重庆大学2009年数学分析
2009年全国高考重庆数学试题答案(文数)
2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）本试卷满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 ()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A B ，相互独立，那么 ()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)(01,2)kkn kn n P k C P P k n -=-= ，，，以R 为半径的球体积：34π3V R =一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 【答案】A解法1（直接法）：设圆心坐标为(0,)b ，1=，解得2b =，故圆的方程为22(2)1x y +-=。
解法2（数形结合法）：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为22(2)1x y +-=解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B ，D ，又由于圆心在y 轴上，排除C 。
2．【答案】B解析 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”。
3．A ．20B ．40C ．80D ．160【答案】D解法1：设含3x 的为第1r +，则1Tr +62r r r n C x -=⋅，令63r -=，得3r =，故展开式中3x 的系数为3362160C ⋅=。
2009年重庆高考数学_文科卷
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失 分原 因 :实 际上 , 导 数 在 高 考 中每 次都 是 以解 答 题 的 形 式 出现 且 多与 函数 结合 , 但 此题 并 不算 导数 与 函数 中的难 题. 只 是在 学 习 中 , 同学 们 往往 对 导数 的 几何 意 义 重视 不 够 ,
本性 质 定理 以及 运 用 向 量 求 解 立 体
到 不等 式 的知识 进行 放 缩 ,这 就让 同
学们 觉得 更难 了.
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义, 即曲线少 x 在点P x 派x ))处的 才飞 ) ( 0 0
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数学分析(3)试卷及答案
数学分析(3)期末试卷2005年1月13日班级_______ 学号_________ 姓名__________考试注意事项：1.考试时间：120分钟。
2.试卷含三大题，共100分。
3.试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！4.遵守考试纪律。
一、填空题(每空3分，共24分)1、 设z x u ytan =，则全微分=u d __________________________。
2、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则=x u _________________________。
3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。
4、 设,d ),()(sin 2y y x f x F xx⎰=),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________。
5、 设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分⎰=Ls x yd _____________。
6、 在xy 面上，若圆{}122≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。
7、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=⎰⎰dxdy z S2_______。
二、计算题(每题8分，共56分) 1、 讨论yx y x y x f 1sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。
2、 设),(2xy y x f u =具有连续的二阶偏导数，求二阶偏导数xx u 和xy u 。
3、 求22333),(y x x y x f --=在}16|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值。
2009年重庆市高考数学试卷(文科)答案与解析
2009年重庆市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2009•重庆）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A．x2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y+2）2=1 C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1 D．x2+（y﹣3）2=1 【考点】圆的标准方程．【专题】计算题；数形结合．【分析】法1：由题意可以判定圆心坐标（0，2），可得圆的方程．法2：数形结合法，画图即可判断圆心坐标，求出圆的方程．法3：回代验证法，逐一检验排除，即将点（1，2）代入四个选择支，验证是否适合方程，圆心在y轴上，排除C，即可．【解答】解法1（直接法）：设圆心坐标为（0，b），则由题意知，解得b=2，故圆的方程为x2+（y﹣2）2=1．故选A．解法2（数形结合法）：由作图根据点（1，2）到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为x2+（y﹣2）2=1故选A．解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在y轴上，排除C．故选：A．【点评】本题提供三种解法，三种解题思路，考查圆的标准方程，是基础题．2．（5分）（2009•重庆）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（）A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”【考点】四种命题．【专题】常规题型．【分析】将原命题的条件与结论进行交换，得到原命题的逆命题．【解答】解：因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．故选B．【点评】本题考查四种命题的互相转化，解题时要正确掌握转化方法．3．（5分）（2009•重庆）（x+2）6的展开式中x3的系数是（）A．20 B．40 C．80 D．160【考点】二项式定理．【专题】计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数．【解答】解：设含x3的为第r+1，则Tr+1=C6r x6﹣r•2r，令6﹣r=3，得r=3，故展开式中x3的系数为C63•23=160．故选D．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．4．（5分）（2009•重庆）已知向量=（1，1），=（2，x），若+与4﹣2平行，则实数x的值是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】写出要用的两个向量的坐标，由+与4﹣2平行，根据向量共线的坐标形式的充要条件可得关于X的方程，解方程可得结果．【解答】解：∵=（1，1），=（2，x），∴+=（3，x+1），4﹣2=（6，4x﹣2），由于+与4﹣2平行，得6（x+1）﹣3（4x﹣2）=0，解得x=2．故选D【点评】本题也可以这样解：因为+与4﹣2平行，则存在常数λ，使+=λ（4﹣2），即（2λ+1）=（4λ﹣1），根据向量共线的条件知，向量与共线，故x=2．5．（5分）（2009•重庆）设{a n}是公差不为0的等差数列，a1=2且a1，a3，a6成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（）A．B．C．D．n2+n【考点】等差数列的前n项和；等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】设数列{a n}的公差为d，由题意得（2+2d）2=2•（2+5d），解得或d=0（舍去），由此可求出数列{a n}的前n项和．【解答】解：设数列{a n}的公差为d，则根据题意得（2+2d）2=2•（2+5d），解得或d=0（舍去），所以数列{a n}的前n项和．故选A．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．6．