第一讲 椭圆中常用的结论及解法技巧(教师版)
高中数学新课标椭圆常结论
高中数学新课标中椭圆的常用结论一、椭圆上距离焦点距离最近的点，最远的点是长轴的两个端点。
二、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x 轴为例， 弦AB坐标：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a b c A 2,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c B 2,弦AB 长度：ab AB 22=三、若P 是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为. 推导：如图θsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF 根据余弦定理，得θcos =21221222PF PF F F PF PF ⋅-+=2122121242)PF PF c PF PF PF PF ⋅-⋅-+=2122122424PF PF c PF PF a ⋅-⋅-=21212224PF PF PF PF b ⋅⋅-得θcos 12221+=⋅b PF PFθsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF =θθsin cos 12212⋅+⋅b =θθcos 1sin 2+⋅b =2tan 2θb12222=+b y a x 21,F F θ=∠21PF F 21F PF ∆2tan2θb四、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长12AB x =-==注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,则12AB y y =-. 五、圆锥曲线的中点弦问题： (1)椭圆中点弦的斜率公式：设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b +=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有：22AB OM b k k a⋅=-证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b--+=整理得：2221222212y y b x x a-=--，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a⋅=-(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
高中数学椭圆解题技巧
高中数学椭圆解题技巧椭圆是高中数学中一个重要的几何概念，也是解析几何中的一个重要内容。
在考试中，椭圆相关的题目经常出现，因此掌握椭圆的解题技巧对于高中学生来说非常重要。
本文将从椭圆的基本性质、方程的推导和解题技巧等方面进行论述，帮助读者更好地理解和应用椭圆。
一、椭圆的基本性质椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹。
其中，F1和F2称为椭圆的焦点，2a称为椭圆的长轴，a称为椭圆的半长轴。
椭圆的性质有很多，但在解题过程中，最常用的性质是椭圆的离心率和焦半径之间的关系。
根据定义，椭圆的离心率e满足0<e<1，离心率e与焦半径c之间的关系为e=c/a。
这个关系式在解题过程中经常用到，特别是在求解椭圆的方程时。
二、椭圆方程的推导在解析几何中，椭圆的方程可以通过几何定义和代数定义两种方式推导得到。
这里我们主要介绍代数定义的推导方法。
1. 椭圆的代数定义设椭圆的焦点为F1(-c,0)和F2(c,0)，离心率为e，点P(x,y)为椭圆上的任意一点。
根据椭圆的定义，有PF1+PF2=2a。
利用距离公式可以得到：√[(x+c)²+y²] + √[(x-c)²+y²] = 2a2. 椭圆的方程根据代数定义的推导结果，可以得到椭圆的方程为：[(x+c)²+y²] + [(x-c)²+y²] - 4a² = 0三、椭圆解题技巧在解椭圆相关的题目时，有几个常见的考点和解题技巧需要注意。
1. 椭圆的标准方程标准方程是指椭圆方程中的常数项为0的形式。
将椭圆方程整理为标准方程的形式，可以更方便地求解椭圆的性质和参数。
例如，将椭圆方程[(x+c)²+y²] + [(x-c)²+y²] - 4a² = 0整理为标准方程的形式，可以得到x²/a² + y²/b² = 1，其中b²=a²-c²。
(完整版)椭圆常结论及其结论(完全版)
2椭圆常用结论一、椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率（点与线成对出现，左对左，右对右）对于12222=+by a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c a x l 22:=对于12222=+bx a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c a y l 22:=椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称焦点到准线的距离cb c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数）二、焦半径圆锥曲线上任意一点M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。
椭圆的焦半径公式：焦点在x 轴（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离心率焦点在y 轴 1020,MF a ey MF a ey =+=-其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加()c a PF c a PF -≥-≥21,推导：以焦点在x 轴为例如上图，设椭圆上一点()00,y x P ，在y 轴左边. 根据椭圆第二定义，e PMPF =1，则 02020201ex a c a x a c c a x e c c x e PM e PF +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--== xO F 1F 2Py A 2A 1B 1B 2同理可得02ex a PF -=三、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x 轴为例， 弦AB坐标：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a b c A 2,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c B 2,弦AB 长度： ab AB 22=四、若P 是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为. 推导：如图θsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF 根据余弦定理，得 θcos =21221222PF PF F F PF PF ⋅-+=2122121242)PF PF c PF PF PF PF ⋅-⋅-+=2122122424PF PF c PF PF a ⋅-⋅-=21212224PF PF PF PF b ⋅⋅-得θcos 12221+=⋅b PF PFθsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF =θθsin cos 12212⋅+⋅b =θθcos 1sin 2+⋅b =2tan 2θb12222=+b y a x 21,F F θ=∠21PF F 21F PF ∆2tan2θb xO F 1F 2 P y A 2A 1B 1B 2五、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长12AB x =-==注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,则12AB y y =-. 六、圆锥曲线的中点弦问题： (1)椭圆中点弦的斜率公式：设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b +=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有：22AB OMb k k a⋅=-证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b --+=整理得：2221222212y y b x x a-=--，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a⋅=-(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
