流体力学-相似原理与量纲分析
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流体力学相似原理与
速度比尺 时间比尺 则
加速度比尺
u
up um
t
tp tm
u
up um
lp lm
tp tm
l t
a
ap am
lp lm
t
2 p
t
2 m
lp lm
( t p )2 tm
l
2 t
由于各相应点速度成比例，所以相应断面平均流速有同样的速
度比尺，即
v
vp vm
f l22v
此处 1 ，v 1 l ， 则
f
l22v
l2 l2
1
故
Fp Fm 1.50kN
§5－4 量纲分析
量纲和量纲和谐原理 量纲分析法
一、量纲(dimension)和量纲和谐原理
1、量纲
表示物理量的种类，称为这个物理量的量纲（或称因次）。
a
l
2 t
则
f
3l
l
2 t
l2
l t
2
l22v
即
Fp
p
l
2 p
v
2 p
Fm mlm2 vm2
上式可写成
Fp Fm
p
l
2 p
v
2 p
m
l
2 m
vm2
—— 无量纲数
在相似原理中称为牛顿数Ne ∴ (Ne)p (Ne)m
流量：
Qp Qm
vp Ap vm Am
vl2
或
Qm
工程流体力学第五章 相似原理和量纲分析
弹性力比： k F 'e dp' A' K ' A' dV ' V ' k k 2 K l F
Fe
dp A
KAdV V
K－体积模量 kK－体积模量比例尺
k k kK
K'
2
1
kF 1 2 2 k kl k
力的比例尺
也可写成:
' '2
2
2
K
柯西数 是惯性力与弹 性力的比值
2 2
推导过程
角速度比例尺:
' ' l ' k k l kl
注：确定了长度比例尺和速度比例尺，一切运动相似比例尺都可以推导出来。
注：*运动粘度比例尺的推导
d F A dy
F ma V a dy 1 则： A d dy m V A d dy A d 1
相似原理
如何去做模型？
第五章 相似原理和量纲分析
数学 分析 理论分析 数值计算 模型实验
解决流体 力学问题 的方法
实验研究
基础：相似原理 相似原理与模型试验研究方法不仅广泛应用于流体力 学，而且广泛应用于传热、燃烧过程机理等的研究中。
第一节 流动的力学相似
表 征 流 动 过 程 的 物 理 量
第五章 相似原理和量纲分析
xcli@
L/O/G/O
相似原理
相似原理 实物 模型
相似理论：
模型流场再现实物流场的准则——指导模型实验 实验结果推广到原型以及应用到相似的流动中
本章内容
1 2 3 4 1 5 流动的力学相似 动力相似准则 流动相似条件 近似模型实验 Click to add title in here 量纲分析法 连续方程
Fe
dp A
KAdV V
K－体积模量 kK－体积模量比例尺
k k kK
K'
2
1
kF 1 2 2 k kl k
力的比例尺
也可写成:
' '2
2
2
K
柯西数 是惯性力与弹 性力的比值
2 2
推导过程
角速度比例尺:
' ' l ' k k l kl
注：确定了长度比例尺和速度比例尺，一切运动相似比例尺都可以推导出来。
注：*运动粘度比例尺的推导
d F A dy
F ma V a dy 1 则： A d dy m V A d dy A d 1
相似原理
如何去做模型？
第五章 相似原理和量纲分析
数学 分析 理论分析 数值计算 模型实验
解决流体 力学问题 的方法
实验研究
基础：相似原理 相似原理与模型试验研究方法不仅广泛应用于流体力 学，而且广泛应用于传热、燃烧过程机理等的研究中。
第一节 流动的力学相似
表 征 流 动 过 程 的 物 理 量
第五章 相似原理和量纲分析
xcli@
L/O/G/O
相似原理
相似原理 实物 模型
相似理论：
模型流场再现实物流场的准则——指导模型实验 实验结果推广到原型以及应用到相似的流动中
本章内容
1 2 3 4 1 5 流动的力学相似 动力相似准则 流动相似条件 近似模型实验 Click to add title in here 量纲分析法 连续方程
流体力学第五章相似原理和量纲分析
vl vl
vl vl
k kvkl 1 k
kvkl 1 k
Re vl vl
雷诺数，惯性力 与黏性力之比
黏性力作用相似： Re Re
第二节 动力相似准则
• （３）压力相似准则（欧拉准则）
在压力作用下相似的流动，其压力分布必须相似
或者：
p Eu
v 2
Eu p
v 2
欧拉数，是总压力与 惯性力的比值
3 基本量 导出量 一个物理问题中诸多的物理量分成基本物理
量（基本量）和其他物理量（导出量），后者可 由前者通过某种关系得到，前者互为独立的物理 量。基本量个数取基本量纲个数，所取定的基本 量必须包括三个基本量纲在内，这就是选取基本 量的原则。
k kl3kg
v
v
gl1 2 gl1 2
kv kl kg
12
1
弗劳德数，是惯性力
Fr
v
gl 1