（5分）（2009•重庆）下列关系式中正确的是（）A．sin11°＜cos10°＜sin168°B．sin168°＜sin11°＜cos10°C．sin11°＜sin168°＜cos10° D．sin168°＜cos10°＜sin11°【考点】正弦函数的单调性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】先根据诱导公式得到sin168°=sin12°和cos10°=sin80°，再结合正弦函数的单调性可得到sin11°＜sin12°＜sin80°从而可确定答案．【解答】解：∵sin168°=sin（180°﹣12°）=sin12°，cos10°=sin（90°﹣10°）=sin80°．又∵y=sinx在x∈[0，]上是增函数，∴sin11°＜sin12°＜sin80°，即sin11°＜sin168°＜cos10°．故选：C．【点评】本题主要考查诱导公式和正弦函数的单调性的应用．关键在于转化，再利用单调性比较大小．7．（5分）（2009•重庆）已知a＞0，b＞0，则的最小值是（）A．2 B． C．4 D．5【考点】基本不等式．【分析】a＞0，b＞0，即，给出了基本不等式使用的第一个条件，而使用后得到的式子恰好可以再次使用基本不等式．【解答】解：因为当且仅当，且，即a=b时，取“=”号．故选C．【点评】基本不等式a+b，（当且仅当a=b时取“=”）的必须具备得使用条件：一正（即a，b都需要是正数）二定（求和时，积是定值；求积时，和是定值．）三等（当且仅当a=b时，才能取等号）8．（5分）（2009•重庆）12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【专题】计算题．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是将12个组分成4个组的分法有种，而满足条件的3个强队恰好被分在同一组分法有，平均分组问题容易出错．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生的所有事件是将12个队分成4个组的分法有种，而满足条件的3个强队恰好被分在同一组分法有，根据古典概型公式∴3个强队恰好被分在同一组的概率为=，故选B．【点评】概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例．9．（5分）（2009•重庆）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，顶点B1到对角线BD1和到平面A1BCD1的距离分别为h和d，则下列命题中正确的是（）A．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为（0，1）B．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为C．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为D．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；压轴题．【分析】设底面边长为1，侧棱长为λ，过B1作B1H⊥BD1，B1G⊥A1B，Rt△BB1D1中可知B1D1和B1D，进而利用三角形面积公式求得h，设在正四棱柱中，由于BC⊥AB，BC⊥BB1，进而可推断BC⊥平面AA1B1B，BC⊥B1G，B1G⊥平面AB1CD1，可知B1G为点到平面A1BCD1的距离，Rt△A1B1B中，又由三角形面积关系得d，进而可知的表达式，根据λ来确定其范围．【解答】解：设底面边长为1，侧棱长为λ（λ＞0），过B1作B1H⊥BD1，B1G⊥A1B．在Rt△BB1D1中，，由三角形面积关系得：设在正四棱柱中，由于BC⊥AB，BC⊥BB1，所以BC⊥平面AA1B1B，于是BC⊥B1G，所以B1G⊥平面AB1CD1，故B1G为点到平面A1BCD1的距离，在Rt△A1B1B中，又由三角形面积关系得于是，于是当λ＞1，所以，所以；故选C．【点评】本题主要考查了点到面得距离计算．点到平面的距离是近两年高考的一个热点问题，平时应注意强化训练．10．（5分）（2009•重庆）把函数f（x）=x3﹣3x的图象C1向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图象C2、若对任意的u＞0，曲线C1与C2至多只有一个交点，则v的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】函数单调性的性质；函数的图象；函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；压轴题．【分析】由平移规律得出平移后的曲线对应的解析式，因两曲线有交点，故相应方程有根，对方程（x﹣u）3﹣3（x﹣u）﹣v=x3﹣3x，进行变形，得出v关于u 的不等式，转化成恒成立的问题求参数v的范围．【解答】解：根据题意曲线C的解析式为y=（x﹣u）3﹣3（x﹣u）﹣v，由题意，方程（x﹣u）3﹣3（x﹣u）﹣v=x3﹣3x至多有一个根，即3ux2﹣3xu2+（u3﹣3u+v）=0至多有一个根，故有△=9u4﹣12u（u3﹣3u+v）≤0对任意的u＞0恒成立整理得对任意u＞0恒成立，令，则由此知函数g（u）在（0，2）上为增函数，在（2，+∞）上为减函数，所以当u=2时，函数g（u）取最大值，即为4，于是v≥4；故选B．【点评】考查据题意进行转化的能力，以及观察变形的能力，解本题过程中，把一个变量表示成另一个变量的函数，依据不等式恒成立的问题转化求求函数的最值来求出参数的范围，题型新颖．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2009•重庆）若U={n|n是小于9的正整数}，A={n∈U|n是奇数}，B={n∈U|n是3的倍数}，则∁U（A∪B）={2，4，8}．【考点】全集及其运算；补集及其运算．【专题】集合．【分析】先求出满足条件的全集U，进而求出满足条件的集合A与集合B，求出A∪B后，易根据全集U求出∁U（A∪B）．【解答】解：∵U={n|n是小于9的正整数}，∴U={1，2，3，4，5，6，7，8}，则A={1，3，5，7}，B={3，6，9}，所以A∪B={1，3，5，7，9}，所以∁U（A∪B）={2，4，8}．【点评】本题考查的知识点是并集运算和补集运算，运算的关键是准确列举出满足条件的集合．12．（5分）（2009•重庆）记f（x）=log3（x+1）的反函数为y=f﹣1（x），则方程f﹣1（x）=8的解x=2．【考点】反函数．【分析】容易看出，本题求解首先求出反函数y=f﹣1（x），然后通过令f﹣1（x）=8即可解得，求反函数需要利用指数式和对数式的互化．【解答】解：法1；由y=f（x）=log3（x+1），得x=3y﹣1，即f﹣1（x）=3x﹣1，于是由3x﹣1=8，解得：x=2法2：∵f﹣1（x）=8，∴x=f（8）=log3（8+1）=2故答案为：2．【点评】本题体现了小题综合化的特点，这里提供了2种解法，法一是直接法，过程完整，环节多；法二解法间简捷，环节少，值得借鉴．13．（5分）（2009•重庆）5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有72种（用数字作答）．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；分析法．【分析】首先考虑求甲、乙两人不相邻的排法，可以联想到用插空法求解，先把除甲乙外的其他三人排好，将甲乙二人插入前三人形成的四个空隙中，求出排法相乘即可得到答案．【解答】解：求甲、乙两人不相邻的排法，可分两个步骤完成，第一步骤先把除甲乙外的其他三人排好，有A33种排法，第二步将甲乙二人插入前三人形成的四个空隙中，有A42种，则甲、乙两不相邻的排法有A33A42=72种．故答案为72．【点评】此题主要考查排列组合及简单的计数问题．题中应用到插空法，这种思想在求不相邻的问题中应用较广，需要同学们多加注意．14．（5分）（2009•重庆）从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量为（单位：克）：125 124 121 123 127，则该样本标准差s=2（克）（用数字作答）．【考点】极差、方差与标准差．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据题意，利用平均数、方差、标准差的公式直接计算即可．【解答】解：由题意得：样本平均数x=（125+124+121+123+127）=124，样本方差s2=（12+02+32+12+32）=4，∴s=2．故答案为2．【点评】本题考查用样本的平均数、方差、标准差来估计总体的平均数、方差、标准差，属基础题，熟记样本的平均数、方差、标准差公式是解答好本题的关键．15．（5分）（2009•重庆）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】由“”的结构特征，联想到在△PF1F2中运用由正弦定理得：两者结合起来，可得到，再由焦点半径公式，代入可得到：a（a+ex0）=c（a﹣ex0）解出x0，由椭圆的范围，建立关于离心率的不等式求解．