鲁教版初中数学八年级上 分式与分式方程(知识点)
鲁教版八年级数学上册分式知识点：第一章
鲁教版八年级数学上册分式知识点：第一章鲁教版八年级数学上册分式知识点：第一章不定期的对知识点进行归纳总结，有利于知识点的掌握，查字典数学网给大家编辑了八年级数学上册分式知识点，供大家参考复习。
分式知识点1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
2.分式有意义、无意义的条件：分式有意义的条件：分式的分母不等于0;分式无意义的条件：分式的分母等于0。
3.分式值为零的条件：分式AB =0的条件是A=0，且B≠0.(首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。
)4.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示为 (其中A、B、C是整式 )，5.分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
7.分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
用式子表示是：分式的乘除混合运算统一为乘法运算。
①分式的乘除法混合运算顺序与分数的乘除混合运算相同，即按照从左到右的顺序，有括号先算括号里面的;②分式的乘除混合运算要注意各分式中分子、分母符号的处理，可先确定积的符号;③分式的乘除混合运算结果要通过约分化为最简分式(分式的分子、分母没有公因式)或整式的形式。
分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母各自乘方。
用式子表示是： (其中n是正整数)分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
用式子表示为：ab ± cb = a±c b异分母的分式相加减，先通分，转化为同分母分式，然后再加减。
用式子表示为：ab ± cd =adbd ± bcbd =ad±bcbd注意：(1)“把分子相加减”是把各个分子的整体相加减，即各个分子应先加上括号后再加减，分子是单项式时括号可以省略;(2)异分母分式相加减，“先通分”是关键，最简公分母确定后再通分，计算时要注意分式中符号的处理，特别是分子相减，要注意分子的整体性;(3)运算时顺序合理、步骤清晰;(4)运算结果必须化成最简分式或整式。
八年级数学上册第二章分式与分式方程1认识分式第2课时分式的基本性质pptx课件鲁教版五四制
y
y
错解解析：上述解法出错的原因是把分子、分母首项的
符号当成了分子、分母的符号．
x
正确解析：
x
y
y
x
y
x
y
x
x
y
.
y
归纳
当分式的分子、分母是多项式时，
若分子、分母的首项系数是负数，应先
提取“－”并添加括号，再利用分式的
基本性质化成题目要求的结果；变形时
要注意不要把分子、分母的第一项的符
号误认为是分子、分母的符号．
b
(1)
2x
by
y
2 xy
≠
0 ;
b
解：(1)因为y≠0，所以
2x
ax
(2)因为x≠0，所以
bx
ax
(2)
bx
a
.
b
b y
by
;
2 x y 2 xy
ax x a
.
bx x b
归纳
应用分式的基本性质时，一定要确定分式
在有意义的情况下才能应用．应用时要注
意是否符合两个“同”：一是要同时作
“乘法”或“除法”运算；二是“乘(或除
定义 把分式分子、分母的公因式约去，这种变形叫
分式的约分.
约分的步骤:
(1)约去系数的最大公约数；
(2)约去分子分母相同因式的最低次幂.
特别解读
1. 约分的依据是分式的基本性质，关键是确定分子和
分母的公因式；
2. 约分是针对分式的分子和分母整体进行的，而不是
针对其中的某些项，因此约分前一定要确认分子和
1
D．缩小到原来的
20
5.
x 2－ y 2
当x＝6，y＝－2时，则式子 ( x－ y ) 2
山东省八年级鲁教版(五四制)数学上册课件：21认识分式(2)(共19张PPT)
像因例式3的化分简式结称果为a最c简与分xx式。11 中，分子和分母没有公
思考：如何找分子、分母的公因式？
例 6x2 y2 10x3 yz
2x2 y 3y 2x2 y 5xz
3y 5xz
公因式为2x 2 y
确定分子分母的公因式的方法：
（1）定系数：分子、分母系数的最大公因数 （2）定字母：相同字母取最低次幂
分式的分子是多项式
一个负号随便走；
两个负号都没有；
三个负号剩一个！
当堂达标
见导学案上的当堂达标.