2
与重力的比值
流场重力作用相似： Fr Fr
第二节 动力相似准则
• （２）黏滞力相似准则（雷诺准则）
在黏性力作用下相似的流动，其黏性力分布必须相似
kF
F F
dvx dvx
/ dyA / dyA
k kvkl
F ma V dv dt F ma Vdv dt
F
F
l2v2 l 2v2
kF 1
k
k2 l
k2 v
Ne F
l 2v2
牛顿数，是作用力与 惯性力的比值
流场动力相似： Ne Ne
第二节 动力相似准则
• （１）重力相似准则（弗劳德准则）
在重力作用下相似的流动，其重力场必须相似
kF
流体力学第5章 相似性原理和量纲分析
几何相似只有一个长度比例尺，几何相似是力学 相似的前提
二、运动相似
❖ 流场中所有对应点上对应时刻的流速方向相同大小成比例。
v3' 3
v1'
v2'
1
2
3
v3''
v1 v1
v2 v2
v3 v3
v v
kv
v1''
1
2
kv——速度比例尺
v2''
A
A
o
系统1：v
l t
o
系统2：v l t
时间比例尺 加速度比例尺
1/ p
7.5k,kpkv2'
0.001207, kv 4416(Pa)
22.5, 有
F F ' F ' 1.261104(N)
kF
k
k
2
l
k
2
v
M M ' 2030(N m)
k
k
3k
l
2
v
第五节 量纲分析法
❖一、量纲分析的概念和原理 ❖ 量纲是指物理量的性质和类别。例如长度和质量， 它们分别用 [ L ] ， [ M ]表达。 ❖而单位除表示物理量的性质外，还包含着物理量的 大小，如同为长度量纲的米，厘米等单位。
如何进行模型实验： (1) 几何相似（模型和实物、攻角、位置等）； (2) 确定相似准则数； (3) 确定模型尺度和速度； (4) 实验数据整理(无因次形式)； (5) 试验值与实际值之间的换算。
完全相似：两个流动的全部相似准则数对应相等。不可能实现。 部分相似：满足部分相似准则数相等。
近似的模型试验：在设计模型和组织模型试验时，在 与流动过程有关的定性准则中考虑那些对流动过程起 主导作用的定性准则，而忽略那些对过程影响较小的
流体力学第三章(相似原理与量纲分析)
2 1 2 2
它们所反映的是没有量纲（单位）的数，称为无量纲数
l Sr 斯特劳哈尔数 tu
欧拉数
雷诺数
Vl
Re
p Eu 2 V
V2 Fr 弗劳德数 gl
25
2w 2w 2w w w w w p u v w 2 2 2 g t y z z z x x y
2伯努利方程5简单情况下的ns方程的准确解3第一节流体力学的模型实验和相似概念第二节相似判据第三节无量纲方程第四节特征无量纲数第五节量纲分析和定理主要内容第三章相似原理与量纲分析4实验数据的简化处理设计实验的基本要求理论流体力学第一二章实验流体力学普通实验数值实验5第一节流体力学的模型实验和相似概念流体力学实验
13
通常可以采用两种方法来确定动力相似判据： （一）方程分析法：描述流体的运动方程应该是一致的。 从而得到必须满足的关系式，即相似判据；
（二）量纲分析方法：以量纲分析为基础的一种方法。
14
方程分析法
动力相似判据
前提条件：假定原型流场和模型流场是满足几何相似、 时间相似和运动相似的，考虑不可压缩粘性流体的简单 情况。 首先，给出有关相似常数的定义：
此时，两个流场称之为是流场 相似或运动相似的。流场相似 也就是在两流场对应点的速度 的大小、方向成常数比例。
Q P
9
动力相似
动力相似:要求在两流场相应点上各动力学变量 成同一常数比例。 例如原型流场和模型流场在运动过程中受到的 质量力、粘性力等动力学变量成正比。
10
几何相似 时间相似 有比较清晰的关系表达式 运动相似 （可直接观测） 判断什么条件下两流场才满足动力相似？？
u ＝ U u’
它们所反映的是没有量纲（单位）的数，称为无量纲数
l Sr 斯特劳哈尔数 tu
欧拉数
雷诺数
Vl
Re
p Eu 2 V
V2 Fr 弗劳德数 gl
25
2w 2w 2w w w w w p u v w 2 2 2 g t y z z z x x y
2伯努利方程5简单情况下的ns方程的准确解3第一节流体力学的模型实验和相似概念第二节相似判据第三节无量纲方程第四节特征无量纲数第五节量纲分析和定理主要内容第三章相似原理与量纲分析4实验数据的简化处理设计实验的基本要求理论流体力学第一二章实验流体力学普通实验数值实验5第一节流体力学的模型实验和相似概念流体力学实验
13
通常可以采用两种方法来确定动力相似判据： （一）方程分析法：描述流体的运动方程应该是一致的。 从而得到必须满足的关系式，即相似判据；
（二）量纲分析方法：以量纲分析为基础的一种方法。
14
方程分析法
动力相似判据
前提条件：假定原型流场和模型流场是满足几何相似、 时间相似和运动相似的，考虑不可压缩粘性流体的简单 情况。 首先，给出有关相似常数的定义：