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2椭圆常用结论一、椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1) 内常数 e，那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数 e 就是离心率（点与线成对出现，左对左，右对右）对于 x 2 y 2 1，左准线 l1 : x a 2 ；右准线 l 2 : x a 2a 2b 2c c对于 y 2 x2 1，下准线 l1 : y a 2 ；上准线 l 2 : y a 2a 2 b2 c c椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称焦点到准线的距离a 2 a2 c 2 b2p c （焦参数）c c cPyB2A1xA2F1O F2B1二、焦半径圆锥曲线上任意一点 M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。
椭圆的焦半径公式：焦点在 x 轴（左焦半径）r1 a ex0,（右焦半径） r2 a ex0,其中 e 是离心率焦点在 y 轴MF1 a ey0 , MF 2 a ey0其中 F1 , F2分别是椭圆的下上焦点焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关可以记为：左加右减，上减下加PF1 a c, PF2 a c推导：以焦点在 x 轴为例如上图，设椭圆上一点P x0 , y0 ，在y 轴左边.PF1e ，根据椭圆第二定义，PM则 PF1 e PM e x0 c2 e x0 a2 cx0 a2 a ex0c c a c同理可得PF 2 a ex 0三、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在 x 轴为例，弦 ABb 2 b 2坐标： A c,， B c,aa弦 AB 长度： AB2b 2a四、若 P 是椭圆： x2y 2 1 上的点 . F 1,F 2 为焦点，若F 1PF 2，则 PF 1F 2 的面积为a 2b 2b 2 tan .2推导：如图 S PF F1PF 1 PF 2 sin1 22根据余弦定理，得222cos PF PFF 1 F 2=2 PF 1 PF 2=PF 1 PF )2 2 PF 1 PF 2 4c 22 PF 1 PF 2=4a 22 PF 1 PF 2 4c 22 PF 1 PF 2=4b 2 2 PF 1 PF 22 PF 1 PF 22b 2得 PF 1PF 21 cosSPF 1F 21PF 1 PF 2 sin =11 2b2 sin = b 2 sin=b 2 tan22 cos 1 cos2yPB 2xA 1A 2F 1O F 2B 1五、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为A(x1, y1),B(x2, y2 ) ,则它的弦长AB 1 k 2 x1 x2 (1 k 2 ) (x1 x2 )2 4x1x2112 y1 y2 k注 : 实质上是由两点间距离公式推导出来的, 只是用了交点坐标设而不求的技巧而已( 因为 y1 y2 k ( x1 x2 ) ，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,则AB y1 y2.六、圆锥曲线的中点弦问题：(1)椭圆中点弦的斜率公式：设 M ( x0 , y0 ) 为椭圆x2 y 21弦 AB （ AB 不平行 y 轴）的中点，则有：a2 b2k AB kOMb2a2证明：设 A( x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ，则有yx12 y121 Ay1 y2 a2 b2 MkAB ，两式相减得：x1 x2 x22 y221F 1 F2 B xa 2b 2Ox12 x22 y12 y22 0整理得：a2 b2y12 y22 b 2 x12 x22 ，即a2( y1 y2 )( y1 y2 ) b2(x1 x2 )(x1 x2 )，因为 M ( x0 , y0 ) 是弦AB的中点，所以a2kOM y0 2x0 y1 y2，所以 k AB b2kOM2x0 2y0 x1 x2 a(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
椭圆的结论十三个及证明
椭圆的结论十三个及证明椭圆是平面解析几何中的一类特殊曲线，由两个焦点F1和F2及到它们的距离之和等于常数2a的点动轨迹构成。
本文将介绍椭圆的定义、性质以及它们的证明。
##一、椭圆的定义椭圆的定义如下：设平面上给定两个不重合的点F1和F2，对于平面上的任意一点P，到F1的距离加上到F2的距离等于常数2a，那么点P的轨迹就是一个椭圆。
我们可以通过以下步骤来证明这一定义。
##二、椭圆的证明### 1.步骤1：点P在椭圆上对于任意一点P在椭圆上，我们有以下等式成立：PF1 + PF2 = 2a由于F1和F2是椭圆的两个焦点，所以对于任意时刻，PF1 + PF2的距离是恒定的，等于椭圆的主轴长2a。
所以点P在椭圆上。
### 2.步骤2：椭圆的离心率椭圆的离心率是一个衡量椭圆扁平程度的指标。
我们可以用离心率e来表示，它的计算公式如下：e = PF1 / a其中，a是椭圆的主轴长。
### 3.步骤3：椭圆的焦点与准线根据椭圆的定义，我们可以得到以下结论：-椭圆的焦点F1和F2在椭圆的主轴上，且在椭圆的中垂线上；-椭圆的准线是与椭圆的对称轴相交于焦点的直线。
### 4.步骤4：椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以根据椭圆的定义推导而得。
设椭圆的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，椭圆的顶点为A(a,0)和B(-a,0)，那么椭圆的标准方程为：(x - c)² / a² + y² / b² = 1其中，a是椭圆的半长轴，c是椭圆的焦距，b是通过离心率计算得到的次长轴。
### 5.步骤5：椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以通过椭圆的标准方程得到。
设角度θ是椭圆的主轴与x轴的夹角，那么椭圆的参数方程为：x = a * cosθy = b * sinθ其中，0 ≤ θ ≤ 2π。
### 6.步骤6：椭圆的半焦距和焦长度椭圆的半焦距c是焦点到中心点的距离的一半，可以用以下公式表示：c = √(a² - b²)椭圆的焦长度是焦点到准线的距离，可以用以下公式表示：d = 2 * c### 7.步骤7：椭圆的面积椭圆的面积可以通过以下公式计算得到：S = π * a * b其中，a是椭圆的半长轴，b是通过离心率计算得到的次长轴。
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椭圆一．知识清单1.椭圆的两种定义：①平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长2a 2a F1 F2的动点P 的轨迹，即点集M={P||PF|+|PF |=2a ， 2a＞ |F F |} ；（2a F1 F2时为线段 F1F2，2a F1F2无轨迹）。