布置作业
课本Ｐ24: 习题2.2 2、3题.
符号语言：
如果 a,b,c 都是整数，且 c 0 ，那么
a a c ; a a c 。 b b c b b c
分式有什么性质呢？
教学目标
1.理解和掌握分式的基本性质，并会利用分式 的基本性质进行简单的恒等变形。 2.理解约分与最简分式的概念，会将一个分式 化成最简分式或整式。 3.掌握分式的符号法则。
分式的分子与分母都乘（或除以）
同一个不等于0的整式，分式的
1基.分本式性的质：值质（不。2）变符.这号个语性言质：叫做分式的基本性
分式的基 本性质
2.分式的
a a m ; a a m (m 0) b Bm b bm
约分、最简分式的概念
约分
分式的分子是单项式
约分的方法
3.分式的符 号法则：
口诀：
合作探究 探究一：分式的基本性质
n2 n （1）分式 mn 与 m 相等吗？ （2）分式 a 与 1 相等吗？
2a 2 a a m ; a a m (m 0)
分式的基本性质：b分B式m b 的bm分子与分母都乘 （或除以）同一个不等于0的整式，分式的 值不变.这个性质叫做分式的基本性质。
八年级上册《分式方程》知识点汇总鲁教版
八年级上册《分式方程》知识点汇总（鲁教版）八年级上册《分式方程》知识点汇总（鲁教版）.行程问题：基本公式：路程=速度times;时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题.b.数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法.c.工程问题基本公式：工作量=工时times;工效.d. 顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水. v逆水=v静水-v水. 14植树问题1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:株数=段数=全长divide;株距全长=株距times;株数株距=全长divide;株数全长=株距times;株数株距=全长divide;株数 15盈亏问题(盈+亏)divide;两次分配量之差=参加分配的份数(大盈-小盈)divide;两次分配量之差=参加分配的份数(大亏-小亏)divide;两次分配量之差=参加分配的份数 16相遇问题相遇路程=速度和times;相遇时间第 2 页共 2 页⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,⑶如果在非封闭线路的两端都不要植那:株数=段数+1=全长divide;株距-1 全长=株距times;(株数-1) 株距=全长divide;(株数-1) ⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那就这样: 树,那么:株数=段数-1=全长divide;株距-1 全长=株距times;(株数+1) 株距=全长divide;(株数+1)2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下：株数=段数=全长divide;株距相遇时间=相遇路程divide;速度和速度和=相遇路程divide;相遇时间 17追及问题追及距离=速度差times;追及时间追及时间=追及距离divide;速度差速度差=追及距离divide;追及时间18流水问题顺流速度=静水速度+水流速度逆流速度=静水速度-水流速度静水速度=(顺流速度+逆流速度)divide;2 水流速度=(顺流速度-逆流速度)divide;219浓度问题溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量溶质的重量divide;溶液的重量times;100%=浓度溶液的重量times;浓度=溶质的重量溶质的重量divide;浓度=溶液的重量20利润与折扣问题利润=售出价-成本利润率=利润divide;成本times;100%=(售出价divide;成本-1)times;100% 涨跌金额=本金times;涨跌百分比折扣=实际售价divide;原售价times;100%(折扣1)利息=本金times;利率times;时间税后利息=本金times;利率times;时间times;(1-20%)。
八年级上册分式方程知识点汇总鲁教版