此时，两个流场称之为是流场 相似或运动相似的。流场相似 也就是在两流场对应点的速度 的大小、方向成常数比例。
Q P
9
动力相似
动力相似:要求在两流场相应点上各动力学变量 成同一常数比例。 例如原型流场和模型流场在运动过程中受到的 质量力、粘性力等动力学变量成正比。
10
几何相似 时间相似 有比较清晰的关系表达式 运动相似 （可直接观测） 判断什么条件下两流场才满足动力相似？？
u ＝ U u’
流体力学相似原理和量纲分析
称为不可压缩流体定常流动的力学相似准则。
11
四、马赫数
当考虑流体压缩性时，弹性力起主要作用 F=EA
在因次上 [F ] [E][A] El2
代入（4 —10）中的 F 时，则
Enln2
nln2Vn2
Emlm2
mlm2Vm2
即 En Em
nVn2 mVm2
对可压缩流体，音速a
E
, 因此
E
1 a2
欲使雷诺数相等，将有 n lm vn m ln vm
1
1
欲使弗劳德数相等，将有
n m
ln lm
2
gn gm
2
v l
l
1 2
v
l 32
这在技术上很难甚至不可能做到。实际中，常常要对所研 究的流动问题作深入的分析找出影响流动问题的主要作用力， 满足一个主要力的相似而忽略其它次要力的相似。
15
例：对于管中的有压流动及潜体绕流等，只要流动的雷 诺数不是特别大，一般其相似条件依赖于雷诺准则数。
m gmlm3
mlm
2 2 m
简化后得
2 n
m2
（4—14）
式中
2
Fr
gnln gmlm
，称为弗劳德 Froude 数。
gl
物理意义：
惯性力与重力之比。
9
三、欧拉数
研究淹没在流体中的物体表面上的压力或压强分布时，
起主要作用的力为压力 F pA 。
在因次上为
F pA Pl 2
将其代替式（4—10）中的F时，则
纲数之间的函数式（4—22），这就是泊金汉 E.Buckingham
定理。因为经常用 表示无量纲数，故又简称 定理。
土木工程-流体力学-完整版- 相似原理与量纲分析
2.1 相似原理原型/模型流动相似：几何、运动、动力相似相似准则：雷诺、弗雷德、欧拉准则2.2 模型实验模型律的选择及模型设计2.3 量纲分析基本量纲、导出量纲、无量纲量量纲分析法：Π 定理（Theorum ）、瑞利法（Rayleigh ）2.4 2.4 基本方程的无量纲化基本方程的无量纲化第 2 章 相似原理和量纲分析（ Similarity and Dimensional Analysis)2.2 模型实验2.2.1 模型律的选择为使模型与原型流动相似，除几何相似外，还要动力相似，即同时满足各独立准则。
事实上，很难达到独立准则同时满足。
一般情况下，只能按照近似相似进行模型实验，即满足主要作用力相似即可。
通常，不可压缩液体流动的独立准则为雷诺准则和弗汝准则。
因此，主要作用力则是黏滞力或重力。
若主要作用力是黏滞力，模型按雷诺模型律设计，即模型与原型之间只满足雷诺准则。
例如有压管流。
若主要作用力是重力，模型按弗汝德模型律设计，即模型与原型之间只满足弗汝德准则。
例如明渠流。
【例2】求水泵输出功率的表达式。
【解】水泵输出功率指单位时间水泵输出的能量。
（1）找出与水泵输出功率N有关的物理量，包括单位体积水的重量γ=ρg、流量Q、扬程H，于是有f（N, γ , Q, H）= 0（2）指数积关系式N= Kγa Q b H c（3）量纲式dim N = dim(γa Q b H c)（4）用基本量纲表示各物理量量纲ML2T-3 = (ML-2T-2)a(L3T-1)b(L)c （5）根据量纲和谐原理求量纲指数M： 1 = aL： 2 = -2a+3b+cT：-3 = -2a-b解方程得，a = 1，b = 1，c = 1。
（6）整理方程得N = KγQHK 为由实验确定的常数。
问题：由于基本量纲只有3个，故只能建立3 个方程求解量纲指数。
因此，用瑞利法求力学方程，相关的物理量不能超过4个，否则将会出现待定系数。
流体力学第五章 相似原理和量纲分析
3
第五章 相似原理和量纲分析
流动的物理现象常受到各种因素的影响，对于简单的现象可以通过简化，建 立运动微分方程，求得精确解。
对于大量复杂的流动现象，理论分析本身就比较困难，由于流动边界条件的 复杂性，往往难以用数学形式准确表达和求解。
因此必须结合实验，才能使理论分析深入进行。 如果没有正确的理论指导，不知需要测定哪些物理量和应该如何整理实验数 据——虽然能获取大量数据，却无法找出影响现象本质的因素，使实验带有 盲目性。
kq
qV qV
l / t l
3
3
kl
3
V
k l kv
2
/t
kt
运动粘度比例尺
k
l / t l
2
2
kl
2
k l kv
/t
kt
角速度比例尺
k
v / l v/l
kv kl
过程装备与控制工程教研室
10
第五章 相似原理和量纲分析 三、动力相似
过程装备与控制工程教研室
16
第五章 相似原理和量纲分析
任何系统的机械运动都必须服从牛顿第二定律 F=ma
原型
F ma Va
