn，则
(2) 由Stm=Stn，则
v2 Fr gl l St vt
即
v2 l
F v2l2
Rm Rn 1.5kN
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F 1 v2l2 0.672 1.52 1
第四节 量纲分析法
一、量纲
所有物理量 ＝ 自身的物理属性 + 为量度物理属性 而规定的量度标准（量度单位） 如长度：物理属性是线性几何量，量度标准是 m ， cm，英尺、光年等。 没有任何联系的独立的量纲为基本量纲，可由其导 出的为导出量纲。 原则上基本量纲的选取带随意性，常采用 M-L-T-Θ 为基本量纲系（即质量-长度-时间-温度）。