此中两定1212点 F1， F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。
②平面内一动点到一个定点和必定直线的距离的比是小于 1 的正常数的点的轨迹，即点集M={P|PF e， 0＜ e＜ 1 的常数。
（ e1为抛物线； e1为双曲线）d（利用第二定义 , 能够实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转变，定点为焦点，定直线为准线） .2 标准方程：（ 1）焦点在 x 轴上，中心在原点：x2y 21 （a＞b＞0）；a2 b 2焦点 F （－ c， 0）， F（ c，0）。
此中c a2b2（一个 Rt 三角形）12（ 2）焦点在 y 轴上，中心在原点：y 2x 21（a＞b＞0）；a2b2焦点 F1（ 0，－ c）， F2（ 0， c）。
此中c a 2 b 2注意：①在两种标准方程中，总有a＞ b＞ 0，c a 2b2而且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 （A＞ 0，B＞ 0，A≠ B），当 A＜ B 时，椭圆的焦点在 x 轴上， A＞ B 时焦点在 y 轴上。
3 参数方程：焦点在 x 轴，x a cos（为参数）y b sin4 一般方程：Ax2By 21( A0,B 0)5. 性质：对于焦点在 x 轴上，中心在原点：x2y21（ a＞ b＞ 0）有以下性质：a2b2坐标系下的性质：①范围： |x|≤a， |y|≤b；② 对称性：对称轴方程为x=0， y=0，对称中心为O（0， 0）；③极点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），长轴|A1A2|=2a，短轴|B1B2|=2b；（ a 半长轴长，b半短轴长）；④ 椭圆的准线方程：对于 x2y 21，左准线 l 1 : x a 2；右准线 l 2 : x a2a 2b 2c c对于 y 2x 21，下准线 l1 : y a 2；上准线 l 2 : y a 2a 2b 2c c焦点到准线的距离 pa 2 a 2 c 2b 2 cc（焦参数）cc椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外面，与短轴平行，且对于短轴对称⑤ 焦半径公式： P （ x 0，y 0）为椭圆上任一点。
椭圆知识点及结论总结
椭圆知识点及结论总结**一、椭圆的定义**椭圆是指到定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P到定直线l的距离之和相等的点的轨迹。
其中，l为连接F1和F2的连线的垂直平分线。
**二、椭圆的性质**1. 对称性：椭圆具有对称性，其形状关于两轴方向对称，对称轴是长轴和短轴。
2. 焦点和直径关系：椭圆上每一个点到两个焦点的距离之和等于长轴的长度2a。
3. 离心率：椭圆的离心率定义为e=c/a，其中c为焦距，a为长轴长度。
椭圆的离心率在0到1之间。
4. 焦角性质：椭圆上任意一点处的法线与连接该点与两个焦点的连线的夹角相等。
**三、椭圆的方程**椭圆的一般方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中，a和b分别为长轴和短轴的长度。
当椭圆的中心位于原点时，方程可以简化为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
此外，我们还可以通过椭圆的焦点和离心率来描述椭圆的方程。
**四、椭圆的参数方程**椭圆也可以通过参数方程来描述，参数方程为x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中，t为参数。
参数方程描述了椭圆上所有点的坐标。
通过参数方程，我们可以更加直观地理解椭圆的形状和特性。
**五、椭圆的应用**1. 天体轨道：行星、卫星等天体的运动轨道大多为椭圆形。
通过研究椭圆轨道，可以更好地了解天体的运动规律和预测其轨道变化。
2. 工程设计：椭圆曲线在工程设计中有着广泛的应用，例如椭圆形的建筑结构、汽车轮胎的设计等。
3. 导弹轨迹：导弹的轨迹可以用椭圆来描述，研究导弹的椭圆轨道可以帮助提高导弹的精准度和命中率。
**结论**通过本文的探讨和分析，我们了解了椭圆的定义、性质、方程及其应用。
椭圆作为一种重要的几何图形，在数学、物理、工程等领域都有着重要的应用价值。
通过对椭圆的深入研究和了解，可以更好地应用椭圆的特性，解决实际问题和推动科学技术的发展。
希望本文能够对读者对椭圆有一个更加全面的了解，并对椭圆的研究和应用提供一些启发和帮助。
选修1第一讲 椭圆中知识点总结(全)--附带涉及到的公式推导过程
椭圆：1、（第一）定义：12122PF PFa F F +=>；2、椭圆标准方程及离心率：焦点在x轴上的椭圆标准方程为：22221(0)x ya ba b+=>>；:a长半轴；b：短半轴；:c半焦距 .椭圆中a，b，c的关系：222a b c=+；椭圆的离心率(0,1)cea=∈ .3、弦长公式： 直线:l y kx b =+与椭圆2222:1()x y C m n m n+=≠交于两点11(,)M x y ，22(,)N x y ，则相交时的弦长1212MN x x y y =-=- .弦长公式是由两点距离公式与两点斜率公式推导出来，故适用性比较广。
4、中点弦结论（点差法）： 椭圆2222:1()x y C m n m n+=≠上的两点11(,)M x y ，22(,)N x y ，弦MN 的中点1212(,)22x x y yP ++， 则22MNOPn kk m⋅=- .5、焦点三角形面积： 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆C 上除左、右端点外的一点，令12F PF θ∠=，则：122tan2PF F S b θ∆=⋅ . 该公式是由三角形面积公式、椭圆第一定义、余弦定理结合三角恒等变换推导出来。
6、直线与椭圆位置关系： 联立:0l Ax By C ++=与椭圆2222:1()x y C m n m n +=≠，消去y （或x ）得一元二次方程，24b ac ∆=-， 相离⇔0∆<；相切⇔0∆=；相交⇔0∆>；7、与点坐标相关的面积公式： (0,0)O ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，点O ，A ，B 不在一条直线上， 则：122112OAB S x y x y ∆=-.该公式是由三角形面积公式、余弦定理结合三角恒等式推导出。
椭圆的解题方法和技巧
椭圆的解题方法和技巧省市褚兰中学海平一、椭圆的定义的应用椭圆的定义是用椭圆上的点到焦点的距离来描述的，因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时，应先想到用定义求解，常会有事半功倍之效。
例1 的三边、、成等差数列且满足，、两点的坐标分别是、。
求顶点的轨迹。
分析：数列与解析几何相联系，往往构成综合性较大的题目，历来是高考考查的热点之一。
解析：∵、、成等差数列，∴，即，又，∴。
根据椭圆的定义，易得点的轨迹方程为。
又∵，∴，即，∴，∴。
故点的轨迹是椭圆的一半，方程为（）。
又当时，点、、在同一条直线上，不能构成三角形，∴。
∴点的轨迹方程为。
评注：该例是先由条件找到动点所满足的几何关系，寻找出满足椭圆定义的条件，然后确定椭圆的方程。
解题时，易忽略这一条件，因此易漏掉这一限制；由于、、三点构成三角形，故应剔除使、、共线的点。
例2 、椭圆上一点到两焦点、的距离之差为2，试判断的形状。
分析：由椭圆定义知，的和为定值，且二者之差为题设条件，故可求出的两边。
解析：由，解得。
又，故满足。
∴为直角三角形。
评注：由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作焦点三角形。
利用焦点三角形能有意识地考查定义、三角形正（余）弦定理、角和定理及面积公式能否灵活运用。
二、利用待定系数法确定椭圆的标准方程。
例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1(6,1)P ,2(3,2)P ,求椭圆的方程.【解析】设椭圆方程为22mx ny 1+=（m ＞0,n ＞0且m≠n）. ∵椭圆经过1P ，2P 点，∴1P ，2P 点坐标适合椭圆方程， 则①6m+n=1，② 3m+2n=1，①②两式联立，解得m= 19, n= 13.∴所求椭圆方程为22x y 193+=评注：运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于a ，b 的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1（m ＞0,n ＞0,m≠n），由题目所给条件求出m ，n 即可. 三、 利用向量解决椭圆问题几何中突出向量的工具作用成为高考命题的新亮点，向量本身具有“数”与“形”的双重身份，常把向量的代数式转化为坐标表示或利用其几何关系求解．()()()22410,14111()()22212||y x M l A B O P OP OA OB N l M P NP +==+例、最值问题设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于、两点，是坐标原点，点满足，点的坐标为，．当绕点旋转时，求：动点的轨迹方程；的最大值与最小值．()()112222221221221212220,1 1.()()1(4)2301424.8414()()()212244l M k l y kx A x y B x y y kx k x kx y x k x x k y y k x x y y k OP OA OB k k =+=+⎧⎪++-=⎨+=⎪⎩⎧+=-⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩++-=+==++直线过点，当斜率存在时，设其斜率为，则的方程为记，，，，由，得，所以解，：，析则．()()222222222()40.0,0111.16441117||()()3(40.1||6611||.4).2261242P x P x y k x y y AB P x x NP x y y y x NP x x NP +-=≤-≤≤=-+-=-+-=++=-=点的轨迹方程为当时，取得设点的坐标为，，则，消去得当斜率不存在时，的中点为原点，也满足上述方程．所以由点的轨迹方程知，即所以故当时，取得最小值为评注：由向量作为载体的解析几何问题一要利用向量的几何意义，二要熟悉向量的坐标运算．而与椭圆有关的求最值问题则常与求函数的值域相联系． 例5、参数围问题()()()(01)0,1||()12||G ABC A B x M MA MC GM AB R C k l C P Q AP AQ k λλ∆-==∈=已知点是的重心，，，，在轴上有一点，满足，．求点的轨迹方程；若斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点、，且满足，试求的取值()222()()33()(0)3||1(0)3131(0)x yC x y G ABC G GM AB R GM AB xM x M MA MC y x x C y x λλ∆=∈==+=≠+=≠设，，为的重心，则，．因为，所以，而点在轴上，则，．，得整理得．所点的轨迹方析：程为以解()()()222222222211220||.013(13)63(1)0*(6)4(13)3(1)0130**()()2k l C P Q AP AQ k l y kx m x y k x kmx m l km k m k m P x y Q x y ==≠=++=+++-=∆=-+⋅->+->①当时，与椭圆有两个不同的交点、，由椭圆的对称性知②当时，可设的方程为，代入，整理得，，因为直线与椭圆交于不同的两点，所以，即，设，，，，1122212122212000002222()()63(1)1313()231313||11313-13AN P x y Q x y km m x x x x k kx xPQ N x y x km m y kx m k k AP AQ AN PQ mk k k k km k -+=-=+++==-=+=++=⊥++⋅=⋅=-+设，，，，则，，则中点，的坐标为，，又，所以，所以，()()()()2213**121,00,1,11k m k k k -+=<∈-得，代入得，所以．的取值范围得，是综合①②．． 评注：解决参数的取值围问题常用的方法有两种：①不等式(组)求解法：根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式(组)得出参数的取值围；②函数值域求解法：把所讨论的参数表示为有关某个变量的函数，通过讨论函数的值域求参数的变化围．。
高中数学解椭圆方程的常见方法和注意事项
高中数学解椭圆方程的常见方法和注意事项椭圆方程是高中数学中的重要内容，解椭圆方程需要掌握一些常见的方法和注意事项。
本文将介绍几种常见的解椭圆方程的方法，并给出相应的例题进行说明。
一、配方法解椭圆方程配方法是解椭圆方程的一种常用方法，它的基本思想是通过变量代换将椭圆方程转化为标准形式，从而求解出方程的解。
例题一：解方程$x^2-3xy+2y^2=7$解法：首先，我们将方程进行配方，即将$x^2-3xy+2y^2$转化为$(x-y)(x-2y)$的形式。
因此，原方程可写为$(x-y)(x-2y)=7$。
接下来，我们可以尝试令$u=x-y$和$v=x-2y$，则方程可以进一步转化为$uv=7$。
这样，我们就将原方程转化为了一个更简单的形式，可以通过求解$u$和$v$的值来得到方程的解。
假设$u=1$，则$v=7$；假设$u=7$，则$v=1$。
因此，原方程的解为$(x-y,x-2y)=(1,7)$和$(7,1)$。
二、直接求解椭圆方程直接求解椭圆方程是一种简单直接的方法，需要将方程转化为标准形式，然后根据标准形式进行求解。
例题二：解方程$4x^2+9y^2-24x+36y=0$解法：首先，我们将方程进行配方，即将$4x^2-24x$转化为$4(x^2-6x)$，将$9y^2+36y$转化为$9(y^2+4y)$。
然后，我们再将方程进行分组，即$4(x^2-6x)+9(y^2+4y)=0$。
接下来，我们可以将$x^2-6x$转化为$(x-3)^2-9$，将$y^2+4y$转化为$(y+2)^2-4$。
将这些转化代入方程，得到$(x-3)^2-9+9(y+2)^2-36=0$。
整理后，得到$(x-3)^2+9(y+2)^2=45$。
这是一个标准的椭圆方程，可以根据标准形式求解。
通过对方程进行分析，我们可以得到椭圆的中心坐标为$(3,-2)$，长轴长度为$\sqrt{45}$，短轴长度为$\sqrt{5}$。
椭圆知识点总结 方法技巧
椭圆知识点总结方法技巧第一部分：椭圆的定义和基本性质1.1 椭圆的定义椭圆的定义可以通过焦点和短轴长轴长度等方法描述。
其中一个重要的定义是通过离心率e这一参数描述。
离心率是焦点与椭圆长轴的交点之间的距离和椭圆长轴的长度的比值。
离心率小于1时为椭圆。
这一定义可以帮助我们快速判断一个曲线是不是椭圆。
1.2 椭圆的性质椭圆具有许多独特的性质。
其中一些重要的性质包括焦点的位置、椭圆的三角形特性、椭圆的离心率和焦距。
这些性质可以用于解决椭圆相关的问题和应用。
第二部分：椭圆的常见问题解法2.1 椭圆的参数方程椭圆的参数方程描述了椭圆上任意一点的坐标。
它可以通过角度、离心率等参数来描述椭圆上的点的位置。
参数方程可以帮助我们计算椭圆上任意一点的坐标，解决相关问题。
2.2 椭圆的焦点坐标椭圆的焦点坐标是解决椭圆相关问题的重要参数。
它可以帮助我们确定焦点的位置、椭圆的形状、大小等。
通过计算椭圆的焦点坐标，我们可以更好地理解和应用椭圆的性质。
2.3 椭圆的方程椭圆的方程描述了椭圆的形状和位置。
通过椭圆的方程，我们可以计算椭圆的焦点、长轴、短轴等参数，解决相关问题。
第三部分：椭圆在实际问题中的应用椭圆在生活和工作中有着广泛的应用。
例如，椭圆可以用来描述行星的轨道、地球的椭球形等。