要注意椭圆离心率的范围．【解答】解：在△PF1F2中，由正弦定理得：则由已知得：，即：a|PF1|=c|PF2|设点（x0，y0）由焦点半径公式，得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a﹣ex0则a（a+ex0）=c（a﹣ex0）解得：由椭圆的几何性质知：x0＞﹣a则，整理得e2+2e﹣1＞0，解得：或，又e∈（0，1），故椭圆的离心率：，故答案为：．【点评】本题主要考查椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，多数是用a，b，c转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）（2009•重庆）设函数f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移个单位长度得到，求y=g（x）的单调增区间．【考点】三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）先将函数化简为f（x）=sin（2ωx+），再由，可得答案．（2）根据g（x）=f（x﹣）先求出解析式，再求单调区间．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+sin2ωx+1+2cos2ωx =依题意得，故ω的值为．（Ⅱ）依题意得：由解得故y=g（x）的单调增区间为：．【点评】本题主要考查三角函数最小正周期的求法和单调区间的求法．做这种题首先要将原函数化简为y=Asin（ωx+φ）的形式再做题．17．（13分）（2009•重庆）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株、设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响、求移栽的4株大树中：（Ⅰ）至少有1株成活的概率；（Ⅱ）两种大树各成活1株的概率．【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（1）因各株大树是否成活互不影响，本题考查的是相互独立事件同时发生的概率，至少有1株成活包括的情况较多，所以从它的对立事件1株也不活来考虑．（2）应用独立重复试验中事件发生的概率公式，同时又有相互独立事件同时发生的概率，代入公式进行运算．【解答】解：设A k表示第k株甲种大树成活，k=1，2设B l表示第l株乙种大树成活，l=1，2则A1，A2，B1，B2独立，且（Ⅰ）至少有1株成活的概率为：（Ⅱ）由独立重复试验中事件发生的概率公式知，两种大树各成活1株的概率为：【点评】考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．18．（13分）（2009•重庆）如图，在五面体ABCDEF中，AB∥DC，，CD=AD=2，四边形ABFE为平行四边形，FA⊥平面ABCD，，求：（Ⅰ）直线AB到平面EFCD的距离；（Ⅱ）二面角F﹣AD﹣E的平面角的正切值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算．【专题】计算题．【分析】解法一：（几何法）（Ⅰ）AB到面EFCD的距离等于点A到面EFCD的距离，故可过A作平面EFCD的垂线，注意到面AFD⊥面EFDC，故只需过A作FD的垂线即可．（Ⅱ）由已知条件做出二面角F﹣AD﹣E的平面角，再求解．已知FA⊥AD，再可求证EA⊥AD，故，∠FAE为二面角F﹣AD﹣E的平面角，再解△AEF即可．解法二：（向量法）由AB、AD、AF两两垂直，故可通过向量法求解．（Ⅰ）求平面EFCD的法向量，则直线AB到平面EFCD的距离=（Ⅱ）分别求出两个面的法向量，再求两个法向量的余弦，即二面角F﹣AD﹣E的平面角的余弦，再求正切即可．【解答】解：法一：（Ⅰ）∵AB∥DC，DC⊂平面EFCD，∴AB到面EFCD的距离等于点A到面EFCD的距离，过点A作AG⊥FD于G，因AB∥DC，故CD⊥AD；又∵FA⊥平面ABCD，由三垂线定理可知，CD⊥FD，故CD⊥面FAD，知CD⊥AG，所以AG为所求直线AB到面EFCD的距离．在Rt△FCD中，由FA⊥平面ABCD，得FA⊥AD，从而在Rt△FAD中∴．即直线AB到平面EFCD的距离为．（Ⅱ）由己知，FA⊥平面ABCD，得FA⊥AD，又由，知AD⊥AB，故AD⊥平面ABFE∴DA⊥AE，所以，∠FAE为二面角F﹣AD﹣E的平面角，记为θ．在Rt△AED中，，由平行四边形ABCD得，FE∥BA，从而在Rt△AEF中，，故所以二面角F﹣AD﹣E的平面角的正切值为．法二：（Ⅰ）如图以A点为坐标原点，的方向为x，y，z的正方向建立空间直角坐标系数，则A（0，0，0）C（2，2，0）D（0，2，0）设F（0，0，z0）（z0＞0）可得，由．即，解得F（0，0，1）∵AB∥DC，DC⊂面EFCD，所以直线AB到面EFCD的距离等于点A到面EFCD的距离．设A点在平面EFCD上的射影点为G（x1，y1，z1），则因且，而，此即解得x1=0①，知G点在yoz面上，故G点在FD上.，故有②联立①，②解得，∴为直线AB到面EFCD的距离．而所以（Ⅱ）因四边形ABFE为平行四边形，则可设E（x0，0，1）（x0＜0），．由得，解得．即．故由，因，，故∠FAE为二面角F﹣AD﹣E的平面角，又∵，，，所以【点评】本题考查空间的角和空间距离的计算，考查空间想象能力和运算能力．注意几何法和向量法的应用．19．（12分）（2009•重庆）已知f（x）=x2+bx+c为偶函数，曲线y=f（x）过点（2，5），g （x）=（x+a）f（x）．（1）求曲线y=g（x）有斜率为0的切线，求实数a的取值范围；（2）若当x=﹣1时函数y=g（x）取得极值，确定y=g（x）的单调区间．【考点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．【分析】（1）据偶函数的定义f（﹣x）=f（x）求出b值，将点（2，5）代入得c值，据导数在切点处的导数值为切线斜率，有g′（x）=0有实数解，由△≥0得范围．（2），函数在极值点处的导数值为0，导数大于0对应区间是单调递增区间；导数小于0对应区间是单调递减区间．【解答】解：（1）∵f（x）=x2+bx+c为偶函数，故f（﹣x）=f（x）即有（﹣x）2+b（﹣x）+c=x2+bx+c解得b=0又曲线y=f（x）过点（2，5），得22+c=5，有c=1∵g（x）=（x+a）f（x）=x3+ax2+x+a从而g′（x）=3x2+2ax+1，∵曲线y=g（x）有斜率为0的切线，故有g′（x）=0有实数解．即3x2+2ax+1=0有实数解．此时有△=4a2﹣12≥0解得a∈（﹣∞，﹣]∪[，+∞）所以实数a的取值范围：a∈（﹣∞，﹣]∪[，+∞）；（2）因x=﹣1时函数y=g（x）取得极值，故有g′（﹣1）=0即3﹣2a+1=0，解得a=2又g′（x）=3x2+4x+1=（3x+1）（x+1）令g′（x）=0，得x1=﹣1，x2=当x∈（﹣∞，﹣1）时，g′（x）＞0，故g（x）在（﹣∞，﹣1）上为增函数当时，g′（x）＜0，故g（x）在（﹣1，﹣）上为减函数当x∈（﹣）时，g′（x）＞0，故g（x）在上为增函数．【点评】本题考查偶函数的定义；利用导数几何意义求曲线切线方程；利用导数求函数单调区间．20．（12分）（2009•重庆）已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率．（Ⅰ）求该双曲线的方程；（Ⅱ）如图，点A的坐标为，B是圆上的点，点M在双曲线右支上，|MA|+|MB|的最小值，并求此时M点的坐标．【考点】双曲线的标准方程；圆方程的综合应用；双曲线的应用；圆锥曲线的共同特征．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）由题意可知双曲线的焦点在x轴上，双曲线的方程，根据准线方程和离心率求得a和c，进而求得b．（Ⅱ）设点D的坐标为，则点A、D为双曲线的焦点，根据双曲线的性质可得，|MA|﹣|MD|=2a，进而可|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|，又由B是圆上的点，推断出，进而通过直线方程与双曲线方程联立求得M的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线的方程为，设，由准线方程为得，由得解得从而b=2，∴该双曲线的方程为；（Ⅱ）设点D的坐标为，则点A、D为双曲线的焦点，|MA|﹣|MD|=2a=2所以|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|，∵B是圆上的点，其圆心为，半径为1，故从而当M，B在线段CD上时取等号，此时|MA|+|MB|的最小值为∵直线CD的方程为，因点M在双曲线右支上，故x＞0由方程组解得所以M点的坐标为【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程和双曲线与直线的关系．圆锥曲线问题是高考中必考的知识点，故应加强训练．