模型
F ma V a
F F
m a ma
V a Va
kv kl
2
k F k kV ka k kl
——模型与原型流场的几何相似、运动相似和动力相似是两个流
场完全相似的重要特征和条件
流体力学第4章相似原理和量纲分析
对于非定常流的模型试验，必须使模型与原型的流动随时间的
变化相似。
当地加速度引起的惯性力之比
kF k kl2kv2
1
kF
Fit' Fit
V
'
v
' x
V vx
t ' t
k kl3kv kt1
kl 1 l Sr （斯特劳哈尔
kv kt
vt
数或谐时数）
当地惯性力与迁移惯性力之比
4.3 流动相似的条件
同一类流动，为相同的微分方程组所描述。 • 单值条件相似，即几何条件、边界条件、
时间条件（非定常流）、物性条件（密度、 粘性等）相似。 • 同名相似准则数相等。
几个概念：
单值条件中的各物理量称为定性量，如密度 ，特
征长度 l ，流速 v ，粘度 ，重力加速度 g ；
由定性量组成的相似准则数称为定性准则数，如雷诺 数 Re vl 弗劳德数 Fr v gl
自模化状态：如在有压粘性管流中，当雷诺数大 到一定数值时，继续提高雷诺数，管内流体的 紊乱程度及速度剖面几乎不再变化，沿程能量 损失系数也不再变化，雷诺准则失去判别相似 的作用，这种状态称为自模化状态。
关于自模化区实验 ——
尼古拉兹曲线
设计模型实验只要求流动处于同一自模化区，
log(100)
而不必要求两个流动的动力相似参数严格相等。
目的
为了实验流场与真实流场具有一定的对应关 系（相似性），实验中的各物理参数应该 如何确定？模型实验中的各种测量值应该 如何被换算为实物上的相应值？
如何科学地设计实验，正确有效地反映出相 关物理参数之间的实质性联系。
例：圆管的压强损失与圆管的长度、流体的密度、粘 度、平均速度和圆管直径、粗糙度有关。
流体力学-相似原理与量纲分析性
K
c
v2l We
l Sr vt
如果已经有了某种流动的运动微分方程，可由该方 程直接导出有关的相似准则和相似准则数，方法是 令方程中的有关力与惯性力相比。
第三节 流动相似条件
流动相似：在对应点上、对应瞬时，所有物理量都成比例。
相似流动必然满足以下条件：
1、任何相似的流动都是属于同一类的流动，相似流场对应点上的各种物 理量，都应为相同的微分方程所描述； 2、相似流场对应点上的各种物理量都有唯一确定的解，即流动满足单值 条件； 3、由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等是流动相似也必须满 足的条件。
（4-15）
c 为声速
则弹性力之比： CF Cc 2C Cl 2
代入式(4-15)得：
Cv Cc
1
（4-32）
或: v' v c' c
（4-33）
令:
v Ma
c
（4-34）
Ma称为马赫数，它是惯性力与弹性力的比值。
当模型与原型的弹性力相似，则其马赫数必定相等， 即：Ma' Ma 反之亦然。这就是弹性力相似准则（马赫准则）。
（4-29）
或:
'v'2 v2
（4-30）
K' K
:
v2 Ca
K
（4-31）
Ca 称为柯西数，它是惯性力与弹性力的比值。
当模型与原型的弹性力相似，则其柯西数必定相等， 即：C'a Ca
反之亦然。这就是弹性力相似准则（柯西准则）。
四、弹性力相似准则
CF 1 C Cl2Cv2
若流场中的流体为气体： K c2
图4-2 速度场相似
长度比例尺和速度比例尺确定所有运动学量的比例尺。
流体力学量纲分析和相似原理
D
w, ρ , d , µ
• • •
[ D ] = [ w]a [ ρ ]b [d ]c
即 ML T −2 = ( LT −1 ) a ( ML−3 ) b ( L) c 比较上式等号两边的量纲得到 1= b 包含量纲M的项： 包含量纲L的项： 包含量纲T的项：
1 = a − 3b + c
− 2 = −a
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第八章
量纲分析和相似原理
第一节
量纲分析和Π定理
二、量纲性质 关于量纲性质有如下公理。 公理1 公理 物理方程中各项的量纲相同且与度量单位无关。 例如，液体中的压力分布公式 p = ρgh为一物理方程，式中p的量纲为ML-1T-2， ρgh 的量纲亦为ML-1T-2，两项的量纲是相同的。无论在什么单位制中， 上述关系不变。 公理2 公理 任一物理量的量纲都可以由基本量纲的指数幂的乘积来表示，即 式中，m1，m2，…，mk为有理数，[a]为任一物理量的量纲，[a1]，[a2]， …，[ak]为基本量纲。 公理3 公理 量纲不独立量可由量纲独立量的指数幂的乘积来表示，即
流 体 力 学
中国科学文化出版社
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第八章 量纲分析和相似原理
第一节 第二节 第三节