在工程领域，椭圆的形状和性质被广泛应用于桥梁、隧道、建筑等结构的设计和施工中。
在地理学中，椭圆被用来描述地图的形状、比例尺等参数。
椭圆的应用不仅限于理论研究，更广泛地渗透到人类的生活和工作中。
总结综上所述，椭圆是一个重要的几何学曲线，具有许多独特的性质和应用。
通过了解椭圆的定义、性质和解法，我们可以更好地理解和应用椭圆。
椭圆在生活和工作中有着广泛的应用，对促进人类社会的发展和进步起着重要的作用。
希望通过本文的介绍，读者能更好地理解和应用椭圆，为自己的学习和工作带来更多的帮助。
高中椭圆知识点总结
高中椭圆知识点总结椭圆是一个数学的重要考点，但要考的知识点并不是十分的多，下面高中椭圆知识点总结是小编为大家带来的，希望对大家有所帮助。
高中椭圆知识点总结椭圆知识点1.利用待定系数法求标准方程：(1)求椭圆标准方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性、后定型、再定参)。
椭圆的标准方程有两种形式，所谓“标准”，就是椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦点F1、F2的位置决定椭圆标准方程的类型，是椭圆的定位条件;参数a、b 决定椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件。
对于方程x^2/m+y^2/n=1 ，m>0,n>0若m>n ，则椭圆的焦点在x轴上;若m(2)当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为x^2/m+y^2/n=1 ，m>0,n>0 ，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设Ax^2+By^2=1(A>0,B>0) ，这种形式在解题中更简便。
2.椭圆定义的应用：平面内一动点与两个定点F1 、F2 的距离之和等于常数2a ，当2a >|F1F2 |时，动点的轨迹是椭圆;当 2a=|F1F2 |时，动点的轨迹是线段F1F2 ;当 2a<|F1F2 |时，轨迹为存在。
椭圆的几何性质：(1)设椭圆的方程x^2/a^2+y^2/b^2=1 上任意一点为P ，则OP^2=x^2+y^2 ，当x=-a,a时有最大值，这时P在长轴端点A1或A2处。
(2)椭圆上任意一点P 与两焦点F1F2 ，构成三角形称之为焦点三角形，周长为2a+2c 。
(3)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形的边长，有a^2=b^2+c^2 。
直线与椭圆的相交问题在解决有关椭圆的问题时，要先画出图形，解题时重视方程的几何意义和图形的辅助作用，将对几何图形的研究转化为对代数式的研究，同时又要理解代数问题的几何意义。
数形结合的思想方法是解析几何中基本的思想方法。
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椭圆知识点知识点一：椭圆的定义平面内一个动点 P 到两个定点 F 1、 F 2 的距离之和等于常数( PF 1 + PF 2 = 2a > F 1 F 2 ) ,这个动点 P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若 PF 1 + PF 2 = F 1 F 2 ，则动点 P 的轨迹为线段 F 1F 2 ；若 PF 1 + PF 2 < F 1F 2 ，则动点 P 的轨迹无图形.知识点二：椭圆的简单几何性质x 2 + y 2y 2 x 2椭圆： a 2 b 2 = 1 (a > b > 0) 与a 2 +b 2= 1 (a > b > 0) 的简单几何性质F 1F 2 = 2c F 1F 2 = 2c x ≤ a ， y ≤ bx ≤ b ， y ≤ aA 1 F 1 = A 2 F 2= a - c ； A 1 F 2 = A 2 F 1 = a + c ； a - c ≤ PF 1 ≤ a + c ；e = c(0 < e < 1)a离心率长轴长= 2a ，短轴长= 2b 长半轴长= a ，短半轴长= b （注意看清题目）轴长(0,±a ) ， (±b ,0)(±a ,0) ， (0,±b ) 顶点关于 x 轴、 y 轴和原点对称对称性 范围 焦距 F 1 (0,-c ) ， F 2 (0, c ) F 1 (-c ,0) ， F 2 (c ,0) 焦点性质图形(a > b > 0) 1 2 2+ = y x a 2 b2 1 (a > b > 0) x 2 + y 2 =a 2b 2标准方程注意：①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等知识点三：椭圆相关计算1.椭圆标准方程中的三个量a, b, c 的几何意义a 2=b2+c 22. 通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长2b 2a焦点弦：椭圆过焦点的弦。
椭圆常用结论及其推导过程
椭圆常用结论及其推导过程椭圆是一个非常重要的几何学概念，具有许多重要的结论和性质。
在这篇文章中，我们将介绍椭圆的常用结论及其推导过程。
一、椭圆的定义及基本性质1.椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a（a>0）的点P的轨迹。
2.椭圆的基本性质：(1)椭圆是一个封闭曲线，具有对称性；(2)椭圆的两个焦点F1和F2与椭圆的中心O在一条直线上；(3)椭圆的长轴与短轴相交于中心，长度分别为2a和2b（a>b>0）；(4)椭圆的离心率e满足0<e<1二、椭圆的焦点、半长轴和半短轴的平方和证明1.定理：椭圆焦点到定点连线与定点切线的夹角为直角。
证明：设定点F1、F2和椭圆上的点M。
由于FM的长度等于椭圆的长轴，且角FMF1和角FMF2均为直角，所以角MF1F2为直角。
对于切线MF1和MF2，它们垂直于线段F1F2，所以MF1与MF2的夹角为直角。
2.定理：椭圆焦点到定点连线的长度平方和等于长轴的平方。
证明：设椭圆的焦点分别为F1和F2，长轴的长度为2a，椭圆上的任意一点为P。
根据椭圆的定义，有PF1+PF2=2a。
将等式两边平方化简得到(PF1)²+(PF2)²+2(PF1)(PF2)=(2a)²。
根据焦点与点P连线与切线夹角为直角的性质，可以得到(PF1)²+(PF2)²=(PM)²，其中PM为点P到椭圆的切线的距离。
根据切线的性质，可以得到(PM)²=(PA)²+(PM-A)²，其中A是椭圆上与点P相切的点。
代入上式，化简得到(PF1)²+(PF2)²+2(PF1)(PF2)=(2a)²，即(PA)²+(PM-A)²+2(PA)(PM-A)=(2a)²。
经过化简，得到(PA+PM-A)²=(2a)²，即2(PA)(PM-A)=0。
高中数学-椭圆-超经典-知识点+典型例题讲解精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版学生姓名 性别 男 年级 高二 学科 数学 授课教师 上课时间２0１４年12月１3日 第( )次课 共( ）次课课时: 课时教学课题椭圆教学目标教学重点与难点选修2-1椭圆知识点一：椭圆的定义ﻫ 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数(）,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.ﻫ 注意：若,则动点的轨迹为线段;若，则动点的轨迹无图形.讲练结合一.椭圆的定义 1.方程()()10222222=++++-y x y x 化简的结果是2.若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -,ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是3.已知椭圆22169x y ＋＝1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为知识点二:椭圆的标准方程ﻫ １.当焦点在轴上时,椭圆的标准方程：,其中；2．当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:，其中;注意:ﻫ １.只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程；ﻫ 2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；ﻫ ３．椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,;当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。