21．（12分）（2009•重庆）已知，（Ⅰ）求b1，b2，b3的值；（Ⅱ）设c n=b n b n+1，S n为数列{c n}的前n项和，求证：S n≥17n；（Ⅲ）求证：．【考点】数列递推式；数列的求和；不等式的证明．【专题】计算题；证明题；压轴题．【分析】（Ⅰ）根据a2和a1及题设中递推式求得a3，进而求得a4，代入求得b1，b2，b3的值；（Ⅱ）整理a n+2=4a n+1+a n得，进而求得关于b n的递推式，进而推断出b n＞4，且c n=b n b n+1=4b n+1＞17进而推断出S n=c1+c2++c n≥17n．（Ⅲ）先看当n=1时把b1和b2代入结论成立；在看当n≥2时，把（2）中求得的递推式代入|b2n﹣b n|，进而根据（2）中S n≥17n的结论推断出|b2n﹣b n|＜，进而根据|b2n﹣b n|≤|b n+1﹣b n|+|b n+2﹣b n+1|+…+|b2n﹣b2n﹣1|使原式得证．【解答】解：（Ⅰ）∵a2=4，a3=17，a4=72，所以（Ⅱ）由a n+2=4a n+1+a n得即所以当n≥2时，b n＞4于是c1=b1，b2=17，c n=b n b n+1=4b n+1＞17（n≥2）所以S n=c1+c2++c n≥17n（Ⅲ）当n=1时，结论成立当n≥2时，有所以|b2n﹣b n|≤|b n+1﹣b n|+|b n+2﹣b n+1|+…+|b2n﹣b2n﹣1|【点评】本题主要考查了数列的递推式．数列的递推式与不等式，函数等知识综合考查是近几年高考的热点，平时的训练应注意知识的综合运用．。
2009年重庆市高考数学试卷(理科)及答案
2009年重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（）A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离2．（5分）已知复数z的实部为﹣1，虚部为2，则=（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i3．（5分）（x+2）6的展开式中x3的系数是（）A．20 B．40 C．80 D．1604．（5分）已知||=1，||=6，•（﹣）=2，则向量与向量的夹角是（）A．B．C．D．5．（5分）不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）C．[1，2] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）6．（5分）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）设△ABC的三个内角A，B，C，向量，，若=1+cos（A+B），则C=（）A．B．C． D．8．（5分）已知，其中a，b∈R，则a﹣b的值为（）A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．69．（5分）三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有（）条．A．1 B．2 C．3 D．1或210．（5分）已知三角函数f（x）=sin2x﹣cos2x，其中x为任意的实数．求此函数的周期为（）A．2πB．πC．4πD．﹣π二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）若A={x∈R||x|＜3}，B={x∈R|2x＞1}，则A∩B=．12．（5分）若f（x）=a+是奇函数，则a=．13．（5分）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．14．（5分）设a1=2，，b n=，n∈N+，则数列{b n}的通项公式b n=．15．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若双曲线上存在一点P使，则该双曲线的离心率的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）若y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时y=g （x）的最大值．17．（13分）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：（1）两种大树各成活1株的概率；（2）成活的株数ξ的分布列与期望．18．（13分）设函数f（x）=ax2+bx+k（k＞0）在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线x+2y+1=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若函数，讨论g（x）的单调性．19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，AD∥BC且AD⊥CD；平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS=2AD=2；E为BS的中点，CE=，求：（Ⅰ）点A到平面BCS的距离；（Ⅱ）二面角E﹣CD﹣A的大小．20．（12分）已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，M是椭圆上的动点（Ⅰ）若C，D的坐标分别是，求|MC|•|MD|的最大值；（Ⅱ）如题（20）图，点A的坐标为（1，0），B是圆x2+y2=1上的点，N是点M 在x轴上的射影，点Q满足条件：，、求线段QB的中点P 的轨迹方程．21．（12分）设m个不全相等的正数a1，a2，…，a m（m≥7）依次围成一个圆圈，（Ⅰ）若m=2009，且a1，a2，…，a1005是公差为d的等差数列，而a1，a2009，a2008，…，a1006是公比为q=d的等比数列；数列a1，a2，…，a m的前n项和S n（n≤m）满足：S3=15，S2009=S2007+12a1，求通项a n（n≤m）；（Ⅱ）若每个数a n（n≤m）是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：a1+…+a6+a72+…+a m2＞ma1a2a m．2009年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2009•重庆）直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（）A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离【分析】求出圆心到直线的距离d，与圆的半径r比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，同时判断圆心是否在直线上，即可得到正确答案．【解答】解：由圆的方程得到圆心坐标（0，0），半径r=1则圆心（0，0）到直线y=x+1的距离d==＜r=1，把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心．所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心．故选B2．（5分）（2009•重庆）已知复数z的实部为﹣1，虚部为2，则=（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i【分析】由题意求出复数z，代入，复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，可得选项．【解答】解：因为由条件知z=﹣1+2i，则=，故选A．3．（5分）（2009•重庆）（x+2）6的展开式中x3的系数是（）A．20 B．40 C．80 D．160【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数．【解答】解：设含x3的为第r+1，则Tr+1=C6r x6﹣r•2r，令6﹣r=3，得r=3，故展开式中x3的系数为C63•23=160．故选D．4．（5分）（2009•重庆）已知||=1，||=6，•（﹣）=2，则向量与向量的夹角是（）A．B．C．D．【分析】利用向量的运算法则及向量模的平方即是向量的平方求出，再利用向量的数量积公式求出向量的夹角余弦，求出向量夹角．【解答】解：∵==2．又，∴=3．即cos＜a，b＞=3=1×6cos＜a，b＞，得cos＜a，b＞=，∴a与b的夹角为，故选项为C．5．（5分）（2009•重庆）不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）C．[1，2] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）【分析】利用绝对值的几何意义，求出|x+3|﹣|x﹣1|的最大值不大于a2﹣3a，求出a的范围．【解答】解：因为|x+3|﹣|x﹣1|≤4对|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意x恒成立，所以a2﹣3a≥4即a2﹣3a﹣4≥0，解得a≥4或a≤﹣1．