适用精选文件资料分享八年级上册《分式方程》知识点汇总（鲁教版）八年级上册《分式方程》知识点汇总（鲁教版）. 行程问题：基本公式：行程 =速度 × 时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题 . b. 数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法 .c. 工程问题基本公式：工作量 =工时 × 工效 .d. 顺流逆水问题 v 顺流 =v 静水 +v 水. v 逆水 =v 静水 -v 水. 14 植树问题 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情况 : 株数 =段数 =全长 ÷ 株距全长 =株距 × 株数株距 =全长 ÷ 株数全长=株距 × 株数株距 =全长 ÷ 株数 15 盈亏问题 ( 盈+亏)÷ 两次分配量之差 =参加分配的份数 ( 大盈 - 小盈 )÷两次分配量之差 =参加分配的份数 ( 大亏 - 小亏 )÷ 两次分配量之差=参加分配的份数 16 相遇问题相遇行程 =速度和 × 相遇时间第 2 页共 2 页⑴假如在非封闭线路的两端都要植树 , ⑶假如在非封闭线路的两端都不要植那 : 株数 =段数 +1=全长 ÷ 株距 -1 全长 =株距×( 株数 -1) 株距 =全长 ÷( 株数 - 1) ⑵假如在非封闭线路的一端要植树 , 另一端不要植树 , 那就这样 : 树, 那么 : 株数 =段数 -1= 全长÷ 株距 -1 全长 =株距 ×( 株数 +1) 株距=全长 ÷( 株数 +1) 2 封闭线路上的植树问题的数目关系以下：株数 =段数 =全长 ÷ 株距相遇时间 =相遇行程 ÷速度和速度和 =相遇行程 ÷ 相遇时间 17 追及问题追及距离 = 速度差 × 追及时间追及时间 =追及距离 ÷ 速度差速度差=追及距离 ÷ 追及时间 18 流水问题顺流速度 =静水速度 +水流速度逆流速度 =静水速度 - 水流速度静水速度 =( 顺流速度 +逆流速度)÷2 水流速度 =( 顺流速度 - 逆流速度 )÷2 19 浓度问题溶质的重量 +溶剂的重量 =溶液的重量溶质的重量 ÷ 溶液的重量 ×100%=浓度溶液的重量 × 浓度 =溶质的重量溶质的重量 ÷ 浓度 =溶液的重量 20 利润与折扣问题利润 =售出价- 成本利润率 =利润 ÷ 成本 ×100%=( 售出价 ÷成本 -1)×100% 涨跌金额 =本金 × 涨跌百分比折扣 =实质售价 ÷ 原售价 ×100%( 折扣 <1) 利息 =本金 × 利率× 时间税后利息 =本金 × 利率 × 时间适用精选文件资料分享×(1-20%)。
鲁教版(五四制)初二上第二章分式与分式方程认识分式知识点精讲与练习
鲁教版（五四制）初二上第二章分式与分式方程认识分式知识点精讲与练习1、分式的概念普通地，假设A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
其中A叫做分子，B叫做分母。
说明：（1）分式表示两个整式相除，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号和括号的作用。
例如可以表示(a－b)÷(a+b)；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分式的分母一定含有字母。
（3）分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即事先，分式才有意义；〔4〕判别一个代数式能否是分式，不能把原式变形(如约分等)后再看，而只能依据它的原本面目停止判别。
例如：关于来说，，我们不能由于是整式，就判别也是整式，理想上是分式。
2、分式有意义、有意义，分式的值为零的条件〔1〕分式有意义的条件是分式的分母不为0；〔2〕分式有意义的条件是分式的分母为零；〔3〕分式的值为零的条件是分式的分子为零，且分母不为零。
（1）分母不为零是分式概念必不可少的组成局部，无论是分数还是分式，分母为零都没有意义。
（2）分式分母的值不为0，是指整个分母的值不为0。
假设分母中的字母的值为0，但整个分母的值不为0，那么分式是有意义的。
（3）分式的值为0，是在分式有意义的条件下，再满足分子的值为零。
〔4〕假设没有特别说明，所遇到的分式都是有意义的。
例如在分式中隐含着，即，这一条件，也就是说分式中分母的值不为零。
3、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这特性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：(其中)。
说明：（1）运用分式的基本性质时，千万不能疏忽〝〞这一条件. 如，变形时，必需满足2x+1≠0。
〔2〕分式的基本性质要求〝同乘〔或除以〕一个不等于0的整式〞即分式的分子、分母要做相反的变形，要防止只乘〔或除以〕分子(或分母)的错误；同时分子、分母都乘〔或除〕以的整式必需相反。
〔3〕在运用分式的基本性质停止分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有能够发作变化。
鲁教版八年级上册数学知识点
鲁教版八年级上册数学知识点第一章 分式一、分式1．分式的概念：如果整式A 除以整式B, 可以表示成BA 的形式,且除式B 中含有字母，那么称式子BA 为分式。