讲练结合二．利用标准方程确定参数1.若方程25x k -+23y k -=１（１）表示圆，则实数ｋ的取值是 .(2)表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围是 . (3)表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 ． (4)表示椭圆，则实数ｋ的取值范围是 ．2.椭圆22425100x y +=的长轴长等于 ,短轴长等于 ， 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ,离心率等于 ，３.椭圆2214x y m+=的焦距为2，则m = 。
4．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。
讲练结合三.待定系数法求椭圆标准方程1.若椭圆经过点(4,0)-,(0,3)-，则该椭圆的标准方程为 。
椭圆曲线知识点与讲义
圆锥曲线一、知识点讲解一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：3．常用结论：（1）椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，则2ABF ∆的周长= （2）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ二、例题讲解。
例1、 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a 和b （或2a 和2b ）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a by a x ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92=a ，故椭圆的方程为1922=+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a bx a y ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+b a ．又b a 3=，联立解得812=a ，92=b ，故椭圆的方程为198122=+x y ． 例2、 ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A的轨迹．分析：（1）由已知可得20=+GB GC ，再利用椭圆定义求解．（2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ， 故其方程为()013610022≠=+y y x ． （2）设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ① 由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．例3、 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为1F 、2F ，且3541=PF ，3522=PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ．从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12F PFRt ∆中，21sin 1221==∠PF PF F PF ，可求出621π=∠F PF ，3526cos21=⋅=πPF c ，从而310222=-=c a b ．∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x ． 例4、已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 21=∆求面积． 解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知： 221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =α．①由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②，则－①②2得 αcos 12221+=⋅b PF PF． 故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=b 2tan 2αb =． 三、习题讲解。
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第一讲 椭圆中常用结论及解法技巧【知识要点】一．椭圆三大定义定义 1．到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆． 几何性质：椭圆上任一点到两焦点的距离之和为定值．定义 2．到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为定值（小于1）的点的轨迹是椭圆． 几何性质：椭圆上任一点到左（右）焦点的距离与到左（右）准线的距离之比为离心率 e ． 定义 3．到两个定点的斜率之积为定值（小于0且不等于1-）的点的轨迹是椭圆 ．几何性质：椭圆上任一点到左右（上下）两顶点的斜率之积为22ab -．二．椭圆经典结论汇总1．AB 是椭圆()012222>>=+b a by a x 的不平行于对称轴的弦，),(00y x M 为AB 的中点，则22a b k k ABOM -=⋅，即 0202y a x b k AB -=．等价形式：21,A A 是椭圆()012222>>=+b a by a x 上关于原点对称的任意两点，B 是椭圆上其它任意一点，直线B A B A 21,的斜率存在，则2221ab k k BA B A -=⋅．2．椭圆()012222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上任意一点θ=∠21PF F则（1）2122||||1cos b PF PF θ=+；（2）椭圆的焦点角形的面积为2tan 221θb S PF F =∆．3．过椭圆()012222>>=+b a by a x 上任一点),(00y x A 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于C B ,两点，则直线BC 有定向且0202y a x b k BC= （常数）． 4．P 为椭圆()012222>>=+b a by a x 上任一点，21,F F 为二焦点，A 为椭圆内一定点，则||2||||||2112AF a PF PA AF a +≤+≤-，当且仅当P F A ,,2三点共线时，等号成立．5．已知椭圆()012222>>=+b a by a x ，O 为坐标原点，Q P ,为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥，（1）22221111||||OP OQ a b +=+；（2）22||||OQ OP +的最大值为22224a b a b +；（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +．6．椭圆()012222>>=+b a by a x 的焦半径公式：)),(),0,(),0,((,||,||00210201y x M c F c F ex a MF ex a MF --=+=7．