故选A．6．（5分）（2009•重庆）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（）A．B．C．D．【分析】本题考查的知识点是古典概型，我们计算出总的滔法种类，再计算满足条件“从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个”所包含的基本事件个数，然后代入古典概型公式计算，即可得到答案．【解答】解：因为总的滔法C154，而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆、豆沙馅汤圆，取得个数分别按1，1，2；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率P==．故选C．7．（5分）（2009•重庆）设△ABC的三个内角A，B，C，向量，，若=1+cos（A+B），则C=（）A．B．C． D．【分析】利用向量的坐标表示可求=1+cos（A+B），结合条件C=π﹣（A+B）可得sin（C+=，由0＜C＜π可求C【解答】解：因为=又因为所以又C=π﹣（B+A）所以因为0＜C＜π，所以故选C．8．（5分）（2009•重庆）已知，其中a，b∈R，则a﹣b的值为（）A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6【分析】先通分得，然后由极限的性质知，由此可以求出a﹣b的值．【解答】解：∵已知==2，∴，∴a=2，b=﹣4；∴a﹣b=6．故选D．9．（5分）（2009•重庆）三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有（）条．A．1 B．2 C．3 D．1或2【分析】三个互不重合的平面把空间分成六个部份有两种情形：一是其中两个平面平行，第三个平面都与它们相交；二是三个平面交于一条直线，考虑到两类即可解决．【解答】解：分两类：①当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，有两条交线；②当三个平面交于一条直线时，有一条交线，故选D10．（5分）（2009•重庆）已知三角函数f（x）=sin2x﹣cos2x，其中x为任意的实数．求此函数的周期为（）A．2πB．πC．4πD．﹣π【分析】首先由题目中已知三角函数f（x）=sin2x﹣cos2x求周期，需要把函数化为标准型，然后根据周期公式求解即可得到答案．【解答】解：因为f（x）=sin2x﹣cos2x=，所以函数的周期T=，故答案选择B．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2009•重庆）若A={x∈R||x|＜3}，B={x∈R|2x＞1}，则A∩B={x|0＜x＜3} ．【分析】要求A与B的交集，先要求出两个集合的区间，解出绝对值不等式得到集合A，根据指数函数的增减性得到集合B，然后取两集合的公共部分即可得到交集．【解答】解：由|x|＜3解得﹣3＜x＜3；由2x＞1=20，根据指数函数y=2x为增函数得到x＞0∴A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x＞0}，则A∩B={x|0＜x＜3}．故答案为：{x|0＜x＜3}12．（5分）（2009•重庆）若f（x）=a+是奇函数，则a=﹣．【分析】充分不必要条件：若奇函数定义域为R（即x=0有意义），则f（0）=0．或用定义：f（﹣x）=﹣f（x）直接求a．【解答】解：函数的定义域为R，且为奇函数，则f（0）=a+=0，得a+=0，得a=﹣，检验：若a=﹣，则f（x）=+=，又f（﹣x）==﹣=﹣f（x）为奇函数，符合题意．故答案为﹣．13．（5分）（2009•重庆）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有36种（用数字作答）．【分析】由题意知将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，需要先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步乘法原理得到结果．【解答】解：∵将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，∴先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，共有C24A33=36．故答案为：3614．（5分）（2009•重庆）设a1=2，，b n=，n∈N+，则数列{b n}的通项公式b n=2n+1．【分析】由题设条件得b n====2b n，由此能+1够导出数列{b n}的通项公式b n．【解答】解：由条件得：b n====2b n+1且b1=4所以数列{b n}是首项为4，公比为2的等比数列，则b n=4•2n﹣1=2n+1．故答案为：2n+1．15．（5分）（2009•重庆）已知双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若双曲线上存在一点P使，则该双曲线的离心率的取值范围是（1，）．【分析】不防设点P（x o，y o）在右支曲线上并注意到x o＞a．利用正弦定理求得，进而根据双曲线定义表示出|PF1|和|PF2|代入求得e 的范围．【解答】解：不防设点P（x o，y o）在右支曲线上并注意到x o＞a．由正弦定理有，由双曲线第二定义得：|PF1|=a+ex o，|PF2|=ex o﹣a，则有=，得x o=＞a，分子分母同时除以a2，易得：＞1，解得1＜e＜+1故答案为（1，）三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）（2009•重庆）设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）若y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时y=g （x）的最大值．【分析】（1）利用两角差的正弦公式及二倍角公式及化简三角函数；再利用三角函数的周期公式求出周期．（2）在y=g（x）上任取一点，据对称行求出其对称点，利用对称点在y=f（x）上，求出g（x）的解析式，求出整体角的范围，据三角函数的有界性求出最值．【解答】解：（1）f（x）===故f（x）的最小正周期为T==8（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），它关于x=1的对称点（2﹣x，g（x））．由题设条件，点（2﹣x，g（x））在y=f（x）的图象上，从而==当时，时，因此y=g（x）在区间上的最大值为17．（13分）（2009•重庆）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：（1）两种大树各成活1株的概率；（2）成活的株数ξ的分布列与期望．【分析】（1）甲两株中活一株符合独立重复试验，概率为，同理可算乙两株中活一株的概率，两值相乘即可．（2）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，分别求其概率，列出分布列，再求期望即可．【解答】解：设A k表示甲种大树成活k株，k=0，1，2B l表示乙种大树成活1株，1=0，1，2则A k，B l独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有P（A k）=C2k（）k（）2﹣k，P（B l）=C21（）l（）2﹣l．据此算得P（A0）=，P（A1）=，P（A2）=．P（B0）=，P（B1）=，P（B2）=．（1）所求概率为P（A1•B1）=P（A1）•P（B1）=×=．（2）解法一：ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且P（ξ=0）=P（A0•B0）=P（A0）•P（B0）=×=，P（ξ=1）=P（A0•B1）+P（A1•B0）=×+×=，P（ξ=2）=P（A0•B2）+P（A1•B1）+P（A2•B0）=×+×+×=，P（ξ=3）=P（A1•B2）+P（A2•B1）=×+×=．P（ξ=4）=P（A2•B2）=×=．综上知ξ有分布列ξ01234P从而，ξ的期望为Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=（株）．解法二：分布列的求法同上，令ξ1，ξ2分别表示甲乙两种树成活的株数，则ξ1：B（2，），ξ2：B（2，）故有Eξ1=2×=，Eξ2=2×=1从而知Eξ=Eξ1+Eξ2=．18．（13分）（2009•重庆）设函数f（x）=ax2+bx+k（k＞0）在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线x+2y+1=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若函数，讨论g（x）的单调性．【分析】（Ⅰ）因为”函数在x=0处取得极值“，则有f'（0）=0，再由“曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x﹣2y+1=0相互垂直”，则有f'（1）=2，从而求解．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得到：，令g'（x）=0，有x2﹣2x+k=0，因为还有参数k，由一元二次方程，分三种情况讨论，（1）当△=4﹣4k＜0，函数g （x）在R上为增函数，（2）当△=4﹣4k=0，g（x）在R上为增函数（3）△=4﹣4k＞0，方程x2﹣2x+k=0有两个不相等实根，则由其两根来构建单调区间．【解答】解：（Ⅰ）因f（x）=ax2+bx+k（k＞0），故f'（x）=2ax+b又f（x）在x=0处取得极值，故f'（x）=0，从而b=0，由曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+2y+1=0相互垂直可知该切线斜率为2，即f'（1）=2，有2a=2，从而a=1（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：、令g'（x）=0，有x2﹣2x+k=0（8分）（1）当△=4﹣4k＜0，即当k＞1时，g'（x）＞0在R上恒成立，故函数g（x）在R上为增函数（10分）（2）当△=4﹣4k=0，即当k=1时，，K=1时，g（x）在R上为增函数（12分）（3）△=4﹣4k＞0，即当0＜k＜1时，方程x2﹣2x+k=0有两个不相等实根当是g'（x）＞0，故g（x）在上为增函数当时，g'（x）＜0，故g（x）在上为减函数当时，g'（x）＞0，故g（x）在上为增函数（14分）19．（12分）（2009•重庆）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，AD∥BC且AD⊥CD；平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS=2AD=2；E为BS的中点，CE=，求：（Ⅰ）点A到平面BCS的距离；（Ⅱ）二面角E﹣CD﹣A的大小．【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理可知AD∥平面BCS，则从而A点到平面BCS的距离等于D点到平面BCS的距离，从而DS为点A到平面BCS的距离，在Rt△ADS中求出DS即可；（Ⅱ）过E点作EG⊥CD，交CD于点G，又过G点作GH⊥CD，交AB于H，根据二面角平面角的定义可知∠EGH为二面角E﹣CD﹣A的平面角，过E点作EF ∥BC，交CS于点F，连接GF，在Rt△FEG中，求出此角即可．【解答】解：（Ⅰ）因为AD∥BC，且BC⊂平面BCS，所以AD∥平面BCS，从而A点到平面BCS的距离等于D点到平面BCS的距离．因为平面CSD⊥平面ABCD，AD⊥CD，故AD⊥平面CSD，从而AD⊥SD，由AD∥BC，得BC⊥DS，又由CS⊥DS知DS⊥平面BCS，从而DS为点A到平面BCS的距离，因此在Rt△ADS中（Ⅱ）如图，过E电作EG⊥CD，交CD于点G，又过G点作GH⊥CD，交AB于H，故∠EGH为二面角E﹣CD﹣A的平面角，记为θ，过E点作EF∥BC，交CS于点F，连接GF，因平面ABCD⊥平面CSD，GH⊥CD，易知GH⊥GF，故．由于E为BS边中点，故，在Rt△CFE中，，因EF⊥平面CSD，又EG⊥CD故由三垂线定理的逆定理得FG⊥CD，从而又可得△CGF～△CSD，因此而在Rt△CSD中，，在Rt△FEG中，可得，故所求二面角的大小为20．（12分）（2009•重庆）已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，M是椭圆上的动点（Ⅰ）若C，D的坐标分别是，求|MC|•|MD|的最大值；（Ⅱ）如题（20）图，点A的坐标为（1，0），B是圆x2+y2=1上的点，N是点M 在x轴上的射影，点Q满足条件：，、求线段QB的中点P 的轨迹方程．【分析】（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为（a＞b ＞0）．设，由准线方程．由此能够求出椭圆方程．从而得到点M的坐标为（±1，0）时上式取等号，|MC|•|MD|的最大值为4．（Ⅱ）设M（x m，y m），B（x B，y B）Q（x Q，y Q）．因为，故x Q=2x N，y Q=y M，x Q2+y Q2=（2x M）2+y y=4．因为，（1﹣x Q﹣y Q）•（1﹣x N﹣y n）=（1﹣x Q）（1﹣x N）+y Q y N=0，所以x Q x N+y Q y N=x N+x Q﹣1．由此可导出动点P的轨迹方程为．【解答】解：（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为（a＞b＞0）．设，由准线方程得．由得，解得a=2，c=，从而b=1，椭圆方程为．又易知C，D两点是椭圆的焦点，所以，|MC|+|MD|=2a=4从而|MC|•|MD|，当且仅当|MC|=|MD|，即点M的坐标为（±1，0）时上式取等号，|MC|•|MD|的最大值为4．（II）如图（20）图，设M（x m，y m），B（x B，y B）Q（x Q，y Q）．因为，故x Q=2x N，y Q=y M，x Q2+y Q2=（2x M）2+（y M）2=4 ①因为，（1﹣x Q，﹣y Q）•（1﹣x N，﹣y N）=（1﹣x Q）（1﹣x N）+y Q y N=0，所以x Q x N+y Q y N=x N+x Q﹣1．②记P点的坐标为（x P，y P），因为P是BQ的中点所以2x P=x Q+x B，2y P=y Q+y B由因为x N2+y N2=1，结合①，②得===故动点P的轨迹方程为21．（12分）（2009•重庆）设m个不全相等的正数a1，a2，…，a m（m≥7）依次围成一个圆圈，（Ⅰ）若m=2009，且a1，a2，…，a1005是公差为d的等差数列，而a1，a2009，a2008，…，a1006是公比为q=d的等比数列；数列a1，a2，…，a m的前n项和S n（n≤m）满足：S3=15，S2009=S2007+12a1，求通项a n（n≤m）；（Ⅱ）若每个数a n（n≤m）是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：a1+…+a6+a72+…+a m2＞ma1a2a m．【分析】（1）利用等比数列的性质，用a1、d表示出a2009、a2008，结合已知，列方程即可解出a1、d，进而求出a n．（2）通过探求数列的周期性或利用反证法求解．【解答】解：（I）因a1，a2009，a2008，a1006是公比为d的等比数列，从而a2009=a1d，a2008=a1d2，由S2009=S2007+12a1得a2008+a2009=12a1，解得d=3或d=﹣4（舍去）．∴d=3，又S3=3a1+3d=15．解得a1=2从而当n≤1005时，a n=a1+（n﹣1）d=2+3（n﹣1）=3n﹣1当1006≤n≤2009时，由a1，a2009，a2008，a1006是公比为d的等比数列得a n=a1d2009﹣（n﹣1）=a1d2010﹣n（1006≤n≤2009）因此（II）由题意a n2=a n﹣12a n+12（1＜n＜m），a m2=a m﹣12a12，a12=a m2a22得有①得④由①，②，③得a1a2a n=（a1a2a n）2，故a1a2a n=1．⑤又，故有．⑥下面反证法证明：m=6k若不然，设m=6k+p，其中1≤p≤5若取p=1即m=6k+1，则由⑥得a m=a6k+1=a1，而由③得，得a2=1，由②得，而④及⑥可推得a n=1（1≤n≤m）与题设矛盾同理若P=2，3，4，5均可得a n=1（1≤n≤m）与题设矛盾，因此m=6k为6的倍数由均值不等式得由上面三组数内必有一组不相等（否则a1=a2=a3=1，从而a4=a5═a m=1与题设矛盾），故等号不成立，从而a1+a2+a3++a6＞6又m=6k，由④和⑥得a72++a m2=（a72++a122）++（a6k﹣52++a6k2）=（k﹣1）（a12++a62）=因此由⑤得a1+a2+a3++a6+a72++a m2＞6+6（k﹣1）=6k=m=ma1a2a3a m。
2009年高考重庆数学理科试题及参考答案
2005年重庆大学硕士研究生入学考试数学分析试题
