第一讲 椭圆中常用的结论及解法技巧(教师版)

第一讲 椭圆中常用结论及解法技巧

【知识要点】

一．椭圆三大定义

定义 1．到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆． 几何性质：椭圆上任一点到两焦点的距离之和为定值．

定义 2．到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为定值（小于1）的点的轨迹是椭圆． 几何性质：椭圆上任一点到左（右）焦点的距离与到左（右）准线的距离之比为离心率 e ． 定义 3．到两个定点的斜率之积为定值（小于0且不等于1-）的点的轨迹是椭圆 ．

几何性质：椭圆上任一点到左右（上下）两顶点的斜率之积为22

a

b -．

二．椭圆经典结论汇总

1．AB 是椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 的不平行于对称轴的弦，),(00y x M 为AB 的中点，则

22a b k k AB

OM -=⋅，即 0

20

2y a x b k AB -=．

等价形式：21,A A 是椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 上关于原点对称的任意两点，B 是椭圆上其

它任意一点，直线B A B A 21,的斜率存在，则22

21a

b k k B

A B A -=⋅．

2．椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上任意一点θ=∠21PF F

则（1）2122||||1cos b PF PF θ=+；（2）椭圆的焦点角形的面积为2

tan 22

1

θb S PF F =∆．

3．过椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 上任一点),(00y x A 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于

C B ,两点，则直线BC 有定向且0

20

2y a x b k BC

= （常数）． 4．P 为椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 上任一点，21,F F 为二焦点，A 为椭圆内一定点，则

||2||||||2112AF a PF PA AF a +≤+≤-，当且仅当P F A ,,2三点共线时，等号成立．

5．已知椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x ，O 为坐标原点，Q P ,为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥，

（1）22221111||||OP OQ a b +=+；（2）22||||OQ OP +的最大值为22224a b a b +；（3）OPQ S ∆的

最小值是22

22

a b a b +．

6．椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 的焦半径公式：

)),(),0,(),0,((,||,||00210201y x M c F c F ex a MF ex a MF --=+=

7．若),(000y x P 在椭圆122

22=+b

y a x 内，则被0P 所平分的中点弦的方程是

22

2202020b

y a x b y y a x x +=+． 8．若),(000y x P 在椭圆122

22=+b

y a x 内，则过0P 的弦中点的轨迹方程是

20202222b

y

y a x x b y a x +=+． 9．若),(000y x P 在椭圆122

22=+b y a x 上，则过0P 的椭圆的切线方程是12020=+b y y a x x ．

10．若),(000y x P 在椭圆122

22=+b

y a x 外 ，则过0P 作椭圆的两条切线切点为21,P P ，则切点弦

21P P 的直线方程是

12020=+b

y

y a x x ． 11．设椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 的两个焦点为P F F ,,21（异于长轴端点）为椭圆上任意一

点，在21F PF ∆中，记12F PF α∠=，12PF F β∠=，12F F P γ∠=，则有

sin sin sin c

e a

αβγ==+．

12．若P 为椭圆()0122

22>>=+b a b y a x 上异于长轴端点的任一点，21,F F 是焦点，

12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则2tan 2tan β

α=+-c a c a ．

13．设B A ,是椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=，

PBA β∠=，BPA γ∠=，e c 、分别是椭圆的半焦距离心率，则有

(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-； (2)2

tan tan 1e αβ=-；(3) 222

2

2cot PAB a b S b a

γ∆=-． 14．椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e ．

15．椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上任意一点

θ=∠21PF F ，椭圆的焦点角形的内心为I ，P I y e e y +=1，c a PI -=2

cos ||θ

．

16．点P 处的切线PT 平分21F PF ∆在点P 处的外角．

17．若椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，左准线为l ，则当1

20-≤