若),(000y x P 在椭圆12222=+by a x 内，则被0P 所平分的中点弦的方程是222202020by a x b y y a x x +=+． 8．若),(000y x P 在椭圆12222=+by a x 内，则过0P 的弦中点的轨迹方程是20202222byy a x x b y a x +=+． 9．若),(000y x P 在椭圆12222=+b y a x 上，则过0P 的椭圆的切线方程是12020=+b y y a x x ．10．若),(000y x P 在椭圆12222=+by a x 外 ，则过0P 作椭圆的两条切线切点为21,P P ，则切点弦21P P 的直线方程是12020=+byy a x x ． 11．设椭圆()012222>>=+b a by a x 的两个焦点为P F F ,,21（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在21F PF ∆中，记12F PF α∠=，12PF F β∠=，12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+．12．若P 为椭圆()012222>>=+b a b y a x 上异于长轴端点的任一点，21,F F 是焦点，12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则2tan 2tan βα=+-c a c a ．13．设B A ,是椭圆()012222>>=+b a by a x 的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=，PBA β∠=，BPA γ∠=，e c 、分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-； (2)2tan tan 1e αβ=-；(3) 22222cot PAB a b S b aγ∆=-． 14．椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e ．15．椭圆()012222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上任意一点θ=∠21PF F ，椭圆的焦点角形的内心为I ，P I y e e y +=1，c a PI -=2cos ||θ．16．点P 处的切线PT 平分21F PF ∆在点P 处的外角．17．若椭圆()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，左准线为l ，则当120-≤<e时，可在椭圆上求一点P ，使得1PF 是P 到对应准线距离d 与2PF 的比例中项．18．过椭圆()012222>>=+b a by a x 的右焦点F 作直线交该椭圆右支于N M ,两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则2||||eMN PF =．19．已知椭圆()012222>>=+b a by a x ，B A ,是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ，则22220a b a b x a a---<<． 20．椭圆()012222>>=+b a by a x 的两个顶点为()()0,,0,21a A a A -，与y 轴平行的直线交椭圆于21,P P 时11P A 与22P A 交点的轨迹方程是12222=-by a x ．【例题解析】【例1】已知21,F F 分别是椭圆()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且0)(11=+⋅→→→OP OF PF （O 为坐标原点），若||2||21→→=PF PF ，则椭圆的离心率为（ ） A ．36- B ．236- C ．56- D ．256-【例2】已知定圆1)5(:221=++y x C ，225)5(:222=+-y x C ，定点)1,4(M ，动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切，则||||1CC CM +的最大值为（ ）A ．216+B ．216-C ．316+D ．316-【例3】过原点的一条直线与椭圆()012222>>=+b a by a x 交于B A ,两点，以线段AB 为直径的圆过该椭圆的右焦点2F ，若]4,12[2ππ∈∠ABF ，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A ．)1,22[B ．]36,22[C ．)1,36[D ．]23,22[【例4】已知椭圆()012222>>=+b a by a x 上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若BF AF ⊥，设α=∠ABF ，且]4,6[ππα∈，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ）A ．]13,22[- B ．)1,22[ C ．]23,22[ D ．]36,33[【例5】已知21,F F 是椭圆13422=+y x 的左右焦点，点M 的坐标为)23,1(-，则21MF F ∠的角平分线所在直线的斜率为( )A ．2-B ．1-C ．3-D ．2-【例6】已知椭圆：()012222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆上的一点，2PF 与椭圆交于Q 。
若Q PF 1∆的内切圆与线段1PF 在其中点处相切，与PQ 切于2F ，则椭圆的离心率为( ) A ．22 B ．23 C ．32 D ．33【例7】如图，已知椭圆()012222>>=+b a by a x 的左，右焦点分别为21,F F ，10||21=F F ，P 是y 轴正半轴上一点，1PF 交椭圆于A ，若12PF AF ⊥，且2APF ∆的内切圆半径为22，则椭圆的离心率为（ )A ．45 B ．35 C ．410 D ．415【例8】已知P 是椭圆1422=+my x 上任意一个点，N M ,是椭圆上关于原点对称的两个点，且直线PN PM ,的斜率分别为)0(,2121≠k k k k ，若||||21k k +的最小值为1，则实数m 的取值为（ ）A ．1B ．2C ．1或16D ．2或8【例9】设椭圆()012222>>=+b a b y a x 的焦点为21,F F ，P 是椭圆上一点，且321π=∠PF F ，若21PF F ∆的外接圆和内切圆的半径分别为r R ,，当时r R 4=，椭圆的离心率为（ ） A ．54 B ．32 C ．21 D ．52【例10】在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆14322=+y x 上的一个动点，点()1,1A ，()1,0-B ，则||||PB PA +的最大值为（ )A ．2B ．3C ．4D ．5【例11】设椭圆()012222>>=+b a by a x 的一个焦点()0,2F ，点()1,2-A 为椭圆E 内一点，若椭圆E 上存在一点P ，使得8||||=+PF PA ，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ．]74,94[B ．)74,94(C ．)72,92[D ．]72,92[【例12】已知平行四边形ABCD 内接于椭圆()012222>>=+b a by a x ，且AD AB ,斜率之积的范围为)32,43(--，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．)33,21(B ．)22,33(C ．)33,41(D ．)31,41(【例13】已知O 为坐标原点，平行四边形ABCD 内接于椭圆()012222>>=+b a by a x ，点F E ,，分别为AD AB ,的中点，且OF OE ,的斜率之积为43-，则椭圆的离心率为（ ）A ．21 B ．22 C ．43 D ．