量纲分析和Π定理 相似理论 流体力学模型研究方法
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第八章
量纲分析和相似原理
在第五章和第六章中我们讨论了解决流体动力学问题的两种基本方 法，即微分方程法和积分方程法。工程实际中的流体动力学问题通常是 十分复杂的，能够用数学分析方法求解的问题是很有限的。大量的问题 只能采用实验的方法，或者把实验作为辅助的方法，结合数学分析来求 解。 实验可分成两类，即直接实验和模型试验。直接实验就是在所研究 的对象即原型上直接进行实验，这种方法具有很大的局限性：实验结果 只能用于特定的实验条件，或只能推广到与实验条件完全相同的现象上 去；对某些设备，如大型的塔器、反应器、锅炉等，由于实验条件的限 制，如高温、高压、危险性介质，或设备尺寸太大或过小，都可能使得 直接实验难于进行；对于那些尚未建造的设备，如要设计一座新的水坝、 建造一艘新型舰船，则根本谈不上用实验的方法探索其规律性；直接实 验的方法不适用于大型设备的破坏性试验，如水坝、大型容器等的爆破 试验；此外，直接实验方法常常只能得出个别量之间的规律性关系，难 于抓住现象的全部本质。
相似原理和量纲分析
根据物理方程量纲一致性原则有
对L 1 a1 b1 3c1 T 2 b1
M 1 c1
得 a1 0,b1 2,c1 1
1ຫໍສະໝຸດ pv 2Eu
2
ML1T 1 La2 LT 1 b2 ML3 c2
a2 1,b2 1,c2 1,
2
瑞利法是用定性物理量 的某种幂次之积的函数来表示被决定的物理量 y，即
式中，k为无量纲系数，由试验确定；
一致性原则求出。
为待定指数，根据量纲
应用举例
瑞利法
对于变量较少的简单流动问题，用瑞利法可以 方便的直接求出结果；对于变量较多的复杂流动问 题，比如说有n个变量，由于按照基本量纲只能列出 三个代数方程，待定指数便有n-3个，这样便出现了 待定指数的选取问题，这是瑞利法的一个缺点。
对于气体，宜将柯西准则转换为马赫准则。由于
K c2（c为声速），故弹性力的比例尺又可表示
为 kF kc2kkl2，代入式（4-16），
kv 1 kc
v v c c
v Ma c
Ma称为马赫（L.Mach）数,它仍是惯性力与弹性力的 比值。二流动的弹性力作用相似，它们的马赫数必定
称欧拉准则。
欧拉数中的压强p也可用压差p 来代替，
这时 欧拉数
p
Eu v2
（4-28）
欧拉相似准则
p p
v2 v2
（4-29）
非定常性相似准则
对于非定常流动的模型试验，必须保证模型与原
型的流动随时间的变化相似。由当地加速度引起的惯
性力之比可以表示为
kF
Fit Fit
相似的概念首先出现在几何学里，如两个三角形相似时，对应边 的比例相等。流体力学相似是几何相似概念在流体力学中的推广和发 展，它指的是两个流场的力学相似，即在流动空间的各对应点上和各 对应时刻，表征流动过程的所有物理量各自互成一定的比例。表征流 动过程的物理量按其性质主要有三类，即表征流场几何形状的，表征 流体微团运动状态的和表征流体微团动力性质的，因此，流体的力学
对L 1 a1 b1 3c1 T 2 b1
M 1 c1
得 a1 0,b1 2,c1 1
1ຫໍສະໝຸດ pv 2Eu
2
ML1T 1 La2 LT 1 b2 ML3 c2
a2 1,b2 1,c2 1,
2
瑞利法是用定性物理量 的某种幂次之积的函数来表示被决定的物理量 y，即
式中，k为无量纲系数，由试验确定；
一致性原则求出。
为待定指数，根据量纲
应用举例
瑞利法
对于变量较少的简单流动问题，用瑞利法可以 方便的直接求出结果；对于变量较多的复杂流动问 题，比如说有n个变量，由于按照基本量纲只能列出 三个代数方程，待定指数便有n-3个，这样便出现了 待定指数的选取问题，这是瑞利法的一个缺点。
对于气体，宜将柯西准则转换为马赫准则。由于
K c2（c为声速），故弹性力的比例尺又可表示
为 kF kc2kkl2，代入式（4-16），
kv 1 kc
v v c c
v Ma c
Ma称为马赫（L.Mach）数,它仍是惯性力与弹性力的 比值。二流动的弹性力作用相似，它们的马赫数必定
称欧拉准则。
欧拉数中的压强p也可用压差p 来代替，
这时 欧拉数
p
Eu v2
（4-28）
欧拉相似准则
p p
v2 v2
（4-29）
非定常性相似准则
对于非定常流动的模型试验，必须保证模型与原
型的流动随时间的变化相似。由当地加速度引起的惯
性力之比可以表示为
kF
Fit Fit
相似的概念首先出现在几何学里，如两个三角形相似时，对应边 的比例相等。流体力学相似是几何相似概念在流体力学中的推广和发 展，它指的是两个流场的力学相似，即在流动空间的各对应点上和各 对应时刻，表征流动过程的所有物理量各自互成一定的比例。表征流 动过程的物理量按其性质主要有三类，即表征流场几何形状的，表征 流体微团运动状态的和表征流体微团动力性质的，因此，流体的力学
5工程流体力学 第五章相似原理与量纲分析
MLt 2 ML3 x1 Lt 1 y1 L z1
对于M: 1 x1
对于L:
1 3 x1 z1 y1
对于t:
2 y1
4
F v2 D2
x1 1 y1 2 z1 2
§5-2 量纲分析法（续17）
同理： g 5 x2 v y2 Dz2
Lt 2 ML3 x2 Lt 1 y2 L z2
例如：
主要作用力
粘性力、压力、 重力、压力、
惯性力
惯性力
压力、粘 性力
弹性力、粘性力、 压力
§5-1 相似原理（续8）
1.雷诺准则（Re数) 作用力是粘性力时：
取管道直径
FI v2 L2 v L v L Re F v L
两种流动的雷诺数相等，则说明所受的粘 性力相似。
就解决了问题。
§5-2 量纲分析法（续14）
例：研究完全淹没在流体中的螺旋桨的推力F和浆
径D，推进速度v，转速n ,重力加速度g,流体密度，
运动粘性系数 有关，求推力 F 的表达式。
解：（1）写出每一个参数的量纲：
F
ML t2
DL
v
L t
n
1 t
g
L t2
M L3
§5-2 量纲分析法（续19）
F
v 2 D2
f
gD v2
,
vD
, nD v
余下的问题就是求 f ( ) 函数关系，用实验的
方法找出 f ( ) 函数关系。将实验数据与 gD ,
,
nD
v2 组合起来，用试验数据回归成数学表
vD v
达式。
§5-2 量纲分析法（续20）
例：用 定理求紊流时管内的流动损失 h f。
对于M: 1 x1
对于L:
1 3 x1 z1 y1
对于t:
2 y1
4
F v2 D2
x1 1 y1 2 z1 2
§5-2 量纲分析法（续17）
同理： g 5 x2 v y2 Dz2
Lt 2 ML3 x2 Lt 1 y2 L z2
例如：
主要作用力
粘性力、压力、 重力、压力、
惯性力
惯性力
压力、粘 性力
弹性力、粘性力、 压力
§5-1 相似原理（续8）
1.雷诺准则（Re数) 作用力是粘性力时：
取管道直径
FI v2 L2 v L v L Re F v L
两种流动的雷诺数相等，则说明所受的粘 性力相似。
就解决了问题。
§5-2 量纲分析法（续14）
例：研究完全淹没在流体中的螺旋桨的推力F和浆
径D，推进速度v，转速n ,重力加速度g,流体密度，
运动粘性系数 有关，求推力 F 的表达式。
解：（1）写出每一个参数的量纲：
F
ML t2
DL
v
L t
n
1 t
g
L t2
M L3
§5-2 量纲分析法（续19）
F
v 2 D2
f
gD v2
,
vD
, nD v
余下的问题就是求 f ( ) 函数关系，用实验的
方法找出 f ( ) 函数关系。将实验数据与 gD ,
,
nD
v2 组合起来，用试验数据回归成数学表
vD v
达式。
§5-2 量纲分析法（续20）
例：用 定理求紊流时管内的流动损失 h f。
流体力学 第四章 cn
Ip = = = = = Tm Gm Pm E m S m I m 即λT = λG = λ P = λ E = λ S = λ I Tp Gp Pp Ep Sp
动力相似是运动相似的保证
四、初始条件和边界条件相似
初始条件和边界条件的相似是保证两个流动相似 的充分条件，正如初始条件和边界条件是微分方 程的定解条件一样。 对于非恒定 流，初始条件是必需 的；对于恒定流， 初始条件则失去了实际意义。 边界条件相似是指两个流动相似，其边界性质相 同，如固体 边界上的法线流速 都为零；自由液体 上 压强 均等 于大气压 等等，对于原型和模型 都是 一样的。
为时间比尺（Time Scale）
二、运动相似
w速度相似 意味着各 相应点的 加 速度也是相似的，
即
λl λv λ2 λa = = 2 == = v a m λt λt λl ap
式中λa为加速度比尺（Acceleration Scale） 由此可见，只要速度相似，加速度也必然相似，反 之亦然。 由于速度场的研究是流体力学的重要问题，所以 运动相似通常是模型试验的目的。
四、韦伯准则（Weber Criterion）
当作用力主要为表面张力时
F = S = σl
λ F = λ S = λσ λ l λI = λF
式中λσ为表面张力系数比尺，将上式代入式 得
2 λ ρ λ2 l λ v = λσ λl
化简得
λ ρ λl λ2 v λσ
=1 ρplp v2 p σp ρ mlm v2 m = σm
运动相似是两个流场相应点的速度方向相同，大 up 小成比例，即
um 式中λu为速度比尺（Velocity Scale）
断面平均流速也具有同样比尺，即
动力相似是运动相似的保证
四、初始条件和边界条件相似
初始条件和边界条件的相似是保证两个流动相似 的充分条件，正如初始条件和边界条件是微分方 程的定解条件一样。 对于非恒定 流，初始条件是必需 的；对于恒定流， 初始条件则失去了实际意义。 边界条件相似是指两个流动相似，其边界性质相 同，如固体 边界上的法线流速 都为零；自由液体 上 压强 均等 于大气压 等等，对于原型和模型 都是 一样的。
