重庆大学2009年数学分析
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+∞ +∞
sin x 2 1 + x2
( )dx 在区间 [0, +∞] 上
九、 （16 分）设 cn ( x ) 在区间 [ −1,1] 上连续、非负， ∑ cn ( x ) 在 [ −1,1 ]上一
n =1
+∞Leabharlann Baidu
致收敛于 f ( x ) ， f (1) = 1。 （1）证明： ∑ cn ( x ) cos ( 2nπ x ) 在 [ −1,1 ]上一致收敛
重庆大学 2009 年硕士研究生入学考试试题
科目代码：618 科目名称：数学分析
an = a （有限） 一、（15 分）设 lim ，证明： lim a →∞ n →∞
a1 + a2 + a3 +…+ an =a n
二、（16 分） （1）叙述并证明零点存在定理（闭区间上连续函数的 性质） （2）证明：若 f : [a, b ] → [ a, b ] 为连续函数，则存在 ξ ∈ [a , b ] , f (ξ ) = ξ 三、 （14 分）设函数 f (t ) 存在二阶偏导数， u = f
（2）若 ∑
+∞ 1 1 发散，则 ∑ 发散 n =1 cn n =1 n + cn
∑
x2 y 2 z 2 + + = 1 的外表面 ( a, b, c > 0 ) 。 a2 b2 c2
七、 （14 分）设函数 f ( x ) 在 [0, +∞ ] 上可微， f ' ( x ) 单调递增无上界，证 明：广义积分 ∫0 cos ( f ( x ) )dx 收敛。 八、 （14 分）判别含参变量广义积分 I ( y ) = ∫0 的一致收敛性（说明理由） 。
五、 （15 分）设函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上连续，证明：
lim
n →∞
(∫
b
a
f ( x ) dx
n
)
1 n
= max f ( x )
x∈[ a ,b]
六、 （14 分）计算曲面积分 I = ∫∫ ( x + x 2 )dydz + y 2 dxdz + z2 dxdy 其中， ∑ 为
n =1
+∞
（2）求 xlim ∑ cn ( x ) cos ( 2nπ x ) →1−0
n=1
+∞
十、 （16 分）设 an > 0 ， cn > 0 ，数列 {an } 单调减少，数列 {cn } 单调增加。 证明： （1）若 ∑ an 收敛，则 lim nan = 0
n =1
+∞ +∞
n →∞
∂ 2u ∂ 2u + ≡ 0 ，求函数 f ( t ) 的表达式。 ∂x 2 ∂y 2
(
x 2 + y 2 满足
)
四、 （16 分） （1）叙述 Lagrange 定理 （2）设函数 f ( x ) 在区间 ( a, b ) 上可微，且 lim f ( x ) = ∞ 。证明：存在序 x→a+0
f ' (ξ n ) = +∞. 列 {ξ n } ： ξ n → a + 0 ，使得 lim n →∞
sin x 2 1 + x2
( )dx 在区间 [0, +∞] 上
九、 （16 分）设 cn ( x ) 在区间 [ −1,1] 上连续、非负， ∑ cn ( x ) 在 [ −1,1 ]上一
n =1
+∞Leabharlann Baidu
致收敛于 f ( x ) ， f (1) = 1。 （1）证明： ∑ cn ( x ) cos ( 2nπ x ) 在 [ −1,1 ]上一致收敛
重庆大学 2009 年硕士研究生入学考试试题
科目代码：618 科目名称：数学分析
an = a （有限） 一、（15 分）设 lim ，证明： lim a →∞ n →∞
a1 + a2 + a3 +…+ an =a n
二、（16 分） （1）叙述并证明零点存在定理（闭区间上连续函数的 性质） （2）证明：若 f : [a, b ] → [ a, b ] 为连续函数，则存在 ξ ∈ [a , b ] , f (ξ ) = ξ 三、 （14 分）设函数 f (t ) 存在二阶偏导数， u = f
（2）若 ∑
+∞ 1 1 发散，则 ∑ 发散 n =1 cn n =1 n + cn
∑
x2 y 2 z 2 + + = 1 的外表面 ( a, b, c > 0 ) 。 a2 b2 c2
七、 （14 分）设函数 f ( x ) 在 [0, +∞ ] 上可微， f ' ( x ) 单调递增无上界，证 明：广义积分 ∫0 cos ( f ( x ) )dx 收敛。 八、 （14 分）判别含参变量广义积分 I ( y ) = ∫0 的一致收敛性（说明理由） 。
五、 （15 分）设函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上连续，证明：
lim
n →∞
(∫
b
a
f ( x ) dx
n
)
1 n
= max f ( x )
x∈[ a ,b]
六、 （14 分）计算曲面积分 I = ∫∫ ( x + x 2 )dydz + y 2 dxdz + z2 dxdy 其中， ∑ 为
n =1
+∞
（2）求 xlim ∑ cn ( x ) cos ( 2nπ x ) →1−0
n=1
+∞
十、 （16 分）设 an > 0 ， cn > 0 ，数列 {an } 单调减少，数列 {cn } 单调增加。 证明： （1）若 ∑ an 收敛，则 lim nan = 0
n =1
+∞ +∞
n →∞
∂ 2u ∂ 2u + ≡ 0 ，求函数 f ( t ) 的表达式。 ∂x 2 ∂y 2
(
x 2 + y 2 满足
)
四、 （16 分） （1）叙述 Lagrange 定理 （2）设函数 f ( x ) 在区间 ( a, b ) 上可微，且 lim f ( x ) = ∞ 。证明：存在序 x→a+0
f ' (ξ n ) = +∞. 列 {ξ n } ： ξ n → a + 0 ，使得 lim n →∞