其中, A 叫分式的分子,B 叫分式的分母。
注意：①判断一个代数式是否为分式,不能将它变形,不能约分后去判断,即使它约分后是整式也不能说它就是整式,约分之前是分式这个式子就是分式。
如:x 2／x 是分式,虽然约分之后等于x 是整式,但约分前是分式。
②π是常数,所以a/π不是分式而是整式。
2．有理式：整式和分式统称有理式。
(整式的分母中不含有字母)3．关于分式的几点说明:(1)分式的分母中必须含有未知数；(2)分式是两个整式相除的商式,对任意一个分式，分母都不为零；(3)分数线有除号和括号的作用,如：dc b a -+表示（a ＋b ）÷(c －d )； (4)“分式的值为零”包含两层意思：一是分式有意义(分母≠0)，二是分子的值为零，不要误解为“只要分子的值为零，分式的值就是零”。
4．一般的，对分式A ／B 都有：①分式有意义 B ≠0；②分式无意义 B=0；③分式的值为0A=0且B ≠0；④分式的值大于0分子分母同号；⑤分式的值小于0分子分母异号。
5．基本性质：分式的分子和分母同乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式值不变。
二、分式的乘除法1.分式的乘除法则:分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母； 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式的乘方是把分式的分子、分母各自乘方，再把所得的幂相除。
2.约分:把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分。
注意:①当分式的分子分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式时,直接约分； ②分式的分子和分母都是多项式时，将分子和分母分解因式再约分。
3.最简分式: 一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。
约分时，一般要将一个分式化为最简分式。
2022八年级数学上册第二章分式与分式方程4分式方程1ppt教学课件鲁教版五四制
解：
x 5
69000 x 3
3.王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加 电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元。 后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠， 一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的 费用比原计划少4元，原定的人数是多少？如果设原
定是x人，那么 x 满足怎样的分式方程?
解：10 x 5 . 80 x 7
7.从甲地到乙地有两条路可以走：一条全长 600 km普通公路，另一条是全长 480km 的高 速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度 比普通公路上快45km/h，由高速公路从甲地到 乙地的所需的时间是由普通公路从甲地到乙地 所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地 到乙地所需要的时间？ 解：该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的 时间为xh
(1) 1 (x 3) 1.x找找（看，否下）列方程哪; 些(是2)分式1方程 1：（ 是）
2
2x
(3)
x 3 1 x 1 2 x
（是） ; (4)
x 2
x 3
1（否
）
2. “退耕还林还草”是在我国西部地区实施的一项
重还hm要林2 生与态退工耕程还．草某的地面规积划比退为耕5∶面3积，共设退69耕00还0 ，林退的耕面 积为 x ，那么 x 满足怎hm样2 的分式方程？
解：设第一块小麦实验田的每公顷的产量为 x ㎏
9000
15000
x x 3000
6.李庄村原来用10hm2耕地种植粮食作物， 用80hm2耕地种植经济作物。为了增加粮食 作物的种植面积，该村计划将部分种植经济 作物的耕地改为种植粮食作物，使得粮食作 物的种植面积与经济作物的种植面积之比为 5:7.设有xhm2种植经济作物的耕地改为种植 粮食作物，那么x满足怎样的分式方程？
鲁教版(五四制)八年级数学上册分式方程课件
租金. • (4)…… • 2.根据这一情境可以提出的问题如: • (1).求出租房屋的总间数? • (2).分别求两年每间出租房屋的租金? • (3)……
3.你能解决这些问题吗?