为时间比尺（Time Scale）
二、运动相似
w速度相似 意味着各 相应点的 加 速度也是相似的，
即
λl λv λ2 λa = = 2 == = v a m λt λt λl ap
式中λa为加速度比尺（Acceleration Scale） 由此可见，只要速度相似，加速度也必然相似，反 之亦然。 由于速度场的研究是流体力学的重要问题，所以 运动相似通常是模型试验的目的。
四、韦伯准则（Weber Criterion）
当作用力主要为表面张力时
F = S = σl
λ F = λ S = λσ λ l λI = λF
式中λσ为表面张力系数比尺，将上式代入式 得
2 λ ρ λ2 l λ v = λσ λl
化简得
λ ρ λl λ2 v λσ
=1 ρplp v2 p σp ρ mlm v2 m = σm
运动相似是两个流场相应点的速度方向相同，大 up 小成比例，即
um 式中λu为速度比尺（Velocity Scale）
断面平均流速也具有同样比尺，即
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F v2l2
Rm Rn 1.5kN
21
F 1 v2l2 0.672 1.52 1
第四节 量纲分析法
一、量纲
所有物理量 ＝ 自身的物理属性 + 为量度物理属性 而规定的量度标准（量度单位） 如长度：物理属性是线性几何量，量度标准是 m ， cm，英尺、光年等。 没有任何联系的独立的量纲为基本量纲，可由其导 出的为导出量纲。 原则上基本量纲的选取带随意性，常采用 M-L-T-Θ 为基本量纲系（即质量-长度-时间-温度）。
14
应该测量哪 些物理量?
实验结果 如何应用?
在相似的条件下进行实验： 完全相似 例如 难于做到 严格地要求四个相似准数都相同
Frn Frm
g 相同
vn l n vm lm
vn lm vm ln
流 体 力 学
1
u l
Ren Rem
相同
u
l
可见粘性和重力相似条件产生矛盾，除非改变 g 和。但改 变 g 是不大可能的（由此可知为什么有些实验要在航天飞机上 做），改变 的可能性也不大，因为流体力学实验可供选择的 流体种类是很少的。通常我们只能抓主要矛盾，保证起决定作 用的那个相似准数相等，称为部分相似(局部相似)。
----- 韦伯准数
F El 2
3
v2
l I l 2 l 2v2 ----- 马赫准数 t v FT l 2 lv ( Re)n ( Re)m Re l l ----- 雷诺准数 I l 3 2 l 2v 2 12 t
Mn Mm
2. 由动力相似定义推导
ln lm un t n um t m
2 2 vn vm g nln g mlm
令 St
l u t
St n St m
St —— 斯特罗哈数（非恒定流）
v2 令 Fr g l
令 Re
流 体 力 学
Frn Frm
Fr —— 弗劳德数
n vnln m vmlm 取 1 n m u l
l v t
l l t
则
t l
20
12.4 Tm 2.77h t 20
Tn
例
流 在设计高度为1.5m，最大车速为108km/h的汽车时， 体 需确定其正面阻力，拟在风洞中用模型进行试验，①如 力 风洞中最大分数为45m/s，求模型高度；②在①条件下， 学
vl Ren Rem
Re —— 雷诺数
p pn pm p 取 2 1 v 2 v 2 令 Eu v 2 Eu n Eu m n n m m u
Eu —— 欧拉数
11
2. 由动力相似定义推导
In Im Gn Gm In Im Tn Tm In Im Fn Fm In Im FTn FTm
2.该原理规定了一个物理过程有关物理量之间的关系， 英尺可按量纲之间的这一规律建立表征物理过程的方 程。 ——— 量纲分析法即以此为根本
25
雷利分析法
某物理现象的影响因素设为 x1，x2，…，xn。
则令
a2 an xn kx1a1 x2 xn
流 体 力 学
原型与模型要相似，则系数相等
原型可写为：
p u u u2 g t t l l2
u2 各项同除 t
g l p l 1 2 2 u t u u u l
10
l 1 取 u t
g l 取 1 2 u
3 Vn ln V 3 l3 Vm lm
面积比例常数
体积比例常数
指两个流动（原型与模型）流场的几何形状相似
2
流 体 力 学
几何相似
3
2. 运动相似：
tn t tm un l u um t an l a 2 am t
时间比例常数 速度比例常数
流 体 力 学
同理可得
p Eu 2 v F Ne 2 2 l v
流 体 力 学
----- 欧拉准数
----- 牛顿准数
13
第三节 模型律
一、模型实验
