矩阵的秩及其多样性的解法

矩阵的秩及其多样性的解法

数学学院 数学与应用数学（师范）专业

摘 要：矩阵论是代数学中一个重要组成部分和主要研究对象，而矩阵的秩又是矩阵的一个重要指标，本文研究了与矩阵的秩的相关性质及其多样性的解法, 用定理和实例说明了行列式、线性空间、线性方程组、分块矩阵和矩阵秩的关系及其在求矩阵的秩中的应用。

关键词: 矩阵的秩; 行列式; 线性方程组；

Abstract ：Matrix theory is an important part of the main object of study in algebra and rank of the matrix is an important indicator of the matrix, we study the rank of the matrix solution of the nature and diversity of theorems and examples illustratedeterminant, linear space, linear equations, the block matrix and the matrix rank and matrix rank.

Keywords: Rank of matrix; V ector; Linear equations;

引言、引理

矩阵理论是高等代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中, 矩阵的秩是一个重要的概念. 它是矩阵的一个数量特征, 而且是初等变换下的不变量. 本文归纳了矩阵的秩相关性质及等价条件，并从行列式、线性方程组、线性空间以及分块矩阵的角度来阐述矩阵秩的不同解法。 矩阵的秩的等价刻划 设A F m n ⨯∈ ，则rank(A)=r

⇔A 中不为零的子式的最大阶数是r ；

⇔A 中有一个r 阶子式D 不等于零，所有包含D 作为子式的 r+1阶子式全为零； ⇔

存在可逆矩阵m n P F ⨯∈，m n Q F ⨯∈，使得000r E P A Q ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

；

⇔

A 的行（列）向量的极大无关组所含向量的个数为r;

⇔方程组AX=0有r 个独立的议程，其余方程是这些方程的线性组合； ⇔

方程组AX=0的解空间的维数等于n-r;

矩阵的秩的定义及简单的公式

定义1[]1 一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩, 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 矩阵的行秩等于矩阵的列秩, 并统称为矩阵的秩. 另外, 矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数, 这是矩阵的秩的行列式定义.

定义[]22: 向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。 定义[]2

3: 矩阵列向量组的秩称为矩阵的列秩矩阵行向量组的秩称为矩阵的行

秩。

矩阵的秩的两个等价定义:

定义[]34矩阵行秩等于矩阵列秩，统称为矩阵的秩。

定义[]3

5矩阵中最大阶非零子式的阶数称为矩阵的秩，矩阵的秩记为秩(A)或

rank(A)。

矩阵秩的相关性质:

定义[]4

6设矩阵A 和B 分别是s n ⨯和n m ⨯矩阵， AB C =，C 为s m ⨯矩阵，则

()}{()min (),(),r A r B n r A r B +-≤，特别的若0,A ≠则()();r C r B =若

0,()().AB r A r B n =+≤则

定义[]4

7()()(),()()().r A B r A r B r A B r A r B +≤+-≥-

定义[]4

8设A 为m n ⨯矩阵，(),r A r =则A 的任意S 行组成的矩阵B ，有

().r B r s n ≥+-

定义[

]

59设矩阵A

和

B 分别是s n ⨯，s m ⨯矩阵，则

}{()

m a x

(),();(

)(

).

r A r B r A

B r A r

B ≤≤+

定义[]510(),())1,()1

)0,()r A n r A n r A n r A n

**

*

====-=<-当时,r(A 时;r(A 时其中A *是A 的伴随矩阵。

1 矩阵的秩与行列式

1.1 n n ⨯矩阵的情形

定理[]61： n n ⨯矩阵A 的行列式为零的充分必要条件是A 的秩小于n 。 通过定理1的陈述可以得到否命题，即n n ⨯矩阵A 的秩等于n 的充分必要条件是A 的行列式不为零。从而有以下一些等价条件: 1) n n ⨯矩阵A 的行列式的秩等于n 2) A 的行列式不为零。 3) 矩阵A 是可逆矩阵。

4) 齐次线性方程组0A X =只有零解

5) 矩阵A 能表示成一些初等矩阵的乘积的形式，即12...n A Q Q Q =。 6) 矩阵A 的所有特征值均不为零

有了这些等价条件，在解决一些具体问题的时候是十分方便的。 1.2一般矩阵的情形

定理[]72: 矩阵A 的秩是r 的充分必要条件是矩阵A 中有一个r 级子式为零，同时所有的r+1级子式全为零。

以上给出了n n ⨯矩阵的秩与行列一般矩阵的秩与行列式的关系。

例 1 证明：(1)A 是一行列式，A 去掉一行（列）得到了行列式B ，则()1()().

r a n k A r a n k B r a n k A -≤≤ (2)设A F m n ⨯∈，则rank(A)=r 。从A 中取s 行作成s n B F ⨯∈，则().rank B r s m ≥+-

证明：（1）令[]11,...,,n n A a a a -=，不妨去掉A 的第n 列得[]11,...,n B a a -=，令