• 解1:设第一年每间房屋的租金为x元,则
得
30 (1 1) x
15 x
5
3
解这个方程,得 x=1.5. 经检验,x=1.5是原方程的根.
1.5×4/3=2(元) 答:该市今年居民用水的价格为2元/m3.
对应训练 佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售， 第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出 售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时， 每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购 买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出 100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为 减少损失，便降价50%售完剩余的水果． (1)求第一次水果的进价是每千克多少元？
1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.
2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.
3.列:根据数量和相等关系,正确列出代数式和方程.
4.解:认真仔细.
三次检验是:(1)是否是所列方程的解; (2)是否使代数式有意义;
(3)是否满足实际意义.
5.验:有三次检验.
6.答:注意单位和语言完整.且答案要生活化.
对应训练
• 2.一艘轮船逆流航行2km的时间比顺流航行2 km的时
间多用了40分钟,
. (在横线上补充
一个条件并提出一个问题)
• 如:已知水速为2 km/h,求船在静水中的速度?
• 解:设船在静水中的速度为x km/h,根据题意得
八年级上册《分式的乘除法》知识点汇总(鲁教版)
八年级上册《分式的乘除法》知识点汇总（鲁教版）一、分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子二、与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0②分式无意义：分母为0③分式值为0：分子为0且分母不为0?B?0?A?0?A?0或?)B?0B?0???A?0?A?0或?)?B?0?B?0④分式值为正或大于0：分子分母同号⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数三、分式的基本性质分式的分子和分母同乘一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：AA?cAA?c?，?，其中A、B、c是整式，c?0。
BB?cBB?c分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即：A?A?AA?????B?BB?B 注意：在应用分式的基本性质时，要注意c?0这个限制条件和隐含条件B?0。
四、分式的约分.定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2.步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
3.两种情形：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
4.最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
◆约分时。
分子分母公因式的确定方法：)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.五、分式的通分.定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
2.最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
◆通分时，最简公分母的确定方法：.系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.2.取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.3.如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.3.“两大类三类型”通分“两大类”指的是：一是分母是单项式;二是分母是多项式“两大类”下的“三类型”：“二、三”型，“二，四”型，“四、六”型)“二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是他们的乘积;2)“二，四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母;3)“四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母既要有独特的因式，也应包括相同的因式4.通分的方法：先观察分母是单项式还是多项式，如果是分母单项式，那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分;如果分母是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，继续通分。
2024-2025学年鲁教版(五四制)八年级数学上册期中考试知识梳理课件
知识点6：同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
上述法则可用式子表为：
知识点7：异分母分式的加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
上述法则可用式子表为：
题型五 已知分式恒等式，确定分子或分母
x3
A
B
x 1 x 1 x 1 x 1
【点拨】本题主要考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关
键．根据分式的分子分母都乘以或除以一个不为0的整数，分式的值不变，
即可得到答案．
知识点3：分式的约分，最简分式
与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变
分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。如果一个分式的分子与分母没有相同
B．－x2+y2
C．－x2－y2
）
D．(－9 x)2－(－y)2
1 2 2 1 2 2 1
1
x －y =( x) －y =( x+y)( x－y)，故不符合题意；
4
2
2
2
B．－x2+y2= y2－x2 = (y +x)( y－x)，故不符合题意；
C．－x2－y2=－(x2+y2)，不符合平方差公式的特点，故符合题意；
故选：B．
【点拨】此题考查了因式分解的意义，分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形
式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．
题型二 根据因式分解的结果求参数
2
若 －3－10 = ( + ) ( + )，则 + =
鲁教版八年级上册第二章 分式与分式方程2.1 认识分式第二课时
（2）
x2 3x 2 x2
1
x3 3x 1 x2 2
.
拓展练习 把负号移到分数线的左前方
不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“-”号:
(1)
2x 5y
,
(2)
3a 7b
,
(3)
10m 3n
解:
(1)
2x 5y
,
(2)
3a 7b
,
(3)
10m 3n
1、这节课你有哪些收获？ 2、分式与分数的的区别与联系？ 3、分式有意义的条件？ 4、分式的基本性质？ 5、分式化简的要求？
学习方法指导：
分式化简的目标是“最简”，使用的方法是约分
. 为实施约分必须先将分子与分母分解因式. 另外还须注意：
（1）把分子与分母降幂排列； （2）把最高次方项的负号移到分数线左前方； （3）把分子与分母的各项系数化为整数.
课后作业
课后习题
f h gh
,
f g
f h gh
(h 0)
为什么所乘的整式不能为零呢? (做分母的数(式)不能为 0)
看懂分式的 “变形”
例 下列等式成立吗?右边是怎样从左边得到的？ 1 依据是?
1)
b 2a
bm 2am
(m 0);Байду номын сангаас
2)
an bn
a b
.
解: 1) 因为 m 0
所以
b 2a
bm 2a m
bm 2am
;
2) 因为 n 0
所以
an bn
an bn
n n
a b
.
例3 约简分式(约分)
例 化简下列分式 :
2
（1）
八年级数学上册第二章分式与分式方程1认识分式第1课时认识分式pptx课件鲁教版五四制
求解．
3.易错警示：当分母出现含字母的式子是平方形式时，容
易出现考虑不周的错误．
2
例2 分式 x 1 有意义，则x的取值范围是 ( A )
A．x≠1
B．x＝1
C．x≠－1
D．x＝－1
导引：根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求解.
根据题意得：x－1≠0，解得：x≠1.
归纳
求分式有意义时字母的取值
范围，一般是根据分母不等于0
构造不等式，求使分式的分母不
等于0的字母的取值范围．
例3 当x取何值时，下列分式无意义？
2 x－1
(1) 3 x ；
5 x＋1
(2) 3 x 2－27 .
导引：由分式无意义可得分母的值为0，从而利用方程求解．
2 x－1
解：(1)当3x＝0，即x＝0时，分式
无意义；
3x
(2)当3x2－27＝0，即x＝±3时，
b
和
,
a x 它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同?
相同点
都具有分数的形式
不同点 （观察分母）分母中有字母
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中
定义
A
A
含有字母，那么式子 B 叫做分式. 分式
B
中，A叫做分子，B叫做分母.
特别解读
1. 分式可看成是两个整式的商，它的分子是被
除式，分母是除式，分数线相当于除号，分
数线还具有括号作用.
2. 判断一个式子是否是分式，不能将原式子进
行变形后再判断，而必须按照本来“面目”
2
3a
进行判断. 如： 是分式.
a
x＋2 2 x a＋2b
2x
3，
例1 下列各式：－3a ， 2 ，x ，π＋2 ，
鲁教版数学初二分式知识点复习
鲁教版数学初二分式知识点复习知识点1.分式：形如A/B，A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0的整式叫做分式。
其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
2.分式有意义的条件：分母不等于03.判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是A/B 的形式，关键要满足。
（1）分式的分母中必须含有未知数。
（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。
4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式（不为1的数）约去，这种变形称为约分。
如果分子和分母是多项式，要把多项式分解因式再约分如：（x2-2x+1）/（x2-1）=（x-1）2/（x+1）（x-1）=（x-1）/（x+1）5.分式的约分步骤：（1）如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。
（2）分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
6.公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。
课后练习1) 66x+17y=396725x+y=1200答案：x=48 y=47(2) 18x+23y=230374x-y=1998答案：x=27 y=79(3) 44x+90y=779644x+y=3476答案：x=79 y=48(4) 76x-66y=408230x-y=2940答案：x=98 y=51(5) 67x+54y=854671x-y=5680答案：x=80 y=59(6) 42x-95y=-141021x-y=1575答案：x=75 y=48(7) 47x-40y=85334x-y=2006答案：x=59 y=48(8) 19x-32y=-178675x+y=4950答案：x=66 y=95(9) 97x+24y=720258x-y=2900答案：x=50 y=98(10) 42x+85y=636263x-y=1638答案：x=26 y=62分式知识点的全部内容就是这些，不知道大家是否已经都掌握了呢？预祝大家可以更好的学习，在期末考试中取得优异的成绩。
八年级数学上册第二章分式与分式方程1认识分式第1课时认识分式习题pptx课件鲁教版五四制
B. 5个
C. 6个
D. 3个
【点拨】
∵分式
的值是正整数，且 m 为整数，
−
∴ m －2＝1，2，3，6，∴ m ＝3，4，5，8，共4个.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
13.
＋
[新考法·整体代入法]已知 a ＋ b ＝7， ab ＝12，则
＝ .
16
17
练点2 分式有(无)意义的条件
3. [2024·烟台招远市期末]若分式
义，则 x 的取值范围是(
A. x ≠－7
C. x ≠7
A
＋
在实数范围内有意
)
B. x ≠0
D. x ＞－7
【点拨】
∵分式
1
2
3
＋
4
5
有意义，∴ x ＋7≠0，解得 x ≠－7.
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
符合条件的分式.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
【解】张明摆出的分式不符合条件.理由如下：
当 x ＝3时，张明摆出的分式的分母为 x2－9＝0，此时
分式无意义，
符合条件的分式可以为
1
2
3
4
5
6
7
−
＋
8
鲁教版八年级数学上册第二章分式与分式方程1第一课时分式及其相关概念课件
C
A.分式的值为0 C.分式无意义
B.分式的值为 2
5
D.分式有意义
解析 当x=1时,分式的分母(x-1)(2x+3)=0,∴分式无意义.故 选C.
13.(2024山东烟台招远期中,11,★☆☆)若分式 x有1意
x(x 3)
义,则x的取值范围是 x≠0且x≠3 .
解析 ∵分式 x 有1意义,∴x(x-3)≠0Βιβλιοθήκη ∴x≠0且x-3≠0,x 1
8.(2023重庆沙坪坝期末)若分式 x 的2 值为零,则x的值是
x2
(C)
A.-2
B.2或-2
C.2
D.4
解析 由题意可知x-2=0,x+2≠0,解得x=2.故选C.
9.已知当x=-4时,分式 x 无b 意义,当x=2时,此分式的值为零,
2x a
求分式 a 的b 值.
a 3b
解析 ∵当x=-4时,分式 x 无b 意义,
第二章 分式与分式方程
1 认识分式
第一课时 分式及其相关概念
基础过关全练
知识点1 分式的概念
1.(2024山东东营期中)代数式 x , y , 1 , 2 ,x y中,x是分式
6 a 1 x a b
的有 ( B )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
解析 x 和y x的分母中不含有字母,不是分式; 1, ,2
A.2-x
B.x-2
C.2x+4
D.x+4
解析 当x=-2时,分式无意义,所以分母“□”的值应为0.当x =-2时,2-x=2-(-2)=2+2=4≠0,A选项不符合题意;x-2=-2-2=-4 ≠0,B选项不符合题意;2x+4=2×(-2)+4=-4+4=0,C选项符合题 意;x+4=-2+4=2≠0,D选项不符合题意.故选C.
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第二章 分式与分式方程
一. 分式概念：一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 可以表示成B A 的形式。
如果B 中含有字母，那么称B
A 为分式，其中A 成为分式的分子，
B 称为分式的分母。
且B ≠0。
二.分式有无意义的条件：1. 有意义：分母B ≠0，与分子无关； 2. 无意义：分母B=0，与分子无关；
三. 分式的值为零的条件： 1. 分子等于零；2. 分母B ≠0，两者缺一不可。
四. 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
即
M B M A B A ⋅⋅= )0(≠÷÷=M M B M A B A 五. 分式的变形：
（一）约分:根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
约分的结果必须是整式或最简分式。
（二）最简分式(分子和分母没有公因式的分式称为最简分式)。
（三）通分:根据分式的基本性质，异分母分式可以化为同分母的分式，这种变形称为分式的通分。
注：约分和通分是一种互逆的分式变形，在进行变形之前，要先将分式的分子和分母进行因式分解.