在什么条件 下进行实验? 在相似的条件下进行实验 应该测量实验结果无量纲表达 式包含的所有物理量 实验结果应整理成以相似准数和 其它无量纲量来表示的函数关系 式或绘制成曲线；实验结果只能 应用于相似现象之间。
测出模型正面风阻为1.5kN ，求原型在最大车速时的正 面风阻。
解：采用相同流体试验，所以 1, 1
(1) 由Re相似
vl / 1
vn 108 103 v 0.67 vm 45 60 60
l 1/ v 1.5
(2) 由动力相似
Hm Hn / l 1.5/1.5 1m
8
1. 由运动微分方程（N-S方程）推导
以 N-S 方程的 z 轴为例：u为模型，u’为原型
uz uz uz uz 2u z 2u z u z 1 p ux uy uz Z ( 2 2 2 ) t x y z z x y z
2 2 2 u u u u u u u 1 p z z z z z z z u u u Z ( ) x y z 2 2 2 t x y z z x y z
解：此系统中流动的主要作用力是黏性力和压力，因此 主要准则是Re准则，辅助性准则是Eu准则。
18
(1) 由Rem=Ren，则
Re
0.045 v 1.5 l 0.01 3
流 体 Q νl2 1.5 32 13.5 力 学
vd
100 Qm 7.4 l/s Q 13.5
G gl 3 3 l I l 2 l 2v 2 t T l
v2 Fr gl
流 体 ( Fr )n ( Fr )m 力 ----- 弗劳德准数 学
l I l 2 l 2v 2 t
3
(We)n (We)m We 2 lv
v2 M 2 E a
24
三、量纲分析法
量纲分析的基础是量纲和谐定理： 凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的 量纲一定是一致的。
流 体 力 学
结论：
1.凡正确反映客观规律的物理方程，均可表示成由无 量纲项组成的无量纲方程，而保持原方程的性质。
p v2 z C g 2g
p v2 1 C gz 2 gz
流 体 力 2学
由于
u t x y z p u , t , l , p , , u t x y z p g 在重力场下 Z g , Z g , g g 9
流 体 2 p 1 p u uz u u z u z u z 力 (ux uy uz ) g g t t t x y z l z 学 u 2uz 2uz 2uz ( 2 2 2) 2 l x y z
流 体 力 学
指两个流动相应点处质点受同名作用力，方向 相同，大小成比例 In FTn Im FTm Pm
6
Pn Gm
Gn
二、力学相似原理
几何相似是力学相似的前提；运动相似是模型实 验的目的；而动力相似是运动相似的保证。 如果两个同一类的物理现象，在对应的时空点， 各标量物理量的大小成比例，各向量物理量除大小成 比例外，且方向相同，则称两个现象是相似的。
22
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ般物理量可写为：
[q] [ L T M ]
即q的性质由量纲指数 , , 决定
0, 0, 0
流 体 力 学
则 q 为几何学的量 则 q 为运动学的量
0, 0, 0
0, 0, 0
则 q 为动力学的量
则 q（[q=1]）为无量纲量
加速度比例常数 流量比例常数
Qn l3 Q Qm t
指两个流动相应点的速度等方向相同，大小成比例
4
流 体 力 学
运动相似
5
3. 动力相似：
Fn FTn Gn Pn pn In F Fm FTm Gm Pm pm Im
合 力 粘 性 力 重 力 总 压 力 压 力 差 惯 性 力
流 体 力 学
16
三、自动模型化
当 Re 数增大到一定界限时，惯性力与粘性力之 比也大到一定程度。粘性力的影响相对减弱，此时 继续提高 Re 数，也不再对流动现象和流动性能发生 度和量的影响。这说明 Re 数虽不同，但粘性效果却 是一样的。 产生此现象的Re数范围称自动模型区， Re数处 在此区时， Re准则失去判别相似的作用。
p Eu 2 v
又 g 1
Qn
(2) 由Eum=Eun，则 由 p gh
p g h 1 2 2 v v
2 h 2 1 . 5 2.25 v
则 hn h hm 2.251.05 2.36m
19
例
流 体 力 学
17
流 例 体 煤油管路上文丘里流量计直径d1=0.3m，喉部 力 d2=0.15m，在1:3的模型中用水作实验。已知煤油密度 学 3 2 2
0.82g/cm ，水、煤油的n值为0.01cm /s，0.045cm /s。 求： （1）若原型中煤油流量为100l/s，则模型中水的流 量应是多少？ （2）若模型中两断面间的测压管水头差 Δhm=1.05m， 求原型中的Δhn？
流 海港模型的几何比尺λl = 20，原型中潮汐周期为 体 12.4小时，求模型中的潮汐周期。 力 解：潮汐运动的主要作用力是重力，此外为非恒定周期 学