2005年重庆大学硕士研究生入学考试试题数学分析part I 计算题 (共70分)21(1)4262232221cos(1)(1)12()(1)()1.(1).()()..1.()1x x ex f x f f x x x t f t f t d y d xx x x x f x x ----+-==--+++=+⎰''n 一.设函数,试定义的数值,使在连续dy二设参数方程x=f(t),y=tf 其中函数可以求导足够次数,求一阶导数和dx二阶导数dx三.求不定积分四求函数的极值与拐点,并求拐点处的切线方程.五.判断函数列f 22222222222222222()ln (0,1)()..(),())(),2..(,,0).x xx n ny u u u t t x xy y x x x y y x y z x y a b c ab c a b ϕψϕψ=∂∂∂+++∂∂∂∂⎛⎫++=+> ⎪⎝⎭2在区间上的一致收敛性说明理由y 六设有二阶连续导数,u=(求 x x 七求曲面所围空间区域的体积 (partII 证明题共80分){}{}0000.(1).()(),,()1(2)limsin ().()()()[,],n n n x x f x x f x x x x f x xf x f x f x a b →→≠0x 八设函数在点附近有定义,证明:lim 存在(有限)的充分必要条件是:对任意以x 为极限的数列都有数列收敛判断极限是否存在说明理由九设函数在闭区间[a,b]上连续,(1)证明:在[a,b]上一定有最大值和最小值(先最小值证明);(2)进一步,还假设在上处处不为零试用2''''21212'201[,].().()(),(,)()0,:,(,),()()()22.()[0,1],(0)0,[0,1]()1,:1(1).(0,1),()()2t a b f x f x f x a b f x x a b x x f x f x f f x f f x x f t dt f x >∈++≤=<∈>⎰1定义证明函数在上连续十设函数在开区间(a,b)内存在二阶导数且在内证明对于任意两点x 恒有十一设函数在闭区间上可微且在内0<证明对于任意11300;(2).(())()..()[0,),(),:1lim()0.(0.),()[,],()()(),(,)(),()(nn n n n n n f x dx f x dx f x f x dx xf x dx n dx x a b f x h x g x x a b f x g x αα+∞→+∞∞>+∞=+∞≤≤∀∈⎰⎰⎰⎰⎰+-x 0n 十二设函数在连续非负且广义积分收敛证明十三证明含参广义积分F()=e sinx 在连续但非一致收敛.十四.设h 在连续且若级数在1,),(),:()(,);(2)()(,).n n n n a b h a h x a b h x a b ∞∞∞=∞∞∑∑∑∑∑n=1n=1n=1n=1上收敛级数发散证明(1)级数在上收敛级数在上非一致收敛。
2009年重庆高考数学文科试卷带详解
2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点12（，）的圆的方程是（ ）A ．22(2)1x y +-=B ．22(2)1x y ++=C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．22(3)1x y +-=【测量目标】圆的方程.【考查方式】给出圆心位置、圆的半径和经过的点根据圆的几何性质求解圆的方程. 【参考答案】A【试题解析】由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为0,2（），故圆的方程为22(2)1x y +-=．2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 【测量目标】常用的逻辑用语.【考查方式】给出命题，根据命题的相互关系得出逆命题. 【参考答案】B【试题解析】因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数” . 3．6(2)x +的展开式中3x 的系数为（ ）A ．20B ．40C ．80D ．160 【测量目标】二项式展开式的应用.【考查方式】给出二项式根据二项展开式的公式特点计算二项式系数的计算. 【参考答案】D 【试题解析】根据二项展开式的通过公式的特点：二项展开式每一项中所含的x 与2分得的次数和为6，则根据条件满足条件3x 的项按3与3分配即可，则展开式中3x 的系数为336C 2160=． 4．已知向量(1,1),(2,)x ==a b ，若+a b 与42-b a 平行，则实数x 的值是（ ） A ．2- B ．0 C ．1 D ．2 【测量目标】向量的线性计算．【考查方式】给出向量的坐标，根据两向量的平行条件，利用向量共线条件求解． 【参考答案】D【试题解析】因为+a b 与42-b a 平行，则存在常数λ，使(42)λ+=-a b b a ，即(21)(41)λλ+=-a b ，（步骤1）根据向量共线的条件知，向量a 与b 共线，故2x =．（步骤2）5．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列,则{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．2744n n + B ．2533n n + C ．2324n n + D ．2n n + 【测量目标】等差数列的性质、等比数列的性质、数列的前n 项和公式．【考查方式】根据等差数列的性质和等比数列的性质求出公差，再求出数列前n 项和公式． 【参考答案】A【试题解析】设数列{}n a 的公差为d ，则根据题意得2(22)2(25)d d +=+ ，（步骤1） 解得12d =或0d =（舍去），所以数列{}n a 的前n 项和2(1)1722244n n n n nS n -=+⨯=+．（步骤2）6．下列关系式中正确的是（ ）A ．sin11cos10sin168︒︒︒<< B ．sin168sin11cos10︒︒︒<< C ．sin11sin168cos10︒︒︒<< D ．sin168sin10cos11︒︒︒<<【测量目标】三角函数的变换并利用单调性判断大小．【考查方式】先利用诱导公式将各项转化为正弦，再根据正弦函数的单调性判断大小． 【参考答案】C【试题解析】因为sin168sin(18012)sin12,cos10cos(9080)sin80︒︒︒︒︒︒︒︒=-==-=，（步骤1）由于正弦函数sin y x =在区间[0,90]︒︒上为递增函数，因此sin11sin12sin80︒︒︒<<，即sin11sin168cos10︒︒︒<<．（步骤2）7．已知0,0a b >>，则11a b++ ）A ．2B ．C ．4D ．5【测量目标】均值不等式的求解．【考查方式】给出条件，利用均值不等式求最小值．【参考答案】C【试题解析】因为1124a b++=≥当且仅当11a b=，=a b=时，取“=”号．8．12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为（）A．155B．355C．14D．13【测量目标】排列组合及其应用．【考查方式】用排列组合求解概率问题．【参考答案】B【试题解析】因为将12个组分成4个组的分法有444128433C C CA种，而3个强队恰好被分在同一组分法有3144398422C C C CA，故各强队恰好被分在同一组的概率31442444399842128433C C C C A C C C A=55．9．在正四棱柱1111ABCD A BC D-中，顶点1B到对角线1BD和到平面11A BCD的距离分别为h和d，则下列命题中正确的是（）A．若侧棱的长小于底面的边长，则hd的取值范围为0,1（）B．若侧棱的长小于底面的边长，则hd的取值范围为⎝⎭C．若侧棱的长大于底面的边长，则hd的取值范围为⎝D．若侧棱的长大于底面的边长，则hd的取值范围为3⎛⎫+∞⎪⎪⎝⎭【测量目标】命题的判断、四棱柱的几何性质．【考查方式】给出四棱柱及其点、线、面之间的关系，根据正四棱柱的几何性质判断命题的真假．【参考答案】C【试题解析】设底面边长为1，侧棱长为(0)λλ>，过1B作1111,B H BD B G A B⊥⊥．（步骤1）在11Rt BB D△中，111B D B D==11111B D BB h B H B D === （步骤2） 设在正四棱柱中，由于1,BC AB BC BB ⊥⊥，所以BC ⊥平面11AA B B ，（步骤3） 于是1BC B G ⊥，所以1B G ⊥平面11AB CD ，故1B G 为点到平面11A BCD 的距离，（步骤4）在11Rt A B B △中，又由三角形面积关系得11111A B BB d B G A B ===于是h d ==，（步骤5） 于是当1λ>，所以222123,1132λλ+><-<+，所以h d ∈．（步骤6）10．把函数3()3f x x x =-的图象1C 向右平移u 个单位长度，再向下平移v 个单位长度后得到图象2C ，若对任意0u >，曲线1C 与2C 至多只有一个交点，则v 的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【测量目标】函数图象平移后的变化及函数的单调性.【考查方式】给出函数式，根据函数图象的性质得出平移后的函数解析式，再根据函数单调性求v 最小值. 【参考答案】B【试题解析】根据题意曲线2C 的解析式为3()3(),y x u x u v =----则方程33()3()3x u x u v x x ----=-，即233(3)0ux u u v -+≤，即3134v u u -+≥对任意0u >恒成立，于是3134v u u -+≥的最大值，（步骤1）令31()3(0),4g u u u u =-+>则233()3(2)(2)44g u u u u =-+=--+由此知函数()g u 在(0,2)上为增函数，在(2,)+∞上为减函数，（步骤2）所以当2u =时，函数()g u 取最大值，即为4，于是4v ≥.（步骤3）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应的位置上。