知识链接：整数指数幂运算性质
（1）a m a n =a
m+n （m ，n 是正整数)； （2）(a m )n =a mn （m ，n 是正整数）； （3）(ab)
n =a n b n （n 是正整数）； （4）a m ÷a n =a m-n （a ≠0，m ，n 是正整数，ｍ＞ｎ）； （5）n b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n b
a （n 是正整数）； （6）n a -=n a 1（a ≠0，n 是正整数）；特别地，当a ≠0时，a 0=1．
十. 分式的混合运算：式中有乘方、除法运算，应先算乘方，再算除法，最后算加减.
十一. 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
十二. 分式方程（组）的解法。
1、解分式方程（组）的指导思想
2. 分式方程的增根与无解
增根不是分式方程的根，是能使最简公分母为零，且满足分式方程去分母后转化成整式方程的根。
所以解分式方程时要验根，把整式方程的根代入最简公分母，若使最简公分母为零，则是原方程的增根，必须舍去；若不能使最简公分母为零，则是原方程的根。
分式方程无解，包括两种情况：一是解分式方程产生增根时无解；二是将分式方程转化为整式方程，此整式方程无解，此时分式方程也无解。
十三. 分式方程的应用——列分式方程（组）解应用题（培养理论联系实际和分析问题，解决问题的能力）
基本步骤：（1）审—审清题意，弄清已知量和未知量；（2）找—找出等量关系；
（3）设—设未知数；（4）列—列出分式方程；（5）解—解这个方程；
（6）验—检验，既要检验所求的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符
合实际问题的要求；（7）答—写出答案。
分类介绍一些应用题
（1）追及问题：在解“追及问题”时，常需依时间列方程来解决问题。
某校师生到距学校20千米的公路旁植树，甲班师生骑自行车先走，45分钟后，乙班的师生乘汽车出发，结果两班学生同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，求两种车的速度各是多少？
（2）相向而行问题：解“相向而行问题”时，也需要依时间列方程解之。
甲、乙两人分别从相距20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果到达B地后乙还需30分钟才能到达A地，求乙每小时走多少千米。
（3）合作工程问题：常常把全部工作看成1，也常需依时间列方程来解应用题。
工作量=工作效率×工作时间 ①甲、乙两个小组合修一台机器，2小时完成。
已知甲小组单独修需要3小时，求乙组单独修需几小时？ ②要定期完成一件工程，甲单独做正好按期完成，乙单独做要超期3天才能完成，现甲乙合作2天，余下的由乙单独做，刚好按期完成，求甲乙单独做全部工程所需天数。
注：本题的关键在于寻找工作量。
甲的工作量为：甲的工作效率×甲的工作时间，即2×x 1；乙的工作量为：乙的工作效率×乙的工作时间即：2×31+x +3
2+-x x 或者可分析为乙从头至尾都在工作，则它的工作时间即为甲单做工作时间x ，乙的工作量也为3+x x ，则可直接列方程为x 2+3
+x x =1 ③打印一份稿件，甲打30分钟后由乙继续再打25分钟就完成。
第二次再打这份稿件，乙打30分钟后由甲继续再打24分钟就完成。
问甲、乙二人单独打这份稿件各需多少分钟。
（4）流速问题： 流速问题是特殊的行程问题，较一般行程问题特殊在速度的合成上。
船航行于相距32千米的两个码头之间，逆水比顺水多用12小时，若水流速度比船在静水中的速度少2千米/时，求水流速度及船在静水中速度。
（5）整数问题： ①一个两位数的十位数字是6，若将十位数字与个位数字对调，那么所得的两位数与原来两位数的比是4：7，求原来的两位数。
②一个分数的分子和分母各加上1，得
31，各减去1得41，求这个分数。