九年级数学相似形测试题

如果四条线段a、b、c、d满足a

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相似形

中考要求

1、理解相似图形的性质.

2、掌握相似三角形的判定及性质，并能利用他们解决一些简单的几何问题和实际应用题

3、了解位似图形，能利用位似变换将一个图形放大或缩小

知识概要

一相关概念

1、成比例线段

c

=（即ad=bc），那么这四条线段是成比例线段，

b d

简称比例线段.

2、相似比

相似多边形对应边的比叫相似比.相似比为1的两个图形全等.

3、位似图形

如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.

二相似三角形的判定

1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似

2、如果两个三角形三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似

3、如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相

似.

4、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

5、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三形的斜边和一条直角边的对

应比相等，那么这两个直角三角形相似.

三相似三角形的性质

1、相似三角形（多边形）对应角相等，对应边的比相等.

2、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比

3、相似三角形（多边形）周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方

四位似变换的坐标规律

在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k..

范例解析

例1（2009深圳）如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为_．

分析要求矩形周长，可矩形的边长都是未知的.由题意，每个小正方形的边长为1，可得AE=EF=4，GF=2，而∠AEF=∠EFG=90△0，不难发现ABE≌△ECF∽△FDG，继而可得到这些三角形边长之间的内在联系，求出矩形的边长.

∴△ECF ∽△FDG ∴ EC

5 ∴矩形 ABCD 的周长=2(AB+BE+EC)=2 5 ⎪⎭ ⎝ 5

A ． - a

B ． - (a + 1)

C ． - (a - 1)

D ． - (a + 3)

.

∴平移前 B 点的横坐标为 - (a + 1)- 1 ，即 - (a + 3) .

解 ∵∠GFD+∠EFC=900 ∠EFC+∠FEC=900 ∴∠GFD=∠FEC 又∵∠D=∠C=900

EF 4

= = = 2

DF GF 2

∵AE=EF=4 ∠BAE=∠FEC ∠B=∠C ∴△ABE ≌△ECF ∴AB=EC BE=CF ∵AB=CD EC=2DF ∴AB=2DF=2CF=2BE 设 BE=x 则 AB=2x ∵x 2+(2x)2=42

∴x= 4 5 ⎛ 8 5 4 5 8 5 ⎫

+ + ⎪ = 8 5 5

点评 本题综合运用了全等与相似三角形的判定和性质，找到线段之间的关系，是解题的关

键所在.当然还要用到矩形的性质，并借助勾股定理列方程，因此有一定综合性

例 2 （2009 衢州）如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是(-1，0)．以 点 C 为位似中心，在 x 轴的下方作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边长放大到原来的 2 倍，记所得的像是 △A ′B ′C ．设点 B 的对应点 B ′ 的横坐标是 a ，则点 B 的横坐标是（

） 1 2

1

2 1 2

1

2

分析 本题是求位似变换下点的坐标，但位似中心不是原点，不能直接利用课本相关结论， 为此可将图形向右平移，使位似中心 C 与原点重合，求出平移后 B 点坐标，再将图形向左 平移到原先的位置，问题便迎刃而解.

解 将△ABC 与△A'B'C 向右平移一个单位，则 B'的横坐标变为 a + 1 ， ∵点 C 的坐标是(-1，0) ∴平移后 C 点位于原点 O ∵△ABC 与△A'B'C 的相似比为 1：2，点 B 与点 B'在原点异侧

∴B 点平移后的横坐标为 -

1 (

a + 1)

2

1 1

2 2

故选 D

点评 课本位似变换下点的坐标变化规律是以原点为位似中心，本题通过平移，使这一条件

得到满足，这种转化思想在解题时经常用到，要注意仔细体会 当然本题还可分别过 B 、 B'点作 x 轴的垂线，利用相似三角形列比例式，也可求出 B 点坐标.

例 3 （2009 黄冈）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上一点，连结 BC ，

= 发现只要证明△， BCG ∽△BFC 即

⎩∠GBC = ∠CBF

1

AC ，过点 C 作直线 CD ⊥AB 于点 D ，点 E 是 AB 上一点，直线 CE 交⊙O 于

点 F ，连结 BF ，与直线 CD 交于点 G ．求证： BC 2 = BG ⋅ BF

分析 将等积式 BC 2

= BG ⋅ BF 化成比例式 BC BF

BG BC

可.

证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，又 CD ⊥AB 于 D ， ∴∠BCD=∠A ，又∠A=∠F ， ∴∠F=∠BCD=∠BCG ，

⎧ ∠BCG = ∠F

在△BCG 和△BFC 中， ⎨

∴△BCG ∽△BFC ∴ BC BG

=

BF BC

即 BC 2 = BG ⋅ BF

点评 在圆中找角相等比较方便，圆中的相似三角形往往通过“两角对应相等，两三角形相 似”这一判定来证.

例 4 （2009 奉化）△ABC 和△DEF 是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF 的顶

点 E 位于边 BC 的中点上．

（1）如图 1，设 DE 与 AB 交于点 M ， EF 与 AC 交于点 △N ，求证：

BEM ∽△CNE ；

（2）如图 △2，将 DEF 绕点 E 旋转，使得 DE 与 BA 的延长线交于点 M ，EF 与 AC 交

于点 N ，于是，除（ ）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形？并证明 你的结论．