数学建模y04下料问题B题

当所要切割的零件有 53 种时，所有可行的下料方式共有 10307032 种。问题的关键在于 如何从中适当选取下料方式，构造下一步的规划求解需要的下料方式集。进一步的计算表明， 当下料方式数达到一定数量时，继续增加下料方式对于下料方案的优化没有显著影响，换句
话说，当 p 较大时，下料方案 x 与 p 的变化近似无关，这一结论将在下料方案的规划求解
可以转化为无时间约束的多阶段下料方案优化问题。例如当 C = 100 时，要求四天内完成
的零件必须使用前 400 块原材料生产，六天内完成的零件必须使用前 600 块原材料生产，等 等。进一步，通过把最终下料方案分解为三个阶段的下料方案，可以将对下料方案的时间约 束转化为零件个数的约束，简述如下：
设前 4 天的下料方案为 x' ，在 4 天内完成的任务为 n' ；第 5、6 天的下料方案为 x'' ，
中得到验证。
综上，分别采取满足 ε = 0 ， ε ≤ 1 ， ε ≤ 2 ， ε ≤ 3 ， ε ≤ 4 ， ε ≤ 5 的下料方式集 A0 、
A1 、 A2 、 A3 、 A4 、 A5 ，进行下一步的规划求解。
线性规划
首先不考虑时间约束，建立线性规划模型：
p
min q = ∑ x j j =1
B 题-
-二等奖
一．问题背景
工厂在实际生产中需要对标准尺寸的原材料进行切割，以满足进一步加工的需要，称为 下料问题（Cutting Stock Problem）。
在工程应用中，下料问题可能以不同的的形式表述，但本质上可简化为相同的数学模型。
典型的二维下料问题可表述如下：将若干相同规格的矩形原材料切割成 m 种规格的矩形零
下 料 方 式 数 变 化 趋 势 x 104 4.5
4 10
3.5
8
3
2.5 6
2
4
1.5
1 2
0.5
0 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
0 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
(a)
废料长度
(b)
ε
∫ 图 2 ：(a)为 N (ε ) 随 ε 的变化趋势，(b)为 N (ε ) 随 ε 的变化趋势 k
x = ( x1 , , x p )T ， x j ：第 j 种下料方式使用的次数，且 j = 1, , p 。
可行的下料方案应满足零件个数的约束，设下料方式集为 Am× p ，则有：
Am×p x ≥ n
其中 n = ( n1 ,…,nm )，且 x j 为整数，满足 x j ≥ 0, j = 1, , p 。
p ：总的下料方式数。
aij ：第 j 种下料方式中第 i 种零件的切割数量， i = 1, , m, j = 1, , p 。 x j ：第 j 种下料方式使用的次数， j = 1, , p 。
∑ q ：所需原材料的数量， q = p x j 。 j =1
五．问题分析
一个好的下料方案首先应该使原材料的利用率最大，从而减少损失，降低成本，提高经 济效益。其次要求所采用的不同的下料方式尽可能少，即希望用最少的下料方式来完成任务。 因为在生产中转换下料方式需要费用和时间，既提高成本，又降低效率。此外，每种零件有 各自的交货时间，每天下料的数量受到企业生产能力的限制。因此实用下料问题的目标是在 生产能力容许的条件下，以最少数量的原材料，尽可能按时完成需求任务，同时下料方式数 也尽量得少。
二．问题描述
现需要建立优化的下料方案，使得在生产能力容许的条件下，以最少数量的原材料，尽 可能按时完成需求任务，同时下料方式数也尽量得少。在该目标下要求考虑下面两个问题： 1. 首先建立一维单一原材料实用下料问题的数学模型，并用此模型求解下列问题，制定出
在生产能力容许的条件下满足需求的下料方案,同时求出等额完成任务所需的原材料 数，所采用的下料方式数和废料总长度。该企业每天最大下料能力是 100 块，单一原材 料的长度为 3000mm，需要完成一项有 53 种不同长度零件的下料任务。此外，在每个
上取整值，由 A 、 x 中各分量的非负性，可以证明 A ⎡⎢ x⎤⎥ ≥ n 。
因此，若 x 为线性规划范畴下的可行解， ⎡⎢ x⎤⎥ 即为可行的下料方案，同理，若 x 为线性
规划范畴下的最优解， ⎡⎢ x⎤⎥ 即为较优的下料方案，对比同一下料方式集下Βιβλιοθήκη Baidu优的下料方案，