重庆大学2000-2009年信号考研真题答案
2000年真题参考答案一：1：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2112222212222421221127[212]11272271272342271t t zi zi t t zi zi t t t t t t t t t t t t r t e e u t r t r t h t e t r t r t h t e t h t u t e e u t r t r t h t u t u t u t e e u t e e u t e e u t e e u t e e u t e e u t ---------+-+-+-+---+-+⎛=+=+⊗⎧⎪ →⎨ =+⊗⊗=-⎪⎩⎝=+⊗--+-=++----+--=+---+()()224272t t e e u t -+-+--2()000000000011[()(()())][()()(()())]2211[()()][()()]()()22Y j F j F j H j j F j F j F j F j F j F j ωωπδωωδωωωωπδωωδωωππωωωωωωωωωωωω=⊗++++⊗-+--==++-+++-=++-由傅里叶变换的性质可知。
三：00011()()()221F j [()()]()2()F j []2cos()()j j f t f t f t F j F j jX j Y j e e j X j ωωωωωωωωωω-=----==+=由傅里叶变换的性质可知：（）=（）四()()()()()()()()()()()()()222212120.2500.250.251[sgn(sin 2)1],t n 1;,0;22f 1111::cos 2()1sin 2;4421112::cos 2()1cos 2:422t t f t t f t else f t f t t f t f t f t f d case t f t t d t case t f t t d t f πτττπττπππττππ+∞-∞+-=+===⊗=--<=<==-=+<<==-=+⎰⎰⎰当|-n|<=0.5，=z时，即为方波。
重庆大学数学分析2004-2011年考研真题+高等代数2003-2010年考研真题
二阶可导，且 f (a) = f (b) = 0, 证明：至少存在一点ξ ∈ (a,b),使得f ′′(ξ ) < 0 。 十一、（12 分）设函数 f (x) 在 [0,+∞]可微， f ′(x)在[0,+∞)单调增加、无上界，证明：广义积
∫ 分
+∞
0 1+
1 f2
(
dx x)
收敛。
∫ 十二、（12 分）证明：含参广义积分 F (α ) = +∞ α e−αx2 dx 在区间 (0,+∞)上，1）有连续的导函 0
B = (β1 + β n , β1 + β 2 , β 2 + β3 ,⋯, β n−1 + β n ) 的行列式的值。 3．证明题 (1) 设V1,V2 是 R n 中的两个非平凡子空间，证明在 R n 中存在向量 α 使得
α ∉V1,α ∉V2 ，并在 R3 中举例说明此结论。
(2) 设 e1, e2 ,⋯, en 是 n 维 线 性 空 间 Vn 的 一 组 基 ， 对 任 意 n 个 向 量 α1,α 2 ,⋯,α n ∈Vn ，证明存在唯一的线性变换T 使得T (ei ) = αi ,i = 1,2,⋯, n 。
(2) 设 e1, e2 ,⋯, e5 是 5 维 Euclid 空 间 R5 的 一 组 标 准 正 交 基 ，
VL(α1,α 2 ,α3 ) ，其中α1 = e2 + e3 ，α 2 = −e1 + e2 + e4 ，α3 = 4e1 − 5e2 + e5 ，求V1 的
一组标准正交基。
⎡ 1 1 −1⎤
。
⎡1 1 −1⎤
(3) 设 A = ⎢⎢0
重庆大学数学与统计学院621数学分析历年考研真题汇编含部分答案【圣才出品】
2014 年重庆大学 621 数学分析考研真题
2013 年重庆大学 621 数学分析考研真题
2011 年重庆大学 618 数学分析考研真题
2012 年重庆大学 621 数学分析考研真题
2010 年重庆大学 618 数学分析考研真题
D
第二部分 证明题（共 80 分）
八、（18 分）写出极限 lim f (x) 存在（有限）的柯西收敛法则及其否定叙述，并据此证明下述结论： x
（1）极限 lim cos x 存在（有限）； x x
（2）极限 lim sin x 不存在。 x
九、（12 分）叙述函数 f (x) 闭区间 a, b上可积的定义，并据此证明函数
f
( x)在点x k
1 处不可微k
k
2,3,4, ，在区间 0,1内的其它点处皆可微。
2005 年重庆大学 330 数学分析考研真题
2004 年重庆大学 330 数学分析考研真题
2003 年重庆大学 330 数学分析考研真题
重庆大学 2003 年数学分析试卷
一、是非题（24 分）
1．
p
2009 年重庆大学 618 数学分析考研真题及详解
2008 年重庆大学 618 数学分析考研真题
2007 年重庆大学 630 数学分析考研真题
2006 年重庆大学 329 数学分析考研真题
科目代码：329 科目名称：数学分析 特别提醒考生： 答题一律做在答题纸上(包括填空题、选择题、改错题等)，直接做在试题上按零分计。
5．定义 f (x) 在[a, b] 上可积时，必须先假定 f (x) 在[a, b] 上有界（1）
6．设 f (x) 在[a, b] 上可积，则 f (x) 在[a, b] 上的连续点有无限多个（0）
2009年高考数学试卷(重庆卷)评析
2009年高考数学试卷(重庆卷)评析
张晓斌;邓朝阳
【期刊名称】《中国数学教育（高中版）》
【年(卷),期】2009(000)011
【摘要】@@ 一、命题范围及试卷结构rn本次考试的命题范围是全日制普通高中数学必修课和选修课的全部内容.本次试题充分考虑了文、理科学生的实际情况,拉大了文、理科试题的差异,既体现了个性,也体现了共性.
【总页数】6页(P22-27)
【作者】张晓斌;邓朝阳
【作者单位】重庆市教育科学研究院;重庆市清华中学
【正文语种】中文
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5.2009年福建省高考数学试卷评析(三) 化归与转化思想的考查分析
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(
x 2 + y 2 满足
)
四、 （16 分） （1）叙述 Lagrange 定理 （2）设函数 f ( x ) 在区间 ( a, b ) 上可微，且 lim f ( x ) = ∞ 。证明：存在序 x→a+0
f ' (ξ n ) = +∞. 列 {ξ n } ： ξ n → a + 0 ，使得 lim n →∞
重庆大学 2009 年硕士研究生入学考试试题
科目代码：618 科目名称：数学分析
an = a （有限） 一、（15 分）设 lim ，证明： lim a →∞ n →∞
a1 + a2 + a3 +…+ a上连续函数的 性质） （2）证明：若 f : [a, b ] → [ a, b ] 为连续函数，则存在 ξ ∈ [a , b ] , f (ξ ) = ξ 三、 （14 分）设函数 f (t ) 存在二阶偏导数， u = f
（2）若 ∑
+∞ 1 1 发散，则 ∑ 发散 n =1 cn n =1 n + cn
n =1
+∞
（2）求 xlim ∑ cn ( x ) cos ( 2nπ x ) →1−0
n=1
+∞
十、 （16 分）设 an > 0 ， cn > 0 ，数列 {an } 单调减少，数列 {cn } 单调增加。 证明： （1）若 ∑ an 收敛，则 lim nan = 0
n =1
+∞ +∞
n →∞
五、 （15 分）设函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上连续，证明：
lim
n →∞
(∫
b
a
f ( x ) dx
n
)
1 n
= max f ( x )
x∈[ a ,b]
六、 （14 分）计算曲面积分 I = ∫∫ ( x + x 2 )dydz + y 2 dxdz + z2 dxdy 其中， ∑ 为
+∞ +∞
sin x 2 1 + x2
( )dx 在区间 [0, +∞] 上
九、 （16 分）设 cn ( x ) 在区间 [ −1,1] 上连续、非负， ∑ cn ( x ) 在 [ −1,1 ]上一
n =1
+∞
致收敛于 f ( x ) ， f (1) = 1。 （1）证明： ∑ cn ( x ) cos ( 2nπ x ) 在 [ −1,1 ]上一致收敛
∑
x2 y 2 z 2 + + = 1 的外表面 ( a, b, c > 0 ) 。 a2 b2 c2
七、 （14 分）设函数 f ( x ) 在 [0, +∞ ] 上可微， f ' ( x ) 单调递增无上界，证 明：广义积分 ∫0 cos ( f ( x ) )dx 收敛。 八、 （14 分）判别含参变量广义积分 I ( y ) = ∫0 的一致收敛性（说明理由） 。