矩阵的秩及其多样性的解法

矩阵的秩及其多样性的解法数学学院 数学与应用数学（师范）专业摘 要：矩阵论是代数学中一个重要组成部分和主要研究对象，而矩阵的秩又是矩阵的一个重要指标，本文研究了与矩阵的秩的相关性质及其多样性的解法, 用定理和实例说明了行列式、线性空间、线性方程组、分块矩阵和矩阵秩的关系及其在求矩阵的秩中的应用。

关键词: 矩阵的秩; 行列式; 线性方程组；Abstract ：Matrix theory is an important part of the main object of study in algebra and rank of the matrix is an important indicator of the matrix, we study the rank of the matrix solution of the nature and diversity of theorems and examples illustratedeterminant, linear space, linear equations, the block matrix and the matrix rank and matrix rank.Keywords: Rank of matrix; V ector; Linear equations;引言、引理矩阵理论是高等代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中, 矩阵的秩是一个重要的概念. 它是矩阵的一个数量特征, 而且是初等变换下的不变量. 本文归纳了矩阵的秩相关性质及等价条件，并从行列式、线性方程组、线性空间以及分块矩阵的角度来阐述矩阵秩的不同解法。

矩阵的秩的等价刻划 设A F m n ⨯∈ ，则rank(A)=r⇔A 中不为零的子式的最大阶数是r ；⇔A 中有一个r 阶子式D 不等于零，所有包含D 作为子式的 r+1阶子式全为零； ⇔存在可逆矩阵m n P F ⨯∈，m n Q F ⨯∈，使得000r E P A Q ⎛⎫=⎪⎝⎭；⇔A 的行（列）向量的极大无关组所含向量的个数为r;⇔方程组AX=0有r 个独立的议程，其余方程是这些方程的线性组合； ⇔方程组AX=0的解空间的维数等于n-r;矩阵的秩的定义及简单的公式定义1[]1 一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩, 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 矩阵的行秩等于矩阵的列秩, 并统称为矩阵的秩. 另外, 矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数, 这是矩阵的秩的行列式定义.定义[]22: 向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。

定义[]23: 矩阵列向量组的秩称为矩阵的列秩矩阵行向量组的秩称为矩阵的行秩。

矩阵的秩的两个等价定义:定义[]34矩阵行秩等于矩阵列秩，统称为矩阵的秩。

定义[]35矩阵中最大阶非零子式的阶数称为矩阵的秩，矩阵的秩记为秩(A)或rank(A)。

矩阵秩的相关性质:定义[]46设矩阵A 和B 分别是s n ⨯和n m ⨯矩阵， AB C =，C 为s m ⨯矩阵，则()}{()min (),(),r A r B n r A r B +-≤，特别的若0,A ≠则()();r C r B =若0,()().AB r A r B n =+≤则定义[]47()()(),()()().r A B r A r B r A B r A r B +≤+-≥-定义[]48设A 为m n ⨯矩阵，(),r A r =则A 的任意S 行组成的矩阵B ，有().r B r s n ≥+-定义[]59设矩阵A和B 分别是s n ⨯，s m ⨯矩阵，则}{()m a x(),();()().r A r B r AB r A rB ≤≤+定义[]510(),())1,()1)0,()r A n r A n r A n r A n***====-=<-当时,r(A 时;r(A 时其中A *是A 的伴随矩阵。

1 矩阵的秩与行列式1.1 n n ⨯矩阵的情形定理[]61： n n ⨯矩阵A 的行列式为零的充分必要条件是A 的秩小于n 。

通过定理1的陈述可以得到否命题，即n n ⨯矩阵A 的秩等于n 的充分必要条件是A 的行列式不为零。

从而有以下一些等价条件: 1) n n ⨯矩阵A 的行列式的秩等于n 2) A 的行列式不为零。

3) 矩阵A 是可逆矩阵。

4) 齐次线性方程组0A X =只有零解5) 矩阵A 能表示成一些初等矩阵的乘积的形式，即12...n A Q Q Q =。

6) 矩阵A 的所有特征值均不为零有了这些等价条件，在解决一些具体问题的时候是十分方便的。

1.2一般矩阵的情形定理[]72: 矩阵A 的秩是r 的充分必要条件是矩阵A 中有一个r 级子式为零，同时所有的r+1级子式全为零。

以上给出了n n ⨯矩阵的秩与行列一般矩阵的秩与行列式的关系。

例 1 证明：(1)A 是一行列式，A 去掉一行（列）得到了行列式B ，则()1()().r a n k A r a n k B r a n k A -≤≤ (2)设A F m n ⨯∈，则rank(A)=r 。