其原材料使用数量之差不大于 x 中非零分量的个数，例如在下料方式集 A0 下，线性规划结
在 6 天内完成的任务为 n'' ；剩余时间的下料方案为 x''' ，最终完成的任务为 n ，则有：
等价转化为：
⎧
Ax' ≥ n'
⎪ ⎪
A( x' + x'') ≥ n''
⎪ A( x' + x''+ x''') ≥ n
⎪
⎨ ⎪
p
∑ x'i ≤ 400
⎪
i=1
∑ ∑ ⎪
⎪⎩
p
p
x'i + x''i ≤ 600
i=1
b) 在二维单一原材料情况下，可行的下料方式集 A 中的每一种下料方式必须是可实
现的，即存在满足要求的零件切割布局。
下料方案
下料方案描述一批原材料如何切割为任务所需的零件，例如共使用多少块原材料，以及 各原材料分别采用何种下料方式。由于频繁转换下料方式会带来额外的时间和材料的损耗， 工厂在确定一批原材料的下料方案后，会尽量将采用相同下料方式的原材料连续切割，减少 转换次数，降低生产成本。在基于单一规格原材料的下料方案优化问题中，不考虑时间因素， 同批原材料之间的生产次序可以忽略，认为在给定下料方式集的基础上，下料方案仅由每种 下料方式使用的次数决定，记为：
B 题-李非，李廷志，陈微-二等奖
p
∑ q = ⎡⎣( x')j + ( x'')j + ( x''')j ⎤⎦ j =1
下料问题的分解
由上分析可知，下料问题可以分解为两个子问题：下料方式集的确定和基于此下料方式 集的下料方案的选择。其中下料方式集可以借助搜索算法产生或根据经验选取适当的下料方 式集；下料方案的选择寻优可以表达为线性规划或整数规划，使用单纯形法、分支定界法等 技巧求解。
s.t. Ax ≥ n x j ≥ 0, j = 1, , p
（2）
注意到模型中并未要求 x j 为整数，求解结果中 x j 也未必是整数，因此直接线性规划所
得到结果并不满足题目要求，但可以在此基础上构造满足整数要求的可行解。
设 x = (x1, , x p ) 为满足约束 Ax ≥ n 的解，构造 ⎡⎢x⎤⎥ = (⎡⎢x1 ⎤⎥ , , ⎡⎢x p ⎤⎥) 为各分量的向
802～850 之间，且已找到 q = 850 的可行解。
表 2 不同废料长度下的下料方案
下料方案
T p
0 20" 40882
六．模型的建立与求解 一维下料模型的建立及求解
（1）无时间约束时模型的建立与求解
下料方式集
针对特定一组零件，列举满足长度约束的所有下料方式，分别计算其废料长度 ε（mm）， 统计产生相同废料长度 ε 的下料方式数 N (ε ) ，结果如下：
一定废料长度上限下的下料方式数 一定废料长度下的下料方式数
x 106 12
之，过少的下料方式有可能导致下料方案中对原材料的利用率迅速下降，甚至无可行的下料
方案。另一方面，下料方式数 p 对应下料方案的线性规划模型的变量数， p 越大，求解越
困难，况且实际生产中每次转换下料方式所增加的成本在一定程度上抵消在原材料上节约的 成本。因此，下料方式的选取需要权衡各方面因素，绝非越多越好。
⎟,
j = 1,
,p
⎜⎝ a1m
amp ⎟⎠
A 的维数为 m × p ，其中 p 为下料方式数， m 为所需切割的零件的种类。可行的下
料方式集 A 满足原材料长度和宽度的约束。
a) 在一维单一原材料情况下，可行的下料方式集 A 应满足：（σ = 5mm 为切割损
耗）
m
∑ aij ili − ( m −1)σ ≤ L, j = 1, , p
i=1
i=1
⎛A
0 0⎞
⎛ n' ⎞
⎜ ⎜
A
⎜A
⎜ ⎜
−1,
,−1
A A 0
0 A 0
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎛ ⎜ ⎜⎜⎝
x' x'' x'''
⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
≥
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
n''
⎟ ⎟
n⎟
−400 ⎟⎟
（1）
⎜⎝ −1, ,−1 −1, ,−1 0 ⎟⎠
⎜⎝ −600⎟⎠
最终使用的原材料数量为：
4
件，下料时零件的边必须分别和原材料的边平行，所有零件的厚度均与原材料一致。特别当 所有零件的宽度均与原材料相等，则问题称为一维下料问题。
相关数据表明，原材料成本占总生产成本的百分比可以高达 45%～60%，而下料方案的 优劣直接影响原材料的利用率，进而影响原材料成本。因此需要建立优化的下料方案，使得 在生产能力容许的条件下，以最少数量的原材料，尽可能按时完成需求任务,同时下料方式 数也尽量地小。
2
B 题-
-二等奖
一种下料方式。下料方式以向量 a = ( a1 , ,am )T 表示，其中 ai 为该种下料方式中第 i 种
零件的切割数量。 通常生产需要采取多种不同的下料方式来完成生产任务，完成任务所需的下料方式的集
合（简称下料方式集）记为：
{ } A =
aj
=
⎛ ⎜ ⎜
a11
…
a1p
⎞ ⎟
废料长度小于一定上限的下料方式数随上限的增加而迅速增大，从下表的数据中也可以
5
B 题-李非，李廷志，陈微-二等奖
看出这点。
表 1 N (ε ) 随 ε 增大而迅速增大
ε (mm） 0
5
10
100
1000
N (ε ) 40882 239985 435988 3395508 10160465
直观地分析可知，可供选取的下料方式 p 越多，越容易得到用料较省的下料方案，反
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B 题-李非，李廷志，陈微-二等奖
果为 q = 801.8 ，在此基础上构造 ⎡⎢ x⎤⎥ ，计算其原材料使用量 q = 850 ， x 中分量大于 0.01
的个数为 66，若认为只有对应分量大于一定值的下料方式才被有效使用，则可认为有效使
用的下料方式 p ' 为 66 种。由此可估计在下料方式集 A0 下，其最优整数规划解的 q 介于
该下料方案使用的原材料数量为：
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B 题-李非，李廷志，陈微-二等奖
p
q = ∑xj j =1
注意到可行的下料方案中零件个数的约束为不等式约束，与题设等额完成任务似有不 符，但事实上，如果以使用的总原材料数量作为规划目标，并将多生产的零件视为废料，两 者等价。
时间约束
假设工厂以最大的生产能力生产，并且每天切割的原材料数量为常数 C ，此时原问题
业生产能力容许的条件下满足需求的下料方案，同时求出等额完成任务所需的原材料块 数和所需下料方式数。单一原材料的长度为 3000mm，宽度为 100mm，需要完成一项 有 43 种不同长度和宽度零件的下料任务。切割所引起的锯缝损耗忽略不计。该企业每
天最大下料能力是 20 块，要求在 4 天内完成的零件标号( i )为:3,7,9,12,15,18,20,25,28,36。
三．基本假设
1. 假设工厂每天都以其最大下料能力工作。
四．符号说明
C ：指企业每天最大的下料块数。 L ：原材料的长度。
W ：原材料的宽度。 wi ：第 i 种零件的宽度，且 wi < W , i = 1, , m 。
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B 题-
-二等奖
li ：第 i 种零件的长度，且 wi < li < L, i = 1, , m 。 σ ：原材料切割点处由于锯缝所产生的损耗。 m ：所需切割的零件的种类。 ni ：第 i 种零件所需的切割的数量， i = 1, , m 。
切 割 点 处 由 于 锯 缝 所 产 生 的 损 耗 为 5mm 。 要 求 在 4 天 内 完 成 的 零 件 标 号 ( i )
为 :5,7,9,12,15,18,20,25,28,36,48 ； 要 求 不 迟 于 6 天 完 成 的 零 件 标 号 ( i )
为:4,11,24,29,32,38,40,46,50。 2. 建立二维单一原材料实用下料问题的数学模型，并用此模型求解下列问题。制定出在企
本题可以转化为多目标优化问题，利用线性规划和整数规划相关方法求解。
下料方式
下料方式描述如何将单块原材料切割为若干零件，例如下图表示二维情况下原材料的一 种下料方式。
图 1 二维情况下原材料的一种下料方式。 就本问题而言，模型仅关心不同下料方式带来的零件生产种类和数量的变化，而忽略其 具体布局，也就是说，所切割的零件种类及数目完全相同，仅布局不同的下料方式认为是同