54【例14】设21,F F 分别是椭圆:E ()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，||3||11BF AF =，若53cos 2=∠B AF ，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．21 B ．32C ．23D ．22【例15】已知21,F F 分别是椭圆:C ()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点，若椭圆C 上存在点A ，满足a AF AF =-||3||221，则椭圆的离心率取值范围是（ ）A ．)1,21( B ．)1,51[ C ．)1,52( D ．)1,52[【例16】已知椭圆12622=+y x 的左、右焦点分别为21,F F ，直线m kx y l +=:与椭圆相切，记21,F F 到直线l 的距离分别为21,d d ，则21d d 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【例17】已知定点)0,3(),0,3(B A -，直线BM AM ,相交于点M ，且它们的斜率之积为91-，记动点M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点)0,1(T 的直线l 与曲线C 交于Q P ,两点，是否存在定点)0,(0x S ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在，求出S 坐标；若不存在，请说明理由．【例18】已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为)0,3(),0,3(21F F -，且经过点)21,3(A ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点)0,4(B 作一条斜率不为0的直线l 与椭圆C 相交于Q P ,两点，记点P 关于x 轴对称的点为'P ，若直线Q P '与x 轴相交于点D ，求DPQ ∆面积的最大值．【课后作业】【1】已知椭圆)30(19222<<=+b by x 的左、右焦点分别为21,F F ，过1F 直线交椭圆与B A ,两点，若||||22→→+AF BF 的最大值为8，则b 的值是（ ）A ．22B ．2C ．3D ．6【2】已知21,F F 为椭圆()012222>>=+b a by a x 的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点，2212121→→→≥⋅F F BF BF ，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．]21,0(B ．)22,0( C ．)23,0( D ．)1,21(【3】已知B A ,是椭圆()012222>>=+b a by a x 长轴的两个端点，N M ,是椭圆上关于x 轴对称的两点，且直线BN AM ,的斜率分别为)0(,2121≠k k k k ，若椭圆的离心率为23，则||||21k k +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．23D ．3【4】设21,F F 分别是椭圆()012222>>=+b a by a x 的左右焦点，过21,F F 作x 轴的垂线交椭圆四点构成正方形，则椭圆的离心率为（ ）A ．213- B ．215- C ．22 D ．23【5】AB 为过椭圆()012222>>=+b a by a x 中心的弦，)0,(c F 为椭圆的右焦点，则AFB ∆面积的最大值为（ ）A ．2bB ．abC ．acD ．bc【6】已知直线l 交椭圆12422=+y x 与B A ,两点，且线段AB 的中点为)1,1(，则l 的斜率为（ ）A ．2-B ．21-C ．2D ．21【答案】 B【7】已知椭圆12:22=+y x C ，若一组斜率为41的平行直线被椭圆C 所截线段的中点均在直线l 上，则l 的斜率为（ ）A ．2-B ．2C ．21-D ．21【8】已知21,F F 为椭圆14822=+y x 的左、右焦点，P 是椭圆上一点，若421=∆PF F S ，则21PF F ∠等于（ ）A ．030B ．045C ．060D ．090【9】椭圆14522=+y x 的左焦点为F ，直线a x =与椭圆相交于点N M ,，当FMN ∆的周长最大时，FMN ∆的面积是（ ）A ．55 B ．556 C ．558 D ．554【10】设椭圆C 的两个焦点是21,F F ，过1F 的直线与椭圆C 交于Q P ,，若||||212F F PF =，且||6||511Q F PF =，则椭圆的离心率为（ ）A ．35 B ．137 C ．1362 D ．119【11】已知椭圆()012222>>=+b a by a x 的两个焦点分别为21,F F ，若椭圆上存在点P 使得21PF F ∠是钝角，则椭圆离心率的取值范围是____________．【12】已知椭圆()09:222>=+m m y x C ，直线l 不过原点O 且不平行与坐标轴，l 与C 有两个交点B A ,，线段AB 的中点为M ，若l 过点),3(m m，延长线段OM 与C 交于点P ，且四边形OAPB 为平行四边形，则直线l 的斜率为____________．【13】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 与不过坐标原点O 的直线m kx y l +=:相交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，若OM AB ,的斜率之积为43-，则椭圆C 的离心率为____________．【14】已知P 为椭圆4422=+y x 上的点，O 为原点，则||OP 的取值范围是____________．【15】已知椭圆15922=+y x 的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是____________．【16】已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x E 过点)2,0(，且离心率为22．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线()R m my x ∈-=,1交椭圆E 与B A ,两点，判断点)0,49(-G 与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．【19】在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，已知椭圆12:22=+y x C ，Q P ,为椭圆上两个不同的动点，直线PQ OQ OP ,,的斜率分别为k k k ,,21，且221k k k =，则22||1||1OQ OP +的最小值为____________．【17】已知),0(),0,(00y B x A 两点分别在x 轴和y 轴上运动，且1||=AB ，若动点),(y x P 满足→→→+=OB OA OP 32．（1）求出动点P 的轨迹对应曲线C 的标准方程；（2）直线1:+=ty x l 与曲线C 相交于B A ,两点，)0,1(-E ，试问：当t 变化时，是否存在一直线l ，使得ABE ∆面积为32？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由．【18】已知21,F F 为椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点，点)23,1(P 为椭圆上一点，且4||||21=+PF PF ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若圆O 是以21F F 为直径的圆，直线m kx y l -=:与圆O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点B A ,，且23-=⋅→→OB OA ，求k 的值．。