从A 中取s 行作成s n B F ⨯∈，则().rank B r s m ≥+-证明：（1）令[]11,...,,n n A a a a -=，不妨去掉A 的第n 列得[]11,...,n B a a -=，令[][]'''11,...,,0,0,...0,n n B a a B a -==，则'''',()(),A B Br a n kB r a n kB=+=且显然()(r a n k B r a n kA≤.''''''()()()()()()()1rank A rank B B rank B rank B rank B rank B rank B ∴=+≤+=+≤+故结论（1）得证。

（2）令1211,s s s n a a a A a a a -+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 不妨设12,s a a B a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦令1'''10,000s s n a a B B a a +⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，则'''',()()A B B rank B rank B =+=。

'''A B B =+''''()()()()r rank A rank B B rank B rank B ∴==+≤+''()()()()rank B rank B rank B m s =+≤+-故().rank B r s m ≥+-上例给出了一行列式去掉一行或者一列后对该行列式秩的影响，这对我们研究矩阵的秩提供了一个很好的参考作用。

2矩阵的秩与线性方程组的求解线性方程组问题是高等代数中极其重要的一类问题, 在解决和讨论线性方程组的解的问题时, 我们可以运用矩阵的秩的知识.而线性方程组要解决的问题可以归纳为以下三类问题：1. 方程组是否有解？2. 方程组有解时, 解的个数是多少？3. 如何求出解? 对于上述三个问题, 无一不与矩阵的秩有关, 既有下面的定理.2.1 齐次线性方程组的求解定理[]82.1 设齐次线性方程组1111221121222211220,0,0.n n n n m m m nna x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ (2.1) 系数矩阵()ij m n A a ⨯=的秩()R A r =. 且方程组(2.1)的解空间为V . 则可以得到下列结论dim()()V n R A =-, 这里dim()V 表示方程组(2.1)解空间的维数．例2.11 求下列齐次线性方程组的一个基础解系, 并写出全部解123412341234220,240,220.x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+++=⎨⎪---+=⎩ 解：设方程组的系数矩阵为为A , 将A 用初等行变换化为阶梯形矩阵A =12121212241100111221000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭因此 秩A =2, 基础解系所含向量个数=4-2=2 所以 原方程的同解方程组为1234342200x x x x x x +-+=⎧⎨-=⎩即 124342x x x x x =--⎧⎨=⎩,取2x =1, 4x =0 代入得 1x =2-, 3x =0得解向量 1η=()2,1,0,0-;取2x =0, 4x =1 代入得1x =1-, 3x =1得解向量2η=()1,0,1,1-.所以1η, 2η为原方程组的一个基础解系那么方程组的全部解为1122k k ηη+,其中1k ,2k 为任意常数.2.2 非其次线性方程组的求解定理[]82.2 设有非齐次线性方程组A XB = (2.2)其中()()()1212,,,...,,,,...TTij n n m nA a X x x xB b b b ⨯===. 则有线性方程组(2.2)有解⇔R(A )=R ()A B , 即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩;线性方程组(2.2)有唯一解()()()R A R A B n n ⇔==为未知数的个数; 线性方程组(2.2)有无穷多组解()().R A R A B n ⇔=<例2.2 当c , d 取何值时, 线性方程组123451234523455123451,323,2263,5433.x x x x x x x x x x c x x x x x x x x x x d ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨++++=⎪⎪+++-=⎩ 无解? 有解? 有解时, 求出一般解. 解： 对增广矩阵作一系列初等变换：1111111111113211301226301226301226354331012265c c d d ⎛⎫⎛⎫⎪⎪------ ⎪ ⎪→⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭111111111111000000122630122630000000002000002c c d d ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭.从而有：)1当0,c ≠ 或者2d ≠时, ()(),R A R A B ≠ 故方程组无解;)2当0c =, 且2d =时, ()()2R A R A B ==<n =5, 故方程组有无穷多组解,且解中含有n r -=5-2=3个自由变量;)3为求出一般解, 继续对增广矩阵施行初等变换, 并将c =0, d =2代入111111101152012263012263000003000000000d 2000000⎛⎫⎛----⎫⎪⎪⎪⎪→⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.从而有134523452,226 3.x x x x x x x x =++-⎧⎨=---+⎩ 其中345,,x x x 为自由变量, 它们可以取任意的实数.若令314253,,,x k x k x k ===则11232123314253522263x k k k x k k k x k x k x k =++-⎧⎪=---+⎪⎪=⎨⎪=⎪=⎪⎩. 为所求一般解（其中123,,k k k 为任意实数）.3矩阵的秩与线性变换线性变换问题是高等代数中的一类重要问题, 同时也是线性代数的一个主要研究对象. 在线性空间中, 基于线性空间的一组基, 可以线性变换与矩阵的关系. 而矩阵的秩是矩阵的一个重要的数量特征. 因此, 可以用矩阵的秩来研究线性变换.3.1矩阵的秩与核的计算定义[]93.1设V 是P上的n 维线性空间, σ是V 的线性变换, 则{}0,V ασαα=∈为σ的核, 记为1(0)σ-或k er σ.定义[]93.2若12,,,n εεε 为V 的一组基, σ在基12,,,n εεε 下的矩阵为A , 则(i) dim ()ker σ=n -秩A(ii)若秩A =r , 且0Ax =的基础解系为12,,,n r X X X - , 则k er σ=()12,,n r L ξξξ- , 其中()12,,i n i X ξεεε= ()1,2,,i n r =- 且12,,,n rξξξ- 为k er σ的一组基. 3.2矩阵的秩与值域的计算1设V 是P 上的n 维线性空间, σ是V 的线性变换, 则称集合{}V σαα∈为σ的值域, 记为σV .2 若12,,,n εεε 为V 的一组基, σ在基12,,,n εεε 下的矩阵为A , 则 (i) dim σV =秩A (ii) 令A=()12,,,n A A A ,i A 为A 的列向量. 若秩A =r ,且12,,,ri i i A A A 为A的列向量组的极大线性无关组, 则σV=()12,,,ri i iL δδδ , 其中()12,,,ji n δεεε= ji A ()1,2,,j r =且12,,,ri i i δδδ 为σV 的一组基.3 dim ()ker σ+dim σV =dim V =n .例 3.1 设A 是n 维线性空间V 上的线性变换, 试证明: 秩2A =秩A 的充分必要条件是V =A V ⊕()10A -.证明 (1)先证明充分性 设V =A V ⊕()10A -, 因为()2A V A AV AV =⊆ (3.1.1) 且AV β∀∈, 存在V α∈, 使A βα=. 于是可设12ααα=+, 其中()112,0AV Aαα-∈∈则()22121.A A A A A A A A V βααααδδ==+===∈此即2AV A V ⊆ (3.1.2) 由(3.1.1), (3.1.2)即证明A V =2A V . 故秩A =dim A V =dim 2A V =秩2A .再证明必要性 设秩A =秩2A , 则 秩A +dim ()10A -=dim A V +dim ()10A -=n=dim 2A V +dim ()()120A -=秩2A +秩()()120A - (3.1.3) 于是dim ()10A -=dim ()()120A- (3.1.4)但是()10A -⊆()()120A - (3.1.5) 于是由(3.1.4), (3.1.5)有()10A -=()()120A - (3.1.6)再证明A V ()10A -={}0 (3.1.7)又因为()10AV A β-∀∈ , ,V γ∃∈ 使得A βγ=, 且0A β=, 所以()()()1221000A A AA γβγ--==⇒∈=故0A βγ==, 即证明了(3.1.7).由(3.1.3), (3.1.7). 可得V =A V ⊕()10A -.4、分块矩阵在求矩阵的秩时的应用定理[]104.1 设0AM CB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,A 为m n ⨯矩阵，B 为k l ⨯矩阵，则有()()()r M r A r B ≥+，且当0C =时，()()()0A r Mr r A r B C B ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦。